Integration in Teilstücken- eine Methode zur Lösung bestimmter und unbestimmter Integrale, wenn einer der Integranden leicht integrierbar und der andere differenzierbar ist. Eine ziemlich gebräuchliche Methode, um Integrale zu finden, sowohl unbestimmte als auch bestimmte. Hauptmerkmal, wenn Sie es verwenden müssen - es ist eine Funktion, die aus dem Produkt zweier Funktionen besteht, die nicht ohne weiteres integriert werden können.

Formel

Um diese Methode erfolgreich anwenden zu können, ist es notwendig, die Formeln zu zerlegen und zu lernen.

Die Formel für die partielle Integration ist not bestimmtes Integral:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Die Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral lautet:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Lösungsbeispiele

Betrachten Sie in der Praxis Beispiele für Lösungen zur partiellen Integration, die häufig von Lehrkräften angeboten werden Kontrollarbeit. Beachten Sie, dass unter dem integralen Symbol das Produkt zweier Funktionen steht. Dies ist ein Zeichen dafür, dass diese Methode für die Lösung geeignet ist.

Beispiel 1

Finden Sie das Integral $ \int xe^xdx $

Lösung

Wir sehen, dass der Integrand aus zwei Funktionen besteht, von denen die eine beim Differenzieren sofort in Eins übergeht und die andere leicht integriert werden kann. Zur Lösung des Integrals verwenden wir die Methode der partiellen Integration. Seien $ u = x \rightarrow du=dx $ und $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Wir setzen die gefundenen Werte in die erste Integrationsformel ein und erhalten: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir werden eine detaillierte Lösung anbieten. Sie können sich mit dem Ablauf der Berechnung vertraut machen und Informationen sammeln. Dies wird Ihnen helfen, rechtzeitig eine Gutschrift vom Lehrer zu erhalten!

Antworten

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Beispiel 4

Berechnen Sie das Integral $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Lösung

In Analogie zu den vorherigen gelösten Beispielen werden wir herausfinden, welche Funktion problemlos integriert werden kann, welche zu unterscheiden ist. Bitte beachten Sie, dass wenn Sie $ (x + 5) $ differenzieren, dieser Ausdruck automatisch in eine Einheit umgewandelt wird, die für uns "zur Hand" ist. Machen wir das als Dichter: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Nun sind alle unbekannten Funktionen gefunden und können in die zweite partielle Integrationsformel für das bestimmte Integral eingesetzt werden. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Antworten

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Komplexe Integrale

Dieser Artikel schließt das Thema der unbestimmten Integrale ab und enthält Integrale, die ich für ziemlich schwierig halte. Die Lektion wurde auf wiederholten Wunsch von Besuchern erstellt, die den Wunsch äußerten, dass schwierigere Beispiele auf der Website analysiert werden.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser dieses Textes gut vorbereitet ist und die grundlegenden Techniken der Integration anwenden kann. Dummies und Leute, die sich mit Integralen nicht sehr sicher sind, sollten sich auf die allererste Lektion beziehen - Unbestimmtes Integral. Lösungsbeispiele wo man das Thema quasi von der Pike auf lernen kann. Erfahrenere Studenten können sich mit den Techniken und Methoden der Integration vertraut machen, die in meinen Artikeln noch nicht begegnet sind.

Welche Integrale werden betrachtet?

Zunächst betrachten wir Integrale mit Wurzeln, zu deren Lösung wir sukzessive verwenden variable Substitution und Integration in Teilstücken. Das heißt, in einem Beispiel werden zwei Verfahren gleichzeitig kombiniert. Und noch mehr.

Dann lernen wir ein interessantes und originelles kennen Methode zur Reduktion des Integrals auf sich selbst. Nicht wenige Integrale werden auf diese Weise gelöst.

Die dritte Nummer des Programms werden Integrale komplexer Brüche sein, die in früheren Artikeln an der Kasse vorbeigeflogen sind.

Viertens werden zusätzliche Integrale aus trigonometrischen Funktionen analysiert. Insbesondere gibt es Methoden, die die zeitaufwändige universelle trigonometrische Substitution vermeiden.

(2) Beim Integranden dividieren wir den Zähler durch den Nenner Glied für Glied.

(3) Wir nutzen die Eigenschaft der Linearität des unbestimmten Integrals. Im letzten Integral sofort Bringen Sie die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials.

(4) Wir bilden die restlichen Integrale. Beachten Sie, dass Sie Klammern im Logarithmus und nicht im Modul verwenden können, da .

(5) Wir führen die umgekehrte Substitution durch, indem wir von der direkten Substitution "te" ausdrücken:

Masochistische Studenten können die Antwort differenzieren und erhalten den ursprünglichen Integranden, wie ich es gerade getan habe. Nein, nein, ich habe den Check im richtigen Sinne gemacht =)

Wie man sieht, mussten im Zuge der Lösung sogar mehr als zwei Lösungsverfahren angewendet werden, der Umgang mit solchen Integralen erfordert also sicheres Integrationsgeschick und nicht zuletzt Erfahrung.

