Эсвэл товчхондоо - далд функцийн дериватив. Далд функц гэж юу вэ? Хичээлүүд маань практик шинж чанартай тул би теоремын тодорхойлолт, томъёололоос зайлсхийхийг хичээдэг ч энд үүнийг хийх нь зүйтэй юм. Функц гэж юу вэ?

Нэг хувьсагчийн функц гэдэг нь бие даасан хувьсагчийн утга бүр нь тухайн функцийн зөвхөн нэг утгатай тохирч байх дүрэм юм.

хувьсагч гэж нэрлэдэг бие даасан хувьсагчэсвэл маргаан.
хувьсагч гэж нэрлэдэг хамааралтай хувьсагчэсвэл функц.

Ойролцоогоор энэ тохиолдолд "y" үсэг нь функц юм.

Одоогоор бид-д тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэн тодорхойхэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээн дээр товч танилцуулга зохион байгуулъя.

Функцийг авч үзье

Бид зүүн талд ганц "y" (функц) байгааг харж байна, баруун талд - зөвхөн x. Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлсэн .

Өөр функцийг авч үзье:

Энд хувьсагч ба "холимог" байрлана. Тэгээд ямар ч байдлаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийн өөрчлөлттэй нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтанд оруулах, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ:. Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Танилцуулъя: - жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай (яг л "хэвийн" функцтэй адил). Энэ нь далд функцийн хувьд мөн адил юм. байдагэхний дериватив, хоёр дахь дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд өгөгдсөн функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, деривативын хүснэгт үндсэн функцуудхүчин төгөлдөр хэвээр байна. Ялгаа нь нэг онцлог зүйл дээр байгаа бөгөөд бид яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлье - доор авч үзсэн ажлуудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвалт өлгөдөг.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгаж, бүрэн ойлгомжтой болгох вэ. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

Зүгээр л гутаах гэж функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ

Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ "y" гэсэн ганц үсэг байдаг нь үнэн юм. ӨӨРӨӨ ЧИГЛЭЛ БАЙНА(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь гадаад функц юм, - дотоод функц. Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Бүтээгдэхүүн нь ердийн дүрмийн дагуу ялгаатай байдаг :

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. аливаа "хонх, шүгэл бүхий тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдлийн загвар нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой.

Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг нээнэ үү:

4) Зүүн талд бид цус харвалт бүхий "y" тэмдэгтийг цуглуулдаг. Баруун талд - бид бусад бүх зүйлийг шилжүүлдэг:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтуудыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив олдлоо. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функц дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Тэгээд сая авч үзсэн алгоритмын дагуу үүнийг ялгана. Үнэн хэрэгтээ, "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг семантик нюансаараа ялгаатай байдаг. "Далд тодорхойлогдсон функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм. - энэ функц нь далд хэлбэрээр өгөгдсөн боловч энд та "y" -ийг илэрхийлж, функцийг тодорхой харуулж болно. "Далд функц" гэсэн хэллэг нь "y"-ийг илэрхийлэх боломжгүй үед "сонгодог" далд функц гэсэн үг юм.

Шийдэх хоёр дахь арга

Анхаар!Хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн найдвартай олохыг мэддэг тохиолдолд л та хоёрдахь аргатай танилцаж болно. Тооцоолол, дамми судалж эхэлж байгаа хүмүүс, энэ догол мөрийг уншиж, алгасаж болохгүй, эс тэгвээс таны толгой бүрэн замбараагүй болно.

Хоёрдахь аргаар далд функцийн деривативыг ол.

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлнэ:

Мөн хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь бидний деривативыг томъёогоор олж болно

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Энэ замаар:

Хоёр дахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг мэдэхгүй байх ёстой тул даалгаврын эцсийн хувилбарыг гаргах нь зохисгүй юм.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бид хоёр хэсэгт зураас өлгөх:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтыг дэлгэж байна:

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ.

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, дизайны дээж.

Ялгаварласаны дараа фракцууд гарч ирэх нь ердийн зүйл биш юм. Ийм тохиолдолд фракцуудыг хаях хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг харцгаая.

Ихэнх тохиолдолд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд (жишээлбэл, дээд геодези эсвэл аналитик фотограмметрийн хувьд) хэд хэдэн хувьсагчийн нарийн төвөгтэй функцүүд гарч ирдэг, тухайлбал аргументууд. x, y, z нэг функц f(x,y,z) ) нь өөрөө шинэ хувьсагчдын функцууд юм У, В, В ).

Жишээлбэл, энэ нь тогтмол координатын системээс шилжих үед тохиолддог Оксиз хөдөлгөөнт систем рүү О 0 UVW ба буцаж. Энэ тохиолдолд "тогтмол" - "хуучин" ба "хөдөлгөөн" - "шинэ" хувьсагчтай холбоотой бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг мэдэх нь чухал бөгөөд учир нь эдгээр хэсэгчилсэн деривативууд нь эдгээр координатын систем дэх объектын байрлалыг ихэвчлэн тодорхойлдог. ялангуяа агаарын гэрэл зургийн бодит объекттой харьцах харьцаанд нөлөөлдөг. Ийм тохиолдолд дараахь томъёог хэрэглэнэ.

Энэ нь нарийн төвөгтэй функцийг өгсөн гэсэн үг юм Т гурван "шинэ" хувьсагч У, В, В гурван "хуучин" хувьсагчаар дамжуулан x, y, z дараа нь:

Сэтгэгдэл. Хувьсагчийн тоонд өөрчлөлт оруулах боломжтой. Жишээ нь: хэрэв

Ялангуяа, хэрэв z = f(xy), y = y(x) , дараа нь бид "нийт дериватив" гэж нэрлэгддэг томъёог авна.

Дараах тохиолдолд "нийт дериватив"-ийн ижил томъёо:

хэлбэрийг авна:

(1.27) - (1.32) томъёоны өөр хувилбарууд бас боломжтой.

Тайлбар: "Нийт дериватив" томъёог физикийн хичээлийн "Гидродинамик" хэсэгт шингэний хөдөлгөөний тэгшитгэлийн үндсэн системийг гаргахад ашигладаг.

Жишээ 1.10. Өгөгдсөн:

(1.31) дагуу:

§7 Хэд хэдэн хувьсагчийн далд өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд

Таны мэдэж байгаагаар нэг хувьсагчийн далд тодорхойлогдсон функцийг дараах байдлаар тодорхойлдог: бие даасан хувьсагчийн функц. х -ын хувьд шийдэгдээгүй тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол далд гэж нэрлэдэг y :

Жишээ 1.11.

тэгшитгэл

хоёр функцийг далд байдлаар тодорхойлдог:

Мөн тэгшитгэл

ямар ч функцийг тодорхойлдоггүй.

Теорем 1.2 (далд функцийн оршихуй).

Функцийг зөвшөөр z \u003d f (x, y) ба түүний хэсэгчилсэн деривативууд f" х болон f" y тодорхой болон зарим хөршид тасралтгүй У М0 оноо М 0 (х 0 y 0 ) . Түүнээс гадна, f(x 0 ,y 0 )=0 болон f"(x 0 ,y 0 )≠0 , дараа нь (1.33) тэгшитгэлийг хөршид тодорхойлно У М0 далд функц у= у(х) , тасралтгүй ба зарим интервалаар ялгах боломжтой Д цэг дээр төвлөрсөн х 0 , ба у(х 0 )=y 0 .

Нотлох баримтгүйгээр.

Теорем 1.2-оос харахад энэ интервал дээр байна Д :

өөрөөр хэлбэл дотор нь таних тэмдэг байдаг

"нийт" дериватив нь (1.31)-ийн дагуу олддог.

Өөрөөр хэлбэл (1.35) деривативыг далд хэлбэрээр олох томьёог өгнө өгөгдсөн функцнэг хувьсагч х .

Хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчийн далд функцийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.

Жишээлбэл, хэрэв зарим газар бол В орон зай Оксиз тэгшитгэл биелэгдэнэ:

дараа нь функц дээр тодорхой нөхцөлд Ф энэ нь функцийг далд байдлаар тодорхойлдог

Түүнчлэн (1.35)-тай адилтгах замаар түүний хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах байдлаар олно.

Тодорхойлолт.\(y = f(x) \) функцийг доторх \(x_0 \) цэгийг агуулсан зарим интервалд тодорхойл. Энэ интервалыг орхихгүйн тулд аргумент руу \(\Delta x \) нэмье. \(\Delta y \) (\(x_0 \) цэгээс \(x_0 + \Delta x \) цэг рүү шилжих үед) функцийн харгалзах өсөлтийг олж \(\frac(\Delta y) хамаарлыг зохио. )(\Дельта x) \). Хэрэв энэ хамаарлын хязгаар \(\Delta x \rightarrow 0 \) байгаа бол заасан хязгаарыг дуудна. дериватив функц\(y=f(x) \) цэг дээр \(x_0 \) ба \(f"(x_0) \) гэж тэмдэглэнэ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ү тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг. y" = f(x) нь шинэ функц боловч дээрх хязгаар байгаа бүх x цэгүүдэд тодорхойлогдсон y = f(x) функцтэй угаасаа холбоотой гэдгийг анхаарна уу. Энэ функцийг ингэж нэрлэдэг: y \u003d f (x) функцийн дериватив.

Деривативын геометрийн утгадараах зүйлсээс бүрдэнэ. Хэрэв у тэнхлэгтэй параллель биш шүргэгчийг y \u003d f (x) функцийн график дээр абсцисса x \u003d a цэг дээр зурж чадвал f (a) нь шүргэгчийн налууг илэрхийлнэ.
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) учир \(f"(a) = tg(a) \) тэгшитгэл үнэн болно.

Одоо бид деривативын тодорхойлолтыг ойролцоо тэгш байдлын үүднээс тайлбарлаж байна. \(y = f(x) \) функц тодорхой \(x \) цэг дээр деривативтэй байг:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Энэ нь x цэгийн ойролцоо \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \prox f"(x) \), өөрөөр хэлбэл \(\Delta y \prox f"(x) \cdot гэсэн ойролцоо тэнцүү байна гэсэн үг. \Дельтакс\). Олж авсан ойролцоо тэгш байдлын утга учир нь дараах байдалтай байна: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй "бараг пропорциональ" бөгөөд пропорциональ байдлын коэффициент нь деривативын утга юм. өгсөн оноо X. Жишээлбэл, \(y = x^2 \) функцийн хувьд ойролцоогоор \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) үнэн байна. Хэрэв бид деривативын тодорхойлолтыг сайтар судалж үзвэл түүнийг олох алгоритмыг агуулсан болохыг олж мэдэх болно.

Үүнийг томъёолъё.

y \u003d f (x) функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

1. \(x \) утгыг засах, \(f(x) \) олох
2. \(x \) аргументыг нэмэгдүүлэх \(\Дельта x \), шинэ цэг рүү шилжих \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) олох.
3. Функцийн өсөлтийг ол: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) хамаарлыг зохио.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$-г тооцоол.
Энэ хязгаар нь х дээрх функцийн дериватив юм.

Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол түүнийг х цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. y \u003d f (x) функцийн деривативыг олох процедурыг дуудна ялгах y = f(x) функцууд.

Дараах асуултын талаар ярилцъя: цэг дээрх функцын тасралтгүй байдал ба ялгавартай байдал хэрхэн хамааралтай вэ?

y = f(x) функцийг x цэгт дифференциалагдах гэж үзье. Дараа нь M (x; f (x)) цэг дээрх функцийн график руу шүргэгчийг зурж болох ба шүргэгчийн налуу нь f "(x) -тай тэнцүү гэдгийг санаарай. Ийм график нь "эвдэж" чадахгүй. цэг M, өөрөөр хэлбэл, функц x дээр тасралтгүй байх ёстой.

