Ирационално записване на числата. Какво представляват рационалните и ирационалните числа

Цели числа

Определението на естествените числа са цели положителни числа. Естествените числа се използват за броене на обекти и за много други цели. Ето и числата:

Това е естествена поредица от числа.
Нулата е естествено число? Не, нулата не е естествено число.
Колко естествени числа има? Има безкраен набор от естествени числа.
Кое е най-малкото естествено число? Едно е най-малкото естествено число.
Кое е най-голямото естествено число? Не може да се уточни, защото има безкраен набор от естествени числа.

Сборът от естествени числа е естествено число. И така, добавянето на естествени числа a и b:

Произведението на естествените числа е естествено число. И така, произведението на естествените числа a и b:

c винаги е естествено число.

Разлика на естествените числа Не винаги има естествено число. Ако минусът е по-голям от изваждането, тогава разликата на естествените числа е естествено число, в противен случай не е.

Коефициентът на естествените числа Не винаги има естествено число. Ако за естествени числа a и b

където c е естествено число, това означава, че a се дели равномерно на b. В този пример a е дивидентът, b е делителят, c е частното.

Делителят на естествено число е естественото число, на което първото число се дели равномерно.

Всяко естествено число се дели на 1 и на себе си.

Простите естествени числа се делят само на 1 и на себе си. Тук имаме предвид напълно разделен. Пример, числа 2; 3; 5; 7 се дели само на 1 и на себе си. Това са прости естествени числа.

Едно не се счита за просто число.

Числата, които са по-големи от едно и които не са прости, се наричат съставни числа. Примери за съставни числа:

Едно не се счита за съставно число.

Множеството естествени числа се състои от едно, прости числа и съставни числа.

Множеството естествени числа се обозначава с латинската буква N.

Свойства на събиране и умножение на естествени числа:

комутативно свойство на събиране

асоциативно свойство на събиране

(a + b) + c = a + (b + c);

комутативно свойство на умножението

асоциативно свойство на умножението

(ab)c = a(bc);

разпределително свойство на умножение

A (b + c) = ab + ac;

Цели числа

Целите числа са естествени числа, нула и противоположни на естествените числа.

Числата, противоположни на естествените числа, са цели отрицателни числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Наборът от цели числа се обозначава с латинската буква Z.

Рационални числа

Рационалните числа са цели числа и дроби.

Всяко рационално число може да бъде представено като периодична дроб. Примери:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

От примерите може да се види, че всяко цяло число е периодична дроб с период нула.

Всяко рационално число може да бъде представено като дроб m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Нека представим числото 3,(6) от предишния пример като такава дроб.

Разбирането на числата, особено на естествените, е едно от най-старите математически „умения“. Много цивилизации, дори съвременни, приписват някои мистични свойства на числата поради голямото им значение при описването на природата. все пак съвременната наукаи математиката не потвърждава тези "магически" свойства, значението на теорията на числата е неоспоримо.

В исторически план в началото се появиха много естествени числа, след което доста скоро към тях бяха добавени дроби и положителни числа. ирационални числа. След тези подмножества на набора от реални числа бяха въведени нула и отрицателни числа. Последният набор, наборът от комплексни числа, се появява едва с развитието на съвременната наука.

В съвременната математика числата се въвеждат не в исторически ред, макар и в доста близък до него.

Естествени числа $\mathbb(N)$

Наборът от естествени числа често се обозначава като $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ и често се допълва с нула, за да се обозначи $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ дефинира операциите събиране (+) и умножение ($\cdot$) с следните свойстваза всякакви $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ множеството $\mathbb(N)$ е затворено при събиране и умножение
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативност
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ асоциативност
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивност
5. $a\cdot 1=a$ е неутралният елемент за умножение

Тъй като наборът $\mathbb(N)$ съдържа неутрален елемент за умножение, но не и за събиране, добавянето на нула към този набор гарантира, че включва неутрален елемент за събиране.

