Свойствата на квадратния корен са събиране. Свойства на квадратните корени

Свойства на квадратните корени

Досега сме извършили пет аритметични операции върху числата: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване, както и в изчисленията, които активно са използвали различни свойстватези операции, например a + b = b + a, an-bn = (ab) n и т.н.

Тази глава въвежда нова операция - извличане корен квадратенот неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg "alt =" (! LANG: Равенство" width="120" height="25 id=">!}.

Ще формулираме следващата теорема точно по този начин.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът от дроб е равно на дробот корените или коренът на частното е равен на частното от корените.)

Този път само ще донесем кратка бележкадоказателство и се опитвате да направите съответните коментари, подобни на тези, които формират същността на доказателството на теорема 1.

Забележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате калкулатор под ръка: умножете числата 36, 64, 9 и след това извлечете квадратния корен от получения продукт. Трябва обаче да признаете, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Забележка 4. При първия метод направихме изчисления „челно“. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a2 - b2 = (a - b) (a + b) и използва свойството квадратен корен.

Забележка 5. Някои горещи глави понякога предлагат това решение на Пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в нашия пример 3. Въпросът е, че няма свойство https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg "alt =" (! LANG: Задание" width="148" height="26 id=">!}Има само свойства, свързани с умножение и деление на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимавайте да не си пожелавате.

Завършвайки раздела, отбелязваме още едно доста просто и в същото време важно свойство:
ако a> 0 и n - естествено число, тогава

Преобразуване на изрази, съдържащи квадратен корен

Досега ние с теб сме извършвали само трансформации рационални изрази, използвайки за това правилата за действия върху полиноми и алгебрични дроби, формули за съкратено умножение и др. В тази глава въведохме нова операция - операцията за извличане на квадратен корен; открихме това

където, припомнете си, a, b са неотрицателни числа.

Използвайки тези формули, можете да извършвате различни трансформации на изрази, съдържащи операция квадратен корен. Нека разгледаме няколко примера и във всички примери ще приемем, че променливите приемат само неотрицателни стойности.

Пример 3.Въведете множителя под знака квадратен корен:

Пример 6... Решение за опростяване на изразите. Нека извършим последователни трансформации:

Площта на квадратен парцел е 81 дм². Намерете неговата страна. Да предположим, че дължината на страната на квадрат е хдециметри. Тогава площта на сайта е х² квадратни дециметри... Тъй като по условие тази площ е 81 dm², тогава х² = 81. Дължината на страната на квадрата е положително число. Положителното число, чийто квадрат е 81, е числото 9. При решаването на задачата се изискваше да се намери числото x, чийто квадрат е 81, тоест да се реши уравнението х² = 81. Това уравнение има два корена: х 1 = 9 и х 2 = - 9, тъй като 9² = 81 и (- 9) ² = 81. И двете числа 9 и - 9 се наричат ​​квадратни корени от 81.

Забележете, че един от квадратните корени х= 9 е положително число. Нарича се аритметичен квадратен корен от числото 81 и се обозначава √81, така че √81 = 9.

Аритметичен квадратен корен от число асе нарича неотрицателно число, чийто квадрат е равен на а.

Например 6 и - 6 са квадратните корени от 36. В този случай 6 е аритметичният квадратен корен от 36, тъй като 6 е неотрицателно число и 6² = 36. Числото - 6 не е аритметичен корен.

Аритметичен квадратен корен от число аозначени както следва: √ а.

Знакът се нарича аритметичен знак квадратен корен; а- се нарича радикален израз. Израз √ аПрочети така че: аритметичен корен квадратен от число а.Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В случаите, когато е ясно, че идваза аритметичния корен те накратко казват: „корен квадратен от а«.

Актът за намиране на корен квадратен от число се нарича извличане на квадратен корен. Това действие е обратното на квадратурата.

Всяко число може да бъде на квадрат, но не можете да квадратни корени от всяко число. Например, не можете да извлечете корен квадратен от числото - 4. Ако такъв корен е съществувал, тогава, обозначавайки го с буквата х, ще получим неправилно равенство х2 = - 4, тъй като отляво има неотрицателно число, а отдясно - отрицателно число.

Израз √ аима смисъл само когато а ≥ 0. Определението за корен квадратен може да се запише накратко, както следва: √ а ≥ 0, (√а)² = а... Равенство (√ а)² = авалидно за а ≥ 0. По този начин, за да се уверите, че корен квадратен от неотрицателно число ае равно на б, т.е. че √ а =б, трябва да проверите дали са изпълнени следните две условия: b ≥ 0, б² = а.

