Свойства на квадратни корени, когато a е по-голямо от 0. Квадратен корен. Изчерпателно ръководство (2019)

Имоти квадратни корени

Досега сме извършили пет аритметични операции върху числата: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване, както и в изчисленията, които активно са използвали различни свойстватези операции, например a + b = b + a, an-bn = (ab) n и т.н.

Тази глава въвежда нова операция - извличане корен квадратенот неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! LANG: Равенство" width="120" height="25 id=">!}.

Ще формулираме следващата теорема точно по този начин.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът от дроб е равно на дробот корените или коренът на частното е равен на частното от корените.)

Този път само ще донесем кратка бележкадоказателство и се опитвате да направите съответните коментари, подобни на тези, които формират същността на доказателството на теорема 1.

Забележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате калкулатор под ръка: умножете числата 36, 64, 9 и след това извлечете квадратния корен от получения продукт. Трябва обаче да признаете, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Забележка 4. При първия метод направихме изчисления „челно“. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a2 - b2 = (a - b) (a + b) и използва свойството квадратен корен.

Забележка 5. Някои горещи глави понякога предлагат това решение на Пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в нашия пример 3. Въпросът е, че няма свойство https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! LANG: Задание" width="148" height="26 id=">!}Има само свойства, свързани с умножение и деление на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимавайте да не си пожелавате.

Завършвайки раздела, отбелязваме още едно доста просто и в същото време важно свойство:
ако a> 0 и n - естествено число, тогава

Преобразуване на изрази, съдържащи операция квадратен корен

Досега ние с теб сме извършвали само трансформации рационални изрази, използвайки за това правилата за действия върху полиноми и алгебрични дроби, формули за съкратено умножение и др. В тази глава въведохме нова операция - операцията за извличане на квадратен корен; открихме това

където, припомнете си, a, b са неотрицателни числа.

Използвайки тези формули, можете да извършвате различни трансформации на изрази, съдържащи операция квадратен корен. Нека разгледаме няколко примера и във всички примери ще приемем, че променливите приемат само неотрицателни стойности.

Пример 3.Въведете множител под знака квадратен корен:

Пример 6... Решение за опростяване на изразите. Нека извършим последователни трансформации:

Урок и презентация по темата:
"Свойства на квадратен корен. Формули. Примери за решения, задачи с отговори"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания. Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин Интеграл за 8 клас
Интерактивен урок по геометрия за 10 минути за 8 клас
Образователен комплекс "1C: Училище. Геометрия, 8 клас"

Свойства квадратен корен

Продължаваме да изучаваме квадратни корени. Днес ще разгледаме основните свойства на корените. Всички основни свойства са интуитивни и в съответствие с всички операции, които сме изпълнявали преди.

Свойство 1. Квадратният корен от произведението на две неотрицателни числа е равен на произведението на квадратните корени на тези числа: $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (b) $.

Прието е да се доказват всякакви свойства, нека го направим.
Нека $ \ sqrt (a * b) = x $, $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $. След това доказваме, че $ x = y * z $.
Нека квадратираме всеки израз.
Ако $ \ sqrt (a * b) = x $, тогава $ a * b = x ^ 2 $.
Ако $ \ sqrt (a) = y $, $ \ sqrt (b) = z $, тогава квадратура на двата израза, получаваме: $ a = y ^ 2 $, $ b = z ^ 2 $.
$ a * b = x ^ 2 = y ^ 2 * z ^ 2 $, тоест $ x ^ 2 = (y * z) ^ 2 $. Ако квадратите на две неотрицателни числа са равни, тогава самите числа също са равни, както се изисква.

От нашето свойство следва, че например $ \ sqrt (5) * \ sqrt (3) = \ sqrt (15) $.

Забележка 1. Свойството е валидно и за случая, когато под корена има повече от два неотрицателни фактора.
Свойство 2. Ако $ a≥0 $ и $ b> 0 $, тогава е вярно следното равенство: $ \ sqrt (\ frac (a) (b)) = \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) $

Тоест коренът на частното е равен на частното от корените.
Доказателство.
Нека използваме таблицата и накратко докажем нашето свойство.

Примери за използване на свойствата на квадратни корени

Пример 1.
Изчислете: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

Решение.
Разбира се, можем да вземем калкулатор, да умножим всички числа под корен и да изпълним операцията с квадратен корен. И ако нямате калкулатор под ръка, какво да правите тогава?
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
Отговор: 495.