In der Praxis ist natürlich die Quadratwurzel üblicher, hier drei Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral

Diese Beispiele sind vom gleichen Typ, daher wird die vollständige Lösung am Ende des Artikels nur für Beispiel 2 gelten, in den Beispielen 3-4 - eine Antwort. Welcher Ersatz zu Beginn von Entscheidungen zu verwenden ist, denke ich, liegt auf der Hand. Warum habe ich die gleiche Art von Beispielen gewählt? Oft in ihren Rollen zu finden. Häufiger vielleicht nur so etwas wie .

Aber nicht immer, wenn die Wurzel einer linearen Funktion unter Arcustangens, Sinus, Cosinus, Exponent und anderen Funktionen liegt, müssen mehrere Methoden gleichzeitig angewendet werden. In einigen Fällen ist es möglich, „leicht auszusteigen“, dh unmittelbar nach dem Austausch erhält man ein einfaches Integral, das elementar genommen wird. Die einfachste der oben vorgeschlagenen Aufgaben ist Beispiel 4, bei dem nach dem Ersetzen ein relativ einfaches Integral erhalten wird.

Die Methode, das Integral auf sich selbst zu reduzieren

Clevere und schöne Methode. Werfen wir einen Blick auf die Klassiker des Genres:

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral

Es gibt ein quadratisches Binomial unter der Wurzel und beim Versuch zu integrieren gegebenes Beispiel Der Wasserkocher kann stundenlang leiden. Ein solches Integral wird in Teile zerlegt und auf sich selbst reduziert. Im Prinzip ist es nicht schwierig. Wenn Sie wissen, wie.

Bezeichnen wir das betrachtete Integral mit einem lateinischen Buchstaben und beginnen wir mit der Lösung:

Teilweise integrieren:

(1) Wir bereiten den Integranden für die Term-für-Term-Division vor.

(2) Wir dividieren den Integranden Term für Term. Vielleicht versteht nicht jeder, ich werde ausführlicher schreiben:

(3) Wir nutzen die Eigenschaft der Linearität des unbestimmten Integrals.

(4) Wir nehmen das letzte Integral ("langer" Logarithmus).

Schauen wir uns nun den Anfang der Lösung an:

Und zum Schluss:

Was ist passiert? Als Ergebnis unserer Manipulationen hat sich das Integral auf sich selbst reduziert!

Anfang und Ende gleichsetzen:

Wir wechseln auf die linke Seite mit Vorzeichenwechsel:

Und wir reißen die Zwei auf der rechten Seite ab. Ergebend:

Die Konstante hätte streng genommen früher hinzugefügt werden sollen, aber ich habe sie am Ende hinzugefügt. Ich empfehle dringend zu lesen, was der Schweregrad hier ist:

Notiz: Genauer gesagt sieht die letzte Phase der Lösung so aus:

Auf diese Weise:

Die Konstante kann mit umbenannt werden. Warum kann man umbenennen? Denn es dauert noch beliebig Werte, und in diesem Sinne gibt es keinen Unterschied zwischen Konstanten und.
Ergebend:

Ein ähnlicher Trick mit ständiger Umbenennung ist weit verbreitet in Differentialgleichung. Und da werde ich streng sein. Und hier sind solche Freiheiten von mir nur erlaubt, um Sie nicht zu verwirren zusätzliche Dinge und sich auf die Integrationsmethode selbst konzentrieren.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ein weiteres typisches Integral für unabhängige Lösungen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Der Unterschied zur Antwort des vorherigen Beispiels wird sein!

Wenn unter Quadratwurzel ein quadratisches Trinom gefunden wird, dann reduziert sich die Lösung auf jeden Fall auf die beiden analysierten Beispiele.

Betrachten Sie zum Beispiel das Integral . Alles, was Sie tun müssen, ist im Voraus Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus:
.
Als nächstes wird eine lineare Ersetzung durchgeführt, die "ohne Konsequenzen" auskommt:
, was zu einem Integral führt. Irgendwie bekannt, oder?

Oder dieses Beispiel mit einem quadratischen Binomial:
Auswahl eines ganzen Quadrats:
Und nach einer linearen Ersetzung erhalten wir das Integral , das ebenfalls durch den bereits betrachteten Algorithmus gelöst wird.

Betrachten Sie zwei weitere typische Beispiele, wie man ein Integral auf sich selbst reduziert:
ist das Integral des Exponenten multipliziert mit dem Sinus;
ist das Integral des Exponenten multipliziert mit dem Kosinus.

Bei den aufgeführten partiellen Integralen müssen Sie bereits zweimal integrieren:

Beispiel 7

Finden Sie das unbestimmte Integral

Der Integrand ist der Exponent multipliziert mit dem Sinus.

Wir integrieren zweimal partiell und reduzieren das Integral auf sich selbst:

Durch doppelte partielle Integration wird das Integral auf sich selbst reduziert. Anfang und Ende der Lösung gleichsetzen:

Wir wechseln mit Vorzeichenwechsel auf die linke Seite und drücken unser Integral aus:

Bereit. Unterwegs ist es wünschenswert, die rechte Seite zu kämmen, d.h. nimm den Exponenten aus den Klammern und setze Sinus und Cosinus in Klammern in einer „schönen“ Reihenfolge.

