Какво представляват еднакво равни дроби. Идентичностни трансформации на изрази, техните видове
Предмет "Доказателства за самоличност» Клас 7 (KRO)
Учебник Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
Цели на урока
Образователни:
да запознае и първоначално затвърди понятията „идентично равни изрази“, „тъждественост“, „тъждествени трансформации“;
да обмислят начини за доказване на самоличности, да допринесат за развитието на умения за доказване на самоличности;
да се провери усвояването от учениците на обхванатия материал, да се формират умения за прилагане на изучаваното за възприемане на новото.
Разработване:
Развийте компетентна математическа реч на учениците (обогатете и усложнете речниккогато се използват специални математически термини),
развиват мисленето,
Възпитателна: да се възпитава трудолюбие, точност, правилно записване на решението на упражненията.
Тип урок: изучаване на нов материал
По време на занятията
Проверка на домашната работа.
Въпроси за домашната работа.
Дебрифинг на дъската.
Необходима е математика
Без нея е невъзможно
Ние учим, учим, приятели,
Какво си спомняме сутрин?
2 . Да направим тренировка.
Резултат от добавянето. (Сбор)
Колко числа знаете? (десет)
Стотна от число. (процент)
резултат от разделението? (частно)
Най-малкото естествено число? (един)
Възможно ли е да се получи нула при разделяне на естествени числа? (Не)
Кое е най-голямото отрицателно цяло число. (-един)
На кое число не може да се раздели? (0)
Резултат от умножение? (работа)
Резултатът от изваждането. (разлика)
Комутативно свойство на събиране. (Сборът не се променя от пренареждането на местата на термините)
Комутативно свойство на умножението. (Продуктът не се променя от пермутацията на местата на факторите)
Изучаване на нова тема (определение с бележка в тетрадка)
Намерете стойността на изразите при x=5 и y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3x+3y=3*5+3*4=27
Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите стойностите на изразите 3(x + y) и 3x + 3y са равни.
Помислете сега за изразите 2x + y и 2xy. За x=1 и y=2 те приемат равни стойности:
Можете обаче да посочите стойности на x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава
Определение: Два израза, чиито стойности са равни за всяка стойност на променливите, се казва, че са идентично равни.
Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.
Равенството 3(x + y) и 3x + 3y е вярно за всякакви стойности на x и y. Такива равенства се наричат идентичности.
определение:Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.
Истинските числови равенства също се считат за идентичности. Вече се срещнахме с самоличности. Идентичностите са равенства, които изразяват основните свойства на действията върху числата (Учениците коментират всяко свойство, като го произнасят).
a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Дайте други примери за идентичности
Определение: Замяната на един израз с друг, идентично равен на него, се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израз.
Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.
Трансформациите на идентичност на изразите се използват широко при изчисляване на стойностите на изразите и решаване на други проблеми. Вече трябваше да извършите някои идентични трансформации, например намаляване на подобни термини, разширяване на скоби.
5 . No 691, No 692 (с произнасяне на правилата за отваряне на скоби, умножаване на отрицателни и положителни числа)
Идентичности за избор на рационално решение:(предна работа)
6 . Обобщаване на урока.
Учителят задава въпроси, а учениците им отговарят по желание.
Кои два израза се наричат идентично равни? Дай примери.
Какво равенство се нарича идентичност? Дай пример.
Какви идентични трансформации познавате?
7. Домашна работа. Научете дефиниции, дайте примери за еднакви изрази (поне 5), запишете ги в тетрадка
В хода на изучаването на алгебра се натъкнахме на понятията за полином (например ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ и т.н.) и алгебрична дроб (например $\frac(x+5)(x) )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ и др.) Приликата на тези понятия е, че както в полиноми, така и в алгебрични дроби има променливи и числови стойности, аритметични действия: събиране, изваждане, умножение, степенуване Разликата между тези понятия е, че деленето на променлива не се извършва в полиноми, а деленето на променлива може да се извърши в алгебрични дроби.
И полиномите, и алгебричните дроби се наричат в математиката рационални алгебрични изрази. Но полиномите са целочислени рационални изрази, а алгебричните дробни изрази са дробно рационални изрази.
Възможно е да се получи цял алгебричен израз от дробно рационален израз с помощта на идентичното преобразуване, което в този случай ще бъде основното свойство на дроб - намаляване на дробите. Нека го проверим на практика:
Пример 1
Преобразуване:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
решение:Това дробно-рационално уравнение може да се трансформира, като се използва основното свойство на дробното отмяна, т.е. разделяне на числителя и знаменателя на едно и също число или израз, различен от $0$.
Тази дроб не може да бъде намалена веднага, необходимо е да преобразувате числителя.
Преобразуваме израза в числителя на дроба, за това използваме формулата за квадрата на разликата: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Фракцията има формата
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]
Сега виждаме, че има общ множител в числителя и знаменателя - това е изразът $x-2$, върху който ще намалим дроба
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]
След намаляването получаваме оригинала дробно рационално изразяване$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ се превърна в полином $x-2$, т.е. изцяло рационално.
Сега нека обърнем внимание на факта, че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2\ $ могат да се считат за идентични не за всички стойности на променливата, т.к. за да съществува дробно-рационален израз и да е възможно намаляването с полинома $x-2$, знаменателят на дроба не трябва да е равен на $0$ (както и коефициента, с който намаляваме. В този примерзнаменателят и множителят са еднакви, но това не винаги е така).
Стойностите на променливите, за които ще съществува алгебричната дроб, се наричат валидни стойности на променливите.
Поставяме условие върху знаменателя на дроба: $x-2≠0$, след това $x≠2$.
Така че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2$ са идентични за всички стойности на променливата с изключение на $2$.
Определение 1
идентично равниИзразите са тези, които са равни за всички възможни стойности на променливата.
Идентична трансформация е всяка замяна на оригиналния израз с идентично равен. Такива трансформации включват следните действия: събиране, изваждане, умножение, скоби алгебрични дробикъм общ знаменател, редукция на алгебрични дроби, редукция на сходни членове и др. Трябва да се има предвид, че редица трансформации, като намаляване, намаляване на подобни термини, могат да променят допустимите стойности на променливата.
Техники, използвани за доказване на самоличности
Преобразувайте лявата страна на идентичността в дясната страна или обратно, като използвате трансформации на идентичност
Намалете двете части до един и същ израз, като използвате идентични трансформации
Прехвърлете изразите от една част на израза в друга и докажете, че получената разлика е равна на $0$
Кой от горните методи да се използва за доказване на дадена идентичност зависи от оригиналната идентичност.
Пример 2
Докажете идентичността $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
решение:За да докажем тази идентичност, използваме първия от горните методи, а именно, ще трансформираме лявата страна на идентичността, докато тя стане равна на дясната страна.
Помислете за лявата страна на тъждеството: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- това е разликата на два полинома. В този случай първият полином е квадратът на сбора от три члена. За да квадратураме сумата от няколко члена, използваме формулата:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
За да направим това, трябва да умножим число по полином. Припомнете си, че за това трябва да умножим общия множител извън скобите по всеки член на полинома в скоби. Тогава получаваме:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Сега да се върнем към оригиналния полином, той ще приеме формата:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Имайте предвид, че има знак „-“ пред скобата, което означава, че когато скобите се отворят, всички знаци, които са били в скобите, се обръщат.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Ако донесем подобни термини, тогава получаваме, че едночлените $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно се отменят, т.е. тяхната сума е равна на $0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
И така, чрез идентични трансформации получихме идентичен изразот лявата страна на оригиналната идентичност
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Обърнете внимание, че полученият израз показва, че оригиналната идентичност е вярна.
Имайте предвид, че в оригиналната идентичност всички стойности на променливата са разрешени, което означава, че сме доказали идентичността с помощта на идентични трансформации и е вярно за всички разрешени стойности на променливата.
Основни свойства на събиране и умножение на числа.
Комутативно свойство на събиране: когато членовете са пренаредени, стойността на сумата не се променя. За произволни числа a и b равенството е вярно
Асоциативното свойство на събирането: за да добавите трето число към сбора от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число. За произволни числа a, b и c равенството е вярно
Комутативно свойство на умножението: пермутацията на фактори не променя стойността на произведението. За произволни числа a, b и c, равенството е вярно
Асоциативното свойство на умножението: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото.
За произволни числа a, b и c, равенството е вярно
Разпределително свойство: За да умножите число по сума, можете да умножите това число по всеки член и да добавите резултатите. За произволни числа a, b и c равенството е вярно
От комутативните и асоциативните свойства на събирането следва, че във всяка сума можете да пренареждате членовете както желаете и да ги комбинирате в групи по произволен начин.
