Երկու թվերի գործակիցը. Ինչպե՞ս գտնել քառակուսի արմատը: Հատկություններ, արմատների արդյունահանման օրինակներ

Մաթեմատիկան ծնվել է այն ժամանակ, երբ մարդը գիտակցել է իր մասին և սկսել իրեն դիրքավորել որպես աշխարհի ինքնավար միավոր: Չափելու, համեմատելու, հաշվարկելու ցանկությունը, թե ինչ է ձեզ շրջապատում, ահա թե ինչն է ընկած մեր օրերի հիմնարար գիտություններից մեկի հիմքում: Սկզբում սրանք տարրական մաթեմատիկայի մասնիկներ էին, որոնք հնարավորություն էին տալիս թվերը կապել նրանց ֆիզիկական արտահայտությունների հետ, հետագայում եզրակացությունները սկսեցին ներկայացվել միայն տեսականորեն (դրանց վերացականության պատճառով), բայց որոշ ժամանակ անց, ինչպես ասում էր մի գիտնական, «մաթեմատիկա. հասավ բարդության առաստաղին, երբ այն անհետացավ բոլոր թվերը »: Հայեցակարգ» Քառակուսի արմատ«հայտնվել է այն ժամանակ, երբ այն կարող էր կրկնօրինակվել էմպիրիկ տվյալների հետ առանց որևէ խնդիրների՝ դուրս գալով հաշվարկման հարթությունից:

Ինչպես ամեն ինչ սկսվեց

Արմատի առաջին հիշատակումն այն է այս պահիննշվում է որպես √, գրանցվել է բաբելոնացի մաթեմատիկոսների աշխատություններում, որոնք հիմք են դրել ժամանակակից թվաբանությանը։ Իհարկե, դրանք ներկայիս ձևին չէին հիշեցնում. այն տարիների գիտնականներն առաջին անգամ օգտագործեցին մեծածավալ հաբեր։ Սակայն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում։ Ն.Ս. նրանք ստացան մոտավոր հաշվարկման բանաձև, որը ցույց էր տալիս, թե ինչպես կարելի է հանել քառակուսի արմատը: Ստորև բերված լուսանկարում պատկերված է մի քար, որի վրա բաբելոնացի գիտնականները փորագրել են √2 եզրակացության գործընթացը, և այն այնքան ճիշտ է, որ պատասխանի անհամապատասխանությունը հայտնաբերվել է միայն տասներորդ տասնորդական տեղում:

Բացի այդ, արմատը օգտագործվում էր, եթե անհրաժեշտ էր գտնել եռանկյան կողմը, պայմանով, որ մյուս երկուսը հայտնի լինեն: Դե, քառակուսի հավասարումներ լուծելիս չես կարող կտրվել արմատը հանելուց:

Բաբելոնյան աշխատությունների հետ մեկտեղ հոդվածի առարկան ուսումնասիրվել է նաև չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքում» աշխատությունում, և հին հույները եկել են այն եզրակացության, որ ցանկացած թիվ, որից արմատը չի հանվում առանց մնացորդի, տալիս է իռացիոնալ արդյունք։ .

Ծագում այս տերմինիկապված է թվի արաբական ներկայացման հետ. հին գիտնականները կարծում էին, որ կամայական թվի քառակուսին աճում է արմատից, ինչպես բույսը: Լատիներեն այս բառը հնչում է որպես ռադիքս (կարող եք հետևել օրինաչափությանը. այն ամենը, ինչ ունի «արմատային» իմաստային բեռ, բաղաձայն է, լինի դա բողկ, թե ռադիկուլիտ):

Հետագա սերունդների գիտնականներն ընդունեցին այս գաղափարը՝ այն անվանելով Rx: Օրինակ 15-րդ դարում կամայական ա թվի քառակուսի արմատը հանված լինելու համար գրեցին Ռ 2 ա։ Սովորական ժամանակակից տեսարան«տիզ» - հայտնվել է միայն 17-րդ դարում Ռենե Դեկարտի շնորհիվ։

Մեր օրերը

Մաթեմատիկորեն y-ի քառակուսի արմատը այն z թիվն է, որի քառակուսին y է: Այլ կերպ ասած, z 2 = y համարժեք է √y = z: բայց այս սահմանումըտեղին է միայն թվաբանական արմատի համար, քանի որ այն ենթադրում է արտահայտության ոչ բացասական արժեքը։ Այլ կերպ ասած, √y = z, որտեղ z-ը մեծ է կամ հավասար է 0-ի:

Վ ընդհանուր դեպք, որը գործում է հանրահաշվական արմատը որոշելու համար, արտահայտության արժեքը կարող է լինել կամ դրական կամ բացասական։ Այսպիսով, քանի որ z 2 = y և (-z) 2 = y, մենք ունենք՝ √y = ± z կամ √y = | z |:

Շնորհիվ այն բանի, որ մաթեմատիկայի հանդեպ սերը միայն աճել է գիտության զարգացման հետ մեկտեղ, կան դրան կապվածության տարբեր դրսեւորումներ, որոնք արտահայտված չեն չոր հաշվարկներով։ Օրինակ, այնպիսի հետաքրքիր երեւույթների հետ, ինչպիսին է Pi թվի օրը, նշվում են նաեւ քառակուսի արմատի տոները։ Դրանք նշվում են հարյուր տարում ինը անգամ և որոշվում են հետևյալ սկզբունքով. այն թվերը, որոնք հերթականությամբ նշում են օրն ու ամիսը, պետք է լինեն տարվա քառակուսի արմատը։ Այսպիսով, հաջորդ անգամ այս տոնը կնշվի 2016 թվականի ապրիլի 4-ին։

Քառակուսի արմատների հատկությունները դաշտում Ռ

Գրեթե բոլոր մաթեմատիկական արտահայտություններունեն երկրաչափական հիմք, այս ճակատագիրը չի անցել և √y, որը սահմանվում է որպես y մակերեսով քառակուսու կողմ:

Ինչպե՞ս գտնել թվի արմատը:

Կան մի քանի հաշվարկային ալգորիթմներ. Ամենապարզը, բայց միևնույն ժամանակ բավականին ծանրաբեռնվածը սովորական թվաբանական հաշվարկն է, որը հետևյալն է.

1) կենտ թվերը հանվում են այն թվից, որի արմատն իր հերթին մեզ անհրաժեշտ է այնքան ժամանակ, մինչև ելքի մնացորդը պակասի հանվածից կամ նույնիսկ զրոյից: Շարժումների քանակը ի վերջո կդառնա անհրաժեշտ թիվը: Օրինակ՝ 25-ի քառակուսի արմատը հաշվարկելը.

Հաջորդ կենտ թիվը 11 է, ունենք հետևյալ մնացորդը՝ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Նման դեպքերի համար կա Taylor շարքի ընդլայնում.

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n, որտեղ n-ը տատանվում է 0-ից մինչև

+ ∞ և | y | ≤1.

z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկական ներկայացում

Դիտարկենք տարրական z = √y ֆունկցիա R իրական թվերի դաշտում, որտեղ y-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Դրա գծապատկերն ունի հետևյալ տեսքը.

Կորը աճում է սկզբից և անպայման հատում է կետը (1; 1):

Z = √y ֆունկցիայի հատկությունները R իրական թվերի դաշտում

1. Դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից մինչև գումարած անվերջություն միջակայքն է (զրոն ներառված է):

2. Քննարկվող ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը զրոյից մինչև գումարած անսահմանության միջակայքն է (զրոյական, կրկին ներառված է):

3. Ֆունկցիան ընդունում է նվազագույն արժեքը (0) միայն (0; 0) կետում։ Առավելագույն արժեք չկա:

4. Z = √y ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

5. Z = √y ֆունկցիան պարբերական չէ։

6. Կա z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ՝ (0; 0):

7. z = √y ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետը նույնպես այս ֆունկցիայի զրո է։

8. Z = √y ֆունկցիան անընդհատ աճում է:

9. Z = √y ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, հետևաբար, նրա գրաֆիկը զբաղեցնում է առաջին կոորդինատային անկյունը։

z = √y ֆունկցիայի տարբերակներ

Մաթեմատիկայում բարդ արտահայտությունների հաշվարկը հեշտացնելու համար նրանք երբեմն օգտագործում են քառակուսի արմատը գրելու ուժային ձևը՝ √y = y 1/2: Այս տարբերակը հարմար է, օրինակ, ֆունկցիան հզորության հասցնելու համար՝ (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2: Այս մեթոդը նաև լավ ներկայացում է ինտեգրման հետ տարբերակման համար, քանի որ դրա շնորհիվ քառակուսի արմատը ներկայացված է սովորական հզորության ֆունկցիայով։

Իսկ ծրագրավորման մեջ √ նշանի փոխարինումը sqrt տառերի համակցությունն է։

Հարկ է նշել, որ այս ոլորտում քառակուսի արմատը շատ պահանջարկ ունի, քանի որ այն հաշվարկների համար պահանջվող երկրաչափական բանաձևերի մեծ մասի մաս է կազմում: Հաշվիչ ալգորիթմն ինքնին բավականին բարդ է և հիմնված է ռեկուրսիայի վրա (գործառույթ, որն իրեն կանչում է):

Քառակուսի արմատ բարդ դաշտում C

Մեծ հաշվով, հենց այս հոդվածի թեման խթանեց C բարդ թվերի դաշտի հայտնաբերումը, քանի որ մաթեմատիկոսներին հետապնդում էր բացասական թվից զույգ արմատ ստանալու հարցը: Այսպես հայտնվեց i երևակայական միավորը, որը բնութագրվում է մի շատ հետաքրքիր հատկությամբ՝ նրա քառակուսին -1 է։ Դրա շնորհիվ քառակուսի հավասարումներով և բացասական դիսկրիմինանտով ստացվեց լուծում: C-ում քառակուսի արմատի համար համապատասխան են նույն հատկությունները, ինչ R-ում, միակ բանն այն է, որ սահմանափակումները հանվել են արմատական ​​արտահայտությունից։

Այս հոդվածը մանրամասն տեղեկատվության հավաքածու է, որը վերաբերում է արմատային հատկությունների թեմային: Հաշվի առնելով թեման՝ կսկսենք հատկություններից, կուսումնասիրենք բոլոր ձևակերպումները և կներկայացնենք ապացույցներ։ Թեման ամրապնդելու համար կդիտարկենք n-րդ աստիճանի հատկությունները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Արմատային հատկություններ

Մենք կխոսենք հատկությունների մասին:

1. Սեփականություն բազմապատկված թվեր աև բ, որը ներկայացված է որպես a b = a b հավասարություն: Այն կարող է ներկայացվել որպես գործոններ՝ դրական կամ հավասար զրոյի a 1, a 2,…, a kորպես 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
2. a քանորդից՝ b = a: b, a ≥ 0, b> 0, այն կարելի է գրել նաև այս ձևով a b = a b;
3. Թվի ուժից հատկություն ազույգ ցուցիչով a 2 m = a m ցանկացած թվի համար ա, օրինակ՝ a 2 = a թվի քառակուսուց հատկություն։

Ներկայացված հավասարումներից որևէ մեկում կարող եք մասերը փոխանակել գծիկից առաջ և հետո տեղերում, օրինակ՝ a b = a b հավասարությունը փոխակերպվում է որպես a b = a b: Հավասարության հատկությունները հաճախ օգտագործվում են բարդ հավասարումները պարզեցնելու համար:

Առաջին հատկությունների ապացույցը հիմնված է քառակուսի արմատի սահմանման և բնական ցուցիչներով աստիճանների հատկությունների վրա։ Երրորդ հատկությունը հիմնավորելու համար անհրաժեշտ է անդրադառնալ թվի մոդուլի սահմանմանը։

Առաջին քայլը a b = a b քառակուսի արմատի հատկությունների ապացուցումն է: Ըստ սահմանման՝ անհրաժեշտ է համարել, որ a b-ն դրական կամ զրոյի հավասար թիվ է, որը հավասար կլինի. ա բկանգնեցնելիս հրապարակում. a b արտահայտության արժեքը դրական է կամ հավասար է զրոյի՝ որպես ոչ բացասական թվերի արտադրյալ։ Բազմապատկված թվերի աստիճանի հատկությունը թույլ է տալիս հավասարությունը ներկայացնել (a b) 2 = a 2 b 2 ձևով: Քառակուսի արմատի սահմանմամբ a 2 = a և b 2 = b, ապա a b = a 2 b 2 = a b:

Նման կերպ կարելի է դա ապացուցել արտադրանքից կբազմապատկիչներ a 1, a 2,…, a kկհավասարվի արտադրանքին քառակուսի արմատներայս գործոններից։ Իրոք, a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

Այս հավասարությունից հետևում է, որ a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ՝ թեման ամրապնդելու համար։

Օրինակ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 և 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1):

Անհրաժեշտ է ապացուցել քանորդի թվաբանական քառակուսի արմատի հատկությունը՝ a:b = a:b, a ≥ 0, b> 0: Հատկությունը թույլ է տալիս գրել a հավասարությունը՝ b 2 = a 2: b 2, և a 2: b 2 = a: b, իսկ a: b-ը դրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի: Այս արտահայտությունը կդառնա ապացույցը.

Օրինակ, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 և 3 0, 121 = 3 0, 121:

Դիտարկենք թվի քառակուսու քառակուսի արմատի հատկությունը: Այն կարելի է գրել որպես հավասարություն որպես 2 = a Այս հատկությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է մանրամասն դիտարկել մի քանի հավասարումներ a ≥ 0և ժամը ա< 0 .

Ակնհայտ է, որ ≥ 0-ի համար a 2 = a հավասարությունը ճիշտ է: ժամը ա< 0 a 2 = - a հավասարությունը ճիշտ կլինի: Փաստորեն, այս դեպքում - ա> 0և (- ա) 2 = a 2: Կարելի է եզրակացնել, որ a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 2

5 2 = 5 = 5 և - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36:

Ապացուցված հատկությունը կօգնի հիմնավորել 2 m = a m, որտեղ ա- իրական, և մ- բնական համարը. Իրոք, իշխանությունը բարձրացնելու հատկությունը թույլ է տալիս փոխարինել իշխանությունը ա 2 մարտահայտություն (ա մ) 2, ապա a 2 m = (a m) 2 = a m.

Օրինակ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 և (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7:

n-րդ արմատի հատկությունները

Նախ, դուք պետք է հաշվի առնեք n-րդ աստիճանի արմատների հիմնական հատկությունները.

1. Թվերի արտադրյալից հատկություն աև բ, որոնք դրական են կամ հավասար են զրոյի, կարող են արտահայտվել որպես a b n = a n b n հավասարություն, այս հատկությունը վավեր է արտադրյալի համար: կթվեր a 1, a 2,…, a kորպես 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
2. կոտորակային թվից ունի a b n = a n b n հատկություն, որտեղ ա- ցանկացած իրական թիվ, որը դրական է կամ հավասար է զրոյի, և բ- դրական իրական թիվ;
3. Ցանկացածի համար աև նույնիսկ ցուցանիշներ n = 2 մ a 2 m 2 m = a, իսկ կենտ n = 2 մ - 1համապատասխանում է a 2 m - 1 2 m - 1 = a հավասարությունը:
4. Արտահանման հատկություն a m n = a n m-ից, որտեղ ա- ցանկացած թիվ՝ դրական կամ հավասար զրոյի, nև մ- բնական թվեր, այս հատկությունը կարող է ներկայացվել նաև որպես. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2: ... ... · N k;
5. Ցանկացած ոչ բացասական ա-ի և կամայականի համար nև մ, որոնք բնական են, հնարավոր է նաև որոշել արդար հավասարությունը a m n · m = a n;
6. Սեփականության աստիճան nթվի հզորությունից աորը դրական է կամ հավասար է զրոյի՝ բնական աստիճանով մսահմանվում է a m n = a n m հավասարությամբ;
7. Համեմատեք նույն ցուցանիշները ունեցող գույքը՝ ցանկացած դրական թվի համար աև բայնպիսին է, որ ա< b , անհավասարությունը a n< b n ;
8. Համեմատեք գույքը, որն ունի նույն թվերըարմատի տակ՝ եթե մև n -բնական թվեր, որոնք m> n, ապա ժամը 0 < a < 1 a m> a n անհավասարությունը ճիշտ է, և համար ա> 1մի մ< a n .

Վերը տրված հավասարությունները վավեր են, եթե հավասարության նշանից առաջ և հետո մասերը փոխանակվեն: Նրանք կարող են օգտագործվել որպես այդպիսին: Սա հաճախ օգտագործվում է արտահայտությունների պարզեցման կամ փոխակերպման ժամանակ:

Արմատի վերը նշված հատկությունների ապացույցը հիմնված է սահմանման, աստիճանի հատկությունների և թվի մոդուլի սահմանման վրա։ Այս հատկությունները պետք է ապացուցվեն: Բայց ամեն ինչ կարգին է։

1. Առաջին հերթին մենք ապացուցում ենք a b n = a n b n արտադրյալի n-րդ արմատի հատկությունները: Համար աև բ որըեն դրական կամ հավասար զրոյի , a n · b n արժեքը նույնպես դրական է կամ հավասար է զրոյի, քանի որ դա ոչ բացասական թվերի բազմապատկման հետևանք է։ Արտադրանքի բնական աստիճանի հատկությունը թույլ է տալիս գրել a n b n n = a n n b n n հավասարությունը։ Արմատի սահմանմամբ n-րդ աստիճանը a n n = a և b n n = b, հետևաբար, a n b n n = a b. Ստացված հավասարությունը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։

Այս հատկությունը նույնպես ապացուցված է արտադրանքի համար կգործոններ՝ ոչ բացասական թվերի համար a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0:

Ահա արմատային հատկության օգտագործման որոշ օրինակներ n-րդ աստիճան արտադրյալից. 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 և 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4:

1. Ապացուցենք a b n = a n b n քանորդի արմատի հատկությունը։ ժամը a ≥ 0և բ> 0 a n b n ≥ 0 պայմանը բավարարված է, և a n b n n = a n n b n n = a b.

Եկեք օրինակներ ցույց տանք.

Օրինակ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 և 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10:

1. Համար հաջորդ քայլըանհրաժեշտ է ապացուցել n-րդ աստիճանի հատկությունները թվից աստիճան n... Մենք սա ներկայացնում ենք որպես հավասարություն a 2 m 2 m = a և a 2 m - 1 2 m - 1 = a ցանկացած իրականի համար աև բնական մ... ժամը a ≥ 0մենք ստանում ենք a = a և a 2 m = a 2 m, որն ապացուցում է a 2 m 2 m = a հավասարությունը, իսկ a 2 m - 1 2 m - 1 = a հավասարությունը ակնհայտ է: ժամը ա< 0 մենք համապատասխանաբար ստանում ենք a = - a և a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m: Թվի վերջին փոխակերպումը վավեր է ըստ աստիճանի հատկության։ Սա այն է, ինչ ապացուցում է հավասարությունը a 2 m 2 m = a, և a 2 m - 1 2 m - 1 = a կլինի ճիշտ, քանի որ կենտ աստիճանի համար մենք համարում ենք - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1: ցանկացած թվի համար գ,դրական կամ հավասար զրոյի:

Ստացված տեղեկատվությունը համախմբելու համար հաշվի առեք մի քանի օրինակներ՝ օգտագործելով գույքը.

Օրինակ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 և (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39:

1. Ապացուցենք հետևյալ հավասարությունը a m n = a n · m. Դա անելու համար հարկավոր է փոխել թվերը հավասար նշանից առաջ և դրանից հետո՝ տեղերում a n · m = a m n: Դա կնշանակի ճիշտ մուտքագրում... Համար ա,ինչը դրական է կամ հավասար է զրոյի , a m n ձևից դրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի: Անդրադառնանք աստիճանի բարձրացման հատկությանը և սահմանմանը։ Դրանք կարող են օգտագործվել a m n n · m = a m n n m = a m m = a ձևով հավասարությունները փոխակերպելու համար: Սա ապացուցում է արմատից արմատից դիտարկվող հատկությունը:

Նմանապես ապացուցված են նաև այլ հատկություններ: Իսկապես, . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2. ... ... · N k =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3. ... ... · N k =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · N k =. ... ... = a n k n k = a.

Օրինակ՝ 7 3 5 = 7 5 3 և 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24:

1. Եկեք ապացուցենք հաջորդ գույքը a m n m = a n. Դա անելու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ a n-ն թիվ է, դրական կամ հավասար է զրոյի: Երբ բարձրացվում է հզորության n m հավասար է մի մ... Եթե ​​համարը ադրական է կամ հավասար է զրոյի, ապա n-րդ աստիճանից ադրական թիվ է կամ հավասար է զրոյի Ավելին, a n · m n = a n n m, ըստ պահանջի:

Ստացված գիտելիքները համախմբելու համար հաշվի առեք մի քանի օրինակ:

1. Ապացուցենք հետևյալ հատկությունը՝ a m n = a n m ձևի աստիճանի արմատի հատկությունը։ Ակնհայտ է, որ a ≥ 0 a n m աստիճանը ոչ բացասական թիվ է: Ավելին, դրա n-րդ աստիճանն է մի մ, իսկապես, a n m n = a n m n = a n n m = a m. Սա ապացուցում է քննարկվող աստիճանի հատկությունը։

Օրինակ՝ 2 3 5 3 = 2 3 3 5:

1. Դա անհրաժեշտ է ապացուցել ցանկացած դրական թվի համար աև բ պայմանը ա< b ... Դիտարկենք a n անհավասարությունը< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ա< b ... Հետեւաբար, մի n< b n при ա< b .

Օրինակ, եկեք տանք 12 4< 15 2 3 4 .

1. Դիտարկենք արմատային հատկությունը n-րդ աստիճան. Պետք է սկսել անհավասարության առաջին մասից։ ժամը m> nև 0 < a < 1 ճշմարիտ ա մ> ա ն. Ենթադրենք a m ≤ a n. Հատկությունները կպարզեցնեն արտահայտությունը a n m · n ≤ a m m · n: Այնուհետև, ըստ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի հատկությունների, բավարարվում է a n m n m n ≤ a m m n m n անհավասարությունը, այսինքն. a n ≤ a m... Ստացված արժեքը ժամը m> nև 0 < a < 1 չի համապատասխանում վերը նշված հատկություններին:

Նույն կերպ կարելի է ապացուցել, որ m> nև ա> 1պայմանը մ< a n .

Վերոհիշյալ հատկությունները համախմբելու համար հաշվի առեք մի քանիսը կոնկրետ օրինակներ... Դիտարկենք անհավասարությունները՝ օգտագործելով կոնկրետ թվեր:

Օրինակ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter

Քառակուսի հողամասի մակերեսը կազմում է 81 դմ²։ Գտեք նրա կողմը: Ենթադրենք, քառակուսու կողմի երկարությունը հավասար է Ն.Սդեցիմետրեր։ Այնուհետև կայքի տարածքն է Ն.Ս² քառակուսի դեցիմետր... Քանի որ պայմանական այս տարածքը կազմում է 81 դմ², ուրեմն Ն.Ս² = 81. Քառակուսու կողմի երկարությունը դրական թիվ է: Դրական թիվը, որի քառակուսին 81 է, 9 թիվն է։ Խնդիրը լուծելիս պահանջվում էր գտնել x թիվը, որի քառակուսին 81 է, այսինքն՝ լուծել հավասարումը։ Ն.Ս² = 81: Այս հավասարումն ունի երկու արմատ. x 1 = 9 և x 2 = - 9, քանի որ 9² = 81 և (- 9) ² = 81: 9 և - 9 թվերն էլ կոչվում են 81-ի քառակուսի արմատներ:

Նշենք, որ քառակուսի արմատներից մեկը Ն.Ս= 9-ը դրական թիվ է: Այն կոչվում է 81 թվի թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է √81, այսպիսով √81 = 9։

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ աոչ բացասական թիվ է, որի քառակուսին հավասար է ա.

Օրինակ, 6-ը և -6-ը 36-ի քառակուսի արմատներն են: Այս դեպքում 6-ը 36-ի թվաբանական քառակուսի արմատն է, քանի որ 6-ը ոչ բացասական թիվ է, իսկ 6² = 36: -6 թիվը թվաբանական արմատ չէ:

Թվի թվաբանական քառակուսի արմատ անշվում է հետևյալ կերպ՝ √ ա.

Նշանը կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատի նշան; ա- կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն: Արտահայտություն √ ակարդալ այսպես՝ թվի թվաբանական քառակուսի արմատ ա.Օրինակ, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7: Այն դեպքերում, երբ պարզ է, որ այն գալիս էթվաբանական արմատի մասին հակիրճ ասում են՝ «քառակուսի արմատը ա«.

Թվի քառակուսի արմատը գտնելու գործողությունը կոչվում է քառակուսի արմատի հանում։ Այս գործողությունը քառակուսու հակառակն է:

Ցանկացած թիվ կարելի է քառակուսի դնել, բայց չի կարելի յուրաքանչյուր թվից քառակուսի արմատներ։ Օրինակ՝ չես կարող հանել թվի քառակուսի արմատը՝ 4։ Եթե այդպիսի արմատ կար, ապա այն նշելով տառով։ Ն.Ս, մենք կստանանք սխալ հավասարություն х2 = - 4, քանի որ ձախ կողմում կա ոչ բացասական թիվ, իսկ աջում՝ բացասական թիվ։

Արտահայտություն √ աիմաստ ունի միայն այն ժամանակ, երբ a ≥ 0. Քառակուսի արմատի սահմանումը հակիրճ կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ √ a ≥ 0, (√ա)² = ա... Հավասարություն (√ ա)² = ավավերական է a ≥ 0. Այսպիսով, համոզվելու համար, որ ոչ բացասական թվի քառակուսի արմատը ահավասար է բ, այսինքն, որ √ ա =բ, դուք պետք է ստուգեք, որ հետևյալ երկու պայմանները բավարարված են. b ≥ 0, բ² = ա.

Կոտորակի քառակուսի արմատը

Եկեք հաշվարկենք. Նկատի ունեցեք, որ √25 = 5, √36 = 6, և ստուգեք, արդյոք հավասարությունը պահպանվում է:

Որովհետեւ և, ուրեմն, հավասարությունը ճշմարիտ է: Այսպիսով, .

Թեորեմ.Եթե ա≥ 0 և բ> 0, այսինքն՝ կոտորակի արմատը հավասար է համարիչի արմատին, որը բաժանվում է հայտարարի արմատի վրա։ Պահանջվում է ապացուցել, որ և .

Քանի որ √ ա≥0 և √ բ> 0, ապա:

Կոտորակը մեծացնելու հատկությամբ և քառակուսի արմատի սահմանմամբ թեորեմն ապացուցված է. Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Հաշվիր ապացուցված թեորեմով .

Երկրորդ օրինակ. Ապացուցիր դա , եթե ա ≤ 0, բ < 0. .

Մեկ այլ օրինակ՝ Հաշվիր։

.

Քառակուսի արմատների փոխակերպում

Արմատային նշանից գործակից հեռացնելը. Թող արտահայտությունը տրվի. Եթե ա≥ 0 և բ≥ 0, ապա արտադրյալի արմատի թեորեմով կարող ենք գրել.

Նման փոխակերպումը կոչվում է արմատային նշանից գործոն հանելը։ Դիտարկենք մի օրինակ;

Հաշվել ժամը Ն.Ս= 2. Ուղղակի փոխարինում Ն.Ս= 2-ը դեպի արմատական ​​արտահայտությունը հանգեցնում է բարդ հաշվարկների: Այս հաշվարկները կարելի է պարզեցնել՝ սկզբում հեռացնելով գործոնները արմատային նշանից. Այժմ փոխարինելով x = 2, մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, արմատական ​​նշանի տակից գործակիցը հանելիս արմատական ​​արտահայտությունը ներկայացվում է արտադրյալի տեսքով, որում մեկ կամ մի քանի գործակից ոչ բացասական թվերի քառակուսիներ են։ Այնուհետև կիրառվում է արտադրանքի արմատային թեորեմը և յուրաքանչյուր գործոնից հանվում է արմատը: Դիտարկենք օրինակ․ Պարզեցնենք А = √8 + √18 - 4√2 արտահայտությունը՝ առաջին երկու անդամներում արմատական ​​նշանից հեռացնելով գործոնները, ստանում ենք. Շեշտում ենք, որ հավասարությունը վավեր է միայն ա≥ 0 և բ≥ 0. եթե ա < 0, то .