Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэл хувиргах, жишээ, шийдэл. Логарифм бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх, жишээ, шийдэл Экспоненциал болон логарифм илэрхийллийг хөрвүүлэх жишээ

үндсэн шинж чанарууд.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

ижил үндэслэл

log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифм шийдвэрлэх жишээ

Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргументад зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
гэхдээ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

2.

3.

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тооны адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж нэрлэгддэг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифмын суурь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашиглана:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, хяналт шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй тэнцүү болохыг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томьёо. Логарифм бол шийдлийн жишээ юм.

Тэд тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоологч ба хуваагч нь ижил тоотой байна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваагч дээр үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс өөр шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайвнаар үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг олов.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болно. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв b тоог ийм зэрэглэлд аваачиж, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгөх юм бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүмүүс үүн дээр "өлгөх" болно.

Шинэ суурь хөрвүүлэх томьёотой адил үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанарууд гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэгэнт санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

b тооны логарифм нь а суурь нь илэрхийлэлийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал үнэн болох x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Дээр дурдсан шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай, учир нь тэдгээрийн үндсэн дээр бараг бүх асуудал, жишээг логарифм дээр үндэслэн шийддэг. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог тооцоолохдоо (3.4) ихэвчлэн тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр талтай байдаг.
Аравтын суурь логарифмыг ихэвчлэн арван суурь логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бүртгэлд үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс харагдаж байна. Жишээлбэл

Натурал логарифм нь үндэс нь экспонент (ln(x) гэж тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7 бөгөөд Лев Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр логарифм нь бас нэг чухал суурь юм

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл буюу эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Дээрх материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын бодлогыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг өөртөө шингээхийн тулд би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр, их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.

Логарифмын жишээ

Илэрхийллийн логарифмыг ав

Жишээ 1
гэхдээ). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 шинж чанаруудаар бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгавартай шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

Хэд хэдэн дүрмийг ашиглан төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэлбэрт хялбаршуулсан болно

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2 Хэрэв x-г ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид 5 ба 13-р шинж чанаруудыг сүүлийн үе хүртэл хэрэглэнэ

Тэмдэглэлд орлуулж, эмгэнэл илэрхийл

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Нөхцөлүүдийн нийлбэрээр логарифм бичихийн тулд хувьсагчийн логарифмыг авна

Энэ бол логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифмын тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг танд удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаархи мэдлэгийг өргөжүүлэх болно ...

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тооны адил нэмэх, хасах, хөрвүүлэх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь тийм ч энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж нэрлэгддэг үндсэн шинж чанарууд.

Эдгээр дүрмийг мэддэг байх ёстой - ямар ч ноцтой логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - бүгдийг нэг өдрийн дотор сурч болно. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифмын нэмэх ба хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Тиймээс, логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү бөгөөд ялгаа нь хуваарийн логарифм байна. Анхаарна уу: энд гол зүйл бол - ижил үндэслэл. Хэрэв суурь нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифмын илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифмын суурь ижил тул бид нийлбэрийн томъёог ашиглана:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд, суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь авч үздэггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа нэлээд хэвийн тоо гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, хяналт шалгалтанд бүх ноцтой байдлын ижил төстэй илэрхийлэлүүдийг (заримдаа - бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг хасах

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Хэрэв логарифмын суурь эсвэл аргументад зэрэг байвал яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулах болно.

Мэдээжийн хэрэг, ODZ логарифм ажиглагдаж байвал эдгээр бүх дүрмүүд нь утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Мөн өөр нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр хэрэглэж сурах, өөрөөр хэлбэл. та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоог логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёоны дагуу аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм бөгөөд суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй тэнцүү болохыг анхаарна уу: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээг тодруулах шаардлагатай гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Тэд тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг градусын хэлбэрээр танилцуулж, үзүүлэлтүүдийг гаргаж авсан - тэд "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоологч ба хуваагч нь ижил тоотой байна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваагч дээр үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд үүнийг хийсэн. Үр дүн нь хариулт юм: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Хэрэв суурь нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ бааз руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Бид тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолдог.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тавьбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр байна.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч шинэ суурь руу шилжихээс өөр шийдэх боломжгүй ажлууд байдаг. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг авч үзье:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь яг экспонент гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг эргүүлье:

Үржвэр нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайвнаар үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг олов.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ үүнийг шийдвэрлэх явцад тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд томъёонууд бидэнд туслах болно:

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болно. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зөвхөн логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг:

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв b тоог ийм зэрэглэлд аваачиж, энэ түвшний b тоо нь а тоог өгөх юм бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: энэ нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүмүүс үүн дээр "өлгөх" болно.

