Berechnen Sie die Fläche einer begrenzten Form online. Bestimmtes Integral. So berechnen Sie die Fläche einer Form

Problem Nummer 3. Erstellen Sie eine Zeichnung und berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur

Integrale Anwendung zur Lösung angewandter Probleme

Berechnungsbereich

Das bestimmte Integral einer stetigen nicht-negativen Funktion f (x) ist numerisch gleich die Fläche des gekrümmten Trapezes, begrenzt durch die Kurve y = f (x), die Achse O x und die Geraden x = a und x = b. Dementsprechend wird die Flächenformel wie folgt geschrieben:

Schauen wir uns einige Beispiele für die Berechnung der Flächen von flachen Figuren an.

Aufgabe Nr. 1. Berechnen Sie die Fläche, die durch die Geraden y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 begrenzt wird.

Lösung. Lassen Sie uns eine Figur erstellen, deren Fläche wir berechnen müssen.

y = x 2 + 1 ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind und die gegenüber der O y-Achse um eine Einheit nach oben verschoben ist (Abbildung 1).

Abbildung 1. Graph der Funktion y = x 2 + 1

Aufgabe Nummer 2. Berechnen Sie die Fläche, die durch die Geraden y = x 2 - 1, y = 0 im Bereich von 0 bis 1 begrenzt wird.

Lösung. Der Graph dieser Funktion ist die nach oben gerichtete Parabel des Astes, die relativ zur O y-Achse um eine Einheit nach unten verschoben ist (Abbildung 2).

Abbildung 2. Graph der Funktion y = x 2 - 1

Problem Nummer 3. Erstellen Sie eine Zeichnung und berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur

y = 8 + 2x - x 2 und y = 2x - 4.

Lösung. Die erste dieser beiden Geraden ist eine Parabel mit nach unten gerichteten Ästen, da der Koeffizient bei x 2 negativ ist, und die zweite Gerade ist eine Gerade, die beide Koordinatenachsen schneidet.

Um eine Parabel zu bauen, ermitteln wir die Koordinaten ihres Scheitels: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - die Abszisse des Scheitelpunkts; y (1) = 8 + 2 1 - 1 2 = 9 ist seine Ordinate, N (1; 9) ist der Scheitelpunkt.

Nun finden wir die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden durch Lösen des Gleichungssystems:

Gleichsetzen der rechten Seiten der Gleichung, deren linke Seiten gleich sind.

Wir erhalten 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 oder x 2 - 12 = 0, woraus .

Die Punkte sind also die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden (Abbildung 1).

Abbildung 3 Funktionsgraphen y = 8 + 2x - x 2 und y = 2x - 4

Konstruieren wir eine Gerade y = 2x - 4. Sie geht durch die Punkte (0; -4), (2; 0) auf den Koordinatenachsen.

Um eine Parabel zu konstruieren, können Sie auch ihre Schnittpunkte mit der 0x-Achse haben, dh die Wurzeln der Gleichung 8 + 2x - x 2 = 0 oder x 2 - 2x - 8 = 0. Nach dem Satz von Vieta ist es einfach um seine Wurzeln zu finden: x 1 = 2, x 2 = 4.

Figur 3 zeigt eine Figur (Parabelsegment M 1 N M 2), begrenzt durch diese Linien.

Der zweite Teil der Aufgabe besteht darin, die Fläche dieser Figur zu finden. Seine Fläche kann mit einem bestimmten Integral durch die Formel ermittelt werden .

Bezüglich dieser Bedingung erhalten wir das Integral:

2 Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung der Kurve y = f (x) um die O x -Achse ergibt, berechnet sich nach der Formel:

Beim Rotieren um die O y-Achse sieht die Formel wie folgt aus:

Problem Nummer 4. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung eines gekrümmten Trapezes ergibt, das von Geraden x = 0 x = 3 und einer Kurve y = um die O x -Achse begrenzt wird.

Lösung. Lassen Sie uns ein Bild erstellen (Abbildung 4).

Abbildung 4. Graph der Funktion y =

Das erforderliche Volumen beträgt

Problem Nummer 5. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung eines gekrümmten Trapezes ergibt, das von der Kurve y = x 2 und den Geraden y = 0 und y = 4 um die O y-Achse begrenzt wird.

Lösung. Wir haben:

Rezensionsfragen

Wir beginnen, den tatsächlichen Prozess der Berechnung des Doppelintegrals zu betrachten und machen uns mit seiner geometrischen Bedeutung vertraut.

Das Doppelintegral ist numerisch gleich der Fläche einer flachen Figur (Integrationsregion). Dies ist die einfachste Form des Doppelintegrals, wenn die Funktion zweier Variablen gleich eins ist:.

Betrachten wir das Problem zunächst allgemein. Jetzt werden Sie überrascht sein, wie einfach es wirklich ist! Berechnen wir die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist. Aus Gründen der Bestimmtheit gehen wir davon aus, dass auf dem Segment. Die Fläche dieser Figur ist numerisch gleich:

Zeichnen wir den Bereich in der Zeichnung:

Wählen wir den ersten Weg, um das Gebiet zu durchqueren:

Auf diese Weise:

Und gleich ein wichtiger technischer Trick: iterierte Integrale können separat betrachtet werden... Zuerst das innere Integral, dann das äußere Integral. Diese Methode ist für Einsteiger in das Thema Teekannen sehr zu empfehlen.

1) Wir berechnen das interne Integral, während die Integration über die Variable "game" erfolgt:

Das unbestimmte Integral ist hier am einfachsten, und dann wird die banale Newton-Leibniz-Formel verwendet, mit dem einzigen Unterschied, dass die Integrationsgrenzen sind keine Zahlen, sondern Funktionen... Zuerst wurde die obere Grenze in das "Spiel" (Stammfunktion) eingesetzt, dann - die untere Grenze

2) Das im ersten Absatz erhaltene Ergebnis muss in das externe Integral eingesetzt werden:

Eine kompaktere Aufzeichnung der gesamten Lösung sieht wie folgt aus:

Die resultierende Formel Ist genau die Arbeitsformel zur Berechnung der Fläche einer flachen Figur mit dem "gewöhnlichen" bestimmten Integral! Schau dir die Lektion an Flächenberechnung mit einem bestimmten Integral, da ist sie auf Schritt und Tritt!

Also, Flächenberechnungsproblem mit Doppelintegral nicht viel anders aus dem Problem, die Fläche mit einem bestimmten Integral zu finden! Tatsächlich sind sie dasselbe!

Dementsprechend sollten keine Schwierigkeiten auftreten! Ich werde nicht viele Beispiele berücksichtigen, da Sie dieser Aufgabe tatsächlich immer wieder begegnet sind.

Beispiel 9

Lösung: Zeichnen wir den Bereich in der Zeichnung:

Wählen wir die folgende Reihenfolge zum Durchqueren der Region:

Im Folgenden werde ich nicht näher darauf eingehen, wie eine Gebietsdurchquerung durchgeführt wird, da im ersten Absatz sehr detaillierte Erklärungen gegeben wurden.

Auf diese Weise:

Wie ich bereits bemerkt habe, ist es für Anfänger besser, iterierte Integrale separat zu berechnen, und ich folge derselben Methode:

1) Zunächst beschäftigen wir uns mit der Newton-Leibniz-Formel mit dem internen Integral:

2) Das im ersten Schritt erhaltene Ergebnis wird in das äußere Integral eingesetzt:

Punkt 2 ist tatsächlich das Finden der Fläche einer flachen Figur mit einem bestimmten Integral.

Antworten:

Hier ist so eine dumme und naive Aufgabe.

Ein interessantes Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 10

Berechnen Sie mit dem Doppelintegral die Fläche einer durch Linien begrenzten flachen Figur.

Ein ungefähres Beispiel des endgültigen Entwurfs der Lösung am Ende der Lektion.

In den Beispielen 9-10 ist es viel rentabler, den ersten Weg zu verwenden, um das Gebiet zu durchqueren; neugierige Leser können übrigens die Reihenfolge des Durchquerens ändern und die Gebiete auf dem zweiten Weg berechnen. Wenn Sie keinen Fehler machen, ergeben sich natürlich die gleichen Werte der Bereiche.

In einer Reihe von Fällen ist die zweite Methode zur Umgehung des Bereichs jedoch effektiver. Betrachten Sie zum Abschluss des Kurses eines jungen Nerds noch ein paar weitere Beispiele zu diesem Thema:

Beispiel 11

Berechnen Sie mit dem Doppelintegral die Fläche einer durch Linien begrenzten flachen Figur.

Lösung: wir warten ungeduldig auf zwei parabeln mit einer eigenart, die auf einer seite liegen. Sie müssen nicht lächeln, ähnliche Dinge in mehreren Integralen sind üblich.

Wie erstellt man am einfachsten eine Zeichnung?

Wir stellen die Parabel in Form von zwei Funktionen dar:
- oberer Zweig und - unterer Zweig.

Ebenso stellen wir die Parabel in Form eines oberen und eines unteren dar Geäst.

Als nächstes Punkt-für-Punkt-Charting-Regeln, durch die eine solche bizarre Zahl erhalten wird:

Wir berechnen die Fläche der Figur mit einem Doppelintegral nach der Formel:

Was ist, wenn wir den ersten Weg wählen, um das Gebiet zu durchqueren? Zunächst muss dieser Bereich in zwei Teile geteilt werden. Und zweitens werden wir dieses sehr traurige Bild beobachten: ... Integrale sind natürlich nicht sehr kompliziert, aber ... es gibt ein altes mathematisches Sprichwort: Wer mit Wurzeln freundlich ist, braucht keinen Test.

Daher drücken wir aus einem in der Bedingung gegebenen Missverständnis die Umkehrfunktionen aus:

Die Umkehrfunktionen in diesem Beispiel haben den Vorteil, dass sie die gesamte Parabel auf einmal ohne Blätter, Eicheln, Äste und Wurzeln setzen.

Nach der zweiten Methode wird das Gebiet wie folgt durchquert:

Auf diese Weise:

Spüren Sie den Unterschied, wie sie sagen.

1) Behandeln Sie das interne Integral:

Setze das Ergebnis in das äußere Integral ein:

Eine Integration bezüglich der Variable "igrek" sollte nicht peinlich sein, wenn es einen Buchstaben "siu" gäbe, wäre es toll, darüber zu integrieren. Obwohl wer den zweiten Absatz der Lektion gelesen hat Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers, er erlebt bei der Integration nach dem "Spiel" nicht mehr die geringste Peinlichkeit.

Beachten Sie auch den ersten Schritt: Der Integrand ist gerade und das Integrationssegment ist symmetrisch um Null. Daher kann das Segment halbiert und das Ergebnis verdoppelt werden. Diese Technik wird in der Lektion ausführlich kommentiert. Effiziente Methoden zur Berechnung eines bestimmten Integrals.

Was ist hinzuzufügen…. Alles!

Antworten:

Um Ihre Integrationstechnik zu testen, können Sie versuchen zu berechnen ... Die Antwort sollte genau die gleiche sein.

Beispiel 12

Berechnen Sie mit dem Doppelintegral die Fläche einer durch Linien begrenzten flachen Figur

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Es ist interessant zu beachten, dass die Figur nicht in zwei, sondern in drei Teile geteilt werden muss, wenn Sie versuchen, die erste Methode zum Durchqueren des Gebiets zu verwenden! Dementsprechend erhalten Sie drei Paare wiederholter Integrale. Manchmal passiert es.

Die Meisterklasse ist zu Ende und es ist Zeit, auf die Großmeisterebene zu wechseln - Wie berechnet man das Doppelintegral? Lösungsbeispiele... Ich werde versuchen, im zweiten Artikel nicht so verrückt zu sein =)

Wünsche dir Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:Lösung: Lass uns die Gegend zeichnen in der Zeichnung:

Wählen wir die folgende Reihenfolge zum Durchqueren der Region:

Auf diese Weise:
Kommen wir zu den Umkehrfunktionen:

Auf diese Weise:
Antworten:

Beispiel 4:Lösung: Kommen wir zu den direkten Funktionen:

Führen wir die Zeichnung aus:

Lassen Sie uns die Reihenfolge beim Durchqueren des Bereichs ändern:

Antworten:

Tatsächlich braucht man, um die Fläche einer Figur zu finden, nicht so viel Wissen über das unbestimmte und bestimmte Integral. Die Aufgabe "Fläche mit einem bestimmten Integral berechnen" beinhaltet immer das Erstellen einer Zeichnung Daher werden Ihr Wissen und Ihre zeichnerischen Fähigkeiten ein viel dringenderes Thema sein. In diesem Zusammenhang ist es sinnvoll, das Gedächtnis der Graphen der elementaren Grundfunktionen aufzufrischen und zumindest eine Gerade und eine Hyperbel konstruieren zu können.

Ein krummliniges Trapez ist eine flache Figur, die von einer Achse, geraden Linien und einem Graphen einer stetigen Funktion auf einem Segment begrenzt wird, das in diesem Intervall das Vorzeichen nicht ändert. Lassen Sie diese Figur lokalisiert werden nicht weniger Abszissenachse:

Dann die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich dem bestimmten Integral... Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung.

Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE.

Also, ein bestimmtes Integral (wenn es existiert) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie zum Beispiel ein bestimmtes Integral. Der Integrand definiert eine Kurve auf der Ebene, die sich über der Achse befindet (wer möchte, kann eine Zeichnung erstellen), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Formulierung der Aufgabe. Der erste und wichtigste Punkt der Lösung ist die Konstruktion der Zeichnung... Außerdem muss die Zeichnung erstellt werden RECHTS.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Lassen Sie uns eine Zeichnung zeichnen (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, deshalb:

Antworten:

Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich den Bauplan anzusehen und abzuschätzen, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir "nach Augenmaß" die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es sieht aus wie die Wahrheit. Es ist ziemlich klar, dass, wenn wir beispielsweise die Antwort erhalten: 20 Quadrateinheiten, offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht wurde - die betrachtete Zahl passt eindeutig nicht auf 20 Zellen, höchstens zehn. Ist die Antwort negativ, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien und Koordinatenachsen begrenzten Form.

Lösung: Führen wir die Zeichnung aus:

Wenn das gekrümmte Trapez lokalisiert ist unter der Achse(oder zumindest nicht höher gegebene Achse), dann kann seine Fläche durch die Formel ermittelt werden:

In diesem Fall:

Beachtung! Die beiden Aufgabentypen sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mit einem bestimmten Integral zu ermitteln, ist die Fläche immer positiv! Deshalb erscheint Minus in der gerade betrachteten Formel.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Lösung: Zuerst müssen Sie die Zeichnung vervollständigen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Problemen auf einer Fläche am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Finden Sie die Schnittpunkte der Parabel und der Linie. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist analytisch. Wir lösen die Gleichung:

Daher ist die untere Integrationsgrenze die obere Integrationsgrenze.

Es ist besser, diese Methode nach Möglichkeit nicht zu verwenden..

Es ist viel rentabler und schneller, die Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, während die Grenzen der Integration gleichsam "von selbst" deutlich werden. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die genaue Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Zurück zu unserem Problem: Es ist rationaler, zuerst eine Gerade und erst dann eine Parabel zu konstruieren. Führen wir die Zeichnung aus:

Und jetzt die Arbeitsformel: Wenn auf einem Segment eine stetige Funktion größer als oder gleich einer stetigen Funktion, dann kann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und Geraden begrenzt ist, durch die Formel ermittelt werden:

Hier müssen Sie nicht mehr darüber nachdenken, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse, und grob gesagt, Es ist wichtig, welcher Zeitplan OBEN steht(im Vergleich zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.

Im betrachteten Beispiel ist offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment oberhalb der Geraden befindet und daher von . subtrahiert werden muss

Die Vervollständigung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird oben durch eine Parabel und unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird,,,.

Lösung: Zuerst führen wir die Zeichnung aus:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert(Betrachten Sie den Zustand genau - worauf die Figur beschränkt ist!). In der Praxis tritt jedoch aufgrund von Unaufmerksamkeit oft ein "Fehler" auf, bei dem Sie den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als es die Fläche einer Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet.

Wirklich:

1) Auf dem Segment oberhalb der Achse befindet sich ein Liniendiagramm;

2) Der Hyperbelgraph befindet sich auf dem Segment oberhalb der Achse.

Es liegt auf der Hand, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie mit Integralrechnungen die Fläche einer durch Linien begrenzten Form ermitteln. Zum ersten Mal stoßen wir auf die Formulierung eines solchen Problems in der High School, wenn das Studium bestimmter Integrale gerade abgeschlossen ist und es an der Zeit ist, eine geometrische Interpretation der in der Praxis gewonnenen Erkenntnisse zu beginnen.

Was ist also erforderlich, um das Problem des Auffindens der Fläche einer Figur mit Integralen erfolgreich zu lösen:

Fähigkeit, Zeichnungen kompetent zu erstellen;
Fähigkeit, ein bestimmtes Integral nach der bekannten Newton-Leibniz-Formel zu lösen;
Die Fähigkeit, eine vorteilhaftere Lösung zu „sehen“, d. h. um zu verstehen, wie es in diesem oder jenem Fall bequemer sein wird, die Integration durchzuführen? Entlang der x-Achse (OX) oder der y-Achse (OY)?
Nun, wo ohne korrekte Berechnungen?) Dazu gehört das Verständnis, wie man diese andere Art von Integralen löst und korrekte numerische Berechnungen.

Algorithmus zur Lösung des Problems der Berechnung der Fläche einer durch Linien begrenzten Figur:

1. Wir bauen eine Zeichnung. Es ist ratsam, dies auf einem Blatt Papier in einem Käfig mit einem großen Maßstab zu tun. Wir unterschreiben den Namen dieser Funktion mit einem Bleistift über jedem Graphen. Die Signatur von Graphen erfolgt ausschließlich zur Vereinfachung weiterer Berechnungen. Nachdem Sie den Graphen der gewünschten Figur erhalten haben, ist in den meisten Fällen sofort ersichtlich, welche Integrationsgrenzen verwendet werden. Damit lösen wir das Problem grafisch. Es kommt jedoch vor, dass die Werte der Grenzwerte gebrochen oder irrational sind. Daher können Sie zusätzliche Berechnungen durchführen, fahren Sie mit Schritt zwei fort.

2. Wenn die Integrationsgrenzen nicht explizit festgelegt sind, finden wir die Schnittpunkte der Graphen miteinander und sehen, ob unsere graphische Lösung mit der analytischen übereinstimmt.

3. Als nächstes müssen Sie die Zeichnung analysieren. Je nachdem, wie sich die Funktionsgraphen befinden, gibt es unterschiedliche Ansätze, um die Fläche einer Figur zu finden. Betrachten wir verschiedene Beispiele für das Ermitteln der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen.

3.1. Die klassischste und einfachste Version des Problems ist, wenn Sie die Fläche eines gekrümmten Trapezes finden müssen. Was ist ein gekrümmtes Trapez? Es ist eine flache Figur, die von der x-Achse begrenzt wird. (j = 0), gerade x = a, x = b und jede Kurve stetig auf dem Intervall von ein Vor B... Außerdem ist diese Zahl nicht negativ und befindet sich nicht unterhalb der Abszissenachse. In diesem Fall ist die Fläche des krummlinigen Trapezes numerisch gleich einem bestimmten Integral, das nach der Newton-Leibniz-Formel berechnet wird:

Beispiel 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Welche Linien begrenzen die Figur? Wir haben eine Parabel y = x2 - 3x + 3 die über der Achse liegt OH, es ist nicht negativ, weil alle Punkte dieser Parabel sind positiv. Außerdem sind die Geraden x = 1 und x = 3 die parallel zur Achse verlaufen OU, sind die Begrenzungslinien der Form links und rechts. Na und y = 0, es ist die x-Achse, die die Abbildung nach unten begrenzt. Die resultierende Form ist wie im Bild links zu sehen schattiert. In diesem Fall können Sie sofort mit der Lösung des Problems beginnen. Wir haben ein einfaches Beispiel für ein krummliniges Trapez vor uns, das wir weiter mit der Newton-Leibniz-Formel lösen.

3.2. Im vorherigen Abschnitt 3.1 haben wir den Fall analysiert, in dem sich das krummlinige Trapez über der x-Achse befindet. Betrachten wir nun den Fall, dass die Bedingungen des Problems die gleichen sind, außer dass die Funktion unter der x-Achse liegt. Der Standard-Newton-Leibniz-Formel wird ein Minus hinzugefügt. Wir werden uns überlegen, wie wir ein ähnliches Problem weiter lösen können.

Beispiel 2 ... Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Form y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

In diesem Beispiel haben wir eine Parabel y = x2 + 6x + 2 die unter der Achse hervorgeht OH, gerade x = -4, x = -1, y = 0... Hier y = 0 begrenzt die gewünschte Form von oben. Direkte x = -4 und x = -1 das sind die Grenzen, innerhalb derer ein bestimmtes Integral berechnet wird. Das Prinzip der Lösung des Problems, die Fläche einer Figur zu finden, stimmt fast vollständig mit Beispiel Nummer 1 überein. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die gegebene Funktion nicht positiv ist und im Intervall immer noch stetig ist [-4; -1] ... Was heißt nicht positiv? Wie Sie der Abbildung entnehmen können, hat die Figur, die innerhalb des angegebenen x liegt, ausschließlich "negative" Koordinaten, die wir bei der Lösung des Problems sehen und merken müssen. Die Fläche der Figur suchen wir mit der Newton-Leibniz-Formel, nur mit einem Minuszeichen am Anfang.

Der Artikel ist unvollständig.

Bestimmtes Integral. So berechnen Sie die Fläche einer Form

Wir wenden uns nun der Betrachtung von Anwendungen der Integralrechnung zu. In dieser Lektion analysieren wir eine typische und häufigste Aufgabe. - wie man die Fläche einer flachen Figur mit einem bestimmten Integral berechnet... Schließlich diejenigen, die in der höheren Mathematik nach Sinn suchen - mögen sie ihn finden. Man weiß nie. Wir müssen den Vorstadtbereich mit elementaren Funktionen näher bringen und seine Fläche mit einem bestimmten Integral finden.

Um das Material erfolgreich zu beherrschen, müssen Sie:

1) Verstehe das unbestimmte Integral zumindest auf der mittleren Ebene. Dummies sollten sich also zunächst mit dem Unterricht vertraut machen Nicht.

2) Die Newton-Leibniz-Formel anwenden und ein bestimmtes Integral berechnen können. Sie können warme Freundschaften mit bestimmten Integralen auf der Seite aufbauen Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Eigentlich kennt jeder seit der Schule das Problem, den Bereich anhand eines bestimmten Integrals zu finden, und wir werden nicht weit über den schulischen Lehrplan hinausgehen. Dieser Artikel existiert vielleicht gar nicht, aber Tatsache ist, dass das Problem in 99 von 100 Fällen auftritt, wenn ein Student unter dem verhassten Turm leidet, der mit Begeisterung den Kurs der höheren Mathematik meistert.

Die Materialien dieses Workshops werden einfach, detailliert und mit einem Minimum an Theorie präsentiert.

Beginnen wir mit einem gebogenen Trapez.

Gebogenes Trapez heißt eine flache Figur, die von einer Achse, geraden Linien und einem Graphen einer stetigen Funktion auf einem Segment begrenzt wird, das in diesem Intervall das Vorzeichen nicht ändert. Lassen Sie diese Figur lokalisiert werden nicht weniger Abszissenachse:

Dann die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich dem bestimmten Integral... Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele Ich sagte, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache zu erwähnen. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE.

Also, ein bestimmtes Integral (wenn es existiert) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur... Betrachten Sie zum Beispiel ein bestimmtes Integral. Der Integrand definiert eine Kurve auf der Ebene, die sich über der Achse befindet (wer möchte, kann eine Zeichnung erstellen), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Formulierung der Aufgabe. Der erste und wichtigste Punkt der Lösung ist die Konstruktion der Zeichnung... Außerdem muss die Zeichnung erstellt werden RECHTS.

Beim Erstellen einer Zeichnung empfehle ich folgende Reihenfolge: anfangs es ist besser, alle geraden Linien (falls vorhanden) zu bauen und nur nach- Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Es ist rentabler, Funktionsgraphen zu erstellen punktuell, die Technik der Punkt-für-Punkt-Konstruktion finden Sie im Referenzmaterial Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen... Dort finden Sie auch sehr nützliches Material in Bezug auf unsere Lektion - wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Lassen Sie uns eine Zeichnung zeichnen (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Ich werde kein gebogenes Trapez ausbrüten, hier ist offensichtlich, von welchem Bereich wir sprechen. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, deshalb:

Antworten:

Wer hat Schwierigkeiten, ein bestimmtes Integral zu berechnen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden? , siehe Vortrag Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Form und eine Achse

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Komplette Lösung und Antwort am Ende des Tutorials.

Was tun, wenn sich das gebogene Trapez befindet unter der Achse?

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien und Koordinatenachsen begrenzten Form.

Lösung: Führen wir die Zeichnung aus:

Wenn das gekrümmte Trapez lokalisiert ist unter der Achse(oder zumindest nicht höher gegebene Achse), dann kann seine Fläche durch die Formel ermittelt werden:
In diesem Fall:

Beachtung! Die beiden Aufgabentypen sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mit einem bestimmten Integral zu ermitteln, ist die Fläche immer positiv! Deshalb erscheint Minus in der gerade betrachteten Formel.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Daher ist die untere Integrationsgrenze die obere Integrationsgrenze.
Es ist besser, diese Methode nach Möglichkeit nicht zu verwenden..

Es ist viel rentabler und schneller, die Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, während die Grenzen der Integration gleichsam "von selbst" deutlich werden. Die Technik des Point-by-Point-Plots für verschiedene Diagramme wird in der Hilfe ausführlich beschrieben. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen... Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die genaue Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Zurück zu unserem Problem: Es ist rationaler, zuerst eine Gerade und erst dann eine Parabel zu konstruieren. Führen wir die Zeichnung aus:

Ich wiederhole, dass bei einer punktweisen Konstruktion die Integrationsgrenzen am häufigsten von einem „Automaten“ ermittelt werden.

Im betrachteten Beispiel ist offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment oberhalb der Geraden befindet und daher von . subtrahiert werden muss

Die Vervollständigung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird oben durch eine Parabel und unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel ... Da die Achse durch die Gleichung gegeben ist und der Graph der Funktion liegt nicht höher Achse, dann

Und nun ein paar Beispiele zur Selbstlösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie die Fläche der Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Bei der Lösung von Problemen zur Flächenberechnung mit einem bestimmten Integral passiert manchmal ein komischer Vorfall. Die Zeichnung ist richtig gemacht, die Berechnungen sind korrekt, aber versehentlich ... der Bereich der falschen Figur wird gefunden, so hat dein bescheidener Diener es mehrmals vermasselt. Hier ist ein Fall aus dem echten Leben:

Beispiel 7

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird,,,.

Lösung: Zuerst führen wir die Zeichnung aus:

... Äh, eine miese Zeichnung ist rausgekommen, aber alles scheint lesbar zu sein.

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als es die Fläche einer Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet. Wirklich:

1) Auf dem Segment oberhalb der Achse befindet sich ein Liniendiagramm;

2) Der Hyperbelgraph befindet sich auf dem Segment oberhalb der Achse.

Es liegt auf der Hand, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antworten:

Kommen wir zu einer sinnvolleren Aufgabe.

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Form,
Lassen Sie uns die Gleichungen in der Form "Schule" darstellen und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung ausführen:

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass unsere Obergrenze "gut" ist:.
Aber was ist die untere Grenze?! Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber welche? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie dafür, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit erstellt wurde, kann es durchaus sein. Oder Wurzel. Was ist, wenn wir den Graphen überhaupt falsch gezeichnet haben?

In solchen Fällen müssen Sie zusätzliche Zeit aufwenden und die Integrationsgrenzen analytisch verfeinern.

Finden Sie die Schnittpunkte der Linie und der Parabel.
Dazu lösen wir die Gleichung:

,

Wirklich, .

Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache, man darf sich nicht in Substitutionen und Vorzeichen verwirren, die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Nun, zum Abschluss der Lektion werden wir zwei schwierigere Aufgaben betrachten.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur,

Lösung: Lassen Sie uns diese Figur in der Zeichnung darstellen.

Verdammt, ich habe vergessen, den Zeitplan zu unterschreiben, aber das Bild zu wiederholen, sorry, nicht heiß. Nicht zeichnen, kurz gesagt, heute ist der Tag =)

Für die Punkt-für-Punkt-Konstruktion müssen Sie das Aussehen der Sinuskurve kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich zu wissen Graphen aller elementaren Funktionen), sowie einige Sinuswerte finden Sie in trigonometrische Tabelle... In einigen Fällen (wie in diesem) ist es erlaubt, eine schematische Zeichnung zu konstruieren, auf der die Graphen und Integrationsgrenzen prinzipiell korrekt dargestellt werden sollen.

Mit den Integrationsgrenzen gibt es keine Probleme, sie folgen direkt aus der Bedingung: - "x" wechselt von Null auf "pi". Wir treffen eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, also: