Anwendung

Lösen von Differentialgleichungen online an der Website, um das Material an den studierenden Studenten zu befestigen. Und trainieren Sie Ihre praktischen Fähigkeiten. Differentielle Gleichungen online. Difura online, mathematics lösung online. Schritt-für-Schritt-Lösung von mathematischen Aufgaben online. Ordnung oder Grad der Differentialgleichung - Die höchste Reihenfolge der darin enthaltenen Derivate. Differentielle Gleichungen online. Der Prozess der Lösung einer differentiellen Gleichung wird als Integration bezeichnet. Die Aufgabe der Integration der Differentialgleichung gilt als gelöst, wenn die unbekannte Funktion erfasst wird, um zur Quadratur zu führen, unabhängig davon, ob das erhaltene Integral letztendlich durch bekannte Funktionen ausgedrückt wird oder nicht. Schritt-für-Schritt-Lösung von Differentialgleichungen online. Alle Differentialgleichungen können in gewöhnliche (ODU) unterteilt werden, die nur Funktionen (und ihre Derivate) von einem Argument enthalten, und Gleichungen mit privaten Derivaten (DRRD), in denen ankommende Funktionen von vielen Variablen abhängen. Differentielle Gleichungen online. Es gibt auch stochastische Differentialgleichungen (SDU), einschließlich zufälliger Prozesse. Schritt-für-Schritt-Lösung von Differentialgleichungen online. Abhängig von den Kombinationen von Derivaten, Funktionen, unabhängigen Variablen, differentiellen Gleichungen sind differentielle Gleichungen in linear und nichtlinear mit dauerhaften oder variablen Koeffizienten, homogen oder inhomogen unterteilt. Aufgrund der Bedeutung von Anwendungen in einer separaten Klasse sind quasilineare (lineare relativ ältere Derivate) differentielle Gleichungen in privaten Derivaten isoliert. Entscheidungen von Differentialgleichungen sind in gemeinsame und private Lösungen unterteilt. Differentielle Gleichungen online. Allgemeine Lösungen umfassen undefinierte Konstanten sowie für Gleichungen in privaten Derivaten - willkürliche Funktionen aus unabhängigen Variablen, die von zusätzlichen Integrationsbedingungen (Anfangsbedingungen für gewöhnliche Differentialgleichungen, Anfangs- und Randbedingungen für Gleichungen in privaten Derivaten verfeinert werden können). Schritt-für-Schritt-Lösung von Differentialgleichungen online. Nach Bestimmung der Art dieser konstanten und unbestimmten Funktionen werden Lösungen privat. Die Suche nach Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichungen führte zur Errichtung einer Klasse von speziellen Funktionen - häufig in Anwendungen von Funktionen, die nicht durch bekannte Elementarfunktionen ausgedrückt wurden. Differentielle Gleichungen online. Ihre Eigenschaften wurden detailliert untersucht, die Werte-Tabelle wurden erstellt, gegenseitige Beziehungen wurden bestimmt usw. . Eine Vielzahl von aufgeführten Nummern kann erforscht werden. Die beste Antwort auf die Aufgabe. So finden Sie in der ersten Annäherung den ausgehenden Vektor in die Konvergenzregion über differentielle Gleichungen, ohne das Fundament herauszufinden. Die Wahl ist offensichtlich, um mathematische Funktionen zu erhöhen. Es gibt eine progressive Methode über das Forschungsgrad. Richten Sie über den ursprünglichen Zustand der Aufgabe aus, die Differentiallösung hilft, den eindeutigen ausgewählten Wert zu finden. Es kann so sein, dass das Unbekannte sofort bestimmen kann. Wie im vorherigen Beispiel haben lineare Differentialgleichungen bei der Angabe einer Lösung für ein mathematisches Problem eine Antwort auf die Aufgabe, die speziell auf die angegebene Zeit eingestellt ist. Lokal nicht definierte Aufrechterhaltung der Forschungsverfahren. Es wird so sein, dass das Beispiel für jeden Schüler gefunden wird, und die Lösung von Differentialgleichungen bestimmt das Minimum, das dem verantwortlichen Performer mindestens der beiden Werte zugewiesen ist. Nehmen Sie einige Segments die Funktion des allgemeinen Wertes an und warnen, in der die Achse eine Pause sein wird. Nachdem Sie die differentiellen Gleichungen online studieren, ist es möglich, eindeutig zu zeigen, wie viel das Ergebnis wichtig ist, wenn solche von den Anfangsbedingungen angeboten wird. Schneiden Sie den Bereich aus der Funktionsdefinition nicht möglich, seit lokal keine Definition für die Aufgabe. Von dem System der Gleichungen gefunden werden, enthält die Antwort eine im allgemeinen Sinne berechnete Variable, aber um die differentielle Gleichung online zu lösen, gelingt natürlich ohne diese Aktion, um den obigen Zustand zu ermitteln. Neben dem Segment des Segments kann als eine Lösung von differentialen Gleichungen angesehen werden, die online in der Lage ist, das Ergebnis der Forschung in einer positiven Seite zum Zeitpunkt des Wissensabschnitts der Schüler zu fördern. Das Beste wird nicht immer von einem allgemeinen anerkannten Ansatz für das Geschäft erhalten. Auf der Ebene des Doppelzooms können Sie alle erforderlichen linearen Differentialgleichungen in einer natürlichen Ansicht verwenden, aber die Fähigkeit, den numerischen Wert zu zählen, führt zu einer Verbesserung des Wissens. Jede Technik in der Mathematik gibt es differentielle Gleichungen, die in verschiedenen Ausdrücken in ihrer Essenz, wie homogen oder komplex dargestellt, dargestellt werden. Nach der Durchführung einer allgemeinen Analyse der Funktion der Funktion wird klar, dass die Lösung von Differential, da viele Möglichkeiten ein expliziter Fehler in den Werten ist. Die Wahrheit darin liegt in dem Raum oberhalb der Abszisse. Irgendwo in der Definition einer komplexen Funktion an einem bestimmten Punkt seiner Definition können lineare Differentialgleichungen eine Antwort in analytischer Form einreichen. Das ist im Allgemeinen als das Wesen. Nichts ändert sich, wenn Sie die Variable ersetzen. Es ist jedoch notwendig, ein besonderes Interesse an Antwort zu betrachten. Änderungen im Wesentlichen Der Rechner dadurch, dass, da eine Lösung von Differentialgleichungen im Verhältnis zum globalen Wert in den Grenzen der gewünschten Lösung bezeichnet wird. In einigen Fällen ist eine massive Fehlerwarnung unvermeidlich. Differentialgleichungen Online Implementieren Sie die Gesamtansicht der Aufgabe, aber am Ende müssen Sie so schnell wie möglich positive Seiten des Vektorprodukts bereitstellen. In der Mathematik gibt es in der Theorie der Zahlen keine seltenen Fälle von Täuschung. Brauche definitiv einen Scheck. Natürlich ist es besser, dieses Recht auf Fachleute in ihrem Geschäft bereitzustellen und die differentielle Gleichung online zu lösen, wird ihnen helfen, da ihre Erfahrung kolossal und positiv ist. Der Unterschied auf den Oberflächen der Figuren und der Fläche ist so, dass Sie nicht die Lösung von Differentialgleichungen online ermöglichen, und der Satz von nichtschneidbaren Objekten so ist, dass die Linie parallel zur Achse ist. Infolgedessen können Sie doppelt so viele Werte erhalten. Nicht explizit, bietet unsere Vorstellung von der Richtigkeit formaler Aufzeichnungen lineare Differentialgleichungen sowohl im Sichtbereich als auch für die vorsätzliche Überschätzung der Qualität des Ergebnisses. Es stellt sich mehrmals eine Diskussion über das Thema heraus, das für alle Schüler interessant ist. Während des Studiums des vollen Vorlesungsverkehrs zeigten wir auf die differentiellen Gleichungen und den Bereichen der Wissenschaft, wenn dabei nicht der Wahrheit widersprechen können. Viele Stufen können zu Beginn des Weges vermieden werden. Wenn die Differentialentscheidung immer noch grundsätzlich etwas Neues für Studenten ist, ist der alte überhaupt nicht vergessen, schreitet jedoch mit hoher Entwicklungsrate in der Zukunft voran. Zunächst divergieren die Bedingungen für die Aufgabe in der Mathematik, dies ist jedoch in dem Absatzrecht festgelegt. Nach dem angegebenen Zeitpunkt der angegebenen Definition sind die Möglichkeiten des proportionalen abhängigen Ergebnisses in verschiedenen Ebenen der Vektorbewegung nicht ausgeschlossen. Ein solcher einfacher Fall wird auch wie beschrieben, wie lineare Differentialgleichungen am Rechner im Allgemeinen beschrieben, es ist schneller, und die Berechnung der Berechnungen führt nicht zu einer fehlerhaften Meinung. Nur fünf von der Theorie genannte Fälle können das Gesicht des Geschehens bewegen. Berechnen Sie den Wert manuell in Zahlen, wird unsere Lösung von Differentialgleichungen bereits in den ersten Stufen der Zersetzung des Funktionsraums unterstützen. An den richtigen Stellen ist es notwendig, einen Punkt in Kontakt mit vier Zeilen in einem allgemeinen Wert einzureichen. Aber wenn Sie die Aufgabe austeilen müssen, ist es einfach, gleich zu entsprechen. Die Quelldaten reichen aus, um die benachbarten Catech- und Differentialgleichungen online auszusetzen, die im linken Rand gleichermaßen gleichermaßen aussehen, und die Oberfläche ist eine einseitige Richtung zum Reiherenvektor. Oberhalb der oberen Grenze sind numerische Werte über den angegebenen Zustand. Berücksichtigen Sie die mathematische Formel und lösen Sie die differentielle Gleichung online aufgrund der drei Unbekannten im Gesamtwert des möglichen Anteils. Die lokale Berechnungsmethode wird gültig anerkannt. Das Koordinatensystem ist in der relativen Bewegung der Ebene rechteckig. Mit der allgemeinen Lösung von differentialen Gleichungen online können Sie eindeutig zugunsten der berechneten Umdrehung durch die Matrixdefinitionen auf der gesamten Zeile abschließen, die sich über dem in der expliziten Form angegebenen Grafik befinden. Die Lösung ist blockiert, wenn der Bewegungsvektor auf den Kontaktpunkt der drei Halbkugel aufgebracht wird. Der Zylinder wird durch Drehen des Rechtecks \u200b\u200bum die Seite erhalten, und lineare Differentialgleichungen können die Bewegungsrichtung des Punktes gemäß den angegebenen Ausdrücken seines Bewegungsgesetzes zeigen. Die anfänglichen Daten sind treu und die Aufgabe in der Mathematik ist mit einem einfachen Zustand austauschbar. Aufgrund der Umstände, aufgrund der Umstände, im Hinblick auf die Komplexität der betriebenen Unteraufgabe, vereinfachen die Differentialgleichungen den Prozess der Berechnung numerischer Räume auf der Ebene des dreidimensionalen Raums. Es ist leicht, das Gegenteil zu beweisen, aber dies kann wie im obigen Beispiel vermieden werden. Die folgenden Punkte werden in der höchsten Mathematik bereitgestellt: Wenn die Aufgabe einer vereinfachten Form gegeben ist, sollte es von den Schülern wie möglich so weit wie möglich verteilt werden. Bestritt die auf einander auferlegten Linien. Die Entscheidung des Differentials erneuert immer noch den Vorteil des genannten Verfahrens an der Zeilenkurve. Wenn es nicht notwendig ist, zu Beginn zu erkennen, ist die mathematische Formel der neue Wert des Ausdrucks. Ziel ist der optimale Ansatz, um die vom Professor festgelegte Aufgabe zu lösen. Es sollte nicht davon ausgegangen werden, dass lineare Differentialgleichungen in einer vereinfachten Form das erwartete Ergebnis überschreiten. Auf der endlich komponierten Oberfläche der Oberfläche wird drei Vektor platziert. orthogonal einander. Berechnen Sie die Arbeit. Wir führen den Hinzufügen einer größeren Anzahl von Zeichen und aus dem resultierenden Ausdruck alle variablen Funktionen aus. Es gibt einen Anteil. Mehrere Aktionen vor dem Ende der Berechnung, wobei die eindeutige Reaktion auf die Lösung von Differentialgleichungen nicht sofort erlaubt, jedoch erst nach Ablauf der Zeit auf der Ordinatenachse. Auf der linken Seite des Spaltpunkts, der in einer impliziten Form von der Funktion angegeben ist, führen wir die Achse aus, die orthogonale bessere zunehmende Vektor- und Differentialgleichungen online, indem wir den kleinsten Grenzwert der Unterseite des mathematischen Objekts entlangbringen. Übermäßiges Argument, um die Funktion im Bruchbereich zu verbinden. Rechts von den Standortpunkten der Linie der Linie, um die Differentialgleichung online zu lösen, hilft uns von der Formel, an einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Der einzige richtige Ansatz wird derjenige nehmen, den das Licht auf ungelöster Aufgaben aus der Theorie in der Praxis in der Regel definitiv ist. Die Linien in Richtung der Koordinaten der angegebenen Punkte schlossen niemals die extreme Position des Platzes, aber die Lösung von Differentialgleichungen online wird bei der Untersuchung von Mathematik und Studenten helfen, und wir und nur Neulinge in diesem Bereich. Wir sprechen von der Möglichkeit, das Argument des Werts in allen Wagen unter den Zeilen eines Feldes zu ersetzen. Wie erwartet sind unsere linearen Differentialgleichungen grundsätzlich etwas, das sich im einheitlichen Konzept des Sinne trennen. Um den Schülern zu helfen, einen der besten Rechner zwischen ähnlichen Dienstleistungen. Vervollständigen Sie alle Kurse und wählen Sie das Beste für sich selbst aus.