В допълнение към тези две операции, на множеството $\mathbb(N)$ отношенията "по-малко от" ($

1. $a b$ трихотомия
2. ако $a\leq b$ и $b\leq a$, тогава $a=b$ е антисиметрия
3. ако $a\leq b$ и $b\leq c$, тогава $a\leq c$ е преходна
4. ако $a\leq b$, тогава $a+c\leq b+c$
5. ако $a\leq b$, тогава $a\cdot c\leq b\cdot c$

Цели числа $\mathbb(Z)$

Примери за цели числа:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решението на уравнението $a+x=b$, където $a$ и $b$ са известни естествени числа, а $x$ е неизвестно естествено число, изисква въвеждането на нова операция - изваждане(-). Ако има естествено число $x$, което удовлетворява това уравнение, тогава $x=b-a$. Това конкретно уравнение обаче не е задължително да има решение на множеството $\mathbb(N)$, така че практическите съображения изискват разширяване на набора от естествени числа по такъв начин, че да включва решения на такова уравнение. Това води до въвеждането на набор от цели числа: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Тъй като $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логично е да приемем, че въведените по-рано операции $+$ и $\cdot$ и отношението $ 1. $0+a=a+0=a$ има неутрален елемент за допълнения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ има противоположно число $-a$ за $a$

5. Имот:
5. ако $0\leq a$ и $0\leq b$, тогава $0\leq a\cdot b$

Множеството $\mathbb(Z) $ също е затворено при изваждане, тоест $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Рационални числа $\mathbb(Q)$

Примери рационални числа:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Сега разгледайте уравнения от вида $a\cdot x=b$, където $a$ и $b$ са известни цели числа, а $x$ е неизвестно. За да стане възможно решението, е необходимо да се въведе операцията за разделяне ($:$) и решението става $x=b:a$, тоест $x=\frac(b)(a)$. Отново възниква проблемът, че $x$ не винаги принадлежи на $\mathbb(Z)$, така че наборът от цели числа трябва да бъде разширен. Така въвеждаме множеството от рационални числа $\mathbb(Q)$ с елементи $\frac(p)(q)$, където $p\in \mathbb(Z)$ и $q\in \mathbb(N) $. Множеството $\mathbb(Z)$ е подмножество, в което всеки елемент $q=1$, следователно $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ и операциите по събиране и умножение също са разширени до това множество от следните правила, които запазват всички горни свойства също и на набора $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Разделението се въвежда така:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

На множеството $\mathbb(Q)$, уравнението $a\cdot x=b$ има уникално решение за всяко $a\neq 0$ (не е дефинирано деление на нула). Това означава, че има обратен елемент $\frac(1)(a)$ или $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Редът на множеството $\mathbb(Q)$ може да бъде разширен по следния начин:
$\frac(p_1)(q_1)

Множеството $\mathbb(Q)$ има едно важно свойство: между всякакви две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, следователно няма две съседни рационални числа, за разлика от наборите от естествени и цели числа.

Ирационални числа $\mathbb(I)$

Примери за ирационални числа:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \приблизително 1,41422135...$
$\pi \приблизително 3,1415926535...$

Тъй като има безкрайно много други рационални числа между всякакви две рационални числа, лесно е да се направи погрешно заключение, че множеството от рационални числа е толкова плътно, че няма нужда да се разширява допълнително. Дори Питагор веднъж направи такава грешка. Неговите съвременници обаче вече опровергаха това заключение, когато изучаваха решенията на уравнението $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) върху множеството от рационални числа. За да се реши такова уравнение, е необходимо да се въведе понятието квадратен корен и тогава решението на това уравнение има формата $x=\sqrt(2)$. Уравнение от типа $x^2=a$, където $a$ е известно рационално число, а $x$ е неизвестно, не винаги има решение на множеството от рационални числа и отново има нужда за разширяване на комплекта. Възниква набор от ирационални числа и такива числа като $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... принадлежат към това множество.

Реални числа $\mathbb(R)$

Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множеството от реални числа. Тъй като $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, отново е логично да се приеме, че въведените аритметични операции и отношения запазват свойствата си на новото множество. Формалното доказателство за това е много трудно, така че споменатите по-горе свойства на аритметичните операции и отношения върху множеството от реални числа се въвеждат като аксиоми. В алгебрата такъв обект се нарича поле, така че множеството от реални числа се казва, че е подредено поле.

За да бъде пълна дефиницията на множеството от реални числа, е необходимо да се въведе допълнителна аксиома, която разграничава множествата $\mathbb(Q)$ и $\mathbb(R)$. Да приемем, че $S$ е непразно подмножество от набора от реални числа. Елемент $b\in \mathbb(R)$ се нарича горна граница на $S$, ако $\forall x\in S$ удовлетворява $x\leq b$. Тогава се казва, че множеството $S$ е ограничено отгоре. Най-ниската горна граница на множество $S$ се нарича supremum и се означава с $\sup S$. По подобен начин се въвеждат понятията за долна граница, ограничено отдолу множество и инфиниум $\inf S$. Сега липсващата аксиома е формулирана по следния начин:

Всяко непразно и ограничено отгоре подмножество на множеството от реални числа има супремум.
Може също да се докаже, че полето на реалните числа, определено по-горе, е уникално.

Комплексни числа$\mathbb(C)$

Примери за комплексни числа:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ където $i = \sqrt(-1)$ или $i^2 = -1$

Наборът от комплексни числа е всички подредени двойки реални числа, т.е. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, върху които операциите на събиране и умножението се дефинират по следния начин:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Има няколко начина за записване на комплексни числа, най-често срещаният от които е $z=a+ib$, където $(a,b)$ е двойка реални числа, а числото $i=(0,1)$ се нарича въображаема единица.

Лесно е да се покаже, че $i^2=-1$. Разширяването на множеството $\mathbb(R)$ към множеството $\mathbb(C)$ ни позволява да дефинираме Корен квадратенна отрицателни числа, което е причината за въвеждането на множеството от комплексни числа. Също така е лесно да се покаже, че подмножество от множеството $\mathbb(C)$, дадено като $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, удовлетворява всички аксиомите за реални числа, следователно $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, или $R\subset\mathbb(C)$.

Алгебричната структура на множеството $\mathbb(C)$ по отношение на операциите събиране и умножение има следните свойства:
1. комутативност на събиране и умножение
2. асоциативност на събиране и умножение
3. $0+i0$ - неутрален елемент за събиране
4. $1+i0$ - неутрален елемент за умножение
5. умножението е разпределително по отношение на събирането
6. Има един инверсен елемент както за събиране, така и за умножение.

Множеството от ирационални числа обикновено се обозначава с главна латинска буква I (\displaystyle \mathbb (I) )с удебелен шрифт без запълване. По този начин: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \обратна наклонена черта \mathbb (Q) ), тоест множеството от ирационални числа е разликата между множеството от реални и рационални числа.

Съществуването на ирационални числа, по-точно отсечки, които са несъизмерими с отсечка с единична дължина, вече е било известно на древните математици: те са знаели, например, несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на броя.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5
Ирационални са:

Примери за доказване на ирационалност

Корен от 2

Да кажем обратното: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))рационално, тоест представено като дроб m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), където m (\displaystyle m)е цяло число и n (\displaystyle n)- естествено число.
Нека квадратурираме предполагаемото равенство:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Стрелка надясно m^(2)=2n^(2)).
История

Античността

Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр.н.е., когато Манава (около 750 г. пр. н. е. - около 690 г. пр. н. е.) открива, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изрично изразени [ ] .
Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. н. е.), питагореец. По времето на питагорейците се смяташе, че има единична единица дължина, достатъчно малка и неделима, която е цял брой пъти, включена във всеки сегмент [ ] .
Няма точни данни за ирационалността на кое число е доказано от Хипас. Според легендата той го намерил, като изучил дължините на страните на пентаграма. Следователно е разумно да се предположи, че това е златното съотношение [ ] .
Гръцките математици наричат това съотношение на несъизмерими величини alogos(неизразимо), но според легендите на Хипас не е отдадено дължимото уважение. Има легенда, че Хипас е направил откритието по време на морско пътуване и е бил хвърлен зад борда от други питагорейци „за създаването на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните съотношения. " Откриването на Хипас постави пред питагорейската математика сериозен проблем, разрушавайки предположението, залегнало в основата на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно цяло и неразделни.

рационално числое число, представено с обикновена дроб m/n, където числителят m е цяло число, а знаменателят n е естествено число. Всяко рационално число може да бъде представено като периодично безкрайно десетична дроб. Множеството от рационални числа се означава с Q.

Ако реално число не е рационално, значи е ирационално число. Десетичните дроби, изразяващи ирационални числа, са безкрайни и не са периодични. Множеството от ирационални числа обикновено се обозначава с главната латинска буква I.

Истинското число се нарича алгебрични, ако е корен от някакъв полином (ненулева степен) с рационални коефициенти. Извиква се всяко неалгебрично число трансцендентен.

