Иррационал тооны тэмдэглэгээ. Рационал ба иррационал тоо гэж юу вэ

Бүхэл тоо

Натурал тоонуудын тодорхойлолт нь эерэг бүхэл тоо юм. Натурал тоо нь объектыг тоолох болон бусад олон зорилгоор ашиглагддаг. Энд тоонууд байна:

Энэ бол байгалийн тоон цуврал юм.
Тэг нь натурал тоо мөн үү? Үгүй ээ, тэг бол натурал тоо биш.
Хэдэн натурал тоо байдаг вэ? Хязгааргүй натурал тооны олонлог байдаг.
Хамгийн бага натурал тоо хэд вэ? Нэг нь хамгийн бага натурал тоо юм.
Хамгийн том натурал тоо хэд вэ? Хязгааргүй натурал тооны олонлог байдаг тул үүнийг зааж өгөх боломжгүй.

Натурал тоонуудын нийлбэр нь натурал тоо юм. Тиймээс а ба b натурал тоог нэмэх нь:

Натурал тоонуудын үржвэр нь натурал тоо юм. Тэгэхээр а ба b натурал тоонуудын үржвэр:

c нь үргэлж натурал тоо юм.

Натурал тоонуудын ялгаа Үргэлж натурал тоо байдаггүй. Хэрэв хасах нь хасахаас их бол натурал тоонуудын зөрүү нь натурал тоо, үгүй бол тийм биш юм.

Натурал тоонуудын коэффициент Үргэлж натурал тоо байдаггүй. Хэрэв а ба b натурал тоонуудын хувьд

c нь натурал тоо бол а нь b-д тэгш хуваагдана гэсэн үг. Энэ жишээнд а нь ногдол ашиг, b нь хуваагч, в нь хуваагч юм.

Натурал тооны хуваагч нь эхний тоо тэгш хуваагдах натурал тоо юм.

Натурал тоо бүр 1-д болон өөртөө хуваагддаг.

Энгийн натурал тоо нь зөвхөн 1-д хуваагддаг ба өөртөө л хуваагддаг. Энд бид бүрэн хуваагдсан гэсэн үг юм. Жишээ нь, тоо 2; 3; 5; 7 нь зөвхөн 1 болон өөртөө хуваагдана. Эдгээр нь энгийн натурал тоонууд юм.

Нэгийг анхны тоо гэж тооцдоггүй.

Нэгээс их бөгөөд анхны биш тоог нийлмэл тоо гэнэ. Нийлмэл тоонуудын жишээ:

Нэгийг нийлмэл тоо гэж үзэхгүй.

Натурал тооны багц нь нэг, анхны тоо, нийлмэл тооноос бүрдэнэ.

Натурал тоонуудын багцыг латин N үсгээр тэмдэглэв.

Натурал тоог нэмэх ба үржүүлэх шинж чанарууд:

нэмэхийн солих шинж чанар

нэмэхийн ассоциатив шинж чанар

(a + b) + c = a + (b + c);

үржүүлэхийн солих шинж чанар

үржүүлэхийн ассоциатив шинж чанар

(ab)c = a(bc);

үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанар

A (b + c) = ab + ac;

Бүхэл тоо

Бүхэл тоонууд нь натурал тоо, тэг ба натурал тоонуудын эсрэг тоо юм.

Натурал тоонуудын эсрэг байгаа тоонууд нь сөрөг бүхэл тоонууд, жишээ нь:

1; -2; -3; -4;...

Бүхэл тоонуудын багцыг латин Z үсгээр тэмдэглэнэ.

Рационал тоо

Рационал тоо нь бүхэл ба бутархай тоо юм.

Аливаа рационал тоог үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээ нь:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Аливаа бүхэл тоо нь тэг үетэй үечилсэн бутархай болохыг жишээнүүдээс харж болно.

Аливаа рационал тоог m/n бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох ба энд m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм. Өмнөх жишээн дэх 3,(6) тоог ийм бутархайгаар төлөөлүүлье.

Тоо, ялангуяа натурал тоог ойлгох нь хамгийн эртний математикийн "ур чадвар"-ын нэг юм. Олон соёл иргэншил, тэр байтугай орчин үеийнх ч байгалийг дүрслэн харуулахад маш чухал ач холбогдолтой байсан тул тоонуудын ид шидийн шинж чанаруудыг холбодог байв. Гэсэн хэдий ч орчин үеийн шинжлэх ухаанМатематик нь эдгээр "шидэт" шинж чанаруудыг баталгаажуулдаггүй тул тооны онолын ач холбогдлыг үгүйсгэх аргагүй юм.