Пример 1. Нека изчислим сумата 1,23+13,5+4,27.
За да направите това, е удобно да комбинирате първия термин с третия. Получаваме:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Това следва от комутативните и асоциативните свойства на умножението: във всеки продукт можете да пренаредите факторите по всякакъв начин и произволно да ги комбинирате в групи.
Пример 2. Да намерим стойността на произведението 1,8 0,25 64 0,5.
Комбинирайки първия фактор с четвъртия и втория с третия, ще имаме:
1,8 0,25 64 0,5 = (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 = 14,4.
Свойството за разпределение е валидно и когато числото се умножи по сбора от три или повече члена.
Например, за произволни числа a, b, c и d, равенството е вярно
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Знаем, че изваждането може да бъде заменено със събиране чрез добавяне към минуса на числото, противоположно на изваждането:
Това позволява числов израз тип a-bразгледайте сбора от числа a и -b, разгледайте числов израз от вида a + b-c-d като сбор от числа a, b, -c, -d и т. н. Разгледаните свойства на действия са валидни и за такива суми.
Пример 3 Нека намерим стойността на израза 3,27-6,5-2,5+1,73.
Този израз е сборът от числата 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Прилагайки свойствата за събиране, получаваме: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Пример 4. Нека изчислим произведението 36·().
Множителят може да се разглежда като сбор от числата и -. Използвайки разпределителното свойство на умножението, получаваме:
36()=36-36=9-10=-1.
Самоличности
Определение. Два израза, чиито съответни стойности са равни за всяка стойност на променливите, се казва, че са идентично равни.
Определение. Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.
Нека намерим стойностите на изразите 3(x+y) и 3x+3y за x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.
Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите съответните стойности на изразите 3(x+y) и 3x+3y са равни.
Помислете сега за изразите 2x+y и 2xy. За x=1, y=2 те приемат равни стойности:
Можете обаче да посочите стойности на x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава
Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.
Равенството 3(x+y)=x+3y, вярно за всякакви стойности на x и y, е идентичност.
Истинските числови равенства също се считат за идентичности.
И така, идентичностите са равенства, изразяващи основните свойства на действията върху числата:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Могат да бъдат дадени и други примери за самоличности:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Идентичностни трансформации на изрази
Замяната на един израз с друг, идентично равен на него, се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израз.
Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.
За да намерите стойността на израза xy-xz при стойностите x, y, z, трябва да изпълните три стъпки. Например, с x=2.3, y=0.8, z=0.2 получаваме:
xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.
Този резултат може да бъде получен само в две стъпки, като се използва изразът x(y-z), който е идентично равен на израза xy-xz:
xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.
Опростихме изчисленията, като заменихме израза xy-xz с идентично равния израз x(y-z).
Трансформациите на идентичност на изразите се използват широко при изчисляване на стойностите на изразите и решаване на други проблеми. Вече са извършени някои идентични трансформации, например намаляване на подобни термини, отваряне на скоби. Припомнете си правилата за извършване на тези трансформации:
за да изведете подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да умножите резултата по общата буквена част;
ако има знак плюс пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати, като се запази знакът на всеки термин, затворен в скоби;
ако има знак минус преди скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати чрез промяна на знака на всеки термин, затворен в скоби.
Пример 1 Нека съберем подобни членове в сумата 5x+2x-3x.
Използваме правилото за намаляване на подобни термини:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Тази трансформация се основава на разпределителното свойство на умножението.
Пример 2 Нека разширим скобите в израза 2a+(b-3c).
Прилагане на правилото за отваряне на скоби, предшествани от знак плюс:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Извършената трансформация се основава на асоциативното свойство на събиране.
Пример 3 Нека разширим скобите в израза a-(4b-c).
Нека използваме правилото за разширяване на скоби, предшествано от знак минус:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Извършеното преобразуване се основава на разпределителното свойство на умножението и асоциативното свойство на събирането. Нека го покажем. Нека представим втория член -(4b-c) в този израз като продукт (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Прилагайки тези свойства на действията, получаваме:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Тази статия предоставя инициал понятие за идентичности. Тук ще дефинираме идентичност, ще представим използваната нотация и, разбира се, ще дадем различни примери за идентичности.
Навигация в страницата.
Какво е идентичност?
