کدام عدد مثال های غیر منطقی است. عدد غیر منطقی به چه معناست

همه اعداد گویا را می توان به عنوان یک کسر مشترک نشان داد. این برای اعداد کامل (مثلاً 12، 6-، 0)، و کسرهای اعشاری نهایی (به عنوان مثال، 0.5؛ -3.8921)، و کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی (به عنوان مثال، 0.11 (23)؛ -3، (87) صدق می کند. )).

ولی نامتناهی غیر تناوبی اعداد اعشاری نمی توان به عنوان کسرهای معمولی نشان داد. آنها همین هستند اعداد گنگ(یعنی غیر منطقی). نمونه ای از این عدد π است که تقریباً برابر با 3.14 است. با این حال، نمی توان دقیقاً مساوی را تعیین کرد، زیرا بعد از عدد 4 یک سری بی پایان از اعداد دیگر وجود دارد که در آنها دوره های تکراری قابل تشخیص نیستند. در عین حال، اگرچه عدد π را نمی توان دقیقا بیان کرد، اما معنای هندسی خاصی دارد. عدد π نسبت طول هر دایره به طول قطر آن است. بنابراین اعداد غیرمنطقی مانند اعداد گویا در طبیعت وجود دارند.

مثال دیگری از اعداد غیر منطقی است ریشه های مربعاز اعداد مثبت استخراج ریشه از برخی اعداد، مقادیر منطقی و از برخی دیگر - غیر منطقی به دست می دهد. به عنوان مثال، √4 = 2، یعنی ریشه 4 یک عدد گویا است. اما √2، √5، √7 و بسیاری دیگر منجر به اعداد غیر منطقی می شود، یعنی می توان آنها را فقط با تقریب استخراج کرد، به یک رقم اعشار معین گرد کرد. در این حالت کسری به صورت غیر تناوبی به دست می آید. یعنی نمی توان به طور دقیق و قطعی گفت که ریشه این اعداد چیست.

بنابراین √5 عددی بین 2 و 3 است، زیرا √4 = 2، و √9 = 3. همچنین می توانیم نتیجه بگیریم که √5 به 2 نزدیکتر است تا به 3، زیرا √4 به √5 نزدیکتر است تا √9 به √5. در واقع، √5 ≈ 2.23 یا √5 ≈ 2.24.

اعداد غیر منطقی نیز در محاسبات دیگر به دست می آیند (و نه تنها هنگام استخراج ریشه)، بلکه منفی هستند.

در رابطه با اعداد غیرمنطقی می‌توان گفت که هر قطعه واحدی را برای اندازه‌گیری طول بیان شده با چنین عددی انتخاب کنیم، قطعاً نمی‌توانیم آن را اندازه‌گیری کنیم.

در عملیات حسابی، اعداد غیر منطقی می توانند در کنار اعداد گویا شرکت کنند. در عین حال، یک سری قانونمندی وجود دارد. به عنوان مثال، اگر فقط اعداد گویا در یک عملیات حسابی دخالت داشته باشند، نتیجه همیشه یک عدد گویا است. اگر فقط افراد غیرمنطقی در عملیات شرکت کنند، نمی توان گفت که آیا منطقی است یا خیر. عدد گنگ، ممنوع است.

به عنوان مثال، اگر دو عدد غیر منطقی √2 * √2 را ضرب کنید، 2 به دست می آید - این یک عدد گویا است. از سوی دیگر، √2 * √3 = √6 یک عدد غیر منطقی است.

اگر یک عملیات حسابی شامل یک عدد گویا و یک عدد غیر منطقی باشد، نتیجه غیر منطقی به دست می آید. برای مثال 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - 4.

چرا √17 - 4 یک عدد غیر منطقی است؟ تصور کنید که یک عدد گویا x بدست می آورید. سپس √17 = x + 4. اما x + 4 یک عدد گویا است، زیرا ما فرض کردیم که x گویا است. عدد 4 نیز منطقی است، بنابراین x + 4 منطقی است. با این حال، یک عدد گویا نمی تواند برابر با غیر منطقی √17 باشد. بنابراین، این فرض که √17 - 4 یک نتیجه منطقی می دهد نادرست است. نتیجه یک عملیات حسابی غیرمنطقی خواهد بود.

با این حال، یک استثنا از این قاعده وجود دارد. اگر یک عدد غیر منطقی را در 0 ضرب کنیم، عدد گویا 0 به دست می آید.

قبلاً نشان دادیم که $1\frac25$ نزدیک به $\sqrt2$ است. اگر دقیقا برابر با $\sqrt2$ بود، . سپس نسبت -$\frac(1\frac25)(1)$ که می‌توان آن را با ضرب قسمت‌های بالا و پایین کسر در 5 به نسبت اعداد صحیح $\frac75$ تبدیل کرد، مقدار مورد نظر خواهد بود.

اما متاسفانه $1\frac25$ مقدار دقیق $\sqrt2$ نیست. پاسخ دقیق تر $1\frac(41)(100)$ با رابطه $\frac(141)(100)$ داده می شود. هنگامی که $\sqrt2$ را با $1\frac(207) (500)$ برابر می کنیم، به دقت حتی بیشتر می رسیم. در این صورت، نسبت در اعداد صحیح برابر با $\frac(707)(500)$ خواهد بود. اما 1\frac(207)(500)$ نیز مقدار دقیق جذر 2 نیست.ریاضیدانان یونانی زمان و تلاش زیادی را صرف محاسبه کردند. مقدار دقیق$\sqrt2$، اما هرگز موفق نشدند. آنها نتوانستند نسبت $\frac(\sqrt2)(1)$ را به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان دهند.

سرانجام، اقلیدس ریاضیدان بزرگ یونانی ثابت کرد که هر چقدر دقت محاسبات افزایش یابد، نمی توان مقدار دقیق $\sqrt2$ را بدست آورد. چنین کسری وجود ندارد که با مجذور شدن، نتیجه 2 را به دست آورد. گفته می شود که فیثاغورث اولین کسی بود که به این نتیجه رسید، اما این واقعیت غیر قابل توضیحآنقدر دانشمند را تحت تأثیر قرار داد که خود را قسم خورد و از شاگردانش سوگند یاد کرد که این کشف را مخفی نگه دارد. با این حال، این اطلاعات ممکن است درست نباشد.

اما اگر عدد $\frac(\sqrt2)(1)$ را نتوان به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان داد، آنگاه هیچ عددی حاوی $\sqrt2$ نیست، برای مثال $\frac(\sqrt2)(2)$ یا $\frac (4)(\sqrt2)$ را نیز نمی توان به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان داد، زیرا همه این کسری ها را می توان به $\frac(\sqrt2)(1)$ ضرب در یک عدد تبدیل کرد. بنابراین $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. یا $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$ که می‌توان با ضرب بالا و پایین در $\sqrt2$ تبدیل به $\frac(4) شد. (\sqrt2)$. (نباید فراموش کنیم که مهم نیست که عدد $\sqrt2$ چیست، اگر آن را در $\sqrt2$ ضرب کنیم، عدد 2 به دست می‌آید.)

از آنجایی که عدد $\sqrt2$ را نمی توان به عنوان نسبتی از اعداد صحیح نشان داد، نامیده می شود. عدد گنگ. از طرف دیگر، تمام اعدادی که می توانند به صورت نسبتی از اعداد صحیح نمایش داده شوند، فراخوانی می شوند گویا.

همه اعداد صحیح و کسری، اعم از مثبت و منفی، گویا هستند.

همانطور که مشخص است، بیشتر ریشه های مربع اعداد غیر منطقی هستند. جذر گویا فقط برای اعداد موجود در یک سری است اعداد مربع. به این اعداد مربع کامل نیز می گویند. اعداد گویا نیز کسرهایی هستند که از این مربع های کامل تشکیل شده اند. برای مثال، $\sqrt(1\frac79)$ یک عدد گویا است زیرا $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ یا $1\frac13$ (4 ریشه است. مربع 16 و 3 جذر 9 است).

