Nutzung der Erweiterung elementarer Grundfunktionen. Taylorreihenentwicklung

In der Theorie der Funktionsreihen nimmt der Abschnitt über die Entwicklung einer Funktion in einer Reihe den zentralen Platz ein.

Damit stellt sich das Problem: für eine gegebene Funktion es ist erforderlich, eine solche Potenzreihe zu finden

die auf einem Intervall konvergierte und deren Summe gleich war
, jene.

= ..

Diese Aufgabe heißt das Problem der Erweiterung einer Funktion in einer Potenzreihe.

Eine notwendige Bedingung für die Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe ist seine Differenzierbarkeit unendlich oft - dies folgt aus den Eigenschaften konvergierender Potenzreihen. Diese Bedingung ist in der Regel für elementare Funktionen in ihrem Definitionsbereich erfüllt.

Angenommen, die Funktion
hat Ableitungen beliebiger Ordnung. Ist es möglich, es in einer Potenzreihe zu erweitern, wenn möglich, wie findet man dann diese Reihe? Der zweite Teil des Problems ist einfacher zu lösen, und wir fangen damit an.

Nehmen wir an, die Funktion
kann als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden, die in dem Intervall konvergiert, das den Punkt enthält NS 0 :

= .. (*)

wo ein 0 ,ein 1 ,ein 2 ,...,ein NS ,... - (noch) undefinierte Koeffizienten.

Wir setzen in Gleichheit (*) den Wert x = x 0 , dann bekommen wir

Lassen Sie uns die Potenzreihe (*) Term für Term differenzieren

= ..

und nehme hier an x = x 0 , werden

Mit der nächsten Differenzierung erhalten wir die Reihe

= ..

vorausgesetzt x = x 0 , werden
, wo
.

Nach NS-fache Differenzierung, wir erhalten

Einstellung in der letzten Gleichheit x = x 0 , werden
, wo

Damit sind die Koeffizienten gefunden

,
,
, …,
,….,

setzen wir sie in die Reihe (*) ein, erhalten wir

Die resultierende Reihe heißt neben taylor für Funktion
.

Damit haben wir festgestellt, dass wenn die Funktion in einer Potenzreihe in Potenzen (x - x 0 ), dann ist diese Entwicklung eindeutig und die resultierende Reihe ist notwendigerweise eine Taylorreihe.

Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe für jede Funktion mit Ableitungen beliebiger Ordnung im Punkt . erhalten werden kann x = x 0 . Dies bedeutet jedoch nicht, dass zwischen der Funktion und der resultierenden Reihe ein Gleichheitszeichen gesetzt werden kann, d.h. dass die Summe der Reihe gleich der ursprünglichen Funktion ist. Erstens kann eine solche Gleichheit nur im Konvergenzbereich sinnvoll sein, und die für die Funktion erhaltene Taylor-Reihe kann divergieren, und zweitens, wenn die Taylor-Reihe konvergiert, kann ihre Summe nicht mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmen.

3.2. Genügende Bedingungen für die Entwicklung einer Funktion in einer Taylor-Reihe

Wir formulieren eine Aussage, mit deren Hilfe die gestellte Aufgabe gelöst wird.

Wenn die Funktion
in einer Umgebung des Punktes x 0 hat Derivate bis zu (n+ 1) der Bestellung inklusive, dann in dieser NachbarschaftFormel Taylor

woR n (NS)ist der Rest der Taylor-Formel - hat die Form (Lagrange-Form)

wo Punktξ liegt zwischen x und x 0 .

Beachten Sie, dass es einen Unterschied zwischen der Taylor-Reihe und der Taylor-Formel gibt: Die Taylor-Formel ist eine endliche Summe, d. NS - Feste Nummer.

Denken Sie daran, dass die Summe der Reihe S(x) kann als Grenzwert der Funktionsfolge von Teilsummen definiert werden S NS (x) in gewissen Abständen NS:

Dementsprechend bedeutet das Erweitern einer Funktion in einer Taylor-Reihe, eine Reihe zu finden, so dass für alle NSx

Wir schreiben die Taylorsche Formel in der Form, wobei

beachte das
definiert den Fehler, den wir erhalten, ersetzen Sie die Funktion F(x) Polynom S n (x).

Wenn
, dann
,jene. die Funktion entwickelt sich zu einer Taylor-Reihe. Umgekehrt, wenn
, dann
.

Damit haben wir bewiesen ein Kriterium für die Erweiterung einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

Damit in einem bestimmten Intervall die FunktionF(x) zu einer Taylor-Reihe entwickelt, ist es notwendig und ausreichend, dass auf diesem Intervall
, woR n (x) ist der Rest der Taylor-Reihe.

Mit dem formulierten Kriterium erhält man ausreichendBedingungen für die zu entwickelnde Funktion in einer Taylor-Reihe.