Логично е да започнем представянето на материала определения за идентичност. В учебника на Ю. Н. Макаричев, алгебра за 7 класа, определението за идентичност е дадено, както следва:
Определение.
самоличносте равенство вярно за всякакви стойности на променливите; всяко истинско числово равенство също е тъждество.
В същото време авторът незабавно посочва, че в бъдеще това определение ще бъде изяснено. Това уточняване става в 8 клас, след запознаване с дефиницията на допустимите стойности на променливи и ОДЗ. Определението става:
Определение.
Самоличностиса верни числови равенства, както и равенства, които са верни за всички допустими стойности на променливите, включени в тях.
И така, защо, когато дефинираме идентичност, в 7-ми клас говорим за всякакви стойности на променливи, а в 8-ми клас започваме да говорим за стойностите на променливите от техния DPV? До 8 клас работата се извършва изключително с целочислени изрази (по-специално с мономи и полиноми) и те имат смисъл за всякакви стойности на променливите, включени в тях. Следователно в 7-ми клас казваме, че идентичността е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите. И в 8-ми клас се появяват изрази, които вече имат смисъл не за всички стойности на променливи, а само за стойности от техния ODZ. Следователно, чрез идентичности, ние започваме да наричаме равенства, които са верни за всички допустими стойности на променливите.
Така че идентичността е специален случайравенство. Тоест всяка идентичност е равенство. Но не всяко равенство е идентичност, а само равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливи от техния диапазон от приемливи стойности.
Знак за самоличност
Известно е, че при писане на равенства се използва знак за равенство от формата „=”, вляво и вдясно от който има някои числа или изрази. Ако добавим още една хоризонтална линия към този знак, получаваме знак за самоличност"≡", или както още се нарича знак за равенство.
Знакът за идентичност обикновено се използва само когато е необходимо да се подчертае, че имаме пред нас не просто равенство, а именно идентичност. В други случаи представянето на идентичности не се различава по форма от равенствата.
Примери за идентичност
Време е да донесете примери за идентичности. Определението за идентичност, дадено в първия параграф, ще ни помогне в това.
Числовите равенства 2=2 са примери за идентичности, тъй като тези равенства са верни и всяко истинско числово равенство по дефиниция е тъждество. Те могат да бъдат записани като 2≡2 и .
Числени равенства от вида 2+3=5 и 7−1=2·3 също са тъждества, тъй като тези равенства са верни. Тоест 2+3≡5 и 7−1≡2 3 .
Нека да преминем към примери за идентичности, които съдържат не само числа, но и променливи в своето обозначение.
Да разгледаме равенството 3·(x+1)=3·x+3 . За всяка стойност на променливата x писменото равенство е вярно поради разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането, следователно оригиналното равенство е пример за идентичност. Ето още един пример за идентичност: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, тук диапазонът от приемливи стойности за променливите x и y е всички двойки (x, y) , където x и y са произволни числа с изключение на нула.
Но равенствата x+1=x−1 и a+2 b=b+2 a не са тъждества, тъй като има стойности на променливите, за които тези равенства ще бъдат неправилни. Например, за x=2, равенството x+1=x−1 се превръща в грешно равенство 2+1=2−1. Освен това равенството x+1=x−1 изобщо не се постига за никакви стойности на променливата x. И равенството a+2·b=b+2·a ще се превърне в неправилно равенство, ако вземем различни стойности на променливите a и b. Например, с a=0 и b=1, ще стигнем до грешно равенство 0+2 1=1+2 0 . Равенство |x|=x , където |x| - променлива x , също не е идентичност, тъй като не е вярно за отрицателни стойности на x .
Примери за най-известните идентичности са sin 2 α+cos 2 α=1 и log a b =b .
В заключение на тази статия бих искал да отбележа, че когато изучаваме математика, ние постоянно се сблъскваме с идентичности. Записите за свойства на числово действие са идентичности, например a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 и a+(−a)=0 . Също така, самоличностите са
Преобразуванията на идентичност са работата, която вършим с числови и азбучни изрази, както и с изрази, които съдържат променливи. Ние извършваме всички тези трансформации, за да приведем оригиналния израз във форма, която ще бъде удобна за решаване на проблема. Ще разгледаме основните видове идентични трансформации в тази тема.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Трансформация на идентичност на израз. Какво е?