Квадратен корен от дроб

Да изчислим. Обърнете внимание, че √25 = 5, √36 = 6 и проверете дали равенството е валидно.

Защото и тогава равенството е вярно. Така, .

теорема:Ако а≥ 0 и б> 0, тоест коренът на дроба е равен на корена на числителя, разделен на корена на знаменателя. Необходимо е да се докаже, че: и .

Тъй като √ а≥0 и √ б> 0, тогава.

Чрез свойството да се повдига дроб на степен и дефиницията на корен квадратен теоремата е доказана. Нека разгледаме няколко примера.

Изчислете по доказаната теорема .

Втори пример: Докажете това , ако а ≤ 0, б < 0. .

Друг пример: Изчислете.

.

Преобразуване на квадратни корени

Премахване на фактор от основния знак. Нека изразът бъде даден. Ако а≥ 0 и б≥ 0, то по теоремата за корен на произведението можем да запишем:

Такава трансформация се нарича изваждане на фактор от основния знак. Нека разгледаме един пример;

Изчислете при х= 2. Директно заместване х= 2 до радикален израз води до сложни изчисления. Тези изчисления могат да бъдат опростени, като първо се премахнат факторите от основния знак:. Замествайки сега x = 2, получаваме :.

И така, при премахване на фактора под коренния знак, радикалният израз се представя под формата на продукт, в който един или повече фактори са квадрати от неотрицателни числа. След това се прилага теоремата за корен на произведението и коренът се извлича от всеки фактор. Помислете за пример: Опростете израза А = √8 + √18 - 4√2, като премахнете факторите от основния знак в първите два члена, получаваме :. Подчертаваме, че равенството валидно само за а≥ 0 и б≥ 0. ако а < 0, то .

Математиката се ражда, когато човек осъзнава себе си и започва да се позиционира като автономна единица на света. Желанието да измервате, сравнявате, изчислявате това, което ви заобикаля - това лежи в основата на една от фундаменталните науки на нашето време. Първоначално това бяха частици от елементарна математика, които направиха възможно свързването на числата с техните физически изрази, по-късно заключенията започнаха да се представят само теоретично (поради тяхната абстрактност), но след известно време, както каза един учен, „математика достигна тавана на сложността, когато изчезнаха всички числа." Концепцията за "квадратен корен" се появи във време, когато можеше лесно да бъде подкрепена с емпирични данни, надхвърлящи равнината на изчислението.

Как започна всичко

Първото споменаване на корен, който е този моментобозначава се като √, е записано в трудовете на вавилонските математици, които положиха основата на съвременната аритметика. Разбира се, те не приличаха на сегашната форма - учените от онези години първо използваха обемисти таблетки. Но през второто хилядолетие пр.н.е. д. те излязоха с приблизителна формула за изчисление, която показа как да се извлече квадратен корен. Снимката по-долу показва камък, върху който вавилонските учени са издълбали процеса на извод √2 и той се оказва толкова правилен, че несъответствието в отговора е открито едва на десетия знак след десетичната запетая.

Освен това коренът се използва, ако е необходимо да се намери страната на триъгълник, при условие че другите две са известни. Е, когато решавате квадратни уравнения, не можете да се измъкнете от извличането на корена.

Наред с вавилонските произведения, обектът на статията е изследван и в китайската работа „Математика в девет книги“, а древните гърци стигат до извода, че всяко число, от което коренът не се извлича без остатък, дава ирационален резултат .

Произход на този сроксвързано с арабското представяне на числото: древните учени вярвали, че квадратът на произволно число расте от корена, като растение. На латински тази дума звучи като radix (можете да проследите шаблон - всичко, което има значение "корен" под него, е съгласно, било то репички или радикулит).

Учените от следващите поколения подеха тази идея, наричайки я Rx. Например, през 15 век, за да се посочи, че е извлечен квадратен корен от произволно число a, те написват R 2 a. Обичайно съвременен изглед"кърлеж" - се появява едва през 17 век благодарение на Рене Декарт.

Нашите дни

Математически корен квадратен от y е числото z, чийто квадрат е y. С други думи, z 2 = y е еквивалентно на √y = z. но това определениеот значение само за аритметичен корентъй като това предполага неотрицателната стойност на израза. С други думи, √y = z, където z е по-голямо или равно на 0.

