Šis internetinis skaičiuotuvas leidžia spręsti diferencialines lygtis internete. Pakanka įvesti savo lygtį į atitinkamą lauką, per apostrofą pažymint „funkcijos išvestinę“ ir paspausti mygtuką „išspręsti lygtį“. O populiarios „WolframAlpha“ svetainės pagrindu įdiegta sistema pateiks išsamią informaciją. diferencialinės lygties sprendimas visiškai nemokamai. Taip pat galite nustatyti Koši uždavinį, kad pasirinktumėte koeficientą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas iš visos galimų sprendimų rinkinio. Koši problema įvedama atskirame lauke.

Diferencialinė lygtis

Numatytoji funkcija lygtyje yra y yra kintamojo funkcija x... Tačiau galite nustatyti savo kintamojo žymėjimą, jei lygtyje įrašysite, pavyzdžiui, y (t), tada skaičiuotuvas automatiškai atpažins, kad y yra kintamojo funkcija t... Su skaičiuotuvu galite išspręsti diferencialines lygtis bet kokio sudėtingumo ir tipo: vienarūšės ir nehomogeninės, tiesinės ar netiesinės, pirmos eilės arba antros ir aukštesnės eilės, lygtys su atskiriamais arba neatskiriamais kintamaisiais ir kt. Diferencialinis sprendimas lygtis pateikta analitine forma, turi išsamų aprašymą. Diferencialinės lygtys yra labai paplitusios fizikoje ir matematikoje. Jų neapskaičiavus neįmanoma išspręsti daugelio uždavinių (ypač matematinės fizikos).

Vienas iš diferencialinių lygčių sprendimo etapų yra funkcijų integravimas. Yra standartiniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai. Reikia suvesti lygtis į formą su atskiriamais kintamaisiais y ir x ir atskirai integruoti atskirtas funkcijas. Norėdami tai padaryti, kartais reikia atlikti tam tikrą pakeitimą.

Kai kuriose fizikos problemose neįmanoma nustatyti tiesioginio ryšio tarp dydžių, apibūdinančių procesą. Tačiau galima gauti lygybę, kurioje yra tiriamų funkcijų išvestinės. Taip atsiranda diferencialinės lygtys ir poreikis jas išspręsti, norint rasti nežinomą funkciją.

Šis straipsnis skirtas tiems, kurie susiduria su diferencialinės lygties, kurioje nežinoma funkcija yra vieno kintamojo funkcija, sprendimo problema. Teorija sukonstruota taip, kad nulinės diferencialinių lygčių vaizdavimo dėka galėsite susidoroti su savo užduotimi.

Kiekvienam diferencialinių lygčių tipui priskiriamas sprendimo metodas su išsamiais tipinių pavyzdžių ir problemų paaiškinimais bei sprendimais. Jums tereikia nustatyti savo problemos diferencialinės lygties formą, rasti panašų analizuotą pavyzdį ir atlikti panašius veiksmus.

Norint sėkmingai išspręsti diferencialines lygtis, taip pat reikės gebėjimo rasti įvairių funkcijų antidarinių (neapibrėžtų integralų) rinkinius. Jei reikia, rekomenduojame peržiūrėti skyrių.

Pirmiausia apsvarstysime įprastų pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, kuriuos galima išspręsti išvestinės atžvilgiu, tada pereisime prie antros eilės ODE, tada apsistosime ties aukštesnės eilės lygtimis ir baigsime diferencialų sistemomis. lygtys.

Prisiminkite, kad jei y yra argumento x funkcija.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys.

Paprasčiausios formos pirmosios eilės diferencialinės lygtys.

Užrašykime keletą tokių DE pavyzdžių .

Diferencialinės lygtys Išvestinės atžvilgiu galima išspręsti abi lygybės puses padalijus iš f (x). Tokiu atveju gauname lygtį, kuri bus lygiavertė pradinei f (x) ≠ 0. Tokių ODE pavyzdžiai yra.

Jei yra argumento x reikšmės, kurioms funkcijos f (x) ir g (x) vienu metu išnyksta, atsiranda papildomų sprendimų. Papildomi lygties sprendiniai pateiktos x yra bet kokios toms argumentų reikšmėms apibrėžtos funkcijos. Galima pateikti tokių diferencialinių lygčių pavyzdžių.

Antrosios eilės diferencialinės lygtys.

Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.

LODE su pastoviais koeficientais yra labai paplitusi diferencialinių lygčių forma. Jų sprendimas nėra ypač sunkus. Pirmiausia randamos charakteristikos lygties šaknys ... Skirtingiems p ir q galimi trys atvejai: charakteristikų lygties šaknys gali būti tikrosios ir skirtingos, tikrosios ir sutampančios arba kompleksinis konjugatas. Atsižvelgiant į charakteristikos lygties šaknų reikšmes, bendras diferencialinės lygties sprendimas rašomas taip , arba , arba atitinkamai.

Pavyzdžiui, apsvarstykite antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais. Jai būdingos lygties šaknys yra k 1 = -3 ir k 2 = 0. Šaknys yra tikros ir skirtingos, todėl bendras LODE sprendimas su pastoviais koeficientais turi formą


Antros eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.

Antros eilės LDE bendras sprendinys su pastoviais koeficientais y ieškomas kaip atitinkamo LDE bendrojo sprendinio suma ir konkretus pradinės nehomogeninės lygties sprendimas, tai yra,. Ankstesnė dalis skirta rasti bendrą homogeninės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimą. O konkretus sprendimas nustatomas arba neapibrėžtų koeficientų metodu tam tikrai funkcijos f (x) formai, kuri yra dešinėje pradinės lygties pusėje, arba savavališkų konstantų kitimo metodu.

Pateikiame antros eilės LDE su pastoviais koeficientais pavyzdžius


Norėdami suprasti teoriją ir susipažinti su išsamiais pavyzdžių sprendimais, puslapyje siūlome tiesines nehomogenines antros eilės diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais.

Tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys (LODE) ir antros eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys (LDE).

Ypatingas tokio tipo diferencialinių lygčių atvejis yra LODE ir LDE su pastoviais koeficientais.

Bendras LODE sprendinys tam tikrame segmente pavaizduotas dviejų tiesiškai nepriklausomų konkrečių šios lygties sprendinių y 1 ir y 2 tiesine kombinacija, ty .

Pagrindinis sunkumas yra būtent ieškant tiesiškai nepriklausomų konkrečių tokio tipo diferencialinės lygties sprendinių. Paprastai tam tikri sprendimai pasirenkami iš šių tiesiškai nepriklausomų funkcijų sistemų:


Tačiau privatūs sprendimai ne visada pateikiami tokia forma.

LODU pavyzdys yra .

Bendras LHDE sprendinys ieškomas formoje, kur yra atitinkamo LHDE bendrasis sprendinys, ir yra konkretus pradinės diferencialinės lygties sprendimas. Ką tik kalbėjome apie radimą, tačiau jį galima nustatyti naudojant savavališkų konstantų kitimo metodą.

LNDE pavyzdys yra .

Aukštesnių laipsnių diferencialinės lygtys.

Diferencialinės lygtys, leidžiančios redukuoti tvarką.

Diferencialinės lygties tvarka , kuriame nėra norimos funkcijos ir jos išvestinių iki k-1 eilės, pakeičiant galima sumažinti iki n-k.

Tokiu atveju pradinė diferencialinė lygtis bus sumažinta iki. Radus jos sprendimą p (x), belieka grįžti prie pakeitimo ir nustatyti nežinomą funkciją y.

Pavyzdžiui, diferencialinė lygtis po pakeitimo ji tampa atskiriama lygtimi, o jos tvarka sumažės nuo trečios iki pirmosios.

Paprastoji diferencialinė lygtis vadinama lygtimi, jungiančia nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, jungiančios nepriklausomus kintamuosius, nežinomą šių kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) – antros eilės, o (5) – pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n-toje eilėje neturi būti aiškiai nurodyta funkcija, visi jos vediniai nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškiai kai kurių eilučių išvestinių, funkcijos, nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje – antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje - nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Išspręsdami diferencialinę lygtį vadinama bet kokia funkcija y = f (x), pakeitus į lygtį, ji tampa tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas juo integruojantis.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą. Sprendimas yra surasti funkciją pagal jos išvestinę. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antidarinys už, t.y.

Štai kas yra duotosios diferencialinės lygties sprendimas ... Keistis joje C, sulauksime įvairių sprendimų. Mes nustatėme, kad yra be galo daug pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendimų.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendinys n-oji tvarka yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Konkrečiu diferencialinės lygties sprendiniu vadinamas jo sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Abi lygties puses integruojame tiek kartų, kiek yra diferencialinės lygties tvarka.

,

.

Dėl to mes gavome bendrą sprendimą -

pateiktą trečios eilės diferencialinę lygtį.

Dabar mes rasime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

.

Jeigu be diferencialinės lygties formoje pateikiama pradinė sąlyga, tai tokia problema vadinama Koši problema ... Vertės ir pakeičiamos į bendrąjį lygties sprendinį ir randama savavališkos konstantos reikšmė C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C... Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai pagal 1 pavyzdį pagal sąlygą.

Sprendimas. Į bendrą sprendimą pakeisime pradinės sąlygos reikšmes y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome Koši uždavinio sprendimą duotai pirmos eilės diferencialinei lygčiai:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia turėti gerų įgūdžių integruojant ir paimant išvestines, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta taip, kad iš karto galėtumėte integruoti abi jos puses.

.

Taikome integravimo kintamojo keitimu (pakeitimu) metodą. Leisk tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija ("obuolys" yra kvadratinės šaknies ištraukimas arba, kas yra tas pats, "pusės" eksponentas, o "maltas" yra pati išraiška po šaknimi):

Raskite integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

.

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, tai yra kintamojo x... Proporcingumo žinojimas, neužmirštas (bet kaip kas) iš mokyklos suolo, padės išspręsti šią problemą. Tai yra kitas pavyzdys.

Diferencialinių lygčių sprendimas. Mūsų internetinės paslaugos dėka galite išspręsti bet kokio tipo ir sudėtingumo diferencialines lygtis: nevienalytes, vienarūšes, netiesines, tiesines, pirmos, antros eilės, su atskiriamais ar neatskiriamais kintamaisiais ir kt. Jūs gaunate diferencialinių lygčių sprendimą analitine forma su išsamiu aprašymu. Daugeliui žmonių kyla klausimas: kodėl diferencialines lygtis reikia spręsti internetu? Tokio tipo lygtys yra labai paplitusios matematikoje ir fizikoje, kur nebus įmanoma išspręsti daugelio problemų neapskaičiavus diferencialinės lygties. Diferencialinės lygtys taip pat paplitusios ekonomikos, medicinos, biologijos, chemijos ir kituose moksluose. Tokios lygties sprendimas internetu labai palengvina jums skirtas užduotis, leidžia geriau įsisavinti medžiagą ir išbandyti save. Diferencialinių lygčių sprendimo internetu pranašumai. Šiuolaikinė matematinių paslaugų svetainė leidžia internetu išspręsti bet kokio sudėtingumo diferencialines lygtis. Kaip žinote, yra daugybė diferencialinių lygčių tipų ir kiekviena iš jų turi savo sprendimus. Mūsų paslaugoje galite rasti bet kokios eilės ir tipo diferencialinių lygčių sprendimus internete. Norėdami gauti sprendimą, siūlome užpildyti pradinius duomenis ir paspausti mygtuką „Sprendimas“. Paslaugos klaidos neįtraukiamos, todėl galite būti 100% tikri, kad gavote teisingą atsakymą. Išspręskite diferencialines lygtis naudodami mūsų paslaugą. Išspręskite diferencialines lygtis internete. Pagal numatytuosius nustatymus tokioje lygtyje funkcija y yra x kintamojo funkcija. Tačiau taip pat galite nurodyti savo kintamojo pavadinimą. Pavyzdžiui, jei diferencialinėje lygtyje nurodysite y (t), mūsų paslauga automatiškai nustatys, kad y yra t kintamojo funkcija. Visos diferencialinės lygties tvarka priklausys nuo maksimalios funkcijos išvestinės, esančios lygtyje, eilės. Išspręsti tokią lygtį reiškia rasti reikiamą funkciją. Mūsų paslauga padės išspręsti diferencialines lygtis internetu. Norint išspręsti lygtį, nereikia daug pastangų. Jums tereikia įvesti kairę ir dešinę lygties puses reikiamuose laukuose ir spustelėti mygtuką „Sprendimas“. Įvedant funkcijos išvestinę reikia pažymėti apostrofu. Per kelias sekundes gausite paruoštą išsamų diferencialinės lygties sprendimą. Mūsų paslauga yra visiškai nemokama. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais. Jei diferencialinėje lygtyje kairėje yra išraiška, kuri priklauso nuo y, o dešinėje yra išraiška, kuri priklauso nuo x, tai tokia diferencialinė lygtis vadinama atskiriamais kintamaisiais. Kairėje pusėje gali būti y išvestinė, tokio tipo diferencialinių lygčių sprendimas bus funkcijos y forma, išreiškiamas per dešinės lygties pusės integralą. Jei funkcijos y diferencialas yra kairėje pusėje, tai abi lygties pusės yra integruotos. Kai diferencialinės lygties kintamieji nėra atskirti, juos reikės padalyti, kad būtų gauta padalinta diferencialinė lygtis. Tiesinė diferencialinė lygtis. Tiesinė diferencialinė lygtis – tai diferencialinė lygtis, kurioje funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmojo laipsnio. Bendroji lygties forma: y ’+ a1 (x) y = f (x). f (x) ir a1 (x) yra ištisinės x funkcijos. Šio tipo diferencialinių lygčių sprendimas redukuojamas į dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais integravimą. Diferencialinės lygties tvarka. Diferencialinė lygtis gali būti pirmos, antros, n-osios eilės. Diferencialinės lygties tvarka nustato didžiausios joje esančios išvestinės eilę. Mūsų paslaugoje diferencialines lygtis galite išspręsti internetu pirma, antra, trečia ir t.t. įsakymas. Lygties sprendimas bus bet kokia funkcija y = f (x), pakeitus ją į lygtį, gausite tapatybę. Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas integravimu. Cauchy problema. Jei, be pačios diferencialinės lygties, yra nurodyta pradinė sąlyga y (x0) = y0, tai vadinama Koši problema. Indeksai y0 ir x0 pridedami prie lygties sprendinio ir nustato savavališkos konstantos C reikšmę, o tada konkretų lygties sprendimą, kai ši vertė yra C. Tai yra Koši problemos sprendimas. Koši problema taip pat vadinama ribinių sąlygų problema, kuri labai paplitusi fizikoje ir mechanikoje. Taip pat turite galimybę nustatyti Koši uždavinį, tai yra iš visų galimų lygties sprendinių pasirinkti koeficientą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimų pavyzdžiai.
Atskiriamos diferencialinės lygtys

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą eiliniam pasauliečiui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo kaip kažkas siaubingo ir sunkiai išmokstamo. Uuuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip man visa tai išgyventi?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės klaidingi, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS YRA PAPRASTOS IR NET LINKSINGOS... Ką reikia žinoti ir mokėti, norint išmokti spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti diffurą, turite gerai integruotis ir diferencijuoti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau neblogų integracijos įgūdžių, tada tema praktiškai įvaldyta! Kuo daugiau įvairių tipų integralų galėsite išspręsti, tuo geriau. Kodėl? Integruoti reikia daug. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų kontroliniuose dokumentuose aptinkamos 3 pirmos eilės diferencialinių lygčių rūšys: atskiriamas lygtis kurią apžvelgsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys ir tiesinės nehomogeninės lygtys... Pradedantiesiems studijuoti difuziją patariu susipažinti su šios sekos pamokomis, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys redukuojamos į vienarūšes.

Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: lygtys suminiuose diferencialuose, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Svarbiausias iš paskutinių dviejų tipų yra lygtys suminiuose diferencialuose, nes be šio DE aš svarstau apie naują medžiagą - dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, tada itin greitam paruošimui yra žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys:. Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia surasti daug skaičių kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį:. Kad būtų smagu, patikrinkime, pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas rastas teisingai.

Skirtumai yra panašūs!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė:.

Kai kuriose 1-osios eilės lygtyse gali nebūti „x“ arba (ir) „žaidimo“, tačiau tai nėra būtina – svarbu kad DU buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnio rango dariniai – ir kt.

Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti daug visų funkcijų kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą (yra savavališka konstanta), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicijos pakrova. Kur pradėti sprendimas?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Prisimename sudėtingą pavadinimą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. In diffura būtent tai ir valdo!

Antrame žingsnyje patikrinkite, ar tai įmanoma padalinti kintamuosius? Ką reiškia skaidyti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "žaidėjai", a dešinėje pusėje organizuoti tik "x"... Kintamųjų atskyrimas atliekamas naudojant „mokyklines“ manipuliacijas: skliausteliuose, terminų perkėlimą iš dalies į dalį su ženklo keitimu, faktorių perkėlimą iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visaverčiai karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Nagrinėjamame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami išmetant daugiklius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje yra tik „žaidimai“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas - integruojant diferencialinę lygtį... Tai paprasta, integralus pakabiname iš abiejų pusių:

Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (kadangi konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai)... Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas, kad mūsų „žaidimas“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas netiesiogiai forma. Diferencialinės lygties sprendimas netiesiogine forma vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas... Tai yra, tai yra bendras integralas.

Atsakymas tokia forma yra gana priimtinas, bet ar nėra geresnio varianto? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai dažna ir dažnai naudojama praktiniuose užsiėmimuose: jei po integravimo logaritmas atsiranda dešinėje, tai daugeliu atvejų (bet ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

Tai yra, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai .

Kam to reikia? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „žaidimą“. Naudojant logaritmų savybę ... Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Daugelio diferencialinių lygčių atsakymus patikrinti gana lengva. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai, imame rastą sprendimą ir jį išskiriame:

Tada išvestinę pakeičiame į pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas tenkina lygtį, kurią reikėjo patikrinti.

Suteikdami konstantą skirtingas vertes, galite gauti be galo daug privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Aišku, kad bet kuri iš funkcijų ir pan. tenkina diferencialinę lygtį.

Bendras sprendimas kartais vadinamas funkcijų šeima... Šiame pavyzdyje bendras sprendimas yra Tai linijinių funkcijų šeima, tiksliau, tiesioginių proporcijų šeima.

Kruopščiai sukramčius pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į keletą naivų klausimų apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mums pavyko padalinti kintamuosius. Ar tai visada galima padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamieji negali būti skaidomi. Pavyzdžiui, in vienarūšės pirmos eilės lygtys, pirmiausia turite pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, tiesinėje nehomogeninėje pirmos eilės lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius metodus ir metodus. Atskiriamos lygtys, kurias svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra ir netrivialių integralų. Tačiau tokius DE galima apytiksliai išspręsti naudojant specialius metodus. D'Alembert ir Cauchy garantuoja ... ... ugh, lurkmore. Tiesiog skaityti daug, beveik pridūrė "iš kito pasaulio".

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu ... Ar iš bendro integralo visada įmanoma rasti bendrą sprendimą, tai yra, „žaidimą“ išreikšti eksplicitine forma? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip aš galiu išreikšti „žaidimą“? Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti parašytas bendrojo integralo forma. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir gremėzdiškai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ... kol kas tikriausiai užteks. Pirmajame pavyzdyje mes susitikome dar vienas svarbus punktas, bet kad „manekenų“ neapimčiau naujos informacijos lavina, tai paliksiu iki kitos pamokos.

Neskubėkime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir dar vienas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal sąlygą reikia rasti privatus sprendimas DE tenkinantis nurodytą pradinę sąlygą. Ši klausimo formuluotė taip pat vadinama Koši problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų kelti painiavos, svarbiausia, kad joje būtų pirmoji išvestinė.

Išvestinę perrašome reikiama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima padalyti, berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruojame lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su viršuje esančia žvaigždute, tiesa, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar mes bandome paversti bendrąjį integralą į bendrą sprendimą (aiškiai išreikškite „žaidimą“). Prisimename seną, gerą, mokyklą: ... Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip nekošeriškai, todėl dažniausiai nuleidžiama iš dangaus į žemę. Detaliau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi galios savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, mes ją perskirsime raide:

Prisiminkite, kad konstantos „griovimas“ yra antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks:. Tokia graži eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat lengva.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmė, kurią reikia įvykdyti sąlygai.

Galite kurti įvairiais būdais, bet galbūt taip bus suprantamiausia. Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „žaidimo“ – dviem:



Tai yra,

Standartinė dizaino versija:

Dabar rastą pastovią reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
- Tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Privataus sprendimo patikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia reikia patikrinti, ar rastas konkretus sprendimas tikrai tenkina pradinę sąlygą? Vietoj „x“ pakeičiame nulį ir pamatome, kas atsitiks:
- taip, tikrai, gaunamas du, o tai reiškia, kad pradinė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Pakeiskite pradinę lygtį:

- gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Pereinama prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Įvertinkite, ar kintamuosius galima skaidyti? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę su ženklo pakeitimu:

Ir mes metame daugiklius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, artėja teismo diena. Jei gerai nesimokote neapibrėžtieji integralai, išsprendė kelis pavyzdžius, tada nebėra kur dėtis – dabar teks juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą rasti lengva, su kotangento integralu galime susidoroti naudodami standartinę techniką, kurią svarstėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas Praėjusiais metais:

Dešinėje pusėje turime logaritmą, o pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją konstanta taip pat turėtų būti rašoma po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tuos pačius logaritmus, visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomos savybės kiek įmanoma supakuojame logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė sukomplektuota, kad ją būtų barbariškai nuimta:

Ar galite išreikšti „žaidimą“? Gali. Abi pusės turi būti kvadratinės.

Bet jums to daryti nereikia.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti iki galios arba ištraukti šaknis, tada Daugeliu atvejų reikėtų susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendrojo integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog siaubingai - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome bendro integralo forma. Manoma, kad gera forma pateikti ją formoje, tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: bet kurios lygties bendrasis integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutapo su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrasis integralas taip pat patikrinamas gana lengvai, svarbiausia, kad būtų galima rasti implicitinės funkcijos išvestinė... Skiriantis atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir dalijame iš:

Gaunama tiksliai pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Pasižiūrėk.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys.

Priminsiu, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo paieška;
2) reikiamo privataus sprendimo suradimas.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį Nr. 2), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad rastas konkretus sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas iš esmės atitinka diferencialinę lygtį.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą tenkinantis pradinę sąlygą. Pasižiūrėk.

Sprendimas: Pirmiausia randame bendrąjį sprendimą, šioje lygtyje jau yra paruoštų diferencialų, todėl sprendimas yra supaprastintas. Kintamųjų atskyrimas:

Integruojame lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos perkėlimo po diferencialiniu ženklu metodu:

Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendinį? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai yra nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime tam tikrą sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „x“ pakeičiame nulį, o vietoj „žaidimo“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Tikrinimas: Pirmiausia patikrinkime, ar tenkinama pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas apskritai atitinka diferencialinę lygtį. Raskite išvestinę:

Mes žiūrime į pradinę lygtį: - jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeičiame pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas rastas teisingai.

Antrasis patikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties išreiškiame išvestinę, tam visas dalis padalijame iš:

O transformuotame DE pakeičiame gautą konkretų sprendimą ir išvestinę išvestinę. Supaprastinimai taip pat turėtų užtikrinti teisingą lygybę.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Atsakymas pateikiamas bendrojo integralo forma.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys, visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač „arbatinukui“), kad kintamuosius galima suskirstyti. Panagrinėkime sąlyginį pavyzdį:. Čia reikia atlikti faktoringą iš skliausteliuose: ir atskirti šaknis:. Kaip elgtis, aišku.

2) Pačios integracijos sunkumai. Integralai dažnai nėra labai paprasti, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzijų bus sunku. Be to, tarp rinkinių ir žinynų sudarytojų populiari logika „kadangi diferencialinė lygtis paprasta, tai tegul integralai būna sudėtingesni“.

3) Konversijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada aiškios pradedančiajam. Apsvarstykite kitą sąlyginį pavyzdį: ... Jame visus terminus patartina padauginti iš 2: ... Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: ... Taip, ir kadangi logaritmas yra dešinėje pusėje, patartina konstantą perrašyti kitos konstantos forma: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesuka galvos su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Yra klaidų! Griežtai kalbant, taip. Tačiau prasmingu požiūriu klaidų nėra, nes kintamosios konstantos transformacijos rezultate vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: ... Formaliai vėl yra klaida – turėjo būti parašyta dešinėje. Tačiau neoficialiai tai reiškia, kad „minus tse“ vis dar yra pastovus ( kuris taip pat lengvai įgauna bet kokią vertę!), todėl nėra prasmės dėti „minuso“ ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti aplaidaus požiūrio, o konvertuojant konstantoms vis tiek priskirti skirtingus indeksus.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Pasižiūrėk.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Kintamųjų atskyrimas:

Mes integruojame:

Konstanta čia neturi būti apibrėžta kaip logaritmas, nes nieko gero iš to nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patvirtinimas: išskirkite atsakymą (numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, tam abu terminus padauginame iš:

Gaunama pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite privatų nuotolinio valdymo sprendimą.
,

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Vienintelis patarimas yra tas, kad čia jūs gaunate bendrą integralą ir, teisingiau, reikia sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o dalinis integralas... Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.