Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл, хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл, хоёр шулууны хоорондох өнцөг, шулууны налуу

Энэ нийтлэлд бид хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Хэрэв энэ шулуун шугамын хоёр цэг мэдэгдэж байгаа эсвэл нэг цэг ба хэвийн вектор нь мэдэгдэж байвал шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулах жишээг өгье. Ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлийг каноник болон параметрт хэлбэрт шилжүүлэх аргуудыг танилцуулъя.

Дурын декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгье Окси. Нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл эсвэл шугаман тэгшитгэлийг авч үзье.

Ax+By+C=0,

(1)

хаана A, B, Cнь зарим тогтмолууд ба ядаж нэг элемент юм АТэгээд Бтэгээс ялгаатай.

Хавтгай дээрх шугаман тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог болохыг бид харуулах болно. Дараах теоремыг баталцгаая.

Теорем 1. Хавтгай дээрх дурын декартын тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугам бүрийг шугаман тэгшитгэлээр өгч болно. Үүний эсрэгээр, хавтгай дээрх дурын декартын тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугаман тэгшитгэл (1) бүр нь шулуун шугамыг тодорхойлдог.

Баталгаа. Энэ нь шугам гэдгийг батлахад хангалттай Лаль нэг декарт тэгш өнцөгт координатын системийн шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогддог ба түүнээс хойш шугаман тэгшитгэлээр болон аль ч декартын тэгш өнцөгт координатын системийн сонголтоор тодорхойлогдоно.

Хавтгай дээр шулуун шугам өгье Л. Бид координатын системийг сонгож, ингэснээр тэнхлэг Үхэршугамтай нийцүүлсэн Л, болон тэнхлэг Өөтүүнд перпендикуляр байсан. Дараа нь шугамын тэгшитгэл Лдараах хэлбэрийг авна.

y=0.

(2)

Нэг шулуун дээрх бүх цэгүүд Лшугаман тэгшитгэлийг (2) хангах бөгөөд энэ шулуун шугамын гаднах бүх цэгүүд (2) тэгшитгэлийг хангахгүй. Теоремын эхний хэсэг батлагдсан.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгч, шугаман тэгшитгэлийг (1) өгье, үүнд ядаж нэг элемент байна. АТэгээд Бтэгээс ялгаатай. Координатууд нь (1) тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдийн байршлыг ол. Наад зах нь нэг коэффициент учраас АТэгээд Бтэгээс ялгаатай бол (1) тэгшитгэл дор хаяж нэг шийдтэй байна М(х 0 ,y 0). (Жишээ нь, хэзээ А≠0, цэг М 0 (−C/A, 0) өгөгдсөн цэгийн байршилд хамаарна). Эдгээр координатуудыг (1)-д орлуулснаар бид таних тэмдгийг олж авна

Сүх 0 +By 0 +C=0.

(3)

(1)-ээс (3) дугаарыг хасъя:

А(х−х 0)+Б(y−y 0)=0.

(4)

Тэгшитгэл (4) нь тэгшитгэл (1)-тэй тэнцэх нь ойлгомжтой. Тиймээс (4) ямар нэг мөрийг тодорхойлж байгааг батлахад хангалттай.

Бид декартын тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзэж байгаа тул (4) тэнцүү байдлаас үзэхэд бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор ( x−x 0 , y−y 0 ) нь векторт ортогональ байна nкоординаттай ( А,Б}.

Зарим шугамыг анхаарч үзээрэй Лцэгээр дамжин өнгөрөх М 0 (х 0 , y 0) ба векторт перпендикуляр байна n(Зураг 1). Гол нь байя М(х,y) мөрөнд хамаарна Л. Дараа нь координат бүхий вектор x−x 0 , y−y 0 перпендикуляр nба тэгшитгэл (4) хангагдсан (векторуудын скаляр үржвэр). nба тэгтэй тэнцүү). Эсрэгээрээ, хэрэв цэг М(х,y) шугаман дээр хэвтдэггүй Л, дараа нь координаттай вектор x−x 0 , y−y 0 нь векторын ортогональ биш юм n(4) тэгшитгэл хангагдаагүй байна. Теорем нь батлагдсан.

Баталгаа. (5) ба (6) шугамууд нь ижил шугамыг тодорхойлдог тул хэвийн векторууд n 1 ={А 1 ,Б 1) ба n 2 ={А 2 ,Б 2) хоорондоо уялдаатай байна. Векторуудаас хойш n 1 ≠0, n 2 ≠ 0 байвал тоо байна λ , юу n 2 =n 1 λ . Тиймээс бидэнд байна: А 2 =А 1 λ , Б 2 =Б 1 λ . Үүнийг баталъя C 2 =C 1 λ . Давхцаж буй шугамууд нь нийтлэг цэгтэй байх нь ойлгомжтой М 0 (х 0 , y 0). (5) тэгшитгэлийг үржүүлэх λ ба түүнээс (6) тэгшитгэлийг хасвал бид дараахь зүйлийг авна.