Шинэ суурь хөрвүүлэх томьёотой адил үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 гэдгийг анхаарна уу - зүгээр л суурь болон логарифмын аргументаас квадратыг гаргаж авсан. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан 🙂

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанарууд гэж нэрлэхэд хэцүү хоёр таних тэмдгийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтоос гарах үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд ордог бөгөөд гайхалтай нь "дэвшилтэт" оюутнуудад ч асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэгэнт санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нь нэг бол логарифм нь тэг болно! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Логарифмын зөвшөөрөгдөх муж (ODZ).

Одоо хязгаарлалтын талаар ярилцъя (ODZ - хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын талбар).

Жишээлбэл, квадрат язгуурыг сөрөг тооноос авах боломжгүй гэдгийг бид санаж байна; эсвэл бид бутархайтай бол хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Логарифмын хувьд ижил төстэй хязгаарлалтууд байдаг:

Өөрөөр хэлбэл, аргумент болон суурь хоёулаа тэгээс их байх ёстой бөгөөд суурь нь тэнцүү байж болохгүй.

Яагаад тэр вэ?

Энгийнээр эхэлцгээе: үүнийг хэлье. Дараа нь, жишээ нь, тоо байхгүй, учир нь бид ямар ч зэрэглэлийг өсгөхөөс үл хамааран энэ нь үргэлж гарч ирдэг. Түүнээс гадна энэ нь хэнд ч байхгүй. Гэхдээ тэр үед энэ нь ямар ч зүйлтэй тэнцүү байж болно (ижил шалтгаанаар - энэ нь ямар ч зэрэгтэй тэнцүү). Тиймээс объект нь ямар ч сонирхолгүй бөгөөд энэ нь зүгээр л математикаас хаягдсан юм.

Бидэнд ижил төстэй асуудал тулгардаг: ямар ч эерэг түвшинд - энэ, гэхдээ үүнийг сөрөг хүчин болгон өсгөх боломжгүй, учир нь тэгээр хуваагдах нь үр дүнд хүрэх болно (би үүнийг танд сануулж байна).

Бид бутархай хүчийг өсгөх асуудалтай тулгарсан үед (энэ нь үндэс болгон төлөөлдөг:. Жишээ нь, (энэ нь), гэхдээ байхгүй.

Тиймээс сөрөг шалтгааныг арилгах нь тэдэнтэй холилдохоос илүү хялбар байдаг.

За, а суурь нь зөвхөн бидний хувьд эерэг байдаг тул бид үүнийг ямар зэрэг өсгөхөөс үл хамааран бид үргэлж эерэг тоо авах болно. Тиймээс аргумент эерэг байх ёстой. Жишээлбэл, энэ нь огт байхгүй, учир нь энэ нь ямар ч хэмжээгээр сөрөг тоо биш байх болно (тэр ч байтугай тэг, тиймээс энэ нь бас байхгүй).

Логарифмын асуудалд эхний алхам бол ODZ-ийг бичих явдал юм. Би жишээ хэлье:

Тэгшитгэлээ шийдье.

Тодорхойлолтыг эргэн санацгаая: логарифм нь аргументыг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүч юм. Мөн нөхцөлөөр энэ зэрэг нь: .

Бид ердийн квадрат тэгшитгэлийг авна: . Бид үүнийг Виета теоремыг ашиглан шийддэг: язгууруудын нийлбэр тэнцүү ба үржвэр. Авахад хялбар, эдгээр нь тоонууд ба.

Харин хариултанд энэ хоёр тоог шууд аваад бичвэл даалгаврын хувьд 0 оноо авах боломжтой. Яагаад? Хэрэв бид эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулбал юу болох талаар бодож үзье.

Суурь нь сөрөг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл үндэс нь "гуравдагч этгээд" учраас энэ нь илт худал юм.

Ийм эвгүй заль мэхээс зайлсхийхийн тулд тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө ODZ-ийг бичих хэрэгтэй.

Дараа нь үндсийг нь хүлээн авсны дараа бид тэр даруй үндсийг нь хаяж, зөв ​​хариултыг бичнэ.

Жишээ 1(өөрөө шийдэхийг хичээ) :

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв хэд хэдэн үндэс байгаа бол хариултдаа жижигийг нь зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Юуны өмнө ODZ-г бичье:

Одоо бид логарифм гэж юу болохыг санаж байна: аргумент авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх хэрэгтэй вэ? Хоёрдугаарт. өөрөөр хэлбэл:

Жижиг үндэс нь тэнцүү юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: ODZ-ийн дагуу үндэс нь гуравдагч этгээд, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэлийн үндэс нь огт биш юм. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна: .

Хариулт: .

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифмын тодорхойлолтыг ерөнхийд нь санаарай.

Логарифмын оронд хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:

Энэ тэгш байдлыг гэж нэрлэдэг үндсэн логарифмын ижилсэл. Хэдийгээр үндсэндээ энэ тэгш байдал нь өөрөөр бичигдсэн байдаг логарифмын тодорхойлолт:

Энэ бол та олж авахын тулд өсгөх ёстой хүч юм.

Жишээлбэл:

Дараах жишээнүүдийг шийднэ үү.

Жишээ 2

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Хэсэг дэх дүрмийг эргэн санацгаая:, өөрөөр хэлбэл, зэрэглэлийг хүчирхэг болгоход үзүүлэлтүүдийг үржүүлдэг. Үүнийг хэрэгжүүлье:

Жишээ 3

Үүнийг нотол.

Шийдэл:

Логарифмын шинж чанарууд

Харамсалтай нь даалгаврууд нь үргэлж тийм ч хялбар байдаггүй - ихэнхдээ та эхлээд илэрхийлэлийг хялбарчилж, ердийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь утгыг тооцоолох боломжтой болно. Үүнийг мэдсээр байж хийх нь хамгийн амархан логарифмын шинж чанарууд. Тиймээс логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг сурцгаая. Би тэдгээрийг тус бүрээр нь батлах болно, учир нь хэрэв та хаанаас ирснийг мэдэж байвал аливаа дүрмийг санах нь илүү хялбар байдаг.

Эдгээр бүх шинж чанаруудыг санаж байх ёстой бөгөөд тэдгээргүйгээр логарифмын ихэнх асуудлыг шийдвэрлэх боломжгүй юм.

Одоо логарифмын бүх шинж чанаруудын талаар илүү дэлгэрэнгүй.

Өмч 1:

Нотолгоо:

За тэгье.

Бидэнд: , h.t.d.

2-р шинж чанар: Логарифмын нийлбэр

Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна. .

Нотолгоо:

За тэгье. За тэгье.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол: .

Шийдэл: .

Таны дөнгөж сурсан томьёо нь ялгааг бус логарифмын нийлбэрийг хялбарчлахад тусалдаг тул эдгээр логарифмуудыг шууд нэгтгэх боломжгүй болно. Гэхдээ та эсрэгээр нь хийж болно - эхний логарифмыг хоёр болгон "хуваах": Энд амласан хялбарчлах нь байна:
.
Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? За, жишээ нь: энэ нь юу чухал вэ?

Одоо энэ нь тодорхой боллоо.

Одоо өөртөө хялбар болго:

Даалгаварууд:

Хариултууд:

3-р шинж чанар: Логарифмын ялгаа:

Нотолгоо:

Бүх зүйл 2-р догол мөртэй яг ижил байна:

За тэгье.

За тэгье. Бидэнд байгаа:

Сүүлийн цэгийн жишээ одоо бүр хялбар боллоо:

Илүү төвөгтэй жишээ: . Хэрхэн шийдэхээ та бодож байна уу?

Энд бид логарифмын квадратын талаархи ганц томьёо байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ бол илэрхийлэлтэй төстэй зүйл бөгөөд үүнийг шууд хялбарчлах боломжгүй юм.

Тиймээс логарифмын талаархи томьёосоо ухарч, математикт ямар томьёог ихэвчлэн ашигладаг талаар бодож үзье. 7-р ангиасаа хойш!

Энэ -. Тэд хаа сайгүй байдаг гэдэгт та дасах хэрэгтэй! Экспоненциал, тригонометр, иррациональ бодлогод тэдгээр нь олддог. Тиймээс тэдгээрийг санаж байх ёстой.

Хэрэв та эхний хоёр нэр томъёог анхааралтай ажиглавал энэ нь тодорхой болно квадратуудын ялгаа:

Шалгах хариулт:

Өөрийгөө хялбарчлаарай.

Жишээ

Хариултууд.

4-р шинж чанар: Логарифмын аргументаас илтгэгчийн гарал үүсэл:

Нотолгоо:Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг: let, тэгвэл. Бидэнд: , h.t.d.

Та энэ дүрмийг дараах байдлаар ойлгож болно.

Өөрөөр хэлбэл, аргументийн зэрэг нь логарифмын урагш, коэффициент болгон авдаг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл: .

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Жишээ нь:

Хариултууд:

5-р шинж чанар: Логарифмын суурийн илтгэгчийг гарган авах:

Нотолгоо:За тэгье.

Бидэнд: , h.t.d.
Санаж байна уу: -аас үндэслэлзэрэг гэж үзүүлэв урвууөмнөх тохиолдлоос ялгаатай нь тоо!

6-р шинж чанар: Суурь ба логарифмын аргументаас илтгэгчийг гаргаж авах:

Эсвэл зэрэг нь ижил байвал: .

Үл хөдлөх хөрөнгө 7: Шинэ суурь руу шилжих:

Нотолгоо:За тэгье.

Бидэнд: , h.t.d.

8-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументыг солих:

Нотолгоо:Энэ бол 7-р томъёоны онцгой тохиолдол юм: хэрэв бид орлуулбал: , p.t.d.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 4

Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид 2-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг - ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна.

Жишээ 5

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Бид 3 ба 4-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг.

Жишээ 6

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Үл хөдлөх хөрөнгийн дугаар 7-г ашиглан 2-р суурь руу очно уу:

Жишээ 7

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ?

Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол нийтлэлийг бүхэлд нь уншсан гэсэн үг.

Бас дажгүй шүү!

Одоо энэ нийтлэл танд хэр таалагдаж байгааг хэлээч?

Та логарифм шийдэж сурсан уу? Үгүй бол ямар асуудал байна вэ?

Доорх сэтгэгдэл дээр бидэнтэй бичээрэй.

Тийм ээ, шалгалтанд нь амжилт хүсье.

Улсын нэгдсэн шалгалт, OGE болон ерөнхийдөө амьдралд

Бодлого В7 нь хялбарчлах шаардлагатай илэрхийлэлийг өгдөг. Үр дүн нь хариултын хуудсан дээр бичиж болох ердийн тоо байх ёстой. Бүх илэрхийлэлийг нөхцөлт байдлаар гурван төрөлд хуваадаг.

1. логарифм,
2. Жагсаал,
3. Нэгтгэсэн.

Экспоненциал ба логарифм илэрхийлэл нь цэвэр хэлбэрээр бараг хэзээ ч олддоггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг хэрхэн тооцож байгааг мэдэх нь чухал юм.

Ерөнхийдөө В7 асуудлыг маш энгийнээр шийдсэн бөгөөд дундаж төгсөгчдийн бүрэн эрхэд багтдаг. Тодорхой алгоритмын дутагдал нь стандарт, жигд байдлаараа нөхөгддөг. Та маш олон сургалтанд хамрагдсанаар ийм асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой.

Логарифм илэрхийллүүд

В7 бодлогуудын дийлэнх нь нэг хэлбэрээр логарифм агуулдаг. Энэ сэдвийг ихэвчлэн 11-р ангид - төгсөлтийн шалгалтанд бэлтгэх эрин үед судалдаг тул хэцүү гэж үздэг. Үүний үр дүнд олон төгсөгчид логарифмын талаар маш тодорхойгүй ойлголттой байдаг.

Гэхдээ энэ даалгаварт хэн ч онолын гүнзгий мэдлэг шаарддаггүй. Бид зөвхөн шууд үндэслэл шаарддаг, бие даан эзэмшиж болох хамгийн энгийн хэллэгтэй танилцах болно. Логарифмтай харьцахын тулд мэдэх шаардлагатай үндсэн томъёог доор харуулав.

Нэмж дурдахад, үндэс ба бутархайг оновчтой илтгэгчээр орлуулах чадвартай байх ёстой, эс тэгвээс зарим илэрхийлэлд логарифмын тэмдгийн доор авах зүйл байхгүй болно. Орлуулах томъёо:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг олох:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Эхний хоёр илэрхийлэлийг логарифмын зөрүү болгон хувиргана.
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

Гурав дахь илэрхийллийг тооцоолохын тулд та суурь болон аргумент дахь градусыг сонгох хэрэгтэй болно. Эхлээд дотоод логарифмийг олъё:

Дараа нь - гадаад:

Лог a log b x гэх мэт бүтээн байгуулалтууд нь олон хүнд төвөгтэй бөгөөд буруу ойлгогддог. Үүний зэрэгцээ, энэ нь зөвхөн логарифмын логарифм юм, өөрөөр хэлбэл. log a (лог b x ). Эхлээд дотоод логарифмыг тооцоолно (лог b x = c ), дараа нь гаднах нь: log a c .

экспоненциал илэрхийллүүд

a, k тоонууд нь дурын тогтмолууд ба a > 0 хэлбэрийн a k хэлбэрийн аливаа бүтээцийг бид экспоненциал илэрхийлэл гэж нэрлэнэ. Ийм илэрхийлэлтэй ажиллах арга нь маш энгийн бөгөөд 8-р ангийн алгебрийн хичээлд авч үздэг.

Таны мэдэх ёстой үндсэн томъёог доор харуулав. Эдгээр томъёог практикт хэрэглэх нь дүрмээр бол асуудал үүсгэдэггүй.

1. a n a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n - m ;
3. (a n ) m = a n m ;
4. (a b) n = a n b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Хэрэв эрх мэдэл бүхий нарийн төвөгтэй илэрхийлэл тулгарвал түүнд хэрхэн хандах нь тодорхойгүй байвал бүх нийтийн арга техникийг ашигладаг - үндсэн хүчин зүйл болгон задлах. Үүний үр дүнд градусын суурь дахь олон тоо нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой элементүүдээр солигддог. Дараа нь дээрх томъёог ашиглахад л үлддэг бөгөөд асуудал шийдэгдэх болно.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Шийдэл. Бид эрх мэдлийн бүх суурийг үндсэн хүчин зүйл болгон задалдаг.
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Хосолсон даалгавар

Хэрэв та томьёо мэддэг бол бүх экспоненциал болон логарифм илэрхийлэлүүдийг нэг мөрөнд шууд утгаараа шийддэг. Гэсэн хэдий ч В7 асуудалд хүч болон логарифмуудыг нэгтгэж нэлээд хүчтэй хослол үүсгэж болно.

Одоо бид логарифм агуулсан илэрхийллийн хувиргалтыг ерөнхий үүднээс авч үзэх болно. Энд бид зөвхөн логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн хувиргалтыг шинжлэх болно, гэхдээ бид зөвхөн логарифм төдийгүй хүч, бутархай, үндэс гэх мэтийг агуулсан ерөнхий логарифм бүхий илэрхийллийн хувиргалтыг авч үзэх болно. Ердийнх шигээ бид бүх материалыг шийдлийн нарийвчилсан тайлбар бүхий онцлог жишээнүүдээр хангах болно.

Хуудасны навигаци.

Логарифм ба логарифм илэрхийлэл бүхий илэрхийлэл

Бутархайтай үйлдэл хийх

Өмнөх догол мөрөнд бид логарифм агуулсан бие даасан бутархайгаар хийгдсэн үндсэн хувиргалтыг авч үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хувиргалтыг илүү төвөгтэй илэрхийлэлд багтдаг, жишээлбэл, ижил төстэй бутархайнуудын нийлбэр, ялгавар, үржвэр, коэффициентийг төлөөлдөг бие даасан бутархай тус бүрээр хийж болно. Гэхдээ бие даасан бутархайтай ажиллахаас гадна энэ төрлийн илэрхийлэлийг хувиргах нь ихэвчлэн бутархайтай тохирох үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг. Дараа нь бид эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмийг авч үзэх болно.

5-6-р ангиасаа бид ямар дүрмийг мэддэг. Нийтлэлд бутархайтай үйлдлийн ерөнхий дүр төрхБид эдгээр дүрмийг энгийн бутархайгаас ерөнхий хэлбэрийн A/B бутархай болгон өргөтгөсөн ба энд А ба В нь зарим тоон, үгийн утга эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл, харин В нь тэгээс ялгаатай. Логарифм бүхий бутархай нь ерөнхий бутархайн онцгой тохиолдол болох нь ойлгомжтой. Үүнтэй холбогдуулан бүртгэлдээ логарифм агуулсан бутархай үйлдэл нь ижил дүрмийн дагуу хийгддэг нь тодорхой байна. Тухайлбал:

• Ижил хуваагчтай хоёр бутархайг нэмэх, хасахын тулд тоологчийг зохих ёсоор нэмж, хасах ба хуваагчийг хэвээр үлдээнэ.
• Өөр өөр хуваагчтай хоёр бутархайг нэмэх, хасахын тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, өмнөх дүрмийн дагуу зохих үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.
• Хоёр бутархайг үржүүлэхийн тулд хуваагч нь анхны бутархайн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох бутархайг бичих хэрэгтэй.
• Бутархайг бутархайд хуваахын тулд хуваагдах бутархайг хуваагчийн эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл хуваагч ба хуваагчийг дахин байрлуулсан бутархайгаар үржүүлэх шаардлагатай.

Логарифм агуулсан бутархайтай үйлдэл хийх зарим жишээ энд байна.

Жишээ.

Логарифм агуулсан бутархайтай үйлдлийг гүйцэтгэнэ: a), b) , дотор) , G) .

Шийдэл.

a) Нэмсэн бутархайн хуваагч нь мэдээж ижил байна. Тиймээс ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрмийн дагуу бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг ижил хэвээр үлдээнэ. .

б) Энд хуваагч өөр байна. Тиймээс эхлээд танд хэрэгтэй бутархайг ижил хуваагч руу авчрах. Манай тохиолдолд хуваагчийг аль хэдийн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулсан бөгөөд эхний бутархайн хуваагчийг авч, хоёр дахь бутархайн хуваагчаас дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх нь бидэнд үлддэг. Тиймээс бид хэлбэрийн нийтлэг хуваагчийг олж авдаг . Энэ тохиолдолд хасагдсан бутархайг логарифмын хэлбэрээр нэмэлт хүчин зүйл болон x 2 ·(x+1) илэрхийлэл ашиглан нийтлэг хуваагч болгон бууруулна. Үүний дараа ижил хуваагчтай бутархайг хасах нь хэцүү биш юм.

Тиймээс шийдэл нь:

в) Бутархайг үржүүлсний үр дүн нь бутархай, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр, хуваагч нь хуваагчийн үржвэр болох нь мэдэгдэж байна.

Энэ нь боломжтой гэдгийг харахад хялбар байдаг фракцын бууралтхоёр ба аравтын бутархай логарифмын үр дүнд бид байна .

г) Бутархай хуваагчийг эсрэгээр нь сольж, бутархай хуваахаас үржүүлэх рүү шилждэг. Тэгэхээр

Үүссэн бутархайн тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно , үүнээс тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл тодорхой харагдаж байна - х хүчин зүйл бол та түүгээр бутархайг багасгаж болно.

Хариулт:

а), б) , дотор) , G) .

Бутархай үйлдэл нь үйлдлүүдийн дарааллыг харгалзан хийгддэг гэдгийг санах нь зүйтэй: эхлээд үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах, хэрэв хаалт байгаа бол хаалтанд хийх үйлдлийг эхлээд хийнэ.

Жишээ.

Бутархайтай үйлдэл хийх .

Шийдэл.

Эхлээд бид хаалтанд бутархай нэмэх ажлыг хийж, дараа нь үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ.

Хариулт:

Энэ мөчид гурван тодорхой, гэхдээ нэгэн зэрэг чухал зүйлийг чангаар хэлэх хэвээр байна.

Логарифмын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хөрвүүлэх

Ихэнх тохиолдолд логарифм бүхий илэрхийлэлийг хувиргах нь логарифмын тодорхойлолтыг илэрхийлсэн таних тэмдгийг ашиглах явдал юм. Жишээлбэл, a log ab =b , a>0 , a≠1 , b>0 гэсэн үндсэн логарифмын ижилслийг дурдахад бид x−5 log 5 7 илэрхийлэлийг x−7 хэлбэрээр, мөн дараах руу шилжих томъёог илэрхийлж болно. бүртгэлийн шинэ суурь , a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 нь илэрхийллээс 1−lnx ялгаа руу шилжих боломжтой болгодог.

Үндэс, хүч, тригонометрийн таних тэмдэг гэх мэт шинж чанаруудын хэрэглээ.

Логарифм бүхий илэрхийлэл нь логарифмуудаас гадна бараг үргэлж хүч, үндэс, тригонометрийн функц гэх мэтийг агуулдаг. Ийм илэрхийлэлийг хувиргахын тулд логарифмын шинж чанаруудын зэрэгцээ хүч, үндэс гэх мэт шинж чанарууд шаардлагатай байж болох нь ойлгомжтой. Бид шинж чанаруудын блок тус ​​бүрийг илэрхийлэл хувиргахад ашиглахад тусад нь дүн шинжилгээ хийсэн бөгөөд холбогдох нийтлэлүүдийн холбоосыг сайтын www.site илэрхийлэл, тэдгээрийн хувиргалт хэсгээс олж болно. Энд бид шинж чанарыг логарифмтай хослуулан ашиглах хэд хэдэн жишээний шийдлийг харуулах болно.

Жишээ.

Илэрхийлэлийг хялбарчлах .

Шийдэл.

Эхлээд үндэстэй илэрхийллийг хувиргацгаая. Анхны илэрхийлэлд зориулсан ODZ хувьсагч x дээр (бидний тохиолдолд эерэг бодит тоонуудын багц юм) та үндсээс бутархай илтгэгчтэй зэрэглэл рүү шилжиж, дараа нь ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх шинж чанарыг ашиглаж болно. . Энэ замаар,

Одоо бид тоологчийг хэлбэрээр илэрхийлж байна (энэ нь бидэнд градусын шинж чанарыг градусаар хийх боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв шаардлагатай бол градусын шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн хувиргалтыг, мөн тооны дүрслэлийг харна уу, энэ нь синус болон квадратуудын нийлбэрийг орлуулах боломжийг олгодог. нэгтэй ижил аргументийн косинус.Тиймээс бид логарифмын тэмдгийн доорх нэгжийг авна.А, Та бүхний мэдэж байгаагаар нэгдлийн логарифм тэгтэй тэнцүү байна.

Хийсэн өөрчлөлтүүдийг бичье:

Шоо дахь тэг нь тэг тул бид илэрхийлэл рүү очно .

Тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш (манай тохиолдолд энэ нь үнэн, учир нь натурал логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийллийн утга нэгээс ялгаатай гэдгийг батлахад хялбар) бутархай тэгтэй тэнцүү байна. . Энэ замаар,

Цаашдын хувиргалтыг сөрөг тооноос сондгой зэрэглэлийн үндсийг тодорхойлох үндсэн дээр гүйцэтгэнэ. .

2 15 нь эерэг тоо тул бид үндэсийн шинж чанарыг ашиглаж болох бөгөөд энэ нь эцсийн үр дүнд хүргэдэг. .

Хариулт: