تعیین عدد غیر منطقی اعداد گویا و غیر منطقی چیست؟

اعداد صحیح

اعداد طبیعی به عنوان اعداد صحیح مثبت تعریف می شوند. اعداد طبیعی برای شمارش اجسام و بسیاری از اهداف دیگر استفاده می شوند. این اعداد عبارتند از:

این یک سری طبیعی از اعداد است.
آیا صفر یک عدد طبیعی است؟ نه، صفر یک عدد طبیعی نیست.
چند عدد طبیعی وجود دارد؟ تعداد نامتناهی اعداد طبیعی وجود دارد.
کوچکترین عدد طبیعی چیست؟ یکی کوچکترین عدد طبیعی است.
بزرگترین عدد طبیعی کدام است؟ نشان دادن آن غیرممکن است، زیرا تعداد نامتناهی اعداد طبیعی وجود دارد.

مجموع اعداد طبیعی یک عدد طبیعی است. بنابراین، جمع اعداد طبیعی a و b:

حاصل ضرب اعداد طبیعی یک عدد طبیعی است. بنابراین، حاصل ضرب اعداد طبیعی a و b:

c همیشه یک عدد طبیعی است.

تفاوت اعداد طبیعی همیشه یک عدد طبیعی وجود ندارد. اگر تفریق بزرگتر از تفریق باشد، اختلاف اعداد طبیعی یک عدد طبیعی است وگرنه اینطور نیست.

ضریب اعداد طبیعی همیشه یک عدد طبیعی وجود ندارد. اگر برای اعداد طبیعی a و b

در جایی که c یک عدد طبیعی است، به این معنی است که a به طور کامل بر b بخش پذیر است. در این مثال، a سود سهام، b مقسوم علیه، c ضریب است.

مقسوم علیه یک عدد طبیعی عددی طبیعی است که عدد اول به طور مساوی بر آن بخش پذیر است.

هر عدد طبیعی بر یک و بر خودش بخش پذیر است.

اعداد طبیعی اول فقط بر یک و بر خودشان بخش پذیرند. در اینجا به معنای تقسیم کامل است. به عنوان مثال، اعداد 2; 3; 5 7 فقط بر یک و بر خودشان بخش پذیرند. اینها اعداد طبیعی اول هستند.

واحد به عنوان عدد اول در نظر گرفته نمی شود.

به اعدادی که بزرگتر از یک هستند و اول نیستند، اعداد مرکب می گویند. نمونه هایی از اعداد مرکب:

واحد یک عدد ترکیبی در نظر گرفته نمی شود.

مجموعه اعداد طبیعی یک، اعداد اول و اعداد مرکب است.

مجموعه اعداد طبیعی با حرف لاتین N نشان داده می شود.

خواص جمع و ضرب اعداد طبیعی:

خاصیت جابجایی اضافه

ویژگی ترکیبی از جمع

(a + b) + c = a + (b + c);

خاصیت ضرب در سفر

ویژگی ترکیبی ضرب

(ab) c = a (bc);

خاصیت توزیع ضرب

A (b + c) = ab + ac;

تمام اعداد

اعداد صحیح اعداد طبیعی، صفر و متضاد اعداد طبیعی هستند.

اعداد مقابل اعداد طبیعی اعداد صحیح منفی هستند، به عنوان مثال:

1; -2; -3; -4;...

مجموعه اعداد صحیح با حرف لاتین Z نشان داده می شود.

اعداد گویا

اعداد گویا اعداد کامل و کسر هستند.

هر عدد گویا را می توان به عنوان یک کسر تناوبی نشان داد. مثال ها:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

مثال ها نشان می دهد که هر عدد صحیح یک کسری تناوبی با دوره صفر است.

هر عدد گویا را می توان به صورت کسری m / n نشان داد که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. اجازه دهید عدد 3، (6) از مثال قبلی را به شکل چنین کسری نشان دهیم.

درک اعداد، به ویژه اعداد طبیعی، یکی از قدیمی ترین "مهارت های" ریاضی است. بسیاری از تمدن‌ها، حتی تمدن‌های امروزی، به دلیل اهمیت فراوانی که در توصیف طبیعت دارند، ویژگی‌های عرفانی را به اعداد نسبت داده‌اند. اگر چه علم مدرنو ریاضیات این ویژگی های "جادویی" را تأیید نمی کند، اهمیت نظریه اعداد غیرقابل انکار است.

از لحاظ تاریخی، ابتدا تعداد زیادی اعداد طبیعی ظاهر شدند، سپس خیلی زود با کسرها و مثبت تکمیل شدند. اعداد گنگ... اعداد صفر و منفی بعد از این زیر مجموعه های مجموعه اعداد حقیقی معرفی شدند. آخرین مجموعه، مجموعه اعداد مختلط، تنها با توسعه علم مدرن ظاهر شد.