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Differentialgleichungen der ersten Bestellung. Beispiele für Lösungen.
Differentialgleichungen mit Trennvariablen

Differentialgleichungen (DU). Diese beiden Wörter führen normalerweise zum Horror des durchschnittlichen Durchschnitts. Differentialgleichungen erscheinen etwas Beispiels, Meister und viele Studenten. Uuuuuu ... differentielle Gleichungen, wie würde ich das alles durchgehen?!

Eine solche Meinung und eine solche Stimmung sind falsch, weil in der Tat Differentialgleichungen sind einfach und sogar aufregend. Was müssen Sie wissen und lernen, differentielle Gleichungen zu lösen? Um die Diffusion erfolgreich zu studieren, müssen Sie sich gut integrieren und differenzieren können. Je besser die Themen studierten Derivative Funktion einer Variablen und Unsicheres IntegralDie Art und Weise, wie es einfacher ist, differentielle Gleichungen zu verstehen. Ich werde mehr sagen, wenn Sie mehr oder weniger anständige Integrationsfähigkeiten haben, dann ist das Thema fast beherrscht! Je mehr Integrale verschiedener Typen Sie entscheiden können - desto besser. Warum? Wir müssen viel integrieren. Und unterscheiden. Ebenfalls sehr empfehlenswert Lerne zu finden.

In 95% der Fälle befinden sich 3 Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung in den Kontrollpapieren: gleichungen mit Trennvariablenwas wir in dieser Lektion betrachten; einheitliche Gleichungen und lineare inhomogene Gleichungen.. Anfänger, um die Diffusion zu studieren, raten Sie Ihnen, den Lektionen in einer solchen Sequenz kennenzulernen, und nachdem er die ersten beiden Artikeln studiert, wird es nicht schaden, Ihre Fähigkeiten auf einem zusätzlichen Workshop zu konsolidieren - gleichungen reduziert auf homogene.

Es gibt noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: Gleichungen in kompletten Differentialen, Bernoulli-Gleichungen und anderen. Die wichtigste der letzten beiden Arten sind Gleichungen in vollständigen Differentials, da neben diesem DU das neue Material in Betracht gezogen wird - private Integration.

Wenn Sie nur ein oder zwei Tage auf Lager habenT. für ultraschnelle Vorbereitung es gibt blitzkurs Im PDF-Format.

Die Richtlinien werden also gestellt - ging:

Erinnern Sie sich zunächst an die üblichen algebraischen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel :. Was bedeutet es, die übliche Gleichung zu lösen? Es bedeutet zu finden viele nummerndie diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu sehen, dass die Gleichung der Kinder die einzige Wurzel hat :. Für einen Berührung, machen Sie einen Scheck, wir ersetzen die in unserer Gleichung gefundene Wurzel:

- Die richtige Gleichheit wird erhalten, es bedeutet, dass die Lösung korrekt gefunden wird.

Diffuriert sind auf dieselbe Weise angeordnet!

Differentialgleichung erste Bestellung im Allgemeinen enthält:
1) unabhängige Variable;
2) die abhängige Variable (Funktion);
3) Die erste derivative Funktion :.

In einigen Gleichungen der ersten Reihenfolge kann es kein "IX" oder (und) "Igrek" geben, aber es ist nicht wesentlich - wichtig in du tun war Erster Derivat und hatte nicht Derivate höherer Aufträge - usw.

Was heißt ?Lösen Sie die Differentialgleichung - es bedeutet zu finden viele aller Funktionendie diese Gleichung erfüllen. So viele Funktionen hat oft die Form (- willkürliche Konstante), die aufgerufen wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Differentialgleichung.

Komplette Munition. Wo soll ich beginnen entscheidung?

Zunächst müssen Sie ein anderes Derivat in einem anderen Formular neu schreiben. Ich erinnere mich an eine umständliche Bezeichnung, dass viele von Ihnen wahrscheinlich lächerlich und unnötig erschienen. In den Diffusoren ist es genau das!

Bei der zweiten Arbeit ist es unmöglich split-Variablen? Was bedeutet es, Variablen zu teilen? Grob gesagt, auf der linken Seite Wir müssen gehen nur "igrek", aber im rechten Teil organisieren nur "iker". Die Trennung von Variablen wird mit Hilfe von "School" -Manipulationen durchgeführt: Vorlage an den Klammern, der Übertragung der Komponenten von dem Teil mit der Änderung des Schilds, der Übertragung von Multiplizierern vom Teil des Teils nach dem Teil die Regelregel usw.

Differentiale und sind vollständige Faktor und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. Im Beispiel des Beispiels sind die Variablen leicht durch das Fräsen von Multiplizierern durch Anteil unterteilt:

Variablen werden getrennt. In der linken Seite - nur "Ignoranz", im rechten Teil - nur "Xers".

Nächste Stufe - integration der Differentialgleichung. Alles ist einfach, inspiriert von den Integralen an beiden Teilen:

Natürlich müssen die Integrale genommen werden. In diesem Fall sind sie tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, wird eine Konstante auf jedes Primitive zurückgeführt. Hier sind zwei Integrale, aber konstant genug, um einmal auszuschreiben (Weil konstante + konstante noch gleich einer anderen konstanten ist). In den meisten Fällen wird es auf der rechten Seite platziert.

Streng genommen wird die Differentialgleichung nach der Integrale als gelöst angesehen. Das einzige, was wir "Igrek" nicht durch "X" ausgedrückt werden, dh die Entscheidung wird dargestellt implizit. bilden. Die Lösung der Differentialgleichung in einer impliziten Form wird genannt gemeinsames Integral der differentiellen Gleichung. Das heißt, es ist ein gemeinsames Integral.

Die Antwort in diesem Formular ist ziemlich akzeptabel, ist aber eine bessere Option? Lass uns versuchen zu bekommen gemeinsame Entscheidung.

Bitte schön, erinnern Sie sich an die erste technische TechnikEs ist sehr häufig und wird häufig in praktischen Aufgaben verwendet: wenn auf der rechten Seite nach der Integration ein Logarithmus auf der rechten Seite erscheint, dann ist die Konstante in vielen Fällen (aber nicht immer!) Es ist auch ratsam, unter dem Logarithmus aufzunehmen..

Also, STATTDESSENdatensätze schreiben normalerweise .

Wieso brauchst du es? Und um es einfacher zu machen, "igarek" auszudrücken. Wir verwenden die Logarithmus-Eigenschaft . In diesem Fall:

Nun können Logarithmen und Module entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist eine allgemeine Lösung.

Antworten: Gemeinsame Entscheidung: .

Die Antworten vieler Differentialgleichungen sind ziemlich einfach zu überprüfen. In unserem Fall erfolgt dies ganz einfach, nehmen Sie die gefundene Lösung und differenzieren sie:

Danach ersetzen wir und das Derivat in der ursprünglichen Gleichung:

- Die richtige Gleichheit wird erhalten, es bedeutet, dass die allgemeine Lösung die Gleichung erfüllt, wie es erforderlich war, um zu überprüfen.

Geben Sie den konstanten verschiedenen Werten an, Sie können unendlich viel erreichen private Lösungen Differentialgleichung. Es ist klar, dass alle Funktionen ,,, usw. Erfüllt die Differentialgleichung.

Manchmal wird eine allgemeine Entscheidung genannt funktionsfamilie.. In diesem Beispiel der allgemeinen Lösung - Dies ist eine Familie von linearen Funktionen oder eher eine Familie der direkten Verhältnismäßigkeit.

Nach einem detaillierten Kauen des ersten Beispiels ist es angebracht, auf mehrere naive Fragen zu differentiellen Gleichungen zu reagieren:

1) In diesem Beispiel gelang es uns, Variablen zu teilen. Ist es immer möglich, das zu tun? Nein nicht immer. Und noch öfter können Variablen nicht aufgeteilt werden. Zum Beispiel in homogene Erstbestellungen, müssen Sie zuerst ersetzen. In anderen Arten von Gleichungen, zum Beispiel in einer linearen inhomogenen Gleichung der ersten Ordnung, müssen Sie verschiedene Techniken und Verfahren zum Finden einer allgemeinen Lösung verwenden. Gleichungen mit Trennvariablen, die wir in der ersten Lektion betrachten - die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Ist es immer möglich, die Differentialgleichung zu integrieren? Nein nicht immer. Es ist sehr einfach, mit einer "getrimmten" Gleichung, die nicht integriert werden kann, nicht integriert werden kann. Außerdem gibt es unbetraue Integrale. Solche DU können jedoch mit Hilfe speziellen Methoden annähernd gelöst werden. Daelaber und Cauchi garantieren ... ... ugh, lurkmore.to divecha las, fast hinzugefügt "von diesem Licht".

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines gemeinsamen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, aus dem allgemeinen Integral, um eine allgemeine Lösung zu finden, dh "igarek" explizit auszudrücken? Nein nicht immer. Beispielsweise: . Nun, wie man "Igrek" ausdrückt?! In solchen Fällen sollte die Antwort als gemeinsames Integral geschrieben werden. Manchmal finden Sie manchmal eine allgemeine Entscheidung, aber es ist so ausdräht und unbeholfen, was besser ist, um die Antwort in Form eines gemeinsamen Integrals zu verlassen

4) ... vielleicht genug. In dem ersten Beispiel haben wir uns getroffen ein weiterer wichtiger PunktAber um die "Teekannen" -Avalanche neuer Informationen nicht abzudecken, werde ich es bis zur nächsten Lektion verlassen.

Wir werden uns nicht beeilen Ein weiterer einfacher Doom und eine weitere Musterentscheidung:

Beispiel 2.

Finden Sie eine private Lösung einer differentiellen Gleichung, die den ursprünglichen Zustand erfüllt

Entscheidung: Unter der Bedingung, die Sie finden müssen private Lösung Du erfüllend einen bestimmten Anfangszustand. Diese Frage wird auch aufgerufen cauchy Task..

Zuerst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine "x" -Variable in der Gleichung, aber es sollte nicht peinlich sein, die Hauptsache ist das erste Derivat darin.

Rückspulen Sie das Derivat in der richtigen Form:

Offensichtlich können Variablen geteilt werden, Jungen - links, Mädchen - rechts:

Wir integrieren die Gleichung:

Das gemeinsame Integral wird erhalten. Hier habe ich mit einem plötzlichen Asterisk konstant gemalt, denn es ist, dass es sich sehr bald in eine andere Konstante verwandelt.

Versuchen Sie nun das allgemeine Integral, um in die allgemeine Lösung (Express "Igrek" explizit) umzuwandeln. Wir erinnern uns an die Alte, Art, Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie auffällig aus, sodass sie normalerweise vom Himmel zur Erde abstammt. Wenn im Detail so geschieht, passiert es so. Umschreiben Sie die Funktion der Grad-Eigenschaft die Funktion wie folgt neu:

Wenn es sich um eine Konstante handelt, dann - auch etwas konstant, Reagiert für seinen Brief:

Erinnere dich an den Abriss der Konstante - das die zweite technische Technikwas häufig bei der Lösung von Differentialgleichungen verwendet wird.

Also die allgemeine Lösung :. Dies ist eine hübsche Familie von exponentiellen Funktionen.

In der letzten Etappe müssen Sie eine private Lösung finden, die den angegebenen Anfangszustand erfüllt. Das ist auch einfach.

Was ist die Aufgabe? Müssen abholen das Der Wert der Konstante ist umzusetzen.

Sie können anders arrangieren, aber es wird wahrscheinlich vielleicht so sein. Im Allgemeinen ersetzen wir die Lösung anstelle von "IKSA", wir ersetzen Null und anstelle der "Spiele" zwei:



Also,

Standardversion des Designs:

Nun in der allgemeinen Lösung ersetzen wir die Foundation Foundation:
- Dies ist die besondere Entscheidung, die Sie benötigen.

Antworten: Private Lösung:

Einen Scheck durchführen. Die Überprüfung einer privaten Lösung umfasst zwei Stufen:

Zuerst müssen Sie überprüfen, ob die grundsätzlich gefundene bestimmte Lösung den Anfangszustand erfüllt? Anstelle von "Iksa" ersetzen wir Null und sehen, was passiert:
- Ja, ein Deuce ist wirklich erhalten, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung durchgeführt wird.

Die zweite Etappe ist bereits vertraut. Wir nehmen die erhaltene private Lösung und finden ein Derivat:

Wir ersetzen in der ursprünglichen Gleichung:

- Zuverlässige Gleichheit wird erhalten.

Fazit: Private Lösung rechts gefunden.

Gehen Sie zu mehr sinnvoller Beispiele.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Differentialgleichung.

Entscheidung: Schreibe das Derivat in der Form, die wir brauchen:

Wir schätzen, ob es möglich ist, die Variablen zu teilen? Können. Wir tragen den zweiten Begriff auf die rechte Seite mit dem Zeichenwechsel:

Und Werfen von Multiplizierern von Anteilsregel:

Variablen werden getrennt, integriert beide Teile:

Muss warnen, der Tag nähert sich. Wenn Sie schlecht gelernt haben unsichere IntegraleEs gibt nur wenige Beispiele, sie haben nirgendwo zu gehen - Sie müssen sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden, mit dem Integral aus Kothannse, wir werden mit der Standardtechnik behandelt, die wir in der Lektion berücksichtigen Trigonometrische Funktionen integrieren. letztes Jahr:

In der rechten Seite haben wir Logarithmus herausgestellt, und laut meiner ersten technischen Empfehlung sollte die Konstante auch unter Logarithmus aufgenommen werden.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir einige Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Mit der Hilfe berühmte Immobilien Maximale Logarithmen von "Pack". Sicke Sehr detailliert:

Die Verpackung ist abgeschlossen, um barbarisch gefördert zu werden:

Ist es möglich, "Igrek" auszudrücken? Können. Wir müssen beide Teile auf dem Platz bauen.

Es ist jedoch nicht notwendig, dies zu tun.

Dritter technischer Rat: Wenn Sie eine allgemeine Lösung erhalten, müssen Sie Wurzeln anheben oder herausholen, dann in den meisten Fällen Sie sollten diese Aktionen unterlassen und eine Antwort in Form eines gemeinsamen Integrals hinterlassen. Tatsache ist, dass die allgemeine Entscheidung nur schrecklich aussehen wird - mit großen Wurzeln, Zeichen und einem anderen Müll.

Daher wird die Antwort in Form eines gemeinsamen Integrals schreiben. Ein guter Ton wird davon ausgegangen, dass es in der Form präsentiert, dh im rechten Teil, wenn möglich, nur eine Konstante hinterlässt. Es ist nicht notwendig, dies zu tun, aber immer von Vorteil, um Professoren zu gefesseln ;-)

Antworten: Allgemeines Integral:

Schnitte Hinweis: Das allgemeine Integral der Equation kann nicht nur auf den einzigen Weg geschrieben werden. Wenn also Ihr Ergebnis nicht mit einer vorkannten Antwort übereinstimmte, bedeutet dies nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Das allgemeine Integral wird auch ganz leicht geprüft, die Hauptsache ist, in der Lage zu sein abgeleitet von der implizit angegebenen Funktion. Differenzieren der Antwort:

Wir multiplizieren beide Begriffe auf:

Und teilen auf:

Die anfängliche Differentialgleichung wird genau erhalten, es bedeutet, dass das gemeinsame Integral korrekt gefunden wird.

Beispiel 4.

Finden Sie eine private Lösung einer differentiellen Gleichung, die den Anfangszustand erfüllt. Überprüfung durchführen

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung.

Ich erinnere Sie daran, dass der Algorithmus aus zwei Bühnen besteht:
1) Ermittlung einer allgemeinen Lösung;
2) Finden der gewünschten privaten Lösung.

Die Prüfung wird auch in zwei Schritten ausgeführt (siehe Beispiel in Beispiel Nr. 2), Sie müssen:
1) Stellen Sie sicher, dass die gefundene private Lösung den Anfangszustand erfüllt.
2) Überprüfen Sie, ob die private Lösung überhaupt die Differentialgleichung erfüllt.

Komplette Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine private Lösung der Differentialgleichung erfüllen den ursprünglichen Zustand. Überprüfung durchführen

Entscheidung:Wir finden zunächst eine allgemeine Lösung. Die Gleichung enthält bereits bereite Differenzierungen und dh die Lösung ist vereinfacht. Wir teilen Variablen:

Wir integrieren die Gleichung:

Integrales links - tabellarisches, integriertes Recht - nehmen Sie indem Sie eine Funktion unter dem Anzeichen von Differential zusammenfassen:

Allgemeines Integral empfangen, ob es unmöglich ist, eine allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Können. Drehen Sie die Logarithmen auf beiden Teilen. Weil sie positiv sind, dann die Anzeichen des unnötigen Moduls:

(Ich hoffe, dass jeder die Transformation versteht, solche Dinge müssten es wissen)

Also die allgemeine Lösung:

Wir finden eine private Lösung, die den angegebenen Anfangszustand erfüllt.
Im Allgemeinen ersetzen wir die Lösung anstelle von "IKSA", wir ersetzen Null und anstelle des "Spiele" -Ologarithmus von zwei:

Mehr Vertrautes Design:

Wir ersetzen den gefundenen Wert der Konstante in der allgemeinen Lösung.

Antworten: Private Lösung:

Prüfen Sie: Zuerst prüfen Sie zuerst, ob der Anfangszustand erfolgt ist:
- Alles ist gut.

Überprüfen Sie nun und ob die bestimmte Lösung im Allgemeinen die Differentialgleichung erfüllt. Finden Sie ein Derivat:

Wir betrachten die anfängliche Gleichung: - Es ist in Differentials dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, zu überprüfen. Sie können Differenz aus dem gefundenen Derivat ausdrücken:

Wir ersetzen die gefundene private Lösung und das in der ursprüngliche Gleichung erhaltene Differential :

Wir verwenden die wichtigste logarithmische Identität:

Die richtige Gleichheit wird erhalten, es bedeutet, dass die private Lösung korrekt gefunden wird.

Der zweite Weg, um Spiegel zu überprüfen, und ist gewöhnlicher: von der Gleichung Drücken Sie das Derivat aus, denn das teilen wir alle Dinge auf:

Und in der konvertierten Du wir ersetzen die empfangene private Lösung und das gefundene Derivat. Infolge der Vereinfachungen sollte es auch eine wahre Gleichheit sein.

Beispiel 6.

Lösen Sie die differentielle Gleichung. Darstellung in Form eines gemeinsamen Integrals.

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, eine vollständige Lösung und Reaktion am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten lügen beim Lösen von Differentialgleichungen mit Trennvariablen?

