Сэдвийн танилцуулга: Дериватив. "Үүүсмэл" гэсэн нэр томьёо үүссэн түүх "Өнгөрсөн үеийг мэдэхгүй байж өөрийгөө өнөөгөөр хязгаарлахыг хүссэн хүн үүнийг хэзээ ч ойлгохгүй" Лейбниц Готфрид Фридрих. Цахилгааны инженерийн дериватив

Дериватив ойлголтын түүх

Функц, хил хязгаар, дериватив, интеграл нь ахлах сургуулийн хичээлд судлагдсан математик анализын үндсэн ойлголт юм. Мөн дериватив гэдэг ойлголт нь функцийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой.

"Функц" гэсэн нэр томъёог Германы философич, математикч анх 1692 онд тодорхой муруйн цэгүүдийг холбосон өөр өөр сегментүүдийг тодорхойлохын тулд санал болгосон. Геометрийн дүрслэлтэй холбоогүй болсон функцийн анхны тодорхойлолтыг 1718 онд томъёолжээ. Иоганн Бернуллигийн шавь

1748 онд. функцийн тодорхойлолтыг тодруулсан. Эйлер функцийг илэрхийлэхийн тулд f(x) тэмдгийг нэвтрүүлсэн гэж үздэг.

Функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын нарийн тодорхойлолтыг 1823 онд Францын математикч томъёолжээ. Августин Луис Коши . Функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолтыг Чехийн математикч Бернард Болзано бүр эртнээс томъёолсон. Эдгээр тодорхойлолтуудын дагуу бодит тооны онолын үндсэн дээр математикийн шинжилгээний үндсэн заалтуудыг хатуу нотлох ажлыг гүйцэтгэсэн.

Дифференциал тооцооллын арга барил, үндсийг нээхээс өмнө Францын математикч, хуульч 1629 онд функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох аргуудыг санал болгож, дурын муруй руу шүргэгчийг зурж, үнэн хэрэгтээ тулгуурласан. деривативын хэрэглээ. Үүнийг координатын арга, аналитик геометрийн үндсийг боловсруулсан ажил ч тусалсан. Зөвхөн 1666 онд, дараа нь тэд бие биенээсээ үл хамааран дифференциал тооцооллын онолыг бүтээжээ. Ньютон агшин зуурын хурдны бодлого, , - муруй руу шүргэгч татах геометрийн бодлогыг авч үзсэний үндсэн дээр деривативын тухай ойлголттой болсон. функцын максимум ба минимумын асуудлыг судалсан.

Интегралын тооцоо ба интегралын тухай ойлголт нь хавтгай дүрсүүдийн талбай, дурын биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй юм. Интеграл тооцооллын санаа нь эртний математикчдын бүтээлээс гаралтай. Гэсэн хэдий ч энэ нь хожим 3-р зуунд хэрэглэж байсан Евдоксийн "ядрах арга" -ыг гэрчилдэг. МЭӨ e Энэ аргын мөн чанар нь хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолохын тулд олон өнцөгтийн талуудын тоог нэмэгдүүлэх замаар шаталсан дүрсүүдийн талбайн чиглэсэн хил хязгаарыг олсон явдал юм. Гэсэн хэдий ч зураг бүрийн хувьд хязгаарыг тооцоолох нь тусгай техникийг сонгохоос хамаарна. Мөн тоонуудын талбай, эзлэхүүнийг тооцоолох ерөнхий аргын асуудал шийдэгдээгүй хэвээр байв. Архимед зааг ба интеграл гэсэн ерөнхий ойлголтыг хараахан тодорхой хэрэглээгүй байсан ч эдгээр ойлголтуудыг далд хэлбэрээр ашигласан.

