Нарийн төвөгтэй тоо

Төсөөлөл Тэгээд нийлмэл тоо. Абсцисса ба ординат

нийлмэл тоо. Нийлмэл комплекс тоо.

Комплекс тоотой үйлдлүүд. Геометр

нийлмэл тоонуудын төлөөлөл. нарийн төвөгтэй хавтгай.

Комплекс тооны модуль ба аргумент. тригонометр

нийлмэл тооны хэлбэр. Цогцолбор бүхий үйл ажиллагаа

тригонометрийн хэлбэрээр тоонууд. Мойврын томъёо.

тухай үндсэн мэдээлэл төсөөлөл Тэгээд нийлмэл тоо "Төсөөлөл ба нийлмэл тоо" хэсэгт өгөгдсөн. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед эдгээр шинэ төрлийн тоонуудын хэрэгцээ гарч ирэвД< 0 (здесь Дквадрат тэгшитгэлийн дискриминант). Удаан хугацааны туршид эдгээр тоонууд бие махбодийн хэрэглээг олж чадаагүй тул "төсөөлөл" тоо гэж нэрлэдэг байв. Гэсэн хэдий ч одоо тэд физикийн янз бүрийн салбарт маш өргөн хэрэглэгддэг.

ба технологи: цахилгаан инженерчлэл, гидро- ба аэродинамик, уян хатан байдлын онол гэх мэт.

Нарийн төвөгтэй тоо дараах байдлаар бичигдсэн байна.a+bi. Энд аТэгээд б – бодит тоо , гэхдээ би – төсөөллийн нэгж.д. би 2 = –1. Тоо адуудсан абсцисса, a б - ординатнийлмэл тооa + b.Хоёр комплекс тооa+biТэгээд а-би дуудсан коньюгатнийлмэл тоо.

Үндсэн хэлэлцээрүүд:

1. Бодит тоогэхдээхэлбэрээр ч бичиж болнонийлмэл тоо:a + 0 биэсвэл а - 0 би. Жишээлбэл, 5 + 0 оруулгуудбиба 5 - 0 биижил тоо гэсэн үг 5 .

2. Цогцолбор тоо 0 + бидуудсан цэвэр төсөөлөл тоо. Бичлэг хийж байнаби0-тэй ижил утгатай + би.

3. Хоёр комплекс тооa+bi Тэгээдc + дибайвал тэнцүү гэж үзнэa = cТэгээд b = d. Үгүй бол нийлмэл тоонууд тэнцүү биш.

Нэмэлт. Комплекс тоонуудын нийлбэрa+biТэгээд c + дицогц тоо гэж нэрлэдэг (a+c ) + (б+д ) би .Энэ замаар, нэмэх үед нийлмэл тоо, тэдгээрийн абсцисс, ординатыг тусад нь нэмнэ.

Энэхүү тодорхойлолт нь энгийн олон гишүүнттэй харьцах дүрмийг дагаж мөрддөг.

Хасах. Хоёр комплекс тооны ялгааa+bi(багасгасан) ба c + ди(хасах) комплекс тоо гэж нэрлэдэг (а-в ) + (б-д ) би .

Энэ замаар, хоёр нийлмэл тоог хасахдаа тэдгээрийн абсцисса ба ординатыг тус тусад нь хасна.

Үржүүлэх. Комплекс тоонуудын үржвэрa+biТэгээд c + ди нийлмэл тоо гэж нэрлэдэг.

(ac-bd ) + (ad+bc ) би .Энэхүү тодорхойлолт нь хоёр шаардлагаас үүдэлтэй:

1) тоо a+biТэгээд c + диалгебрийн адил үржих ёстойхоёр гишүүн,

2) тоо биүндсэн өмчтэй:би 2 = – 1.

ЖИШЭЭ ( a + bi )(а-би) = a 2 +б 2 . Үүний үр дүнд, ажил

хоёр хосолсон комплекс тоо нь бодиттой тэнцүү байна

эерэг тоо.

Хэлтэс. Комплекс тоог хувааa+bi (хуваагдах) өөрc + ди(хуваагч) - гурав дахь тоог олох гэсэн үгe + fi(чат), үүнийг хуваагчаар үржүүлэхэдc + ди, үүний үр дүнд ногдол ашиг бий болноa + b.

Хэрэв хуваагч нь тэг биш бол хуваах боломжтой.

ЖИШЭЭ Хай (8+би ) : (2 – 3 би) .

Шийдэл Энэ харьцааг бутархай болгон дахин бичье.

Түүний хуваагч ба хуваагчийг 2 + 3-аар үржүүлэхби

БА Бүх өөрчлөлтийг хийсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл. Бодит тоонуудыг тооны шулуун дээрх цэгүүдээр илэрхийлнэ.

Гол нь энд байна Атоо -3, цэг гэсэн үгБнь 2 тоо бөгөөд О- тэг. Үүний эсрэгээр комплекс тоо нь координатын хавтгай дээрх цэгүүдээр илэрхийлэгдэнэ. Үүний тулд бид хоёр тэнхлэг дээр ижил масштабтай тэгш өнцөгт (картезиан) координатуудыг сонгоно. Дараа нь комплекс тооa+bi цэгээр дүрслэгдэх болно абсцисс бүхий P а ба ординат b (зураг харна уу). Энэ координатын системийг гэж нэрлэдэг нарийн төвөгтэй хавтгай .

модуль комплекс тоог векторын урт гэнэOP, координат дээр нийлмэл тоог дүрсэлсэн ( нэгдсэн) онгоц. Комплекс тооны модульa+bi| гэж тэмдэглэсэн a+bi| эсвэл захидал r

Цогцолбор тоо нь бидний мэддэг бодит тоонуудын хамгийн бага өргөтгөл юм. Тэдний үндсэн ялгаа нь квадрат нь -1-ийг өгөх элемент гарч ирэх явдал юм. би, эсвэл .

Аливаа комплекс тоо хоёр хэсгээс бүрдэнэ. бодит ба хийсвэр:

Ийнхүү бодит тооны олонлог нь тэг төсөөлөлтэй нийлмэл тооны олонлогтой давхцаж байгаа нь тодорхой байна.

Нарийн төвөгтэй тоонуудын хамгийн алдартай загвар бол энгийн хавтгай юм. Цэг бүрийн эхний координат нь түүний бодит хэсэг, хоёр дахь нь төсөөлөл байх болно. Дараа нь цогцолбор тоонуудын үүрэг нь (0,0) цэгээс эхлэлтэй векторууд байх болно.

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Чухамдаа нийлмэл тооны олонлогийн загварыг авч үзвэл хоёр нийлмэл тоог нэмэх (хасах), үржүүлэх нь вектор дээрх харгалзах үйлдлүүдийн нэгэн адил хийгдэх нь ойлгомжтой юм. Түүнээс гадна бид векторуудын хөндлөн үржвэрийг хэлж байна, учир нь энэ үйлдлийн үр дүн нь дахин вектор юм.

1.1 Нэмэлт.

(Таны харж байгаагаар энэ үйлдэл нь яг таарч байна)

1.2 ХасахҮүний нэгэн адил дараах дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ.

2. Үржүүлэх.

3. Хэлтэс.

Үүнийг үржүүлэхийн урвуу үйлдэл гэж энгийнээр тодорхойлдог.

тригонометрийн хэлбэр.

z цогцолбор тооны модуль нь дараах хэмжигдэхүүн юм.

,

Энэ нь дахин (a,b) векторын модуль (урт) гэдэг нь ойлгомжтой.

Ихэнхдээ комплекс тооны модулийг дараах байдлаар тэмдэглэдэг ρ.

Энэ нь харагдаж байна

z = ρ(cosφ+isinφ).

Комплекс тоог бичих тригонометрийн хэлбэрээс шууд дараах зүйл гарч ирнэ. томъёо :

Сүүлчийн томъёог гэж нэрлэдэг Де Мойврын томъёо. Томъёо нь үүнээс шууд гардаг. нийлмэл тооны n-р үндэс:

иймээс z цогцолбор тооны n-р үндэс байна.

Хичээлийн төлөвлөгөө.

1. Зохион байгуулалтын мөч.

2. Материалын танилцуулга.

3. Гэрийн даалгавар.

4. Хичээлийг дүгнэх.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Материалын танилцуулга.

Урам зориг.

Бодит тоонуудын багцыг өргөжүүлэх нь бодит тоон дээр шинэ тоо (төсөөлөл) нэмэгдэхэд оршино. Эдгээр тоонуудын танилцуулга нь бодит тооны олонлогоос сөрөг тооноос үндсийг гаргаж авах боломжгүй байгаатай холбоотой юм.

Комплекс тооны тухай ойлголтын танилцуулга.

Бодит тоонуудыг нэмдэг зохиомол тоог дараах байдлаар бичнэ би, хаана бинь төсөөллийн нэгж бөгөөд i 2 = - 1.

Үүний үндсэн дээр бид комплекс тооны дараах тодорхойлолтыг олж авна.

Тодорхойлолт. Комплекс тоо нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм a+bi, хаана аТэгээд ббодит тоонууд юм. Энэ тохиолдолд дараахь нөхцлийг хангасан болно.

a) Хоёр комплекс тоо a 1 + b 1 iТэгээд a 2 + b 2 iзөвхөн, хэрэв тийм бол тэнцүү a 1 = a 2, b1=b2.

б) Комплекс тоонуудын нэмэгдлийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

в) Комплекс тоонуудын үржвэрийг дараах дүрмээр тодорхойлно.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр.

Комплекс тоог маягтаар бичих a+biнийлмэл тооны алгебрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд энд гэхдээ- бодит хэсэг бинь төсөөллийн хэсэг бөгөөд ббодит тоо юм.

Цогцолбор тоо a+biХэрэв түүний бодит ба төсөөлөл хэсгүүд нь тэгтэй тэнцүү бол тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. a=b=0

Цогцолбор тоо a+biцагт b = 0бодит тоо гэж үздэг а: a + 0i = a.

Цогцолбор тоо a+biцагт a = 0цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг ба тэмдэглэсэн байна би: 0 + би = би.

Хоёр комплекс тоо z = a + biТэгээд = a – bi, зөвхөн төсөөлөлтэй хэсгийн тэмдгээр ялгаатай байдаг нь коньюгат гэж нэрлэгддэг.

Алгебрийн хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Комплекс тоон дээр алгебрийн хэлбэрээр дараах үйлдлүүдийг хийж болно.

1) Нэмэлт.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын нийлбэр z 1 = a 1 + b 1 iТэгээд z 2 = a 2 + b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг z, бодит хэсэг нь бодит хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна z1Тэгээд z2, мөн төсөөллийн хэсэг нь тоонуудын төсөөллийн хэсгүүдийн нийлбэр юм z1Тэгээд z2, өөрөөр хэлбэл z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Тоонууд z1Тэгээд z2нэр томъёо гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог нэмэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Цогцолбор тоо -а -бинийлмэл тооны эсрэг гэж нэрлэдэг z = a + bi. Комплекс тооны эсрэг талын нийлмэл тоо z, тэмдэглэсэн -z. Комплекс тоонуудын нийлбэр zТэгээд -zтэгтэй тэнцүү: z + (-z) = 0

Жишээ 1: Нэмэх (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Хасах.

Тодорхойлолт.Комплекс тооноос хасах z1нийлмэл тоо z2 z,юу z + z 2 = z 1.

Теорем. Нарийн төвөгтэй тоонуудын ялгаа байдаг бөгөөд үүнээс гадна өвөрмөц юм.

Жишээ 2: Хасах (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Үржүүлэх.

Тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын үржвэр z 1 =a 1 +b 1 iТэгээд z 2 \u003d a 2 + b 2 iнийлмэл тоо гэж нэрлэдэг zтэгшитгэлээр тодорхойлогддог: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Тоонууд z1Тэгээд z2хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.

Комплекс тоог үржүүлэх нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1º. Солих чадвар: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. Нийгэмлэг: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Нэмэлттэй холбоотой үржүүлгийн тархалт:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2бодит тоо юм.

Практикт нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлж, бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг салгах дүрмийн дагуу нийлмэл тоог үржүүлдэг.

Дараах жишээнд нийлмэл тоог дүрмээр болон нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлэх гэсэн хоёр аргаар үржүүлэхийг авч үзье.

Жишээ 3: Үржүүлэх (2 + 3i) (5 - 7i).

1 арга зам. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 арга зам. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) хэлтэс.

Тодорхойлолт. Комплекс тоог хуваа z1комплекс тоо руу z2, ийм нийлмэл тоог олно гэсэн үг z, юу z z 2 = z 1.

Теорем.Комплекс тоонуудын категори нь байгаа бөгөөд хэрэв байгаа бол өвөрмөц байна z2 ≠ 0 + 0i.

Практикт нийлмэл тоонуудын хуваагчийг хуваагч болон хуваагчаар үржүүлэх замаар олдог.

Байцгаая z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, дараа нь

.

Дараах жишээнд бид хуваалтыг томъёогоор болон хуваагчийн нэгдэлээр үржүүлэх дүрмийг гүйцэтгэдэг.

Жишээ 4. Хэсэлтийг ол .

5) Эерэг бүхэл тоо руу өсгөх.

a) Төсөөллийн нэгдлийн хүч.

Тэгш байдлын давуу талыг ашиглах би 2 \u003d -1, төсөөллийн нэгжийн эерэг бүхэл тоог тодорхойлоход хялбар байдаг. Бидэнд байгаа:

би 3 \u003d би 2 би \u003d -i,

би 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

би 5 \u003d би 4 би \u003d би,

би 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,

би 7 \u003d би 5 би 2 \u003d -i,

би 8 = би 6 би 2 = 1гэх мэт.

Энэ нь градусын утгыг харуулж байна би н, хаана n- эерэг бүхэл тоо, индикатор нэмэгдэхэд үе үе давтагдана 4 .

Тиймээс тоог нэмэгдүүлэх биэерэг бүхэл тоонд илтгэгчийг хуваана 4 мөн босгоно биилтгэгч нь хуваагдлын үлдэгдэл болох хүчинд.

Жишээ 5 Тооцоол: (би 36 + би 17) би 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

б) Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь хоёр гишүүнийг харгалзах зэрэгт өсгөх дүрмийн дагуу хийгддэг, учир нь энэ нь ижил цогцолбор хүчин зүйлийг үржүүлэх онцгой тохиолдол юм.

Жишээ 6 Тооцоол: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.