Някои свойства:
При решаване на задачи е удобно, заедно с ирационалното число a + b√ c (където a, b са рационални числа, c е цяло число, което не е квадрат от естествено число), да се разглежда числото, „конюгирано“ с it a - b√ c: неговата сума и произведение с оригиналните - рационални числа. Значи a + b√ c и a – b√ c са корени квадратно уравнениес цели коефициенти.

Проблеми с решения

1. Докажете това

а) число √ 7;

б) число lg 80;

в) число √ 2 + 3 √ 3;

е ирационално.

а) Да приемем, че числото √ 7 е рационално. Тогава има взаимно прости p и q такива, че √ 7 = p/q, откъдето получаваме p 2 = 7q 2 . Тъй като p и q са взаимно прости, то p 2 и следователно p се дели на 7. Тогава р = 7k, където k е някакво естествено число. Следователно q 2 = 7k 2 = pk, което противоречи на факта, че p и q са взаимно прости.

И така, предположението е невярно, така че числото √ 7 е ирационално.

б) Да приемем, че числото lg 80 е рационално. Тогава има естествени p и q такива, че lg 80 = p/q, или 10 p = 80 q , откъдето получаваме 2 p–4q = 5 q–p . Като се има предвид, че числата 2 и 5 са взаимно прости, получаваме, че последното равенство е възможно само за p–4q = 0 и q–p = 0. Откъдето p = q = 0, което е невъзможно, тъй като p и q са избран да бъде естествен.

И така, предположението е невярно, така че числото lg 80 е ирационално.

в) Нека означим това число с x.

Тогава (x - √ 2) 3 = 3, или x 3 + 6x - 3 = √ 2 (3x 2 + 2). След квадратурата на това уравнение получаваме, че x трябва да отговаря на уравнението

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Неговите рационални корени могат да бъдат само числата 1 и -1. Проверката показва, че 1 и -1 не са корени.

И така, даденото число √ 2 + 3 √ 3 е ирационално.

2. Известно е, че числата a, b, √ a –√ b ,- рационално. Докажи това √ a и √ bсъщо са рационални числа.

Помислете за продукта

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

номер √ a + √ b ,което е равно на съотношението на числата a – b и √ a –√ b ,е рационално, защото частното на две рационални числа е рационално число. Сбор от две рационални числа

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

е рационално число, тяхната разлика,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

е също рационално число, което трябваше да се докаже.

3. Докажете, че има положителни ирационални числа a и b, за които числото a b е естествено.

4. Има ли рационални числа a, b, c, d, отговарящи на равенството

(а+б √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

където n е естествено число?

Ако равенството, дадено в условието, е изпълнено и числата a, b, c, d са рационални, тогава равенството също е изпълнено:

(а-б √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Но 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Полученото противоречие доказва, че първоначалното равенство е невъзможно.

Отговор: те не съществуват.

5. Ако отсечките с дължини a, b, c образуват триъгълник, то за всички n = 2, 3, 4, . . . отсечки с дължини n √ a , n √ b , n √ c също образуват триъгълник. Докажи го.

Ако отсечките с дължини a, b, c образуват триъгълник, тогава неравенството на триъгълника дава

Следователно имаме

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Останалите случаи на проверка на неравенството на триъгълника се разглеждат по подобен начин, от което следва изводът.

6. Докажете, че безкрайната десетична дроб 0,1234567891011121314... (всички естествени числа са изброени по ред след десетичната запетая) е ирационално число.

Както знаете, рационалните числа се изразяват като десетични дроби, които имат период, започващ от определен знак. Следователно е достатъчно да се докаже, че тази дроб не е периодична с никакъв знак. Да предположим, че това не е така и някаква последователност T, състояща се от n цифри, е периодът на дроб, започвайки от m-ия знак след десетичната запетая. Ясно е, че след m-тата цифра има цифри, различни от нула, така че има ненулева цифра в последователността от цифри T. Това означава, че като се започне от m-та цифра след десетичната запетая, сред всички n цифри в ред има цифра, различна от нула. Въпреки това, в десетичната нотация на тази дроб трябва да има десетична нотация за числото 100...0 = 10 k , където k > m и k > n. Ясно е, че този запис ще се появи вдясно от m-та цифра и ще съдържа повече от n нули в ред. Така получаваме противоречие, което завършва доказателството.

7. Дадена е безкрайна десетична дроб 0,a 1 a 2 ... . Докажете, че цифрите в неговия десетичен запис могат да бъдат пренаредени така, че получената дроб да изразява рационално число.

Припомнете си, че дробта изразява рационално число, ако и само ако е периодична, започвайки от някакъв знак. Разделяме числата от 0 до 9 на два класа: в първия клас включваме онези числа, които се срещат в оригиналната дроб краен брой пъти, във втория клас - тези, които се срещат в оригиналната дроб безкрайно числоведнъж. Нека започнем да изписваме периодична дроб, която може да се получи от първоначалната пермутация на цифрите. Първо, след нула и запетая, записваме в произволен ред всички числа от първия клас - всяко толкова пъти, колкото се среща при вписването на оригиналната дроб. Записаните цифри от първия клас ще предхождат точката в дробната част на десетичната запетая. След това записваме числата от втория клас в някакъв ред веднъж. Ще обявим тази комбинация за точка и ще я повторим безкраен брой пъти. По този начин сме изписали необходимата периодична дроб, изразяваща някакво рационално число.

8. Докажете, че във всяка безкрайна десетична дроб има поредица от десетични цифри с произволна дължина, която се среща безкрайно много пъти при разширяването на дроба.

Нека m е произволно дадено естествено число. Нека разбием тази безкрайна десетична дроб на сегменти, всеки с m цифри. Ще има безкрайно много такива сегменти. От друга страна, има само 10 m различни системи, състоящи се от m цифри, т.е. крайно число. Следователно, поне една от тези системи трябва да се повтаря тук безкрайно много пъти.

Коментирайте. За ирационални числа √ 2 , π или дние дори не знаем коя цифра се повтаря безкрайно много пъти в безкрайните десетични знаци, които ги представляват, въпреки че може лесно да се покаже, че всяко от тези числа съдържа поне две различни такива цифри.

9. Докажете по елементарен начин, че положителният корен на уравнението

е ирационално.

За x > 0 лявата страна на уравнението се увеличава с x и е лесно да се види, че при x = 1,5 е по-малко от 10, а при x = 1,6 е по-голямо от 10. Следователно единственият положителен корен от уравнението се намира в интервала (1.5 ; 1.6).

Записваме корена като неприводима дроб p/q, където p и q са някои взаимно прости естествени числа. Тогава, за x = p/q, уравнението ще приеме следния вид:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

откъдето следва, че p е делител на 10, следователно p е равно на едно от числата 1, 2, 5, 10. Изписвайки обаче дроби с числители 1, 2, 5, 10, веднага забелязваме, че нито едно от те попадат в интервала (1.5; 1.6).

И така, положителният корен на оригиналното уравнение не може да бъде представен като обикновена дроб, което означава, че е ирационално число.

10. а) Има ли три точки A, B и C в равнината, така че за всяка точка X дължината на поне един от отсечките XA, XB и XC да е ирационална?

б) Координатите на върховете на триъгълника са рационални. Докажете, че координатите на центъра на описаната му окръжност също са рационални.

в) Съществува ли сфера, върху която има точно една рационална точка? (Рационална точка е точка, за която и трите декартови координати са рационални числа.)

а) Да, има. Нека C е средата на отсечка AB. Тогава XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Ако числото AB 2 е ирационално, тогава числата XA, XB и XC не могат да бъдат рационални едновременно.

b) Нека (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) и (a 3 ; b 3) са координатите на върховете на триъгълника. Координатите на центъра на неговата описана окръжност се дават от системата от уравнения:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Лесно е да се провери дали тези уравнения са линейни, което означава, че решението на разглежданата система от уравнения е рационално.

в) Такава сфера съществува. Например сфера с уравнението

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Точка O с координати (0; 0; 0) е рационална точка, лежаща върху тази сфера. Останалите точки от сферата са ирационални. Нека го докажем.

Да приемем обратното: нека (x; y; z) е рационална точка на сферата, различна от точката O. Ясно е, че x е различно от 0, тъй като за x = 0 има едно единствено решение (0; 0 ; 0), което сега не може да ни интересува. Нека разширим скобите и изразим √ 2 :

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

което не може да бъде за рационални x, y, z и ирационални √ 2 . И така, O(0; 0; 0) е единствената рационална точка от разглежданата сфера.

Проблеми без решения

1. Докажете, че числото

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

е ирационално.

2. За какви цели числа m и n важи равенството (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. Има ли число a такова, че числата a - √ 3 и 1/a + √ 3 да са цели числа?

4. Могат ли числата 1, √ 2, 4 да бъдат членове (не непременно съседни) на аритметична прогресия?

5. Докажете, че за всяко положително цяло число n уравнението (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 няма решения в рационални числа (x; y).

Определение на ирационално число

Ирационалните числа са такива числа, които в десетичен запис са безкрайни непериодични десетични дроби.

Така например числата, получени чрез вземане на корен квадратен от естествени числа, са ирационални и не са квадрати от естествени числа. Но не всички ирационални числа се получават чрез извличане на квадратен корен, тъй като числото "pi", получено чрез разделяне, също е ирационално и е малко вероятно да го получите, когато се опитвате да извлечете квадратния корен от естествено число.

Свойства на ирационалните числа

За разлика от числата, записани в безкрайни десетични дроби, само ирационалните числа се записват в непериодични безкрайни десетични дроби.
Сборът от две неотрицателни ирационални числа може в крайна сметка да бъде рационално число.
Ирационалните числа определят секции на Дедекинд в множеството от рационални числа, в по-ниския клас, които нямат Голям брой, а в горния няма по-малък.
Всяко реално трансцендентно число е ирационално.
Всички ирационални числа са или алгебрични, или трансцендентни.
Множеството от ирационални числа на линията са плътно опаковани и между всякакви две негови числа задължително има ирационално число.
Множеството от ирационални числа е безкрайно, неизброимо и е множество от 2-ра категория.
При извършване на която и да е аритметична операция върху рационални числа, с изключение на деление на 0, резултатът ще бъде рационално число.
Когато добавяте рационално число към ирационално число, резултатът винаги е ирационално число.
Когато добавяме ирационални числа, в резултат можем да получим рационално число.
Множеството от ирационални числа не е четно.

Числата не са ирационални

Понякога е доста трудно да се отговори на въпроса дали дадено число е ирационално, особено в случаите, когато числото е под формата на десетична дроб или под формата на числов израз, корен или логаритъм.
Следователно няма да е излишно да знаем кои числа не са ирационални. Ако следваме определението за ирационални числа, тогава вече знаем, че рационалните числа не могат да бъдат ирационални.
Ирационалните числа не са:
Първо, всички естествени числа;
Второ, цели числа;
Трето, обикновени фракции;
Четвърто, различни смесени числа;
Пето, това са безкрайни периодични десетични дроби.
В допълнение към всичко по-горе, всяка комбинация от рационални числа, която се изпълнява от знаците на аритметичните операции, като +, -, , :, не може да бъде ирационално число, тъй като в този случай резултатът от две рационални числа също ще бъде рационално число.
Сега нека видим кои от числата са ирационални:

Знаете ли за съществуването на фенклуб, където феновете на този мистериозен математически феномен търсят нова информация за Пи, опитвайки се да разгадаят неговата мистерия. Всеки човек, който знае наизуст определен брой числа Пи след десетичната запетая, може да стане член на този клуб;
Знаете ли, че в Германия, под закрилата на ЮНЕСКО, се намира дворецът Кастадел Монте, благодарение на чиито пропорции можете да изчислите Пи. На този номер е посветен цял дворец от крал Фридрих II.
Оказва се, че числото Пи се е опитало да се използва в строителството Вавилонската кула. Но за наше голямо съжаление това доведе до краха на проекта, тъй като по това време точното изчисляване на стойността на Pi не беше достатъчно проучено.
Певицата Кейт Буш в новия си диск записа песен, наречена "Pi", която звучеше сто двадесет и четири числа от известния номер серии 3, 141 ... ..

Ирационално записване на числата. Какво представляват рационалните и ирационалните числа

Цели числа

Цели числа

Рационални числа

Естествени числа $\mathbb(N)$

Цели числа $\mathbb(Z)$

Рационални числа $\mathbb(Q)$

Ирационални числа $\mathbb(I)$

Реални числа $\mathbb(R)$

Комплексни числа$\mathbb(C)$

Енциклопедичен YouTube

Примери за доказване на ирационалност

Корен от 2

История

Античността

Проблеми с решения

Проблеми без решения

Определение на ирационално число

Свойства на ирационалните числа

Числата не са ирационални