Энэ нь "хуруунд" үндэслэлтэй байсан. Илүү хатуу аргументыг танилцуулъя. Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол ойролцоогоор \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) тэнцүү байна. тэг бол \(\Delta y \) ) нь мөн тэглэх хандлагатай байх бөгөөд энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын нөхцөл юм.

Тэгэхээр, хэрэв функц нь x цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол тэр цэг дээр мөн тасралтгүй байна.

Эсрэг заалт нь үнэн биш юм. Жишээ нь: функц y = |x| нь хаа сайгүй, тухайлбал x = 0 цэг дээр үргэлжилдэг боловч “холбох цэг” (0; 0) дээрх функцийн графикт шүргэгч байхгүй. Хэрэв зарим үед функцийн график руу шүргэгч зурах боломжгүй бол энэ үед дериватив байхгүй болно.

Бас нэг жишээ. \(y=\sqrt(x) \) функц нь x = 0 цэгийг оруулаад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Мөн функцийн графикт шүргэгч нь x = 0 цэгийг оруулаад аль ч цэгт байдаг. Гэхдээ энэ үед шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, түүний тэгшитгэл нь x \u003d 0 хэлбэртэй байна. Налуутийм мөр байхгүй, энэ нь \(f"(0) \) ч байхгүй гэсэн үг

Тиймээс бид функцийн шинэ шинж чанар болох ялгах чадвартай танилцсан. Функц нь функцийн графикаас ялгагдах боломжтой эсэхийг яаж тодорхойлох вэ?

Хариултыг үнэндээ дээр өгөв. Хэзээ нэгэн цагт х тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгч зурж чадвал энэ үед функц дифференциал болно. Хэрэв аль нэг цэгт функцийн графикт шүргэгч байхгүй эсвэл энэ нь х тэнхлэгт перпендикуляр байвал энэ үед функц ялгах боломжгүй болно.

Ялгах дүрэм

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэвчлэн координат, нийлбэр, функцийн бүтээгдэхүүнүүд, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. Хэрэв C нь тогтмол тоо бөгөөд f=f(x), g=g(x) нь зарим дифференциалагдах функц байвал дараах нь үнэн болно. ялгах дүрэм:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \баруун) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac) (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Нийлмэл функцийн дериватив:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Зарим функцийн деривативын хүснэгт

$$ \left(\frac(1)(x) \баруун) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \баруун) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ доллар

Бид далд хэлбэрээр өгөгдсөн, өөрөөр хэлбэл хувьсагчдыг өөр хоорондоо хамааралтай зарим тэгшитгэлээр өгөгдсөн функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно. хболон y. Шууд тодорхойлогдсон функцүүдийн жишээ:

,

,

Далд функцын дериватив буюу далд функцын деривативыг олоход нэлээд хялбар байдаг. Одоо үүнийг олж мэдье холбогдох дүрэмжишээг үзүүлээд дараа нь бидэнд яагаад хэрэгтэй байгааг олж мэдээрэй.

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг олохын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгах шаардлагатай. Зөвхөн x байгаа тэдгээр нэр томъёо нь x функцийн ердийн дериватив болж хувирна. Мөн y нь x-ийн функц учраас y-тэй нэр томъёог нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан ялгах ёстой. Хэрэв энэ нь маш энгийн бол х-тэй нэр томьёоны үүсмэл үр дүнд y-ээс авсан функцын деривативыг у-аас үүссэн деривативаар үржүүлсэн байх ёстой. Жишээ нь нэр томьёоны деривативыг , нэр томьёоны деривативыг гэж бичнэ. Цаашилбал, энэ бүхнээс энэ "y цус харвалт" -ийг илэрхийлэх шаардлагатай бөгөөд далд өгөгдсөн функцийн хүссэн деривативыг авах болно. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ 1

Шийдэл. y нь х-ийн функц гэж үзээд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгадаг.

Эндээс бид даалгаварт шаардлагатай деривативыг авна.

Одоо далд тодорхойлогдсон функцүүдийн хоёрдмол шинж чанарын талаар, мөн тэдгээрийг ялгах тусгай дүрэм яагаад хэрэгтэй байгаа талаар нэг зүйл байна. Зарим тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэлд (дээрх жишээнүүдийг харна уу) түүний илэрхийллийн y-ийн оронд х-ээр орлуулснаар энэ тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал болж хувирдаг гэдэгт итгэлтэй байж болно. Тэгэхээр. Дээрх тэгшитгэл нь дараах функцуудыг далд байдлаар тодорхойлдог.

Анхны тэгшитгэлд y квадратыг х-ээр илэрхийлсэн илэрхийлэлийг орлуулсны дараа бид ижил төстэй байдлыг олж авна.

.

Бидний орлуулсан илэрхийлэлүүдийг y-ийн тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авсан.

Хэрэв бид харгалзах тодорхой функцийг ялгах юм бол

Дараа нь бид 1-р жишээн дээрх хариуг авах болно - далд хэлбэрээр заасан функцээс:

Гэхдээ далд өгөгдсөн функц бүрийг хэлбэрээр дүрсэлж болохгүй y = е(х) . Жишээлбэл, далд тодорхойлогдсон функцууд

Энэ нь үндсэн функцээр илэрхийлэгдээгүй, өөрөөр хэлбэл тоглогчийн хувьд эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжгүй юм. Тиймээс далд хэлбэрээр өгөгдсөн функцийг ялгах дүрэм байдаг бөгөөд үүнийг бид аль хэдийн судалсан бөгөөд бусад жишээнүүдэд тууштай хэрэглэх болно.

Жишээ 2Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

.

Бид y анхны ба - гаралт дээр - далд өгөгдсөн функцийн деривативыг илэрхийлнэ.

Жишээ 3Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн хоёр талыг x-ээр ялгана:

.

Жишээ 4Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн хоёр талыг x-ээр ялгана:

.

Бид деривативыг илэрхийлж, авна:

.

Жишээ 5Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа нөхцлүүдийг зүүн тал руу шилжүүлж, баруун талд тэгийг үлдээдэг. Тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулан ялга.

Далд байдлаар өгөгдсөн функцийн дериватив.
Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Энэ нийтлэлд бид ихэвчлэн олддог өөр хоёр ердийн ажлыг авч үзэх болно хяналтын ажилдээр дээд математик. Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд дор хаяж дундаж түвшинд дериватив олох чадвартай байх шаардлагатай. Та үндсэн хоёр хичээлээр үүсмэл хэрэгслийг хэрхэн яаж олохыг эхнээс нь сурч болно Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Хэрэв ялгах чадварын хувьд бүх зүйл эмх цэгцтэй байвал явцгаая.

Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Эсвэл товчхондоо далд функцийн дериватив. Далд функц гэж юу вэ? Эхлээд нэг хувьсагчийн функцийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Нэг хувьсагчийн функцбие даасан хувьсагчийн утга бүр нь функцийн зөвхөн нэг утгатай тохирч байх дүрэм юм.

хувьсагч гэж нэрлэдэг бие даасан хувьсагчэсвэл маргаан.
хувьсагч гэж нэрлэдэг хамааралтай хувьсагчэсвэл функц .

Одоогоор бид-д тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэн тодорхойхэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээн дээр товч танилцуулга зохион байгуулъя.

Функцийг авч үзье

Бид зүүн талд ганц "y" байгааг харж байна, баруун талд - зөвхөн x. Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлсэн .

Өөр функцийг авч үзье:

Энд хувьсагч ба "холимог" байрлана. Тэгээд ямар ч байдлаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийн өөрчлөлттэй нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтанд оруулах, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ:. Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Танилцуулъя: - жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай (яг л "хэвийн" функцтэй адил). Энэ нь далд функцийн хувьд мөн адил юм. байдагэхний дериватив, хоёр дахь дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд өгөгдсөн функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгт хүчин төгөлдөр хэвээр байна. Ялгаа нь нэг онцлог зүйл дээр байгаа бөгөөд бид яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлэх болно - доор авч үзсэн ажлуудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвалт өлгөдөг.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгаж, бүрэн ойлгомжтой болгох вэ. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

- зүгээр л гутаахын тулд, функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ
Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ баримт бол зөвхөн нэг үсэг "y" - ӨӨРӨӨ ЧИГЛЭЛ БАЙНА(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь гадаад функц, дотоод функц юм. Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Бүтээгдэхүүн нь ердийн дүрмийн дагуу ялгаатай байдаг :

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. Аливаа "тоглоомтой тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдлийн загвар нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой.


Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг нээнэ үү:

4) Зүүн талд бид цус харвалт бүхий "y" тэмдэгтийг цуглуулдаг. Баруун талд - бид бусад бүх зүйлийг шилжүүлдэг:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтуудыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив олдлоо. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функц дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Тэгээд сая авч үзсэн алгоритмын дагуу үүнийг ялгана. Үнэн хэрэгтээ, "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг семантик нюансаараа ялгаатай байдаг. "Далд тодорхойлогдсон функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм. - энэ функц нь далд хэлбэрээр өгөгдсөн боловч энд та "y" -ийг илэрхийлж, функцийг тодорхой харуулж болно. "Далд функц" гэсэн хэллэг нь "y"-ийг илэрхийлэх боломжгүй үед "сонгодог" далд функц гэсэн үг юм.

Шийдэх хоёр дахь арга

Анхаар!Хэрхэн итгэлтэйгээр олохоо мэддэг л бол та хоёрдахь аргатай танилцаж болно хэсэгчилсэн дериватив. Тооцоололд анхлан суралцагч, дамми хүмүүс Энэ догол мөрийг уншиж, алгасаж болохгүй, эс бөгөөс толгой нь бүрэн эмх замбараагүй болно.

Хоёрдахь аргаар далд функцийн деривативыг ол.

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлнэ:

Мөн хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь бидний деривативыг томъёогоор олж болно
Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Энэ замаар:

Хоёр дахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг мэдэхгүй байх ёстой тул даалгаврын эцсийн хувилбарыг гаргах нь зохисгүй юм.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бид хоёр хэсэгт зураас өлгөх:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтыг дэлгэж байна:

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ.

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, дизайны дээж.

Ялгаварласаны дараа фракцууд гарч ирэх нь ердийн зүйл биш юм. Ийм тохиолдолд фракцуудыг хаях хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг харцгаая.

Жишээ 4

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бид хоёр хэсгийг зураасаар дуусгаж, шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг.

Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан ялгадаг ба хуваалтыг ялгах дүрэм :

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

Одоо бид фракцаас салах хэрэгтэй. Үүнийг дараа нь хийж болно, гэхдээ шууд хийх нь илүү оновчтой юм. Бутархайн хуваагч нь . Үржүүлэх дээр . Нарийвчилсан байдлаар энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Заримдаа ялгасны дараа 2-3 фракц гарч ирдэг. Жишээлбэл, бидэнд өөр нэг бутархай байсан бол үйлдлийг давтах шаардлагатай болно - үржүүлэх хэсэг бүрийн нэр томъёо бүрдээр

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 5

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Үүний цорын ганц зүйл бол фракцаас салахаасаа өмнө эхлээд гурван давхар бүтэцтэй фракцаас салах хэрэгтэй болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Энэ догол мөрөнд бүх зүйл маш энгийн байдаг. Та параметрийн дагуу өгөгдсөн функцийн ерөнхий томьёог бичиж болно, гэхдээ ойлгомжтой байхын тулд би тэр даруй бичих болно тодорхой жишээ. Параметрийн хэлбэрээр функцийг хоёр тэгшитгэлээр өгөгдөнө: . Ихэнхдээ тэгшитгэлийг буржгар хаалтанд бичдэггүй, харин дарааллаар бичдэг:,.

Хувьсагчийг параметр гэж нэрлэдэгмөн "хасах хязгааргүй" -ээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэлх утгыг авч болно. Жишээлбэл, утгыг авч үзээд үүнийг хоёр тэгшитгэлд орлуулна уу: . Эсвэл хүмүүнлэгээр: “х нь дөрөвтэй тэнцүү бол у нэгтэй тэнцүү”. Та координатын хавтгай дээрх цэгийг тэмдэглэж болох бөгөөд энэ цэг нь параметрийн утгатай тохирно. Үүний нэгэн адил та "te" параметрийн аль ч утгын цэгийг олох боломжтой. "Энгийн" функцийн хувьд параметрийн хувьд өгөгдсөн функцийн Америкийн индианчуудын хувьд бүх эрхийг хүндэтгэдэг: та график зурах, дериватив олох гэх мэт боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв параметрийн дагуу өгөгдсөн функцийн графикийг бүтээх шаардлагатай бол та миний програмыг ашиглаж болно.

Хамгийн энгийн тохиолдолд функцийг тодорхой илэрхийлэх боломжтой. Бид эхний тэгшитгэлийн параметрийг илэрхийлнэ. ба үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу: . Үр дүн нь ердийн куб функц юм.

Илүү "хүнд" тохиолдолд ийм заль мэх ажиллахгүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь параметрийн функцийн деривативыг олох томъёо байдаг.

Бид "te хувьсагчтай холбоотой тоглогч"-ын деривативыг олдог.

Ялгаварлах бүх дүрэм, деривативын хүснэгт нь мэдээжийн хэрэг үсгийн хувьд хүчинтэй, иймээс, дериватив олох үйл явцад шинэлэг зүйл байхгүй. Хүснэгтийн бүх "x"-ийг "te" үсгээр солих хэрэгтэй.

Бид "te" хувьсагчтай холбоотой x-ийн деривативыг олно.

Одоо зөвхөн олсон деривативуудыг бидний томъёонд орлуулахад л үлдлээ.

Бэлэн. Дериватив нь функцын нэгэн адил параметрээс хамаарна.

Тэмдэглэгээний хувьд томьёонд бичихийн оронд "х" гэсэн "ердийн" дериватив тул үүнийг зүгээр л доод тэмдэггүйгээр бичиж болно. Гэхдээ уран зохиолд үргэлж хувилбар байдаг тул би стандартаас хазайхгүй.

Жишээ 6

Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Энэ замаар:

Параметр функцийн деривативыг олох нэгэн онцлог нь алхам бүрт үр дүнг аль болох хялбарчлах нь давуу талтай. Тиймээс, авч үзсэн жишээн дээр олохдоо би үндэс дор хаалт нээв (хэдийгээр би үүнийг хийгээгүй байж магадгүй). Орлуулж, томъёонд оруулахад олон зүйл сайн буурах магадлал өндөр байна. Мэдээжийн хэрэг, болхи хариулттай жишээнүүд байдаг.

Жишээ 7

Параметрээр өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Нийтлэлд Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн ердийн асуудлуудБид функцийн хоёр дахь деривативыг олох шаардлагатай жишээг авч үзсэн. Параметрээр өгөгдсөн функцийн хувьд та хоёр дахь деривативыг олох боломжтой бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно: . Хоёрдахь деривативыг олохын тулд эхлээд эхний деривативыг олох нь ойлгомжтой.

Жишээ 8

Параметрээр өгөгдсөн функцийн эхний болон хоёрдугаар деривативыг ол

Эхлээд анхны деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Бид олсон деривативуудыг томъёонд орлуулна. Энгийн байхын тулд бид тригонометрийн томъёог ашигладаг.