Пример 2. Изчислете: $ \ sqrt (11 \ frac (14) (25)) $.

Решение.
Представяме радикалното число като неправилна дроб: $ 11 \ frac (14) (25) = \ frac (11 * 25 + 14) (25) = \ frac (275 + 14) (25) = \ frac (289) (25) $.
Нека използваме свойство 2.
$ \ sqrt (\ frac (289) (25)) = \ frac (\ sqrt (289)) (\ sqrt (25)) = \ frac (17) (5) = 3 \ frac (2) (5) = 3,4 долара.
Отговор: 3.4.

Пример 3.
Изчислете: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Решение.
Можем да оценим нашия израз директно, но почти винаги можем да го опростим. Нека се опитаме да направим това.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Така че $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) = \ sqrt (16 * 64) = \ sqrt (16) * \ sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
Отговор: 32.

Момчета, имайте предвид, че за операциите събиране и изваждане на радикални изрази не съществуват формули и изразите по-долу не са правилни.
$ \ sqrt (a + b) ≠ \ sqrt (a) + \ sqrt (b) $.
$ \ sqrt (a-b) ≠ \ sqrt (a) - \ sqrt (b) $.

Пример 4.
Изчислете: а) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) $; б) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) $.
Решение.
Представените по-горе свойства работят както отляво надясно, така и в обратен ред, тоест:
$ \ sqrt (a) * \ sqrt (b) = \ sqrt (a * b) $.
$ \ frac (\ sqrt (a)) (\ sqrt (b)) = \ sqrt (\ frac (a) (b)) $.
Използвайки това, нека решим нашия пример.
а) $ \ sqrt (32) * \ sqrt (8) = \ sqrt (32 * 8) = \ sqrt (256) = 16. $

Б) $ \ frac (\ sqrt (32)) (\ sqrt (8)) = \ sqrt (\ frac (32) (8)) = \ sqrt (4) = 2 $.

Отговор: а) 16; б) 2.

Свойство 3. Ако $ a≥0 $ и n е естествено число, тогава е валидно равенството: $ \ sqrt (a ^ (2n)) = a ^ n $.

Например. $ \ sqrt (a ^ (16)) = a ^ 8 $, $ \ sqrt (a ^ (24)) = a ^ (12) $ и така нататък.

Пример 5.
Изчислете: $ \ sqrt (129600) $.

Решение.
Представеното ни число е доста голямо, нека го разложим на прости множители.
Получаваме: $ 129600 = 5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4 $ или $ \ sqrt (129600) = \ sqrt (5 ^ 2 * 2 ^ 6 * 3 ^ 4) = 5 * 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 5 * 8 * 9 = 360 $.
Отговор: 360.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Изчислете: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. Изчислете: $ \ sqrt (8 \ frac (1) (36)) $.
3. Изчислете: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. Изчислете:
а) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $;
б) $ \ frac (\ sqrt (128)) (\ sqrt (8)) $.

Тази статия е колекция от подробна информация, която се отнася до темата за коренните свойства. Разглеждайки темата, ще започнем със свойствата, ще проучим всички формулировки и ще предоставим доказателства. За да подсилим темата, ще разгледаме свойствата на n-та степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Свойства на корена

Ще говорим за имоти.

1. Имот умножени числа аи б, което се представя като равенството a b = a b. Може да се представи като фактори, положителни или равни на нула а 1, а 2,..., а ккато a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
2. от частното a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0, може да се запише и в този вид a b = a b;
3. Свойство от степен на число ас четен показател a 2 m = a m за произволно число а, например, свойство от квадрата на числото a 2 = a.

Във всяко от представените уравнения можете да размените частите преди и след тирето на места, например равенството a b = a b се трансформира като a b = a b. Свойствата на равенството често се използват за опростяване на сложни уравнения.

Доказателството на първите свойства се основава на дефиницията на квадратния корен и свойствата на степени с естествени експоненти. За да се обоснове третото свойство, е необходимо да се обърнем към определението на модула на число.

Първата стъпка е да се докажат свойствата на квадратния корен a b = a b. Според дефиницията е необходимо да се има предвид, че a b е число, положително или равно на нула, което ще бъде равно на а бпри издигане в квадрат. Стойността на израза a b е положителна или равна на нула като произведение на неотрицателни числа. Свойството на степента на умножените числа ви позволява да представите равенството във формата (a b) 2 = a 2 b 2. По дефиницията на квадратния корен a 2 = a и b 2 = b, тогава a b = a 2 b 2 = a b.