Түүхийн хувьд эхлээд маш олон натурал тоо гарч ирсэн бол удалгүй бутархай, эерэг тоонууд нэмэгджээ. иррационал тоо. Бодит тооны олонлогийн эдгээр дэд олонлогуудын дараа тэг ба сөрөг тоог нэвтрүүлсэн. Сүүлчийн багц буюу нийлмэл тоонуудын багц нь орчин үеийн шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр л гарч ирсэн.

Орчин үеийн математикт тоонуудыг түүхэн дарааллаар нь оруулдаггүй, гэхдээ үүнтэй ойрхон байдаг.

Натурал тоо $\mathbb(N)$

Натурал тоонуудын багцыг ихэвчлэн $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ гэж тэмдэглэдэг ба $\mathbb(N)_0$-г тэмдэглэхийн тулд ихэвчлэн тэгээр дүүргэдэг.

$\mathbb(N)$ нь нэмэх (+) ба үржүүлэх ($\cdot$) үйлдлүүдийг дараах байдлаар тодорхойлдог. дараах шинж чанаруудямар ч $a,b,c\mathbb(N)$-д:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \mathbb(N)$-д $\mathbb(N)$ олонлог нь нэмэх ба үржүүлэх үйлдлээр хаагдана.
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ шилжих чадвар
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ нэгдэл
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ тархалт
5. $a\cdot 1=a$ нь үржүүлэхэд саармаг элемент юм

$\mathbb(N)$ олонлог нь үржүүлэхэд зориулагдсан төвийг сахисан элемент агуулсан боловч нэмэхэд зориулагдаагүй тул энэ олонлогт тэгийг нэмэх нь нэмэхэд зориулсан саармаг элементийг агуулна.

Эдгээр хоёр үйлдлээс гадна $\mathbb(N)$ багц дээр "бага" ($) харьцаа

1. $a b$ трихотоми
2. хэрэв $a\leq b$ ба $b\leq a$ бол $a=b$ нь тэгш хэмийн эсрэг байна.
3. хэрэв $a\leq b$ ба $b\leq c$ бол $a\leq c$ нь шилжилт хөдөлгөөнтэй байна.
4. хэрэв $a\leq b$ бол $a+c\leq b+c$
5. хэрэв $a\leq b$ бол $a\cdot c\leq b\cdot c$

Бүхэл тоо $\mathbb(Z)$

Бүхэл тоон жишээнүүд:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

$a+x=b$ тэгшитгэлийн шийдэлд $a$ ба $b$ нь мэдэгдэж байгаа натурал тоо, $x$ нь үл мэдэгдэх натурал тоо байх тул шинэ үйлдэл болох хасах(-)-ийг нэвтрүүлэх шаардлагатай. Хэрэв энэ тэгшитгэлийг хангасан натурал $x$ тоо байвал $x=b-a$ байна. Гэсэн хэдий ч, энэ тусгай тэгшитгэл нь $\mathbb(N)$ олонлог дээр шийдэлтэй байх албагүй тул практикт авч үзэхийн тулд натурал тоонуудын багцыг ийм тэгшитгэлийн шийдийг оруулах байдлаар өргөтгөх шаардлагатай. Энэ нь бүхэл тооны багцыг нэвтрүүлэхэд хүргэдэг: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ тул өмнө нь нэвтрүүлсэн $+$ ба $\cdot$ үйлдлүүд болон $ 1 харьцаатай гэж үзэх нь логик юм. $0+a=a+0=a$ нэмэлтүүдийн хувьд төвийг сахисан элемент байдаг
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$-д $-a$ эсрэг тоо байна.

5. Эд хөрөнгө:
5. хэрэв $0\leq a$ ба $0\leq b$ бол $0\leq a\cdot b$

$\mathbb(Z) $ олонлог нь мөн хасах үйлдлээр хаагдана, өөрөөр хэлбэл $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Рационал тоо $\mathbb(Q)$

Жишээ рационал тоо:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Одоо $a\cdot x=b$ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье, $a$ ба $b$ нь мэдэгдэж буй бүхэл тоо бөгөөд $x$ нь тодорхойгүй байна. Шийдвэрийг боломжтой болгохын тулд хуваах үйлдлийг ($:$) нэвтрүүлэх шаардлагатай бөгөөд шийдэл нь $x=b:a$, өөрөөр хэлбэл $x=\frac(b)(a)$ болно. Дахин хэлэхэд, $x$ нь $\mathbb(Z)$-д үргэлж хамаарахгүй тул бүхэл тооны багцыг өргөтгөх ёстой гэсэн асуудал гарч ирнэ. Тиймээс бид $\frac(p)(q)$ элементүүдтэй $\mathbb(Q)$ рационал тоонуудын багцыг танилцуулж байна. Үүнд $p\in \mathbb(Z)$ болон $q\in \mathbb(N) доллар. $\mathbb(Z)$ олонлог нь элемент бүр $q=1$ байх дэд олонлог тул $\mathbb(Z)\дэд олонлог \mathbb(Q)$ болон нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд мөн энэ олонлогт өргөтгөлтэй байдаг. by дараах дүрэм$\mathbb(Q)$ багц дээр дээрх бүх шинж чанаруудыг хадгалдаг:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Хэсгийг дараах байдлаар оруулна.
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