17-р зуунд Гаригуудын хөдөлгөөний хуулиудыг нээсэн , санааг хөгжүүлэх анхны оролдлогыг амжилттай хийсэн. Кеплер дүрс ба биеийг хязгааргүй олон тооны хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд задлах санаан дээр үндэслэн хавтгай дүрсүүдийн талбай ба биеийн эзэлхүүнийг тооцоолсон. Нэмэлт хийсний үр дүнд эдгээр хэсгүүд нь талбай нь мэдэгдэж байгаа дүрсээс бүрдэж, хүссэн талбайн хэмжээг тооцоолох боломжийг олгодог. Математикийн түүхэнд "Кавальерийн зарчим" гэж нэрлэгддэг зүйл орж ирсэн бөгөөд түүний тусламжтайгаар талбай, эзлэхүүнийг тооцоолсон. Энэ зарчмыг дараа нь интеграл тооцооллын тусламжтайгаар онолын хувьд нотолсон.
Бусад эрдэмтдийн санаанууд Ньютон, Лейбниц нар интеграл тооцоог нээсэн суурь болсон. Интеграл тооцооллын хөгжил нэлээд хожуу үргэлжилсэн Пафнутый Львович Чебышев зарим ангиллын иррационал функцуудыг нэгтгэх арга замыг боловсруулсан.

Орчин үеийн интегралыг интеграл нийлбэрийн хязгаар гэж тодорхойлсон нь Кошитай холбоотой юм. Тэмдэг

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл (бүртгэл) үүсгээд https://accounts.google.com руу нэвтэрнэ үү.

Слайдын тайлбар:

Деривативын түүх

"Энэ ертөнц гүн харанхуйд бүрхэгдсэн байв. Гэрэл байх болтугай! Энд Ньютон ирлээ. Яруу найрагч А.Пап ламын эпитаф:

Дериватив үүссэн түүх 12-р зууны төгсгөлд Английн агуу эрдэмтэн Исаак Ньютон зам ба хурд нь V (t) \u003d S '(t) гэсэн томъёогоор хоорондоо холбоотой болохыг нотолсон бөгөөд ийм харилцаа байдаг. Физик, хими, биологи, техникийн шинжлэх ухаан зэрэг судлагдсан хамгийн олон янзын үйл явцын тоон шинж чанаруудын хооронд. Ньютоны энэхүү нээлт нь байгалийн шинжлэх ухааны түүхэн дэх эргэлтийн цэг байв.

Ньютонтой хамт математик анализын үндсэн хуулиудыг нээх нэр төрийн хэрэг нь Германы математикч Готфрид Вильгельм Лейбницийнх юм. Лейбницийн дериватив үүссэн түүх нь дурын муруй руу шүргэгч зурах асуудлыг шийдэж, эдгээр хуулиудад хүрчээ. деривативын геометрийн утгыг томъёолж, холбоо барих цэг дэх деривативын утга нь шүргэгчийн налуу буюу тэнхлэгийн О X эерэг чиглэлтэй шүргэгчийн налуугийн tg байна.

Дериватив ба орчин үеийн тэмдэглэгээ y ' , f ' гэсэн нэр томъёог Ж.Лагранж 1797 онд нэвтрүүлсэн. Дериватив үүссэн түүх

Ирээдүйн мэргэжилд тань дериватив хэрэгтэй юу? Төрөл бүрийн мэргэшлийн төлөөлөгчид бидний цаг үед ийм ажлуудыг шийдвэрлэх ёстой: Процессын инженерүүд үйлдвэрлэлийг аль болох олон бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхээр зохион байгуулахыг хичээдэг; Загвар зохион бүтээгчид сансрын хөлөгт зориулсан багажийг бүтээхийг оролдож байгаа бөгөөд ингэснээр багажийн массыг аль болох бага байлгах; Эдийн засагчид үйлдвэр болон түүхий эдийн эх үүсвэр хоорондын уялдаа холбоог тээврийн зардал хамгийн бага байхаар төлөвлөхийг хичээдэг.

Ажлыг гүйцэтгэсэн: Лысенко Анастасия Посохова Марика Шалнов Денис Струченков Никита Удирдах багш: Новикова Любовь Анатольевна Ашигласан материал: FileLand.RU

Анхаарал тавьсанд баярлалаа!