Wenn ineine Umgebung des Punktes x 0 die Absolutwerte aller Ableitungen der Funktion sind durch die gleiche Zahl M . begrenzt≥ 0, d.h.

, To in dieser Umgebung entwickelt sich die Funktion in einer Taylor-Reihe.

Aus obigem folgt AlgorithmusFunktionszerlegung F(x) in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes NS 0 :

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktion F(x):

f (x), f ’(x), f“ (x), f ’“ (x), f (n) (x), ...

2. Wir berechnen den Wert der Funktion und die Werte ihrer Ableitungen an der Stelle NS 0

f (x 0 ), f ’(x 0 ), f ”(x 0 ), f ’“ (x 0 ), F (n) (x 0 ),…

3. Schreiben Sie die Taylor-Reihe formal auf und bestimmen Sie den Konvergenzbereich der resultierenden Potenzreihe.

4. Wir prüfen die Erfüllung hinreichender Bedingungen, d.h. wir stellen für wen NS aus dem Konvergenzbereich, der Rest R n (x) tendiert gegen Null bei
oder
.

Die Entwicklung von Funktionen in einer Taylorreihe nach diesem Algorithmus heißt Entwicklung der Funktion in einer Taylor-Reihe per Definition oder direkte Zersetzung.

Studenten der höheren Mathematik sollten wissen, dass die Summe einer bestimmten Potenzreihe, die zum Konvergenzintervall der uns gegebenen Reihe gehört, eine stetige und unendlich oft differenzierte Funktion ist. Es stellt sich die Frage: Kann man behaupten, dass eine gegebene beliebige Funktion f (x) die Summe einer bestimmten Potenzreihe ist? Das heißt, unter welchen Bedingungen kann f-ija f (x) durch eine Potenzreihe dargestellt werden? Die Bedeutung einer solchen Frage liegt darin, dass es möglich ist, f-yu f (x) näherungsweise durch die Summe der ersten Terme der Potenzreihe, also durch ein Polynom, zu ersetzen. Dieses Ersetzen einer Funktion durch einen ziemlich einfachen Ausdruck - ein Polynom - ist auch bei der Lösung einiger Probleme praktisch, nämlich: beim Lösen von Integralen, beim Rechnen usw.

Es ist bewiesen, dass für einige fu und f (x), in denen es möglich ist, Ableitungen bis zur (n + 1)-ten Ordnung, einschließlich der letzteren, in einer Umgebung (α - R; x 0 + R) von zu berechnen Irgendwann x = α ist es gültige Formel:

Diese Formel ist nach dem berühmten Wissenschaftler Brook Taylor benannt. Die Reihe, die aus der vorherigen erhalten wird, wird als Maclaurin-Reihe bezeichnet:

Die Regel, die es ermöglicht, die Erweiterung in der Maclaurin-Reihe durchzuführen:

Bestimmen Sie die Ableitungen der ersten, zweiten, dritten ... Ordnung.
Berechnen Sie, was die Ableitungen bei x = 0 gleich sind.
Schreiben Sie die Maclaurin-Reihe für diese Funktion auf und bestimmen Sie dann das Intervall ihrer Konvergenz.
Bestimmen Sie das Intervall (-R; R), in dem der Restteil der Maclaurin-Formel

R n (x) -> 0 als n -> unendlich. Wenn eine solche existiert, muss darin die Funktion f (x) mit der Summe der Maclaurin-Reihen übereinstimmen.

Betrachten wir nun die Maclaurin-Reihe für einzelne Funktionen.

1. Das erste wird also f (x) = e x sein. Natürlich hat eine solche Funktion aufgrund ihrer Eigenschaften Ableitungen verschiedener Ordnungen, und f (k) (x) = e x, wobei k gleich allen ist. Setze x = 0 ein. Wir erhalten f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2 ... Basierend auf dem oben Gesagten sieht die Zeile e x so aus:

2. Maclaurin-Reihe für die Funktion f (x) = sin x. Lassen Sie uns sofort klarstellen, dass die f-s für alle Unbekannten Ableitungen haben werden, außer f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), wobei k gleich einer beliebigen natürlichen Zahl ist. Das heißt, nach einfachen Berechnungen können wir zu dem Schluss kommen dass die Reihe für f (x) = sin x diese Form hat:

3. Versuchen wir nun, f-yu f (x) = cos x zu betrachten. Für alle Unbekannten hat sie Ableitungen beliebiger Ordnung, und |f (k) (x) | = |cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Wir haben also die wichtigsten Funktionen aufgelistet, die zu einer Maclaurin-Reihe erweitert werden können, aber sie werden für einige Funktionen durch Taylor-Reihen ergänzt. Jetzt werden wir sie auch auflisten. Es ist auch erwähnenswert, dass die Taylor- und Maclaurin-Reihen ein wichtiger Bestandteil des Workshops zum Lösen von Reihen in der höheren Mathematik sind. Also, die Taylor-Ränge.

