Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэл хувиргах, жишээ, шийдэл. Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хувиргах: жишээ, шийдэл Логарифмын илэрхийлэл шийдлийн жишээ

Бодлого В7 нь хялбарчлах шаардлагатай илэрхийлэлийг өгдөг. Үр дүн нь хариултын хуудсан дээр бичиж болох ердийн тоо байх ёстой. Бүх илэрхийлэлийг нөхцөлт байдлаар гурван төрөлд хуваадаг.

логарифм,
Жагсаал,
Нэгтгэсэн.

Экспоненциал ба логарифм илэрхийлэл нь цэвэр хэлбэрээр бараг хэзээ ч олддоггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг хэрхэн тооцож байгааг мэдэх нь чухал юм.

Ерөнхийдөө В7 асуудлыг маш энгийнээр шийдсэн бөгөөд дундаж төгсөгчдийн бүрэн эрхэд багтдаг. Тодорхой алгоритмын дутагдал нь стандарт, жигд байдлаараа нөхөгддөг. Та маш олон сургалтанд хамрагдсанаар ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой.

Логарифм илэрхийллүүд

В7 бодлогуудын дийлэнх нь нэг хэлбэрээр логарифм агуулдаг. Энэ сэдвийг ихэвчлэн 11-р ангид - төгсөлтийн шалгалтанд бэлтгэх эрин үед судалдаг тул хэцүү гэж үздэг. Үүний үр дүнд олон төгсөгчид логарифмын талаар маш тодорхойгүй ойлголттой байдаг.

Гэхдээ энэ даалгаварт хэн ч онолын гүнзгий мэдлэг шаарддаггүй. Бид зөвхөн шууд үндэслэл шаарддаг, бие даан эзэмшиж болох хамгийн энгийн хэллэгтэй танилцах болно. Логарифмтай харьцахын тулд мэдэх шаардлагатай үндсэн томъёог доор харуулав.

Нэмж дурдахад, үндэс ба бутархайг оновчтой илтгэгчээр орлуулах чадвартай байх ёстой, эс тэгвээс зарим илэрхийлэлд логарифмын тэмдгийн доор авах зүйл байхгүй болно. Орлуулах томъёо:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг олох:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Эхний хоёр илэрхийлэлийг логарифмын зөрүү болгон хувиргана.
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

Гурав дахь илэрхийллийг тооцоолохын тулд та суурь болон аргумент дахь градусыг сонгох хэрэгтэй болно. Эхлээд дотоод логарифмийг олъё:

Дараа нь - гадаад:

Лог a log b x гэх мэт бүтээн байгуулалтууд нь олон хүнд төвөгтэй бөгөөд буруу ойлгогддог. Үүний зэрэгцээ, энэ нь зөвхөн логарифмын логарифм юм, өөрөөр хэлбэл. log a (лог b x ). Эхлээд дотоод логарифмыг тооцоолно (лог b x = c ), дараа нь гаднах нь: log a c .

экспоненциал илэрхийллүүд

a, k тоонууд нь дурын тогтмолууд ба a > 0 хэлбэрийн a k хэлбэрийн аливаа бүтээцийг бид экспоненциал илэрхийлэл гэж нэрлэнэ. Ийм илэрхийлэлтэй ажиллах арга нь маш энгийн бөгөөд 8-р ангийн алгебрийн хичээлд авч үздэг.

Таны мэдэх ёстой үндсэн томъёог доор харуулав. Эдгээр томъёог практикт хэрэглэх нь дүрмээр бол асуудал үүсгэдэггүй.

a n a m = a n + m ;
a n / a m = a n - m ;
(a n ) m = a n m ;
(a b) n = a n b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

Хэрэв эрх мэдэл бүхий нарийн төвөгтэй илэрхийлэл тулгарвал түүнд хэрхэн хандах нь тодорхойгүй байвал бүх нийтийн арга техникийг ашигладаг - үндсэн хүчин зүйл болгон задлах. Үүний үр дүнд градусын суурь дахь олон тоо нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой элементүүдээр солигддог. Дараа нь дээрх томъёог ашиглахад л үлддэг бөгөөд асуудал шийдэгдэх болно.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Шийдэл. Бид эрх мэдлийн бүх суурийг үндсэн хүчин зүйл болгон задалдаг.
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Хосолсон даалгавар

Хэрэв та томьёо мэддэг бол бүх экспоненциал болон логарифм илэрхийлэлүүдийг нэг мөрөнд шууд утгаараа шийддэг. Гэсэн хэдий ч В7 асуудалд хүч болон логарифмуудыг нэгтгэж нэлээд хүчтэй хослол үүсгэж болно.

Хэсэгүүд: Математик

Хичээлийн төрөл:мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх хичээл

Зорилго:

Ерөнхий давталт, шалгалтанд бэлтгэх ажлын хүрээнд оюутнуудын логарифм, тэдгээрийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг шинэчлэх;
оюутнуудын сэтгэцийн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх, дасгал хийхдээ онолын мэдлэгийг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
оюутнуудын хувийн шинж чанар, өөрийгөө хянах чадвар, тэдний үйл ажиллагааг өөрийгөө үнэлэх чадварыг хөгжүүлэх; хичээл зүтгэл, тэвчээр, тэсвэр тэвчээр, бие даасан байдлыг төлөвшүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:компьютер, проектор, танилцуулга (Хавсралт 1), гэрийн даалгавар бүхий картууд (та цахим өдрийн тэмдэглэлд даалгавар бүхий файлыг хавсаргаж болно).

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч. Сайн байна уу, хичээлдээ бэлдээрэй.

II. Гэрийн даалгаврын хэлэлцүүлэг.

III. Хичээлийн сэдэв, зорилгын талаархи мессеж. Урам зориг.(Слайд 1) Үзүүлэн.

Шалгалтанд бэлтгэхийн тулд бид математикийн хичээлийн ерөнхий давталтыг үргэлжлүүлж байна. Өнөөдөр хичээл дээр бид логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Логарифмыг тооцоолох, логарифмын илэрхийллийг хувиргах даалгаврууд нь үндсэн болон профилын түвшний хяналт, хэмжилтийн материалд заавал байх ёстой. Тиймээс бидний хичээлийн зорилго бол "логарифм" гэсэн ойлголтын утгын талаархи санаа бодлыг сэргээх, логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх ур чадварыг шинэчлэх явдал юм. Хичээлийн сэдвийг дэвтэртээ бичээрэй.

IV. Мэдлэгийн шинэчлэл.

1. /амаар/Эхлээд логарифм гэж юу байдгийг санацгаая. (Слайд 2)

(а суурьтай эерэг b тооны логарифм (а > 0, a? 1) нь b тоог авахын тулд a тоог өсгөх шаардлагатай илтгэгч юм)

Лог a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Тэгэхээр "LOGARIFM" бол "ЭКСПОНЕНТ" юм!

(Слайд 3) Дараа нь a n = b гэж дахин бичиж болно = b нь үндсэн логарифмын таних тэмдэг юм.

Хэрэв суурь нь a \u003d 10 бол логарифмыг аравтын бутархай гэж нэрлэдэг бөгөөд lgb гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв a \u003d e бол логарифмыг натурал гэж нэрлээд lnb гэж тэмдэглэнэ.

2. /Бичгээр/ (Слайд 4)Зөв тэгш байдлыг авахын тулд хоосон зайг бөглөнө үү:

бүртгэл? x + Бүртгүүлэх үү? = Бүртгэл? (?y)

бүртгэлийн а? - Бүртгэл? y = Бүртгэл? (x/?)

Бүртгэл х? = pLog? (?)

Шалгалт:

нэг; нэг; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Эдгээр нь логарифмын шинж чанарууд юм. Мөн өөр нэг бүлэг өмч: (Слайд 5)

Шалгалт:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Аман ажил

(Слайд 6) №1. Тооцоолох:

a B C D) ; e) .

Хариултууд : a) 4; б) - 2; 2-д; d) 7; e) 27.

(Слайд 7) №2. X олох:

гэхдээ); б) (Хариулт: a) 1/4; б) 9).

№3. Ийм логарифмийг авч үзэх нь утга учиртай юу:

гэхдээ); б) ; онд)? (Үгүй)

VI. Бүлэгт бие даасан ажил, хүчирхэг оюутнууд - зөвлөхүүд. (Слайд 8)

№1 Тооцоолох: .

№2 Хялбарчил:

No 3. If илэрхийллийн утгыг ол

#4 Илэрхийллийг хялбарчлах:

№5 Тооцоолох:

№6 Тооцоолох:

№7 Тооцоолох:

№8 Тооцоолох:

Дууссаны дараа - бэлтгэсэн шийдэл эсвэл баримт бичгийн камерын тусламжтайгаар баталгаажуулах, хэлэлцэх.

VII. Нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх ажлыг шийдвэрлэх(хүчтэй сурагч самбар дээр, бусад нь дэвтэрт байдаг) (Слайд 9)

Илэрхийллийн утгыг ол:

VIII. Гэрийн даалгавар (карт дээр) ялгаатай байна.(Слайд 10)

№1. Тооцоолох:

№2. Илэрхийллийн утгыг ол:

Ф.Ф.Лысенко болон бусад.Математик. 10-11-р ангийн сэдэвчилсэн тестүүд. 1-р хэсэг / Ростов-на-Дону: "Легион", 2008 он

В.В.Кочагин эрчимжүүлсэн сургалт. Математикийг ашиглах. / М: “Эксмо”, 2008 он

ИНТЕРНЭТ НӨӨЦ:

Л.В.Артамонова, Москаленскийн лицей сургуулийн математикийн багш "Логарифмын оронд" илтгэл
А.А.Кукшева, "Егорьевская дунд сургууль" Санамж бичиг "Логарифм ба тэдгээрийн шинж чанарууд" танилцуулга

Даалгаварууд, тэдгээрийн шийдэл нь логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх, шалгалтанд ихэвчлэн олддог.

Тэдгээрийг хамгийн бага цаг зарцуулж амжилттай даван туулахын тулд үндсэн логарифмын таних тэмдгүүдээс гадна хэд хэдэн томъёог мэдэж, зөв ашиглах шаардлагатай.

Энэ нь: a log a b = b, энд a, b > 0, a ≠ 1 (Энэ нь логарифмын тодорхойлолтоос шууд гардаг).

log a b = log c b / log c a эсвэл log a b = 1/log b a
a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |б|
Үүнд a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
Үүнд a, b, c > 0 ба a, b, c ≠ 1 байна

Дөрөв дэх тэгш байдлын үнэн зөвийг харуулахын тулд бид а суурийн зүүн ба баруун талын логарифмыг авна. Бид log a (a log c b) = log a (b log c a) эсвэл log c b = log c a log a b; log c b = log c a (лог c b / log c a); b-тэй лог = b-тэй лог.

Бид логарифмын тэгш байдлыг нотолсон бөгөөд энэ нь логарифмын доорх илэрхийллүүд мөн адил тэнцүү гэсэн үг юм. Формула 4 батлагдсан.

Жишээ 1

81 лог 27 5 log 5 4-ийг тооцоол.

Шийдэл.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Тиймээс,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (лог 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Дараа нь 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Та дараах даалгаврыг өөрөө хийж болно.

Тооцоолох (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.

Сануулахад 0.2 = 1/5 = 5 -1; бүртгэл 0.2 5 = -1.

Хариулт: 5.

Жишээ 2

Тооцоолох (√11) бүртгэл √3 9 бүртгэл 121 81 .

Шийдэл.

Илэрхийлэлүүдийг орлъё: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, бүртгэл 121 81 = 2 бүртгэл 11 3 (Формула 3 ашигласан).

Дараа нь (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 бүртгэл 11 3) = 121/3.

Жишээ 3

Лог 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2-ыг тооцоол.

Шийдэл.

Бид жишээнд байгаа логарифмуудыг 2 суурьтай логарифмуудаар солих болно.

log 96 2 = 1/лог 2 96 = 1/лог 2 (2 5 3) = 1/(лог 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (лог 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (лог 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(лог 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Дараа нь лог 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/() 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог багасгасны дараа бид 3-ын тоог авна.(Илэрхийлэлийг хялбарчлахдаа log 2 3-ыг n-ээр тэмдэглэж, илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой.

(3 + n) (5 + n) – (6 + n) (2 + n)).

Хариулт: 3.

Та дараахь зүйлийг бие даан хийж болно.

Тооцоолох (лог 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Энд 3-р суурь дахь логарифм руу шилжиж, олон тооны анхны хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай.

Хариулт: 1/2

Жишээ 4

Гурван тоо өгөгдсөн A \u003d 1 / (лог 3 0.5), B \u003d 1 / (лог 0.5 3), C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. Тэднийг өсөх дарааллаар байрлуул.

Шийдэл.

A \u003d 1 / (лог 3 0.5) \u003d log 0.5 3 тоонуудыг хувиргацгаая; C \u003d лог 0.5 12 - бүртгэл 0.5 3 \u003d бүртгэл 0.5 12/3 \u003d бүртгэл 0.5 4 \u003d -2.

Тэднийг харьцуулж үзье

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 ба log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Эсвэл 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Хариулах. Тиймээс тоонуудыг байрлуулах дараалал: C; ГЭХДЭЭ; IN.

Жишээ 5

Интервалд хэдэн бүхэл тоо байна (лог 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Шийдэл.

1/16 тоо нь 3-ын тооны аль хүчний хооронд болохыг тодорхойлъё. Бид 1/27 авдаг< 1 / 16 < 1 / 9 .

y \u003d log 3 x функц нэмэгдэж байгаа тул log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Бүртгэл 6 (4/3) ба 1/5-ийг харьцуул. Үүний тулд бид 4/3 ба 6 1/5 тоонуудыг харьцуулж үздэг. Хоёр тоог 5-р зэрэглэл хүртэл өсгө. Бид (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243 болно.< 6. Следовательно,

бүртгэл 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Тиймээс интервал (лог 3 1 / 16 ; log 6 48) нь интервалыг [-2; 4] ба бүхэл тоонууд дээр -2 байрлана; - нэг; 0; нэг; 2; 3; 4.

Хариулт: 7 бүхэл тоо.

Жишээ 6

3 lglg 2/ lg 3 - lg20-ийг тооцоол.

Шийдэл.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Дараа нь 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

Хариулт: -1.

Жишээ 7

Лог 2 (√3 + 1) + лог 2 (√6 - 2) = A. Бүртгэл 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2) -ийг олоорой.

Шийдэл.

Тоонууд (√3 + 1) ба (√3 - 1); (√6 - 2) ба (√6 + 2) нь коньюгат байна.

Дараахь илэрхийллийн хувиргалтыг хийцгээе

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Дараа нь log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Бүртгэл 2 2 – бүртгэл 2 (√3 + 1) + бүртгэл 2 2 – бүртгэл 2 (√6 – 2) = 1 – бүртгэл 2 (√3 + 1) + 1 – бүртгэл 2 (√6 – 2) =

2 - бүртгэл 2 (√3 + 1) - бүртгэл 2 (√6 - 2) = 2 - А.

Хариулт: 2 - А.

Жишээ 8.

Илэрхийллийн ойролцоо утгыг хялбарчилж олоорой (лог 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Шийдэл.

Бид бүх логарифмуудыг 10-ын нийтлэг суурь болгон бууруулна.

(лог 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (лог 2 / log 3) (лог 3 / log 4) (лог 4 / log 5) (лог 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0.3010. (lg 2-ийн ойролцоо утгыг хүснэгт, слайд дүрэм эсвэл тооцоолуур ашиглан олж болно).

Хариулт: 0.3010.

Жишээ 9.

log √ a b 3 = 1 бол log a 2 b 3 √(a 11 b -3)-ийг тооцоол. (Энэ жишээнд a 2 b 3 нь логарифмын суурь болно).

Шийдэл.

Хэрэв log √ a b 3 = 1 бол 3/(0.5 log a b = 1. Мөн log a b = 1/6 болно.

Дараа нь log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log aa 11 + log ab -3) / (2(log aa 2 + log ab 3)) = (11 - 3log ab) / (2(2 + 3log ab)) гэсэн log ба b = 1/6 бид (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1-ийг авна.

Хариулт: 2.1.

Та дараахь зүйлийг бие даан хийж болно.

log 0.7 27 = a бол log √3 6 √2.1-ийг тооцоол.

Хариулт: (3 + а) / (3а).

Жишээ 10

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125-ыг тооцоол.

Шийдэл.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 бүртгэл 13 3 = 3 бүртгэл 13 2 (томьёо 4))

Бид 9 + 6 = 15 авна.

Хариулт: 15.

Танд асуух зүйл байна уу? Логарифм илэрхийллийн утгыг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

сайт, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулсан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Одоо бид логарифм агуулсан илэрхийллийн хувиргалтыг ерөнхий үүднээс авч үзэх болно. Энд бид зөвхөн логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн хувиргалтыг шинжлэх болно, гэхдээ бид зөвхөн логарифм төдийгүй хүч, бутархай, үндэс гэх мэтийг агуулсан ерөнхий логарифм бүхий илэрхийллийн хувиргалтыг авч үзэх болно. Ердийнх шигээ бид бүх материалыг шийдлийн нарийвчилсан тайлбар бүхий онцлог жишээнүүдээр хангах болно.

Хуудасны навигаци.

Логарифм ба логарифм илэрхийлэл бүхий илэрхийлэл

Бутархайтай үйлдэл хийх

Өмнөх догол мөрөнд бид логарифм агуулсан бие даасан бутархайгаар хийгдсэн үндсэн хувиргалтыг шинжилсэн. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хувиргалтыг илүү төвөгтэй илэрхийлэлд багтдаг, жишээлбэл, ижил төстэй бутархайнуудын нийлбэр, ялгавар, үржвэр, коэффициентийг төлөөлдөг бие даасан бутархай тус бүрээр хийж болно. Гэхдээ бие даасан бутархайтай ажиллахаас гадна энэ төрлийн илэрхийлэлийг хувиргах нь ихэвчлэн бутархайтай тохирох үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг. Дараа нь бид эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмийг авч үзэх болно.

5-6-р ангиасаа бид ямар дүрмийг мэддэг. Нийтлэлд бутархайтай үйлдлийн ерөнхий дүр төрхБид эдгээр дүрмийг энгийн бутархайгаас ерөнхий хэлбэрийн A/B бутархай болгон өргөтгөсөн ба энд А ба В нь зарим тоон, үгийн утга эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл, харин В нь тэгээс ялгаатай. Логарифм бүхий бутархай нь ерөнхий бутархайн онцгой тохиолдол болох нь ойлгомжтой. Үүнтэй холбогдуулан бүртгэлдээ логарифм агуулсан бутархай үйлдэл нь ижил дүрмийн дагуу хийгддэг нь тодорхой байна. Тухайлбал:

Ижил хуваагчтай хоёр бутархайг нэмэх, хасахын тулд тоологчийг зохих ёсоор нэмж, хасах ба хуваагчийг хэвээр үлдээнэ.
Өөр өөр хуваагчтай хоёр бутархайг нэмэх, хасахын тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, өмнөх дүрмийн дагуу зохих үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.
Хоёр бутархайг үржүүлэхийн тулд хуваагч нь анхны бутархайн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох бутархайг бичих хэрэгтэй.
Бутархайг бутархайд хуваахын тулд хуваагдах бутархайг хуваагчийн эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл хуваагч ба хуваагчийг дахин байрлуулсан бутархайгаар үржүүлэх шаардлагатай.

Логарифм агуулсан бутархайтай үйлдэл хийх зарим жишээ энд байна.

Жишээ.

Логарифм агуулсан бутархайтай үйлдлийг гүйцэтгэнэ: a), b) , дотор) , G) .

Шийдэл.

a) Нэмсэн бутархайн хуваагч нь мэдээж ижил байна. Тиймээс ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрмийн дагуу бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг ижил хэвээр үлдээнэ. .

б) Энд хуваагч өөр байна. Тиймээс эхлээд танд хэрэгтэй бутархайг ижил хуваагч руу авчрах. Манай тохиолдолд хуваагчийг аль хэдийн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулсан бөгөөд эхний бутархайн хуваагчийг авч, хоёр дахь бутархайн хуваагчаас дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх нь бидэнд үлддэг. Тиймээс бид хэлбэрийн нийтлэг хуваагчийг олж авдаг . Энэ тохиолдолд хасагдсан бутархайг логарифмын хэлбэрээр нэмэлт хүчин зүйл болон x 2 ·(x+1) илэрхийлэл ашиглан нийтлэг хуваагч болгон бууруулна. Үүний дараа ижил хуваагчтай бутархайг хасах нь хэцүү биш юм.

Тиймээс шийдэл нь:

в) Бутархайг үржүүлсний үр дүн нь бутархай, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох нь мэдэгдэж байна.

Энэ нь боломжтой гэдгийг харахад хялбар байдаг фракцын бууралтхоёр болон аравтын логарифмын үр дүнд бид байна .

г) Бутархай хуваагчийг эсрэгээр нь сольж, бутархай хуваахаас үржүүлэх рүү шилждэг. Тэгэхээр

Үүссэн бутархайн тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно , үүнээс тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл тодорхой харагдаж байна - х хүчин зүйл, та түүгээр бутархайг багасгаж болно.

Хариулт:

а), б) , дотор) , G) .

Бутархай үйлдэл нь үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг харгалзан гүйцэтгэнэ гэдгийг санах нь зүйтэй: эхлээд үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах, хэрэв хаалт байгаа бол хаалтанд хийх үйлдлийг эхлээд хийнэ.

Жишээ.

Бутархайтай үйлдэл хийх .

Шийдэл.

Нэгдүгээрт, бид хаалтанд бутархай нэмэх ажлыг хийж, дараа нь үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ.

Хариулт:

Энэ мөчид гурван тодорхой, гэхдээ нэгэн зэрэг чухал зүйлийг чангаар хэлэх хэвээр байна.

Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хөрвүүлэх

Ихэнх тохиолдолд логарифм бүхий илэрхийлэлийг хувиргах нь логарифмын тодорхойлолтыг илэрхийлсэн таних тэмдгийг ашиглах явдал юм. Жишээлбэл, a log ab =b , a>0 , a≠1 , b>0 гэсэн үндсэн логарифмын ижилслийг дурдахад бид x−5 log 5 7 илэрхийлэлийг x−7 хэлбэрээр, мөн дараах руу шилжих томъёог илэрхийлж болно. бүртгэлийн шинэ суурь , a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 нь илэрхийллээс 1−lnx ялгаа руу шилжих боломжтой болгодог.

Үндэс, хүч, тригонометрийн таних тэмдэг гэх мэт шинж чанаруудын хэрэглээ.

Логарифм бүхий илэрхийллүүд нь логарифмуудаас гадна бараг үргэлж хүч, үндэс, тригонометрийн функц гэх мэтийг агуулдаг. Ийм илэрхийлэлийг хувиргахын тулд логарифмын шинж чанаруудын зэрэгцээ хүч, үндэс гэх мэт шинж чанарууд шаардлагатай байж болох нь ойлгомжтой. Бид шинж чанаруудын блок тус бүрийг илэрхийлэл хувиргахад ашиглахад тусад нь дүн шинжилгээ хийсэн бөгөөд холбогдох нийтлэлүүдийн холбоосыг сайтын www.site илэрхийлэл, тэдгээрийн хувиргалт хэсгээс олж болно. Энд бид шинж чанаруудыг логарифмтай хослуулан ашиглах хэд хэдэн жишээний шийдлийг харуулах болно.

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Эхлээд үндэстэй илэрхийллийг хувиргацгаая. Анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагч x дээр (бидний тохиолдолд эерэг бодит тоонуудын багц юм) та үндсээс бутархай илтгэгчтэй зэрэглэл рүү шилжиж, дараа нь ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх шинж чанарыг ашиглаж болно. . Энэ замаар,

Одоо бид тоологчийг хэлбэрээр илэрхийлж байна (энэ нь бидэнд градусын шинж чанарыг хийх боломжийг олгодог, хэрэв шаардлагатай бол градусын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн хувиргалтыг, мөн тооны дүрслэлийг харна уу, энэ нь тоонуудын квадратуудын нийлбэрийг орлуулах боломжийг олгодог. Нэгтэй ижил аргументийн синус ба косинус.Тиймээс бид логарифмын тэмдгийн доорх нэгжийг авна.А, Та бүхний мэдэж байгаагаар нэгдлийн логарифм тэгтэй тэнцүү байна.

Хийсэн өөрчлөлтүүдийг бичье:

Шоо дахь тэг нь тэг тул бид илэрхийлэл рүү очно .

Тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш (манай тохиолдолд энэ нь үнэн, учир нь натурал логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллийн утга нэгээс ялгаатай гэдгийг зөвтгөхөд хялбар байдаг) бутархай тэгтэй тэнцүү байна. . Энэ замаар,

Цаашдын хувиргалтыг сөрөг тооноос сондгой зэрэглэлийн үндсийг тодорхойлох үндсэн дээр гүйцэтгэнэ. .

2 15 нь эерэг тоо тул бид үндэсийн шинж чанарыг ашиглаж болох бөгөөд энэ нь эцсийн үр дүнд хүргэдэг. .

Хариулт:

үндсэн шинж чанарууд.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ижил үндэслэл

log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргументад зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
гэхдээ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тооны адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмын суурь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашиглана:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, хяналт шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй тэнцүү болохыг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томьёо. Логарифм бол шийдлийн жишээ юм.

Тэд тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч ижил тоотой байна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваагч дээр үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмуудыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг солих боломжтой боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс өөр шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайвнаар үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг олов.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болно. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Үнэхээр b тоог энэ зэрэгт байгаа b тоо нь а тоог өгөх хэмжээнд хүртэл өсгөвөл юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүмүүс үүн дээр "өлгөх" болно.

Шинэ суурь хөрвүүлэх томьёотой адил үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанарууд гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

logaa = 1 байна. Нэгэнт санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

b тооны логарифм нь а суурь нь илэрхийлэлийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал үнэн болох x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Дээр дурдсан шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай, учир нь тэдгээрийн үндсэн дээр бараг бүх асуудал, жишээг логарифм дээр үндэслэн шийддэг. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог тооцоолохдоо (3.4) ихэвчлэн тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр талтай байдаг.
Аравтын суурь логарифмыг ихэвчлэн арван суурь логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бүртгэлд үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс харагдаж байна. Жишээлбэл

Натурал логарифм нь үндэс нь экспонент (ln(x) гэж тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр логарифм нь бас нэг чухал суурь юм

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл буюу эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Дээрх материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын бодлогыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг өөртөө шингээхийн тулд би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр, их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
гэхдээ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгавартай шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

Хэд хэдэн дүрмийг ашиглан төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэлбэрт хялбаршуулсан болно

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид 5 ба 13-р шинж чанаруудыг сүүлийн үе хүртэл хэрэглэнэ

Тэмдэглэлд орлуулж, эмгэнэл илэрхийл

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Нөхцөлүүдийн нийлбэрээр логарифм бичихийн тулд хувьсагчийн логарифмыг авна

Энэ бол логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг танд удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаархи мэдлэгийг өргөжүүлэх болно ...

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмын суурь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашиглана:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргументад зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Тэд тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Шинэ суурь руу шилжих

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

logaa = 1 байна. Нэгэнт санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.