За първи път се срещаме с концепцията за идентични трансформирани ние в уроците по алгебра в 7 клас. След това първо се запознаваме с понятието за идентично равни изрази. Нека се занимаваме с понятията и дефинициите, за да улесним усвояването на темата.
Определение 1
Трансформация на идентичност на изразса действия, извършени за замяна на оригиналния израз с израз, който ще бъде идентично равен на оригиналния.
Често това определение се използва в съкратена форма, в която думата "идентичен" е пропусната. Приема се, че във всеки случай извършваме трансформацията на израза по такъв начин, че да получим израз, идентичен с оригиналния, и това не е необходимо да се подчертава отделно.
Илюстрирайте това определениепримери.
Пример 1
Ако заменим израза х + 3 - 2към идентично равен израз х+1, тогава извършваме идентичната трансформация на израза х + 3 - 2.
Пример 2
Замяна на израз 2 a 6 с израз а 3е трансформацията на идентичността, докато замяната на израза хкъм израза x2не е идентична трансформация, тъй като изразите хи x2не са идентично равни.
Обръщаме вашето внимание към формата на писмени изрази при извършване на идентични трансформации. Обикновено изписваме оригиналния израз и получения израз като равенство. И така, записването на x + 1 + 2 = x + 3 означава, че изразът x + 1 + 2 е редуциран до формата x + 3 .
Последователното изпълнение на действия ни води до верига от равенства, която представлява няколко последователни идентични трансформации. И така, ние разбираме нотацията x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x като последователно изпълнение на две трансформации: първо, изразът x + 1 + 2 беше сведен до формата x + 3 и беше сведен до формата 3 + x.
Трансформации на идентичност и ОДЗ
Редица изрази, които започваме да изучаваме в 8 клас, нямат смисъл за никакви стойности на променливи. Извършването на идентични трансформации в тези случаи изисква да обърнем внимание на областта на допустимите стойности на променливите (ODV). Извършването на идентични трансформации може да остави ODZ непроменено или да го стесни.
Пример 3
При извършване на преход от израза a + (−b)към израза a-bдиапазон от разрешени стойности на променливи аи бостава същото.
Пример 4
Преход от израз x към израз х 2 хводи до стесняване на диапазона от приемливи стойности на променливата x от множеството на всички реални числа до множеството от всички реални числа, от които нулата е изключена.
Пример 5
Трансформация на идентичност на израз х 2 хизразът x води до разширяване на диапазона от приемливи стойности на променливата x от множеството на всички реални числа с изключение на нула до множеството от всички реални числа.
Стесняването или разширяването на диапазона на допустимите стойности на променливите при извършване на идентични трансформации е важно при решаването на проблеми, тъй като може да повлияе на точността на изчисленията и да доведе до грешки.
Основни трансформации на идентичността
Нека сега да видим какви са идентичните трансформации и как се извършват. Нека отделим в основната група онези видове идентични трансформации, с които най-често се налага да се справяме.
В допълнение към основните трансформации на идентичност, има редица трансформации, които се отнасят до изрази от определен тип. За дробите това са методи за редукция и редукция до нов знаменател. За изрази с корени и степени, всички действия, които се извършват въз основа на свойствата на корени и степени. За логаритмични изрази, действия, които се извършват въз основа на свойствата на логаритмите. За тригонометрични изрази всички действия се използват тригонометрични формули. Всички тези конкретни трансформации са разгледани подробно в отделни теми, които можете да намерите на нашия ресурс. Поради тази причина няма да се спираме на тях в тази статия.
Нека преминем към разглеждането на основните идентични трансформации.
Пренареждане на термини, фактори
Нека започнем с пренареждане на термините. С тази идентична трансформация се занимаваме най-често. И следното твърдение може да се счита за основно правило тук: във всяка сума пренареждането на термините на места не влияе на резултата.
Това правило се основава на комутативните и асоциативните свойства на събирането. Тези свойства ни позволяват да пренаредим термините на места и в същото време да получим изрази, които са идентично равни на оригиналните. Ето защо пренареждането на членове на места в сбора е идентична трансформация.
Пример 6
Имаме сбора от три члена 3 + 5 + 7 . Ако разменим членовете 3 и 5, тогава изразът ще приеме формата 5 + 3 + 7. Има няколко възможности за пренареждане на термините в този случай. Всички те водят до получаване на изрази, които са идентично равни на оригиналния.
Не само числата, но и изразите могат да действат като членове в сбора. Те, също като числата, могат да бъдат пренаредени, без да се засяга крайният резултат от изчисленията.
Пример 7
В сбора от три члена 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 и - 12 a от вида 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) член може да бъде пренареден, например, така (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . От своя страна можете да пренаредите членовете в знаменателя на дроб 1 a + b, докато дробът ще приеме формата 1 b + a. И изразът под знака корен а 2 + 2 а + 5също така е сума, в която термините могат да се разменят.
По същия начин като термините, в оригиналните изрази могат да се разменят факторите и да се получат идентично правилни уравнения. Това действие се ръководи от следното правило:
Определение 2
В продукта пренареждането на факторите на места не влияе на резултата от изчислението.
Това правило се основава на комутативните и асоциативните свойства на умножението, които потвърждават правилността на идентичното преобразуване.
Пример 8
Работете 3 5 7пермутацията на фактори може да бъде представена в една от следните форми: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 или 3 7 5.
Пример 9
Пермутирането на факторите в произведението x + 1 x 2 - x + 1 x ще даде x 2 - x + 1 x x + 1
Разширяване на скоби
Скобите могат да съдържат записи на числови изрази и изрази с променливи. Тези изрази могат да бъдат трансформирани в идентично равни изрази, в които изобщо няма да има скоби или ще има по-малко от тях, отколкото в оригиналните изрази. Този начин на преобразуване на изрази се нарича разширяване на скоби.
Пример 10
Нека да извършим действия със скоби в израз на формата 3 + x − 1 xза да се получи идентично верният израз 3 + x − 1 x.
Изразът 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x може да се преобразува в идентично равно изражениебез скоби 3 x - 3 - 1 + x 1 - x .
Обсъдихме подробно правилата за преобразуване на изрази със скоби в темата "Разширяване на скоби", която е публикувана на нашия ресурс.
Групиране на термини, фактори
В случаите, когато имаме работа с три и голямо количествотермини, можем да прибегнем до такъв тип идентични трансформации като групиране на термини. Под този метод на трансформация се разбира обединяването на няколко термина в група чрез пренареждането им и поставянето им в скоби.
При групиране термините се разменят по такъв начин, че групираните термини да са в записа на израза един до друг. След това те могат да бъдат затворени в скоби.
Пример 11
Вземете израза 5 + 7 + 1 . Ако групираме първия член с третия, получаваме (5 + 1) + 7 .
Групирането на факторите се извършва подобно на групирането на термините.
Пример 12
В работата 2 3 4 5възможно е да групирате първия фактор с третия, а втория фактор с четвъртия, в този случай стигаме до израза (2 4) (3 5). И ако групираме първия, втория и четвъртия фактор, ще получим израза (2 3 5) 4.
Термините и факторите, които са групирани, могат да бъдат представени както с прости числа, така и с изрази. Правилата за групиране бяха подробно обсъдени в темата "Групиране на термини и фактори".
Замяна на разликите със суми, частични произведения и обратно
Замяната на разликите със суми стана възможна благодарение на запознаването ни с противоположните числа. Сега изваждане от число ачисла бможе да се разглежда като допълнение към числото ачисла −b. Равенство a − b = a + (− b)може да се счита за справедлив и въз основа на него да извърши замяната на разликите със суми.
Пример 13
Вземете израза 4 + 3 − 2 , в която разликата в числата 3 − 2 можем да запишем като сбор 3 + (− 2) . Вземи 4 + 3 + (− 2) .
Пример 14
Всички разлики в изражението 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2могат да бъдат заменени със суми като 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).
Можем да преминем към суми от всякакви разлики. По подобен начин можем да направим обратна замяна.
Замяната на деленето с умножение с реципрочната стойност на делителя става възможна благодарение на концепцията за взаимно реципрочни числа. Тази трансформация може да се запише като a: b = a (b − 1).
Това правило беше в основата на правилото за разделяне на обикновени дроби.
Пример 15
Частен 1 2: 3 5 може да бъде заменен с продукт от формата 1 2 5 3.
По същия начин, по аналогия, деленето може да бъде заменено с умножение.
Пример 16
В случая на израза 1+5:x:(x+3)заменете разделението с хможе да се умножи по 1 х. Деление по х + 3можем да заменим, като умножим с 1 х + 3. Преобразуването ни позволява да получим израз, който е идентичен с оригиналния: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .
Замяната на умножение с деление се извършва по схемата a b = a: (b − 1).
Пример 17
В израза 5 x x 2 + 1 - 3 умножението може да бъде заменено с деление като 5: x 2 + 1 x - 3.
Извършване на действия с числа
Извършването на операции с числа е подчинено на правилото за реда на операциите. Първо се извършват операции със степени на числа и корени от числа. След това заменяме логаритмите, тригонометричните и други функции с техните стойности. След това се изпълняват действията в скоби. И тогава вече можете да извършвате всички други действия отляво надясно. Важно е да запомните, че умножението и деленето се извършват преди събиране и изваждане.
Операциите с числа ви позволяват да трансформирате оригиналния израз в идентичен, равен на него.
Пример 18
Нека трансформираме израза 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, като извършим всички възможни операции с числа.
Решение
Първо, нека разгледаме степента 2 3 и корен 4 и изчислете техните стойности: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .
Заместете получените стойности в оригиналния израз и получете: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .
Сега нека направим скоби: 8 − 1 = 7 . И да преминем към израза 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .
Трябва само да направим умножението 3 и 7 . Получаваме: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .
Отговор: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)
Операциите с числа могат да бъдат предшествани от други видове идентични трансформации, като групиране на числа или разширяващи се скоби.
Пример 19
Вземете израза 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.
Решение
Първо, ще променим частното в скоби 6: 3 върху значението му 2 . Получаваме: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .
Нека разширим скобите: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.
Нека групираме числовите фактори в продукта, както и термините, които са числа: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
Нека направим скоби: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3
Отговор:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3
Ако работим с числови изрази, тогава целта на нашата работа ще бъде да намерим стойността на израза. Ако трансформираме изрази с променливи, тогава целта на нашите действия ще бъде да опростим израза.
Включване в скоби на общия фактор
В случаите, когато термините в израза имат един и същ фактор, тогава можем да извадим този общ множител от скоби. За да направим това, първо трябва да представим оригиналния израз като продукт на общ множител и израз в скоби, който се състои от оригиналните термини без общ множител.
Пример 20
Числено 2 7 + 2 3можем да извадим общия фактор 2 извън скобите и да получите идентично правилен израз на формата 2 (7 + 3).
Можете да опресните паметта на правилата за поставяне на общия фактор извън скоби в съответния раздел на нашия ресурс. В материала се разглеждат подробно правилата за изваждане на общия фактор от скоби и са дадени множество примери.
Намаляване на подобни термини
Сега нека преминем към суми, които съдържат подобни термини. Тук са възможни две опции: суми, съдържащи едни и същи членове, и суми, чиито членове се различават с числов коефициент. Операциите със суми, съдържащи подобни термини, се наричат редукция на сходни членове. Извършва се по следния начин: поставяме общата буквена част извън скоби и изчисляваме сумата от числовите коефициенти в скоби.
Пример 21
Помислете за израза 1 + 4 x − 2 x. Можем да извадим буквалната част от x от скоби и да получим израза 1 + x (4 − 2). Нека да изчислим стойността на израза в скоби и да получим сумата от вида 1 + x · 2 .
Замяна на числа и изрази с идентично равни изрази
Числата и изразите, които съставляват оригиналния израз, могат да бъдат заменени с изрази, които са идентично равни на тях. Такава трансформация на оригиналния израз води до израз, който е идентично равен на него.
Пример 22 Пример 23
Помислете за израза 1 + a5, в който можем да заменим степента a 5 с продукт, идентично равен на него, например от вида а 4. Това ще ни даде израза 1 + а 4.
Извършената трансформация е изкуствена. Има смисъл само в подготовка за други трансформации.
Пример 24
Помислете за трансформацията на сумата 4 x 3 + 2 x 2. Ето термина 4x3можем да представим като продукт 2 x 2 x 2 x. В резултат на това оригиналният израз приема формата 2 x 2 2 x + 2 x 2. Сега можем да изолираме общия фактор 2x2и го извадете от скобите: 2 x 2 (2 x + 1).
Събиране и изваждане на едно и също число
Добавянето и изваждането на едно и също число или израз по едно и също време е техника за изкуствена трансформация на израз.
Пример 25
Помислете за израза х 2 + 2 х. Можем да добавим или извадим едно от него, което ще ни позволи впоследствие да извършим друга идентична трансформация - да изберем квадрата на бинома: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
