0-ээс их квадрат язгуурын шинж чанарууд. Квадрат язгуур. Цогц гарын авлага (2019)

Үл хөдлөх хөрөнгө квадрат үндэс

Одоогийн байдлаар бид тоон дээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах ба экспонентаци, тооцоололд тэд идэвхтэй ашигласан янз бүрийн шинж чанаруудэдгээр үйлдлүүд, жишээлбэл, a + b = b + a, an-bn = (ab) n гэх мэт.

Энэ бүлэгт шинэ үйл ажиллагаа - олборлолтыг танилцуулж байна квадрат язгуурсөрөг бус тооноос. Үүнийг амжилттай ашиглахын тулд та энэ үйлдлийн шинж чанаруудтай танилцах хэрэгтэй бөгөөд үүнийг бид энэ хэсэгт хийх болно.

Баталгаа. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Тэгш байдал" width="120" height="25 id=">!}.

Бид дараах теоремыг ингэж томъёолдог.

(Практикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой богино томъёолол: бутархайн үндэс бутархайтай тэнцүүязгуураас авсан буюу хуваалтын үндэс нь язгуурын хэсэгтэй тэнцүү байна.)

Энэ удаад бид зөвхөн танилцуулах болно богино тэмдэглэлнотлох ба та 1-р теоремын нотолгооны мөн чанарыг бүрдүүлсэн тайлбартай ижил төстэй тайлбар хийхийг хичээ.

Тайлбар 3. Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээг өөрөөр шийдэж болно, ялангуяа танд тооцоолуур байгаа бол: 36, 64, 9-ийн тоог үржүүлж, үр дүнгийн үр дүнгийн квадрат язгуурыг авна. Гэсэн хэдий ч дээр санал болгож буй шийдэл нь илүү соёлтой харагддаг гэдэгтэй та санал нийлэх болно.

Тайлбар 4. Эхний аргын хувьд бид шууд тооцоолол хийсэн. Хоёр дахь арга нь илүү гоёмсог юм:
бид өргөдөл гаргасан томъёо a2 - b2 = (a - b) (a + b) ба квадрат язгуурын шинж чанарыг ашигласан.

Тайлбар 5. Зарим "халуун толгой" заримдаа 3-р жишээнд дараах "шийдлийг" санал болгодог.

Энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм: та харж байна - үр дүн нь бидний жишээн дээрхтэй адилгүй 3. Үнэн хэрэгтээ өмч байхгүй байна. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Task" width="148" height="26 id=">!}Зөвхөн квадрат язгуурыг үржүүлэх, хуваах шинж чанарууд байдаг. Болгоомжтой, болгоомжтой байгаарай, хүсэл мөрөөдлөө бүү ав.

Догол мөрийг дуусгахад бид өөр нэг энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг чухал шинж чанарыг тэмдэглэж байна.
хэрэв a > 0 ба n - натурал тоо, дараа нь

Квадрат язгуур үйлдлийг агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх

Одоогоор бид зөвхөн өөрчлөлтийг хийсэн оновчтой илэрхийллүүд, үүний тулд олон гишүүнт дээр үйлдлийн дүрмийг ашиглан ба алгебрийн бутархай, үржүүлэх товчилсон томъёо гэх мэт Энэ бүлэгт бид шинэ үйлдлийг танилцуулсан - квадрат язгуурыг задлах үйл ажиллагаа; бид үүнийг тогтоосон

Энд, эргэн санах, a, b нь сөрөг бус тоонууд.

Эдгээрийг ашиглах томъёо, та квадрат язгуур үйлдлийг агуулсан илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалтыг хийж болно. Хэд хэдэн жишээг авч үзье, бүх жишээн дээр хувьсагчид зөвхөн сөрөг бус утгыг авна гэж үзэх болно.

Жишээ 3Квадрат язгуур тэмдгийн доор хүчин зүйл оруулна уу:

Жишээ 6. Шийдэл илэрхийллийг хялбарчлах. Дараалсан өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:

Сэдвийн талаархи хичээл ба танилцуулга:
"Квадрат язгуурын шинж чанарууд. Томъёо. Шийдлийн жишээ, хариулттай даалгавар"

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай. Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

8-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
8-р ангийн "Геометр 10 минутын дотор" интерактив сургалтын гарын авлага
"1С: Сургууль. Геометр, 8-р анги" боловсролын цогцолбор

Квадрат язгуур шинж чанарууд

Бид квадрат язгуурыг үргэлжлүүлэн судалсаар байна. Өнөөдөр бид үндэсийн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх болно. Бүх үндсэн шинж чанарууд нь ойлгомжтой бөгөөд бидний өмнө нь хийж байсан бүх үйлдлүүдтэй нийцдэг.

Өмч чанар 1. Хоёр сөрөг бус тооны үржвэрийн квадрат язгуур нь эдгээр тооны квадрат язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Аливаа эд хөрөнгийг нотлох заншилтай, үүнийг хийцгээе.
$\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ байг. Дараа нь бид $x=y*z$ гэдгийг батлах ёстой.
Илэрхийлэл бүрийг квадрат болгоё.
Хэрэв $\sqrt(a*b)=x$ бол $a*b=x^2$.
Хэрэв $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, хоёр илэрхийлэлийг квадрат болговол бид дараахийг авна: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, өөрөөр хэлбэл $x^2=(y*z)^2$. Хэрэв сөрөг бус хоёр тооны квадратууд тэнцүү бол тоонууд нь тэнцүү бөгөөд үүнийг батлах ёстой.

Бидний өмчөөс харахад жишээлбэл $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Тайлбар 1. Үндэс дор хоёроос дээш сөрөг бус хүчин зүйл байгаа тохиолдолд өмч хүчинтэй байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хэрэв $a≥0$ ба $b>0$ байвал дараах тэгшитгэлийг хангана: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Өөрөөр хэлбэл, язгуурын язгуур нь язгуурын язгууртай тэнцүү байна.
Баталгаа.
Хүснэгтийг ашиглаад өмчөө товч нотолж үзье.

Квадрат язгуур шинж чанарыг ашиглах жишээ

Жишээ 1
Тооцоолох: $\sqrt(81*25*121)$.

Шийдэл.
Мэдээжийн хэрэг, бид тооцоолуур авч, үндэс дор байгаа бүх тоог үржүүлж, квадрат язгуурыг задлах үйлдлийг хийж болно. Хэрэв гарт тооцоолуур байхгүй бол яах вэ?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Хариулт: 495.

Жишээ 2. Тооцоол: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Шийдэл.
Бид радикал тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлнэ: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) доллар.
2-р өмчийг ашиглацгаая.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4 доллар.
Хариулт: 3.4.

Жишээ 3
Тооцоолох: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Шийдэл.
Бид өөрсдийн илэрхийлэлийг шууд үнэлж чадна, гэхдээ үүнийг бараг үргэлж хялбаршуулж болно. Үүнийг хийхийг хичээцгээе.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Тэгэхээр $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Хариулт: 32.

Залуус аа, радикал илэрхийллийг нэмэх, хасах үйлдлүүдийн томьёо байхгүй бөгөөд доорх илэрхийлэл буруу байгааг анхаарна уу.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Жишээ 4
Тооцоолох: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Шийдэл.
Дээр үзүүлсэн шинж чанарууд нь зүүнээс баруун тийш, урвуу дарааллаар ажилладаг, өөрөөр хэлбэл:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Үүнийг ашиглан жишээгээ шийдье.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Хариулт: a) 16; б) 2.

Эд хөрөнгө 3. Хэрэв $a≥0$ ба n нь натурал тоо бол дараах тэгшитгэл биелнэ: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Жишээ нь. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ гэх мэт.

Жишээ 5
Тооцоолох: $\sqrt(129600)$.

Шийдэл.
Бидэнд танилцуулсан тоо нь нэлээд том тул үүнийг үндсэн хүчин зүйл болгон задалъя.
Бид авсан: $129600=5^2*2^6*3^4$ эсвэл $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Хариулт: 360.

Бие даасан шийдлийн даалгавар

1. Тооцоолох: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Тооцоолох: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Тооцоолох: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Тооцоол:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
б) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Энэ нийтлэл нь үндэс шинж чанарын сэдвийг авч үзсэн дэлгэрэнгүй мэдээллийн цуглуулга юм. Сэдвийг авч үзэхийн тулд бид шинж чанаруудаас эхэлж, бүх томъёог судалж, нотлох баримтуудыг өгнө. Сэдвийг нэгтгэхийн тулд бид n-р зэргийн шинж чанарыг авч үзэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Root Properties

Бид үл хөдлөх хөрөнгийн талаар ярих болно.

Өмч үржүүлсэн тоо аболон б, энэ нь a · b = a · b тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ. Үүнийг эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү үржүүлэгчээр илэрхийлж болно a 1 , a 2 , … , a k a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k гэж;
хувийн хэсгээс a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, үүнийг мөн энэ хэлбэрээр бичиж болно a b = a b ;
Тооны хүчнээс гарах өмч атэгш илтгэгчтэй a 2 m = a m аль ч тооны хувьд ажишээлбэл, a 2 = a тооны квадратаас авсан шинж чанар.

Өгөгдсөн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд та зураасны тэмдгийн өмнө болон хойно байгаа хэсгүүдийг сольж болно, жишээлбэл, a · b = a · b тэгшитгэлийг a · b = a · b болгон хувиргана. Нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг хялбарчлахад тэгш байдлын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг.

Эхний шинж чанаруудын нотолгоо нь квадрат язгуурын тодорхойлолт болон байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд дээр суурилдаг. Гурав дахь шинж чанарыг нотлохын тулд тооны модулийн тодорхойлолтод хандах шаардлагатай.

Юуны өмнө квадрат язгуурын шинж чанарыг батлах шаардлагатай a · b = a · b . Тодорхойлолтын дагуу a b нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү тоо бөгөөд энэ нь тэнцүү байх болно гэж үзэх шаардлагатай. a bбарилгын ажлын явцад дөрвөлжин болгон. a · b илэрхийллийн утга нь сөрөг бус тоонуудын үржвэрийн хувьд эерэг буюу тэгтэй тэнцүү байна. Үржүүлсэн тооны зэрэглэлийн шинж чанар нь тэгш байдлыг (a · b) 2 = a 2 · b 2 хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Квадрат язгуурын тодорхойлолтоор a 2 \u003d a ба b 2 \u003d b, дараа нь a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Үүнтэй адилаар үүнийг бүтээгдэхүүнээс баталж болно күржүүлэгчид a 1 , a 2 , … , a kэдгээр хүчин зүйлсийн квадрат язгуурын үржвэртэй тэнцүү байх болно. Үнэн хэрэгтээ, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k.

Энэ тэгшитгэлээс харахад a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Сэдвийг бататгахын тулд хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 ба 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

Хэмжилтийн арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг батлах шаардлагатай: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Энэ шинж чанар нь a: b 2 = a 2: b 2, a 2: b 2 = a: b гэсэн тэгшитгэлийг бичих боломжийг олгодог бол a: b нь эерэг тоо эсвэл тэгтэй тэнцүү байна. Энэ илэрхийлэл нь нотолгоо байх болно.

Жишээлбэл, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ба 30, 121 = 30, 121.

Тооны квадратын квадрат язгуурын шинж чанарыг авч үзье. Үүнийг 2 = a гэж тэнцүү гэж бичиж болно. Энэ шинж чанарыг батлахын тулд хэд хэдэн тэгшитгэлийг нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай. a ≥ 0болон цагт а< 0 .

a ≥ 0-ийн хувьд a 2 = a тэнцүү байх нь ойлгомжтой. At а< 0 a 2 = - a тэгшитгэл үнэн болно. Үнэндээ, энэ тохиолдолд − a > 0ба (− a) 2 = a 2 . Бид a 2 = a , a ≥ 0 - a , a гэж дүгнэж болно< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

5 2 = 5 = 5 ба - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Батлагдсан өмч нь 2 м = a m-ийг зөвтгөхөд тусална а- бодит ба м- натурал тоо. Үнэн хэрэгтээ, экспоненциал шинж чанар нь градусыг солих боломжийг бидэнд олгодог нь 2 милэрхийлэл (цаг) 2, дараа нь a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Жишээ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ба (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

n-р язгуурын шинж чанарууд

Эхлээд та n-р зэргийн үндэсийн үндсэн шинж чанарыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Тоонуудын үржвэрийн өмч аболон б, эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, тэгшитгэлээр илэрхийлж болно a b n = a n b n , энэ шинж чанар нь бүтээгдэхүүнд хүчинтэй байна. ктоо a 1 , a 2 , … , a k a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n гэж;
бутархай тооноос a b n = a n b n шинж чанартай, энд аэерэг буюу тэгтэй тэнцүү ямар ч бодит тоо бөгөөд бэерэг бодит тоо;
Дурын хувьд аба тэгш тоо n = 2 м a 2 м 2 м = a нь үнэн бөгөөд сондгой n = 2 м − 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a тэгшитгэл биелэгдэнэ.
a m n = a n m -аас олборлох шинж чанар, энд а- эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү дурын тоо; nболон мнатурал тоонууд тул энэ шинж чанарыг мөн хэлбэрээр илэрхийлж болно . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Ямар ч сөрөг биш a болон дурын хувьд nболон м, байгалийн юм, нэг нь бас шударга тэгш байдлыг тодорхойлж болно a m n · m = a n ;
зэрэгтэй өмч nтооны хүчнээс а, эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, төрөл м, тэгшитгэлээр тодорхойлогддог a m n = a n m ;
Ижил илтгэгчтэй харьцуулах шинж чанар: дурын эерэг тоонуудын хувьд аболон бтиймэрхүү а< b , тэгш бус байдал a n< b n ;
Харьцуулах өмчийг эзэмшдэг ижил тооүндэс: хэрэв мболон n-натурал тоонууд m > n, дараа нь цагт 0 < a < 1 a m > a n тэгш бус байдал хүчинтэй бөгөөд хувьд a > 1а м< a n .

Тэнцүүний тэмдгийн өмнөх болон дараах хэсгүүдийг урвуу болгосон тохиолдолд дээрх тэгшитгэл хүчинтэй байна. Тэдгээрийг энэ хэлбэрээр ашиглаж болно. Энэ нь хэллэгийг хялбарчлах эсвэл хувиргах үед ихэвчлэн ашиглагддаг.

Үндэсний дээрх шинж чанаруудын баталгаа нь тодорхойлолт, зэрэглэлийн шинж чанар, тооны модулийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь батлагдсан байх ёстой. Гэхдээ бүх зүйл эмх цэгцтэй байна.

Юуны өмнө бид a · b n = a n · b n үржвэрээс n-р зэргийн язгуурын шинж чанарыг батлах болно. Учир нь аболон б, аль ньбайна эерэг эсвэл тэг , a n · b n утга нь мөн эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, учир нь энэ нь сөрөг бус тоог үржүүлсний үр дагавар юм. Байгалийн эрчим хүчний бүтээгдэхүүний шинж чанар нь a n · b n n = a n n · b n n тэгшитгэлийг бичих боломжийг бидэнд олгодог. Үндэсний тодорхойлолтоор n th зэрэгтэй a n n = a ба b n n = b , тиймээс a n · b n n = a · b . Үүний үр дүнд үүссэн тэгш байдал нь нотлох шаардлагатай байсан зүйл юм.

Энэ шинж чанар нь бүтээгдэхүүний хувьд ижил төстэй нотлогдсон кхүчин зүйлс: сөрөг бус тоонуудын хувьд a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Үндсэн өмчийг ашиглах жишээ энд байна nБүтээгдэхүүнээс гарах хүч: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ба 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

a b n = a n b n хэсгийн язгуурын шинж чанарыг баталъя. At a ≥ 0болон b > 0 a n b n ≥ 0 нөхцөл хангагдах ба a n b n n = a n n b n n = a b.

Жишээнүүдийг үзүүлье:

Жишээ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ба 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

Учир нь дараагийн алхамтооноос зэрэг хүртэлх n-р зэргийн шинж чанарыг батлах шаардлагатай n. Бид үүнийг ямар ч бодит хувьд a 2 м 2 м = a ба 2 м - 1 2 м - 1 = a тэнцүү гэж төлөөлдөг. амөн байгалийн м. At a ≥ 0бид a = a ба a 2 m = a 2 m-ийг авах бөгөөд энэ нь a 2 m 2 m = a тэнцүү болохыг баталж, a 2 m - 1 2 m - 1 = a тэнцүү байх нь ойлгомжтой. At а< 0 Бид тус тусад нь a = - a ба 2 m = (- a) 2 m = a 2 m-ийг авна. Тооны сүүлчийн хувиргалт нь зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу хүчинтэй байна. Энэ нь 2 м 2 м \u003d a тэнцүү болохыг баталж байгаа бөгөөд 2 м - 1 2 м - 1 \u003d a нь үнэн байх болно, учир нь - c 2 м - 1 \u003d - c 2 м-ийг сондгой гэж үздэг. зэрэг - дурын тооны хувьд 1 в,эерэг буюу тэгтэй тэнцүү.

Хүлээн авсан мэдээллийг нэгтгэхийн тулд үл хөдлөх хөрөнгийг ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 ба (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39.

Дараах тэгш байдлыг баталъя a m n = a n · m . Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн өмнөх ба дараа нь a n · m = a m n гэсэн газруудын тоог өөрчлөх шаардлагатай. гэсэн утгатай болно зөв оруулга. Учир нь а,энэ нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү байна , a m n хэлбэрээс эерэг тоо буюу тэгтэй тэнцүү байна. Эрх мэдлийг хүчирхэг болгох шинж чанар, тодорхойлолт руу хандъя. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та тэгш байдлыг a m n n · m = a m n n m = a m m = a хэлбэрээр хувиргаж болно. Энэ нь язгуураас язгуурын авч үзсэн шинж чанарыг нотолж байна.

Бусад шинж чанарууд нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог. Үнэхээр, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk =. . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk =. . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk =. . . = a n k n k = a .

Жишээлбэл, 7 3 5 = 7 5 3 ба 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Баталцгаая дараагийн өмч a m n · m = a n . Үүний тулд n нь эерэг буюу тэгтэй тэнцүү тоо гэдгийг харуулах шаардлагатай. Хүчин чадалд n m нь дээшлэх үед а м. Хэрэв дугаар аэерэг эсвэл тэг байвал nдундаас-р зэрэг аэерэг тоо буюу тэгтэй тэнцүү Түүнээс гадна a n · m n = a n n m , үүнийг батлах ёстой.

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэхийн тулд цөөн хэдэн жишээг авч үзье.

Дараах шинж чанарыг баталъя - a m n = a n m хэлбэрийн чадлын язгуурын шинж чанар. Энэ нь тодорхой байна a ≥ 0 a n m зэрэг нь сөрөг бус тоо юм. Түүнээс гадна, түүнийг n-р зэрэгтэй тэнцүү байна а м, үнэхээр, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Энэ нь тухайн зэрэглэлийн шинж чанарыг нотолж байна.

Жишээлбэл, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

Аливаа эерэг тоонуудын хувьд бид үүнийг батлах хэрэгтэй аболон б а< b . a n тэгш бус байдлыг авч үзье< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Иймээс a n< b n при а< b .

Жишээлбэл, бид 12 4-ийг өгдөг< 15 2 3 4 .

Үндсэн шинж чанарыг анхаарч үзээрэй n--р зэрэг. Эхлээд тэгш бус байдлын эхний хэсгийг анхаарч үзээрэй. At m > nболон 0 < a < 1 үнэн a m > a n . a m ≤ a n гэж бодъё. Properties нь a n m · n ≤ a m m · n илэрхийллийг хялбарчлах болно. Дараа нь байгалийн илтгэгчтэй градусын шинж чанарын дагуу a n m n m n ≤ a m m n m n тэгш бус байдал хангагдана, өөрөөр хэлбэл, a n ≤ a m. Хүлээн авсан утга m > nболон 0 < a < 1 дээрх шинж чанаруудтай таарахгүй байна.

Үүнтэй адил хүн үүнийг баталж чадна m > nболон a > 1нөхцөл a m< a n .

Дээрх шинж чанаруудыг засахын тулд хэд хэдэн зүйлийг анхаарч үзээрэй тодорхой жишээнүүд. Тодорхой тоонуудыг ашиглан тэгш бус байдлыг авч үзье.

Жишээ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Баримт 1.
$\сум$ Сөрөг бус тоо $a$ авна уу (өөрөөр хэлбэл $a\geqslant 0$ ). Дараа нь (арифметик) квадрат язгуур$a$ тооноос ийм сөрөг бус $b$ тоог дуудаж, квадрат болгохдоо $a$ тоог авна: \[\sqrt a=b\quad \text(тай ижил)\quad a=b^2\]Тодорхойлолтоос харахад ийм байна $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Эдгээр хязгаарлалтууд нь чухал нөхцөлдөрвөлжин язгуур байдаг бөгөөд тэдгээрийг санаж байх ёстой!
Дурын тоо квадрат нь сөрөг бус үр дүнг өгдөг гэдгийг санаарай. Энэ нь $100^2=10000\geqslant 0$ ба $(-100)^2=10000\geqslant 0$ гэсэн үг юм.
$\сум$ $\sqrt(25)$ гэж юу вэ? $5^2=25$ ба $(-5)^2=25$ гэдгийг бид мэднэ. Тодорхойлолтоор бид сөрөг бус тоог олох ёстой тул $-5$ тохиромжгүй тул $\sqrt(25)=5$ ($25=5^2$ учир).
$\sqrt a$ утгыг олохыг $a$ тооны квадрат язгуур, $a$ тоог язгуур илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.
$\сум$ Тодорхойлолт дээр үндэслэн $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ гэх мэт илэрхийлэл. утгагүй.

Баримт 2.
Учир нь хурдан тооцоолох$1$ -ээс $20$ хүртэлх натурал тоонуудын квадратуудын хүснэгтийг сурах нь ашигтай байх болно. \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(массив)\]

Баримт 3.
Квадрат үндэсээр юу хийж болох вэ?
$\сум$ Квадрат язгуурын нийлбэр эсвэл зөрүү нь нийлбэр эсвэл зөрүүний квадрат язгууртай ТЭНЦҮҮ БОЛОХГҮЙ, өөрөөр хэлбэл. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Тиймээс, хэрэв та жишээ нь $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ тооцоолох шаардлагатай бол эхлээд $\sqrt(25)$ ба $\sqrt) утгуудыг олох хэрэгтэй. (49)\ ) ба дараа нь нэмнэ үү. Тиймээс, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Хэрэв \(\sqrt a+\sqrt b$ нэмэх үед $\sqrt a$ эсвэл $\sqrt b$ утгууд олдохгүй байвал ийм илэрхийлэл цаашид хөрвүүлэгдэхгүй бөгөөд байгаагаар нь үлдэнэ. Жишээлбэл, $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ нийлбэрээс бид $\sqrt(49)$ олох боломжтой - энэ нь $7$ боловч $\sqrt 2$ байж болохгүй. ямар ч байдлаар хөрвүүлсэн, Тийм учраас л $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Цаашилбал, харамсалтай нь энэ илэрхийллийг ямар ч байдлаар хялбарчлах боломжгүй юм.$\сум$ Квадрат язгуурын үржвэр/хэсэг нь үржвэр/катын квадрат язгууртай тэнцүү, i.e. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (тэгш байдлын хоёр хэсэг нь утга учиртай байх тохиолдолд)
Жишээ: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\сум$ Эдгээр шинж чанарыг ашигласнаар квадрат язгуурыг олоход тохиромжтой том тоотэдгээрийг факторинг хийх замаар.
Жишээ авч үзье. $\sqrt(44100)$ хай. $44100:100=441$ тул $44100=100\cdot 441$ . Хуваагдах шалгуурын дагуу $441$ тоо $9$-д хуваагддаг (түүний цифрүүдийн нийлбэр нь 9 бөгөөд 9-д хуваагддаг тул) $441:9=49$ , өөрөөр хэлбэл, $441=9\ cdot 49$ .
Тиймээс бид: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Өөр нэг жишээг харцгаая: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\сум$ $5\sqrt2$ ($5\cdot \sqrt2$ илэрхийллийн товчлол) илэрхийллийн жишээн дээр язгуур тэмдгийн доор тоо хэрхэн оруулахыг үзүүлье. $5=\sqrt(25)$ тул \ Жишээлбэл,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Яагаад тэр вэ? Жишээ 1-ээр тайлбарлая). Таны ойлгосноор бид $\sqrt2$ тоог хөрвүүлж чадахгүй байна. $\sqrt2$ нь $a$ тоо гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний дагуу $\sqrt2+3\sqrt2$ илэрхийлэл нь $a+3a$-аас өөр юу ч биш (нэг тоо $a$ дээр нэмэх нь ижил тооны өөр гурван $a$ ). Энэ нь ийм дөрвөн тоотой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ $a$ , өөрөөр хэлбэл $4\sqrt2$ .

Баримт 4.
$\сум$ Зарим тооны утгыг олоход язгуурын $\sqrt () \ $ тэмдгийг арилгах боломжгүй үед “үндэс задлах боломжгүй” гэж ихэвчлэн хэлдэг. Жишээлбэл, та $16$ тоог үндэслэж болно, учир нь $16=4^2$ , тэгэхээр $\sqrt(16)=4$ . Гэхдээ $3$ тооноос үндсийг гаргаж авах, өөрөөр хэлбэл $\sqrt3$ олох боломжгүй, учир нь квадрат нь $3$ өгөх тийм тоо байхгүй.
Ийм тоо (эсвэл ийм тоо бүхий илэрхийлэл) нь үндэслэлгүй юм. Жишээлбэл, тоонууд $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$гэх мэт. үндэслэлгүй юм.
Түүнчлэн $\pi$ тоонууд ("пи" тоо, ойролцоогоор $3,14$ ), $e$ (энэ тоог Эйлерийн тоо гэж нэрлэдэг, ойролцоогоор $2) тоонууд иррациональ байна. ,7$ ) гэх мэт.
$\сум$ Аливаа тоо оновчтой эсвэл иррациональ байх болно гэдгийг анхаарна уу. Мөн хамтдаа бүх оновчтой, бүх зүйл иррационал тоохэмээх олонлогийг үүсгэнэ бодит (бодит) тоонуудын багц.Энэ олонлогийг $\mathbb(R)$ үсгээр тэмдэглэв.
Энэ нь бүх тоо байна гэсэн үг юм Энэ мөчбодит тоо гэж бид мэднэ.

Баримт 5.
$\сум$ Бодит тооны модуль $a$ нь бодит тоон дээрх $a$ цэгээс $0$ хүртэлх зайтай тэнцүү $|a|$ сөрөг бус тоо юм. шугам. Жишээлбэл, $|3|$ ба $|-3|$ нь 3-тай тэнцүү, учир нь $3$ ба $-3$ цэгээс $0$ хүртэлх зай нь ижил ба тэнцүү $3 $ .
$\сум$ Хэрэв $a$ нь сөрөг бус тоо бол $|a|=a$ .
Жишээ: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\сум$ Хэрэв $a$ сөрөг тоо бол $|a|=-a$ .
Жишээ: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Сөрөг тоонуудын хувьд модуль нь хасах, эерэг тоо, мөн $0$ тоог "иддэг" гэж хэлдэг, модуль өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлддэг.
ГЭХДЭЭЭнэ дүрэм зөвхөн тоонд хамаарна. Хэрэв та модулийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх $x$ (эсвэл бусад үл мэдэгдэх) байвал, жишээ нь, $|x|$ эерэг, тэгтэй тэнцүү эсвэл сөрөг эсэхийг бид мэдэхгүй. бид чадахгүй модулиас салах. Энэ тохиолдолд энэ илэрхийлэл хэвээр байна: $|x|$ . $\сум$ Дараах томьёо агуулна: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\том((\sqrt(a))^2=a)), \text(өгөгдсөн ) a\geqslant 0\]Дараах алдаа ихэвчлэн гардаг: тэд $\sqrt(a^2)$ ба $(\sqrt a)^2$ ижил зүйл гэж хэлдэг. Энэ нь зөвхөн $a$ эерэг тоо эсвэл тэг байх үед л үнэн юм. Гэхдээ хэрэв $a$ сөрөг тоо бол энэ нь үнэн биш юм. Ийм жишээг авч үзэхэд хангалттай. $a$-ын оронд $-1$ тоог авъя. Дараа нь $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , гэхдээ $(\sqrt (-1))^2$ илэрхийлэл огт байхгүй (учир нь энэ нь боломжгүй гэсэн тэмдэгтийн дор сөрөг тоог оруулна уу!).
Тиймээс, $\sqrt(a^2)$ нь $(\sqrt a)^2$ -тэй тэнцүү биш гэдгийг бид анхаарлаа хандуулж байна!Жишээ: 1) $\sqrt(\зүүн(-\sqrt2\баруун)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, учир нь $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\сум$ $\sqrt(a^2)=|a|$ тул \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] ($2n$ илэрхийлэл нь тэгш тоог илэрхийлдэг)
Өөрөөр хэлбэл, ямар нэг хэмжээгээр байгаа тооноос үндсийг гаргаж авахдаа энэ зэрэг нь хоёр дахин багасдаг.
Жишээ:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (хэрэв модулийг тохируулаагүй бол тооны үндэс нь $-25)-тай тэнцүү болохыг анхаарна уу. $ ; гэхдээ язгуурын тодорхойлолтоор энэ нь байж болохгүй гэдгийг бид санаж байна: үндсийг задлахдаа бид үргэлж эерэг тоо эсвэл тэг авах ёстой)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (ямар ч тэгш тоо сөрөг биш тул)

Баримт 6.
Хоёр квадрат язгуурыг хэрхэн харьцуулах вэ?
$\сум$ Квадрат язгуурын хувьд үнэн: хэрэв $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aЖишээ:
1) \(\sqrt(50)$ болон $6\sqrt2$ . Нэгдүгээрт, бид хоёр дахь илэрхийлэл болгон хувиргадаг $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Тиймээс $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) $\sqrt(50)$ аль бүхэл тоонуудын хооронд байх вэ?
Учир нь $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ болон $49)<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) $\sqrt 2-1$ болон $0,5$ -ийг харьцуул. $\sqrt2-1>0.5$ гэж бодъё: \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2-1>0.5 \ \том| +1\quad \text((хоёр талд нэгийг нэмнэ))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \том| \ ^2 \дөрвөлжин\текст((хоёр хэсэг нь дөрвөлжин))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Бид буруу тэгш бус байдлыг олж авснаа харж байна. Тиймээс бидний таамаг буруу байсан бөгөөд $\sqrt 2-1<0,5$ .
Тэгш бус байдлын хоёр талд тодорхой тоог нэмэх нь түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй гэдгийг анхаарна уу. Тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг эерэг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь мөн түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй, харин сөрөг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь тэгш бус байдлын тэмдгийг урвуу болгоно!
Тэгшитгэл/тэгш бус байдлын хоёр талыг ЗӨВХӨН хоёр тал нь сөрөг биш байвал квадрат болгож болно. Жишээлбэл, өмнөх жишээний тэгш бус байдалд та хоёр талыг квадрат болгож болно, тэгш бус байдалд $-3)<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\сум$ Үүнийг анхаарна уу \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2\ойролцоогоор 1,4\\ &\sqrt 3\ойролцоогоор 1,7 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Эдгээр тоонуудын ойролцоо утгыг мэдэх нь тоонуудыг харьцуулахдаа танд тусална! $\сум$ Квадрат хүснэгтэд байхгүй олон тооноос үндсийг (хэрэв гаргаж авсан бол) гаргаж авахын тулд эхлээд аль “зуут”-ын хооронд, дараа нь аль “аравтын” хооронд байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. дараа нь энэ тооны сүүлийн цифрийг тодорхойлно. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг жишээгээр харуулъя.
$\sqrt(28224)$ авна уу. $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ гэх мэтийг бид мэднэ. $28224$ нь $10\,000$ болон $40\,000$ хооронд байгааг анхаарна уу. Тиймээс $\sqrt(28224)$ нь $100$ болон $200$ хооронд байна.
Одоо бидний тоо аль “аравтын” хооронд байгааг тодорхойлъё (жишээлбэл, $120$ ба $130$ хооронд). Бид мөн квадратуудын хүснэгтээс $11^2=121$ , $12^2=144$ гэх мэт, дараа нь $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ). Тиймээс бид \(28224$ нь $160^2$ болон $170^2$ хооронд байгааг харж байна. Тиймээс $\sqrt(28224)$ тоо $160$ болон $170$ хооронд байна.
Сүүлийн цифрийг тодорхойлохыг хичээцгээе. Квадратлахдаа ямар нэг оронтой тоонууд төгсгөлд нь өгдөгийг санацгаая \ (4 \) ? Эдгээр нь $2^2$ ба $8^2$ юм. Тиймээс $\sqrt(28224)$ 2 эсвэл 8-ын аль нэгээр төгсөх болно. Үүнийг шалгая. $162^2$ ба $168^2$-г ол:
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Тиймээс $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

Математикийн шалгалтыг хангалттай шийдвэрлэхийн тулд юуны өмнө олон тооны теорем, томъёо, алгоритм гэх мэтийг танилцуулсан онолын материалыг судлах шаардлагатай. Өнгөц харахад энэ нь маш энгийн мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын онолыг ямар ч түвшний сургалттай оюутнуудад хялбар бөгөөд ойлгомжтойгоор харуулсан эх сурвалжийг олох нь үнэндээ нэлээд хэцүү ажил юм. Сургуулийн сурах бичгийг үргэлж гартаа байлгаж болохгүй. Математикийн шалгалтын үндсэн томъёог олох нь интернетээс ч хэцүү байж болно.

Математикийн чиглэлээр онолыг судлах нь яагаад зөвхөн шалгалт өгдөг хүмүүст тийм чухал байдаг вэ?

Учир нь энэ нь таны алсын харааг тэлж өгдөг. Математикийн онолын материалыг судлах нь дэлхийн мэдлэгтэй холбоотой өргөн хүрээний асуултуудад хариулт авахыг хүссэн хэн бүхэнд хэрэгтэй. Байгаль дээрх бүх зүйл эмх цэгцтэй, тодорхой логиктой байдаг. Энэ бол шинжлэх ухаанд яг тодорхой тусгагдсан зүйл бөгөөд үүгээрээ дамжуулан ертөнцийг ойлгох боломжтой юм.
Учир нь энэ нь оюун ухааныг хөгжүүлдэг. Математикийн шалгалтын лавлах материалыг судалж, янз бүрийн асуудлыг шийдэхийн тулд хүн логикоор сэтгэж, сэтгэж, бодлоо зөв, тодорхой боловсруулж сурдаг. Тэрээр дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлдэг.

Боловсролын материалыг системчлэх, танилцуулах арга барилын бүх давуу талыг биечлэн үнэлэхийг бид урьж байна.

Математик нь хүн өөрийгөө ухамсарлаж, өөрийгөө ертөнцийн бие даасан нэгж гэж тодорхойлж эхэлснээр үүссэн. Таны эргэн тойронд байгаа зүйлийг хэмжих, харьцуулах, тооцоолох хүсэл бол бидний үеийн суурь шинжлэх ухааны үндэс суурь юм. Эхэндээ эдгээр нь тоонуудыг физик илэрхийлэлтэй холбох боломжийг олгодог анхан шатны математикийн хэсгүүд байсан бөгөөд хожим нь дүгнэлтийг зөвхөн онолын хувьд (хийсвэрлэлийн улмаас) гаргаж эхэлсэн боловч хэсэг хугацааны дараа нэгэн эрдэмтний хэлснээр "гэжээ. Математик бүх тоонууд нь нарийн төвөгтэй байдлын дээд хязгаарт хүрсэн." "Дөрвөлжин язгуур" гэсэн ойлголт нь тооцооллын хавтгайгаас давж, эмпирик мэдээллээр амархан батлагдах боломжтой үед гарч ирэв.

Энэ бүхэн хэрхэн эхэлсэн

Одоогийн байдлаар √ гэж тэмдэглэгдсэн язгуурын тухай анхны дурдлагыг орчин үеийн арифметикийн үндэс суурийг тавьсан Вавилоны математикчдын бүтээлд тэмдэглэсэн байдаг. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь одоогийн хэлбэрт бага зэрэг харагдаж байсан - тэр үеийн эрдэмтэд анх удаа том хэмжээтэй шахмал хэрэглэж байсан. Харин МЭӨ II мянганы үед. д. тэд квадрат язгуурыг хэрхэн авахыг харуулсан ойролцоогоор тооцооллын томъёог гаргаж ирэв. Доорх зурган дээр Вавилоны эрдэмтэд √2 гаралтын процессыг сийлсэн чулууг харуулсан бөгөөд хариултын зөрүү нь зөвхөн аравтын бутархайн бутархайн дотор л олдсон тул маш зөв болсон.

Үүнээс гадна гурвалжны талыг олох шаардлагатай бол нөгөө хоёрыг нь мэддэг байсан бол язгуурыг ашигласан. За яахав квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд үндсийг нь гаргаж авахаас зугтах арга байхгүй.

Вавилоны бүтээлүүдээс гадна уг өгүүллийн объектыг Хятадын "Есөн ном дахь математик" бүтээлд мөн судалж үзсэн бөгөөд эртний Грекчүүд үндсийг нь үлдэгдэлгүйгээр гаргаагүй аливаа тоо нь үндэслэлгүй үр дүнг өгдөг гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ. .

Энэ нэр томъёоны гарал үүсэл нь Араб хэл дээрх тооны төлөөлөлтэй холбоотой: эртний эрдэмтэд дурын тооны квадрат нь ургамал шиг үндэснээс ургадаг гэж үздэг. Латин хэлээр энэ үг нь radix шиг сонсогддог (хэв маягийг дагаж болно - "үндэс" семантик ачаалалтай бүх зүйл нь улаан лууван эсвэл sciatica гэх мэт гийгүүлэгч юм).

Дараагийн үеийн эрдэмтэд энэ санааг авч, Rx гэж тодорхойлсон. Жишээлбэл, 15-р зуунд квадрат язгуурыг дурын a тооноос авсан гэдгийг харуулахын тулд R 2 a гэж бичжээ. Орчин үеийн дүр төрхөд танил болсон "хачиг" √ зөвхөн 17-р зуунд Рене Декартын ачаар гарч ирэв.

Бидний өдрүүд

Математикийн хувьд y-ийн квадрат язгуур нь квадрат нь у болох z тоо юм. Өөрөөр хэлбэл z 2 =y нь √y=z-тэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч энэ тодорхойлолт нь зөвхөн арифметик язгуурт хамааралтай, учир нь энэ нь илэрхийллийн сөрөг бус утгыг илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл, √y=z, энд z нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна.

Ерөнхийдөө алгебрийн язгуурыг тодорхойлоход хүчинтэй байдаг илэрхийллийн утга нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Иймд z 2 =y ба (-z) 2 =y байгаа учир бидэнд: √y=±z эсвэл √y=|z| байна.

Шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр математикт дурлах нь улам бүр нэмэгдсээр байгаа тул түүнийг хайрлах хайрын янз бүрийн илрэлүүд хуурай тооцоогоор илэрхийлэгдэхгүй байна. Жишээлбэл, Пигийн өдөр гэх мэт сонирхолтой үйл явдлуудын зэрэгцээ квадрат язгуурын баярыг тэмдэглэдэг. Зуун жилд есөн удаа тэмдэглэдэг бөгөөд дараах зарчмын дагуу тодорхойлогддог: өдөр, сарыг дарааллаар нь зааж өгсөн тоонууд нь тухайн жилийн квадрат язгуур байх ёстой. Тиймээс дараагийн удаад энэ баярыг 2016 оны дөрөвдүгээр сарын 4-нд тэмдэглэхээр болжээ.

R талбар дээрх квадрат язгуурын шинж чанарууд

Бараг бүх математикийн илэрхийллүүд нь геометрийн суурьтай байдаг, энэ хувь заяа нь өнгөрч чадаагүй бөгөөд √y нь y талбайтай квадратын тал гэж тодорхойлогддог.

Тооны үндсийг хэрхэн олох вэ?

Хэд хэдэн тооцооллын алгоритмууд байдаг. Хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг нэлээд төвөгтэй нь ердийн арифметик тооцоолол бөгөөд дараах байдалтай байна.

1) язгуур нь шаардлагатай тооноос сондгой тоог ээлжлэн хасна - гаралтын үлдэгдэл нь хасагдсанаас бага эсвэл бүр тэгтэй тэнцэх хүртэл. Хөдөлгөөний тоо эцэст нь хүссэн тоо болно. Жишээлбэл, 25-ын квадрат язгуурыг тооцоолох:

Дараагийн сондгой тоо нь 11, үлдсэн нь: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Ийм тохиолдлын хувьд Тейлорын цуврал өргөтгөл байдаг:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , энд n нь 0-ээс утгыг авна

+∞ ба |y|≤1.

z=√y функцийн график дүрслэл

R бодит тоонуудын талбар дээр y нь тэгээс их буюу тэнцүү байх z=√y энгийн функцийг авч үзье. Түүний график дараах байдалтай байна.

Муруй нь гарал үүслээс ургаж, заавал цэгийг (1; 1) гатлана.

R бодит тоонуудын талбар дээрх z=√y функцийн шинж чанарууд

1. Үзэж буй функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал юм (тэг орсон).

2. Үзэж буй функцийн утгын хүрээ нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал юм (тэг дахин орсон).

3. Функц хамгийн бага утгыг (0) зөвхөн (0; 0) цэг дээр авна. Хамгийн дээд утга байхгүй.

4. z=√y функц тэгш сондгой ч биш.

5. z=√y функц нь үечилсэн биш.

6. z=√y функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох ганц цэг байна: (0; 0).

7. z=√y функцийн графикийн огтлолцох цэг нь мөн энэ функцийн тэг юм.

8. z=√y функц тасралтгүй өсөж байна.

9. z=√y функц нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг тул график нь координатын эхний өнцгийг эзэлдэг.

z=√y функцийг харуулах сонголтууд

Математикийн хувьд нарийн төвөгтэй илэрхийллийн тооцоог хөнгөвчлөхийн тулд квадрат язгуур бичих хүчний хэлбэрийг заримдаа ашигладаг: √y=y 1/2. Энэ сонголт нь жишээлбэл, функцийг хүчирхэг болгоход тохиромжтой: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Энэ арга нь интегралаар ялгах сайн дүрслэл юм, учир нь үүний ачаар квадрат язгуур нь ердийн чадлын функцээр илэрхийлэгддэг.

Мөн програмчлалын хувьд √ тэмдгийг орлуулах нь sqrt үсгийн хослол юм.

Тооцоолоход шаардлагатай ихэнх геометрийн томъёоны нэг хэсэг учраас квадрат язгуур нь энэ хэсэгт маш их эрэлт хэрэгцээтэй байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоолох алгоритм нь өөрөө нэлээд төвөгтэй бөгөөд рекурс (өөрийгөө дууддаг функц) дээр суурилдаг.

Цогцолбор талбар дахь квадрат язгуур C

Математикчдыг сөрөг тооноос тэгш градусын язгуур гаргах тухай асуудал зовоодог байсан тул ерөнхийдөө энэ өгүүллийн сэдэв нь С комплекс тоонуудын талбарыг нээхэд түлхэц болсон юм. Маш сонирхолтой шинж чанараараа тодорхойлогддог төсөөллийн i нэгж ингэж гарч ирэв: квадрат нь -1 байна. Үүний ачаар сөрөг дискриминанттай квадрат тэгшитгэлүүд шийдэгдсэн. С хэлэнд квадрат язгуурын хувьд R-тэй ижил шинж чанарууд хамааралтай бөгөөд цорын ганц зүйл бол язгуур илэрхийллийн хязгаарлалтыг арилгасан явдал юм.