1. Die erste wird die Reihe für f-ii f (x) = ln (1 + x) sein. Wie in den vorherigen Beispielen können wir für ein gegebenes f (x) = ln (1 + x) eine Reihe in der allgemeinen Form der Maclaurin-Reihe hinzufügen. die Maclaurin-Reihe kann jedoch für diese Funktion viel einfacher erhalten werden. Nachdem wir eine bestimmte geometrische Reihe integriert haben, erhalten wir eine Reihe für f (x) = ln (1 + x) einer solchen Stichprobe:

2. Und die zweite, die in unserem Artikel abschließend sein wird, ist die Reihe für f (x) = arctan x. Für x, die zum Intervall [-1; 1] gehören, gilt die Zerlegung:

Das ist alles. Dieser Artikel untersuchte die am häufigsten verwendeten Taylor- und Maclaurin-Reihen in der höheren Mathematik, insbesondere in den Wirtschaftswissenschaften und an technischen Universitäten.

16.1. Erweiterung elementarer Funktionen in Taylorreihen und

Maclaurin

Zeigen wir, dass wenn eine beliebige Funktion auf der Menge definiert ist
, in der Nähe des Punktes
hat viele Ableitungen und ist die Summe einer Potenzreihe:

dann können die Koeffizienten dieser Reihe gefunden werden.

Ersatz in der Potenzreihe
... Dann
.

Finden Sie die erste Ableitung der Funktion
:

Bei
:
.

Für die zweite Ableitung erhalten wir:

Bei
:
.

Fortsetzung dieses Verfahrens n sobald wir bekommen:
.

Damit erhalten wir eine Potenzreihe der Form:

welches heisst neben taylor für Funktion
in der Nähe des Punktes
.

Ein Spezialfall der Taylor-Reihe ist Maclaurin-Reihe bei
:

Der Rest der Taylor (Maclaurin)-Reihe erhält man durch Verwerfen der Hauptreihen n erste Mitglieder und bezeichnet als
... Dann die Funktion
kann als Summe geschrieben werden n frühe Mitglieder einer Reihe
und der Rest
:,

Der Rest ist normalerweise
in verschiedenen Formeln ausgedrückt.

Einer von ihnen ist in Form von Lagrange:

, wo
.
.

Beachten Sie, dass in der Praxis die Maclaurin-Reihe häufiger verwendet wird. Um also die Funktion zu schreiben
in Form einer Summe einer Potenzreihe ist es notwendig:

1) finde die Koeffizienten der Maclaurin (Taylor)-Reihe;

2) finde den Konvergenzbereich der erhaltenen Potenzreihe;

3) Beweisen Sie, dass die gegebene Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Satz1 (eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Maclaurin-Reihe). Sei der Konvergenzradius der Reihe
... Damit diese Reihe im Intervall konvergiert
Funktionieren
, ist es notwendig und ausreichend, dass die Bedingung erfüllt ist:
im angegebenen Intervall.

Satz 2. Wenn die Ableitungen beliebiger Ordnung der Funktion
in einigen Abständen
im absoluten Wert durch die gleiche Zahl begrenzt m, also
, dann ist in diesem Intervall die Funktion
kann zu einer Maclaurin-Reihe erweitert werden.

Beispiel1 . Erweitere in einer Taylor-Reihe um den Punkt
Funktion.

Lösung.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergenzregion
.

Beispiel2 . Funktion erweitern in Taylors Reihe um den Punkt
.

Lösung:

Finden Sie den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
.

,
;

...........……………………………

,
.

Wir ersetzen diese Werte hintereinander. Wir bekommen:

oder
.

Finden wir den Konvergenzbereich dieser Reihe. Nach dem d'Alembert-Merkmal konvergiert die Reihe, wenn

Daher für alle dieser Grenzwert ist kleiner als 1, und daher ist der Konvergenzbereich der Reihe:
.

Betrachten wir einige Beispiele für die Erweiterung der Maclaurin-Reihe von elementaren Grundfunktionen. Denken Sie daran, dass die Maclaurin-Reihe:

konvergiert auf dem Intervall
Funktionieren
.

Beachten Sie, dass zum Erweitern der Funktion in einer Reihe Folgendes erforderlich ist:

a) finde die Koeffizienten der Maclaurin-Reihe für diese Funktion;

b) Berechnen des Konvergenzradius für die resultierende Reihe;

c) Beweisen Sie, dass die resultierende Reihe gegen die Funktion konvergiert
.

Beispiel 3. Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

Berechnen wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen für
.

Dann sind die numerischen Koeffizienten der Reihe:

für jeden n. Setze die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalte:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der resultierenden Reihe, nämlich:

Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion für beliebige Werte weil jede Lücke
Funktion und seine Ableitungen im absoluten Wert sind durch die Zahl begrenzt .