(7) илэрхийллийн эхний хоёр тэгшитгэл хангагдсан тул C 1 λ −C 2=0. Тэдгээр. C 2 =C 1 λ . Тайлбар нотлогдсон.

Тэгшитгэл (4) нь тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу М 0 (х 0 , y 0) ба хэвийн вектортой байна n={А,Б). Иймд шугамын хэвийн вектор болон энэ шулуунд хамаарах цэг нь мэдэгдэж байгаа бол (4) тэгшитгэлийг ашиглан шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулж болно.

Жишээ 1. Шугаман цэгийг дайран өнгөрдөг М=(4,−1) ба хэвийн вектортой n=(3, 5). Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуул.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: х 0 =4, y 0 =−1, А=3, Б=5. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгохын тулд бид эдгээр утгыг тэгшитгэл (4) болгон орлуулна.

Хариулт:

Шугамантай параллель вектор Лба иймээс шугамын хэвийн векторт перпендикуляр байна Л. Ердийн шулуун векторыг байгуулъя Л, векторуудын скаляр үржвэрийг өгсөн nба тэгтэй тэнцүү байна. Бид жишээ нь бичиж болно. n={1,−3}.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулахын тулд (4) томъёог ашиглана. (4) цэгийн координатыг орлуулъя М 1 (бид мөн цэгийн координатыг авч болно М 2) ба хэвийн вектор n:

Орлуулах цэгийн координат М 1 ба М 2-д (9) бид (9) тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрч байгаа эсэхийг шалгаж болно.

Хариулт:

(1)-ээс (10) хасна:

Бид шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авлаа. Вектор q={−Б, А) нь шулуун шугамын (12) чиглэлийн вектор юм.

Урвуу хувиргалтыг үзнэ үү.

Жишээ 3. Хавтгайн шулуун шугамыг дараах ерөнхий тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг 2 5-т хуваа.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд:

мөн хэрэв C= 0, тэгшитгэл (2) нь хэлбэртэй байна

Сүх + By = 0,

ба энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь эхийн координатаас хойш эхийг дайран өнгөрдөг х = 0, y= 0 нь энэ тэгшитгэлийг хангана.

b) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) Б= 0 бол тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Сүх + FROM= 0, эсвэл .

Тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй y, мөн энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө.

c) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) А= 0 бол энэ тэгшитгэл хэлбэрийг авна

By + FROM= 0, эсвэл ;

тэгшитгэл нь хувьсагч агуулаагүй х, түүгээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Үхэр.

Үүнийг санаж байх хэрэгтэй: хэрэв шулуун шугам нь ямар ч координатын тэнхлэгтэй параллель байвал түүний тэгшитгэл нь энэ тэнхлэгтэй ижил нэртэй координатыг агуулсан нэр томъёог агуулаагүй болно.

г) Хэзээ C= 0 ба А= 0 тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна By= 0, эсвэл y = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Үхэр.

д) Хэзээ C= 0 ба Б= 0 тэгшитгэлийг (2) хэлбэрээр бичиж болно Сүх= 0 эсвэл х = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Өө.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт. Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг. Зэрэгцээ шугамын нөхцөл. Шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 S 1 ба S 2 векторуудыг шугамын чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.

l 1 ба l 2 шугамуудын хоорондох өнцгийг чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.
Теорем 1: cos өнцөг l 1 ба l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Теорем 2: 2 мөр тэнцүү байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

Теорем 3:Ингэснээр 2 шугам перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Онгоцны ерөнхий тэгшитгэл ба түүний онцгой тохиолдлууд. Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Ерөнхий хавтгай тэгшитгэл:

Ax + By + Cz + D = 0

Онцгой тохиолдлууд:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - онгоц эхийг дайран өнгөрнө

2. С=0 Ax+By+D = 0 – хавтгай || унц

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – хавтгай || Өө

4. A=0 By+Cz+D = 0 – хавтгай || ҮХЭР

5. A=0 ба D=0 By+Cz = 0 - онгоц OX-ээр дамжин өнгөрнө

6. B=0 ба D=0 Ax+Cz = 0 - онгоц OY-ээр дамжин өнгөрнө

7. C=0 ба D=0 Ax+By = 0 - онгоц OZ-ээр дамжин өнгөрнө

Орон зайд хавтгай ба шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт:

1. Орон зайн шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Шугамын чиглэлийн вектор ба хавтгайн хэвийн векторын хоорондох өнцгийн нүгэлээр дамжуулан шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн косинусыг олж болно.

4. 2 мөр || сансарт тэдний || вектор хөтөч

5. 2 онгоц || хэзээ || хэвийн векторууд

6. Шугаман ба хавтгайн перпендикуляр байдлын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар оруулсан болно.

Асуулт №14

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн янз бүрийн хэлбэрүүд (хэсэгт шулуун шугамын тэгшитгэл, налуу гэх мэт)

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - шулуун шугам нь гарал үүслээр дамждаг.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. дотор \u003d 0 Axe + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Сүх \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл:

У тэнхлэгтэй тэнцүү биш аливаа шулуун шугамыг (B биш = 0) дараах байдлаар бичиж болно. хэлбэр:

k = tgα α нь шулуун ба эерэг чиглэсэн ОХ шугамын хоорондох өнцөг юм

b - OS тэнхлэгтэй шулуун шугамын огтлолцлын цэг

Баримт бичиг:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: Б

Хоёр цэг дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Асуулт №16

Цэг дэх функцийн төгсгөлийн хязгаар ба x→∞-ийн хувьд

x 0 цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог x → x 0-ийн хувьд y \u003d f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв ямар ч E > 0-ийн хувьд b > 0 байвал x ≠ x 0-ийн хувьд |x - x 0 тэгш бус байдлыг хангадаг. |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

+∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог х-ийн y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ → + ∞ , хэрэв ямар нэг E > 0-ийн хувьд C > 0 байгаа тул x > C-ийн хувьд |f(x) - A|< Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

-∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ x→-∞,хэрэв ямар нэг E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

мөн A, B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл. A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - шугам эхийг дайран өнгөрдөг

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Axe + C \u003d 0) - шугам нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцдаг

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл

Тодорхойлолт.Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + By + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна.

Жишээ. (3, -1) перпендикуляр А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 үед бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулна: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуулна. Бид дараахийг авна. 3 - 2 + C = 0, тиймээс, C = -1 . Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь 0-тэй тэнцүү бол харгалзах хүртэгчийг тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1 ≠ x 2 ба x = x 1 бол x 1 = x 2.

Бутархай = k гэж нэрлэдэг налуугийн хүчин зүйлЧигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налуу шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэрэв нийт Ax + Wu + C = 0 нь дараах хэлбэрт хүргэнэ:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Цэг ба чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам, шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг зааж өгч болно.

Тодорхойлолт.Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A α 1 + B α 2 = 0 нөхцөлийг хангадаг тэг биш вектор (α 1, α 2) бүрийг шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Чиглэлийн вектор (1, -1) ба А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2-ын хувьд бид C / A = -3, i.e. Хүссэн тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал –C-д хуваавал бид дараахийг авна. эсвэл

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм гэхдээнь шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б- шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x - y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмүүдээс ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл

Ax + Vy + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг тоогоор үржүүлбэл гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, дараа нь бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл. Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг μ * С байхаар сонгох ёстой< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Жишээ. Өгөгдсөн ерөнхий тэгшитгэл 12x - 5y - 65 = 0. Энэ мөрөнд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ. Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Жишээ. А (-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. , энд x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг

Тодорхойлолт.Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцөг дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

.

Хэрвээ k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна. k 1 = -1/ k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB коэффициентүүд пропорциональ байх үед Ax + Vy + C \u003d 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 шулуун шугамууд зэрэгцээ байна. Хэрэв мөн С 1 = λС байвал шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх ба y \u003d kx + b шугаманд перпендикуляр шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем.Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Vy + C \u003d 0 шугам хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

(1)

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ. Шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Жишээ. 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Шийдэл. Бид олдог: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. Гурвалжны оройг A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид AB талын тэгшитгэлийг олно. ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Хүссэн өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b. k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана. үүнээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3x + 2y - 34 = 0.

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр илэрхийлж болно

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Иймд: 3 - 2 + C = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,гэхдээ б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, дараа нь бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

гэхдээ φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-т хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / к 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (х 1, у 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (х 1, у 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг аливаа өгөгдсөн байдлаас хамааран янз бүрийн хэлбэрээр илэрхийлж болно

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Иймд: 3 - 2 + C = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,гэхдээ б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, дараа нь бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

гэхдээ φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-т хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / к 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (х 1, у 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (х 1, у 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.