عدد گویا عددی است که بتوان آن را به صورت کسری نشان داد که در آن . Q مجموعه تمام اعداد گویا است.

اعداد گویا به دو دسته مثبت، منفی و صفر تقسیم می شوند.

هر عدد گویا را می توان با یک نقطه از خط مختصات مرتبط کرد. رابطه "به سمت چپ" برای نقاط با رابطه "کمتر از" مختصات این نقاط مطابقت دارد. می توان دید که هر عدد منفی کمتر از صفرو هر عدد مثبت از دو عدد منفی، عددی که مدول آن بزرگتر است کمتر است. بنابراین، -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

هر عدد گویا را می توان به عنوان کسر تناوبی اعشاری نشان داد. برای مثال، .

الگوریتم‌های عملیات روی اعداد گویا از قوانین نشانه‌ها برای عملیات مربوطه روی کسرهای صفر و مثبت پیروی می‌کنند. Q تقسیمی غیر از تقسیم بر صفر انجام می دهد.

هر معادله خطی، یعنی معادله ای به شکل ax+b=0، که در آن، در مجموعه Q قابل حل است، اما نه هیچ معادله درجه دومنوع ، در اعداد گویا قابل حل است. هر نقطه روی یک خط مختصات یک نقطه گویا ندارد. حتی در پایان قرن ششم قبل از میلاد. n e در مکتب فیثاغورث ثابت شد که قطر مربع با ارتفاع آن تناسبی ندارد، که معادل این جمله است: «معادله ریشه عقلی ندارد». همه موارد فوق منجر به نیاز به گسترش مجموعه Q شد، مفهوم عدد غیر منطقی معرفی شد. مجموعه اعداد غیر منطقی را با حرف نشان دهید جی .

در یک خط مختصات، تمام نقاطی که مختصات گویا ندارند، مختصات غیر منطقی دارند. ، جایی که r مجموعه ای از اعداد واقعی هستند. به روشی جهانیانتساب اعداد حقیقی اعشاری است. اعشار تناوبی اعداد گویا و اعشار غیر تناوبی اعداد غیر منطقی را تعریف می کنند. بنابراین، 2.03 (52) یک عدد گویا است، 2.03003000300003 ... (دوره هر رقم بعدی "3" یک صفر بیشتر نوشته می شود) یک عدد غیر منطقی است.

مجموعه‌های Q و R دارای ویژگی‌های مثبت هستند: بین هر دو عدد گویا یک عدد گویا وجود دارد، برای مثال، ecoi a

برای هر عدد غیر منطقی α می توان یک تقریب عقلی را هم با نقص و هم با زیاده روی با هر دقت مشخص کرد: الف.< α

عمل استخراج ریشه از برخی اعداد گویا منجر به اعداد غیر منطقی می شود. استخراج ریشه یک درجه طبیعی یک عملیات جبری است، یعنی. مقدمه آن با حل یک معادله جبری شکل مرتبط است . اگر n فرد باشد، یعنی. n=2k+1، که در آن، معادله یک ریشه دارد. اگر n زوج باشد، n=2k، که در آن، برای a=0 معادله یک ریشه دارد x=0، برای a<0 корней нет, при a>0 دارای دو ریشه است که در مقابل یکدیگر قرار دارند. استخراج ریشه عمل معکوس بالا بردن به یک توان طبیعی است.

ریشه حسابی (برای اختصار، ریشه) درجه n یک عدد غیر منفی a یک عدد غیر منفی b است که ریشه معادله است. ریشه درجه n از عدد a با نماد نشان داده می شود. برای n=2 درجه ریشه 2 نشان داده نمی شود: .

به عنوان مثال، به دلیل 2 2 = 4 و 2> 0; ، زیرا 3 3 = 27 و 3> 0; وجود ندارد زیرا -4<0.

برای n=2k و a>0، ریشه های معادله (1) به صورت و نوشته می شود. به عنوان مثال، ریشه های معادله x 2 \u003d 4 2 و -2 هستند.

برای n فرد، معادله (1) برای هر یک ریشه واحد دارد. اگر a≥0، آنگاه - ریشه این معادله است. اگر یک<0, то –а>0 و - ریشه معادله. بنابراین، معادله x 3 \u003d 27 یک ریشه دارد.

درک اعداد، به ویژه اعداد طبیعی، یکی از قدیمی ترین "مهارت های" ریاضی است. بسیاری از تمدن‌ها، حتی تمدن‌های امروزی، به دلیل اهمیت زیادی که در توصیف طبیعت دارند، برخی ویژگی‌های عرفانی را به اعداد نسبت می‌دهند. اگرچه علم و ریاضیات مدرن این ویژگی‌های «جادویی» را تأیید نمی‌کنند، اما اهمیت نظریه اعداد غیرقابل انکار است.

از نظر تاریخی، ابتدا اعداد طبیعی بسیاری ظاهر شدند، سپس به زودی کسرها و اعداد غیر منطقی مثبت به آنها اضافه شدند. اعداد صفر و منفی بعد از این زیر مجموعه های مجموعه اعداد حقیقی معرفی شدند. آخرین مجموعه، مجموعه اعداد مختلط، تنها با توسعه علم مدرن ظاهر شد.

در ریاضیات مدرن، اعداد نه به ترتیب تاریخی، اگرچه کاملاً نزدیک به آن معرفی می شوند.

اعداد طبیعی $\mathbb(N)$

مجموعه اعداد طبیعی اغلب به صورت $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ نشان داده می شود و اغلب با صفر برای نشان دادن $\mathbb(N)_0$ نشان داده می شود.

$\mathbb(N)$ عملیات جمع (+) و ضرب ($\cdot$) را با ویژگی های زیر برای هر $a,b,c\in \mathbb(N)$ تعریف می کند:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ مجموعه $\mathbb(N)$ تحت جمع و ضرب بسته می‌شود
2. $a+b=b+a$، $a\cdot b=b\cdot a$ تغییرپذیری
3. تداعی $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ توزیع
5. $a\cdot 1=a$ عنصر خنثی برای ضرب است

از آنجایی که مجموعه $\mathbb(N)$ حاوی یک عنصر خنثی برای ضرب است اما نه برای جمع، افزودن صفر به این مجموعه تضمین می کند که یک عنصر خنثی برای جمع وجود دارد.

علاوه بر این دو عملیات، در مجموعه $\mathbb(N)$ روابط "کمتر از" ($

1. تریکوتومی $a b$
2. اگر $a\leq b$ و $b\leq a$، آنگاه $a=b$ یک ضد تقارن است
3. اگر $a\leq b$ و $b\leq c$، آنگاه $a\leq c$ متعدی است
4. اگر $a\leq b$، سپس $a+c\leq b+c$
5. اگر $a\leq b$، سپس $a\cdot c\leq b\cdot c$

اعداد صحیح $\mathbb(Z)$

مثال های عدد صحیح:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

حل معادله $a+x=b$، که در آن $a$ و $b$ اعداد طبیعی شناخته شده هستند، و $x$ یک عدد طبیعی مجهول است، نیاز به معرفی یک عملیات جدید - تفریق(-) دارد. اگر یک عدد طبیعی $x$ وجود داشته باشد که این معادله را برآورده کند، آنگاه $x=b-a$. با این حال، این معادله خاص لزوماً راه حلی در مجموعه $\mathbb(N)$ ندارد، بنابراین ملاحظات عملی مستلزم گسترش مجموعه اعداد طبیعی به گونه ای است که راه حل های چنین معادله ای را نیز شامل شود. این منجر به معرفی مجموعه ای از اعداد صحیح می شود: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

از آنجایی که $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$، منطقی است که فرض کنیم عملیات های معرفی شده قبلی $+$ و $\cdot$ و رابطه $1. $0+a=a+0=a$ یک عنصر خنثی برای اضافات وجود دارد
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ یک عدد مقابل $-a$ برای $a$ وجود دارد

5. اموال:
5. اگر $0\leq a$ و $0\leq b$، سپس $0\leq a\cdot b$

مجموعه $\mathbb(Z) $ نیز تحت تفریق بسته می‌شود، یعنی $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

اعداد گویا $\mathbb(Q)$

نمونه هایی از اعداد گویا:
$\frac(1)(2)، \frac(4)(7)، -\frac(5)(8)، \frac(10)(20)...$

حال معادلاتی به شکل $a\cdot x=b$ را در نظر بگیرید که $a$ و $b$ اعداد صحیح شناخته شده و $x$ ناشناخته است. برای امکان‌پذیر ساختن راه‌حل، باید عملیات تقسیم ($:$) را معرفی کرد و راه‌حل تبدیل به $x=b:a$ می‌شود، یعنی $x=\frac(b)(a)$. باز هم مشکل پیش می‌آید که $x$ همیشه به $\mathbb(Z)$ تعلق ندارد، بنابراین مجموعه اعداد صحیح باید گسترش یابد. بنابراین، مجموعه اعداد گویا $\mathbb(Q)$ را با عناصر $\frac(p)(q)$ معرفی می‌کنیم، جایی که $p\in \mathbb(Z)$ و $q\in \mathbb(N) $. مجموعه $\mathbb(Z)$ زیرمجموعه ای است که در آن هر عنصر $q=1$، از این رو $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ و عملیات جمع و ضرب نیز بر این مجموعه اعمال می شود. به قوانین زیر، که تمام ویژگی های فوق را نیز در مجموعه $\mathbb(Q)$ حفظ می کند:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

تقسیم بندی به این صورت وارد می شود:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

در مجموعه $\mathbb(Q)$، معادله $a\cdot x=b$ یک راه حل منحصر به فرد برای هر $a\neq 0$ دارد (تقسیم بر صفر تعریف نشده است). این بدان معنی است که یک عنصر معکوس $\frac(1)(a)$ یا $a^(-1)$ وجود دارد:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

ترتیب مجموعه $\mathbb(Q)$ را می توان به این ترتیب افزایش داد:
$\frac(p_1)(q_1)

مجموعه $\mathbb(Q)$ یک ویژگی مهم دارد: بین هر دو عدد گویا بی نهایت تعداد گویا دیگری وجود دارد، بنابراین، برخلاف مجموعه اعداد طبیعی و صحیح، دو عدد گویا همسایه وجود ندارد.

اعداد غیر منطقی $\mathbb(I)$

نمونه هایی از اعداد غیر منطقی:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \تقریباً 1.41422135...$
$\pi \حدودا 3.1415926535...$

از آنجایی که بین هر دو عدد گویا بی نهایت اعداد گویا دیگر وجود دارد، به راحتی می توان به اشتباه نتیجه گرفت که مجموعه اعداد گویا آنقدر متراکم است که نیازی به بسط بیشتر آن نیست. حتی فیثاغورث هم یک بار مرتکب چنین اشتباهی شد. با این حال، معاصران او قبلاً این نتیجه را هنگام مطالعه راه حل های معادله $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) روی مجموعه اعداد گویا رد کردند. برای حل چنین معادله ای باید مفهوم جذر را معرفی کرد و سپس جواب این معادله به شکل $x=\sqrt(2)$ می باشد. معادله ای از نوع $x^2=a$، که در آن $a$ یک عدد گویا شناخته شده و $x$ یک عدد مجهول است، همیشه راه حلی بر روی مجموعه اعداد گویا ندارد و دوباره نیاز است. برای گسترش مجموعه مجموعه ای از اعداد غیرمنطقی بوجود می آیند و اعدادی مانند $\sqrt(2)$، $\sqrt(3)$، $\pi$... متعلق به این مجموعه هستند.

اعداد واقعی $\mathbb(R)$

اتحاد مجموعه اعداد گویا و غیر منطقی مجموعه اعداد حقیقی است. از آنجایی که $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$، مجدداً منطقی است که فرض کنیم عملیات‌ها و روابط حسابی معرفی‌شده ویژگی‌های خود را در مجموعه جدید حفظ می‌کنند. اثبات صوری این امر بسیار دشوار است، بنابراین ویژگی های فوق الذکر عملیات حسابی و روابط روی مجموعه اعداد حقیقی به عنوان بدیهیات معرفی می شوند. در جبر به چنین جسمی فیلد می گویند، بنابراین مجموعه اعداد حقیقی را یک میدان مرتب می گویند.

برای اینکه تعریف مجموعه اعداد حقیقی کامل شود، لازم است یک اصل موضوعی اضافه شود که مجموعه‌های $\mathbb(Q)$ و $\mathbb(R)$ را متمایز می‌کند. فرض کنید $S$ یک زیرمجموعه غیر خالی از مجموعه اعداد واقعی است. عنصر $b\in \mathbb(R)$ کران بالای $S$ نامیده می شود اگر $\forall x\in S$ $x\leq b$ را برآورده کند. سپس مجموعه $S$ گفته می شود که از بالا محدود شده است. حداقل کران بالای یک مجموعه $S$ supremum نامیده می شود و با $\sup S$ نشان داده می شود. مفاهیم کران پایین، مجموعه ای محدود شده در زیر، و infinum $\inf S$ به طور مشابه معرفی شده اند. حال بدیهیات گمشده به صورت زیر فرموله می شود:

هر زیرمجموعه غیر خالی و محدود شده از بالا از مجموعه اعداد حقیقی دارای یک مقدار فوق العاده است.
همچنین می توان ثابت کرد که میدان اعداد حقیقی تعریف شده در بالا منحصر به فرد است.

اعداد مختلط$\mathbb(C)$

نمونه هایی از اعداد مختلط:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i، 2 - 4i، -7 + 6i...$ که در آن $i = \sqrt(-1)$ یا $i^2 = -1$

مجموعه اعداد مختلط همه جفت های مرتب شده اعداد حقیقی است، یعنی $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$، که بر روی آنها عملیات جمع و ضرب به صورت زیر تعریف می شود:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

روش های مختلفی برای نوشتن اعداد مختلط وجود دارد که رایج ترین آنها $z=a+ib$ است که $(a,b)$ یک جفت اعداد واقعی است و عدد $i=(0,1)$ واحد خیالی نامیده می شود.

نشان دادن اینکه $i^2=-1$ آسان است. گسترش مجموعه $\mathbb(R)$ به مجموعه $\mathbb(C)$ به شخص اجازه می دهد تا جذر اعداد منفی را تعیین کند، که دلیل معرفی مجموعه اعداد مختلط بود. همچنین نشان دادن اینکه زیرمجموعه‌ای از مجموعه $\mathbb(C)$ که به صورت $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ داده می‌شود، آسان است. بدیهیات برای اعداد واقعی، از این رو $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$، یا $R\subset\mathbb(C)$.

ساختار جبری مجموعه $\mathbb(C)$ با توجه به عملیات جمع و ضرب دارای ویژگی های زیر است:
1. جابجایی جمع و ضرب
2. ارتباط جمع و ضرب
3. $0+i0$ - عنصر خنثی برای اضافه کردن
4. $1+i0$ - عنصر خنثی برای ضرب
5. ضرب با توجه به جمع توزیعی است
6. یک عنصر معکوس هم برای جمع و هم برای ضرب وجود دارد.

عدد گنگ- آی تی عدد واقعی، که منطقی نیست، یعنی نمی توان آن را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند، . یک عدد غیر منطقی را می توان به صورت یک اعشار بی نهایت بدون تکرار نشان داد.

مجموعه اعداد غیر منطقی معمولا با حروف بزرگ لاتین و بدون سایه نشان داده می شود. بدین ترتیب: یعنی مجموعه اعداد غیر منطقی است تفاوت مجموعه اعداد حقیقی و گویا

به طور دقیق تر، در مورد وجود اعداد غیر منطقی قطعات، غیرقابل قیاس با قطعه ای از طول واحد، قبلاً توسط ریاضیدانان باستان شناخته شده بود: آنها، برای مثال، قیاس ناپذیری مورب و ضلع مربع را می دانستند، که معادل غیرمنطقی بودن عدد است.

خواص

• هر عدد حقیقی را می توان به صورت کسری اعشاری نامتناهی نوشت، در حالی که اعداد غیرمنطقی و فقط آنها به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شوند.
• اعداد غیر منطقی برش های ددکیند را در مجموعه اعداد گویا تعریف می کنند که بزرگترین عدد در طبقه پایین و کوچکترین عدد در طبقه بالا وجود ندارد.
• هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.
• هر عدد غیر منطقی یا جبری است یا ماورایی.
• مجموعه اعداد غیر منطقی همه جا روی خط واقعی متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
• ترتیب مجموعه اعداد غیرمنطقی با ترتیب مجموعه اعداد متعالی واقعی هم شکل است.
• مجموعه اعداد غیر منطقی غیرقابل شمارش، مجموعه ای از دسته دوم است.

مثال ها

اعداد گنگ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

غیر منطقی هستند:

مثال های اثبات غیرمنطقی

ریشه 2

برعکس فرض کنید: گویا است، یعنی به صورت کسری تقلیل ناپذیر نمایش داده می شود، جایی که یک عدد صحیح است و یک عدد طبیعی است. بیایید برابری فرضی را مجذور کنیم:

.

از این نتیجه می شود که حتی، بنابراین، زوج و . اجازه دهید که در آن کل. سپس

بنابراین، حتی، بنابراین، حتی و . ما آن را بدست آورده ایم و زوج هستند که با تقلیل ناپذیری کسر در تناقض است. بنابراین، فرض اولیه اشتباه بوده و عددی غیرمنطقی است.

لگاریتم باینری عدد 3

برعکس را فرض کنید: عقلانی است، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود، جایی که و اعداد صحیح هستند. از آنجا که، و می تواند مثبت در نظر گرفته شود. سپس

اما واضح است، عجیب است. دچار تناقض می شویم.

ه

داستان

مفهوم اعداد غیرمنطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که ماناوا (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) دریافت که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61 را نمی توان به صراحت بیان کرد.

اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 سال قبل از میلاد) نسبت داده می شود، فیثاغورثی که با مطالعه طول اضلاع یک پنتاگرام به این دلیل دست یافت. در زمان فیثاغورثی ها، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که تعداد صحیح بارها در هر بخش گنجانده شده است. با این حال، هیپاسوس استدلال کرد که هیچ واحد طولی وجود ندارد، زیرا فرض وجود آن منجر به تناقض می شود. او نشان داد که اگر هیپوتانوس مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین دارای یک عدد صحیح از قطعات واحد باشد، این عدد باید همزمان زوج و فرد باشد. اثبات به این شکل بود:

• نسبت طول هیپوتنوس به طول ساق یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را می توان به صورت بیان کرد. آ:ب، جایی که آو ببه عنوان کوچکترین ممکن انتخاب شده است.
• طبق قضیه فیثاغورث: آ² = 2 ب².
• زیرا آ² حتی، آباید زوج باشد (زیرا مربع یک عدد فرد فرد خواهد بود).
• تا جایی که آ:بغیر قابل کاهش بباید عجیب و غریب باشد
• زیرا آحتی، نشان می دهد آ = 2y.
• سپس آ² = 4 y² = 2 ب².
• ب² = 2 y²، بنابراین بیکنواخت است، پس بزوج.
• با این حال، ثابت شده است که بفرد. تناقض.

ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(غیرقابل بیان)، اما بر اساس افسانه ها، هیپاسوس مورد احترام قرار نگرفت. افسانه‌ای وجود دارد که هیپاسوس در سفری دریایی این کشف را انجام داد و فیثاغورثی‌ها او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان، که این نظریه را رد می‌کند که همه موجودات در جهان را می‌توان به اعداد کامل و نسبت‌های آنها تقلیل داد. " کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرض اساسی را که اعداد و اجسام هندسی یکی و جدایی ناپذیر هستند از بین برد.