$\mathbb(Q)$ олонлог дээр $a\cdot x=b$ тэгшитгэл нь $a\neq 0$ тус бүрд өвөрмөц шийдэлтэй байна (тэгд хуваахыг тодорхойлоогүй). Энэ нь урвуу элемент $\frac(1)(a)$ эсвэл $a^(-1)$ байна гэсэн үг:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\байна \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

$\mathbb(Q)$ багцын дарааллыг дараах байдлаар сунгаж болно:
$\frac(p_1)(q_1)

$\mathbb(Q)$ олонлог нь нэг чухал шинж чанартай: дурын хоёр рационал тооны хооронд хязгааргүй олон тооны бусад рационал тоо байдаг тул натурал болон бүхэл тооны олонлогоос ялгаатай нь хоёр хөрш рационал тоо байдаггүй.

Иррационал тоо $\mathbb(I)$

Иррационал тоонуудын жишээ:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \ойролцоогоор 1.41422135...$
$\pi \ойролцоогоор 3.1415926535...$

Дурын хоёр рационал тооны хооронд хязгааргүй олон тооны рационал тоо байдаг тул рационал тоонуудын олонлог маш нягт тул цаашид өргөжүүлэх шаардлагагүй гэж буруу дүгнэлт хийхэд хялбар байдаг. Пифагор хүртэл ийм алдаа гаргаж байсан удаатай. Гэсэн хэдий ч түүний үеийнхэн $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) тэгшитгэлийн шийдлийг рационал тооны олонлог дээр судалж байхдаа энэ дүгнэлтийг аль хэдийн няцаасан байдаг. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд квадрат язгуурын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь $x=\sqrt(2)$ хэлбэртэй байна. $x^2=a$ төрлийн тэгшитгэл нь $a$ нь мэдэгдэж байгаа рационал тоо, $x$ нь үл мэдэгдэх рационал тоо нь үргэлж рационал тоонуудын шийдэлтэй байдаггүй бөгөөд дахин хэрэгцээтэй байдаг. багцыг өргөжүүлэх. Иррационал тооны багц үүсч, $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... зэрэг тоонууд энэ олонлогт хамаарна.

Бодит тоо $\mathbb(R)$

Рационал ба иррационал тооны олонлогуудын нэгдэл нь бодит тооны олонлог юм. $\mathbb(Q)\дэд олонлог \mathbb(R)$ тул шинээр олонлогт оруулсан арифметик үйлдлүүд болон харилцаанууд шинж чанараа хадгална гэж үзэх нь дахин логик юм. Үүний албан ёсны баталгаа нь маш хэцүү тул дээр дурдсан арифметик үйлдлүүд болон бодит тооны олонлог дээрх харилцааны шинж чанаруудыг аксиом болгон танилцуулав. Алгебрт ийм объектыг талбар гэж нэрлэдэг тул бодит тооны олонлогийг эрэмбэлэгдсэн талбар гэнэ.

Бодит тооны олонлогийн тодорхойлолт бүрэн байхын тулд $\mathbb(Q)$ болон $\mathbb(R)$ олонлогуудыг ялгах нэмэлт аксиомыг нэвтрүүлэх шаардлагатай. $S$ нь бодит тооны олонлогийн хоосон бус дэд олонлог гэж бодъё. $b\in \mathbb(R)$ элементийг $\forall x\in S$ $x\leq b$-г хангаж байвал $S$-ийн дээд хязгаар гэж нэрлэнэ. Дараа нь $S$ багцыг дээрээс нь хязгаарласан байна. $S$ багцын хамгийн бага дээд хязгаарыг дээд хязгаар гэж нэрлэх ба $\sup S$ гэж тэмдэглэнэ. Доод хязгаар, доор хязгаарлагдсан олонлог, хязгааргүй $\inf S$ гэсэн ойлголтуудыг мөн адил танилцуулсан. Одоо алга болсон аксиомыг дараах байдлаар томъёоллоо.

Бодит тооны олонлогийн дээрх дэд олонлогоос хоосон биш, хязгаарлагдмал ямар ч дээд утгатай байна.
Дээр тодорхойлсон бодит тоонуудын талбар нь өвөрмөц гэдгийг мөн баталж болно.

Цогцолбор тоо $\mathbb(C)$

Комплекс тоонуудын жишээ:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ энд $i = \sqrt(-1)$ эсвэл $i^2 = -1$

Нарийн төвөгтэй тоонуудын багц нь бодит тоонуудын бүх эрэмблэгдсэн хосууд бөгөөд $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ бөгөөд нэмэх болон Үржүүлэхийг дараах байдлаар тодорхойлно.
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Комплекс тоо бичих хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд хамгийн түгээмэл нь $z=a+ib$, $(a,b)$ нь хос бодит тоо, $i=(0,1)$ тоо юм. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг.

$i^2=-1$ гэдгийг харуулахад амархан. $\mathbb(R)$ багцыг $\mathbb(C)$ багц руу өргөтгөх нь бидэнд тодорхойлох боломжийг олгодог. Квадрат язгуурсөрөг тоонуудын тоо нь нийлмэл тоонуудын багцыг нэвтрүүлэх шалтгаан болсон юм. $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ гэж өгөгдсөн $\mathbb(C)$ олонлогийн дэд олонлог нь бүгдийг хангаж байгааг харуулахад хялбар байдаг. бодит тоонуудын аксиомууд, иймээс $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, эсвэл $R\дэд олонлог\mathbb(C)$.

$\mathbb(C)$ олонлогийн нэмэх ба үржүүлэх үйлдлүүдийн алгебрийн бүтэц нь дараах шинж чанартай байна.
1. нэмэх, үржүүлэхийн солих чадвар
2. нэмэх, үржүүлэхийн холбоо
3. $0+i0$ - нэмэхэд зориулсан саармаг элемент
4. $1+i0$ - үржүүлэхэд зориулсан саармаг элемент
5. үржүүлэх нь нэмэхийн хувьд хуваарилалт юм
6. Нэмэх ба үржүүлэхийн аль алинд нь нэг урвуу элемент байдаг.

Иррационал тооны багцыг ихэвчлэн латин том үсгээр тэмдэглэдэг Би (\displaystyle \mathbb (I))ямар ч дүүргэлтгүйгээр тод үсгээр. Энэ замаар: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \арын налуу зураас \mathbb (Q) ), өөрөөр хэлбэл иррационал тооны олонлог нь бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа юм.

Иррационал тоонууд, илүү нарийвчлалтай нэгж урттай сегменттэй харьцуулшгүй сегментүүд байгаа нь эртний математикчдад аль хэдийн мэдэгдэж байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь иррациональтай тэнцэх болно. тооны.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5
Оновчгүй зүйл нь:

Иррационал байдлыг нотлох жишээнүүд

2-ын үндэс

Эсрэгээр нь хэлье: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))оновчтой, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), хаана m (\displaystyle m)нь бүхэл тоо бөгөөд n (\displaystyle n)- натурал тоо.
Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё:
2 = mn ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Баруун сум 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Баруун сум m^(2)=2n^(2)).
Өгүүллэг

Эртний үе

Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он орчим) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй болохыг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан [ ] .
Иррационал тоо байдгийн анхны нотолгоог ихэвчлэн Пифагор хүн Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 оны орчим) гэж үздэг. Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд багтсан бүхэл тоо юм. ] .
Хиппас аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг нотолсон тодорхой мэдээлэл байхгүй байна. Домогт өгүүлснээр тэрээр таван хошууны хажуугийн уртыг судалж үзээд олсон байна. Тиймээс энэ нь алтан харьцаа байсан гэж үзэх үндэслэлтэй. ] .
Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(үлгэршгүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр Хиппасс зохих ёсоор хүндэтгэл үзүүлээгүй. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэдэг орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосныхоо төлөө" хаясан гэсэн домог байдаг. " Хиппасын нээлт Пифагорын математикийн өмнө тавигдав ноцтой асуудал, тоо болон геометрийн биетүүд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн бүхэл бүтэн онолын үндэс суурь болсон таамаглалыг устгасан.

оновчтой тоонь энгийн бутархай m/n-ээр илэрхийлэгдсэн тоо бөгөөд энд m нь бүхэл тоо, хуваагч n нь натурал тоо юм. Аливаа рационал тоог үечилсэн хязгааргүй тоогоор илэрхийлж болно аравтын бутархай. Рационал тоонуудын багцыг Q гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв бодит тоо оновчтой биш бол энэ нь тийм юм иррационал тоо. Иррационал тоог илэрхийлдэг аравтын бутархай нь хязгааргүй бөгөөд үе үе биш юм. Иррационал тоонуудын багцыг ихэвчлэн латин том I үсгээр тэмдэглэдэг.

Жинхэнэ дугаарыг дуудаж байна алгебрийн, хэрэв энэ нь рационал коэффициенттэй зарим олон гишүүнт (тэг бус градус) үндэс бол. Аливаа алгебрийн бус тоог дуудна трансцендент.

Зарим шинж чанарууд:
Асуудлыг шийдвэрлэхдээ иррационал тоо a + b√ c (а, b нь рационал тоо, c нь натурал тооны квадрат биш бүхэл тоо) -ын хамт "холбогч" тоог авч үзэх нь тохиромжтой. a - b√ c: түүний нийлбэр ба эх - рационал тоонуудын үржвэр. Тэгэхээр a + b√ c ба a – b√ c үндэс болно квадрат тэгшитгэлбүхэл тооны коэффициентүүдтэй.

Шийдэлтэй холбоотой асуудлууд

1. Үүнийг нотлох

a) тоо √ 7;

б) lg 80 дугаар;

в) тоо √ 2 + 3 √ 3;

үндэслэлгүй юм.

a) √ 7 тоог оновчтой гэж үзье. Дараа нь √ 7 = p/q байх p ба q хоёрын анхны хэмжигдэхүүнүүд байгаа бөгөөд эндээс бид p 2 = 7q 2-г олж авна. p ба q нь хоёрдогч анхны тоо тул p 2, тэгэхээр p нь 7-д хуваагдана. Тэгвэл р = 7k, энд k нь зарим натурал тоо болно. Эндээс q 2 = 7k 2 = pk байгаа нь p ба q хоёр анхны хэмжигдэхүүнтэй зөрчилддөг.

Тэгэхээр таамаглал худал тул √ 7 тоо нь иррациональ байна.

b) lg 80 тоог рациональ гэж үзье. Дараа нь lg 80 = p/q, эсвэл 10 p = 80 q байх байгалийн p ба q байна, эндээс бид 2 p–4q = 5 q–p авна. 2 ба 5 тоо нь хос анхны тоо гэдгийг харгалзан үзэхэд сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн p–4q = 0 ба q–p = 0-д л боломжтой гэдгийг олж мэднэ. Эндээс p = q = 0, боломжгүй, учир нь p ба q нь байгалийн байхаар сонгосон.

Тэгэхээр энэ таамаг худал тул lg 80 тоо нь иррациональ юм.

в) Энэ тоог х гэж тэмдэглэе.

Дараа нь (x - √ 2) 3 \u003d 3, эсвэл x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Энэ тэгшитгэлийг квадрат болгосны дараа бид x нь тэгшитгэлийг хангах ёстой гэдгийг олж авна

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Үүний оновчтой үндэс нь зөвхөн 1 ба -1 тоо байж болно. Шалгалт нь 1 ба -1 нь үндэс биш болохыг харуулж байна.

Тэгэхээр өгөгдсөн тоо √ 2 + 3 √ 3 нь иррациональ юм.

2. Энэ нь мэдэгдэж байгаа тоо a, b, √ a –√ b ,- оновчтой. Үүнийг нотол √ a ба √ bмөн рационал тоонууд.

Бүтээгдэхүүнийг анхаарч үзээрэй

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Тоо √ a + √ b , a – b ба тоонуудын харьцаатай тэнцүү байна √ a –√ b ,хоёр рационал тооны хуваалт нь рационал тоо учраас рациональ. Хоёр рационал тооны нийлбэр

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

рационал тоо, тэдгээрийн ялгаа,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

нь бас рационал тоо бөгөөд үүнийг батлах ёстой.

3. a b тоо натурал байх эерэг иррационал тоо a, b байдгийг батал.

4. Тэгш байдлыг хангах a,b,c,d рационал тоонууд байна уу

(а+б √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

Энд n нь натурал тоо вэ?

Нөхцөлд өгөгдсөн тэгш байдал хангагдаж, a, b, c, d тоонууд рационал бол тэгш байдал бас хангагдана.

(а-б √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Харин 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Үүссэн зөрчил нь анхны тэгш байдал боломжгүй гэдгийг баталж байна.

Хариулт: Тэд байхгүй.

5. Хэрэв a, b, c урттай хэрчмүүд гурвалжин үүсгэвэл бүх n = 2, 3, 4, . . . n √ a , n √ b , n √ c урттай хэрчмүүд мөн гурвалжин үүсгэнэ. Үүнийг батла.

Хэрэв a, b, c урттай хэрчмүүд гурвалжин үүсгэвэл гурвалжны тэгш бус байдал өгнө

Тиймээс бидэнд байгаа

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Гурвалжны тэгш бус байдлыг шалгах үлдсэн тохиолдлуудыг ижил төстэй байдлаар авч үзэх бөгөөд үүнээс дүгнэлт гарна.

6. Хязгааргүй аравтын бутархай 0.1234567891011121314... (бүх натурал тоог аравтын бутархайн араас дарааллаар нь жагсаасан) иррационал тоо гэдгийг батал.

Та бүхний мэдэж байгаагаар рационал тоог аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь тодорхой тэмдгээс эхэлдэг үетэй байдаг. Тиймээс энэ бутархай нь ямар ч тэмдэгтэй үе үе биш гэдгийг батлахад хангалттай. Энэ нь тийм биш бөгөөд n цифрээс бүрдэх зарим T дараалал нь аравтын бутархайн бутархайн бутархайн үе юм гэж бодъё. 1-р цифрийн дараа 0 биш цифр байх нь тодорхой тул Т цифрүүдийн дараалалд 0 биш цифр байна. Энэ нь аравтын бутархайн дараах m-р цифрээс эхлэн дараалсан n цифрүүдийн дунд тэгээс өөр цифр байна гэсэн үг. Гэхдээ энэ бутархайн бутархайн тэмдэглэгээнд 100...0 = 10 k тооны аравтын бутархай байх ёстой бөгөөд энд k > m ба k > n. Энэ оруулга нь m-р цифрийн баруун талд байх бөгөөд дараалсан n-ээс олон тэг агуулсан байх нь ойлгомжтой. Тиймээс бид зөрчилдөөнийг олж авдаг бөгөөд энэ нь нотлох баримтыг бүрэн хангадаг.

7. Хязгааргүй аравтын бутархай 0,a 1 a 2 ... өгөгдсөн. Үүссэн бутархай нь рационал тоог илэрхийлэхийн тулд аравтын бутархайн цифрүүдийг дахин байрлуулж болохыг батал.

Бутархай нь үе үе байвал ямар нэг тэмдгээс эхлэн оновчтой тоог илэрхийлдэг гэдгийг санаарай. Бид 0-ээс 9 хүртэлх тоонуудыг хоёр ангилалд хуваадаг: эхний ангид бид анхны бутархайд хязгаарлагдмал олон удаа тохиолдох тоонуудыг, хоёрдугаар ангид - анхны бутархайд тохиолдох тоог оруулна. хязгааргүй тоонэг удаа. Цифрүүдийн анхны орлуулалтаас олж болох үечилсэн бутархайг бичиж эхэлцгээе. Нэгдүгээрт, тэг ба таслалын дараа бид санамсаргүй дарааллаар эхний ангиас бүх тоонуудыг бичнэ - тус бүр нь анхны бутархайн оролтод тохиолдох олон удаа. Бичсэн эхний ангиллын цифрүүд нь аравтын бутархайн хэсгийн цэгийн өмнө бичигдэнэ. Дараа нь бид хоёрдугаар ангийн тоонуудыг дарааллаар нь нэг удаа бичнэ. Бид энэ хослолыг цэг гэж зарлаж, хязгааргүй олон удаа давтах болно. Тиймээс бид зарим рационал тоог илэрхийлэх шаардлагатай үечилсэн бутархайг бичсэн.

8. Хязгааргүй аравтын бутархай бүрт дурын урттай аравтын бутархайн цифрүүдийн дараалал байдгийг батална уу.

m-ийг дурын натурал тоо болгоё. Энэхүү хязгааргүй аравтын бутархайг хэсэг болгон хувааж, тус бүр нь m оронтой. Ийм сегментүүд хязгааргүй олон байх болно. Нөгөөтэйгүүр, m цифрээс бүрдэх өөр өөр систем нь зөвхөн 10 м байдаг, өөрөөр хэлбэл, төгсгөлтэй тоо. Иймээс эдгээр системүүдийн дор хаяж нэг нь энд хязгааргүй олон удаа давтагдах ёстой.

Сэтгэгдэл. Иррационал тоонуудын хувьд √ 2 , π эсвэл дТэдгээрийг төлөөлдөг хязгааргүй аравтын бутархайн дотор аль цифр нь хязгааргүй олон удаа давтагдаж байгааг бид мэдэхгүй ч эдгээр тоо бүрд дор хаяж хоёр өөр цифр агуулагдаж байгааг хялбархан харуулж болно.

9. Тэгшитгэлийн эерэг язгуур гэдгийг энгийн аргаар батал

үндэслэлгүй юм.

x > 0-ийн хувьд тэгшитгэлийн зүүн тал х-ээр өсөх ба x = 1.5-д 10-аас бага, x = 1.6-д 10-аас их байгааг харахад хялбар байдаг. Иймээс цорын ганц эерэг язгуур. тэгшитгэл нь интервал дотор оршдог (1.5 ; 1.6).

Бид язгуурыг p/q бууруулж болохгүй бутархай гэж бичдэг ба энд p ба q нь зарим нэмэлт натурал тоо юм. Дараа нь x = p/q хувьд тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

Эндээс p нь 10-ын хуваагч, тиймээс p нь 1, 2, 5, 10 тоонуудын аль нэгтэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч 1, 2, 5, 10 тоологчтой бутархайг бичихэд аль нь ч байхгүй гэдгийг бид шууд анзаарч болно. тэдгээр нь интервал дотор ордог (1.5; 1.6).

Тиймээс анхны тэгшитгэлийн эерэг язгуурыг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд энэ нь иррационал тоо гэсэн үг юм.

10. a) Хавтгай дээр ямар ч X цэгийн хувьд XA, XB, XC хэрчмүүдийн ядаж нэгнийх нь урт иррациональ байхаар гурван A, B, C цэг байдаг уу?

б) Гурвалжны оройн координатууд рациональ байна. Түүний хүрээлэгдсэн тойргийн төвийн координатууд бас оновчтой болохыг батал.

в) Яг нэг оновчтой цэг байдаг бөмбөрцөг байдаг уу? (Рациональ цэг нь бүх гурван декарт координат нь оновчтой тоо байх цэг юм.)

a) Тийм ээ, байдаг. C нь AB сегментийн дунд цэг байг. Дараа нь XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Хэрэв AB 2 тоо иррациональ байвал XA, XB, XC тоонууд нэгэн зэрэг оновчтой байж чадахгүй.

б) (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) ба (a 3 ; b 3) гурвалжны оройн координат байг. Түүний хүрээлэгдсэн тойргийн төвийн координатыг тэгшитгэлийн системээр тодорхойлно.

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь шугаман эсэхийг шалгахад хялбар бөгөөд энэ нь авч үзсэн тэгшитгэлийн системийн шийдэл оновчтой гэсэн үг юм.

в) Ийм хүрээ байдаг. Жишээлбэл, тэгшитгэлтэй бөмбөрцөг

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

(0; 0; 0) координаттай О цэг нь энэ бөмбөрцөг дээр байрлах оновчтой цэг юм. Бөмбөрцгийн үлдсэн цэгүүд нь үндэслэлгүй юм. Үүнийг баталъя.

Эсрэгээр нь бодъё: (x; y; z) бөмбөрцгийн рационал цэг, О цэгээс ялгаатай. x = 0-ийн хувьд өвөрмөц шийдэл (0; 0) байгаа тул x нь 0-ээс ялгаатай нь тодорхой байна. ; 0), бид одоо сонирхож чадахгүй байна. Хаалтыг тэлээд √ 2-г илэрхийлье:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

Энэ нь рационал х, у, z ба иррационал √ 2-ийн хувьд байж болохгүй. Тэгэхээр O(0; 0; 0) нь авч үзэж буй бөмбөрцгийн цорын ганц оновчтой цэг юм.

Шийдэлгүй асуудлууд

1. Тоо гэдгийг батал

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

үндэслэлгүй юм.

2. (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n тэгшитгэл m ба n ямар бүхэл тоонд тохирох вэ?

3. a - √ 3 ба 1/a + √ 3 бүхэл тоо байх тийм тоо байна уу?

4. 1, √ 2, 4 тоо нь арифметик прогрессийн гишүүн (заавал зэргэлдээ байх албагүй) байж болох уу?

5. Дурын эерэг бүхэл n тооны хувьд (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 тэгшитгэл нь рационал тоонуудын шийдэлгүй (x; y) байгааг батал.

Иррационал тооны тодорхойлолт

Иррационал тоонууд нь аравтын тэмдэглэгээнд төгсгөлгүй үе бус бутархай бутархай тоонууд юм.

Жишээлбэл, натурал тоонуудын квадрат язгуурыг авах замаар олж авсан тоонууд нь иррациональ бөгөөд натурал тооны квадратууд биш юм. Гэхдээ бүх иррационал тоог квадрат язгуур гаргаж авахгүй, учир нь хуваах замаар олж авсан "pi" тоо нь мөн иррациональ бөгөөд та натурал тооноос квадрат язгуурыг гаргаж авах гэж оролдох үед үүнийг олж авах магадлал багатай юм.

Иррационал тооны шинж чанарууд

Хязгааргүй аравтын бутархайгаар бичигдсэн тооноос ялгаатай нь зөвхөн иррационал тоонуудыг үе үе бус хязгааргүй аравтын бутархайгаар бичдэг.
Хоёр сөрөг бус иррационал тооны нийлбэр эцэстээ рационал тоо байж болно.
Иррационал тоо нь рационал тоонуудын багц дахь Дедекинд хэсгүүдийг заагаагүй доод ангилалд багтдаг. их тоо, дээд хэсэгт нь жижиг нь байхгүй.
Аливаа бодит трансцендент тоо нь иррациональ юм.
Бүх иррационал тоо нь алгебр эсвэл трансцендентал юм.
Шугаман дээрх иррационал тоонуудын олонлог нь нягт нөмөр нөөлөгтэй байх ба аль ч хоёр тооны хооронд иррационал тоо байх нь гарцаагүй.
Иррационал тооны олонлог нь хязгааргүй, тоолж баршгүй бөгөөд 2-р ангиллын олонлог юм.
Рационал тоон дээр 0-д хуваахаас бусад аливаа арифметик үйлдлийг гүйцэтгэхдээ үр дүн нь рационал тоо болно.
Иррационал тоонд рационал тоог нэмэхэд үр дүн нь үргэлж иррационал тоо болно.
Иррационал тоонуудыг нэмэхэд үр дүнд нь оновчтой тоо гарч ирнэ.
Иррационал тооны олонлог тэгш биш байна.

Тоо бол үндэслэлгүй зүйл биш юм

Заримдаа тоо нь иррациональ эсэх, ялангуяа тоо нь аравтын бутархай эсвэл тоон илэрхийлэл, үндэс эсвэл логарифм хэлбэртэй байвал хариулахад нэлээд хэцүү байдаг.
Тиймээс аль тоо нь үндэслэлгүй болохыг мэдэх нь илүүц байх болно. Хэрэв бид иррационал тоонуудын тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл рационал тоо нь иррациональ байж чадахгүй гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.
Иррационал тоонууд нь:
Нэгдүгээрт, бүх натурал тоо;
Хоёрдугаарт, бүхэл тоо;
Гуравдугаарт, энгийн бутархай;
Дөрөвдүгээрт, өөр өөр холимог тоо;
Тавдугаарт, эдгээр нь хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай юм.
Дээр дурдсан бүхнээс гадна +, -, , :, гэх мэт арифметик үйлдлийн шинж тэмдгээр гүйцэтгэсэн рационал тоонуудын дурын хослол нь иррационал тоо байж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд хоёр рационал тооны үр дүн нь мөн адил байх болно. рационал тоо байх.
Одоо эдгээр тоонуудын аль нь үндэслэлгүй болохыг харцгаая.

Энэхүү нууцлаг математик үзэгдлийн шүтэн бишрэгчид Пигийн тухай шинэ мэдээлэл хайж, нууцыг нь тайлах гэж оролддог фэн клуб байдгийг та мэдэх үү. Аравтын бутархайн дараа тодорхой тооны Pi тоог цээжээр мэддэг хүн бүр энэ клубын гишүүн болох боломжтой;
Германд ЮНЕСКО-гийн хамгаалалт дор Кастадел Монте ордон байдгийг та мэдэх үү, үүний ачаар та Пиг тооцоолох боломжтой. Хаан II Фредерик энэ тоонд бүхэл бүтэн ордон зориулжээ.
Пи тоог барилгын ажилд ашиглах гэж оролдсон нь тогтоогдсон Бабелийн цамхаг. Гэхдээ тэр үед Pi-ийн утгыг нарийн тооцоолж чадаагүй байсан тул энэ нь төслийг сүйрүүлэхэд хүргэсэн нь бидний маш их харамсаж байна.
Дуучин Кейт Буш шинэ дискэндээ "Пи" нэртэй дуу бичсэн бөгөөд үүнд алдарт 3, 141 цувралын зуун хорин дөрвөн тоо сонсогджээ ... ..

Иррационал тооны тэмдэглэгээ. Рационал ба иррационал тоо гэж юу вэ

Бүхэл тоо

Бүхэл тоо

Рационал тоо

Натурал тоо $\mathbb(N)$

Бүхэл тоо $\mathbb(Z)$

Рационал тоо $\mathbb(Q)$

Иррационал тоо $\mathbb(I)$

Бодит тоо $\mathbb(R)$

Цогцолбор тоо $\mathbb(C)$

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

Иррационал байдлыг нотлох жишээнүүд

2-ын үндэс

Өгүүллэг

Эртний үе

Шийдэлтэй холбоотой асуудлууд

Шийдэлгүй асуудлууд

Иррационал тооны тодорхойлолт

Иррационал тооны шинж чанарууд

Тоо бол үндэслэлгүй зүйл биш юм