Kas yra vienodai lygios trupmenos. Posakių tapatumo transformacijos, jų tipai

TemaAsmens tapatybės įrodymai» 7 klasė (KRO)

Vadovėlis Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Pamokos tikslai

Švietimas:

supažindinti ir iš pradžių įtvirtinti sąvokas „identiški posakiai“, „tapatybė“, „identiškos transformacijos“;

svarstyti tapatybių įrodinėjimo būdus, prisidėti prie tapatybių įrodinėjimo įgūdžių ugdymo;

patikrinti mokinių įsisavintą nagrinėjamą medžiagą, formuoti studijuojamo pritaikymo naujo suvokimui įgūdžius.

Kuriama:

Ugdykite kompetentingą mokinių matematinę kalbą (paturtina ir apsunkina žodynas naudojant specialius matematinius terminus),

lavinti mąstymą,

Ugdomasis: ugdyti darbštumą, tikslumą, pratimų sprendimo fiksavimo teisingumą.

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis

Per užsiėmimus

1 . Laiko organizavimas.

Namų darbų tikrinimas.

Klausimai apie namų darbus.

Aptarimas lentoje.

Reikalinga matematika
Be jos neįmanoma
Mes mokome, mokome, draugai,
Ką prisimename ryte?

2 . Padarykime treniruotę.

Papildymo rezultatas. (Suma)

Kiek skaičių žinai? (Dešimt)

Šimtas skaičius. (procentais)

padalijimo rezultatas? (privatus)

Mažiausias natūralusis skaičius? (vienas)

Ar dalijant natūraliuosius skaičius galima gauti nulį? (Ne)

Koks yra didžiausias neigiamas sveikasis skaičius. (-vienas)

Iš kokio skaičiaus negalima padalyti? (0)

Daugybos rezultatas? (Darbas)

Atimties rezultatas. (Skirtumas)

Komutacinė pridėjimo savybė. (Suma nesikeičia keičiant terminų vietas)

Komutacinė daugybos savybė. (Produktas nekinta keičiantis faktorių vietoms)

Naujos temos studijavimas (apibrėžimas su užrašu sąsiuvinyje)

Raskite reiškinių reikšmę x=5 ir y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms reiškinių 3(x + y) ir 3x + 3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. Jei x = 1 ir y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Apibrėžimas: Dvi išraiškos, kurių reikšmės yra lygios bet kuriai kintamųjų vertei, laikomos identiškai lygios.

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3 (x + y) ir 3x + 3y galioja bet kurioms x ir y reikšmėms. Tokios lygybės vadinamos tapatybėmis.

Apibrėžimas: Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis. Su tapatybėmis jau susitikome. Tapatybės – tai lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes (Kiekvieną savybę mokiniai komentuoja ištardami).

a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a (bc)
a(b + c) = ab + ac

Pateikite kitų tapatybių pavyzdžių

Apibrėžimas: Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte, vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Išraiškų tapatybės transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Jau teko atlikti keletą identiškų transformacijų, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų išplėtimas.

5 . Nr. 691, Nr. 692 (su skliaustų atidarymo, neigiamų ir teigiamų skaičių dauginimo taisyklių tarimu)

Tapatybės, kaip pasirinkti racionalų sprendimą:(darbas priekyje)

6 . Apibendrinant pamoką.

Mokytojas užduoda klausimus, o mokiniai į juos atsako kaip nori.

Kokios dvi išraiškos vadinamos identiškai lygiomis? Pateikite pavyzdžių.

Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite pavyzdį.

Kokias identiškas transformacijas žinote?

7. Namų darbai. Išmokite apibrėžimus, pateikite identiškų posakių pavyzdžių (bent 5), surašykite juos į sąsiuvinį

Studijuodami algebrą susidūrėme su daugianario (pavyzdžiui ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ ir pan.) ir algebrinės trupmenos (pavyzdžiui $\frac(x+5)(x) sąvokomis )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ ir tt) Šių sąvokų panašumas yra tas, kad tiek daugianariuose, tiek algebrinėse trupmenose yra kintamieji ir skaitinės reikšmės, aritmetiniai veiksmai: sudėjimas, atėmimas, daugyba, eksponentas Skirtumas tarp šių sąvokų yra tas, kad dalyba iš kintamojo nevykdoma daugianariuose, o dalyba iš kintamojo gali būti atliekama algebrinėmis trupmenomis.

