Иррационал тооны тэмдэглэгээ. Рационал ба иррационал тоо

Олон тооны иррационал тоог ихэвчлэн латин том үсгээр тэмдэглэдэг Би (\ displaystyle \ mathbb (I))тод үсгээр, бөглөхгүй. Тиймээс: I = R ∖ Q (\ displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q)), өөрөөр хэлбэл иррационал тооны олонлог нь бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа юм.

Эртний математикчид иррационал тоо, илүү нарийвчлалтайгаар нэгж урттай хэрчмүүдтэй харьцуулашгүй сегментүүд байдгийг аль хэдийн мэддэг байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь дөрвөлжингийн иррациональтай тэнцүү юм. тоо.

Коллежийн YouTube

• 1 / 5

  Оновчгүй зүйл нь:

  Оновчгүй байдлын нотолгооны жишээ

  2-ын үндэс

  Эсрэгээр нь гэж бодъё: 2 (\ дэлгэцийн хэв маяг (\ sqrt (2)))оновчтой, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), хаана m (\ displaystyle m)нь бүхэл тоо бөгөөд n (\ displaystyle n)- натурал тоо.

  Тооцоолсон тэгш байдлыг квадрат болгоё:

  2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\ displaystyle (\ sqrt (2)) = (\ frac (m) (n)) \ Rightarrow 2 = (\ frac (m ^ (2)) )) (n ^ (2))) \ Баруун сум m ^ (2) = 2n ^ (2)).

  Түүх

  Эртний үе

  2, 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он орчим) олж мэдсэнээр МЭӨ 7-р зуунд Энэтхэгийн математикчид иррационал тооны тухай ойлголтыг далд хэлбэрээр баталжээ. илэрхийлсэн [ ] .

  Иррационал тоо байгаагийн анхны нотолгоог ихэвчлэн Пифагорын хүн болох Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 оны орчим) гэж үздэг. Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд багтсан бүхэл тоо юм. ] .

  Хиппас аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг нотолсон тодорхой мэдээлэл байхгүй байна. Домогт өгүүлснээр тэрээр таван хошууны талуудын уртыг судалснаар үүнийг олсон байна. Иймд алтан харьцаа байсан гэж үзэх үндэслэлтэй. ] .

  Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг аалогос(үгээр илэрхийлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппад зохих хүндэтгэлийг өгөөгүй. Домогт өгүүлснээр Гиппас далайн аялалд явж байхдаа нээлт хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх оршнолуудыг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харилцаа холбоо болгон бууруулж болно" гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосныхаа төлөө" шидсэн юм. Гиппассын нээлт Пифагорын математиктай тулгарсан ноцтой асуудал, тоо болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн бүхэл бүтэн онолын үндсэн таамаглалыг устгасан.

  Бүх натурал тоонуудын багцыг N үсгээр тэмдэглэдэг. Натурал тоо гэдэг нь бидний объектыг тоолоход ашигладаг тоо юм: 1,2,3,4, ... Зарим эх сурвалжид 0 тоог натурал тоо гэж бас нэрлэдэг.

  Бүх бүхэл тоонуудын багцыг Z үсгээр тэмдэглэнэ. Бүхэл тоонууд нь бүх натурал, тэг ба сөрөг тоонууд юм.

  1,-2,-3, -4, …

  Одоо бид бүх бүхэл тоонуудын олонлогт бүх энгийн бутархайн олонлогийг нэмдэг: 2/3, 18/17, -4/5 гэх мэт. Дараа нь бид бүх рационал тоонуудын багцыг авна.

  Рационал тоонуудын багц

  Бүх рационал тоонуудын багцыг Q үсгээр тэмдэглэнэ. Бүх рационал тооны олонлог (Q) нь m / n, -m / n хэлбэрийн тоонууд ба 0 тооноос бүрдэх олонлог юм. гэж n, мямар ч натурал тоог ашиглаж болно. Бүх рационал тоог төгсгөлтэй эсвэл төгсгөлгүй ҮЕИЙН хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. аравтын... Мөн эсрэгээр нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархайг рационал тоо болгон бичиж болно.

  Гэхдээ жишээ нь 2.0100100010 ... тоо юу вэ? Энэ нь хязгааргүй ШИЛЖҮҮЛЭХГҮЙ аравтын бутархай юм. Мөн энэ нь оновчтой тоонд хамаарахгүй.

  В сургуулийн курсАлгебрт зөвхөн бодит (эсвэл бодит) тоог судалдаг. Бүх бодит тоонуудын олонлогийг R үсгээр тэмдэглэнэ. R олонлог нь бүх рационал ба бүх иррационал тооноос бүрдэнэ.

  Иррационал тоо

  Иррационал тоонууд нь бүгд хязгааргүй аравтын үе бус бутархай юм. Иррационал тоонд тусгай тэмдэглэгээ байдаггүй.

  Жишээлбэл, натурал тоонуудын квадрат биш натурал тоонуудын квадрат язгуурыг гаргаж авсан бүх тоо иррациональ байх болно. (√2, √3, √5, √6 гэх мэт).

  Гэхдээ тэгж битгий бодоорой иррационал тоозөвхөн дөрвөлжин үндсийг гаргаж авах замаар олж авдаг. Жишээлбэл, "пи" тоо нь бас иррациональ бөгөөд үүнийг хуваах замаар олж авдаг. Тэгээд хэчнээн хичээсэн ч олборлоод авч чадахгүй Квадрат язгуурдурын натурал тооноос.

  Иррационал тооны тодорхойлолт

  Иррациональ гэдэг нь аравтын тэмдэглэгээнд төгсгөлгүй үе бус бутархай бутархай тоо юм.

  
  
  

  Жишээлбэл, натурал тоонуудын квадрат язгуурыг гаргаж авсан тоонууд нь иррациональ бөгөөд натурал тоонуудын квадрат биш юм. Гэхдээ бүх иррационал тоог квадрат язгуур гарган авах боломжгүй, учир нь хуваах замаар олж авсан pi тоо нь мөн иррациональ бөгөөд та натурал тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах гэж оролдох замаар үүнийг олж авах магадлал багатай юм.

  Иррационал тооны шинж чанарууд

  Хязгааргүй аравтын бутархайгаар бичигдсэн тооноос ялгаатай нь зөвхөн иррационал тоонуудыг үе үе бус хязгааргүй аравтын бутархайгаар бичдэг.
  Хоёр сөрөг бус иррационал тооны нийлбэр нь оновчтой тоо болж төгсөж болно.
  Иррационал тоо нь рационал тоонуудын багц дахь Дедекинд хэсгүүдийг тодорхойлдог бөгөөд хамгийн бага ангилалд багтдаггүй. их тоо, мөн дээд талд нь жижиг зүйл байхгүй.
  Аливаа бодит трансцендент тоо нь иррациональ юм.
  Бүх иррационал тоо нь алгебр эсвэл трансцендентал юм.
  Шулуун шугам дээрх иррационал тоонуудын олонлог нь нягт бөөгнөрч, аль хоёрын хооронд үргэлж иррационал тоо байдаг.
  Иррационал тооны олонлог нь хязгааргүй, тоолж баршгүй бөгөөд 2-р ангиллын олонлог юм.
  0-д хуваахаас бусад рационал тоонуудтай аливаа арифметик үйлдлийг гүйцэтгэхэд үр дүн нь рационал тоо болно.
  Иррационал тоонд рационал тоог нэмэхэд үр дүн нь үргэлж иррационал тоо болно.
  Иррационал тоонуудыг нэмэхэд үр дүнд нь оновчтой тоо гарч ирнэ.
  Иррационал тооны багц тэгш биш байна.
  

  Тоо бол үндэслэлгүй зүйл биш юм

  Ялангуяа тоо нь аравтын бутархай хэлбэртэй эсвэл тоон илэрхийлэл, үндэс эсвэл логарифмын хэлбэрээр байгаа тохиолдолд тоо нь иррациональ уу гэсэн асуултад хариулахад заримдаа хэцүү байдаг.

  Тиймээс аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг мэдэх нь илүүц байх болно. Хэрэв бид иррационал тоонуудын тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл рационал тоо нь иррациональ байж чадахгүй гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

  Иррационал тоонууд нь:

  Нэгдүгээрт, бүх натурал тоо;
  Хоёрдугаарт, бүхэл тоо;
  Гуравдугаарт, энгийн бутархай;
  Дөрөвдүгээрт, өөр өөр холимог тоо;
  Тавдугаарт, эдгээр нь хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай юм.
  

  Дээр дурдсан бүхнээс гадна +, -,,: гэх мэт арифметик үйлдлүүдийн тэмдгээр гүйцэтгэгддэг рационал тоонуудын аль ч хослол нь иррационал тоо байж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд хоёр рационал тооны үр дүн мөн байх болно. оновчтой тоо.

  Одоо эдгээр тоонуудын аль нь үндэслэлгүй болохыг харцгаая.

  
  
  

  Энэхүү нууцлаг математик үзэгдлийн шүтэн бишрэгчид Пигийн тухай илүү их мэдээлэл хайж, түүний нууцыг тайлах гэж оролддог фэн клуб байдгийг та мэдэх үү. Аравтын бутархайн дараа тодорхой тооны пи-г цээжээр мэддэг хүн бүр энэ клубын гишүүн болох боломжтой;

  Германд ЮНЕСКО-гийн хамгаалалтад Кастадел Монте ордон байдгийг та мэдэх үү, үүний ачаар пропорцын ачаар pi тоог тооцоолж болно. Хаан II Фредерик энэ тоонд бүхэл бүтэн ордон зориулжээ.

  Пи-г барилгын ажилд ашиглах гэж оролдсон нь тогтоогдсон. Бабелийн цамхаг... Гэвч тэр үед pi-ийн утгын нарийн тооцоог хангалттай судлаагүй байсан тул энэ нь төслийг сүйрүүлэхэд хүргэсэн нь бидний маш их харамсаж байна.

  Дуучин Кейт Буш шинэ дискэндээ алдарт 3, 141 дугаарын зуун хорин дөрвөн тоог сонссон "Пи" нэртэй дууг бичжээ.

  Иррационал тоо гэж юу вэ? Тэднийг яагаад ингэж нэрлэдэг вэ? Тэдгээрийг хаана ашигладаг, юу вэ? Цөөн хүн эдгээр асуултад эргэлзээгүйгээр хариулж чадна. Гэвч үнэн хэрэгтээ тэдний хариултууд нь маш энгийн боловч хүн бүрт хэрэгтэй байдаггүй бөгөөд маш ховор тохиолдолд байдаг.

  Мөн чанар ба тэмдэглэгээ

  Иррационал тоо бол хязгааргүй үечилсэн бус Өмнө нь байсан бодит буюу бодит, бүхэл тоо, натурал, рационал тоо гэсэн ойлголтууд шинээр гарч ирж буй бодлогуудыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй байсантай холбоотой юм. Жишээлбэл, 2-р квадратыг тодорхойлохын тулд үе үе бус хязгааргүй аравтын бутархайг ашиглах хэрэгтэй. Нэмж дурдахад, хамгийн энгийн тэгшитгэлүүдийн ихэнх нь иррационал тооны тухай ойлголтыг оруулахгүйгээр шийдэлгүй байдаг.

  Энэ олонлогийг I гэж тэмдэглэсэн. Мөн аль хэдийн тодорхой болсон тул эдгээр утгыг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд тэдгээрийн тоонд бүхэл тоо байх ба хуваагч нь -

  Энэтхэгийн математикчид 7-р зуунд зарим хэмжигдэхүүний квадрат язгуурыг тодорхой зааж өгөх боломжгүй болохыг олж мэдсэнээр анх удаа ийм үзэгдэлтэй тулгарсан. Ийм тоо байгаагийн анхны нотолгоо нь тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжинг судлах явцад үүнийг хийсэн Пифагор Гиппастай холбоотой юм. Манай эринээс өмнө амьдарч байсан зарим эрдэмтэд энэхүү багцыг судлахад чухал хувь нэмэр оруулсан. Иррационал тоонуудын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх нь одоо байгаа математикийн системийг шинэчлэхэд хүргэсэн тул тэдгээр нь маш чухал юм.

  нэрний гарал үүсэл

  Хэрэв харьцаа нь латин хэлээр "бутархай", "харьцаа" бол "ir" угтвар
  энэ үгэнд эсрэг утгатай. Тиймээс эдгээр тоонуудын олонлогийн нэр нь бүхэл тоо эсвэл бутархай тоотой хамааралгүй болохыг харуулж байна. тусдаа газар... Энэ нь тэдний мөн чанараас үүдэлтэй юм.

  Ерөнхий ангилалд оруулах

  Иррационал тоо нь рационал тоонуудын хамт бодит буюу бодит тоонуудын бүлэгт багтдаг бөгөөд тэдгээр нь эргээд нарийн төвөгтэй байдаг. Дэд олонлог байхгүй, гэхдээ алгебрийн болон трансцендент сортууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг доор авч үзэх болно.

  

  Үл хөдлөх хөрөнгө

  Иррационал тоо нь бодит тооны олонлогийн нэг хэсэг учраас арифметикт судлагдсан тэдгээрийн бүх шинж чанарууд (тэдгээрийг мөн алгебрийн үндсэн хууль гэж нэрлэдэг) тэдгээрт хамаарна.

  a + b = b + a (шилжүүлэх чадвар);

  (a + b) + c = a + (b + c) (холбоо);

  a + (-a) = 0 (эсрэг тоо байгаа эсэх);

  ab = ba (нүүлгэн шилжүүлэлтийн хууль);

  (ab) c = a (bc) (тархалт);

  a (b + c) = ab + ac (тархалтын хууль);

  a x 1 / a = 1 (харилцан байх);

  Харьцуулалтыг мөн ерөнхий хууль, зарчмын дагуу явуулдаг.

  Хэрэв a> b ба b> c бол a> c (харьцааны шилжилт) ба. гэх мэт.

  Мэдээжийн хэрэг, бүх иррационал тоог үндсэн арифметик ашиглан хөрвүүлж болно. Энэ талаар тусгай дүрэм байдаггүй.

  

  Нэмж дурдахад Архимедийн аксиомын үйлдэл нь иррационал тоонуудад хүрдэг. Энэ нь дурын хоёр хэмжигдэхүүнийг a ба b-ийн хувьд a гишүүнчлэлийн хувьд үнэн гэж хэлсэн хангалттайцагийг давж болно b.

  Хэрэглээ

  Өдөр тутмын амьдралдаа та тэдэнтэй байнга харьцах шаардлагагүй байдаг ч иррациональ тоог тоолж болохгүй. Тэд маш олон байдаг, гэхдээ тэдгээр нь бараг харагдахгүй байдаг. Бидний эргэн тойронд хаа сайгүй иррационал тоонууд хүрээлэгдсэн байдаг. Хүн болгонд танил болсон жишээнүүд нь 3.1415926 ...-тай тэнцүү pi буюу e нь үндсэн суурь юм. байгалийн логарифм, 2.718281828 ... Алгебр, тригонометр, геометрийн хувьд тэдгээрийг байнга хэрэглэж байх ёстой. Дашрамд хэлэхэд, "алтан харьцаа" гэсэн алдартай утга нь, өөрөөр хэлбэл их, бага ба эсрэгээр хоёулангийнх нь харьцаа юм.

  

  энэ багцад хамаарна. Бага алдартай "мөнгө" - бас.

  Тоон шугам дээр тэдгээр нь маш нягт байрладаг тул оновчтой олонлогт хамаарах дурын хоёр хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд иррациональ нь зайлшгүй тааралддаг.

  Өнөөг хүртэл энэ багцтай холбоотой шийдэгдээгүй олон асуудал бий. Иррационалийн хэмжүүр, тооны хэвийн байдал зэрэг шалгуурууд байдаг. Математикчид аль нэг бүлэгт хамаарах хамгийн чухал жишээнүүдийг үргэлжлүүлэн судалсаар байна. Жишээлбэл, e нь хэвийн тоо, өөрөөр хэлбэл түүний бичлэгт өөр өөр цифр гарч ирэх магадлал ижил байна гэж үздэг. Пи-ийн хувьд энэ талаар судалгаа хийгдэж байна. Иррационалын хэмжүүр нь тодорхой тоог оновчтой тоогоор хэр сайн ойртуулж болохыг харуулдаг хэмжигдэхүүн юм.

  Алгебрийн ба трансцендентал

  Өмнө дурьдсанчлан иррационал тоонуудыг алгебрийн болон трансцендентал гэж хуваадаг. Нөхцөлтэйгээр, хатуухан хэлэхэд энэ ангиллыг C олонлогийг хуваахад ашигладаг.

  Энэ тэмдэглэгээ нь бодит эсвэл бодит тоонуудыг багтаасан цогц тоог нуудаг.

  Тэгэхээр алгебр гэдэг нь тэг биш олон гишүүнтийн үндэс болох утга юм. Жишээлбэл, 2-ын квадрат язгуур нь x 2 - 2 = 0 тэгшитгэлийн шийдэл учраас энэ ангилалд багтах болно.

  Энэ нөхцлийг хангаагүй бусад бүх бодит тоог трансцендентал гэж нэрлэдэг. Энэ төрөл зүйлд хамгийн алдартай, аль хэдийн дурдсан жишээнүүд багтсан болно - pi тоо ба байгалийн логарифмын суурь e.

  

  Сонирхолтой нь, нэг ч, хоёр дахь нь ч анхнаасаа математикчид ийм чадавхиар дүгнэлт хийгээгүй бөгөөд тэдгээрийн зохисгүй байдал, трансцендент нь нээгдсэнээс хойш олон жилийн дараа нотлогдсон юм. Пи-ийн хувьд нотлох баримтыг 1882 онд гаргаж, 1894 онд хялбаршуулсанаар тойргийг квадрат болгох асуудлын талаарх 2500 жилийн маргаан эцэслэв. Энэ нь бүрэн ойлгогдоогүй байгаа тул орчин үеийн математикчдад ажиллах зүйл бий. Дашрамд хэлэхэд, энэ утгын анхны хангалттай үнэн зөв тооцоог Архимед хийсэн. Түүний өмнө бүх тооцоо хэтэрхий бүдүүлэг байсан.

  E-ийн хувьд (Эйлер эсвэл Напиерийн тоо) 1873 онд түүний давж гарсан нотолгоо олдсон. Энэ нь логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг.

  Бусад жишээнд синус, косинус, тангенсийн утгууд орно.

  Иррационал тоо- энэ бол бодит тоо, энэ нь оновчтой бус, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, энд бүхэл тоонууд байна. Иррационал тоог хязгааргүй үегүй аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

  Олон тооны иррационал тоонуудыг ихэвчлэн тод томруулсан латин үсгээр, бөглөх шаардлагагүйгээр тэмдэглэдэг. Тиймээс: өөрөөр хэлбэл. иррационал тооны олонлог байна бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа.

  Иррационал тоо байгаа эсэх талаар, илүү нарийвчлалтай Нэгж уртын сегменттэй харьцуулшгүй сегментүүдийг эртний математикчид аль хэдийн мэддэг байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь тооны иррациональтай адил юм.

  Үл хөдлөх хөрөнгө

  • Аливаа бодит тоог эцэс төгсгөлгүй аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болно, харин иррационал тоонуудыг зөвхөн үечилсэн бус хязгааргүй аравтын бутархай хэлбэрээр бичдэг.
  • Иррационал тоо нь рационал тоонуудын багц дахь Дедекинд хэсгүүдийг тодорхойлдог бөгөөд доод ангид хамгийн их тоо байдаггүй, дээд ангид хамгийн бага тоо байдаггүй.
  • Бодит трансцендент тоо бүр иррациональ байдаг.
  • Иррационал тоо бүр нь алгебр эсвэл трансцендентал байдаг.
  • Иррационал тоонуудын багц нь тоон шулуун дээр хаа сайгүй нягт байдаг: дурын хоёр тооны хооронд иррационал тоо байдаг.
  • Иррационал тооны олонлог дээрх дараалал нь бодит трансцендент тооны олонлогийн дараалалтай изоморф байна.
  • Иррационал тоонуудын багц нь тоолж баршгүй бөгөөд энэ нь хоёр дахь ангиллын олонлог юм.

  Жишээ нь

  Иррационал тоо - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

  Оновчгүй зүйл нь:

  Оновчгүй байдлын нотолгооны жишээ

  2-ын үндэс

  Эсрэгээр нь гэж бодъё: рациональ, өөрөөр хэлбэл үүнийг бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлнэ, энд бүхэл тоо, натурал тоо байна. Тооцоолсон тэгш байдлыг квадрат болгоё:

  .

  Эндээс тэр бүр тэгш ба гэсэн утгатай байна. Байгаа, тэр чигээрээ хаана байна. Дараа нь

  Иймд тэгш гэдэг нь тэгш гэсэн утгатай. Бид үүнийг олж авсан ба тэгш байна, энэ нь бутархайн бууралтгүй байдалтай зөрчилдөж байна. Энэ нь анхны таамаглал буруу байсан гэсэн үг бөгөөд - иррационал тоо.

  3-ын хоёртын логарифм

  Эсрэгээр нь гэж бодъё: рациональ, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг, энд ба бүхэл тоонууд байна. Учир нь, мөн эерэг гэж сонгож болно. Дараа нь

  Гэхдээ тэгш, сондгой. Бид зөрчилддөг.

  д

  Түүх

  Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан. .

  Иррационал тоо байгаагийн анхны нотолгоог ихэвчлэн пентаграмын хажуугийн уртыг судалснаар энэ нотолгоог олсон Пифагорын хүн Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 он)-той холбоотой байдаг. Пифагорчуудын үед ямар ч сегментэд бүхэл тоогоор хэдэн удаа ордог, хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байв. Гэсэн хэдий ч түүний оршин тогтнох таамаглал нь зөрчилдөөнд хүргэдэг тул Хиппас уртын нэг нэгж байдаггүй гэдгийг нотолсон. Тэрээр тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь бүхэл тооны нэгж хэсгүүдийг агуулж байвал энэ тоо нэгэн зэрэг тэгш, сондгой байх ёстойг харуулсан. Нотлох баримт нь дараах байдалтай байв.

  • Гипотенузын уртыг тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн урттай харьцуулсан харьцааг дараах байдлаар илэрхийлж болно. а:б, хаана аболон баль болох бага гэж сонгосон.
  • Пифагорын теоремоор: а² = 2 б².
  • Учир нь а² тэгш, атэгш байх ёстой (сондгой тооны квадрат нь сондгой байх тул).
  • Үүний хэрээр а:ббууруулж боломгүй, бхачин байх ёстой.
  • Учир нь атэгш, тэмдэглэнэ а = 2y.
  • Дараа нь а² = 4 y² = 2 б².
  • б² = 2 y², тиймээс бТэгэхлээр тэгш байна ббүр.
  • Гэсэн хэдий ч энэ нь батлагдсан бхачин. Зөрчилдөөн.

  Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг аалогос(үгээр илэрхийлэхийн аргагүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр тэд Хиппад зохих хүндэтгэлийг өгөөгүй. Домогт өгүүлснээр Гиппас далайн аялалд явж байхдаа нээлт хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх оршнолуудыг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харилцаа холбоо болгон бууруулж болно" гэсэн сургаалыг үгүйсгэсэн орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосныхаа төлөө" шидсэн юм. Хиппасыг нээсэн нь Пифагорын математикийн хувьд ноцтой асуудал үүсгэж, тоонууд болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд хуваагдашгүй гэсэн бүхэл бүтэн онолын үндэс суурь болсон таамаглалыг устгасан юм.