در ریاضیات مدرن، اعداد به ترتیب تاریخی وارد نمی شوند، اگرچه کاملاً نزدیک به آن هستند.

اعداد طبیعی $ \ mathbb (N) $

مجموعه اعداد طبیعی اغلب به صورت $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1,2,3,4 ... \ rbrace $ نشان داده می‌شود و معمولاً برای نشان دادن $ \ mathbb (N) _0 $ دارای لایه صفر است.

در $ \ mathbb (N) $، عملیات جمع (+) و ضرب ($ \ cdot $) با خواص زیربرای هر $ a, b, c \ در \ mathbb (N) $:

1. $ a + b \ در \ mathbb (N) $, $ a \ cdot b \ در \ mathbb (N) $ مجموعه $ \ mathbb (N) $ تحت عملیات جمع و ضرب بسته می شود
2. $ a + b = b + a $، $ a \ cdot b = b \ cdot یک تغییر $
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot ج) تداعی $
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ توزیع‌پذیری
5. $ a \ cdot 1 = a $ عنصر خنثی برای ضرب است

از آنجایی که مجموعه $ \ mathbb (N) $ حاوی یک عنصر خنثی برای ضرب است، اما نه برای جمع، افزودن صفر به این مجموعه تضمین می کند که یک عنصر خنثی برای جمع وجود دارد.

علاوه بر این دو عملیات، در مجموعه $ \ mathbb (N) $، روابط "کمتر" ($)

1. $ a b $ تریکوتومی
2. اگر $ a \ leq b $ و $ b \ leq a $ ، آنگاه ضد تقارن $ a = b $
3. اگر $ a \ leq b $ و $ b \ leq c $ ، آنگاه $ a \ leq c $ گذر است
4.اگر $ a \ leq b $، سپس $ a + c \ leq b + c $
5. اگر $ a \ leq b $ ، سپس $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $

اعداد صحیح $ \ mathbb (Z) $

نمونه هایی از اعداد صحیح:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

حل معادله $ a + x = b $، که در آن $ a $ و $ b $ اعداد طبیعی شناخته شده هستند، و $ x $ یک عدد طبیعی ناشناخته است، نیاز به معرفی یک عملیات جدید - تفریق (-) دارد. اگر یک عدد طبیعی $ x $ وجود داشته باشد که این معادله را برآورده کند، آنگاه $ x = b-a $. با این حال، این معادله خاص لزوماً راه حلی بر روی مجموعه $ \ mathbb (N) $ ندارد، بنابراین ملاحظات عملی مستلزم گسترش مجموعه اعداد طبیعی برای شامل راه حل های چنین معادله ای است. این منجر به معرفی مجموعه ای از اعداد صحیح می شود: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

از آنجایی که $ \ mathbb (N) \ زیر مجموعه \ mathbb (Z) $، منطقی است که فرض کنیم عملیات های معرفی شده قبلی $ + $ و $ \ cdot $ و روابط $ 1. $ 0 + a = a + 0 = a $ یک عنصر خنثی برای اضافات وجود دارد
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ یک عدد مقابل $ -a $ برای $ a $ وجود دارد

ملک 5 .:
5. اگر $ 0 \ leq a $ و $ 0 \ leq b $ ، سپس $ 0 \ leq a \ cdot b $

مجموعه $ \ mathbb (Z) $ نیز تحت عملیات تفریق بسته می‌شود، یعنی $ (\ forall a, b \ در \ mathbb (Z)) (a-b \ در \ mathbb (Z)) $.

اعداد گویا $ \ mathbb (Q) $

نمونه هایی از اعداد گویا:
$ \ فراک (1) (2)، \ فراک (4) (7)، - \ فراک (5) (8)، \ فراک (10) (20) ... $

اکنون معادلات شکل $a \ cdot x = b $ را در نظر بگیرید که $ a $ و $ b $ اعداد صحیح شناخته شده هستند و $ x $ ناشناخته است. برای اینکه جواب ممکن باشد، لازم است عملیات تقسیم ($: $) را معرفی کنیم، و راه حل به شکل $ x = b: a $، یعنی $ x = \ frac (b) (a) $ است. . باز هم مشکل پیش می آید که $ x $ همیشه به $ \ mathbb (Z) $ تعلق ندارد، بنابراین مجموعه اعداد صحیح باید گسترش یابد. بنابراین، مجموعه اعداد گویا $ \ mathbb (Q) $ را با عناصر $ \ frac (p) (q) $ معرفی می‌کنیم که $ p \ در \ mathbb (Z) $ و $ q \ در \ mathbb (N) $. مجموعه $ \ mathbb (Z) $ زیرمجموعه‌ای است که در آن هر عنصر $ q = 1 $ است، بنابراین $ \ mathbb (Z) \ زیر مجموعه \ mathbb (Q) $ و عملیات جمع و ضرب به این مجموعه گسترش می‌یابد. توسط قوانین زیرکه تمام ویژگی های فوق را در مجموعه $ \ mathbb (Q) $ حفظ می کند:
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p-1) (q_1) \ cdot \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot p_2) (q_1 \ cdot q_2) $

بخش به این صورت معرفی می شود:
$ \ frac (p_1) (q_1): \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $

در مجموعه $ \ mathbb (Q) $، معادله $ a \ cdot x = b $ یک راه حل منحصر به فرد برای هر $ a \ neq 0 $ دارد (تقسیم بر صفر تعریف نشده است). این بدان معنی است که معکوس $ \ frac (1) (a) $ یا $ a ^ (- 1) $ وجود دارد:
$ (\ forall a \ در \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ وجود \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a) \ cdot a = a) $

ترتیب مجموعه $ \ mathbb (Q) $ را می توان به صورت زیر گسترش داد:
$ \ فرانک (p_1) (q_1)

مجموعه $ \ mathbb (Q) $ دارای یک ویژگی مهم است: بین هر دو عدد گویا بی نهایت تعداد گویا دیگری وجود دارد، بنابراین، بر خلاف مجموعه های طبیعی و اعداد صحیح، دو عدد گویا مجاور وجود ندارد.

اعداد غیر منطقی $ \ mathbb (I) $

نمونه هایی از اعداد غیر منطقی:
$0.333333...$
$ \ sqrt (2) \ تقریباً 1.41422135 ... $
$ \ pi \ تقریباً 3.1415926535 ... $

با توجه به این واقعیت که بین هر دو عدد گویا بی نهایت اعداد گویا دیگر وجود دارد، به راحتی می توان نتیجه اشتباه گرفت که مجموعه اعداد گویا آنقدر متراکم است که نیازی به بسط بیشتر آن نیست. حتی فیثاغورث نیز در زمان خود مرتکب چنین اشتباهی شد. با این حال ، در حال حاضر معاصران او این نتیجه را هنگام مطالعه راه حل های معادله $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) در مجموعه اعداد گویا رد کردند. برای حل چنین معادله ای باید مفهوم جذر را معرفی کرد و سپس جواب این معادله به شکل $ x = \ sqrt (2) $ است. معادله ای از نوع $ x ^ 2 = a $، که در آن $ a $ یک عدد گویا شناخته شده است، و $ x $ یک مجهول است، همیشه راه حلی در مجموعه اعداد گویا ندارد، و دوباره نیاز است. برای گسترش مجموعه مجموعه ای از اعداد غیرمنطقی بوجود می آیند و اعدادی مانند $ \ sqrt (2) $ ، $ \ sqrt (3) $ ، $ \ pi $ ... متعلق به این مجموعه هستند.

اعداد واقعی $ \ mathbb (R) $

اتحاد مجموعه اعداد گویا و غیر منطقی مجموعه اعداد حقیقی است. از آنجایی که $ \ mathbb (Q) \ زیرمجموعه \ mathbb (R) $، دوباره منطقی است که فرض کنیم عملیات‌ها و روابط حسابی معرفی‌شده ویژگی‌های خود را در مجموعه جدید حفظ می‌کنند. اثبات صوری این امر بسیار دشوار است، بنابراین ویژگی های فوق الذکر عملیات حسابی و روابط روی مجموعه اعداد حقیقی به عنوان بدیهیات معرفی می شوند. در جبر به چنین جسمی میدان می گویند، پس می گویند مجموعه اعداد حقیقی یک میدان مرتب است.

برای اینکه تعریف مجموعه اعداد حقیقی کامل شود، لازم است یک اصل موضوعی اضافه شود که مجموعه‌های $ \ mathbb (Q) $ و $ \ mathbb (R) $ را متمایز می‌کند. فرض کنید $ S $ یک زیرمجموعه غیر خالی از مجموعه اعداد واقعی است. عنصر $ b \ در \ mathbb (R) $ کران بالای مجموعه $ S $ نامیده می شود اگر $ \ forall x \ در S $ درست باشد $ x \ leq b $. سپس مجموعه $ S $ گفته می شود که در بالا محدود شده است. کوچکترین کران بالایی مجموعه $ S $ supremum نامیده می شود و با $ \ sup S $ نشان داده می شود. مفاهیم یک کران پایین، یک مجموعه محدود شده از پایین، و یک infinum $ \ inf S $ به طور مشابه معرفی شده‌اند. بدیهیات گمشده اکنون به صورت زیر فرموله می شود:

هر زیرمجموعه غیرخالی و کران بالایی از مجموعه اعداد حقیقی دارای یک فوق العاده است.
همچنین می توانید ثابت کنید که میدان اعداد حقیقی که به روش فوق تعریف شده اند منحصر به فرد است.

اعداد مختلط $ \ mathbb (C) $

نمونه هایی از اعداد مختلط:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i، 2 - 4i، -7 + 6i ... $ که در آن $ i = \ sqrt (-1) $ یا $ i ^ 2 = -1 $

مجموعه اعداد مختلط همه جفت های مرتب شده اعداد حقیقی را نشان می دهد، یعنی $ \ mathbb (C) = \ mathbb (R) ^ 2 = \ mathbb (R) \ times \ mathbb (R) $ که بر روی آن عملیات جمع و ضرب به صورت زیر تعریف می شوند:
$ (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) $
$ (a, b) \ cdot (c, d) = (ac-bd, ad + bc) $

اشکال مختلفی از نمادگذاری برای اعداد مختلط وجود دارد که رایج‌ترین آنها $z = a + ib $ است که $ (a, b) $ یک جفت اعداد واقعی است و عدد $ i = (0,1) $ واحد خیالی نامیده می شود.

نشان دادن اینکه $ i ^ 2 = -1 $ آسان است. گسترش مجموعه $ \ mathbb (R) $ به مجموعه $ \ mathbb (C) $ به ما امکان می دهد تعریف کنیم ریشه دوماز اعداد منفی، که دلیل معرفی مجموعه ای از اعداد مختلط بود. همچنین نشان دادن زیرمجموعه‌ای از مجموعه $ \ mathbb (C) $ که به صورت $ \ mathbb (C) _0 = \ lbrace (a, 0) | a \ in \ mathbb (R) \ rbrace $ تعریف شده است، آسان است. همه بدیهیات اعداد واقعی را برآورده می کند، بنابراین $ \ mathbb (C) _0 = \ mathbb (R) $ یا $ R \ زیر مجموعه \ mathbb (C) $.

ساختار جبری مجموعه $ \ mathbb (C) $ با توجه به عملیات جمع و ضرب دارای ویژگی های زیر است:
1. قابل تعویض جمع و ضرب
2. انجمنی بودن جمع و ضرب
3. $ 0 + i0 $ - عنصر خنثی برای اضافه کردن
4. $ 1 + i0 $ - عنصر خنثی برای ضرب
5. ضرب با توجه به جمع توزیعی است
6. یک عنصر معکوس منفرد برای جمع و ضرب وجود دارد.

بسیاری از اعداد غیرمنطقی معمولاً با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند I (\ displaystyle \ mathbb (I))به صورت پررنگ، بدون پر کردن بدین ترتیب: I = R ∖ Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ بک اسلش \ mathbb (Q))یعنی مجموعه اعداد غیر گویا تفاوت بین مجموعه اعداد حقیقی و گویا است.

ریاضیدانان باستان قبلاً در مورد وجود اعداد غیر منطقی، به طور دقیق تر، قطعات غیرقابل قیاس با قطعه ای از طول واحد می دانستند: آنها، برای مثال، قیاس ناپذیری مورب و ضلع مربع را می دانستند که معادل غیرمنطقی بودن یک مربع است. عدد.

یوتیوب دانشگاهی

• 1 / 5

  غیر منطقی هستند:

  مصادیق اثبات بی منطقی

  ریشه 2

  برعکس را فرض کنید: 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2)))منطقی، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود m n (\ سبک نمایش (\ فراک (m) (n)))، جایی که m (\ displaystyle m)یک عدد صحیح است و n (\ displaystyle n)- عدد طبیعی .

  بیایید برابری فرضی را دو برابر کنیم:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ فلش راست 2 = (\ frac (m ^ (2 )) (n ^ (2))) \ فلش راست m ^ (2) = 2n ^ (2)).

  تاریخ

  دوران باستان

  مفهوم اعداد غیر منطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که ماناوا (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) متوجه شد که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61 را نمی توان به طور صریح دانست. بیان [ ] .

  اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 قبل از میلاد)، فیثاغورثی نسبت داده می شود. در زمان فیثاغورثی ها اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیح بارها در هر بخش گنجانده شده است. ] .

  اطلاعات دقیقی در مورد غیرمنطقی بودن کدام عدد توسط هیپاسوس ثابت شده است. طبق افسانه، او آن را با مطالعه طول اضلاع پنتاگرام پیدا کرد. بنابراین، منطقی است که فرض کنیم که نسبت طلایی [ ] .

  ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند مشابه(غیرقابل توصیف)، اما، طبق افسانه ها، آنها به هیپاس احترامی که شایسته او بود، قائل نشدند. افسانه ها حاکی از آن است که هیپاسوس در یک سفر دریایی کشف کرد و فیثاغورثی ها دیگر او را به دریا انداختند "به دلیل ایجاد عنصری از جهان که این دکترین را رد می کند که همه موجودات در جهان را می توان به اعداد کامل و روابط آنها تقلیل داد." کشف هیپاسوس با ریاضیات فیثاغورثی مواجه شد مشکل جدی، این فرضیه را که زیربنای کل نظریه است که اعداد و اجسام هندسی یکی و جدایی ناپذیر هستند از بین می برد.

  عدد گویا- عددی که با کسری معمولی m / n نشان داده می شود، که در آن صورت m یک عدد صحیح و مخرج n یک عدد طبیعی است. هر عدد گویا را می توان به عنوان یک نامتناهی تناوبی نشان داد اعشاری... مجموعه اعداد گویا با Q نشان داده می شود.

  اگر عدد واقعی گویا نیست، پس آن است عدد گنگ... کسرهای اعشاری که اعداد غیر منطقی را بیان می کنند نامتناهی هستند و تناوبی نیستند. مجموعه اعداد غیر منطقی معمولا با حرف بزرگ I نشان داده می شود.

  عدد واقعی نامیده می شود جبریاگر ریشه چند جمله ای (درجه غیر صفر) با ضرایب گویا باشد. هر عدد غیر جبری نامیده می شود ماورایی.

  برخی از خواص:

  مجموعه اعداد گویا در همه جا به صورت متراکم روی محور اعداد قرار دارد: بین هر دو عدد گویا متفاوت حداقل یک عدد گویا وجود دارد (و از این رو یک مجموعه نامتناهی از اعداد گویا). با این وجود، معلوم می شود که مجموعه اعداد گویا Q و مجموعه اعداد طبیعی N معادل هستند، یعنی می توان یک تناظر یک به یک بین آنها برقرار کرد (همه عناصر مجموعه اعداد گویا را می توان مجددا شماره گذاری کرد) .

  مجموعه Q اعداد گویا نسبت به جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بسته است، یعنی مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب دو عدد گویا نیز اعداد گویا هستند.

  همه اعداد گویا جبری هستند (برعکس این درست نیست).

  هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.

  هر عدد غیر منطقی یا جبری است یا ماورایی.

  مجموعه اعداد غیرمنطقی همه جا روی خط اعداد متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد (و از این رو یک مجموعه نامتناهی از اعداد غیر منطقی).

  مجموعه اعداد غیرمنطقی غیرقابل شمارش است.

  هنگام حل مسائل، راحت است، همراه با عدد غیر منطقی a + b√ c (که در آن a، b اعداد گویا هستند، c یک عدد صحیح است که مربع یک عدد طبیعی نیست)، عدد "مزوج" a را در نظر بگیرید. - b√ c: مجموع و حاصلضرب آن با اصلی - اعداد گویا. بنابراین a + b√ c و a - b√ c ریشه هستند معادله ی درجه دوبا ضرایب صحیح

  مشکلات با راه حل

  1. این را ثابت کنید

  الف) شماره √ 7؛

  ب) عدد lg 80؛

  ج) عدد √ 2 + 3 √ 3؛

  غیر منطقی است

  الف) فرض کنید که عدد √ 7 گویا باشد. سپس، p و q همزمان وجود دارند به طوری که √ 7 = p / q، از آنجا p 2 = 7q 2 به دست می آوریم. از آنجایی که p و q همزمان هستند، p 2 است، و بنابراین p بر 7 بخش پذیر است. سپس p = 7k، که در آن k مقداری طبیعی است. بنابراین q 2 = 7k 2 = pk، که با این واقعیت که p و q همزمان هستند در تضاد است.

  بنابراین، فرض نادرست است، به این معنی که عدد √ 7 غیر منطقی است.

  ب) فرض کنید که عدد lg 80 گویا باشد. سپس اعداد طبیعی p و q وجود دارند به طوری که lg 80 = p / q، یا 10 p = 80 q، از آنجا 2 p - 4q = 5 q - p به دست می آوریم. با در نظر گرفتن اینکه اعداد 2 و 5 هم اول هستند، دریافت می کنیم که آخرین برابری فقط برای p – 4q = 0 و q – p = 0 امکان پذیر است. از آنجایی که p = q = 0، غیر ممکن است، زیرا p و q هستند. طبیعی انتخاب شده

  بنابراین، فرض نادرست است، به این معنی که عدد lg 80 غیر منطقی است.

  ج) این عدد را با x نشان می دهیم.

  سپس (x - √ 2) 3 = 3، یا x 3 + 6x - 3 = √ 2 · (3x 2 + 2). پس از مربع کردن این معادله، متوجه می شویم که x باید معادله را برآورده کند

  x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

  فقط اعداد 1 و 1 می توانند ریشه های گویا آن باشند. بررسی نشان می دهد که 1 و -1 ریشه نیستند.

  بنابراین، عدد داده شده √ 2 + 3 √ 3 ​​غیر منطقی است.

  2. معلوم است که اعداد a، b، √ a –√ b،- گویا. ثابت کنیم که √ a و √ bاعداد گویا نیز هستند.

  محصول را در نظر بگیرید

  (√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

  عدد √ a + √ b،که برابر است با نسبت اعداد a - b و √ a –√ b،گویا است، زیرا ضریب تقسیم دو عدد گویا یک عدد گویا است. مجموع دو عدد گویا

  ½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

  - عدد گویا، تفاوت آنها،

  ½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

  همچنین یک عدد گویا است، همانطور که لازم است.

  3. ثابت کنید که اعداد غیرمنطقی مثبت a و b وجود دارند که عدد a b برای آنها طبیعی است.

  

  4. آیا اعداد گویا a، b، c، d وجود دارند که برابری را برآورده کنند؟

  (a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n = 5 + 4√ 2،

  کجا n یک عدد طبیعی است؟

  اگر تساوی داده شده در شرط برقرار باشد و اعداد a، b، c، d گویا باشند، تساوی برقرار است:

  (الف - ب √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n = 5 - 4√ 2.

  اما 5 - 4√2 (a - b√2) 2n + (c - d√2) 2n> 0. تضاد حاصل ثابت می کند که برابری اصلی غیرممکن است.

  پاسخ: وجود ندارد.

  5. اگر پاره های با طول های a، b، c یک مثلث تشکیل دهند، برای همه n = 2، 3، 4،. ... ... قطعات با طول n √ a, n √ b, n √ c نیز یک مثلث را تشکیل می دهند. اثباتش کن.

  اگر پاره های با طول های a، b، c مثلثی تشکیل دهند، نابرابری مثلث به دست می آید

  بنابراین ما داریم

  (n √ a + n √ b) n> a + b> c = (n √ c) n،

  N √ a + n √ b> n √ c.

  بقیه موارد بررسی نابرابری مثلث نیز به روشی مشابه در نظر گرفته شده است که نتیجه گیری از آنها حاصل می شود.

  6. ثابت کنید کسر اعشاری نامتناهی 0.1234567891011121314 ... (بعد از اعشار در یک ردیف تمام اعداد طبیعی به ترتیب نوشته می شوند) یک عدد غیر منطقی است.

  همانطور که می دانید اعداد گویا با کسرهای اعشاری بیان می شوند که دارای دوره ای هستند که از علامت خاصی شروع می شود. بنابراین کافی است ثابت شود کسر داده شده از هیچ علامتی تناوبی نیست. فرض کنید که اینطور نیست، و برخی از دنباله T، متشکل از n رقم، دوره ای از کسری است که از mth رقم اعشار شروع می شود. واضح است که در بین ارقام بعد از کاراکتر m عددهای غیر صفر وجود دارد، بنابراین یک رقم غیر صفر در دنباله ارقام T وجود دارد. این بدان معنی است که با شروع از رقم m بعد از نقطه اعشار، یک رقم غیرصفر در بین هر n رقم در یک ردیف وجود دارد. با این حال، در نماد اعشاری این کسری، باید نماد اعشاری از عدد 100 ... 0 = 10 k وجود داشته باشد، که در آن k> m و k> n. واضح است که این ورودی در سمت راست رقم m رخ می دهد و حاوی بیش از n صفر در یک ردیف است. بنابراین، تناقضی به دست می آوریم که اثبات را کامل می کند.

  7. به شما یک کسر اعشاری بی نهایت 0 داده می شود، یک 1 a 2 .... ثابت کنید که اعداد موجود در نماد اعشاری آن را می توان به گونه ای مرتب کرد که کسر حاصل یک عدد گویا را بیان کند.

  به یاد بیاورید که کسری یک عدد گویا را بیان می کند اگر و فقط اگر تناوبی باشد و با علامت خاصی شروع شود. ما اعداد از 0 تا 9 را به دو کلاس تقسیم می کنیم: در کلاس اول، اعدادی را که در کسر اصلی تعداد محدودی وجود دارند، در طبقه دوم - اعدادی که در کسر اصلی رخ می دهند شامل می کنیم. عدد بی نهایتیک بار. بیایید شروع به نوشتن کسر تناوبی کنیم که می توان از جایگشت اصلی اعداد بدست آورد. ابتدا، بعد از صفر و کاما، تمام اعداد کلاس اول را به ترتیب تصادفی بنویسید - هر کدام به تعداد دفعاتی که در کسر اولیه رخ می دهد. ارقام درجه اول ثبت شده قبل از نقطه در قسمت کسری کسر اعشاری قرار می گیرند. سپس اعداد کلاس دوم را به ترتیب یکی یکی یادداشت می کنیم. ما این ترکیب را به عنوان نقطه اعلام می کنیم و آن را بی نهایت بار تکرار می کنیم. بنابراین، کسر تناوبی مورد نیاز را که بیانگر یک عدد گویا است، نوشته ایم.

  8. ثابت کنید که در هر کسر اعشاری نامتناهی دنباله ای از اعشار با طول دلخواه وجود دارد که در بسط کسری بی نهایت بار اتفاق می افتد.

  فرض کنید m یک عدد طبیعی دلخواه داده شده باشد. بیایید کسر اعشاری نامتناهی را به قطعات تقسیم کنیم که در هر کدام m رقم باشد. بی نهایت از این قبیل بخش ها وجود خواهد داشت. از سوی دیگر، تنها 10 متر سیستم مختلف متشکل از m رقم، یعنی یک عدد محدود وجود دارد. در نتیجه، حداقل یکی از این سیستم ها باید در اینجا بی نهایت بارها تکرار شود.

  اظهار نظر. برای اعداد غیر منطقی √ 2، π یا هما حتی نمی دانیم کدام رقم در کسرهای اعشاری نامتناهی که آنها را نشان می دهد بی نهایت بارها تکرار شده است، اگرچه هر یک از این اعداد، همانطور که به راحتی می توان ثابت کرد، حداقل شامل دو رقم مختلف از این قبیل است.

  9. به صورت ابتدایی ثابت کنید که ریشه مثبت معادله

  غیر منطقی است

  برای x> 0، سمت چپ معادله با افزایش x افزایش می یابد و به راحتی می توان دریافت که برای x = 1.5 کمتر از 10 و برای x = 1.6 - بیش از 10 است. بنابراین، تنها ریشه مثبت معادله در بازه (1.5 ؛ 1.6) قرار دارد.

  ما ریشه را به صورت یک کسر تقلیل ناپذیر p/q می نویسیم، جایی که p و q برخی از اعداد طبیعی همزمان اول هستند. سپس، برای x = p / q، معادله به شکل زیر خواهد بود:

  p 5 + pq 4 = 10q 5،

  از اینجا نتیجه می شود که p مقسوم علیه 10 است، بنابراین، p برابر است با یکی از اعداد 1، 2، 5، 10. با این حال، با نوشتن کسری با اعداد 1، 2، 5، 10، بلافاصله متوجه می شویم که هیچ یک از آنها در داخل بازه (1.5؛ 1.6) قرار می گیرند.

  بنابراین، ریشه مثبت معادله اصلی را نمی توان به عنوان یک کسری معمولی نشان داد، به این معنی که یک عدد غیر منطقی است.

  10. الف) آیا سه نقطه A، B و C در صفحه وجود دارد که برای هر نقطه X طول حداقل یکی از قطعات XA، XB و XC غیرمنطقی باشد؟

  ب) مختصات رئوس مثلث گویا هستند. ثابت کنید که مختصات مرکز دایره دور آن نیز گویا هستند.

  ج) آیا چنین کره ای وجود دارد که دقیقاً یک نقطه عقلی در آن وجود داشته باشد؟ (نقطه گویا نقطه ای است که در آن هر سه مختصات دکارتی اعداد گویا هستند.)

  الف) بله دارند. فرض کنید C نقطه وسط قطعه AB باشد. سپس XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. اگر عدد AB 2 غیر منطقی باشد، آنگاه اعداد XA، XB و XC نمی توانند همزمان منطقی باشند.

  ب) (a 1; b 1)، (a 2; b 2) و (a 3; b 3) مختصات رئوس مثلث باشند. مختصات مرکز دایره دایره آن توسط یک سیستم معادلات داده می شود:

  (x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

  (x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

  به راحتی می توان خطی بودن این معادلات را بررسی کرد، به این معنی که حل سیستم معادلات در نظر گرفته شده منطقی است.

  ج) چنین کره ای وجود دارد. به عنوان مثال، یک کره با معادله

  (x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 = 2.

  نقطه O با مختصات (0؛ 0؛ 0) یک نقطه منطقی است که روی این کره قرار دارد. بقیه نقاط کره غیر منطقی هستند. بیایید ثابت کنیم.

  فرض کنید برعکس: (x; y; z) یک نقطه گویا از کره باشد، متفاوت از نقطه O. واضح است که x با 0 متفاوت است، زیرا در x = 0 یک راه حل منحصر به فرد وجود دارد (0; 0). ؛ 0)، که اکنون به آن علاقه ای نداریم. بیایید براکت ها را گسترش دهیم و √ 2 را بیان کنیم:

  x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

  √ 2 = (x 2 + y 2 + z 2) / (2x)،

  که نمی تواند برای x، y، z و غیر منطقی √ 2 باشد. بنابراین، О (0; 0; 0) تنها نقطه عقلانی در کره در نظر گرفته شده است.

  وظایف بدون راه حل

  1. ثابت کنید که عدد

  \ [\ sqrt (10+ \ sqrt (24) + \ sqrt (40) + \ sqrt (60)) \]

  غیر منطقی است

  2. برابری (5 + 3√ 2) m = (3 + 5√ 2) n برای کدام اعداد صحیح m و n برقرار است؟

  3. آیا عدد a وجود دارد که اعداد a - √ 3 و 1 / a + √ 3 اعداد صحیح باشند؟

  4. آیا اعداد 1، √ 2، 4 می توانند اعضای (نه لزوماً مجاور) یک تصاعد حسابی باشند؟

  5. ثابت کنید که برای هر عدد طبیعی n معادله (x + y√3) 2n = 1 + √3 هیچ راه حلی در اعداد گویا ندارد (x; y).

  تعریف عدد غیر منطقی

  غیر منطقی اعدادی هستند که در نماد اعشاری، کسرهای اعشاری غیر تناوبی نامتناهی هستند.

  
  
  

  پس مثلاً اعدادی که با استخراج جذر اعداد طبیعی به دست می آیند غیر منطقی هستند و مجذور اعداد طبیعی نیستند. اما همه اعداد غیر منطقی با استخراج جذر به دست نمی آیند، زیرا عدد پی که با تقسیم به دست می آید نیز غیرمنطقی است و بعید است که با تلاش برای استخراج جذر یک عدد طبیعی آن را بدست آورید.

  خواص اعداد غیر منطقی

  بر خلاف اعدادی که در کسرهای اعشاری نامتناهی نوشته می شوند، فقط اعداد غیرمنطقی در کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شوند.
  مجموع دو عدد غیرمنفی غیرمنفی می تواند به یک عدد گویا ختم شود.
  اعداد غیر منطقی بخش های Dedekind را در مجموعه اعداد گویا تعریف می کنند، در طبقه پایین تر که بیشترین تعداد را ندارند. تعداد زیادی، و در قسمت بالایی کوچکتر وجود ندارد.
  هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.
  همه اعداد غیر منطقی یا جبری هستند یا ماورایی.
  مجموعه اعداد غیر منطقی روی یک خط مستقیم به صورت متراکم بسته بندی شده اند و بین هر دو عدد آن باید یک عدد غیر منطقی وجود داشته باشد.
  مجموعه اعداد غیر منطقی نامتناهی، غیرقابل شمارش و مجموعه ای از دسته 2 است.
  هنگام انجام هر عملیات حسابی با اعداد گویا، به غیر از تقسیم بر 0، نتیجه یک عدد گویا خواهد بود.
  وقتی یک عدد گویا را به یک عدد غیر منطقی اضافه می کنیم، نتیجه همیشه یک عدد غیر منطقی است.
  وقتی اعداد غیر منطقی را جمع می کنیم، در نتیجه می توانیم یک عدد گویا به دست آوریم.
  مجموعه اعداد غیر منطقی زوج نیستند.
  

  اعداد غیر منطقی نیستند

  گاهی اوقات پاسخ به این سوال که آیا یک عدد غیر منطقی است، به خصوص در مواردی که عدد به صورت کسری اعشاری یا به صورت یک عبارت عددی، ریشه یا لگاریتمی باشد، دشوار است.

  بنابراین، دانستن اینکه کدام اعداد غیر منطقی نیستند، اضافی نخواهد بود. اگر از تعریف اعداد غیر منطقی پیروی کنیم، از قبل می دانیم که اعداد گویا نمی توانند غیر منطقی باشند.

  اعداد غیر منطقی نیستند:

  اول، همه اعداد طبیعی؛
  دوم، اعداد صحیح؛
  سوم، کسرهای معمولی.
  چهارم، اعداد مختلط مختلف.
  پنجم، اینها کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی هستند.
  

  علاوه بر همه موارد فوق، یک عدد غیر منطقی نمی تواند ترکیبی از اعداد گویا باشد که با علائم عملیات حسابی مانند +، -،،: انجام می شود، زیرا در این صورت حاصل دو عدد گویا نیز خواهد بود. یک عدد گویا

  حال بیایید ببینیم کدام یک از اعداد غیر منطقی هستند:

  
  
  

  و آیا از وجود یک کلوپ هواداران می دانید که در آن طرفداران این پدیده ریاضی مرموز به دنبال اطلاعات بیشتر و بیشتری در مورد پی هستند و سعی در کشف راز او دارند. هر فردی که پس از اعشار یک عدد پی را از روی قلب بداند می تواند عضو این باشگاه شود.

  آیا می‌دانستید که در آلمان، تحت حفاظت یونسکو، کاخ Castadel Monte وجود دارد که به لطف نسبت‌های آن می‌توان پی را محاسبه کرد. یک قصر کامل توسط پادشاه فردریک دوم به این شماره اختصاص داده شد.

  به نظر می رسد که سعی شده است از Pi در ساخت و ساز استفاده شود. برج بابل... اما در کمال تاسف ما، این امر منجر به سقوط پروژه شد، زیرا در آن زمان محاسبه دقیق مقدار pi به اندازه کافی مطالعه نشده بود.

  خواننده کیث بوش در دیسک جدید خود آهنگی به نام "پی" را ضبط کرد که صد و بیست و چهار عدد از سری شماره های معروف 3، 141 ... ..