Gehen wir nun zurück zum Anfang des Beispiels bzw. zur partiellen Integration:

Denn wir haben den Aussteller benannt. Es stellt sich die Frage, ob der Exponent immer mit ? Nicht unbedingt. Tatsächlich im betrachteten Integral grundsätzlich egal, wofür soll man bezeichnen, man könnte auch andersrum gehen:

Warum ist das möglich? Da sich der Exponent (beim Differenzieren und Integrieren) in sich selbst verwandelt, gehen Sinus und Cosinus wechselseitig ineinander über (wiederum sowohl beim Differenzieren als auch beim Integrieren).

Das heißt, die trigonometrische Funktion kann auch bezeichnet werden. In dem betrachteten Beispiel ist dies jedoch weniger rational, da Brüche angezeigt werden. Wenn Sie möchten, können Sie versuchen, dieses Beispiel auf die zweite Art zu lösen, die Antworten müssen gleich sein.

Beispiel 8

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Bevor Sie sich entscheiden, denken Sie darüber nach, was in diesem Fall rentabler ist, um es zu bezeichnen, Exponential- oder trigonometrische Funktion? Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und vergessen Sie natürlich nicht, dass die meisten Antworten in dieser Lektion ziemlich einfach durch Differenzieren zu überprüfen sind!

Die Beispiele wurden als nicht die schwierigsten angesehen. In der Praxis sind Integrale gebräuchlicher, bei denen die Konstante sowohl im Exponenten als auch im Argument der trigonometrischen Funktion steht, zum Beispiel: . Viele Menschen werden in einem solchen Integral verwirrt sein müssen, und ich selbst bin oft verwirrt. Tatsache ist, dass in der Lösung eine hohe Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Brüchen besteht und es sehr leicht ist, etwas durch Unaufmerksamkeit zu verlieren. Außerdem gibt es eine hohe Wahrscheinlichkeit von Fehlern bei Vorzeichen, beachten Sie, dass es ein Minuszeichen im Exponenten gibt, und dies führt zu zusätzlichen Schwierigkeiten.

In der Endphase stellt sich oft Folgendes heraus:

Auch am Ende der Lösung solltest du äußerst vorsichtig sein und richtig mit Brüchen umgehen:

Integration komplexer Brüche

Wir nähern uns langsam dem Äquator der Lektion und beginnen, Integrale von Brüchen zu betrachten. Auch hier sind nicht alle superkomplex, nur aus dem einen oder anderen Grund waren die Beispiele in anderen Artikeln etwas „off-topic“.

Fortsetzung des Themas Wurzeln

Beispiel 9

Finden Sie das unbestimmte Integral

Im Nenner unter der Wurzel befindet sich außerhalb des Wurzel-"Anhängsels" ein quadratisches trinomisches Plus in Form von "x". Ein Integral dieser Form wird mit einer Standardsubstitution gelöst.

Wir entscheiden:

Der Austausch hier ist einfach:

Blick auf das Leben nach dem Austausch:

(1) Nach der Substitution bringen wir die Terme unter der Wurzel auf einen gemeinsamen Nenner.
(2) Wir nehmen es unter der Wurzel hervor.
(3) Wir kürzen Zähler und Nenner um . Gleichzeitig habe ich unter der Wurzel die Begriffe in einer bequemen Reihenfolge neu angeordnet. Mit etwas Erfahrung können die Schritte (1), (2) übersprungen werden, indem die kommentierten Handlungen mündlich ausgeführt werden.
(4) Das resultierende Integral, wie Sie sich aus der Lektion erinnern Integration einiger Brüche, ist gelöst Full-Square-Auswahlmethode. Wählen Sie ein ganzes Quadrat aus.
(5) Durch Integration erhalten wir einen gewöhnlichen "langen" Logarithmus.
(6) Wir führen den Rücktausch durch. Wenn anfangs , dann zurück: .
(7) Die letzte Aktion zielt darauf ab, das Ergebnis zu kämmen: Unter der Wurzel bringen wir die Terme wieder auf einen gemeinsamen Nenner und nehmen sie unter der Wurzel heraus.

Beispiel 10

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Hier wird dem einsamen x eine Konstante hinzugefügt, und die Ersetzung ist fast dieselbe:

Das einzige, was zusätzlich getan werden muss, ist, das "x" aus der Ersetzung auszudrücken:

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Manchmal kann in einem solchen Integral unter der Wurzel ein quadratisches Binom stehen, dies ändert jedoch nichts an der Art und Weise, wie die Lösung gelöst wird, es wird sogar noch einfacher. Fühle den Unterschied:

Beispiel 11

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 12

Finden Sie das unbestimmte Integral

Kurze Lösungen und Antworten am Ende der Lektion. Es sollte beachtet werden, dass Beispiel 11 genau ist Binomialintegral, deren Lösungsweg im Unterricht betrachtet wurde Integrale irrationaler Funktionen.

Integral eines unzerlegbaren Polynoms 2. Grades bis zum Grad

(Polynom im Nenner)

Seltener, aber dennoch treffend praktische Beispiele Art des Integrals.

Beispiel 13

Finden Sie das unbestimmte Integral

Aber zurück zum Beispiel mit der Glückszahl 13 (ehrlich gesagt, ich habe nicht geraten). Auch dieses Integral gehört zu der Kategorie derer, bei denen man ziemlich leiden kann, wenn man nicht weiß, wie man es löst.

Die Lösung beginnt mit einer künstlichen Transformation:

Ich denke, jeder versteht bereits, wie man den Zähler durch den Nenner Term für Term dividiert.

Das resultierende Integral wird in Teilen genommen:

Für ein Integral der Form ( ist eine natürliche Zahl) haben wir abgeleitet wiederkehrend Herabstufungsformel:
, wo ist ein Integral niedrigeren Grades.

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel für das gelöste Integral überprüfen.
In diesem Fall: , , verwenden wir die Formel:

Wie Sie sehen können, sind die Antworten die gleichen.

Beispiel 14

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Die Musterlösung verwendet die obige Formel zweimal hintereinander.

Wenn unter dem Grad ist unzerlegbar quadratisches Trinom, dann wird die Lösung auf ein Binom reduziert, indem das vollständige Quadrat extrahiert wird, zum Beispiel:

Was ist, wenn es im Zähler ein zusätzliches Polynom gibt? In diesem Fall wird die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwendet und der Integrand in eine Summe von Brüchen erweitert. Aber in meiner Praxis eines solchen Beispiels nie getroffen, also habe ich diesen Fall im Artikel übersprungen Integrale einer gebrochen-rationalen Funktion, ich überspringe es jetzt. Wenn ein solches Integral noch vorkommt, siehe Lehrbuch - dort ist alles einfach. Ich halte es nicht für sinnvoll, Material (auch einfaches) aufzunehmen, dessen Wahrscheinlichkeit des Treffens gegen Null tendiert.

Integration komplexer trigonometrischer Funktionen

Das Adjektiv „schwierig“ ist für die meisten Beispiele wieder weitgehend bedingt. Beginnen wir mit Tangenten und Kotangens in hohe Abschlüsse. Aus Sicht der verwendeten Methoden zur Lösung von Tangens und Kotangens sind sie fast gleich, daher werde ich mehr über die Tangente sprechen, was bedeutet, dass die gezeigte Methode zur Lösung des Integrals auch für den Kotangens gilt.

In der obigen Lektion haben wir uns angesehen universelle trigonometrische Substitution zum Lösen einer bestimmten Art von Integralen trigonometrischer Funktionen. Der Nachteil der universellen trigonometrischen Substitution besteht darin, dass ihre Anwendung oft zu umständlichen Integralen mit schwierigen Berechnungen führt. Und in einigen Fällen kann die universelle trigonometrische Substitution vermieden werden!

Betrachten Sie ein weiteres kanonisches Beispiel, das Integral der Einheit dividiert durch den Sinus:

Beispiel 17

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hier können Sie die universelle trigonometrische Substitution verwenden und die Antwort erhalten, aber es gibt einen rationaleren Weg. Ich werde eine vollständige Lösung mit Kommentaren für jeden Schritt bereitstellen:

(1) Verwenden trigonometrische Formel Sinus eines Doppelwinkels.
(2) Wir führen eine künstliche Transformation durch: Im Nenner dividieren und multiplizieren wir mit .
(3) Nach der bekannten Formel im Nenner wandeln wir den Bruch in eine Tangente um.
(4) Wir bringen die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials.
(5) Wir bilden das Integral.

Paar einfache Beispiele für unabhängige Lösung:

Beispiel 18

Finden Sie das unbestimmte Integral

Hinweis: Der allererste Schritt ist die Verwendung der Reduktionsformel und führen Sie ähnliche Aktionen wie im vorherigen Beispiel sorgfältig aus.

Beispiel 19

Finden Sie das unbestimmte Integral

Nun, das ist ein sehr einfaches Beispiel.

Vollständige Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Ich denke, jetzt wird niemand Probleme mit Integralen haben:
usw.

Welche Idee steckt hinter der Methode? Die Idee ist, Transformationen und trigonometrische Formeln zu verwenden, um nur Tangenten und die Ableitung der Tangente im Integranden zu organisieren. Also, wir reden zum Thema Ersatz: . In den Beispielen 17-19 haben wir diese Ersetzung tatsächlich verwendet, aber die Integrale waren so einfach, dass es mit einer äquivalenten Aktion durchgeführt wurde – indem die Funktion unter das Differentialzeichen gebracht wurde.

Eine ähnliche Überlegung, wie ich bereits erwähnt habe, kann für den Kotangens durchgeführt werden.

Es gibt auch eine formale Voraussetzung für die Anwendung der obigen Substitution:

Die Summe der Potenzen von Cosinus und Sinus ist eine negative ganzzahlige GERADE Zahl, Beispielsweise:

für ein Integral eine ganzzahlige negative GERADE Zahl.

! Notiz : enthält der Integrand NUR einen Sinus oder NUR einen Cosinus, dann wird das Integral gerade mit einem negativen ungeraden Grad genommen (die einfachsten Fälle sind in den Beispielen Nr. 17, 18).

Betrachten Sie einige sinnvollere Aufgaben für diese Regel:

Beispiel 20

Finden Sie das unbestimmte Integral

Die Summe der Sinus- und Kosinusgrade: 2 - 6 \u003d -4 - eine negative ganze Zahl GERADE Zahl, was bedeutet, dass das Integral auf Tangenten und ihre Ableitung reduziert werden kann:

(1) Lassen Sie uns den Nenner umformen.
(2) Nach der bekannten Formel erhalten wir .
(3) Lassen Sie uns den Nenner umformen.
(4) Wir verwenden die Formel .
(5) Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen.
(6) Wir nehmen die Ersatzlieferung vor. Erfahrenere Schüler können die Ersetzung vielleicht nicht durchführen, aber es ist trotzdem besser, die Tangente durch einen Buchstaben zu ersetzen - die Verwechslungsgefahr ist geringer.

Beispiel 21

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Wartet, die Meisterschaftsrunden beginnen =)

Oft gibt es im Integranden ein "Durcheinander":

Beispiel 22

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dieses Integral enthält zunächst eine Tangente, die sofort einen bereits bekannten Gedanken suggeriert:

Die künstliche Transformation ganz am Anfang und die restlichen Schritte lasse ich kommentarlos, da oben schon alles gesagt wurde.

Ein paar kreative Beispiele für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 23

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 24

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ja, natürlich können Sie in ihnen die Grade des Sinus, Cosinus verringern, die universelle trigonometrische Substitution verwenden, aber die Lösung wird viel effizienter und kürzer, wenn sie durch Tangenten gezogen wird. Vollständige Lösung und Antworten am Ende der Lektion

Was ist partielle Integration? Um diese Art der Integration zu meistern, erinnern wir uns zunächst an die Ableitung des Produkts:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Die Frage ist: Nun, was haben Integrale damit zu tun? Lassen Sie uns nun beide Seiten dieser Gleichung integrieren. Schreiben wir also:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

Aber was ist das Primitiv eines Schlaganfalls? Es ist nur die Funktion selbst, die sich innerhalb des Strichs befindet. Schreiben wir also:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

v gegebene Gleichung Ich schlage vor, den Begriff auszudrücken. Wir haben:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Das ist es Formel für die partielle Integration. Wir vertauschen also im Wesentlichen die Ableitung und die Funktion. Wenn wir anfangs das Integral des Strichs hatten, multipliziert mit etwas, dann erhalten wir das Integral des neuen Etwas, multipliziert mit dem Strich. Das ist alles die Regel. Auf den ersten Blick angegebene Formel mag kompliziert und bedeutungslos erscheinen, aber tatsächlich kann es Berechnungen erheblich vereinfachen. Mal sehn.

Beispiele zur Berechnung von Integralen

Aufgabe 1. Berechnen Sie:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Schreiben wir den Ausdruck um, indem wir vor dem Logarithmus eine 1 hinzufügen:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Wir haben das Recht, dies zu tun, da weder die Nummer noch die Funktion geändert werden. Vergleichen wir nun diesen Ausdruck mit dem, was wir in die Formel geschrieben haben. Die Rolle von $(f)"$ ist 1, also schreiben wir:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Alle diese Funktionen sind in den Tabellen enthalten. Nachdem wir nun alle Elemente geschrieben haben, die in unserem Ausdruck enthalten sind, schreiben wir dieses Integral gemäß der Formel für die partielle Integration um:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ ende(ausrichten)\]

Das war's, das Integral ist gefunden.

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Wenn wir $x$ als Ableitung nehmen, von der wir jetzt die Stammfunktion finden müssen, dann erhalten wir $((x)^(2))$, und der letzte Ausdruck enthält $((x)^(2)) ( (\text(e))^(-x))$.

Offensichtlich wird die Aufgabe nicht vereinfacht, also vertauschen wir die Faktoren unter dem Integralzeichen:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Nun führen wir die Notation ein:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rechtspfeil f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

Differenziere $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ left(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Mit anderen Worten, zuerst wird "minus" hinzugefügt und dann werden beide Seiten integriert:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Kommen wir nun zur Funktion $g$:

$g=x\Rechtspfeil (g)"=1$

Wir betrachten das Integral:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \right)+C \\\end(align)$

Wir haben also die zweite partielle Integration durchgeführt.

Aufgabe 3. Berechnen Sie:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Was ist in diesem Fall für $(f)"$ und was für $g$ zu nehmen? Wenn $x$ als Ableitung fungiert, dann ist $\frac(((x)^(2)))(2 ) $, und der erste Faktor wird nirgendwo verschwinden - es wird $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ sein. Deshalb werden wir die Faktoren wieder vertauschen:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ ende(ausrichten)$

Wir schreiben unseren ursprünglichen Ausdruck um und erweitern ihn gemäß der Formel für die Integration nach Teilen:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

Alles, die dritte Aufgabe ist gelöst.

Schauen wir uns zum Schluss noch einmal an Formel für die partielle Integration. Wie wählen wir aus, welcher der Faktoren die Ableitung und welcher die reelle Funktion ist? Hier gibt es nur ein Kriterium: Das Element, das wir differenzieren, muss entweder einen „schönen“ Ausdruck geben, der dann reduziert wird, oder während der Differenzierung ganz verschwinden. Diese Lektion ist vorbei.

Integration in Teilstücken. Lösungsbeispiele

Hallo wieder. Heute lernen wir in der Lektion, wie man partiell integriert. Die Methode der partiellen Integration ist einer der Eckpfeiler der Integralrechnung. Bei der Prüfung wird dem Schüler fast immer angeboten, Integrale der folgenden Typen zu lösen: das einfachste Integral (siehe Artikel) oder ein Integral, um die Variable zu ändern (siehe Artikel) oder das Integral einfach weiter Methode der partiellen Integration.

Wie immer sollten zur Hand sein: Tabelle der Integrale und Ableitungstabelle. Wenn Sie sie noch nicht haben, dann besuchen Sie bitte den Lagerraum meiner Seite: Mathematische Formeln und Tabellen. Ich werde nicht müde zu wiederholen - es ist besser, alles auszudrucken. Ich werde versuchen, das gesamte Material auf konsistente, einfache und zugängliche Weise darzustellen; es gibt keine besonderen Schwierigkeiten, Teile zu integrieren.

Welches Problem löst die partielle Integration? Die Methode der partiellen Integration löst ein sehr wichtiges Problem, sie ermöglicht es Ihnen, einige Funktionen zu integrieren, die nicht in der Tabelle enthalten sind. arbeiten Funktionen, und in einigen Fällen - und privat. Wie wir uns erinnern, gibt es keine bequeme Formel: . Aber es gibt diese hier: ist die Formel für die Integration von Teilen in Person. Ich weiß, ich weiß, du bist der einzige - mit ihr werden wir die ganze Stunde arbeiten (es ist schon einfacher).

Und gleich die Liste im Studio. Integrale der folgenden Typen werden von Teilen genommen:

1) , , - Logarithmus, Logarithmus multipliziert mit einem Polynom.

2) ,ist eine Exponentialfunktion multipliziert mit einem Polynom. Dazu gehören auch Integrale wie - eine Exponentialfunktion multipliziert mit einem Polynom, aber in der Praxis sind es 97 Prozent, ein hübscher Buchstabe „e“ prangt unter dem Integral. ... der Artikel entpuppt sich als etwas Lyrisches, oh ja ... der Frühling ist da.

3) , , – trigonometrische Funktionen multipliziert mit einem Polynom.

4) , - inverse trigonometrische Funktionen ("Bögen"), "Bögen", multipliziert mit einem Polynom.

Auch einige Brüche werden in Teilen genommen, wir werden auch die entsprechenden Beispiele im Detail betrachten.

Integrale von Logarithmen

Beispiel 1

Klassisch. Von Zeit zu Zeit ist dieses Integral in Tabellen zu finden, aber es ist unerwünscht, eine fertige Antwort zu verwenden, da der Lehrer im Frühjahr Beriberi hat und viel schimpfen wird. Denn das betrachtete Integral ist keineswegs tabellarisch – es wird in Teilen genommen. Wir entscheiden:

Wir unterbrechen die Lösung für Zwischenerklärungen.

Wir verwenden die Formel für die partielle Integration:

Die Formel wird von links nach rechts angewendet

Wir betrachten die linke Seite:. Offensichtlich muss in unserem Beispiel (und in allen anderen, die wir betrachten werden) etwas mit und etwas mit bezeichnet werden.

Bei Integralen der betrachteten Art bezeichnen wir immer den Logarithmus.

Technisch ist das Design der Lösung wie folgt umgesetzt, schreiben wir in die Spalte:

Das heißt, weil wir den Logarithmus bezeichnet haben und für - der restliche Teil Integrand.

Nächster Schritt: Finden Sie das Differential:

Das Differential ist fast dasselbe wie die Ableitung, wir haben bereits in früheren Lektionen besprochen, wie man es findet.

Jetzt finden wir die Funktion . Um die Funktion zu finden, muss integriert werden rechte Seite untere Gleichheit :

Nun öffnen wir unsere Lösung und konstruieren die rechte Seite der Formel: .
Hier ist übrigens ein Beispiel für eine endgültige Lösung mit kleinen Notizen:

Das einzige Moment im Produkt habe ich sofort umgestellt und, da es üblich ist, den Multiplikator vor den Logarithmus zu schreiben.

Wie Sie sehen können, hat die Anwendung der Teilintegrationsformel unsere Lösung im Wesentlichen auf zwei einfache Integrale reduziert.

Bitte beachten Sie dies in einigen Fällen sofort nach Anwendung der Formel wird zwangsläufig eine Vereinfachung unter dem verbleibenden Integral vorgenommen - im betrachteten Beispiel haben wir den Integranden um "x" reduziert.

Lassen Sie uns einen Check machen. Dazu müssen Sie die Ableitung der Antwort nehmen:

Der ursprüngliche Integrand wird erhalten, was bedeutet, dass das Integral korrekt gelöst wird.

Bei der Überprüfung haben wir die Produktdifferenzierungsregel verwendet: . Und das ist kein Zufall.

Integration nach Teileformel und Formel Dies sind zwei zueinander inverse Regeln.

Beispiel 2

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Der Integrand ist das Produkt aus Logarithmus und Polynom.
Wir entscheiden.

Ich werde das Verfahren zur Anwendung der Regel noch einmal ausführlich beschreiben, in Zukunft werden die Beispiele kürzer dargestellt, und wenn Sie Schwierigkeiten haben, es selbst zu lösen, müssen Sie zu den ersten beiden Beispielen der Lektion zurückkehren .

Wie schon erwähnt, denn es ist notwendig, den Logarithmus zu bezeichnen (dass er in Grad steht, spielt keine Rolle). Wir bezeichnen der restliche Teil Integrand.

Wir schreiben in eine Spalte:

Zuerst finden wir das Differential:

Hier wenden wir die Ableitungsregel an komplexe Funktion . Es ist kein Zufall, dass in der allerersten Lektion des Themas Unbestimmtes Integral. Lösungsbeispiele Ich habe mich auf die Tatsache konzentriert, dass Sie, um die Integrale zu beherrschen, die Ableitungen "in die Finger bekommen" müssen. Derivate müssen sich mehr als einmal stellen.

Nun finden wir die Funktion , dazu integrieren wir rechte Seite untere Gleichheit :

Zur Integration haben wir die einfachste Tabellenformel verwendet

Jetzt können Sie die Formel anwenden . Wir öffnen es mit einem "Sternchen" und "gestalten" die Lösung entsprechend der rechten Seite:

Unter dem Integral haben wir wieder ein Polynom auf dem Logarithmus! Daher wird die Lösung erneut unterbrochen und die partielle Integrationsregel ein zweites Mal angewendet. Vergessen Sie nicht, dass in ähnlichen Situationen immer der Logarithmus angegeben wird.

Es wäre schön, wenn jetziger Moment Sie könnten die einfachsten Integrale und Ableitungen mündlich finden.

(1) Verwirren Sie sich nicht in den Zeichen! Sehr oft geht hier ein Minus verloren, beachten Sie auch, dass das Minus gilt an alle Halterung , und diese Klammern müssen korrekt geöffnet werden.

(2) Erweitern Sie die Klammern. Wir vereinfachen das letzte Integral.

(3) Wir nehmen das letzte Integral.

(4) „Kämmen“ der Antwort.

Die Notwendigkeit, die Regel der partiellen Integration zweimal (oder sogar dreimal) anzuwenden, ist nicht ungewöhnlich.

Und nun ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Dieses Beispiel wird durch die Methode des Variablenwechsels (bzw. Subsumieren unter das Differentialzeichen) gelöst! Und warum nicht - Sie können versuchen, es in Teilen zu nehmen, Sie bekommen eine lustige Sache.

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Aber dieses Integral wird in Teilen (dem versprochenen Bruch) integriert.

Dies sind Beispiele für Selbstlösungen, Lösungen und Antworten am Ende der Lektion.

Es scheint, dass in den Beispielen 3,4 die Integranden ähnlich sind, aber die Lösungsmethoden unterschiedlich sind! Genau das ist die Hauptschwierigkeit bei der Beherrschung von Integralen – wenn Sie die falsche Methode zur Lösung des Integrals wählen, können Sie stundenlang daran herumfummeln, wie an einem echten Puzzle. Je mehr Sie also verschiedene Integrale lösen, desto besser, desto einfacher wird der Test und die Prüfung. Außerdem wird es im zweiten Jahr eine geben Differentialgleichung, und ohne Erfahrung im Lösen von Integralen und Ableitungen ist da nichts zu machen.

Durch Logarithmen vielleicht mehr als genug. Für einen Snack kann ich mich auch erinnern, dass Technikstudenten weibliche Brüste Logarithmen nennen =). Übrigens ist es nützlich, die Grafiken des Mains auswendig zu kennen elementare Funktionen: Sinus, Cosinus, Arkustangens, Exponential, Polynome dritten, vierten Grades usw. Nein, natürlich ein Kondom auf einem Globus
Ich werde nicht ziehen, aber jetzt werden Sie sich an vieles aus dem Abschnitt erinnern Graphen und Funktionen =).

Integrale des Exponenten multipliziert mit dem Polynom

Allgemeine Regel:

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Unter Verwendung eines bekannten Algorithmus integrieren wir nach Teilen:

Wenn Sie Schwierigkeiten mit dem Integral haben, sollten Sie zum Artikel zurückkehren Variable Änderungsmethode im unbestimmten Integral.

Die einzige andere Sache, die Sie tun müssen, ist, die Antwort zu "kämmen":

Wenn Ihre Berechnungstechnik jedoch nicht sehr gut ist, lassen Sie die rentabelste Option als Antwort. oder auch

Das heißt, das Beispiel gilt als gelöst, wenn das letzte Integral genommen wird. Es wird kein Fehler sein, es ist eine andere Sache, die der Lehrer fragen kann, um die Antwort zu vereinfachen.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Dieses Integral wird zweimal teilintegriert. Besondere Aufmerksamkeit Sie sollten auf die Zeichen achten - es ist leicht, sich darin zu verwirren, wir erinnern uns auch daran - eine komplexe Funktion.

Viel mehr gibt es zum Aussteller nicht zu sagen. Ich kann nur hinzufügen, dass der Aussteller u natürlicher Logarithmus gegenseitig inverse Funktionen, das bin ich zum Thema unterhaltsame Graphen höhere Mathematik=) Stopp, stopp, keine Sorge, der Dozent ist nüchtern.

Integrale trigonometrischer Funktionen multipliziert mit einem Polynom

Allgemeine Regel: steht immer für das Polynom

Beispiel 7

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Teilweise integrieren:

Hmmm ... und nichts zu kommentieren.

Beispiel 8

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung

Beispiel 9

Finden Sie das unbestimmte Integral

Ein weiteres Beispiel mit einem Bruch. Wie in den beiden vorherigen Beispielen wird ein Polynom mit bezeichnet.

Teilweise integrieren:

Wenn Sie Schwierigkeiten oder Missverständnisse haben, das Integral zu finden, dann empfehle ich Ihnen, an der Lektion teilzunehmen Integrale trigonometrischer Funktionen.

Beispiel 10

Finden Sie das unbestimmte Integral

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Hinweis: Bevor Sie die Methode der Integration nach Teilen verwenden, sollten Sie eine trigonometrische Formel anwenden, die das Produkt zweier trigonometrischer Funktionen in eine Funktion umwandelt. Die Formel kann auch im Zuge der Anwendung der partiellen Integrationsmethode verwendet werden, für die es bequemer ist.

Das ist vielleicht alles in diesem Absatz. Aus irgendeinem Grund erinnerte ich mich an eine Zeile aus der Hymne der Fakultät für Physik und Mathematik „Und der Sinusgraph verläuft Welle für Welle entlang der Abszissenachse“ ....

Integrale inverser trigonometrischer Funktionen.
Integrale von inversen trigonometrischen Funktionen multipliziert mit einem Polynom

Allgemeine Regel: steht immer für die inverse trigonometrische Funktion.

Ich erinnere Sie daran, dass die inversen trigonometrischen Funktionen Bogensinus, Bogenkosinus, Arkustangens und Bogenkotangens umfassen. Der Kürze halber nenne ich sie "Bögen".

Die Formel für die partielle Integration lautet:
.

Die Methode der partiellen Integration besteht darin, diese Formel anzuwenden. Beim praktische Anwendung Es ist erwähnenswert, dass u und v Funktionen der Integrationsvariablen sind. Die Integrationsvariable sei mit x bezeichnet (Symbol nach dem Differentialzeichen d am Ende der Integralschreibweise). Dann sind u und v Funktionen von x : u(x) und v(x) .
Dann
, .
Und die Integration-by-Parts-Formel hat die Form:
.

Das heißt, der Integrand muss aus dem Produkt zweier Funktionen bestehen:
,
Eines davon bezeichnen wir als u: g(x) \u003d u, und für das andere muss das Integral berechnet werden (genauer gesagt muss die Stammfunktion gefunden werden):
, dann ist dv = f(x) dx .

In manchen Fällen f(x) = 1 . Also im Integral
,
wir können g(x) = u, x = v setzen.

Zusammenfassung

Bei dieser Methode sollte also die Integration-by-Parts-Formel in Erinnerung bleiben und in zwei Formen angewendet werden:
;
.

Durch partielle Integration berechnete Integrale

Integrale, die logarithmische und inverse trigonometrische (hyperbolische) Funktionen enthalten

Integrale, die den Logarithmus und inverse trigonometrische oder hyperbolische Funktionen enthalten, werden oft durch Teile integriert. In diesem Fall wird der Teil, der den Logarithmus oder die inversen trigonometrischen (hyperbolischen) Funktionen enthält, mit u bezeichnet, der verbleibende Teil mit dv.

Hier sind Beispiele für solche Integrale, die nach der Methode der partiellen Integration berechnet werden:
, , , , , , .

Integrale, die das Produkt eines Polynoms und sin x, cos x oder e x enthalten

Gemäß der Formel zum Integrieren von Teilen werden Integrale der Form gefunden:
, , ,
wobei P(x) ein Polynom in x ist. Bei der Integration wird das Polynom P(x) mit u und e ax dx bezeichnet, cos ax dx oder Sünde Axt dx- über dv.

Hier sind Beispiele für solche Integrale:
, , .

Beispiele für die Berechnung von Integralen nach der Methode der partiellen Integration

Beispiele für Integrale mit logarithmischen und inversen trigonometrischen Funktionen

Beispiel

Integral berechnen:

Ausführliche Lösung

Hier enthält der Integrand den Logarithmus. Substitutionen vornehmen
u= In x,
dv=x 2dx.
Dann
,
.

Wir berechnen das verbleibende Integral:
.
Dann
.
Am Ende der Berechnungen muss unbedingt die Konstante C hinzugefügt werden, da das unbestimmte Integral die Menge aller Stammfunktionen ist. Es könnte auch in Zwischenberechnungen hinzugefügt werden, aber dies würde die Berechnungen nur unübersichtlich machen.

Kürzere Lösung

Es ist möglich, eine Lösung in mehr darzustellen Kurzfassung. Dazu müssen Sie keine Substitutionen mit u und v vornehmen, sondern Sie können die Faktoren gruppieren und die Formel zur partiellen Integration in der zweiten Form anwenden.

.

Antworten

Beispiele für Integrale, die das Produkt eines Polynoms und sin x, cos x oder ex enthalten

Beispiel

Integral berechnen:
.

Lösung

Wir führen den Exponenten unter dem Differentialzeichen ein:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Wir integrieren nach Teilen.
.
Wir verwenden auch die Methode der Integration nach Teilen.
.
.
.
Endlich haben wir.