Tiek daugianariai, tiek algebrinės trupmenos matematikoje vadinamos racionaliosiomis algebrinėmis išraiškomis. Tačiau polinomai yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos, o algebrinės trupmeninės išraiškos yra trupmeninės racionalios išraiškos.

Iš trupmeniškai racionalios išraiškos galima gauti visą algebrinę išraišką naudojant identišką transformaciją, kuri šiuo atveju bus pagrindinė trupmenos savybė – trupmenų sumažinimas. Pažiūrėkime praktiškai:

1 pavyzdys

Transformuoti: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Sprendimas:Šią trupmeninę-racionaliąją lygtį galima transformuoti naudojant pagrindinę trupmenos panaikinimo savybę, t.y. skaitiklį ir vardiklį padalijus iš to paties skaičiaus arba išraiškos, išskyrus $0$.

Šios trupmenos iš karto sumažinti negalima, reikia konvertuoti skaitiklį.

Transformuojame išraišką trupmenos skaitiklyje, tam naudojame skirtumo kvadrato formulę: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Trupmena turi formą

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Dabar matome, kad skaitiklyje ir vardiklyje yra bendras veiksnys - tai išraiška $x-2$, kurioje sumažinsime trupmeną

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po sumažinimo gauname originalą trupmeninė racionali išraiška$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ tapo daugianario $x-2$, t.y. visai racionalus.

Dabar atkreipkime dėmesį į tai, kad išraiškos $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir $x-2\ $ gali būti laikomos identiškomis ne visoms kintamojo reikšmėms, nes Kad egzistuotų trupmeninė-racionali išraiška ir kad būtų galima redukuoti daugianario $x-2$, trupmenos vardiklis neturi būti lygus $0$ (taip pat koeficientui, kuriuo sumažiname. šis pavyzdys vardiklis ir daugiklis yra vienodi, bet taip yra ne visada).

Kintamosios reikšmės, kurioms egzistuos algebrinė trupmena, vadinamos galiojančiomis kintamųjų reikšmėmis.

Trupmenos vardikliui pateikiame sąlygą: $x-2≠0$, tada $x≠2$.

Taigi išraiškos $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir $x-2$ yra identiškos visoms kintamojo reikšmėms, išskyrus $2$.

1 apibrėžimas

identiškai lygus Išraiškos yra tos, kurios yra lygios visoms galimoms kintamojo reikšmėms.

Identiška transformacija – tai bet koks pradinės išraiškos pakeitimas identiškai lygiaverte. Tokios transformacijos apima šiuos veiksmus: sudėtį, atimtį, daugybą, skliaustus, algebrinės trupmenosį bendrą vardiklį, algebrinių trupmenų redukcija, panašių terminų redukcija ir kt. Reikia atsižvelgti į tai, kad daugybė transformacijų, tokių kaip sumažinimas, panašių terminų sumažinimas, gali pakeisti leistinas kintamojo reikšmes.

Tapatybėms įrodyti naudojami metodai

Konvertuokite kairę tapatybės pusę į dešinę arba atvirkščiai naudodami tapatybės transformacijas

Sumažinkite abi dalis iki tos pačios išraiškos naudodami identiškas transformacijas

Perkelkite vienos išraiškos dalies išraiškas į kitą ir įrodykite, kad gautas skirtumas yra lygus $0 $

Kuris iš pirmiau nurodytų metodų naudoti tam tikrai tapatybei įrodyti, priklauso nuo pirminės tapatybės.

2 pavyzdys

Įrodykite tapatybę $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Sprendimas:Šiai tapatybei įrodyti naudojame pirmąjį iš aukščiau paminėtų metodų, ty kairiąją tapatybės pusę transformuosime tol, kol ji bus lygi dešiniajai.

Apsvarstykite kairę tapatybės pusę: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- tai dviejų daugianario skirtumas. Šiuo atveju pirmasis daugianomas yra trijų narių sumos kvadratas. Norėdami kvadratuoti kelių narių sumą, naudojame formulę:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Norėdami tai padaryti, turime padauginti skaičių iš daugianario. Prisiminkite, kad tam turime padauginti skliausteliuose esantį bendrą koeficientą iš kiekvieno daugianario nario skliausteliuose. Tada gauname:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Dabar grįžkite prie pradinio daugianario, jis bus tokia forma:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Atkreipkite dėmesį, kad prieš skliaustelį yra ženklas „-“, o tai reiškia, kad atidarius skliaustus visi ženklai, buvę skliausteliuose, pasikeičia.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Jei pateiksime panašius terminus, tai gausime, kad monomai $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ ir $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ vienas kitą panaikina, t.y. jų suma lygi 0 USD.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Taigi identiškais pakeitimais gavome identiška išraiška kairėje originalios tapatybės pusėje

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška rodo, kad pradinė tapatybė yra teisinga.