По подобен начин може да се докаже това от продукта кмножители а 1, а 2,..., а кще бъде равно на произведението на квадратните корени на тези фактори. Наистина, a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

От това равенство следва, че a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.

Нека разгледаме няколко примера, за да затвърдим темата.

Пример 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 и 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Необходимо е да се докаже свойството на аритметичния квадратен корен от частното: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. Свойството ви позволява да запишете равенството a: b 2 = a 2: b 2 и a 2: b 2 = a: b, като a: b е положително число или равно на нула. Този израз ще стане доказателство.

Например 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 и 3 0, 121 = 3 0, 121.

Помислете за свойството на квадратния корен от квадрата на число. Може да се запише като равенство като a 2 = a За да се докаже това свойство, е необходимо да разгледаме подробно няколко равенства за а ≥ 0и при а< 0 .

Очевидно е, че за a ≥ 0, равенството a 2 = a е вярно. В а< 0 равенството a 2 = - a ще бъде вярно. Всъщност в този случай - а> 0и (- а) 2 = а 2. Може да се заключи, че a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Доказаното свойство ще помогне да се обоснове a 2 m = a m, където а- истински и м-естествено число. Всъщност свойството да повишавате мощност ви позволява да замените силата а 2 мизразяване (а м) 2, тогава a 2 m = (a m) 2 = a m.

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Свойства на n-тия корен

Първо, трябва да разгледате основните свойства на корените от n-та степен:

1. Свойство от произведението на числата аи б, които са положителни или равни на нула, могат да се изразят като равенството a b n = a n b n, това свойство е валидно за произведението кчисла а 1, а 2,..., а ккато a 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
2. от дробно число има свойството a b n = a n b n, където а- всяко реално число, което е положително или равно на нула, и б- положително реално число;
3. За всякакви аи дори индикатори n = 2 m a 2 m 2 m = a, а за нечетни n = 2 m - 1важи равенството a 2 m - 1 2 m - 1 = a.
4. Свойство за извличане от a m n = a n m, където а- произволно число, положително или равно на нула, ни м- естествени числа, това свойство може да бъде представено и като. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2. ... ... · N k;
5. За всяко неотрицателно a и произволно ни м, които са естествени, можете също да определите справедливото равенство a m n · m = a n;
6. Степен на собственост нот силата на числото а, което е положително или равно на нула, в естествена степен мдефинирано от равенството a m n = a n m;
7. Свойство за сравнение, които имат същите показатели: за всякакви положителни числа аи бтакъв, че а< b , неравенството a n< b n ;
8. Сравнение свойство, което имат същите числапод корена: ако ми н -естествени числа, които m> n, след това при 0 < a < 1 неравенството a m> a n е вярно и за а> 1а м< a n .

Посочените по-горе равенства са валидни, ако частите преди и след знака за равенство се разменят. Те могат да се използват като такива. Това често се използва при опростяване или преобразуване на изрази.

Доказателството за горните свойства на корена се основава на определението, свойствата на степента и определението на модула на число. Тези свойства трябва да бъдат доказани. Но всичко е наред.

1. Преди всичко доказваме свойствата на n-ия корен от произведението a b n = a n b n. За аи б коитоса положителен или равен на нула , стойността a n · b n също е положителна или равна на нула, тъй като е следствие от умножението на неотрицателни числа. Свойството на произведението в естествена степен ни позволява да запишем равенството a n b n n = a n n b n n. По дефиниция на корена н-та степен a n n = a и b n n = b, следователно, a n b n n = a b. Полученото равенство е точно това, което се изискваше да се докаже.

Това свойство се доказва по подобен начин за продукта кфактори: за неотрицателни числа a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Ето някои примери за използване на свойството root н-та степен от произведението: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 и 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

1. Нека докажем свойството на корена на частното a b n = a n b n. В а ≥ 0и b> 0условието a n b n ≥ 0 е изпълнено и a n b n n = a n n b n n = a b.

Нека покажем примери:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. За Следваща стъпканеобходимо е да се докажат свойствата на n-та степен от числото към степента н... Представяме това като равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a за всяко реално аи естествено м... В а ≥ 0получаваме a = a и a 2 m = a 2 m, което доказва равенството a 2 m 2 m = a, а равенството a 2 m - 1 2 m - 1 = a е очевидно. В а< 0 получаваме съответно a = - a и a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Последната трансформация на числото е справедлива според свойството на степента. Това доказва равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a ще бъде вярно, тъй като за нечетна степен считаме - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 за произволно число ° С,положителен или равен на нула.