Beispiel4 . Betrachten Sie die Funktion
.

Lösung.

Es ist leicht zu sehen, dass die Ableitungen gerader Ordnung
, und die Ableitungen sind von ungerader Ordnung. Wir setzen die gefundenen Koeffizienten in die Maclaurin-Reihe ein und erhalten die Entwicklung:

Finden wir das Konvergenzintervall dieser Reihe. Auf der Grundlage von d'Alembert:

für jeden ... Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
.

Diese Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf eins beschränkt sind.

Beispiel5 .
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Somit sind die Koeffizienten dieser Reihe:
und
, somit:

Ähnlich wie bei der vorherigen Reihe ist der Konvergenzbereich
... Die Reihe konvergiert gegen die Funktion
, weil alle seine Ableitungen auf eins beschränkt sind.

Beachten Sie, dass die Funktion
ungerade und Reihenentwicklung in ungeraden Graden, die Funktion
- gerade und Reihenausdehnung in geraden Potenzen.

Beispiel6 . Binomialreihe:
.

Lösung.

Finden wir den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen bei
:

Daraus ist klar:

Ersetzen Sie diese Werte der Koeffizienten in der Maclaurin-Reihe und erhalten Sie die Entwicklung dieser Funktion in eine Potenzreihe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe:

Folglich konvergiert die Reihe auf dem Intervall
... An den Grenzpunkten bei
und
die Reihe kann je nach Exponenten konvergieren oder nicht
.

Die untersuchte Reihe konvergiert auf dem Intervall
Funktionieren
, also die Summe der Ladung
bei
.

Beispiel7 . Erweitern wir in einer Maclaurin-Reihe die Funktion
.

Lösung.

Um diese Funktion in Reihen zu erweitern, verwenden wir die Binomialreihe für
... Wir bekommen:

Ausgehend von der Eigenschaft der Potenzreihe (die Potenzreihe kann im Bereich ihrer Konvergenz integriert werden) finden wir das Integral der linken und rechten Seite dieser Reihe:

Finden wir den Konvergenzbereich dieser Reihe:
,

das heißt, der Konvergenzbereich dieser Reihe ist das Intervall
... Definieren wir die Konvergenz der Reihe an den Enden des Intervalls. Bei

... Diese Reihe ist eine harmonische Reihe, dh sie divergiert. Bei
wir erhalten eine Zahlenreihe mit einem gemeinsamen Begriff
.

Die Leibniz-Reihe konvergiert. Der Konvergenzbereich dieser Reihe ist also das Intervall
.

16.2. Anwenden von Potenzreihen in ungefähren Berechnungen

Bei Näherungsrechnungen spielen Potenzreihen eine äußerst wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe wurden Tabellen trigonometrischer Funktionen, Logarithmentabellen, Wertetabellen anderer Funktionen erstellt, die in verschiedenen Wissensgebieten verwendet werden, beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Darüber hinaus ist die Erweiterung von Funktionen in einer Potenzreihe für deren theoretische Untersuchung nützlich. Das Hauptproblem bei der Verwendung von Potenzreihen in Näherungsberechnungen ist die Frage der Schätzung des Fehlers beim Ersetzen der Summe einer Reihe durch die Summe ihrer ersten n Mitglieder.

Betrachten Sie zwei Fälle:

die Funktion wird in alternierende Reihen erweitert;

die Funktion wird zu einer konstanten Reihe erweitert.

Berechnung mit alternierenden Reihen

Lassen Sie die Funktion
zu einer Wechselstromreihe erweitert. Wenn dann diese Funktion für einen bestimmten Wert berechnet wird erhalten wir eine Zahlenreihe, auf die der Leibniz-Test angewendet werden kann. Wenn gemäß diesem Merkmal die Summe der Reihe durch die Summe ihrer ersten ersetzt wird n Terme, dann überschreitet der absolute Fehler nicht den ersten Term des Rests dieser Reihe, d. h.:
.

Beispiel8 . Berechnung
auf 0,0001 genau.

Lösung.

Wir verwenden die Maclaurin-Reihe für
, den Wert des Winkels im Bogenmaß ersetzen:

Wenn wir den ersten und zweiten Term der Reihe mit einer bestimmten Genauigkeit vergleichen, dann gilt:.

Der dritte Expansionsbegriff:

kleiner als die angegebene Rechengenauigkeit. Daher zu berechnen
es reicht aus, zwei Mitglieder der Serie zu verlassen, das heißt

Auf diese Weise
.

Beispiel9 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,001.

Lösung.

Wir verwenden die Binomialreihenformel. Schreiben Sie dazu
als:
.

In diesem Ausdruck
,

Vergleichen wir jedes der Mitglieder der Reihe mit der angegebenen Genauigkeit. Es ist klar, dass
... Daher zu berechnen
es reicht aus, drei Mitglieder der Reihe zu verlassen.

oder
.

Berechnung mit Positivreihen

Beispiel10 . Berechnen Sie die Zahl genau auf 0,001.

Lösung.

In einer Reihe für die Funktion
Ersatz
... Wir bekommen:

Schätzen wir den Fehler ab, der entsteht, wenn die Summe der Reihe durch die Summe der ersten ersetzt wird Mitglieder. Schreiben wir die offensichtliche Ungleichung auf:

das ist 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Je nach Zustand des Problems müssen Sie finden n so dass folgende Ungleichung gilt:
oder
.

Es ist leicht zu überprüfen, dass für n= 6:
.

Somit,
.

Beispiel11 . Berechnung
mit einer Genauigkeit von 0,0001.

Lösung.

Beachten Sie, dass man zur Berechnung der Logarithmen eine Reihe für die Funktion anwenden könnte
, aber diese Reihe konvergiert sehr langsam, und um die angegebene Genauigkeit zu erreichen, müssten 9999 Terme verwendet werden! Um Logarithmen zu berechnen, ist daher in der Regel eine Reihe für die Funktion
die gegen das Intervall konvergiert
.

Lass uns rechnen
diese Zeile verwenden. Lassen
, dann .

Somit,
,

Um zu berechnen
mit einer gegebenen Genauigkeit nehmen wir die Summe der ersten vier Terme:
.

Rest der Reihe
verwerfen. Schätzen wir den Fehler ab. Es ist klar, dass

oder
.

In der Reihe, die für die Berechnung verwendet wurde, reichte es also aus, nur die ersten vier Terme anstelle von 9999 in der Reihe für die Funktion zu verwenden
.

Fragen zum Selbsttest

1. Was ist eine Taylor-Reihe?

2. Welche Art hatte die Maclaurin-Reihe?

3. Formulieren Sie einen Satz über die Entwicklung einer Funktion in einer Taylor-Reihe.

4. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihenentwicklung der Hauptfunktionen.

5. Geben Sie die Konvergenzbereiche der betrachteten Reihe an.

6. Wie kann man den Fehler bei Näherungsrechnungen mit Potenzreihen schätzen?

Wenn die Funktion f (x) Ableitungen aller Ordnungen auf einem Intervall hat, das den Punkt a enthält, dann kann die Taylor-Formel darauf angewendet werden:
,
wo r nein- der sogenannte Rest oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:
, wobei die Zahl x zwischen x und a liegt.

Regeln für die Funktionseingabe:

Wenn für einen gewissen Wert NS r nein→ 0 für n→ ∞, dann wird im Grenzfall die Taylor-Formel für diesen Wert konvergent Taylor-Reihe:
,
Damit lässt sich die Funktion f (x) im betrachteten Punkt x in einer Taylor-Reihe entwickeln, wenn:
1) es hat Derivate aller Ordnungen;
2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Für a = 0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:
,
Erweiterung der einfachsten (elementaren) Funktionen der Maclaurin-Reihe:
Hinweisfunktionen
, R =
Trigonometrische Funktionen
, R =
, R =
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Die Funktion actgx expandiert nicht in Potenzen von x, da ctg0 = ∞
Hyperbolische Funktionen

Logarithmische Funktionen
, -1
Binomialreihe
.

Beispiel 1. Erweitern einer Funktion in einer Potenzreihe f (x) = 2x.
Lösung... Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei NS=0
f(x) = 2x, F ( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, F "( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f"" (x) = 2x ln 2 2, F "" ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Einsetzen der erhaltenen Werte der Ableitungen in die Formel der Taylor-Reihe erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, also gilt diese Entwicklung für -∞<x<+∞.

Beispiel Nr. 2. Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen ( NS+4) für die Funktion f (x) = e x.
Lösung... Finden Sie die Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle NS=-4.
f(x)= e x, F (-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, F "(-4) = e -4 ;
f"" (x)= e x, F "" (-4) = e -4 ;
…
f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .
Daher hat die erforderliche Taylorreihe der Funktion die Form:

Diese Zerlegung gilt auch für -∞<x<+∞.

Beispiel Nr. 3. Funktion erweitern f(x)= ln x in einer Reihe von Potenzen ( NS- 1),
(d.h. in der Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes NS=1).
Lösung... Finden Sie die Ableitungen dieser Funktion.
f (x) = lnx,,,,

f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Durch Einsetzen dieser Werte in die Formel erhalten wir die erforderliche Taylor-Reihe:

Mit dem d'Alembert-Test kann man sicherstellen, dass die Reihe für ½x-1½ . konvergiert<1 . Действительно,

Die Reihe konvergiert, wenn ½ NS- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При NS= 2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Für x = 0 ist die Funktion undefiniert. Der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe ist also das halboffene Intervall (0; 2].

Beispiel Nr. 4. Erweitern Sie die Funktion in eine Potenzreihe.
Lösung... In der Erweiterung (1) ersetzen wir x durch -x 2 und erhalten:
, -∞

Beispiel Nr. 5. Erweitern Sie die Funktion der Maclaurin-Serie .
Lösung... Wir haben
Mit Formel (4) können wir schreiben:

Wenn wir in der Formel -x anstelle von x einsetzen, erhalten wir:

Von hier aus finden wir: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme reduzieren, erhalten wir
... Diese Reihe konvergiert im Intervall (-1; 1), da sie sich aus zwei Reihen ergibt, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .
Die Formeln (1) - (5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. für die Entwicklung von Funktionen in positiven ganzzahligen Potenzen ( Ha). Um dies zu tun, ist es notwendig, über eine gegebene Funktion solche identischen Transformationen durchzuführen, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in der anstelle von NS kostet k ( Ha) m, wobei k eine konstante Zahl ist, ist m eine positive ganze Zahl. Es ist oft praktisch, die Variable zu ändern T=Ha und entwickeln Sie die resultierende Funktion nach t in einer Maclaurin-Reihe.

Diese Methode basiert auf dem Eindeutigkeitssatz für die Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Die Essenz dieses Theorems besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die gegen dieselbe Funktion konvergieren, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel Nr. 5a. Erweitern Sie die Funktion in eine Maclaurin-Reihe, geben Sie den Konvergenzbereich an.
Lösung. Finden Sie zuerst 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x).
ins Elementar:

Der Bruch 3 / (1-3x) kann als Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge mit dem Nenner 3x betrachtet werden, wenn |3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

mit dem Konvergenzbereich |x |< 1/3.

Beispiel Nr. 6. Erweitern Sie die Funktion in eine Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes x = 3.
Lösung... Dieses Problem kann wie zuvor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktion und ihre Werte bei zu finden NS= 3. Es wird jedoch einfacher sein, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:
=
Die resultierende Reihe konvergiert bei oder –3

Beispiel Nr. 7. Schreiben Sie die Taylor-Reihe in Potenzen (x -1) der Funktion ln (x + 2).
Lösung.

Die Reihe konvergiert bei oder -2< x < 5.

Beispiel Nr. 8. Entwickeln Sie die Funktion f (x) = sin (πx / 4) in eine Taylor-Reihe in der Nähe des Punktes x = 2.
Lösung... Machen wir die Ersetzung t = x-2:

Mit der Entwicklung (3), bei der wir π / 4 t anstelle von x einsetzen, erhalten wir:

Die resultierende Reihe konvergiert gegen eine gegebene Funktion bei -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Auf diese Weise,
, (-∞

Ungefähre Berechnungen mit Potenzreihen

Potenzreihen werden häufig in Näherungsrechnungen verwendet. Mit ihrer Hilfe können Sie mit einer bestimmten Genauigkeit die Werte von Wurzeln, trigonometrischen Funktionen, Logarithmen von Zahlen und bestimmten Integralen berechnen. Die Reihen werden auch bei der Integration von Differentialgleichungen verwendet.
Betrachten Sie die Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe:

Um den Näherungswert der Funktion an einem bestimmten Punkt zu berechnen NS zum Konvergenzbereich der angegebenen Reihe gehörend, die erste n Mitglieder ( n ist eine endliche Zahl) und die restlichen Terme werden verworfen:

Um den Fehler des erhaltenen Näherungswerts abzuschätzen, ist es notwendig, den verworfenen Rest r n (x) zu schätzen. Dazu werden folgende Techniken verwendet:

Wenn sich die resultierende Reihe mit Vorzeichen abwechselt, wird die folgende Eigenschaft verwendet: für eine alternierende Reihe, die die Leibniz-Bedingungen erfüllt, überschreitet der Rest der Reihe in absoluten Werten nicht den ersten verworfenen Term.
wenn die gegebene Reihe im Vorzeichen konstant ist, dann wird die Reihe aus verworfenen Termen mit einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression verglichen.
im allgemeinen Fall kann man zur Schätzung des Rests der Taylor-Reihe die Lagrange-Formel verwenden: a x ).

Beispiel 1. Berechnen Sie ln (3) auf die nächsten 0,01.
Lösung... Lassen Sie uns die Zerlegung verwenden, wobei x = 1/2 (siehe Beispiel 5 im vorherigen Thema):

Prüfen wir, ob wir den Rest nach den ersten drei Termen der Entwicklung verwerfen können, dazu schätzen wir ihn mit der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression:

Also können wir diesen Rest verwerfen und erhalten

Beispiel Nr. 2. Berechnen Sie auf die nächsten 0,0001.
Lösung... Verwenden wir die Binomialreihe. Da 5 3 der Kubus einer ganzen Zahl ist, die 130 am nächsten kommt, ist es ratsam, die Zahl 130 als 130 = 5 3 +5 darzustellen.

da bereits der vierte Term der erhaltenen alternierenden Reihe, die das Leibniz-Kriterium erfüllt, unter der geforderten Genauigkeit liegt:
, daher können sie und die ihr folgenden Mitglieder verworfen werden.
Viele praktisch notwendige bestimmte oder uneigentliche Integrale können mit der Newton-Leibniz-Formel nicht berechnet werden, da ihre Anwendung mit der Bestimmung einer Stammfunktion verbunden ist, die in elementaren Funktionen oft keinen Ausdruck hat. Es kommt auch vor, dass das Auffinden der Stammfunktion zwar möglich, aber unnötig mühsam ist. Wenn der Integrand jedoch zu einer Potenzreihe erweitert werden kann und die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe gehören, dann ist eine näherungsweise Berechnung des Integrals mit einer vorgegebenen Genauigkeit möglich.

Beispiel Nr. 3. Integral auswerten ∫ 0 1 4 sin (x) x bis 10 -5.
Lösung... Das entsprechende unbestimmte Integral lässt sich nicht in elementaren Funktionen ausdrücken, d.h. ist ein "unzerbrechliches Integral". Die Anwendung der Newton-Leibniz-Formel ist hier nicht möglich. Wir berechnen das Integral näherungsweise.
Durch Teilen der Reihe für sin x An x, wir bekommen:

Integriert man diese Reihe Term für Term (dies ist möglich, da die Integrationsgrenzen zum Konvergenzintervall dieser Reihe gehören), erhalten wir:

Da die resultierende Reihe die Leibniz-Bedingungen erfüllt, reicht es aus, die Summe der ersten beiden Terme zu bilden, um den gewünschten Wert mit einer bestimmten Genauigkeit zu erhalten.
Somit finden wir
.

Beispiel Nr. 4. Bewerten Sie das Integral ∫ 0 1 4 e x 2 auf 0,001 genau.
Lösung.
... Lassen Sie uns prüfen, ob wir den Rest nach dem zweiten Term der resultierenden Reihe verwerfen können.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Ich mache gleich einen Vorbehalt, dass sich der Artikel mit der Erweiterung des Tangens bei Null beschäftigt, die in vielen Lehrbüchern als Maclaurin-Erweiterung bezeichnet wird.

Nun, alle Funktionen werden dort unendlich differenzierbar sein, wo wir sie brauchen.

Während die meisten anderen einfachsten elementaren Funktionen leicht zu einer Taylor-Reihe entwickelt werden können und das Gesetz, nach dem die Erweiterungsterme gebildet werden, meistens nicht kompliziert und einfach zu erraten ist, ist dies für die Tangente nicht der Fall. Letzteres scheint zwar nur das Verhältnis von Sinus zu Cosinus zu sein, Funktionen, bei denen es bei der Expansion keine Probleme gibt. Um die Form des gemeinsamen Begriffs für die Tangente anzugeben, müssen wir in der Zwischenzeit von weitem ausgehen und künstliche Methoden anwenden. In der Praxis ist es jedoch oft nicht erforderlich, alle Koeffizienten der Reihe zu kennen, es reichen nur wenige Terme der Entwicklung. Mit dieser Formulierung des Problems werden Studenten am häufigsten angetroffen. Also fangen wir mit ihr an. Um nicht besonders zu stören, suchen wir nach der Erweiterung auf den Koeffizienten fünften Grades.

Das erste, was mir hier in den Sinn kommt, ist der Versuch, Taylors Formel direkt zu verwenden. Oft haben die Leute einfach keine Ahnung von anderen Möglichkeiten, hintereinander zu expandieren. Übrigens, unser Seminarist auf Matte. In der Analyse suchte ich in meinem zweiten Jahr einfach so nach Zersetzung, obwohl ich nichts schlechtes darüber sagen kann, kluger Kerl, vielleicht wollte er nur seine Fähigkeit zeigen, Derivate zu nehmen. Wie dem auch sei, aber Ableitungen höherer Ordnungen von der Tangente zu nehmen, ist ein Vergnügen, eine äußerst öde Aufgabe, nur eine von denen, die man leichter einer Maschine und nicht einem Menschen anvertrauen kann. Aber als echte Sportler interessieren wir uns nicht für das Ergebnis, sondern für den Prozess, und es ist wünschenswert, dass der Prozess einfacher wird. Die Ableitungen lauten wie folgt (berechnet im Maximasystem): , , , ,. Wer denkt, dass Derivate leicht von Hand zu bekommen sind, der lasst ihn kostenlos machen. Wie auch immer, jetzt können wir die Zerlegung schreiben: .

Hier ist, was hier vereinfacht werden kann, das merken wir und so wird die erste Ableitung der Tangente durch die Tangente ausgedrückt, außerdem folgt daraus, dass alle anderen Ableitungen der Tangente Polynome in der Tangente sein werden, was es uns ermöglicht, uns nicht um die Ableitungen des Sinusquotienten zu kümmern und Kosinus:
,
,
,
.
Die Zerlegung stellt sich natürlich als die gleiche heraus.

Eine andere Methode der Reihenerweiterung habe ich direkt in der Mattenprüfung kennengelernt. Analyse und weil ich diese Methode nicht kannte, bekam ich dann einen Refrain. statt Bsp.-a. Die Bedeutung der Methode ist, dass wir die Reihenentwicklung von Sinus und Cosinus sowie die Funktion kennen, die letzte Entwicklung ermöglicht es uns, die Zerlegung des Sekanten zu finden:. Wenn wir die Klammern erweitern, erhalten wir eine Reihe, die mit der Erweiterung des Sinus multipliziert werden muss. Jetzt müssen wir nur noch die beiden Reihen multiplizieren. Wenn wir von Komplexität sprechen, bezweifle ich, dass sie der ersten Methode unterlegen ist, zumal der Umfang der Berechnungen mit zunehmendem Grad der zu findenden Erweiterungsterme schnell wächst.

Die nächste Methode ist eine Variante der Methode der undefinierten Koeffizienten. Stellen wir uns zunächst die Frage, was wir überhaupt über die Tangente wissen, was uns dabei helfen kann, sozusagen a priori eine Erweiterung zu konstruieren. Das Wichtigste dabei ist, dass die Tangentenfunktion ungerade ist und daher alle Koeffizienten bei geraden Graden gleich Null sind, mit anderen Worten, es ist nicht erforderlich, die Hälfte der Koeffizienten zu finden. Dann können Sie schreiben oder Sinus und Kosinus in einer Reihe erweitern, wir erhalten. Und wenn wir die Koeffizienten für die gleichen Grade gleichsetzen, erhalten wir , und allgemein ... Somit können wir mit einem iterativen Verfahren beliebig viele Terme in der Erweiterung finden.

Die vierte Methode ist auch die Methode der unbestimmten Koeffizienten, aber dafür brauchen wir keine anderen Funktionen zu zerlegen. Wir betrachten die Differentialgleichung für die Tangente. Wir haben oben gesehen, dass die Ableitung der Tangente als Funktion der Tangente ausgedrückt werden kann. Wenn Sie eine Reihe von unbestimmten Koeffizienten in diese Gleichung einsetzen, können Sie schreiben. Nach dem Quadrieren und von hier aus wiederum durch einen iterativen Prozess wird es möglich sein, die Ausdehnungskoeffizienten zu finden.

Diese Methoden sind keineswegs einfacher als die ersten beiden, aber Ausdrücke für den gemeinsamen Term der Reihe auf diese Weise zu finden, wird nicht funktionieren, aber wir möchten es. Wie ich eingangs sagte, müssen Sie aus der Ferne beginnen (ich werde Courants Lehrbuch folgen). Wir beginnen mit der Erweiterung der Funktion. Als Ergebnis erhalten wir eine Reihe, die in der Form geschrieben wird wobei die Zahlen Bernoulli-Zahlen sind.
Diese Zahlen wurden ursprünglich von Jacob Bernoulli gefunden, als er die Summen der m-ten Potenzen natürlicher Zahlen ermittelte ... Es scheint, was hat Trigonometrie damit zu tun? Später erhielt Euler, der das Problem der Summe der inversen Quadrate einer Reihe natürlicher Zahlen löste, eine Antwort aus der Entwicklung des Sinus in ein unendliches Produkt. Weiterhin stellte sich heraus, dass die Zerlegung des Kotangens Summen der Form für alle natürlichen Zahlen n enthält. Und schon davon ausgehend erhielt Euler Ausdrücke für solche Summen in Bernoulli-Zahlen. Hier gibt es also Zusammenhänge, und man sollte sich nicht wundern, dass die Zerlegung der Tangente diese Folge enthält.
Aber zurück zum Ausbau der Fraktion. Den Exponenten erweitern, eins subtrahieren und durch "x" dividieren, erhalten wir schließlich. Daraus ist bereits ersichtlich, dass die erste der Bernoulli-Zahlen gleich eins ist, die zweite minus eine Sekunde und so weiter. Schreiben wir den Ausdruck für die k-te Bernoulli-Zahl auf, beginnend mit eins. Wenn wir diesen Ausdruck mit multiplizieren, schreiben wir den Ausdruck in die folgende Form um. Und aus diesem Ausdruck können wir wiederum Bernoulli-Zahlen erhalten, insbesondere:,,