Atkreipkite dėmesį, kad pradinėje tapatybėje leidžiamos visos kintamojo reikšmės, o tai reiškia, kad tapatybę įrodėme naudodami identiškas transformacijas, ir tai galioja visoms leidžiamoms kintamojo reikšmėms.

Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.

Komutacinė sudėjimo savybė: perstačius terminus sumos reikšmė nekinta. Bet kurių skaičių a ir b lygybė yra teisinga

Asociatyvi sudėjimo savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Komutacinė daugybos savybė: faktorių permutacija nekeičia sandaugos vertės. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Asociatyvi daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos.

Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Paskirstymo savybė: norėdami skaičių padauginti iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Iš komutacinių ir asociatyvių sudėjimo savybių išplaukia, kad bet kokia suma galite pertvarkyti terminus, kaip jums patinka, ir savavališkai sujungti juos į grupes.

1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23+13,5+4,27.

Norėdami tai padaryti, patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tai išplaukia iš daugybos komutacinių ir asociatyvinių savybių: bet kuriame sandaugoje jūs galite bet kokiu būdu pertvarkyti veiksnius ir savavališkai sujungti juos į grupes.

2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8 0,25 64 0,5.

Sujungę pirmąjį veiksnį su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gausime:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Paskirstymo savybė taip pat galioja, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.

Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė yra teisinga

a(b+c+d)=ab+ac+skelbimas.

Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant prie minuend priešingą skaičių atimties daliai:

Tai leidžia pateikti skaitinę išraišką tipas a-b laikykime skaičių a ir -b sumą, a + b-c-d formos skaitinę išraišką laikysime skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. Tokioms sumoms galioja ir nagrinėjamos veiksmų savybės.

3 pavyzdys Raskime reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėtines savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36·().

Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos skirstomąją savybę, gauname:

36()=36-36=9-10=-1.

Tapatybės

Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kuriai kintamųjų vertei, laikomos identiškomis.

Apibrėžimas. Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Raskime reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmes, kai x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x+y ir 2xy. Jei x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3(x+y)=x+3y, tinkama bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.

Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Išraiškų tapatybės transformacijos

Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte, vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę, atsižvelgiant į x, y, z reikšmes, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, kai x=2.3, y=0.8, z=0.2 gauname:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Šį rezultatą galima gauti tik dviem etapais, naudojant išraišką x(y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiškai lygia išraiška x(y-z).

Išraiškų tapatybės transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurios identiškos transformacijos jau buvo atliktos, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų atidarymas. Prisiminkite šių transformacijų atlikimo taisykles:

norint pateikti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;

jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;

jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tai skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

1 pavyzdys Sudėkime panašius terminus į sumą 5x+2x-3x.

Panašių terminų mažinimui naudojame taisyklę:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ši transformacija grindžiama daugybos paskirstymo savybe.

2 pavyzdys Išplėskime skliaustus reiškinyje 2a+(b-3c).

Skliaustų, prieš kuriuos yra pliuso ženklas, atidarymo taisyklės taikymas:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Atliekama transformacija remiasi asociatyvine sudėjimo savybe.

3 pavyzdys Išplėskime skliaustus išraiškoje a-(4b-c).

Naudokime taisyklę skliaustų išplėtimui prieš minuso ženklą:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Atliekama transformacija remiasi skirstomąją daugybos savybę ir asociatyvinę sudėties savybę. Parodykime. Pavaizduokime antrąjį šios išraiškos terminą -(4b-c) kaip sandaugą (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Taikydami šias veiksmų savybes, gauname:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Šiame straipsnyje pateikiamas inicialas tapatybių samprata. Čia apibrėžsime tapatybę, supažindinsime su naudojamu žymėjimu ir, žinoma, pateiksime įvairių tapatybių pavyzdžių.

Puslapio naršymas.

Kas yra tapatybė?

