ضریب دو عدد. چگونه جذر را پیدا می کنید؟ خواص، نمونه هایی از استخراج ریشه

ریاضیات زمانی متولد شد که شخص از خود آگاه شد و شروع به قرار دادن خود به عنوان یک واحد مستقل از جهان کرد. میل به اندازه گیری، مقایسه، محاسبه آنچه شما را احاطه کرده است - این همان چیزی است که اساس یکی از علوم اساسی روزهای ما قرار دارد. در ابتدا، اینها ذرات ریاضیات ابتدایی بودند که ارتباط اعداد را با عبارات فیزیکی آنها ممکن می کرد، نتیجه گیری های بعدی فقط به صورت تئوری (به دلیل انتزاعی بودن آنها) ارائه شد، اما پس از مدتی، همانطور که یکی از دانشمندان بیان کرد، "ریاضیات" زمانی به سقف پیچیدگی رسید که همه اعداد ناپدید شدند." مفهوم " ریشه دوم"در زمانی ظاهر شد که می‌توانست با داده‌های تجربی بدون هیچ مشکلی پشتیبان‌گیری شود، فراتر از سطح محاسبات.

چطور شروع شدند

اولین ذکر یک ریشه است که این لحظهبه عنوان √ نشان داده شده است، در آثار ریاضیدانان بابلی، که پایه و اساس حساب مدرن را پایه گذاری کردند، ثبت شد. البته، آنها به شکل فعلی شباهت نداشتند - دانشمندان آن سال ها برای اولین بار از قرص های حجیم استفاده کردند. اما در هزاره دوم ق.م. NS. آنها یک فرمول محاسباتی تقریبی را استخراج کردند که نحوه استخراج ریشه مربع را نشان می داد. عکس زیر سنگی را نشان می دهد که دانشمندان بابلی روند استنتاج √2 را روی آن حک کردند و آنقدر درست بود که اختلاف پاسخ فقط در رقم دهم اعشار یافت شد.

علاوه بر این، در صورت لزوم یافتن ضلع مثلث از ریشه استفاده می شد، مشروط بر اینکه دو ضلع دیگر مشخص باشد. خوب، هنگام حل معادلات درجه دوم، نمی توانید از استخراج ریشه دور شوید.

همراه با آثار بابلی، موضوع مقاله در اثر چینی "ریاضیات در نه کتاب" نیز مورد بررسی قرار گرفت و یونانیان باستان به این نتیجه رسیدند که هر عددی که ریشه از آن بدون باقی مانده استخراج نشود، نتیجه غیرمنطقی می دهد. .

اصل و نسب از این اصطلاحمرتبط با نمایش عربی عدد: دانشمندان باستان معتقد بودند که مربع یک عدد دلخواه از ریشه، مانند یک گیاه رشد می کند. در لاتین، این کلمه مانند ریشه به نظر می رسد (شما می توانید یک الگو را دنبال کنید - هر چیزی که بار معنایی "ریشه" در زیر آن وجود دارد همخوان است، چه تربچه یا رادیکولیت).

دانشمندان نسل های بعدی این ایده را اتخاذ کردند و از آن به عنوان Rx یاد کردند. مثلاً در قرن پانزدهم برای اینکه نشان دهند جذر یک عدد دلخواه a استخراج شده است، R 2 a نوشتند. معمولی نمای مدرن"تیک" - فقط در قرن 17 به لطف رنه دکارت ظاهر شد.

روزهای ما

از نظر ریاضی، جذر y عدد z است که مربع آن y است. به عبارت دیگر z 2 = y معادل √y = z است. ولی این تعریففقط برای ریشه حسابی مرتبط است، زیرا بر ارزش غیر منفی عبارت دلالت دارد. به عبارت دیگر √y = z که z بزرگتر یا مساوی 0 است.

V مورد کلی، که برای تعیین ریشه جبری عمل می کند، مقدار عبارت می تواند مثبت یا منفی باشد. بنابراین، از آنجایی که z 2 = y و (-z) 2 = y، داریم: √y = ± z یا √y = | z |.

با توجه به اینکه عشق به ریاضیات تنها با پیشرفت علم افزایش یافته است، دلبستگی به آن نمودهای مختلفی دارد که در محاسبات خشک بیان نمی شود. به عنوان مثال، در کنار پدیده های جالبی مانند روز عدد پی، تعطیلات ریشه مربع نیز جشن گرفته می شود. آنها در صد سال نه بار جشن می گیرند و بر اساس اصل زیر تعیین می شوند: اعدادی که روز و ماه را به ترتیب تعیین می کنند باید جذر سال باشد. بنابراین، دفعه بعد این تعطیلات در 4 آوریل 2016 جشن گرفته می شود.

خواص ریشه مربع در میدان R

تقریبا همه عبارات ریاضیدارای مبنای هندسی هستند، این سرنوشت نگذشته است و √y که به عنوان ضلع مربع با مساحت y تعریف می شود.

چگونه ریشه یک عدد را پیدا کنم؟

چندین الگوریتم محاسبه وجود دارد. ساده ترین، اما در عین حال نسبتاً دست و پا گیر، محاسبه معمولی حسابی است که به شرح زیر است:

1) اعداد فرد از عددی کسر می شوند که به نوبه خود به ریشه آن نیاز داریم تا زمانی که باقیمانده در خروجی کمتر از تفریق یا حتی صفر شود. تعداد حرکات در نهایت به تعداد لازم تبدیل می شود. برای مثال، محاسبه جذر 25:

عدد فرد بعدی 11 است، باقیمانده زیر را داریم: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

برای چنین مواردی، یک بسط سری تیلور وجود دارد:

√ (1 + y) = ∑ ((- 1) n (2n)! / (1-2n) (n!) 2 (4 n)) y n، که در آن n از 0 تا

+ ∞ و | y | ≤1.

نمایش گرافیکی تابع z = √y

یک تابع ابتدایی z = √y را در میدان اعداد حقیقی R در نظر بگیرید، جایی که y بزرگتر یا مساوی صفر است. نمودار آن به شکل زیر است:

منحنی از مبدأ رشد می کند و لزوماً نقطه (1؛ 1) را قطع می کند.

ویژگی های تابع z = √y در میدان اعداد حقیقی R

1. دامنه تعریف تابع مورد بررسی، بازه صفر تا بعلاوه بی نهایت است (صفر شامل می شود).

2. محدوده مقادیر تابع مورد بررسی، بازه صفر تا بعلاوه بی نهایت است (صفر، باز هم شامل می شود).

3. تابع حداقل مقدار (0) را فقط در نقطه (0; 0) می گیرد. حداکثر مقدار وجود ندارد.

4. تابع z = √y نه زوج است و نه فرد.

5. تابع z = √y تناوبی نیست.

6. تنها یک نقطه تلاقی نمودار تابع z = √y با محورهای مختصات وجود دارد: (0; 0).

7. نقطه تقاطع نمودار تابع z = √y نیز صفر این تابع است.

8. تابع z = √y به طور پیوسته رشد می کند.

9. تابع z = √y فقط مقادیر مثبت می گیرد، بنابراین، نمودار آن اولین زاویه مختصات را اشغال می کند.

انواع تابع z = √y

در ریاضیات، برای تسهیل محاسبه عبارات پیچیده، گاهی اوقات از شکل قدرت نوشتن جذر استفاده می کنند: √y = y 1/2. این گزینه برای مثال برای بالا بردن یک تابع به توان مناسب است: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2. این روش همچنین نمایش خوبی برای تمایز با ادغام است، زیرا به لطف آن، ریشه دوم با یک تابع توان معمولی نشان داده می شود.

و در برنامه نویسی جایگزین علامت √ ترکیب حروف sqrt است.

شایان ذکر است که در این منطقه، ریشه مربع بسیار مورد تقاضا است، زیرا بخشی از فرمول های هندسی مورد نیاز برای محاسبات است. الگوریتم شمارش خود کاملاً پیچیده است و بر اساس بازگشت (عملکردی که خود را فراخوانی می کند) است.

ریشه مربع در یک میدان پیچیده C

به طور کلی، موضوع این مقاله بود که کشف میدان اعداد مختلط C را تحریک کرد، زیرا ریاضیدانان درگیر مسئله به دست آوردن یک ریشه زوج از یک عدد منفی بودند. به این ترتیب واحد خیالی i ظاهر شد که با یک ویژگی بسیار جالب مشخص می شود: مربع آن -1 است. به همین دلیل معادلات درجه دوم و با ممیز منفی جوابی به دست آمد. در C، همان خصوصیات مربوط به ریشه دوم در R است، تنها چیزی که محدودیت ها از عبارت رادیکال حذف شده است.

این مقاله مجموعه ای از اطلاعات دقیق است که به موضوع خواص ریشه می پردازد. با توجه به موضوع، با خواص شروع می کنیم، تمام فرمول ها را مطالعه می کنیم و برهان ارائه می کنیم. برای تقویت موضوع، ویژگی های درجه n را در نظر می گیریم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

خواص ریشه

ما در مورد خواص صحبت خواهیم کرد.

ویژگی اعداد ضرب شده آو ب، که به عنوان برابری a b = a b نشان داده می شود. می توان آن را به عنوان عوامل مثبت یا مساوی صفر نشان داد a 1, a 2,…, a kبه عنوان 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
از ضریب a: b = a: b، a ≥ 0، b> 0، همچنین می توان آن را به این شکل a b = a b نوشت.
خاصیت از توان یک عدد آبا توان زوج a 2 m = a m برای هر عدد آبه عنوان مثال، یک ویژگی از مربع عدد a 2 = a.

در هر یک از معادلات ارائه شده، می توانید قسمت های قبل و بعد از خط تیره را در جاهایی با هم عوض کنید، به عنوان مثال، تساوی a b = a b به a b = a b تبدیل می شود. خواص برابری اغلب برای ساده کردن معادلات پیچیده استفاده می شود.

اثبات خواص اول بر اساس تعریف جذر و خواص درجات با توان طبیعی است. برای اثبات خاصیت سوم باید به تعریف مدول عدد مراجعه کرد.

اولین قدم اثبات خواص جذر a b = a b است. با توجه به تعریف، باید در نظر گرفت که a b یک عدد مثبت یا برابر با صفر است که برابر با a بهنگام نصب در یک مربع مقدار عبارت a b مثبت یا برابر با صفر به عنوان حاصل ضرب اعداد غیر منفی است. خاصیت درجه اعداد ضرب شده به شما امکان می دهد برابری را به شکل (a b) 2 = a 2 b 2 نشان دهید. با تعریف جذر a 2 = a و b 2 = b، سپس a b = a 2 b 2 = a b.

به روشی مشابه، می توان آن را از روی محصول ثابت کرد کضرب کننده ها a 1, a 2,…, a kبرابر محصول خواهد بود ریشه های مربعاز این عوامل در واقع، a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

از این تساوی نتیجه می شود که a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.

بیایید به چند مثال برای تقویت موضوع نگاه کنیم.

مثال 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5، 4، 2 13 1 2 = 4، 2 13 1 2 و 2، 7 4 12 17 0، 2 (1) = 2، 7 4 12 17 0، 2 (1).

باید خاصیت جذر حسابی ضریب را ثابت کرد: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. این ویژگی به شما امکان می دهد تساوی a را بنویسید: b 2 = a 2: b 2 و a 2: b 2 = a: b که a: b یک عدد مثبت یا برابر با صفر است. این عبارت اثبات خواهد شد.

به عنوان مثال، 0: 16 = 0: 16، 80: 5 = 80: 5 و 3 0، 121 = 3 0، 121.

خاصیت جذر مربع یک عدد را در نظر بگیرید. می توان آن را به صورت تساوی به صورت 2 = a نوشت برای اثبات این خاصیت، لازم است چندین برابری را به تفصیل در نظر بگیریم. a ≥ 0و در آ< 0 .

بدیهی است که برای ≥ 0 برابری a 2 = a درست است. در آ< 0 برابری a 2 = - a درست خواهد بود. در واقع، در این مورد - a> 0و (- a) 2 = a 2. می توان نتیجه گرفت که a 2 = a، a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 2

5 2 = 5 = 5 و - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36.

ویژگی اثبات شده به توجیه 2 m = a m کمک می کند، جایی که آ- واقعی، و متر-عدد طبیعی. در واقع، خاصیت افزایش قدرت به شما امکان می دهد تا برق را جایگزین کنید یک 2 متراصطلاح (a m) 2، سپس a 2 m = (a m) 2 = a m.

مثال 3

3 8 = 3 4 = 3 4 و (- 8، 3) 14 = - 8، 3 7 = (8، 3) 7.

خواص ریشه n

ابتدا باید ویژگی های اصلی ریشه های درجه n را در نظر بگیرید:

خاصیت حاصل از حاصل ضرب اعداد آو بکه مثبت یا مساوی صفر هستند را می توان به صورت برابری a b n = a n b n بیان کرد، این خاصیت برای محصول معتبر است. کشماره a 1, a 2,…, a kبه عنوان 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
از یک عدد کسری دارای خاصیت a b n = a n b n است که در آن آ- هر عدد حقیقی که مثبت یا مساوی صفر باشد و ب- عدد واقعی مثبت؛
برای هرچی آو حتی شاخص ها n = 2 متر a 2 m 2 m = a و برای فرد n = 2 متر - 1برابری a 2 m - 1 2 m - 1 = a برقرار است.
ویژگی استخراج از m n = a n m، که در آن آ- هر عدد، مثبت یا مساوی صفر، nو متر- اعداد طبیعی، این ویژگی را نیز می توان به صورت نمایش داد. ... ... a n k n 2 n 1 = a n 1 n 2. ... ... · N k;
برای هر غیر منفی و دلخواه nو متر، که طبیعی هستند، می توان برابری منصفانه را نیز تعیین کرد a m n · m = a n;
مدرک املاک nاز توان عدد آکه در درجه طبیعی مثبت یا مساوی صفر است مترتعریف شده توسط برابری a m n = a n m;
ویژگی های مقایسه ای که شاخص های یکسانی دارند: برای هر عدد مثبت آو ببه طوری که آ< b ، نابرابری a n< b n ;
مقایسه اموالی که دارند همان اعدادزیر ریشه: اگر مترو n -اعداد طبیعی که m> n، سپس در 0 < a < 1 نابرابری a m> a n درست است و برای الف> 1صبح< a n .

برابری های داده شده در بالا در صورتی معتبر هستند که قسمت های قبل و بعد از علامت مساوی تعویض شوند. می توان از آنها به عنوان چنین استفاده کرد. این اغلب هنگام ساده سازی یا تبدیل عبارات استفاده می شود.

اثبات خصوصیات فوق ریشه بر اساس تعریف، خصوصیات درجه و تعریف مدول یک عدد است. این خواص باید ثابت شود. اما همه چیز مرتب است.

اول از همه، خواص ریشه n حاصلضرب a b n = a n b n را اثبات می کنیم. برای آو ب کههستند مثبت یا مساوی صفر , مقدار a n · b n نیز مثبت یا برابر با صفر است، زیرا نتیجه ضرب اعداد غیر منفی است. خاصیت حاصلضرب در درجه طبیعی به ما اجازه می دهد تا برابری a n b n n = a n n b n n را بنویسیم. با تعریف ریشه nدرجه -ام a n n = a و b n n = b، بنابراین a n b n n = a b. برابری حاصل دقیقاً همان چیزی است که باید ثابت شود.

این ویژگی به طور مشابه برای محصول ثابت شده است کعوامل: برای اعداد غیر منفی a 1، a 2،…، a n، a 1 n · a 2 n ·… · a kn ≥ 0.

در اینجا چند نمونه از استفاده از ویژگی root آورده شده است nدرجه -ام از محصول: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 و 8، 3 4 17، (21) 4 3 4 5 7 4 = 8، 3 17، (21) 3 5 7 4.

اجازه دهید ویژگی ریشه ضریب a b n = a n b n را ثابت کنیم. در a ≥ 0و b> 0شرط a n b n ≥ 0 برآورده می شود و a n b n n = a n n b n n = a b.

بیایید نمونه هایی را نشان دهیم:

مثال 4

8 27 3 = 8 3 27 3 و 2، 3 10: 2 3 10 = 2، 3: 2 3 10.

برای گام بعدیباید خواص درجه n را از عدد به درجه اثبات کرد n... ما این را به عنوان برابری a 2 m 2 m = a و a 2 m - 1 2 m - 1 = a برای هر واقعی نشان می دهیم. آو طبیعی متر... در a ≥ 0 a = a و a 2 m = a 2 m را به دست می آوریم که برابری a 2 m 2 m = a را ثابت می کند و برابری a 2 m - 1 2 m - 1 = a واضح است. در آ< 0 به ترتیب a = - a و a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m بدست می آوریم. آخرین تبدیل عدد با توجه به خاصیت مدرک معتبر است. این همان چیزی است که برابری a 2 m 2 m = a را ثابت می کند و a 2 m - 1 2 m - 1 = a درست خواهد بود، زیرا برای یک درجه فرد - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 را در نظر می گیریم. برای هر شماره جمثبت یا مساوی صفر

به منظور ادغام اطلاعات دریافتی، چندین مثال را با استفاده از ویژگی در نظر بگیرید:

مثال 5

7 4 4 = 7 = 7، (- 5) 12 12 = - 5 = 5، 0 8 8 = 0 = 0، 6 3 3 = 6 و (- 3، 39) 5 5 = - 3، 39.

اجازه دهید برابری زیر a m n = a n · m را ثابت کنیم. برای این کار باید اعداد قبل از علامت مساوی و بعد از آن را در جاهایی a n · m = a m n تغییر دهید. معنی خواهد داشت ورود صحیح... برای آ،که مثبت است یا برابر با صفر , از شکل a m n عددی مثبت یا مساوی صفر است. اجازه دهید به ویژگی ارتقاء درجه به یک توان و تعریف بپردازیم. از آنها می توان برای تبدیل برابری ها به شکل a m n n · m = a m n n m = a m m = a استفاده کرد. این ویژگی در نظر گرفتن یک ریشه از یک ریشه را ثابت می کند.

سایر خواص نیز به همین ترتیب ثابت شده است. واقعا، . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2. ... ... · N k =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3. ... ... · N k =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · N k =. ... ... = a n k n k = a.

به عنوان مثال، 7 3 5 = 7 5 3 و 0، 0009 6 = 0، 0009 2 2 6 = 0، 0009 24.

بیایید ثابت کنیم ملک بعدی a m n m = a n. برای این کار باید نشان داد که a n یک عدد مثبت یا برابر با صفر است. هنگامی که به توان مطرح می شود n m برابر است صبح... اگر شماره آمثبت یا مساوی صفر است، پس n- درجه از میان آیک عدد مثبت یا برابر با صفر است به علاوه، a n · m n = a n n m، در صورت لزوم.

به منظور تجمیع دانش به دست آمده، چند مثال را در نظر بگیرید.

اجازه دهید ویژگی زیر را ثابت کنیم - خاصیت ریشه یک درجه از شکل m n = a n m. بدیهی است، برای a ≥ 0درجه a n m عددی غیر منفی است. علاوه بر این، آن است n- درجه است صبحدر واقع، a n m n = a n m n = a n n m = a m. این ویژگی مدرک مورد بررسی را ثابت می کند.

به عنوان مثال، 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

اثبات آن برای هر عدد مثبت ضروری است آو ب شرط آ< b ... نابرابری a n را در نظر بگیرید< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию آ< b ... بنابراین، یک n< b n при آ< b .

مثلاً 12 4 بدهیم< 15 2 3 4 .

ویژگی root را در نظر بگیرید n- درجه لازم است از قسمت اول نابرابری شروع شود. در m> nو 0 < a < 1 درست a m> a n. فرض کنید a m ≤ a n. ویژگی ها عبارت را به n m · n ≤ a m m · n ساده می کنند. سپس با توجه به خصوصیات یک درجه با توان طبیعی، نابرابری a n m n m n ≤ a m m n m n برآورده می شود، یعنی: a n ≤ a m... مقدار به دست آمده در m> nو 0 < a < 1 با خواص بالا مطابقت ندارد

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که برای m> nو الف> 1شرط a m< a n .

به منظور تجمیع ویژگی های فوق، چندین مورد را در نظر بگیرید نمونه های عینی... نابرابری ها را با استفاده از اعداد خاص در نظر بگیرید.

مثال 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

مساحت یک قطعه زمین 81 متر مربع می باشد. طرفش را پیدا کن فرض کنید طول ضلع یک مربع است NSدسی متر سپس مساحت سایت است NS² دسی متر مربع... از آنجایی که طبق شرایط، این منطقه 81 dm² است، پس NS² = 81. طول ضلع مربع یک عدد مثبت است. عدد مثبتی که مربع آن 81 است، عدد 9 است. هنگام حل مسئله، باید عدد x را که مربع آن 81 است، پیدا کنید، یعنی معادله را حل کنید. NS² = 81. این معادله دو ریشه دارد: ایکس 1 = 9 و ایکس 2 = - 9، زیرا 9² = 81 و (- 9) ² = 81. هر دو عدد 9 و - 9 را جذر 81 می نامند.

توجه داشته باشید که یکی از ریشه های مربع است NS= 9 یک عدد مثبت است. آن را جذر حسابی عدد 81 می نامند و با √81 نشان داده می شود، بنابراین √81 = 9.

جذر حسابی یک عدد آعددی غیر منفی است که مربع آن برابر است آ.

به عنوان مثال، 6 و - 6 جذر 36 هستند. در این مورد، 6 جذر حسابی 36 است، زیرا 6 یک عدد غیر منفی و 6² = 36 است. عدد - 6 یک ریشه حسابی نیست.

جذر حسابی یک عدد آبه صورت زیر نشان داده می شود: √ آ.

علامت را علامت جذر حسابی می نامند. آ- عبارت رادیکال نامیده می شود. بیان √ آخواندن بنابراین: جذر حسابی یک عدد آ.به عنوان مثال، √36 = 6، √0 = 0، √0.49 = 0.7. در مواردی که مشخص است که می آیددر مورد ریشه حسابی به اختصار می گویند: «ریشه دوم از آ«.

عمل یافتن جذر یک عدد را استخراج ریشه مربع می گویند. این عمل معکوس مربع کردن است.

هر عددی را می توان مجذور کرد، اما نمی توان از هر عددی جذر جع کرد. به عنوان مثال، شما نمی توانید ریشه دوم عدد - 4 را استخراج کنید. اگر چنین ریشه ای وجود داشته باشد، آن را با حرف نشان دهید. NS، برابری اشتباه x2 = - 4 را دریافت می کنیم، زیرا یک عدد غیر منفی در سمت چپ و یک عدد منفی در سمت راست وجود دارد.

بیان √ آتنها زمانی معنا پیدا می کند که a ≥ 0. تعریف جذر را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت: √ a ≥ 0, (√آ)² = آ... برابری (√ آ)² = آمعتبر برای a ≥ 0. بنابراین، برای اطمینان از اینکه جذر یک عدد غیر منفی است آبرابر است با ب، یعنی که √ آ =ب، باید بررسی کنید که دو شرط زیر وجود دارد: b ≥ 0, ب² = آ.

ریشه مربع کسری

بیایید محاسبه کنیم. توجه داشته باشید که √25 = 5، √36 = 6، و بررسی کنید که آیا برابری برقرار است یا خیر.

زیرا و سپس برابری درست است. بنابراین، .

قضیه:اگر آ≥ 0 و ب> 0، یعنی ریشه کسر برابر است با ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج. اثبات این امر لازم است که: و .

از آنجایی که √ آ≥0 و √ ب> 0، سپس.

با خاصیت بالا بردن کسری به توان و تعریف جذر قضیه ثابت می شود بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

با قضیه اثبات شده محاسبه کنید .

مثال دوم: ثابت کن ، اگر آ ≤ 0, ب < 0. .

مثال دیگر: محاسبه کنید.

تبدیل ریشه های مربع

حذف یک عامل از علامت ریشه. بگذارید بیان داده شود. اگر آ≥ 0 و ب≥ 0، سپس با قضیه ریشه حاصل ضرب می توانیم بنویسیم:

به چنین تبدیلی خارج کردن عامل از علامت ریشه می گویند. بیایید به یک مثال نگاه کنیم؛

محاسبه در NS= 2. تعویض مستقیم NS= 2 به یک عبارت رادیکال منجر به محاسبات پیچیده می شود. این محاسبات را می توان با حذف عوامل از علامت ریشه ساده کرد:. با جایگزینی x = 2، به دست می آوریم:.

بنابراین، هنگام حذف عامل از زیر علامت ریشه، عبارت رادیکال به شکل یک محصول ارائه می شود که در آن یک یا چند عامل مربع اعداد غیر منفی هستند. سپس قضیه ریشه حاصلضرب اعمال می شود و ریشه از هر عامل استخراج می شود. مثالی را در نظر بگیرید: عبارت А = √8 + √18 - 4√2 را با حذف عوامل از علامت ریشه در دو عبارت اول ساده کنید، به دست می آید:. ما تاکید می کنیم که برابری فقط برای آ≥ 0 و ب≥ 0. اگر آ < 0, то .