За да консолидирате получената информация, разгледайте няколко примера за използване на свойството:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 и (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Нека докажем следното равенство a m n = a n · m. За да направите това, трябва да промените числата преди знака за равенство и след него на места a n · m = a m n. Ще означава правилно вписване... За а,което е положително или равно на нула , от формата a m n е число положително или равно на нула. Нека се обърнем към свойството за повишаване на степента до степен и нейното определение. Те могат да се използват за преобразуване на равенства във формата a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Това доказва свойството на корена от разглеждания корен.

Други свойства се доказват по подобен начин. Наистина ли, . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2 ... ... · N k =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3 ... ... · N k =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · N k =. ... ... = a n k n k = a.

Например 7 3 5 = 7 5 3 и 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Да докажем следващ имот a m n m = a n. За да направите това, е необходимо да се покаже, че n е число, положително или равно на нула. Когато се повдигне на степен n m е равно а м... Ако номерът атогава е положително или равно на нула н-та степен измежду ае число положително или равно на нула. В този случай a n · m n = a n n m, както се изисква.

За да консолидирате получените знания, разгледайте няколко примера.

1. Нека докажем следното свойство - свойството на корен от степен от вида a m n = a n m. Очевидно, за а ≥ 0степента a n m е неотрицателно число. Освен това, неговата н-та степен е а м, наистина, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Това доказва свойството на разглежданата степен.

Например, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Това е необходимо да се докаже за всякакви положителни числа аи b условието а< b ... Да разгледаме неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b ... Следователно, a n< b n при а< b .

Например, нека дадем 12 4< 15 2 3 4 .

1. Помислете за коренното свойство н-та степен. Първо, трябва да разгледаме първата част от неравенството. В m> nи 0 < a < 1 вярно a m> a n. Да предположим, че a m ≤ a n. Свойствата ще опростят израза до a n m · n ≤ a m m · n. Тогава, според свойствата на степен с естествен показател, неравенството a n m n m n ≤ a m m n m n е изпълнено, т.е. a n ≤ a m... Получената стойност при m> nи 0 < a < 1 не съответства на свойствата по-горе.

По същия начин може да се докаже, че за m> nи а> 1условието a m< a n .

За да консолидирате горните свойства, разгледайте няколко конкретни примери... Помислете за неравенствата, като използвате конкретни числа.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Факт 1.
\ (\ bullet \) Вземете някакво неотрицателно число \ (a \) (тоест \ (a \ geqslant 0 \)). След това (аритметика) корен квадратенот числото \ (a \) се нарича такова неотрицателно число \ (b \), при квадратурата получаваме числото \ (a \): \ [\ sqrt a = b \ quad \ текст (същото като) \ quad a = b ^ 2 \]От определението следва, че \ (a \ geqslant 0, b \ geqslant 0 \). Тези ограничения са важно условиесъществуването на корен квадратен и те трябва да се запомнят!
Припомнете си, че всяко число в квадрат дава неотрицателен резултат. Тоест \ (100 ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \) и \ ((- 100) ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \).
\ (\ bullet \) Какво е \ (\ sqrt (25) \)? Знаем, че \ (5 ^ 2 = 25 \) и \ ((- 5) ^ 2 = 25 \). Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава \ (- 5 \) не отговаря, следователно, \ (\ sqrt (25) = 5 \) (тъй като \ (25 = 5 ^ 2 \)) .
Намирането на стойността \ (\ sqrt a \) се нарича вземане на корен квадратен от числото \ (a \), а числото \ (a \) се нарича радикален израз.
\ (\ bullet \) Въз основа на дефиницията, изразът \ (\ sqrt (-25) \), \ (\ sqrt (-4) \) и т.н. няма смисъл.

Факт 2.
За бързо изчислениеще бъде полезно да научите таблицата на квадратите с естествени числа от \ (1 \) до \ (20 \): \ [\ начало (масив) (| ll |) \ hline 1 ^ 2 = 1 & \ quad11 ^ 2 = 121 \\ 2 ^ 2 = 4 & \ quad12 ^ 2 = 144 \\ 3 ^ 2 = 9 & \ quad13 ^ 2 = 169 \\ 4 ^ 2 = 16 & \ quad14 ^ 2 = 196 \\ 5 ^ 2 = 25 & \ quad15 ^ 2 = 225 \\ 6 ^ 2 = 36 & \ quad16 ^ 2 = 256 \\ 7 2 = 49 & \ quad17 ^ 2 = 289 \\ 8 ^ 2 = 64 & \ quad18 ^ 2 = 324 \\ 9 ^ 2 = 81 & \ quad19 ^ 2 = 361 \\ 10 ^ 2 = 100 & \^ quad = 400 \\ \ hline \ край (масив) \]

Факт 3.
Какво може да се направи с квадратни корени?
\ (\ куршум \) Сборът или разликата от квадратни корени НЕ Е РАВНА на квадратния корен от сбора или разликата, т.е. \ [\ sqrt a \ pm \ sqrt b \ ne \ sqrt (a \ pm b) \]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \ (\ sqrt (25) + \ sqrt (49) \), тогава първоначално трябва да намерите стойностите \ (\ sqrt (25) \) и \ (\ sqrt (49) \ ) и след това ги сгънете. следователно, \ [\ sqrt (25) + \ sqrt (49) = 5 + 7 = 12 \] Ако стойностите \ (\ sqrt a \) или \ (\ sqrt b \) не могат да бъдат намерени при добавяне на \ (\ sqrt a + \ sqrt b \), тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава същият. Например, в сбора \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) \) можем да намерим \ (\ sqrt (49) \) - това е \ (7 \), но \ (\ sqrt 2 \) не може да бъде следователно преобразувани по някакъв начин \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) = \ sqrt 2 + 7 \)... За съжаление този израз не може да бъде опростен допълнително.\ (\ bullet \) Продуктът/коефициентът от квадратни корени е равен на квадратния корен от продукта/коефициента, т.е. \ [\ sqrt a \ cdot \ sqrt b = \ sqrt (ab) \ quad \ текст (и) \ quad \ sqrt a: \ sqrt b = \ sqrt (a: b) \] (при условие че и двете страни на равенствата имат смисъл)
пример: \ (\ sqrt (32) \ cdot \ sqrt 2 = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8 \); \ (\ sqrt (768): \ sqrt3 = \ sqrt (768: 3) = \ sqrt (256) = 16 \); \ (\ sqrt ((- 25) \ cdot (-64)) = \ sqrt (25 \ cdot 64) = \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (64) = 5 \ cdot 8 = 40 \)... \ (\ bullet \) Използвайки тези свойства, е удобно да намерите квадратните корени от големи числакато ги факторинг.
Нека да разгледаме един пример. Намерете \ (\ sqrt (44100) \). Тъй като \ (44100: 100 = 441 \), то \ (44100 = 100 \ cdot 441 \). Въз основа на делимост числото \ (441 \) се дели на \ (9 \) (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно, \ (441: 9 = 49 \), че е \ (441 = 9 \ cdot 49 \).
Така получихме: \ [\ sqrt (44100) = \ sqrt (9 \ cdot 49 \ cdot 100) = \ sqrt9 \ cdot \ sqrt (49) \ cdot \ sqrt (100) = 3 \ cdot 7 \ cdot 10 = 210 \]Да вземем друг пример: \ [\ sqrt (\ dfrac (32 \ cdot 294) (27)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 49 \ cdot 2) (9 \ cdot 3)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot4 \ cdot49) (9)) = \ dfrac (\ sqrt (16) \ cdot \ sqrt4 \ cdot \ sqrt (49)) (\ sqrt9) = \ dfrac (4 \ cdot 2 \ cdot 7) 3 = \ dfrac (56) 3 \]
\ (\ bullet \) Нека покажем как се въвеждат числа под знака квадратен корен, като използваме примера на израза \ (5 \ sqrt2 \) (съкратено за израза \ (5 \ cdot \ sqrt2 \)). Тъй като \ (5 = \ sqrt (25) \), тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 = 4 \ sqrt2 \),
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) \ (\ sqrt a + \ sqrt a = 2 \ sqrt a \).

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбрахте, не можем по някакъв начин да преобразуваме числото \ (\ sqrt2 \). Нека си представим, че \ (\ sqrt2 \) е някакво число \ (a \). Съответно, изразът \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 \) не е нищо повече от \ (a + 3a \) (едно число \ (a \) плюс още три от същото число \ (a \)). И знаем, че е равно на четири такива числа \ (a \), тоест \ (4 \ sqrt2 \).

Факт 4.
\ (\ bullet \) Често се казва „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака \ (\ sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на някакво число. Например, можете да извлечете корена на числото \ (16 \), защото \ (16 = 4 ^ 2 \), следователно \ (\ sqrt (16) = 4 \). Но е невъзможно да се извлече коренът от числото \ (3 \), тоест да се намери \ (\ sqrt3 \), защото няма такова число, което да даде \ (3 \) в квадрата.
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числата \ (\ sqrt3, \ 1+ \ sqrt2, \ \ sqrt (15) \)и т.н. са ирационални.
Също така ирационални са числата \ (\ pi \) (числото "pi", приблизително равно на \ (3.14 \)), \ (e \) (това число се нарича число на Ойлер, приблизително равно на \ (2.7 \) ) и др.
\ (\ bullet \) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде или рационално, или ирационално. И заедно всичко е рационално и всичко ирационални числаобразуват набор, наречен набор от реални (реални) числа.Това множество се обозначава с буквата \ (\ mathbb (R) \).
Следователно всички номера, които са включени този моментзнаем, че се наричат ​​реални числа.

Факт 5.
\ (\ bullet \) Модулът на реално число \ (a \) е неотрицателно число \ (| a | \), равно на разстоянието от точката \ (a \) до \ (0 \) на истинска линия. Например, \ (| 3 | \) и \ (| -3 | \) са равни на 3, тъй като разстоянията от точки \ (3 \) и \ (- 3 \) до \ (0 \) са еднакви и са равни на \ (3 \).
\ (\ bullet \) Ако \ (a \) е неотрицателно число, то \ (| a | = a \).
Пример: \ (| 5 | = 5 \); \ (\ qquad | \ sqrt2 | = \ sqrt2 \). \ (\ bullet \) Ако \ (a \) е отрицателно число, тогава \ (| a | = -a \).
Пример: \ (| -5 | = - (- 5) = 5 \); \ (\ qquad | - \ sqrt3 | = - (- \ sqrt3) = \ sqrt3 \).
Казват, че модулът на отрицателните числа "изяжда" минус, а положителните числа, както и числото \ (0 \), модулът оставя непроменени.
НОтова правило работи само за числа. Ако под знака на модула имате неизвестно \ (x \) (или някакво друго неизвестно), например \ (| x | \), за което не знаем, дали е положително, нула или отрицателно, тогава се отървете на модула не можем. В този случай този израз остава такъв: \ (| x | \). \ (\ bullet \) Следните формули са валидни: \ [(\ large (\ sqrt (a ^ 2) = | a |)) \] \ [(\ голям ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a)), \ текст (при условие) a \ geqslant 0 \]Допуска се много често срещана грешка: казват, че \ (\ sqrt (a ^ 2) \) и \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) са едно и също. Това е вярно само ако \ (a \) е положително число или нула. Но ако \ (a \) е отрицателно число, това не е вярно. Достатъчно е да разгледаме такъв пример. Нека вземем числото \ (- 1 \) вместо \ (a \). Тогава \ (\ sqrt ((- 1) ^ 2) = \ sqrt (1) = 1 \), но изразът \ ((\ sqrt (-1)) ^ 2 \) изобщо не съществува (в края на краищата, невъзможно е под знака корен да се поставят отрицателни числа!).
Затова обръщаме внимание на факта, че \ (\ sqrt (a ^ 2) \) не е равно на \ ((\ sqrt a) ^ 2 \)!Пример: 1) \ (\ sqrt (\ вляво (- \ sqrt2 \ вдясно) ^ 2) = | - \ sqrt2 | = \ sqrt2 \)от \ (- \ sqrt2<0\) ;

\ (\ фантом (00000) \) 2) \ ((\ sqrt (2)) ^ 2 = 2 \). \ (\ куршум \) Тъй като \ (\ sqrt (a ^ 2) = | a | \), то \ [\ sqrt (a ^ (2n)) = | a ^ n | \] (израз \ (2n \) означава четно число)
Тоест при извличане на корен от число, което е до известна степен, тази степен се намалява наполовина.
пример:
1) \ (\ sqrt (4 ^ 6) = | 4 ^ 3 | = 4 ^ 3 = 64 \)
2) \ (\ sqrt ((- 25) ^ 2) = | -25 | = 25 \) (обърнете внимание, че ако модулът не е инсталиран, се оказва, че коренът на числото е \ (- 25 \); но помним, че според дефиницията на корен това не може да бъде: винаги имаме положително число или нула, когато извличаме корен)
3) \ (\ sqrt (x ^ (16)) = | x ^ 8 | = x ^ 8 \) (тъй като всяко число в четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как се сравняват два квадратни корена?
\ (\ bullet \) За квадратни корени е вярно: if \ (\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(aпример:
1) сравнете \ (\ sqrt (50) \) и \ (6 \ sqrt2 \). Първо, нека преобразуваме втория израз в \ (\ sqrt (36) \ cdot \ sqrt2 = \ sqrt (36 \ cdot 2) = \ sqrt (72) \)... Така, тъй като \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какви цели числа е \ (\ sqrt (50) \)?
Тъй като \ (\ sqrt (49) = 7 \), \ (\ sqrt (64) = 8 \) и \ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравнете \ (\ sqrt 2-1 \) и \ (0,5 \). Да предположим \ (\ sqrt2-1> 0,5 \): \ [\ начало (подравнено) & \ sqrt 2-1> 0,5 \ \ голям | +1 \ quad \ текст ((добавете един към двете страни)) \\ & \ sqrt2> 0,5 + 1 \ \ голям | \ ^ 2 \ quad \ текст ((квадрат от двете страни)) \\ & 2> 1,5 ^ 2 \\ & 2> 2,25 \ край (подравнен) \]Виждаме, че получихме грешно неравенство. Следователно нашето предположение беше погрешно и \ (\ sqrt 2-1<0,5\) .
Обърнете внимание, че добавянето на число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножението/делянето на двете страни на неравенството с положително число също не влияе на неговия знак, а умножението/делянето на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да квадратирате двете страни на уравнението/неравенството САМО КОГАТО и двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример, двете страни могат да бъдат на квадрат, в неравенството \ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \ (\ bullet \) Запомнете това \ [\ начало (подравнено) & \ sqrt 2 \ приблизително 1,4 \\ & \ sqrt 3 \ приблизително 1,7 \ край (подравнено) \]Познаването на приблизителната стойност на тези числа ще ви помогне при сравняване на числа! \ (\ bullet \) За да извлечете корена (ако е извлечен) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ се намира, след това - между кои „ десетки”, и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи с пример.
Вземете \ (\ sqrt (28224) \). Знаем, че \ (100 ^ 2 = 10 \, 000 \), \ (200 ^ 2 = 40 \, 000 \) и т.н. Обърнете внимание, че \ (28224 \) е между \ (10 ​​\, 000 \) и \ (40 \, 000 \). Следователно \ (\ sqrt (28224) \) е между \ (100 \) и \ (200 \).
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (тоест, например, между \ (120 \) и \ (130 \)). Също така от таблицата с квадратите знаем, че \ (11 ^ 2 = 121 \), \ (12 ^ 2 = 144 \) и т.н., след това \ (110 ^ 2 = 12100 \), \ (120 ^ 2 = 14400 \), \ (130 ^ 2 = 16900 \), \ (140 ^ 2 = 19600 \), \ (150 ^ 2 = 22500 \), \ (160 ^ 2 = 25600 \), \ (170 ^ 2 = 28900 \). Така виждаме, че \ (28224 \) е между \ (160 ^ 2 \) и \ (170 ^ 2 \). Следователно числото \ (\ sqrt (28224) \) е между \ (160 \) и \ (170 \).
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа в края на \ (4 \), когато са на квадрат? Това са \ (2 ^ 2 \) и \ (8 ^ 2 \). Следователно \ (\ sqrt (28224) \) ще завърши с 2 или 8. Нека проверим това. Намерете \ (162 ^ 2 \) и \ (168 ^ 2 \):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \).
Следователно \ (\ sqrt (28224) = 168 \). Voila!

За да се реши адекватно изпита по математика, на първо място е необходимо да се проучи теоретичния материал, който въвежда многобройните теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че е доста просто. Въпреки това намирането на източник, в който теорията за изпита по математика е представена лесно и разбираемо за студенти от всякакво ниво на обучение, всъщност е доста трудна задача. Учебниците не винаги се държат под ръка. А намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които се явяват на изпита?

1. Защото разширява кръгозора ви.... Изучаването на теоретичния материал по математика е полезно за всички, които искат да получат отговори на широк кръг въпроси, свързани с познаването на заобикалящия свят. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелигентността... Изучавайки референтни материали за изпита по математика, както и решаването на различни задачи, човек се научава да мисли логично и да разсъждава, компетентно и ясно формулира мисли. Развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизиране и представяне на образователни материали.

Математиката се ражда, когато човек осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля - това лежеше в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха частици от елементарна математика, които направиха възможно свързването на числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, „математика достигна тавана на сложността, когато изчезнаха всички числа." Концепцията за "квадратен корен" се появи във време, когато можеше лесно да бъде подкрепена с емпирични данни, надхвърлящи равнината на изчисленията.

Как започна всичко

Първото споменаване на корена, който в момента се обозначава като √, е записано в трудовете на вавилонските математици, които положиха основата на съвременната аритметика. Разбира се, те не приличаха на сегашната форма - учените от онези години първо използваха обемни таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. NS те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показа как се извлича квадратен корен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонските учени са издълбали процеса на извод √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора е открито едва на десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използваше, ако е било необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато решавате квадратни уравнения, не можете да се измъкнете от извличането на корена.

Наред с вавилонските произведения, обектът на статията е изследван и в китайската работа „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не е извлечен без остатък, дава ирационален резултат .

Произходът на този термин се свързва с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, като растение. На латински тази дума звучи като radix (можете да проследите модел - всичко, което има "корен" семантичен товар под него, е съгласно, било то репички или радикулит).

Учените от следващите поколения подеха тази идея, наричайки я Rx. Например, през 15-ти век, за да се посочи, че е извлечен квадратен корен от произволно число a, те написват R 2 a. "Кърлежът", познат на съвременния облик, се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически корен квадратен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 = y е еквивалентно на √y = z. Това определение обаче е от значение само за аритметичния корен, тъй като предполага неотрицателната стойност на израза. С други думи, √y = z, където z е по-голямо или равно на 0.

В общия случай, който е валиден за определяне на алгебричен корен, стойността на израз може да бъде положителна или отрицателна. По този начин, тъй като z 2 = y и (-z) 2 = y, имаме: √y = ± z или √y = | z |.

Поради факта, че любовта към математиката само нараства с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, които не се изразяват в сухи изчисления. Например, наред с такива забавни явления като деня на числото Пи, се празнуват и празниците на квадратния корен. Те се празнуват девет пъти на сто години и се определят според следния принцип: числата, които обозначават деня и месеца по ред, трябва да бъдат корен квадратен от годината. И така, следващия път този празник ще бъде отбелязан на 4 април 2016 г.

Свойства квадратен корен на полето R

Почти всички математически изрази са геометрично базирани, тази съдба не е пощадена и √y, което се определя като страната на квадрат с площ y.

Как да намеря корена на число?

Има няколко алгоритма за изчисление. Най-простото, но в същото време доста тромаво е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) нечетните числа се изваждат от числото, чийто корен се нуждаем от своя страна, докато остатъкът на изхода е по-малък от изваденото или дори нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане необходимия брой. Например, изчисляване на квадратен корен от 25:

Следващото нечетно число е 11, имаме следния остатък: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение за серия Тейлър:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, където n варира от 0 до

+ ∞ и | y | ≤1.

Графично представяне на функцията z = √y

Да разгледаме елементарна функция z = √y върху полето на реалните числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Графиката му изглежда така:

Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z = √y върху полето на реалните числа R

1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (включва се нулата).

2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата отново е включена).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z = √y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z = √y не е периодична.

6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z = √y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z = √y също е нулата на тази функция.

8. Функцията z = √y нараства непрекъснато.

9. Функцията z = √y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Варианти на функцията z = √y

В математиката, за да улеснят изчисляването на сложни изрази, понякога използват степенната форма на запис на квадратен корен: √y = y 1/2. Тази опция е удобна например при издигане на функция до степен: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него коренът квадратен се представя от обикновена степенна функция.

А в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Трябва да се отбележи, че в тази област квадратният корен е в голямо търсене, тъй като е включен в повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се извиква).

Квадратен корен в комплексно поле C

Като цяло именно темата на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на четен корен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: квадратът й е -1. Поради това квадратните уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C за корен квадратен са от значение същите свойства като в R, единственото нещо е, че ограниченията са премахнати от радикалния израз.