Formeln zum Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind Beispiele. Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen sind nicht das einfachste Thema. Leider sind sie vielfältig.) Zum Beispiel diese:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Und dergleichen...

Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei gemeinsame und obligatorische Merkmale. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Alle Ausdrücke mit x sind innerhalb dieser gleichen Funktionen. Und nur dort! Wenn x irgendwo vorkommt außen, zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, Dies wird die Gleichung sein gemischter Typ. Solche Gleichungen erfordern einen individuellen Ansatz. Hier werden wir sie nicht berücksichtigen.

Wir werden auch in dieser Lektion keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Wieso den? Ja, weil die Entscheidung irgendein trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Stufen. In der ersten Stufe wird die böse Gleichung durch verschiedene Transformationen auf eine einfache reduziert. Auf der zweiten - diese einfachste Gleichung wird gelöst. Kein anderer Weg.

Wenn Sie also Probleme in der zweiten Stufe haben, macht die erste Stufe nicht viel Sinn.)

Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?

sinx = a

cos = a

tgx = a

ctgx = a

Hier a steht für eine beliebige Zahl. Irgendein.

Übrigens kann es innerhalb der Funktion kein reines x geben, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:

cos(3x+π /3) = 1/2

und dergleichen. Dies macht das Leben komplizierter, beeinflusst jedoch nicht die Methode zur Lösung der trigonometrischen Gleichung.

Wie löst man trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: mit Logik und einem trigonometrischen Kreis. Wir werden diesen Weg hier erkunden. Der zweite Weg - mit Gedächtnis und Formeln - wird in der nächsten Lektion betrachtet.

Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen von trigonometrischen Gleichungen, Ungleichungen und allerlei kniffligen, nicht standardmäßigen Beispielen. Logik ist stärker als das Gedächtnis!

Wir lösen Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis.

Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, einen trigonometrischen Kreis zu verwenden. Kannst du nicht!? Allerdings ... In Trigonometrie wird es schwierig für Sie ...) Aber es spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen "Trigonometrischer Kreis ...... Was ist das?" und "Winkel auf einem trigonometrischen Kreis zählen." Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern ...)

Ach, weißt du!? Und sogar „Praktische Arbeit mit einem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwünsche annehmen. Dieses Thema wird Ihnen nah und verständlich sein.) Besonders erfreulich ist, dass es dem trigonometrischen Kreis egal ist, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens – für ihn ist alles gleich. Das Lösungsprinzip ist das gleiche.

Hier nehmen wir jede Grundstufe trigonometrische Gleichung. Zumindest das:

cos = 0,5

Ich muss X finden. In menschlicher Sprache sprechen, müssen Sie Finde den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 ist.

Wie haben wir den Kreis vorher benutzt? Wir haben eine Ecke darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Machen wir jetzt das Gegenteil. Zeichnen Sie einen Kosinus gleich 0,5 auf den Kreis und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!

Wir zeichnen einen Kreis und markieren den Kosinus gleich 0,5. Auf der Kosinusachse natürlich. So:

Lassen Sie uns nun den Winkel zeichnen, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie die Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf einem Tablet) und sehen diese selbe Ecke X.

Welcher Winkel hat einen Kosinus von 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Manche werden skeptisch grunzen, ja... Sie sagen, hat es sich gelohnt, den Kreis einzuzäunen, wenn sowieso alles klar ist... Da kann man natürlich grunzen...) Fakt ist aber, dass das ein Irrtum ist Antworten. Oder besser gesagt, unzureichend. Kenner des Kreises verstehen, dass es noch eine ganze Reihe von Winkeln gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.

Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen für eine volle Umdrehung, Punkt A kehrt in seine ursprüngliche Position zurück. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. der winkel ändert sich 360° oder 2π Radiant und Kosinus ist es nicht. Der neue Winkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, denn

Es gibt unendlich viele solcher vollen Drehungen ... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen unserer trigonometrischen Gleichung sein. Und sie müssen alle irgendwie aufgeschrieben werden. Alle. Andernfalls wird die Entscheidung nicht berücksichtigt, ja ...)

Die Mathematik kann das einfach und elegant. Schreiben Sie in einer kurzen Antwort auf unendlicher Satz Lösungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ich werde entziffern. Schreib trotzdem sinnvoll schöner, als dumm ein paar mysteriöse Buchstaben zu zeichnen, oder?)

π /3 ist der gleiche Winkel, dass wir gesehen auf dem Kreis u identifiziert nach der Kosinustafel.

2π ist eine volle Umdrehung im Bogenmaß.

n - dies ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz Revolutionen. Es ist klar, dass n kann 0, ±1, ±2, ±3 ... und so weiter sein. Was ist angegeben kurze Anmerkung:

n ∈ Z

n gehört ( ∈ ) auf die Menge der ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens, anstelle des Briefes n Buchstaben können verwendet werden k, m, t usw.

Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl nehmen können n . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was willst du. Wenn Sie diese Zahl in Ihre Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Blickwinkel, der mit Sicherheit die Lösung unserer harten Gleichung ist.)

Oder mit anderen Worten, x \u003d π / 3 ist die einzige Wurzel einer unendlichen Menge. Um alle anderen Nullstellen zu erhalten, genügt es, π / 3 ( n ) im Bogenmaß. Diese. 2πn Bogenmaß.

Alles? Nein. Ich dehne gezielt das Vergnügen aus. Um sich besser zu erinnern.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung wie folgt schreiben:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nicht eine Wurzel, es ist eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform geschrieben.

Aber es gibt auch andere Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!

Kehren wir zu unserem Bild zurück, nach dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Da ist sie:

Bewegen Sie die Maus über das Bild und sehen eine andere Ecke, die ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was denkst du, ist es gleich? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Es ist gleich dem Winkel X , nur in negativer Richtung aufgetragen. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x schon berechnet. π /3 bzw 60°. Daher können wir sicher schreiben:

x 2 \u003d - π / 3

Und natürlich addieren wir alle Winkel, die sich durch volle Umdrehungen ergeben:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist jetzt alles.) In einem trigonometrischen Kreis, wir gesehen(wer versteht natürlich)) alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und sie haben diese Winkel in einer kurzen mathematischen Form aufgeschrieben. Die Antwort sind zwei unendliche Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dies ist die richtige Antwort.

Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit Hilfe eines Kreises ist verständlich. Wir markieren den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) aus der gegebenen Gleichung auf dem Kreis, zeichnen die entsprechenden Winkel und schreiben das Ergebnis auf. Natürlich müssen Sie herausfinden, was für Ecken wir sind gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun, wie gesagt, hier ist Logik gefragt.)

Lassen Sie uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung analysieren:

Bitte beachten Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in den Gleichungen ist!) Es ist einfach bequemer für mich, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.

Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis, markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen sofort alle diesem Sinus entsprechenden Winkel. Wir erhalten dieses Bild:

Beschäftigen wir uns zuerst mit dem Winkel. X im ersten Quartal. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Die Sache ist einfach:

x \u003d π / 6

Wir erinnern uns an volle Umdrehungen und schreiben mit gutem Gewissen die erste Reihe von Antworten auf:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Jetzt müssen wir definieren zweite ecke... Das ist kniffliger als Kosinus, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Ja einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich, und die rote Ecke X gleich dem Winkel X . Es wird nur ab dem Winkel π in negativer Richtung gezählt. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort brauchen wir einen korrekt gemessenen Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.

Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild und sehen Sie alles. Ich habe die erste Ecke entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der für uns interessante Winkel (grün gezeichnet) ist gleich:

π - x

x wir wissen es π /6 . Der zweite Winkel wird also sein:

π - π/6 = 5π/6

Wir erinnern uns wieder an die Addition von vollen Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Das ist alles. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Gleichungen mit Tangens und Kotangens können leicht gelöst werden, indem das gleiche allgemeine Prinzip zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet wird. Es sei denn natürlich, Sie wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.

In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt muss. Lassen Sie uns nun unsere Fähigkeiten erweitern alle anderen Werte. Entscheide dich, also entscheide dich!)

Nehmen wir also an, wir müssen die folgende trigonometrische Gleichung lösen:

In den kurzen Tabellen gibt es keinen solchen Wert des Kosinus. Wir ignorieren diese schreckliche Tatsache kühl. Wir zeichnen einen Kreis, markieren 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen die entsprechenden Winkel. Wir bekommen dieses Bild.

Wir verstehen, für den Anfang, mit einem Winkel im ersten Viertel. Um zu wissen, was x gleich ist, würden sie sofort die Antwort aufschreiben! Wir wissen es nicht ... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik lässt sich in Schwierigkeiten nicht zurück! Für diesen Fall erfand sie Arkuskosinus. Weiß nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus, es ist viel einfacher als Sie denken. Unter diesem Link kein einziger kniffliger Spruch zum Thema "umgekehrt trigonometrische Funktionen"Nein ... Es ist in diesem Thema überflüssig.

Wenn Sie es wissen, sagen Sie sich einfach: "X ist ein Winkel, dessen Kosinus 2/3 ist." Und sofort, rein per Definition des Arkuskosinus, können wir schreiben:

Wir erinnern uns an zusätzliche Umdrehungen und schreiben ruhig die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Die zweite Reihe von Wurzeln wird auch fast automatisch für den zweiten Winkel geschrieben. Alles ist gleich, nur x (arccos 2/3) wird mit einem Minus sein:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Und alles! Dies ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Sie müssen sich nichts merken.) Übrigens werden die Aufmerksamsten bemerken, dass dieses Bild mit der Lösung durch den Arkuskosinus ist unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von dem Bild für die Gleichung cosx = 0,5.

Genau so! Allgemeines Prinzip deshalb ist es üblich! Ich habe speziell zwei fast identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Es ist ein tabellarischer Kosinus, oder nicht - der Kreis weiß es nicht. Was das für ein Winkel ist, π / 3, oder was für ein Arkuskosinus ist unsere Entscheidung.

Mit einem Sinus das gleiche Lied. Zum Beispiel:

Wieder zeichnen wir einen Kreis, markieren den Sinus gleich 1/3, zeichnen die Ecken. Es stellt sich dieses Bild heraus:

Und wieder ist das Bild fast dasselbe wie bei der Gleichung sin x = 0,5. Auch hier starten wir im ersten Viertel aus der Ecke. Was ist x gleich, wenn sein Sinus 1/3 ist? Kein Problem!

Die erste Packung Wurzeln ist also fertig:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Schauen wir uns den zweiten Winkel an. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:

π - x

Also hier wird es genau so sein! Nur x ist anders, arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher schreiben:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dies ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr vertraut aussieht. Aber es ist verständlich, hoffe ich.)

So werden trigonometrische Gleichungen mit einem Kreis gelöst. Dieser Weg ist klar und nachvollziehbar. Er spart in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl von Wurzeln in einem bestimmten Intervall, in trigonometrischen Ungleichungen - sie werden im Allgemeinen fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas komplizierter sind als die Standardaufgaben.

Wissen in die Praxis umsetzen?

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Am Anfang ist es einfacher, direkt in dieser Lektion.

Jetzt ist es schwieriger.

Hinweis: Hier muss man an den Kreis denken. Persönlich.)

Und jetzt äußerlich unprätentiös ... Sie werden auch Sonderfälle genannt.

Sünde = 0

Sünde = 1

cos = 0

cos = -1

Hinweis: Hier müssen Sie in einem Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen gibt und wo es eine gibt ... Und wie Sie eine statt zwei Antwortreihen aufschreiben. Ja, damit keine einzige Wurzel aus unendlich vielen verloren geht!)

Naja, ganz einfach):

Sünde = 0,3

cos = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus, Arkuskosinus ist? Was ist arc tangens, arc tangens? Die meisten einfache Definitionen. Sie müssen sich aber keine Tabellenwerte merken!)

Die Antworten sind natürlich durcheinander:

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nicht alles klappt? Es passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(sowas gibt es veraltetes Wort...) Und folgen Sie den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne es in der Trigonometrie - wie man die Straße mit verbundenen Augen überquert. Manchmal funktioniert es.)

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Erfordert Kenntnisse der Grundformeln der Trigonometrie - die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus, der Ausdruck der Tangente durch Sinus und Cosinus und andere. Für diejenigen, die sie vergessen haben oder nicht kennen, empfehlen wir die Lektüre des Artikels "".
Wir kennen also die grundlegenden trigonometrischen Formeln, es ist Zeit, sie in die Praxis umzusetzen. Lösen trigonometrischer Gleichungen Mit der richtigen Herangehensweise ist es eine ziemlich spannende Aktivität, wie zum Beispiel das Lösen eines Zauberwürfels.

Anhand des Namens selbst ist klar, dass eine trigonometrische Gleichung eine Gleichung ist, in der die Unbekannte unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion steht.
Es gibt sogenannte einfache trigonometrische Gleichungen. So sehen sie aus: sinх = a, cos x = a, tg x = a. In Betracht ziehen, wie man solche trigonometrischen Gleichungen löst, verwenden wir zur Verdeutlichung den bereits bekannten trigonometrischen Kreis.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

Kinderbett x = a

Jede trigonometrische Gleichung wird in zwei Schritten gelöst: Wir bringen die Gleichung auf die einfachste Form und lösen sie dann als einfachste trigonometrische Gleichung.
Es gibt 7 Hauptmethoden, mit denen trigonometrische Gleichungen gelöst werden.

1. Variablensubstitution und Substitutionsverfahren

Lösen Sie die Gleichung 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Mit den Reduktionsformeln erhalten wir:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Ersetzen wir der Einfachheit halber cos(x + /6) durch y und erhalten die übliche quadratische Gleichung:

2 Jahre 2 – 3 Jahre + 1 + 0

Die Wurzeln davon sind y 1 = 1, y 2 = 1/2

Gehen wir jetzt rückwärts

Wir ersetzen die gefundenen Werte von y und erhalten zwei Antworten:

2. Lösen trigonometrischer Gleichungen durch Faktorisierung

Wie löst man die Gleichung sin x + cos x = 1 ?

Verschieben wir alles nach links, damit 0 rechts bleibt:

sin x + cos x - 1 = 0

Wir verwenden die obigen Identitäten, um die Gleichung zu vereinfachen:

Sünde x - 2 Sünde 2 (x/2) = 0

Machen wir die Faktorisierung:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Wir erhalten zwei Gleichungen

3. Reduktion auf eine homogene Gleichung

Eine Gleichung ist bezüglich Sinus und Cosinus homogen, wenn alle ihre Terme bezüglich Sinus und Cosinus denselben Winkelgrad haben. Um eine homogene Gleichung zu lösen, gehen Sie wie folgt vor:

a) alle seine Mitglieder auf die linke Seite übertragen;

b) Setzen Sie alle gemeinsamen Faktoren in Klammern;

c) alle Faktoren und Klammern gleich 0 setzen;

d) erhalten in Klammern homogene Gleichung in geringerem Maße wird es wiederum in höherem Maße in einen Sinus oder Cosinus unterteilt;

e) Löse die resultierende Gleichung nach tg.

Löse die Gleichung 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Verwenden wir die Formel sin 2 x + cos 2 x = 1 und entfernen wir die offenen zwei rechts:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Teilen durch cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Wir ersetzen tg x durch y und erhalten eine quadratische Gleichung:

y 2 + 4y +3 = 0, dessen Wurzeln y 1 =1, y 2 = 3 sind

Von hier aus finden wir zwei Lösungen für die ursprüngliche Gleichung:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Lösen von Gleichungen, durch den Übergang zu einem halben Winkel

Lösen Sie die Gleichung 3sin x - 5cos x = 7

Kommen wir zu x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Alles nach links verschieben:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Teilen durch cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Einführung eines Hilfswinkels

Nehmen wir zur Überlegung eine Gleichung der Form: a sin x + b cos x \u003d c,

wobei a, b, c einige willkürliche Koeffizienten sind und x eine Unbekannte ist.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch:



Nun werden die Koeffizienten der Gleichung gem trigonometrische Formeln haben die Eigenschaften von sin und cos, nämlich: ihr Modul ist nicht größer als 1 und die Summe der Quadrate = 1. Bezeichnen wir sie jeweils als cos und sin, wobei der sogenannte Hilfswinkel ist. Dann nimmt die Gleichung die Form an:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

oder sin(x + ) = C

Die Lösung dieser einfachen trigonometrischen Gleichung lautet

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, wobei



Es sei darauf hingewiesen, dass die Bezeichnungen cos und sin austauschbar sind.

Lösen Sie die Gleichung sin 3x - cos 3x = 1

In dieser Gleichung sind die Koeffizienten:

a \u003d, b \u003d -1, also teilen wir beide Teile durch \u003d 2

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Was werden wir studieren:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Betrachten wir nun allgemeine trigonometrische Gleichungen.

Trigonometrische Gleichungen - Gleichungen, in denen die Variable unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion enthalten ist.

Wir wiederholen die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |а|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x) = a eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: Т(kx+m)=a, T- eine beliebige trigonometrische Funktion.

Beispiel.

Gleichungen lösen: a) sin(3x)= √3/2

Lösung:

A) Lassen Sie uns 3x=t bezeichnen, dann werden wir unsere Gleichung in der Form umschreiben:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kommen wir zurück zu unserer Variablen: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n - minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lösung:

A) Dieses Mal gehen wir direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung über:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Das wissen wir: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Gleichungen lösen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment .

Lösung:

Wir werden uns entscheiden Gesamtansicht unsere Gleichung: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ±π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Mal sehen, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Für k Für k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment .
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen sie wieder.
Für k=2 ist x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir auch für große k nicht treffen werden.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Wir haben die einfachsten trigonometrischen Gleichungen betrachtet, aber es gibt komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.

Lösen wir die Gleichung:

Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen, bezeichnet als: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden wir die Wurzeln quadratische Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir haben die einfachste trigonometrische Gleichung, lasst uns ihre Wurzeln finden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung

Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung lautet: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Führen wir die Ersetzung t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

Da Cosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: Eine Gleichung der Form a sin(x)+b cos(x) heißen homogene trigonometrische Gleichungen ersten Grades.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, teilen wir sie durch cos(x): Es ist unmöglich, durch Kosinus zu dividieren, wenn es gleich Null ist, stellen wir sicher, dass dies nicht so ist:
Sei cos(x)=0, dann asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir haben einen Widerspruch, also können wir sicher dividieren um null.

Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösung:

Nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 für x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0 Dividieren Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, haltet euch immer an diese Regeln!

1. Sehen Sie, was der Koeffizient a gleich ist, wenn a \u003d 0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) an, ein Beispiel für die Lösung davon ist oben gleiten

2. Wenn a≠0, müssen Sie beide Teile der Gleichung durch den quadrierten Kosinus dividieren, wir erhalten:

Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Lösen Sie Beispiel #:3

Löse die Gleichung:
Lösung:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Lösen Sie Beispiel #:4

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Lösen Sie Beispiel #:5

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir führen die Ersetzung tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

1) Lösen Sie die Gleichung

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Gleichungen lösen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)