Сэдэв дээр: арга зүйн боловсруулалт, танилцуулга, тэмдэглэл

"Квадрат тэгшитгэлийн тухай түүхэн мэдээлэл" танилцуулга

Энэхүү танилцуулгад квадрат тэгшитгэлийн тухай сонирхолтой түүхэн мэдээлэл, мөн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх стандарт бус аргуудыг багтаасан болно....

Будсан шилний урлагийн тухай түүхэн мэдээлэл, тэдгээрийн төрлүүд. Интерьер дизайн дахь будсан шилний хэрэглээ

Одоогийн байдлаар будсан шил нь шинэ амьдралыг олсон: олон нийтийн барилга байгууламжийг (цонх, хаалга, дотоод хуваалт) чимэглэж, гадаад төрхийг нь өөрчилдөг. ОХУ-д будсан цонхнууд улам бүр загварлаг болж байна. Чимэглэлийн онцлог...

Хичээлээс гадуурх энэхүү арга хэмжээ нь сурагчдын оюун ухааныг хөгжүүлэх, математикийн сонирхлыг бий болгоход хувь нэмэр оруулдаг....

Цэг дэх функцийн дериватив нь дифференциал тооцооллын үндсэн ойлголт юм. Энэ нь заасан цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Дериватив нь математик, физик болон бусад шинжлэх ухааны хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд, ялангуяа янз бүрийн процессын хурдыг судлахад өргөн хэрэглэгддэг.

Үндсэн тодорхойлолтууд

Дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаартай тэнцүү бөгөөд сүүлийнх нь тэг байх хандлагатай байна.

$y^(\prime)\left(x_(0)\баруун)=\lim _(\Delta x \баруун сум 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Тодорхойлолт

Хэзээ нэгэн цагт төгсгөлөг деривативтай функцийг дуудна тухайн цэг дээр ялгах боломжтой. Деривативыг тооцоолох үйл явц гэж нэрлэдэг функцын ялгаа.

Түүхийн лавлагаа

"Функцийн дериватив" гэсэн орос хэллэгийг анх Оросын математикч В.И. Висковатов (1780 - 1812).

Грекийн $\Delta$ (дельта) үсэг бүхий өсөлтийн (аргумент/функц) тэмдэглэгээг анх Швейцарийн математикч, механикч Иоганн Бернулли (1667 - 1748) ашигласан. Дифференциал буюу $d x$ деривативын тэмдэглэгээг Германы математикч Г.В. Лейбниц (1646 - 1716). $\dot(x)$ үсгийн дээгүүр цэг тавьж цаг хугацааны деривативыг тэмдэглэх арга нь Английн математикч, механик, физикч Исаак Ньютон (1642 - 1727)-аас гаралтай. Цус харвалт бүхий деривативын товч тэмдэглэгээ - $f^(\prime)(x)$ - Францын математикч, одон орон судлаач, механикч Ж.Л. Лагранж (1736 - 1813), 1797 онд танилцуулсан. $\frac(\partial)(\partial x)$ хэсэгчилсэн дериватив тэмдгийг Германы математикч Карл Г.Я өөрийн бүтээлүүдэд идэвхтэй ашигласан. Якоби (1805 - 1051), дараа нь Германы нэрт математикч Карл Т.В. Weierstrass (1815 - 1897), хэдийгээр энэ тэмдэглэгээг Францын математикч А.М. Лежендре (1752 - 1833). Дифференциал операторын тэмдэг $\nabla$-ийг Ирландын нэрт математикч, механик, физикч В.Р. Хэмилтон (1805 - 1865) 1853 онд, "набла" нэрийг 1892 онд Английн бие даасан эрдэмтэн, инженер, математикч, физикч Оливер Хевисайд (1850 - 1925) санал болгосон.

Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt="(!LANG: Сэдвийн танилцуулга: Дериватив. 11 "а" ангийн сурагчид бөглөсөн: Челобитчикова Мар" title="Сэдвийн танилцуулга: Дериватив. 11 "а" ангийн сурагчид дүүргэсэн: Челобитчикова Мар">!}

Слайдын тайлбар:

слайдын дугаар 2

Слайдын тайлбар:

слайдын дугаар 3

Слайдын тайлбар:

Түүхээс: Математикийн түүхэнд математикийн мэдлэгийг хөгжүүлэх хэд хэдэн үе шатыг уламжлал ёсоор ялгадаг: Геометрийн дүрс ба тооны тухай ойлголтыг бодит объект, нэгэн төрлийн объектуудын багцыг идеализаци болгон бий болгох. Өөр өөр тоо, урт, талбай, эзэлхүүнийг харьцуулах боломжтой тоолох, хэмжих хэрэгсэл бий болсон. Арифметик үйлдлийн шинэ бүтээл. Арифметик үйлдлийн шинж чанарууд, энгийн дүрс, биетүүдийн талбай, эзэлхүүнийг хэмжих аргуудын талаархи мэдлэгийг эмпирик байдлаар (туршилт, алдаа) хуримтлуулах. Эртний Сумеро-Вавилон, Хятад, Энэтхэгийн математикчид энэ чиглэлд нэлээд урагшилжээ. Эртний Грекд одоо байгаа үнэний үндсэн дээр математикийн шинэ үнэнийг хэрхэн олж авахыг харуулсан дедуктив математикийн систем гарч ирэв. Эртний Грекийн математикийн титэм ололт нь хоёр мянган жилийн турш математикийн хатуу байдлын стандартын үүрэг гүйцэтгэсэн Евклидийн элементүүд байв. Исламын орнуудын математикчид эртний ололт амжилтыг хадгалаад зогсохгүй тооны онолын хувьд Грекчүүдээс илүү ахисан Энэтхэгийн математикчдын нээлттэй нэгтгэж чадсан юм. XVI-XVIII зуунд Европын математик дахин төрж, хол урагшилсаар байна. Энэ үеийн үзэл баримтлалын үндэс нь математик загварууд нь орчлон ертөнцийн нэг төрлийн хамгийн тохиромжтой араг яс юм гэсэн итгэл үнэмшил байсан тул математикийн үнэнийг нээх нь бодит ертөнцийн шинэ шинж чанарыг нээх явдал юм. Энэ зам дахь гол амжилт нь хамаарал (функц) ба хурдасгасан хөдөлгөөний (хязгааргүй жижиг тоонуудын шинжилгээ) математик загваруудыг боловсруулах явдал байв. Байгалийн бүх шинжлэх ухааныг шинээр нээсэн математик загварууд дээр үндэслэн сэргээн босгосон нь тэдний асар том дэвшилд хүргэсэн. 19-20-р зуунд математик ба бодит байдлын хоорондын хамаарал өмнөх шигээ энгийн байхаас хол байгаа нь тодорхой болсон. "Байгалийн шинжлэх ухаанд математикийн үл ойлгогдох үр нөлөө" -ийн шалтгааныг олох гэсэн "математикийн философийн үндсэн асуулт" -д нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хариулт байдаггүй. Зөвхөн энэ тал дээр төдийгүй математикчид олон мэтгэлцээний сургуульд хуваагдсан. Хэт нарийн мэргэшил, практик асуудлаас тусгаарлах гэх мэт хэд хэдэн аюултай чиг хандлага бий болсон. Үүний зэрэгцээ математикийн хүч чадал, түүний хэрэглээний үр нөлөөгөөр дэмжигдсэн нэр хүнд нь урьд өмнө байгаагүй өндөр болсон.

слайдын дугаар 4

Слайдын тайлбар:

слайдын дугаар 5

Слайдын тайлбар:

Ялгарах чадвар x0 цэг дээрх f функцийн f "(x0) үүсмэл нь хязгаар байх тул байхгүй эсвэл оршихгүй, хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй байж болно. f функц нь зөвхөн энэ цэг дэх дериватив нь x0 цэг дээр дифференциал болно. байдаг ба төгсгөлтэй: U(x0) хөршийн x0-д дифференциалагдах f функцийн хувьд f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0) дүрслэлийг хангана.