1) Nicht immer offensichtlich (insbesondere "Teekanne"), dass Variablen geteilt werden können. Betrachten Sie ein bedingtes Beispiel :. Hier müssen Sie Multiplizierer für Klammern herstellen: und trennen Sie die Wurzeln :. So handeln Sie weiter - verständlich.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale entstehen oft nicht das einfachste, und wenn es in den Fähigkeiten des Findens fehlerhaft ist unsicheres Integral, mit vielen Diffusoren müssen sie dicht sein. Darüber hinaus sind die Compiler von Sammlungen und Methoden beliebt bei der "einmal differentiellen Gleichung ist einfach, und lassen Sie die Integrale komplizierter sein."

3) Umwandlung mit Konstant. Wie jeder bemerkt, ist es mit einer Konstante in differentiellen Gleichungen möglich, ganz freiwillig zu behandeln, und einige Transformationen sind nicht immer für den Newcomer verständlich. Betrachten Sie ein anderes bedingtes Beispiel: . Es ist ratsam, alle Begriffe zu multiplizieren. 2: . Die resultierende Konstante ist auch eine gewisse Konstante, die mit: . Ja, und da der Logarithmus bald richtig ist, dann ist es ratsam, die Konstante in Form einer anderen Konstante neu zu schreiben: .

Das Unglück ist, dass die Indizes oft nicht stören und denselben Buchstaben verwenden. Infolgedessen nimmt die Entscheidung der Entscheidung das folgende Formular an:

Was für eine Häresie? Fehler sofort! Streng genommen - ja. Aus s anderersichtlicher Sicht - keine Fehler, denn infolge der Umwandlung der variablen Konstante wird noch eine variable Konstante erhalten.

Oder ein anderes Beispiel angenommen, dass während der Lösung der Gleichung ein gemeinsames Integral erhalten wurde. Eine solche Antwort sieht hässlich aus, so dass jede der Fundamente ratsam ist, das Zeichen zu ändern: . Formal, hier wieder ein Fehler - das Recht sollte aufgenommen werden. Impliziert jedoch informell, dass "minus ce" alles gleich konstant ist ( welcher mit demselben Erfolg braucht Bedeutungen!)Daher macht "minus" nicht sinnvoll, und Sie können denselben Buchstaben verwenden.

Ich werde versuchen, einen unvorsichtigigen Ansatz zu vermeiden, und steckt noch verschiedene Indizes von Konstanten, wenn sie sie konvertieren.

Beispiel 7.

Lösen Sie die differentielle Gleichung. Überprüfung durchführen

Entscheidung: Diese Gleichung ermöglicht die Trennung von Variablen. Wir teilen Variablen:

Wir integrieren:

Die Konstante ist hier nicht notwendig, um unter dem Logarithmus zu bestimmen, da daraus nichts möglich ist.

Antworten: Allgemeines Integral:

Überprüfen Sie: Differenzieren der Antwort (implizite Funktion):

Wir besorgen von Fraktionen, denn das multiplizieren wir beide Begriffe auf:

Die anfängliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wird.

Beispiel 8.

Finden Sie eine private Entscheidung der DU.
,

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung. Der einzige Tipp - es wird ein gemeinsames Integral sein, und ordnungsgerechter müssen Sie keine bestimmte Lösung finden, sondern privatintegral. Komplette Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

6.1. Grundlegende Konzepte und Definitionen

Bei der Lösung verschiedener Probleme der Mathematik und Physik, Biologie und Medizin ist es oft möglich, eine funktionale Abhängigkeit in der Formel sofort herzustellen, die die Variablen bindet, die den untersuchten Prozess beschreiben. Es ist auch notwendig, Gleichungen zu verwenden, die mit Ausnahme einer unabhängigen Variablen und einer unbekannten Funktion und seiner Derivate verwendet werden.

Definition.Die Gleichung verbindet eine unabhängige Variable, eine unbekannte Funktion und ihre Derivate verschiedener Aufträge, wird aufgerufen differential.

Unbekannte Funktion benennen normalerweise y (x)oder einfach y,und seine Derivate - y ", y "usw.

Andere Bezeichnungen sind beispielsweise möglich: wenn y.\u003d x (t) x "(t), x" "(t)- seine Derivate und t.- Unabhängige Variable.

Definition.Wenn die Funktion von einer Variablen abhängt, wird die Differentialgleichung ordentlich bezeichnet. Generelle Form gewöhnliche Differentialgleichung:

oder

Funktionen F.und f.darf keine Argumente enthalten, aber damit die Gleichungen differenziell differenziert werden, das Vorhandensein von Derivat.

Definition.Reihenfolge der Differentialgleichungdie Reihenfolge des in ihm enthaltenen älteren Derivats wird aufgerufen.

Beispielsweise, x 2 y "- y.\u003d 0, y "+ Sünde x.\u003d 0 - die ersten Bestellgleichungen und y "+ 2 y "+ 5 y.= x.- die zweite Ordnung Gleichung.

Bei der Lösung von Differentialgleichungen wird ein Integrationsvorgang verwendet, der mit dem Erscheinungsbild einer beliebigen Konstante verbunden ist. Wenn die Integrationsaktion angewendet wird n.einmal ist dann offensichtlich in der Entscheidung enthalten n.willkürliche Konstante.

6.2. Differentialgleichungen der ersten Bestellung

Generelle Form differentialgleichung erster Ordnungbestimmt durch den Ausdruck

Die Gleichung darf nicht explizit enthalten x.und y,aber notwendigerweise enthält. "

Wenn die Gleichung als geschrieben werden kann

es wird durch eine differentielle Gleichung der ersten Ordnung erhalten, die relativ zu der Ableitung erlaubt ist.

Definition.Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung (6.3) (oder (6.4)) ist eine Vielzahl von Lösungen. wo VON- Willkürliche Konstante.

Das Diagramm der Lösung einer differentiellen Gleichung wird aufgerufen integrierte Kurve.

Eine willkürliche Konstante geben VONverschiedene Werte können Sie private Lösungen erhalten. Auf der Oberfläche xoy.die allgemeine Lösung ist eine Familie von integralen Kurven, die jeder privaten Lösung entsprechen.

Wenn Sie den Punkt einstellen A (x 0, y 0),durch die die integrale Kurve gehalten werden sollte, dann in der Regel aus einer Vielzahl von Funktionen Sie können eine bestimmte Lösung zuordnen.

Definition.Private Entscheidungdie Differentialgleichung ist eine Lösung, die keine beliebigen Konstanten enthält.

Wenn ein ist eine allgemeine Lösung von der Bedingung

kann dauerhaft gefunden werden VON.Verteilen ausgangsbedingung.

Die Aufgabe, eine private Lösung einer differentiellen Gleichung (6,3) oder (6.4) zu finden, die den Anfangszustand erfüllt zum namens cauchy Task.Hat diese Aufgabe immer eine Lösung? Die Antwort enthält den folgenden Satz.

Cauchy theorem.(Theorem der Existenz und der Einzigartigkeit der Entscheidung). Angenommen, in der Differentialgleichung y "= f (x, y)funktion f (x, y)und sie

privatableitung definiert und kontinuierlich in einigen

region D,einen Punkt enthalten. Dann in der Gegend D.existiert.

die einzige Lösung für die Gleichung, die den Anfangszustand erfüllt zum

Der Cauchy-Theorem argumentiert, dass es unter bestimmten Bedingungen eine einzige integrale Kurve gibt y.= f (x),durch den Punkt gehen Punkte, in denen die Bedingungen des Satzes nicht erfüllt sind

Cauchy, genannt besondere.An diesen Punkten tolerieren Sie Pausen f.(x, y) oder.

Durch einen speziellen Punkt, entweder mehrere Integralkurven oder eines.

Definition.Wenn die Entscheidung (6.3), (6.4) in Form von gefunden f.(x, y, C)\u003d 0, nicht als relativ zu y erlaubt, dann wird es genannt gemeinsames Integraldifferentialgleichung.

Der cauchy theorem garantiert nur, dass die Lösung existiert. Da es keine einzige Methode zum Finden einer Lösung gibt, berücksichtigen wir nur einige Arten von differentiellen Gleichungen in erster Ordnung quadraturen.

Definition.Die differentielle Gleichung wird aufgerufen integrierbar in Quadragenwenn die Feststellung davon auf die Integration von Funktionen reduziert wird.

6.2.1. Differentialgleichungen der ersten Reihenfolge mit Trennen von Variablen

Definition.Die Differentialgleichung der ersten Ordnung wird als Gleichung mit bezeichnet geteilte Variablen

Die rechte Seite der Gleichung (6.5) ist ein Produkt von zwei Funktionen, von denen jeder nur von einer Variablen abhängt.

Zum Beispiel Gleichung ist die Gleichung mit dem Trennen

misi-Variablen
eine Gleichung

kann nicht als (6,5) eingereicht werden.

Bedenkt, dass , umschreiben (6,5) in der Form

Aus dieser Gleichung erhalten wir eine differentielle Gleichung mit getrennten Variablen, in denen sich nur auf der entsprechenden Variablen mit Differentialen handelt:

Boden integrieren, den wir haben

wo c \u003d. C 2 - C 1 - Beliebige Konstante. Der Ausdruck (6.6) ist ein gemeinsames Integral der Gleichung (6,5).

Wir teilen sowohl Teile der Gleichung (6,5) weiter, in denen wir diese Lösungen verlieren können In der Tat, wenn zum

das offensichtlich die Lösung der Gleichung (6,5).

Beispiel 1.Finden Sie die Lösung Gleichung

bedingung: y.\u003d 6 O. x.= 2 (y.(2) = 6).

Entscheidung.Ersetzen u "onde . Multiplizieren Sie beide Teile an

dx,da kann mit weiterer Integration nicht übrig bleiben dx.im Nenner:

und dann beide Teile aufteilen wir erhalten die Gleichung,

was integriert werden kann. Wir integrieren:

Dann ; Potentiation, wir erhalten y \u003d c. (x + 1) -

lösung.

Nach Hauptdaten definieren wir eine willkürliche Konstante, die sie in eine allgemeine Entscheidung ersetzt

Endlich bekommen y.\u003d 2 (x + 1) - Eine private Lösung. Betrachten Sie weitere Beispiele für das Lösen von Gleichungen mit Trennvariablen.

Beispiel 2.Finden Sie eine Lösung für die Gleichung

Entscheidung.Bedenkt, dass , erhalten .

Wir werden beide Teile der Gleichung integrieren, haben wir

von

Beispiel 3.Finden Sie eine Lösung für die Gleichung Entscheidung.Wir teilen sowohl einen Teil der Gleichung auf die Faktoren auf, die von der Variablen abhängen, die nicht mit der Variablen unter dem Anzeichen des Differentials, d. H. und integrieren. Dann bekommen wir.

und endlich,

Beispiel 4.Finden Sie eine Lösung für die Gleichung

Entscheidung.Wissen, jagen. Trennung

lIM-Variablen. Dann

Integrieren, get.

Kommentar.In den Beispielen 1 und 2 die gewünschte Funktion y.ausdrücklich ausgedrückt (allgemeine Lösung). In den Beispielen 3 und 4 - implizit (gemeinsames Integral). In Zukunft wird die Entscheidungsform nicht angegeben.

Beispiel 5Finden Sie eine Lösung für die Gleichung Entscheidung.

Beispiel 6.Finden Sie eine Lösung für die Gleichung befriedigend

bedingung ihr)= 1.

Entscheidung.Wir schreiben eine Gleichung in das Formular

Multiplikation beider Teilen der Gleichung an dx.und weiter bekommen wir

Integration beider Teilen der Gleichung (das Integral in der rechten Seite wird in Teilen aufgenommen), erhalten wir

Aber nach Zustand. y.\u003d 1. x.= e.. Dann

Ersetzen Sie die gefundenen Werte VONin der allgemeinen Lösung:

Der resultierende Ausdruck wird als private Lösung der Differentialgleichung bezeichnet.

6.2.2. Einheitliche Differentialgleichungen der ersten Ordnung

Definition.Die Differentialgleichung der ersten Ordnung wird aufgerufen homogenwenn es als dargestellt werden kann

Lassen Sie uns einen Algorithmus geben, um eine homogene Gleichung zu lösen.

1. einfach y.wir führen neue Funktionen ein und deshalb,

2. In den Bedingungen der Funktion u.gleichung (6.7) dauert

d. H. Ersatz verringert eine homogene Gleichung der Gleichung mit Trennvariablen.

3. Gleichung (6.8), wir finden uns zuerst und dann y.\u003d UX.

Beispiel 1.Gleichung lösen Entscheidung.Wir schreiben eine Gleichung in das Formular

Wir produzieren eine Ersetzung:
Dann

Ersetzen

Multiplizieren Sie auf DX: Wir teilen sich vorbei x.und ein dann

Integrieren Sie beide Teile der Gleichung gemäß den entsprechenden Variablen, haben wir

oder, um in die alten Variablen zurückzukehren, kommen endlich

Beispiel 2.Gleichung lösen Entscheidung.Lassen dann

Wir teilen beide Teile der Gleichung auf x 2: Wir werden die Klammern offenbaren und die Bedingungen umgruppieren:

In den alten Variablen wenden wir uns zum Endergebnis:

Beispiel 3.Finden Sie eine Lösung für die Gleichung gegeben das

Entscheidung.Standardwechsel ersetzen erhalten

oder

oder

Es bedeutet, dass eine bestimmte Lösung das Formular hat Beispiel 4. Finden Sie eine Lösung für die Gleichung

Entscheidung.

Beispiel 5Finden Sie eine Lösung für die Gleichung Entscheidung.

Selbstständige Arbeit

Finden Sie die Lösung von Differentialgleichungen mit Trennvariablen (1-9).

Finden Sie eine Lösung für homogene Differentialgleichungen (9-18).

6.2.3. Einige Anwendungen von Differentialgleichungen erster Ordnung

Aufgabe über radioaktiven Zerfall

Die Zerfallrate (Radium) zu jedem Zeitpunkt ist proportional zu seiner Bargeldmasse. Finden Sie das Gesetz des radioaktiven Zerfalls des RA, wenn es bekannt ist, dass im ersten Moment auch eine Halbwertszeit von RA in Höhe von 1590 Jahren ist.

Entscheidung.Lass den Ra im Moment sein x.= x (t)g und Dann ist die Zerfallrate gleich

Unter dem Zustand der Aufgabe

wo k.

In den letzten Gleichungsvariablen getrennt und integriert, erhalten wir

von

Zum bestimmen. C.wir verwenden den Anfangszustand: wann .

Dann und es bedeutet

Proportionalitätskoeffizient. k.bestimmen Sie von der zusätzlichen Bedingung:

Haben

Von hier und die gewünschte Formel

Problem für die Wiedergabe von Bakterien

Die Reproduktionsrate von Bakterien ist proportional zu ihrer Anzahl. Im ersten Moment gab es 100 Bakterien. Für 3 Stunden verdoppelte sich ihre Nummer. Finden Sie die Abhängigkeit der Anzahl der Bakterien aus der Zeit. Wie oft steigt die Anzahl der Bakterien für 9 Stunden an?

Entscheidung.Lassen x.- Die Anzahl der Bakterien zu der Zeit t.Dann nach Zustand,

wo k.- Proportionalitätskoeffizient.

Von hier Aus der Bedingung ist es bekannt, dass . Es bedeutet

Aus dem zusätzlichen Zustand . Dann

Funktion:

So für t.= 9 x.\u003d 800, d. H. 9 Stunden lang, erhöhte sich die Anzahl der Bakterien 8 Mal.

Die Aufgabe, die Menge an Enzym zu erhöhen

In der Kultur der Bierhefe ist die Geschwindigkeit des vorhandenen Enzyms proportional zu seiner ursprünglichen Zahl x.Anfangsbetrag des Enzyms eIN.für eine Stunde verdoppelt. Sucht finden.

x (t).

Entscheidung.Durch den Zustand ist die differentielle Gleichung des Prozesses

von hier

Aber . Es bedeutet C.= eIN.und dann

Es ist auch bekannt, dass

Daher,

6.3. Differentialgleichungen der zweiten Reihenfolge

6.3.1. Grundlegendes Konzept

Definition.Differentielle Gleichung der zweitbestellenden Bestellungein Verhältnis, das eine unabhängige Variable bindet, die gewünschte Funktion und seine erste und zweite Derivate wird aufgerufen.

In besonderen Fällen kann es kein X geben, w.oder y ". Die zweite Reihenfolgede muss jedoch notwendigerweise U" enthalten ". Im allgemeinen Fall ist die differentielle Gleichung der zweiten Ordnung in das Formular geschrieben:

oder wenn möglich in der Form, relativ zum zweiten Derivat, aufgelöst:

Wie bei der Erstauftragsgleichung kann die Gleichung der zweiten Ordnung in gemeinsamen und privaten Lösungen bestehen. Die allgemeine Lösung hat das Formular:

Eine private Lösung finden

unter ersten Bedingungen - gefragt

zahlen) aufgerufen cauchy Task.Geometrisch bedeutet dies, dass es erforderlich ist, eine integrierte Kurve zu finden. w.= y (x),durch einen bestimmten Punkt gehen und an diesem Punkt berühren

genießen Sie die positive Achsenrichtung OCHSE.einstellen. e. (Abb. 6.1). Das Cauchy-Problem hat eine einzige Entscheidung, wenn die rechte Seite der Gleichung (6.10), aufständisch

rovena und hat ununterbrochene Privatderivate y, u "in einigen Nachbarschaft des Ausgangspunkts

Konstant zu finden In einer bestimmten Lösung müssen Sie das System auflösen

Feige. 6.1.Integrierte Kurve.

Gründung von Bildung "Belarussischer Staat

agrarakademie "

Abteilung für höhere Mathematik

Differentialgleichungen der ersten Bestellung

Abstrakter Vortrag für Studenten der Bilanzierungsfakultät

korrespondenzform der Bildung (NEPO)

Gorki, 2013.

Differentialgleichungen der ersten Bestellung

Das Konzept einer differentiellen Gleichung. Allgemeine und private Lösungen

Bei der Untersuchung verschiedener Phänomene ist es oft nicht möglich, ein Gesetz zu finden, das eine unabhängige Variable und die gewünschte Funktion direkt verbindet, aber Sie können eine Verbindung zwischen der gewünschten Funktion und ihren Derivaten herstellen.

Das Verhältnis, das eine unabhängige Variable bindet, die gewünschte Funktion und ihre Derivate wird aufgerufen differentialgleichung :

Hier x. - unabhängige Variable, y. - Die gewünschte Funktion
- Derivate der gewünschten Funktion. In diesem Fall ist es in Bezug auf (1) mindestens ein Derivat erforderlich.

Reihenfolge der Differentialgleichung Die Reihenfolge des in der Gleichung enthaltenen älteren Derivats wird aufgerufen.

Betrachten Sie die Differentialgleichung

. (2)

Diese Gleichung enthält also nur eine abgeleitete Erstbestellung von nur, dann ist es es gibt eine differentielle Gleichung der ersten Bestellung.

Wenn die Gleichung (2) relativ zum Derivat gelöst werden kann und in Form von schreibt

, (3)

dass eine solche Gleichung in normaler Form als Erstbestelldifferenzgleichung bezeichnet wird.

In vielen Fällen ist es ratsam, die Gleichung des Formulars zu berücksichtigen

welches heisst die differentielle Gleichung der ersten Reihenfolge, die in differentialer Form aufgezeichnet wurde.

Als
, dann kann Gleichung (3) als geschrieben werden
oder
wo kann berücksichtigt werden
und
. Dies bedeutet, dass die Gleichung (3) in Gleichung (4) umgewandelt wird.

Schreiben Sie Gleichung (4) als
. Dann
,
,
wo kann berücksichtigt werden
. Die Gleichung des Formulars (3) wurde erhalten. Somit sind Gleichungen (3) und (4) gleichwertig.

Indem Sie die Differentialgleichung lösen (2) oder (3) als Funktion genannt
Welcher, wenn er in Gleichung (2) oder (3) ersetzt, ertönt es in Identität:

oder
.

Der Prozess des Findens aller Lösungen der Differentialgleichung wird es genannt integration und Zeitplan
die differentielle Gleichung wird aufgerufen integrierte Kurve. Diese Gleichung.

Wenn die Lösung der Differentialgleichung in einer impliziten Form erhalten wird
Dann wird es genannt integral Diese differentielle Gleichung.

Allgemeine Entscheidung Die Differentialgleichung der ersten Reihenfolge wird als Funktionen des Formulars bezeichnet
Je nach willkürlicher Konstante VONJeder davon ist eine Lösung für diese Differentialgleichung in einem zulässigen Wert einer beliebigen Konstante VON. Somit hat die Differentialgleichung unzählige Lösungen.

Private Entscheidung Die Differentialgleichung ist eine Lösung, die aus einer allgemeinen Lösungformel mit einem bestimmten Wert einer beliebigen Konstante erhalten wird VON, einschließlich
.

Cauchys Aufgabe und seine geometrische Interpretation

Gleichung (2) hat unzählige Lösungen. Um eine Lösung von diesem Set zu trennen, das privat bezeichnet wird, müssen Sie einige zusätzliche Bedingungen stellen.

Die Aufgabe, eine private Lösung der Gleichung (2) unter bestimmten Bedingungen zu finden, wird aufgerufen cauchy Task. . Diese Aufgabe ist eine der wichtigsten Differentialgleichungen in der Theorie.

Die Cauchy-Aufgabe wird wie folgt formuliert: unter allen Lösungen der Gleichung (2) finden Sie eine solche Entscheidung
in welcher Funktion
nimmt einen bestimmten numerischen Wert Wenn eine unabhängige Variable x. Nimmt einen bestimmten numerischen Wert .

,
, (5)

wo D. - Funktionsdefinitionsbereich
.

Wert namens erste Funktion der Funktion , aber – anfangswert einer unabhängigen Variablen . Zustand (5) wird aufgerufen ausgangsbedingung oder cauchy-Zustand .

Aus geometrischer Sicht kann das Cauchy-Problem für eine Differentialgleichung (2) wie folgt formuliert werden: von den vielen integrierten Kurven der Gleichung (2) wählen Sie denjenigen, der den angegebenen Punkt durchläuft
.

Differentialgleichungen mit Trennvariablen

Eine der einfachsten Arten von Differentialgleichungen ist die differentielle Gleichung der ersten Ordnung, die nicht die gewünschte Funktion enthält:

. (6)

Bedenkt, dass
Schreibe eine Gleichung in das Formular
oder
. Integrieren Sie beide Teile der letzten Gleichung, erhalten wir:
oder

. (7)

Somit ist (7) eine allgemeine Lösung der Gleichung (6).

Beispiel 1. . Finden Sie eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung
.

Entscheidung . Wir schreiben eine Gleichung in das Formular
oder
. Wir integrieren beide Teile der erhaltenen Gleichung:
,
. Schließlich schreiben.
.

Beispiel 2. . Finden Sie eine Lösung für die Gleichung
gegeben das
.

Entscheidung . Finden Sie eine allgemeine Lösung der Gleichung:
,
,
,
. Durch den Zustand
,
. Ersetzen Sie eine allgemeine Lösung:
oder
. Der gefundene Wert eines beliebigen ständigen Ersatzes in der allgemeinen Lösung Formel:
. Dies ist eine bestimmte Lösung einer differentiellen Gleichung, die den angegebenen Zustand erfüllt.

Die gleichung

(8)

Namens die Differentialgleichung der ersten Reihenfolge, die keine unabhängige Variable enthält . Wir schreiben es in das Formular
oder
. Wir integrieren beide Teile der letzten Gleichung:
oder
- allgemeine Lösung der Gleichung (8).

Beispiel . Finden Sie eine allgemeine Lösung Gleichung
.

Entscheidung . Wir schreiben diese Gleichung in das Formular:
oder
. Dann
,
,
,
. Auf diese Weise,
- allgemeine Lösung dieser Gleichung.

Gleichung anzeigen.

(9)

integriert mit Variablen. Schreiben Sie dazu die Gleichung in das Formular
und dann mit der Verwendung von Multiplikations- und Divisionsvorgängen dieses Formular so, dass nur die Funktion von h. und differential. dx.und im zweiten Teil - die Funktion von w. und differential. dy.. Dazu müssen beide Teile der Gleichung multipliziert werden dx. Und geteilt durch
. Infolgedessen erhalten wir die Gleichung

, (10)

in welchen Variablen h. und w. geteilt. Wir integrieren beide Teile der Gleichung (10):
. Das resultierende Verhältnis ist ein gemeinsames Integral der Gleichung (9).

Beispiel 3. . Gleichung integrieren.
.

Entscheidung . Wir transformieren die Gleichung und teilen die Variablen:
,
. Integrieren:
,
oder - das allgemeine Integral dieser Gleichung.
.

Lassen Sie die Gleichung in Form von angegeben

Diese Gleichung wird aufgerufen die Differentialgleichung der ersten Reihenfolge mit Trennen von Variablen in symmetrischer Form.

Um Variablen aufzuteilen, sind beide Teil der Gleichung in eingeteilt
:

. (12)

Die resultierende Gleichung wird aufgerufen differentialgleichung mit getrennten Variablen . Gleichung integrieren (12):

.(13)

Das Verhältnis (13) ist ein gemeinsames Integral der Differentialgleichung (11).

Beispiel 4. . Integrieren Sie die Differentialgleichung.

Entscheidung . Wir schreiben eine Gleichung in das Formular

und wir teilen beide Teile davon auf
,
. Die resultierende Gleichung:
es ist eine Gleichung mit getrennten Variablen. Integriert es:

,
,

,
. Die letztere Gleichheit ist ein gemeinsames Integral dieser Differentialgleichung.

Beispiel 5 . Finden Sie eine private Lösung der Differentialgleichung
Befestigungszustand
.

Entscheidung . Bedenkt, dass
Schreibe eine Gleichung in das Formular
oder
. Wir teilen die Variablen auf:
. Integrieren Sie diese Gleichung:
,
,
. Das erhaltene Verhältnis ist ein gemeinsames Integral dieser Gleichung. Durch den Zustand
. Ersatz in einem gemeinsamen Integral und finden Sie VON:
,VON\u003d 1. Dann Ausdruck
es ist eine private Lösung dieser differentiellen Gleichung, die in Form eines privaten Integrals aufgenommen wurde.

Lineare differentielle Gleichungen der ersten Bestellung

Die gleichung

(14)

namens lineare differentielle Gleichung der ersten Bestellung . Unbekannte Funktion
und sein Derivat ist in dieser Gleichung linear und Funktionen
und
kontinuierlich.

Wenn ein
, dann Gleichung.

(15)

namens linear homogen . Wenn ein
, dann wird die Gleichung (14) aufgerufen linear inhomogen. .

Um eine Lösung der Gleichung (14) zu finden, verwenden Sie normalerweise substitutionsmethode (Bernoulli) deren Wesen als nächstes ist.

Die Lösung der Gleichung (14) wird als Produkt von zwei Funktionen unterzeichnet.

, (16)

wo
und
- einige fortlaufende Funktionen. Ersatz
und derivativ.
in Gleichung (14):

Funktion v. Wir werden so entscheiden, dass der Zustand durchgeführt wurde
. Dann
. Um eine Lösung der Gleichung (14) zu finden, sollte somit ein System von Differentialgleichungen gelöst werden.

Die erste Gleichung des Systems ist eine lineare homogene Gleichung und löst sie durch Trennung von Variablen:
,
,
,
,
. Als eine Funktion
sie können eine der speziellen Lösungen einer homogenen Gleichung nehmen, d. H. zum VON=1:
. Ersetzen Sie der zweiten Gleichung des Systems:
oder
.Dann
. Somit hat die Gesamtlösung der linearen Differentialgleichung der ersten Ordnung das Formular
.

Beispiel 6. . Gleichung lösen
.

Entscheidung . Die Lösung der Gleichung wird als gesucht
. Dann
. Ersetzen Sie der Gleichung:

oder
. Funktion v. Wählen Sie die Gleichheit so aus
. Dann
. Wir entscheiden die erste dieser Gleichungen durch die Methode der Trennung von Variablen:
,
,
,
,. Funktion v. Ersetzen Sie der zweiten Gleichung:
,
,
,
. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist
.

Fragen zum selbststeuerenden Wissen

Was heißt differentielle Gleichung?

Was heißt die Reihenfolge der Differentialgleichung?

Welche differentielle Gleichung wird als Differentialgleichung erster Ordnung bezeichnet?

Wie wird die Differentialgleichung der ersten Ordnung in differentialer Form verzeichnet?

Was heißt die Lösung der Differentialgleichung?

Was heißt eine integrierte Kurve?

Was heißt als allgemeine Lösung einer differentiellen Gleichung der ersten Ordnung?

Was heißt als private Lösung der Differentialgleichung?

Wie ist das Cauchy-Problem für ein differentielles Gleichung von erster Ordnung?

Was ist die geometrische Interpretation des Cauchy-Problems?

Wie ist die Differentialgleichung mit Trenngrößen in symmetrischer Form?

Welche Gleichung wird als lineare Differentialgleichung der ersten Bestellung bezeichnet?

Welche Methode kann die lineare Differentialgleichung der ersten Ordnung lösen und was ist das Wesentliche dieser Methode?

Aufgaben für unabhängige Arbeit

Lösen Sie differentielle Gleichungen mit Trennen von Variablen:

aber)
; b)
;

im)
; d)
.

2. Lösen Sie lineare Differentialgleichungen der ersten Bestellung:

aber)
; b)
; im)
;

d)
; e)
.

Differentialgleichung (DB) - das ist die Gleichung,
Wo - unabhängige Variablen, y - Funktion und - private Derivate.

Gewöhnliche Differentialgleichung - Dies ist eine differentielle Gleichung, die nur eine unabhängige Variable hat ,.

Differentialgleichung in privaten Derivaten - Dies ist eine differentielle Gleichung, die zwei oder mehr unabhängige Variablen aufweist.

Die Wörter "gewöhnlich" und "in privaten Derivaten" können absteigen, wenn klar ist, welche Gleichung berücksichtigt wird. In der Zukunft werden gewöhnliche Differentialgleichungen berücksichtigt.

Die Reihenfolge der Differentialgleichung - Dies ist die Reihenfolge des älteren Derivats.

Hier ist ein Beispiel für die Erste Order-Gleichung:

Hier ist ein Beispiel für die vierte Reihenfolgegleichung:

Manchmal wird die differentielle Gleichung der ersten Ordnung durch Differentials aufgezeichnet:

In diesem Fall sind die Variablen X und Y gleich. Das heißt, eine unabhängige Variable kann sowohl x und y sein. Im ersten Fall ist Y eine Funktion von x. Im zweiten Fall ist X eine Funktion von Y. Bei Bedarf können wir diese Gleichung in die Form führen, in der das Derivative Y 'eindeutig enthalten ist.
Wir teilen diese Gleichung auf DX, wir erhalten:
.
Denn und dann folgt damit das
.

Entscheidung von Differentialgleichungen

Derivate aus Elementarfunktionen werden durch Elementarfunktionen ausgedrückt. Integrale von Elementarfunktionen werden oft nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt. Mit differentiellen Gleichungen ist die Situation noch schlimmer. Infolgedessen kann die Lösung erhalten werden:

• explizite Abhängigkeit der Funktion von der Variablen;

  Entscheidung der Differentialgleichung - Dies ist die Funktion y \u003d u (x)das ist definiert, n-mal differenzierbar und.

• implizite Abhängigkeit in Form der Gleichung des Typs φ (x, y) \u003d 0 oder Gleichungensystem;

  Integrale Differentialgleichung. - Dies ist die Lösung einer differentiellen Gleichung, die einen impliziten Blick aufgibt.

• abhängigkeit, ausgedrückt durch elementare Funktionen und Integrale von ihnen;

  Entscheidung der Differentialgleichung in Quadragen - Dies ist das Finden einer Lösung in Form einer Kombination von Elementarfunktionen und Integralen von ihnen.

• die Lösung darf nicht durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden.

Da die Lösung von Differentialgleichungen auf die Berechnung der Integrale verringert wird, umfasst die Lösung einen Satz von Konstanten C 1, C 2, C 3, ... C n. Die Anzahl der dauerhaften gleich der Reihenfolge der Gleichung. Private integrale Differentialgleichung - Dies ist ein gemeinsames Integral bei den gegebenen Werten der Konstante C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Verweise:
V.v. Stepanov, Verlauf der Differentialgleichungen, "LCA", 2015.
N.m Gunter, R.O. Kuzmin, Sammlung von Aufgaben auf höherer Mathematik, "LAN", 2003.