V общ случай, който действа за определяне на алгебричния корен, стойността на израза може да бъде положителна или отрицателна. По този начин, тъй като z 2 = y и (-z) 2 = y, имаме: √y = ± z или √y = | z |.

Поради факта, че любовта към математиката само нараства с развитието на науката, има различни прояви на привързаност към нея, които не се изразяват в сухи изчисления. Например, наред с такива забавни явления като деня на числото Пи, се празнуват и празниците на квадратния корен. Те се празнуват девет пъти на сто години и се определят според следния принцип: числата, които обозначават деня и месеца по ред, трябва да бъдат корен квадратен от годината. И така, следващия път този празник ще бъде отбелязан на 4 април 2016 г.

Свойства квадратен корен на полето R

Почти всички математически изразиимат геометрична основа, тази съдба не е преминала и √y, което се определя като страната на квадрат с площ y.

Как да намеря корена на число?

Има няколко алгоритма за изчисление. Най-простото, но в същото време доста тромаво е обичайното аритметично изчисление, което е както следва:

1) нечетните числа се изваждат от числото, чийто корен ни е необходим, на свой ред, докато остатъкът от изхода е по-малък от изваденото или четно нула. Броят на ходовете в крайна сметка ще стане необходимия брой. Например, изчисляване на квадратен корен от 25:

Следващото нечетно число е 11, имаме следния остатък: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

За такива случаи има разширение от серия Тейлър:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, където n варира от 0 до

+ ∞ и | y | ≤1.

Графично представяне на функцията z = √y

Да разгледаме елементарна функция z = √y върху полето на реалните числа R, където y е по-голямо или равно на нула. Графиката му изглежда така:

Кривата расте от началото и задължително пресича точката (1; 1).

Свойства на функцията z = √y върху полето на реалните числа R

1. Областта на дефиниране на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (включва се нулата).

2. Диапазонът от стойности на разглежданата функция е интервалът от нула до плюс безкрайност (нулата отново е включена).

3. Функцията приема минималната стойност (0) само в точката (0; 0). Няма максимална стойност.

4. Функцията z = √y не е нито четна, нито нечетна.

5. Функцията z = √y не е периодична.

6. Има само една пресечна точка на графиката на функцията z = √y с координатните оси: (0; 0).

7. Пресечната точка на графиката на функцията z = √y също е нулата на тази функция.

8. Функцията z = √y нараства непрекъснато.

9. Функцията z = √y приема само положителни стойности, следователно нейната графика заема първия координатен ъгъл.

Варианти на функцията z = √y

В математиката, за да улеснят изчисляването на сложни изрази, понякога използват степенната форма на запис на квадратен корен: √y = y 1/2. Тази опция е удобна например при издигане на функция до степен: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. Този метод също е добро представяне за диференциране с интегриране, тъй като благодарение на него коренът квадратен се представя от обикновена степенна функция.

А в програмирането заместването на символа √ е комбинацията от букви sqrt.

Трябва да се отбележи, че в тази област квадратният корен е в голямо търсене, тъй като е включен в повечето геометрични формули, необходими за изчисления. Самият алгоритъм за броене е доста сложен и се основава на рекурсия (функция, която се извиква).

Квадратен корен в комплексно поле C

Като цяло именно предметът на тази статия стимулира откриването на полето на комплексните числа C, тъй като математиците бяха преследвани от въпроса за получаване на четен корен от отрицателно число. Така се появи въображаемата единица i, която се характеризира с много интересно свойство: квадратът й е -1. Поради това квадратните уравнения и с отрицателен дискриминант получиха решение. В C за корен квадратен са от значение същите свойства като в R, единственото нещо е, че ограниченията са премахнати от радикалния израз.

Коренни формули. Свойства на квадратните корени.

Внимание!
Има допълнителни
материали в Специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които са "много равномерни ...")

В предишния урок разбрахме какво е квадратен корен... Време е да разберем кои съществуват коренови формуликакво са коренови свойства, и какво можете да направите с всичко това.

Коренни формули, свойства на корени и правила за действия с коренипо същество са едно и също нещо. Има изненадващо малко формули за квадратни корени. Което, разбира се, радва! По-скоро можете да напишете много всякакви формули, но за практична и уверена работа с корени са достатъчни само три. Останалите от тези три потока. Въпреки че много хора се губят в трите коренови формули, да...

Нека започнем с най-простия. Ето я:

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.