Logiška medžiagos pristatymą pradėti nuo tapatybės apibrėžimai. Yu. N. Makarychevo vadovėlyje 7 klasių algebra tapatybės apibrėžimas pateikiamas taip:

Apibrėžimas.

Tapatybė yra lygybė, teisinga bet kurioms kintamųjų reikšmėms; bet kokia tikroji skaitinė lygybė taip pat yra tapatybė.

Kartu autorius iš karto nurodo, kad ateityje šis apibrėžimas bus patikslintas. Šis patikslinimas vyksta 8 klasėje, susipažinus su priimtinų kintamųjų reikšmių ir ODZ apibrėžimu. Apibrėžimas tampa:

Apibrėžimas.

Tapatybės yra tikrosios skaitinės lygybės, taip pat lygybės, kurios teisingos visoms leistinoms į jas įtrauktų kintamųjų reikšmėms.

Taigi kodėl, apibrėždami tapatybę, 7 klasėje mes kalbame apie bet kokias kintamųjų reikšmes, o 8 klasėje pradedame kalbėti apie kintamųjų reikšmes iš jų DPV? Iki 8 klasės darbas atliekamas tik su sveikųjų skaičių išraiškomis (ypač su mononomais ir daugianariais), ir jie turi prasmę bet kokioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Todėl 7 klasėje sakome, kad tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms. O 8 klasėje atsiranda išraiškų, kurios jau turi prasmę ne visoms kintamųjų reikšmėms, o tik reikšmėms iš jų ODZ. Todėl pagal tapatybes mes pradedame vadinti lygybes, kurios yra teisingos visoms leistinoms kintamųjų reikšmėms.

Taigi tapatybė yra ypatinga byla lygybė. Tai yra, bet kokia tapatybė yra lygybė. Tačiau ne kiekviena lygybė yra tapatybė, o tik lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms iš jų priimtinų verčių diapazono.

Tapatybės ženklas

Yra žinoma, kad rašant lygybes naudojamas „=“ formos lygybės ženklas, kurio kairėje ir dešinėje yra keletas skaičių ar posakių. Jei prie šio ženklo pridėsime dar vieną horizontalią liniją, gausime tapatybės ženklas„≡“ arba kaip jis dar vadinamas lygybės ženklas.

Tapatybės ženklas dažniausiai naudojamas tik tada, kai reikia pabrėžti, kad prieš mus yra ne tik lygybė, bet būtent tapatybė. Kitais atvejais tapatybių reprezentacijos forma nesiskiria nuo lygybių.

Tapatybės pavyzdžiai

Pats laikas atnešti tapatybių pavyzdžiai. Pirmoje pastraipoje pateiktas tapatybės apibrėžimas mums padės tai padaryti.

Skaitinės lygybės 2=2 yra tapatybių pavyzdžiai, nes šios lygybės yra teisingos, o bet kuri tikroji skaitinė lygybė pagal apibrėžimą yra tapatybė. Jie gali būti parašyti kaip 2≡2 ir .

Formos 2+3=5 ir 7−1=2·3 skaitinės lygybės taip pat yra tapatybės, nes šios lygybės yra teisingos. Tai yra, 2+3≡5 ir 7−1≡2 3 .

Pereikime prie tapatybių pavyzdžių, kurių žymėjime yra ne tik skaičiai, bet ir kintamieji.

Apsvarstykite lygybę 3·(x+1)=3·x+3 . Bet kuriai kintamojo x reikšmei įrašyta lygybė yra teisinga dėl daugybos skirstomosios savybės sudėjimo atžvilgiu, todėl pradinė lygybė yra tapatybės pavyzdys. Štai dar vienas tapatybės pavyzdys: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, čia kintamųjų x ir y priimtinų reikšmių diapazonas yra visos poros (x, y), kur x ir y yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį.

Bet lygybės x+1=x−1 ir a+2 b=b+2 a nėra tapatybės, nes yra kintamųjų reikšmės, kurioms šios lygybės bus neteisingos. Pavyzdžiui, jei x=2 lygybė x+1=x−1 virsta neteisinga lygybe 2+1=2−1 . Be to, lygybė x+1=x−1 iš viso nepasiekiama jokioms kintamojo x reikšmėms. O lygybė a+2·b=b+2·a pavirs neteisinga lygybe, jei imsime bet kokias skirtingas kintamųjų a ir b reikšmes. Pavyzdžiui, esant a=0 ir b=1, prieisime neteisingą lygybę 0+2 1=1+2 0 . Lygybė |x|=x , kur |x| - kintamasis x taip pat nėra tapatybė, nes tai netinka neigiamoms x reikšmėms.