слайдын дугаар 6

Слайдын тайлбар:

Тайлбар Δx = x − x0-ийг функцийн аргументын өсөлт, Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)-ийг x0 цэг дээрх функцийн утгын өсөлт гэж нэрлэе. Дараа нь функцийг цэг бүрт төгсгөлтэй деривативтэй болго. Дараа нь үүсмэл функц тодорхойлогдоно. Нэг цэг дээр төгсгөлтэй деривативтай функц нь тасралтгүй байна. Урвуу нь үргэлж үнэн байдаггүй. Хэрэв дериватив функц нь өөрөө тасралтгүй байвал f функцийг тасралтгүй дифференциал гэж нэрлэх ба дараах байдлаар бичнэ.

слайдын дугаар 7

Слайдын тайлбар:

Деривативын геометрийн болон физикийн утга Деривативын геометрийн утга. Функцийн график дээр абсцисса х0-г сонгож, харгалзах ординат f(x0)-г тооцоолно. x0 цэгийн ойролцоо дурын х цэгийг сонгоно. F функцийн график дээрх харгалзах цэгүүдээр секант зурсан (эхний цайвар саарал шугам C5). Δx = x - x0 зай нь тэг болох хандлагатай байдаг тул секант нь шүргэгч болдог (C5 - C1 шугамыг аажмаар харанхуйлдаг). Энэ шүргэлтийн α налуу өнцгийн тангенс нь x0 цэгийн дериватив юм.

слайдын дугаар 8

Слайдын тайлбар:

Дээд эрэмбийн дериватив Дурын эрэмбийн деривативын тухай ойлголтыг рекурсив байдлаар өгсөн болно. Бид тогтоосон Хэрэв f функц нь x0 дээр дифференциалагдах боломжтой бол нэгдүгээр эрэмбийн дериватив нь хамаарлаар өгөгдөнө. Дараа нь

слайдын дугаар 9

Слайдын тайлбар:

Дериватив бичих арга Зорилго, хамрах хүрээ, ашигласан математикийн хэрэглүүрээс хамааран дериватив бичих янз бүрийн аргыг ашигладаг. Тиймээс, n-р эрэмбийн деривативыг тэмдэглэгээнд бичиж болно: Лагранж f (n) (x0), харин жижиг n анхны тоо ба Ромын тоог ихэвчлэн ашигладаг: f (1) (x0) \u003d f "(x0) \u003d fI ( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f( 4)(x0 ) = fIV(x0) гэх мэт.Лагранж). Үүсмэлийн дарааллыг функц дээрх цэгийн тоогоор илэрхийлнэ, жишээлбэл: - t = t0 дахь t-тэй харьцах х-ийн 1-р эрэмбийн дериватив, эсвэл - x0 цэгийн х-тэй харьцах f-ийн хоёр дахь дериватив. , гэх мэт Эйлер дифференциал операторыг ашиглан (харгалзах функцийн орон зайг нэвтрүүлээгүй байхад дифференциал илэрхийлэл), тиймээс функциональ шинжилгээтэй холбоотой асуудалд тохиромжтой: Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь бүгд тодорхойлоход үйлчилдэг гэдгийг мартаж болохгүй. ижил объектууд:

слайдын дугаар 10

Слайдын тайлбар:

Жишээ нь: f(x) = x2 гэж үзье. Дараа нь f(x) = | байг x | . Хэрэв f "(x0) = sgnx0, энд sgn нь тэмдгийн функцийг илэрхийлнэ. Хэрэв x0 = 0 бол f" (x0) байхгүй болно.

слайдын дугаар 11

Слайдын тайлбар:

Ялгах дүрэм Дериватив олох үйлдлийг дифференциал гэдэг. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэвчлэн координатууд, нийлбэрүүд, функцүүдийн бүтээгдэхүүнүүд, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. (нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү) (ялангуяа функц ба тогтмолын үржвэрийн дериватив нь энэ функцийн деривативын үржвэртэй тогтмол тэнцүү байна гэсэн үг) Хэрэв функцийг параметрээр өгвөл: