Kvadratinės šaknies pridėjimo savybės. Kvadratinių šaknų savybės

Kvadratinių šaknų savybės

Iki šiol su skaičiais atlikome penkias aritmetines operacijas: sudėtį, atimtį, daugyba, dalyba ir eksponencija, o skaičiavimuose jie aktyviai naudojo įvairių savybiųšios operacijos, pavyzdžiui, a + b = b + a, an-bn = (ab) n ir kt.

Šiame skyriuje pristatoma nauja operacija – išgavimas kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus. Norėdami sėkmingai jį naudoti, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis, kurias mes atliksime šiame skyriuje.

Įrodymas. Įveskime tokį žymėjimą: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Lygybė" width="120" height="25 id=">!}.

Taip suformuluojame tokią teoremą.

(Trumpa formuluotė, kurią patogiau naudoti praktikoje: frakcijos šaknis lygus trupmenai iš šaknų arba dalinio šaknis yra lygi šaknų daliniui.)

Šį kartą tik pristatysime trumpa pastabaįrodymą, ir jūs bandote pateikti atitinkamus komentarus, panašius į tuos, kurie sudarė 1 teoremos įrodymo esmę.

3 pastaba. Žinoma, šį pavyzdį galima išspręsti ir kitaip, ypač jei po ranka turite skaičiuotuvą: padauginkite skaičius 36, 64, 9 ir paimkite gautos sandaugos kvadratinę šaknį. Tačiau sutiksite, kad aukščiau pasiūlytas sprendimas atrodo kultūringesnis.

4 pastaba. Pirmuoju metodu atlikome tiesioginius skaičiavimus. Antrasis būdas yra elegantiškesnis:
kreipėmės formulę a2 - b2 = (a - b) (a + b) ir panaudojo kvadratinių šaknų savybę.

5 pastaba. Kai kurios „karštosios galvos“ kartais siūlo tokį „sprendimą“ 3 pavyzdžiui:

Tai, žinoma, netiesa: matote, rezultatas nėra toks pat kaip mūsų 3 pavyzdyje. Faktas yra tas, kad nėra jokios nuosavybės https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Užduotis" width="148" height="26 id=">!} Yra tik savybės, susijusios su kvadratinių šaknų dauginimu ir padalijimu. Būkite atsargūs ir atsargūs, negalvokite apie norus.

Baigdami pastraipą atkreipiame dėmesį į dar vieną gana paprastą ir kartu svarbią savybę:
jei a > 0 ir n - natūralusis skaičius, tada

Išraiškų, kuriose yra kvadratinės šaknies operacija, konvertavimas

Kol kas atlikome tik transformacijas racionalios išraiškos, naudojant tam polinomų ir operacijų taisykles algebrinės trupmenos, sutrumpintos daugybos formulės ir tt Šiame skyriuje pristatėme naują operaciją – kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją; mes tai nustatėme

kur, prisiminti, a, b yra neneigiami skaičiai.

Naudojant šiuos formules, galite atlikti įvairias išraiškų transformacijas, kuriose yra kvadratinės šaknies operacija. Panagrinėkime kelis pavyzdžius ir visuose pavyzdžiuose manysime, kad kintamieji turi tik neneigiamas reikšmes.

3 pavyzdysĮveskite koeficientą po kvadratinės šaknies ženklu:

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką Sprendimas. Atlikime nuoseklias transformacijas:

Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas yra 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 \u003d - 9, nes 9² \u003d 81 ir (- 9)² \u003d 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami skaičiaus 81 kvadratinėmis šaknimis.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir -6 yra kvadratinės šaknys iš 36. Skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius -6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis ažymimas taip: √ a.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; a vadinama šaknine išraiška. Išraiška √ a skaityti kaip ši: skaičiaus aritmetinė kvadratinė šaknis a. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad Mes kalbame apie aritmetinę šaknį jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis a«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimas vadinamas kvadratinės šaknies paėmimu. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.

Bet koks skaičius gali būti pakeltas kvadratu, bet kvadratinės šaknys negali būti paimtos iš bet kurio skaičiaus. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² \u003d - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.

Išraiška √ a prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Lygybė (√ a)² = a galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint įsitikinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis a lygus b, t.y., kad √ a =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = a.

Trupmenos kvadratinė šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkite, ar galioja lygybė.

Kaip ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu a≥ 0 ir b> 0, tai yra, trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ a≥0 ir √ b> 0, tada .

Pagal savybę pakelti trupmeną iki laipsnio ir nustatyti kvadratinę šaknį teorema įrodyta. Pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Apskaičiuokite pagal įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , jei a ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

.

Kvadratinės šaknies transformacija

Daugiklio išėmimas iš po šaknies ženklo. Tegu pateikiama išraiška. Jeigu a≥ 0 ir b≥ 0, tada pagal gaminio šaknies teoremą galime parašyti:

Tokia transformacija vadinama šaknies ženklo faktoriniavimu. Apsvarstykite pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje lemia sudėtingus skaičiavimus. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsime veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, išimant faktorių iš po šaknies ženklo, radikalų išraiška vaizduojama kaip sandauga, kurioje vienas ar keli faktoriai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada taikoma šaknies sandaugos teorema ir imama kiekvieno veiksnio šaknis. Apsvarstykite pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, išimdami veiksnius iš po šaknies ženklo pirmuosiuose dviejuose terminuose, gausime:. Pabrėžiame, kad lygybė galioja tik tada, kai a≥ 0 ir b≥ 0. jeigu a < 0, то .

Matematika gimė tada, kai žmogus suvokė save ir pradėjo save pozicionuoti kaip savarankišką pasaulio vienetą. Noras matuoti, lyginti, apskaičiuoti tai, kas tave supa, yra vienas iš pagrindinių mūsų dienų mokslų. Iš pradžių tai buvo elementarios matematikos gabalai, kurie leido susieti skaičius su jų fizinėmis išraiškomis, vėliau išvados pradėtos pateikti tik teoriškai (dėl abstraktumo), tačiau po kurio laiko, kaip teigė vienas mokslininkas, „ matematika pasiekė sudėtingumo lubas, kai visi skaičiai. „Kvadratinės šaknies“ sąvoka atsirado tuo metu, kai ją buvo galima lengvai paremti empiriniais duomenimis, peržengiančiais skaičiavimų plokštumą.

Kaip viskas prasidėjo

Pirmasis paminėjimas apie šaknį, kuri ant Šis momentasžymimas √, buvo užfiksuotas Babilono matematikų, padėjusių šiuolaikinės aritmetikos pamatus, raštuose. Žinoma, jos atrodė šiek tiek panašios į dabartinę formą – tų metų mokslininkai pirmą kartą panaudojo stambias tabletes. Tačiau antrajame tūkstantmetyje pr. e. jie sugalvojo apytikslę skaičiavimo formulę, kuri parodė, kaip imti kvadratinę šaknį. Žemiau esančioje nuotraukoje pavaizduotas akmuo, ant kurio Babilono mokslininkai išraižė išvesties procesą √2, ir jis pasirodė toks teisingas, kad neatitikimas atsakyme buvo rastas tik dešimtosiose dešimtosiose.

Be to, šaknis buvo naudojama, jei reikėjo rasti trikampio kraštinę, jei žinomos kitos dvi. Na, o sprendžiant kvadratines lygtis nepabėgsi nuo šaknies ištraukimo.

Kartu su babiloniečių darbais straipsnio objektas buvo tiriamas ir kinų veikale „Matematika devyniose knygose“, o senovės graikai priėjo prie išvados, kad bet koks skaičius, iš kurio šaknis neišgaunama be liekanos, duoda neracionalų rezultatą. .

Kilmė Šis terminas susijęs su arabišku skaičiaus vaizdu: senovės mokslininkai tikėjo, kad savavališko skaičiaus kvadratas išauga iš šaknies, kaip augalas. Lotyniškai šis žodis skamba kaip radix (galima atsekti šabloną – viskas, kas turi „šaknies“ semantinę apkrovą, yra priebalsė, ar tai ridikas, ar išialgija).

Vėlesnių kartų mokslininkai pasirinko šią idėją ir pavadino ją Rx. Pavyzdžiui, XV amžiuje, norėdami nurodyti, kad kvadratinė šaknis paimta iš savavališko skaičiaus a, jie parašė R 2 a. Įprasta moderni išvaizda„erkė“ √ atsirado tik XVII amžiuje Rene Descartes'o dėka.

Mūsų dienos

Matematiškai y kvadratinė šaknis yra skaičius z, kurio kvadratas yra y. Kitaip tariant, z 2 =y yra lygiavertis √y=z. Tačiau šis apibrėžimas aktualu tik aritmetinė šaknis, nes tai reiškia neneigiamą išraiškos reikšmę. Kitaip tariant, √y=z, kur z yra didesnis arba lygus 0.

AT bendras atvejis, kuris veikia nustatant algebrinę šaknį, išraiškos reikšmė gali būti teigiama arba neigiama. Taigi, dėl to, kad z 2 =y ir (-z) 2 =y, gauname: √y=±z arba √y=|z|.

Dėl to, kad tobulėjant mokslui meilė matematikai tik didėjo, atsiranda įvairių prisirišimo prie jos apraiškų, neišreikštų sausais skaičiavimais. Pavyzdžiui, kartu su tokiais įdomiais renginiais kaip Pi diena, švenčiamos ir kvadratinės šaknies šventės. Jos švenčiamos devynis kartus per šimtą metų ir nustatomos pagal tokį principą: dieną ir mėnesį eilės tvarka žymintys skaičiai turi būti metų kvadratinė šaknis. Taigi kitą kartą ši šventė bus švenčiama 2016 metų balandžio 4 dieną.

Kvadratinės šaknies savybės lauke R

Beveik visi matematines išraiškas turi geometrinį pagrindą, šis likimas nepraėjo ir √y, kuris apibrėžiamas kaip kvadrato, kurio plotas y, kraštinė.

Kaip rasti skaičiaus šaknį?

Yra keli skaičiavimo algoritmai. Paprasčiausias, bet tuo pat metu gana sudėtingas yra įprastas aritmetinis skaičiavimas, kuris yra toks:

1) iš skaičiaus, kurio šaknies mums reikia, paeiliui atimami nelyginiai skaičiai - tol, kol likusi išvesties dalis yra mažesnė už atimtą vienetą arba net lygi nuliui. Judėjimų skaičius ilgainiui taps norimu skaičiumi. Pavyzdžiui, apskaičiuojant kvadratinę šaknį iš 25:

Kitas nelyginis skaičius yra 11, likusioji dalis yra: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tokiais atvejais yra Taylor serijos išplėtimas:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n įgauna reikšmes nuo 0 iki

+∞ ir |y|≤1.

Grafinis funkcijos z=√y pavaizdavimas

Apsvarstykite elementariąją funkciją z=√y realiųjų skaičių R lauke, kur y yra didesnis arba lygus nuliui. Jos diagrama atrodo taip:

Kreivė auga nuo pradžios ir būtinai kerta tašką (1; 1).

Funkcijos z=√y savybės realiųjų skaičių R lauke

1. Nagrinėjamos funkcijos apibrėžimo sritis yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (nulis įtraukiamas).

2. Nagrinėjamos funkcijos reikšmių diapazonas yra intervalas nuo nulio iki plius begalybės (vėl įtraukiamas nulis).

3. Funkcija įgauna mažiausią reikšmę (0) tik taške (0; 0). Maksimalios vertės nėra.

4. Funkcija z=√y nėra nei lyginė, nei nelyginė.

5. Funkcija z=√y nėra periodinė.

6. Yra tik vienas funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas su koordinačių ašimis: (0; 0).

7. Funkcijos z=√y grafiko susikirtimo taškas yra ir šios funkcijos nulis.

8. Funkcija z=√y nuolat auga.

9. Funkcija z=√y turi tik teigiamas reikšmes, todėl jos grafikas užima pirmąjį koordinačių kampą.

Funkcijos z=√y rodymo parinktys

Matematikoje, kad būtų lengviau skaičiuoti sudėtingas išraiškas, kartais jie naudoja kvadratinės šaknies rašymo galios formą: √y=y 1/2. Ši parinktis yra patogi, pavyzdžiui, pakeliant funkciją į laipsnį: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šis metodas taip pat yra geras diferencijavimo su integravimu vaizdavimas, nes jo dėka kvadratinė šaknis yra pavaizduota įprasta galios funkcija.

O programuojant simbolio √ pakaitalas yra raidžių derinys sqrt.

Verta paminėti, kad šioje srityje kvadratinė šaknis yra labai paklausi, nes ji yra daugelio skaičiavimams reikalingų geometrinių formulių dalis. Pats skaičiavimo algoritmas yra gana sudėtingas ir pagrįstas rekursija (funkcija, kuri iškviečia save).

Kvadratinė šaknis kompleksiniame lauke C

Apskritai, šio straipsnio tema paskatino atrasti kompleksinių skaičių C lauką, nes matematikus persekiojo klausimas, kaip iš neigiamo skaičiaus gauti lyginę laipsnio šaknį. Taip atsirado įsivaizduojamas vienetas i, kuriam būdinga labai įdomi savybė: jo kvadratas yra -1. Dėl to kvadratinės lygtys ir su neigiamu diskriminantu gavo sprendimą. C kalbant apie kvadratinę šaknį, svarbios tos pačios savybės kaip ir R, vienintelis dalykas yra tai, kad pašalinami šaknies išraiškos apribojimai.

Šakninės formulės. kvadratinių šaknų savybės.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiagos viduje Specialusis 555 straipsnis.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kas yra šaknų formulės, kas yra šaknų savybės ir ką dėl viso to galima padaryti.

Šakninės formulės, šaknų savybės ir veiksmų su šaknimis taisyklės- Iš esmės tai tas pats. Yra stebėtinai mažai kvadratinių šaknų formulių. Kas, žinoma, džiugina! Greičiau galima rašyti daug visokių formulių, bet praktiniam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis užtenka vos trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis klysta trijose šaknų formulėse, taip ...

Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai ji:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.