Žymiausių tapatybių pavyzdžiai yra sin 2 α+cos 2 α=1 ir a log a b =b .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pastebėti, kad studijuodami matematiką nuolat susiduriame su tapatybėmis. Skaičių veiksmų ypatybių įrašai yra tapatybės, pavyzdžiui, a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 ir a+(−a)=0 . Be to, tapatybės yra

Tapatybės konvertavimas yra darbas, kurį atliekame su skaitinėmis ir abėcėlinėmis išraiškomis, taip pat su išraiškomis, kuriose yra kintamųjų. Mes atliekame visas šias transformacijas, kad originali išraiška būtų tokia, kuri būtų patogi sprendžiant problemą. Šioje temoje apsvarstysime pagrindinius identiškų transformacijų tipus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Išraiškos tapatumo transformacija. Kas tai yra?

Pirmą kartą su identiškos transformuotos mes sąvoka susiduriame algebros pamokose 7 klasėje. Tada pirmiausia susipažįstame su identiškai lygiaverčių posakių samprata. Panagrinėkime sąvokas ir apibrėžimus, kad būtų lengviau įsisavinti temą.

1 apibrėžimas

Išraiškos tapatumo transformacija yra veiksmai, atliekami siekiant pakeisti pradinę išraišką išraiška, kuri bus identiška pradinei.

Dažnai šis apibrėžimas vartojamas sutrumpinta forma, kurioje praleidžiamas žodis „identiškas“. Daroma prielaida, kad bet kuriuo atveju posakio transformaciją atliekame taip, kad gautume identišką pradinei išraišką, ir to atskirai pabrėžti nereikia.

Iliustruoti šis apibrėžimas pavyzdžių.

1 pavyzdys

Jei pakeisime išraišką x + 3 - 2į identiškai lygiavertę išraišką x+1, tada atliekame identišką išraiškos transformaciją x + 3 - 2.

2 pavyzdys

Išraiškos 2 ir 6 pakeitimas išraiška a 3 yra tapatybės transformacija, o išraiškos pakeitimas xį išraišką x2 nėra identiška transformacija, nes išraiškos x ir x2 nėra identiškai lygūs.

Atkreipiame dėmesį į posakių rašymo formą atliekant identiškas transformacijas. Paprastai pradinę išraišką ir gautą išraišką rašome kaip lygybę. Taigi rašymas x + 1 + 2 = x + 3 reiškia, kad išraiška x + 1 + 2 buvo sumažinta iki formos x + 3 .

Nuoseklus veiksmų vykdymas veda mus į lygybių grandinę, kuri yra keletas iš eilės identiškų transformacijų. Taigi, žymėjimą x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x suprantame kaip nuoseklų dviejų transformacijų įgyvendinimą: pirma, išraiška x + 1 + 2 buvo sumažinta iki formos x + 3 ir sumažinta iki forma 3 + x.

Tapatybės transformacijos ir ODZ

Kai kurios išraiškos, kurias pradedame studijuoti 8 klasėje, neturi prasmės jokioms kintamųjų reikšmėms. Tokiais atvejais atliekant identiškas transformacijas, reikia atkreipti dėmesį į leistinų kintamųjų reikšmių sritį (ODV). Atliekant identiškas transformacijas, ODZ gali likti nepakitęs arba susiaurinti.

3 pavyzdys

Atliekant perėjimą nuo išraiškos a + (-b)į išraišką a-b leistinų kintamųjų verčių diapazonas a ir b lieka toks pat.

4 pavyzdys

Perėjimas iš x išraiškos į išraišką x 2 x dėl to susiaurėja kintamojo x priimtinų reikšmių diapazonas nuo visų realiųjų skaičių aibės iki visų realiųjų skaičių, iš kurių nulis neįtrauktas.

5 pavyzdys

Išraiškos tapatumo transformacija x 2 x Išraiška x veda prie kintamojo x priimtinų reikšmių diapazono išplėtimo nuo visų realiųjų skaičių, išskyrus nulį, aibės iki visų realiųjų skaičių aibės.

Sprendžiant problemas svarbu susiaurinti arba išplėsti leistinų kintamųjų verčių diapazoną, kai atliekamos vienodos transformacijos, nes tai gali turėti įtakos skaičiavimų tikslumui ir sukelti klaidų.

Pagrindinės tapatybės transformacijos

Dabar pažiūrėkime, kas yra identiškos transformacijos ir kaip jos atliekamos. Išskirkime tuos identiškų transformacijų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriame pagrindinėje grupėje.

Be pagrindinių tapatybės transformacijų, yra keletas transformacijų, susijusių su tam tikro tipo išraiškomis. Trupmenoms tai yra mažinimo ir redukavimo iki naujo vardiklio metodai. Posakiams su šaknimis ir galiomis – visi veiksmai, kurie atliekami remiantis šaknų ir galių savybėmis. Logaritminėms išraiškoms – veiksmai, kurie atliekami remiantis logaritmų savybėmis. Trigonometrinėms išraiškoms visi veiksmai naudojant trigonometrines formules. Visos šios konkrečios transformacijos yra išsamiai aptariamos atskirose temose, kurias galite rasti mūsų šaltinyje. Dėl šios priežasties šiame straipsnyje apie juos nekalbėsime.

Pereikime prie pagrindinių identiškų transformacijų svarstymo.

Terminų, veiksnių pertvarkymas

Pradėkime nuo sąlygų pertvarkymo. Su šia identiška transformacija susiduriame dažniausiai. O pagrindine taisykle čia galima laikyti tokį teiginį: bet kokia suma terminų pertvarkymas į vietas rezultatui įtakos neturi.

Ši taisyklė pagrįsta komutacinėmis ir asociacinėmis sudėties savybėmis. Šios savybės leidžia pakeisti terminus vietomis ir tuo pačiu gauti išraiškas, kurios yra identiškos pirminėms. Štai kodėl terminų išdėstymas vietomis sumoje yra identiška transformacija.

6 pavyzdys

Turime trijų narių sumą 3 + 5 + 7 . Jei pakeisime terminus 3 ir 5, tada išraiška bus 5 + 3 + 7. Šiuo atveju yra keletas sąlygų pertvarkymo variantų. Visi jie leidžia gauti išraiškas, kurios yra identiškos pradinei.

Ne tik skaičiai, bet ir išraiškos gali veikti kaip sumos nariai. Juos, kaip ir skaičius, galima pertvarkyti nepažeidžiant galutinio skaičiavimo rezultato.

7 pavyzdys

Trijų 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ir - 12 a formos 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + terminų sumoje ( - 12) terminus galima pertvarkyti, pavyzdžiui, taip (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Savo ruožtu galite pertvarkyti terminus trupmenos 1 a + b vardiklyje, o trupmena bus 1 b + a forma. Ir išraiška po šaknies ženklu a 2 + 2 a + 5 taip pat yra suma, kuria terminai gali būti sukeisti.

Taip pat kaip ir terminai, pradinėse išraiškose galima sukeisti veiksnius ir gauti identiškai teisingas lygtis. Šį veiksmą reglamentuoja ši taisyklė:

2 apibrėžimas

Produkte veiksnių pertvarkymas vietomis neturi įtakos skaičiavimo rezultatui.

Ši taisyklė pagrįsta daugybos komutacinėmis ir asociacinėmis savybėmis, kurios patvirtina identiškos transformacijos teisingumą.

8 pavyzdys

Darbas 3 5 7 faktorių permutacija gali būti pavaizduota viena iš šių formų: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 arba 3 7 5.

9 pavyzdys

Pakeitus veiksnius sandaugoje x + 1 x 2 - x + 1 x gausite x 2 - x + 1 x x + 1

Kronšteino išplėtimas

Skliausteliuose gali būti skaitinių išraiškų ir išraiškų su kintamaisiais įrašai. Šiuos posakius galima paversti identiškai lygiaverčiais posakiais, kuriuose skliaustų iš viso nebus arba jų bus mažiau nei originaliuose posakiuose. Šis išraiškų konvertavimo būdas vadinamas skliaustų išplėtimu.

10 pavyzdys

Atlikime veiksmus su skliaustais formos išraiškoje 3 + x − 1 x kad gautumėte identišką tikrą išraišką 3 + x − 1 x.

Išraiška 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x gali būti konvertuojama į identišką lygiavertė išraiška be skliaustų 3 x - 3 - 1 + x 1 - x .

Išsamiai aptarėme išraiškų su skliaustais konvertavimo taisykles temoje „Skliausto išplėtimas“, kuri yra paskelbta mūsų šaltinyje.

Grupavimo terminai, veiksniai

Tais atvejais, kai susiduriame su trimis ir didelis kiekis terminus, galime griebtis tokio tipo identiškų transformacijų kaip terminų grupavimo. Šiuo transformavimo būdu suprantamas kelių terminų sujungimas į grupę, juos pertvarkant ir dedant skliausteliuose.

Grupuojant terminai sukeičiami taip, kad sugrupuoti terminai išraiškos įraše būtų vienas šalia kito. Po to jie gali būti uždėti skliausteliuose.

11 pavyzdys

Paimkite išraišką 5 + 7 + 1 . Jei sugrupuojame pirmąjį terminą su trečiuoju, gauname (5 + 1) + 7 .

Veiksnių grupavimas atliekamas panašiai kaip terminų grupavimas.

12 pavyzdys

Darbe 2 3 4 5 galima sugrupuoti pirmąjį veiksnį su trečiuoju, o antrą faktorių su ketvirtuoju, šiuo atveju gauname išraišką (2 4) (3 5). Ir jei sugrupuotume pirmąjį, antrąjį ir ketvirtąjį veiksnius, gautume išraišką (2 3 5) 4.

Grupuojami terminai ir veiksniai gali būti pavaizduoti tiek pirminiais skaičiais, tiek išraiškomis. Grupavimo taisyklės buvo išsamiai aptartos temoje „Grupavimo terminai ir veiksniai“.

Skirtumų pakeitimas sumomis, daliniais produktais ir atvirkščiai

Skirtumų pakeitimas sumomis tapo įmanomas dėl mūsų pažinties su priešingais skaičiais. Dabar atimkite iš skaičiaus a numeriai b gali būti vertinamas kaip numerio papildymas a numeriai −b. Lygybė a − b = a + (− b) gali būti laikomas sąžiningu ir jo pagrindu atlikti skirtumų pakeitimą sumomis.

13 pavyzdys

Paimkite išraišką 4 + 3 − 2 , kuriame skaičių skirtumas 3 − 2 galime rašyti kaip sumą 3 + (− 2) . Gauk 4 + 3 + (− 2) .

14 pavyzdys

Visi išraiškos skirtumai 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 galima pakeisti tokiomis sumomis kaip 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Iš bet kokių skirtumų galime pereiti prie sumų. Panašiai galime atlikti atvirkštinį pakeitimą.

Dalybos pakeitimas daugyba daliklio grįžtamuoju dydžiu tampa įmanomas abipusio sampratos dėka abipusiai skaičiai. Šią transformaciją galima parašyti kaip a: b = a (b – 1).

Ši taisyklė buvo paprastųjų trupmenų padalijimo taisyklės pagrindas.

15 pavyzdys

Privatus 1 2: 3 5 gali būti pakeistas formos gaminiu 1 2 5 3.

Panašiai pagal analogiją dalyba gali būti pakeista daugyba.

16 pavyzdys

Išraiškos atveju 1+5:x:(x+3) padalinimą pakeisti į x galima padauginti iš 1 x. Padalijimas pagal x + 3 galime pakeisti padaugindami iš 1 x + 3. Transformacija leidžia gauti išraišką, kuri yra identiška pradinei: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Daugybos pakeitimas padalijimu atliekamas pagal schemą a b = a: (b – 1).

17 pavyzdys

Išraiškoje 5 x x 2 + 1 - 3 daugyba gali būti pakeista padalijimu kaip 5: x 2 + 1 x - 3.

Veiksmų su skaičiais atlikimas

Atliekant operacijas su skaičiais galioja operacijų eilės taisyklė. Pirma, operacijos atliekamos su skaičių laipsniais ir skaičių šaknimis. Po to logaritmus, trigonometrines ir kitas funkcijas pakeičiame jų reikšmėmis. Tada atliekami skliausteliuose nurodyti veiksmai. Ir tada jau galite atlikti visus kitus veiksmus iš kairės į dešinę. Svarbu atsiminti, kad daugyba ir padalijimas atliekami prieš sudedant ir atimant.

Veiksmai su skaičiais leidžia paversti pradinę išraišką į identišką jai lygią.

18 pavyzdys

Transformuokime reiškinį 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, atlikdami visas įmanomas operacijas su skaičiais.

Sprendimas

Pirmiausia pažiūrėkime į laipsnį 2 3 ir šaknis 4 ir apskaičiuokite jų reikšmes: 2 3 = 8 ir 4 = 2 2 = 2 .

Pakeiskite gautas reikšmes į pradinę išraišką ir gaukite: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Dabar padarykime skliaustus: 8 − 1 = 7 . Ir pereikime prie išraiškos 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Mes tiesiog turime padaryti daugybą 3 ir 7 . Gauname: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Atsakymas: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Prieš operacijas su skaičiais gali būti atliekamos kitos tapatybės transformacijos, pvz., skaičių grupavimas arba skliaustų išplėtimas.

19 pavyzdys

Paimkite išraišką 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) – 2 + 11.

Sprendimas

Visų pirma pakeisime skliausteliuose esantį koeficientą 6: 3 apie jo prasmę 2 . Gauname: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Išplėskime skliaustus: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Sugrupuokime skaitinius gaminio veiksnius, taip pat terminus, kurie yra skaičiai: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Padarykime skliaustus: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Atsakymas:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) – 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jei dirbame su skaitinėmis išraiškomis, mūsų darbo tikslas bus rasti išraiškos reikšmę. Jei transformuosime išraiškas su kintamaisiais, mūsų veiksmų tikslas bus supaprastinti išraišką.

Bendrojo veiksnio apibrėžimas

Tais atvejais, kai išraiškos terminai turi tą patį veiksnį, šį bendrą veiksnį galime išimti iš skliaustų. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turime pavaizduoti pradinę išraišką kaip bendro veiksnio ir išraiškos skliausteliuose sandaugą, kurią sudaro pradiniai terminai be bendro veiksnio.

20 pavyzdys

Skaitmeniškai 2 7 + 2 3 galime išskirti bendrą veiksnį 2 skliaustuose ir gauti identiškai teisingą formos išraišką 2 (7 + 3).

Atitinkamoje mūsų šaltinio skiltyje galite atnaujinti atmintį apie bendro faktoriaus ištraukimo iš skliaustų taisykles. Medžiagoje išsamiai aptariamos bendro faktoriaus išėmimo iš skliaustų taisyklės ir pateikiama daug pavyzdžių.

Panašių terminų mažinimas

Dabar pereikime prie sumų, kuriose yra panašūs terminai. Čia galimi du variantai: sumos, turinčios tuos pačius terminus, ir sumos, kurių terminai skiriasi skaitiniu koeficientu. Veiksmai su sumomis, turinčiomis panašius terminus, vadinamos panašių terminų mažinimu. Tai atliekama taip: bendrosios raidės dalį dedame iš skliaustų ir apskaičiuojame skaitinių koeficientų sumą skliausteliuose.

21 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + 4 x - 2 x. Mes galime išimti pažodinę x dalį iš skliaustų ir gauti išraišką 1 + x (4–2). Apskaičiuokime reiškinio skliausteliuose reikšmę ir gaukime formos 1 + x · 2 sumą.

Skaičių ir išraiškų pakeitimas vienodomis išraiškomis

Skaičiai ir išraiškos, sudarantys pradinę išraišką, gali būti pakeisti išraiškomis, kurios yra identiškos jiems. Tokia pradinės išraiškos transformacija veda į išraišką, kuri jai yra identiška.

22 pavyzdys 23 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + a5, kuriame laipsnį a 5 galime pakeisti sandauga, identiška jam, pavyzdžiui, formos a 4. Tai suteiks mums išraišką 1 + 4.

Atlikta transformacija dirbtinė. Tai prasminga tik ruošiantis kitoms transformacijoms.

24 pavyzdys

Apsvarstykite sumos transformaciją 4 x 3 + 2 x 2. Čia terminas 4x3 galime reprezentuoti kaip prekę 2x2x2x. Dėl to pirminė išraiška įgauna formą 2 x 2 2 x + 2 x 2. Dabar galime išskirti bendrą veiksnį 2x2 ir išimkite jį iš skliaustų: 2 x 2 (2 x + 1).

To paties skaičiaus pridėjimas ir atėmimas

To paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir atėmimas tuo pačiu metu yra dirbtinė išraiškos transformavimo technika.

25 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką x 2 + 2 x. Iš jo galime pridėti arba atimti vieną, o tai leis vėliau atlikti kitą identišką transformaciją - pasirinkti dvinario kvadratą: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter