Үндсэн үндсэн функцүүдийн өргөтгөлийг ашиглах. Тейлорын цувралын өргөтгөл

Функциональ цувралын онолд гол байрыг цуврал дахь функцийг өргөжүүлэхэд зориулсан хэсэг эзэлдэг.

Тиймээс, өгөгдсөн функцийн хувьд асуудал гарч ирнэ ийм чадлын цуваа олох шаардлагатай

аль нэг интервал дээр нийлсэн бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байв
, тэдгээр.

= ..

Энэ даалгавар гэж нэрлэдэг хүчний цуваа дахь функцийг өргөтгөх асуудал.

Хүч чадлын цуваа дахь функцийг өргөжүүлэх зайлшгүй нөхцөлТүүний ялгах чадвар нь хязгааргүй олон удаа байдаг - энэ нь хүч чадлын цуваа нийлэх шинж чанараас үүдэлтэй. Энэ нөхцөл нь дүрмээр бол тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээнд үндсэн функцүүдийн хувьд биелдэг.

Тиймээс функцийг бодъё
ямар ч дарааллын деривативтай. Үүнийг хүчирхэг цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой юу, хэрэв боломжтой бол энэ цувралыг хэрхэн олох вэ? Асуудлын хоёр дахь хэсгийг шийдэх нь илүү хялбар бөгөөд бид үүнээс эхлэх болно.

функц гэж үзье
цэгийг агуулсан интервалд нийлдэг чадлын цувааны нийлбэрээр илэрхийлж болно NS 0 :

= .. (*)

хаана а 0 , а 1 , а 2 ,...,а NS ,... - тодорхойгүй (хараахан) коэффициентүүд.

Бид тэнцүү (*) утгыг тавьдаг x = x 0 , тэгвэл бид авна

Хүчний цуваа (*) гишүүнийг гишүүнээр нь ялгаж үзье

= ..

мөн энд таамаглаж байна x = x 0 , авах

Дараагийн ялгаагаар бид цувралыг олж авдаг

= ..

гэж таамаглаж байна x = x 0 , авах
, хаана
.

Дараа нь NS- дахин ялгах, бид олж авна

Сүүлийн тэгш байдлыг тохируулах x = x 0 , авах
, хаана

Тиймээс коэффициентүүд олддог

,
,
, …,
,….,

тэдгээрийг цувралд (*) орлуулснаар бид олж авна

Үр дүнд нь цуврал гэж нэрлэдэг Тейлорын хажууд функцийн хувьд
.

Тиймээс бид үүнийг тогтоосон хэрэв функцийг хүчирхэг цуваагаар (x - x 0 ), тэгвэл энэ өргөтгөл нь өвөрмөц бөгөөд үр дүнд нь гарсан цуврал нь заавал Тейлорын цуврал байх болно.

Тейлорын цувралыг тухайн цэг дээр дурын эрэмбийн деривативтай аливаа функцэд авч болно гэдгийг анхаарна уу x = x 0 . Гэхдээ энэ нь функц ба үр дүнгийн цувралын хооронд тэнцүү тэмдэг тавьж болно гэсэн үг биш юм. цувралын нийлбэр нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Нэгдүгээрт, ийм тэгш байдал нь зөвхөн нийлэх мужид л утга учиртай байж болох ба функцийн хувьд олж авсан Тейлорын цуваа зөрөөтэй байж болно, хоёрдугаарт, Тейлорын цуваа нийлдэг бол түүний нийлбэр нь анхны функцтэй давхцахгүй байж болно.

3.2. Тейлорын цуврал дахь функцийг өргөтгөх хангалттай нөхцөл

Тогтоосон даалгаврыг шийдвэрлэхэд туслах мэдэгдлийг боловсруулцгаая.

Хэрэв функц
x цэгийн зарим хөршид 0 хүртэлх деривативтай (n+ 1) дарааллыг багтаасан, дараа нь энэ хөрштомъёо Тейлор

хаанаР n (NS)нь Тейлорын томъёоны үлдэгдэл - хэлбэртэй байна (Лагранж хэлбэр)

хаана цэгξ x ба x хооронд оршдог 0 .

Тейлорын цуврал ба Тейлорын томъёоны хооронд ялгаа байгааг анхаарна уу: Тейлорын томъёо нь хязгаарлагдмал нийлбэр, i.e. NS -тогтмол тоо.

Цувралын нийлбэр гэдгийг санаарай С(х) хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн функциональ дарааллын хязгаар гэж тодорхойлж болно С NS (х) тодорхой интервалаар NS:

Үүний дагуу Тейлорын цувралын функцийг өргөжүүлэх нь аль ч цувралыг олох гэсэн үг юм NSX

Бид Тейлорын томъёог хаана гэсэн хэлбэрээр бичнэ

анзаараарай, тэр
бидний олж авсан алдааг тодорхойлж, функцийг солино е(х) олон гишүүнт С n (х).

Хэрэв
, дараа нь
,тэдгээр. функц нь Тейлорын цуврал болж өргөждөг. Харин эсрэгээр, хэрэв
, дараа нь
.

Тиймээс бид нотолсон Тейлорын цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх шалгуур.

Үүний тулд тодорхой интервалд функце(x) Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлсэн нь энэ интервалд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
, хаанаР n (х) нь Тейлорын цувралын үлдсэн хэсэг юм.

Томъёолсон шалгуурыг ашиглан хүн олж авах боломжтой хангалттайТейлорын цувралд функцийг өргөтгөх нөхцөл.

Хэрэв орволx цэгийн зарим хөрш 0 функцийн бүх деривативуудын үнэмлэхүй утгууд нь ижил M тоогоор хязгаарлагддаг≥ 0, өөрөөр хэлбэл.

, Тo энэ хөршид функц нь Тейлорын цувралаар өргөжиж байна.

Дээрхээс харахад дараах байдалтай байна алгоритмфункцийн задрал е(х) Тейлорын цувралдцэгийн ойролцоо NS 0 :

1. Функцийн деривативуудыг ол е(х):

f (x), f '(x), f" (x), f '" (x), f (n) (x), ...

2. Бид цэг дээрх функцийн утга ба түүний деривативын утгыг тооцоолно NS 0

f (x 0 ), f '(x 0 ), f ”(x 0 ), f '" (x 0 ), f (n) (х 0 ),…

3. Тейлорын цувааг албан ёсоор бичиж, үүссэн чадлын цувааны нийлэх мужийг ол.

4. Бид хангалттай нөхцлийн биелэлтийг шалгадаг, i.e. үүний төлөө бид тогтоодог NSнийлэх домэйноос үлдэгдэл Р n (х) үед тэглэх хандлагатай байна
эсвэл
.

Энэ алгоритмын дагуу Тейлорын цувралын функцүүдийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг Тодорхойлолтоор Тейлорын цуврал дахь функцийн өргөтгөлэсвэл шууд задрал.

Дээд математикийн оюутнууд бидэнд өгөгдсөн цувааг нэгтгэх интервалд хамаарах тодорхой чадлын цувааны нийлбэр нь тасралтгүй, хязгааргүй олон удаа дифференциаллагдсан функц гэдгийг мэдэх ёстой. Асуулт гарч ирнэ: өгөгдсөн дурын функц f (x) нь тодорхой чадлын цувралын нийлбэр гэж батлах боломжтой юу? Өөрөөр хэлбэл, ямар нөхцөлд f-ija f (x) хүчийг хүчний цуваагаар төлөөлж болох вэ? Ийм асуултын ач холбогдол нь f-yu f (x) -ийг хүчний цувааны эхний хэдэн гишүүний нийлбэрээр, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтээр орлуулах боломжтой байдагт оршино. Функцийг нэлээд энгийн илэрхийлэл буюу олон гишүүнтээр солих нь зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой, тухайлбал: интегралыг шийдвэрлэх, тооцоолох гэх мэт.

Зарим fu ба f (x)-ийн хувьд (n + 1)-р дараалал хүртэлх деривативыг, түүний дотор сүүлчийнх нь хөрш (α - R; x 0 + R) -ийг тооцоолох боломжтой болох нь батлагдсан. зарим цэг x = α энэ нь зөв томъёо юм:

Энэ томъёог нэрт эрдэмтэн Брук Тэйлорын нэрээр нэрлэсэн. Өмнөх цувралаас олж авсан цувралыг Маклаурин цуврал гэж нэрлэдэг.

Маклаурин цувралд өргөтгөл хийх боломжтой болгодог дүрэм:

Нэгдүгээр, хоёр дахь, гурав дахь ... эрэмбийн деривативуудыг тодорхойл.
x = 0 дээрх деривативууд хэдтэй тэнцүү болохыг тооцоол.
Энэ функцийн Маклаурины цувралыг бичээд дараа нь түүний нийлэх интервалыг тодорхойл.
Маклаурины томъёоны үлдэгдэл хэсгийг (-R; R) тодорхойлно

R n (x) -> 0 гэж n -> хязгааргүй. Хэрэв ийм байгаа бол f (x) функц нь Маклаурины цувралын нийлбэртэй давхцах ёстой.

Одоо бие даасан функцүүдийн хувьд Маклаурин цувралыг авч үзье.

1. Тэгэхээр эхнийх нь f (x) = e x болно. Мэдээжийн хэрэг, онцлог шинжээрээ ийм функц нь янз бүрийн эрэмбийн деривативтай ба f (k) (x) = e x, k нь бүгд тэнцүү байна. x = 0-ийг орлуулна. Бид f (k) (0) = e 0 = 1, k = 1,2-ийг авна ... Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн e x мөр дараах байдлаар харагдах болно.

2. f (x) = sin x функцийн Маклаурины цуваа. Бүх үл мэдэгдэх f-s нь f "(x) = cos x = sin (x + n / 2), f" "(x) = -sin x = sin (x + 2 *) -аас гадна деривативтай байх болно гэдгийг нэн даруй тодруулъя. n / 2) ..., f (k) (x) = sin (x + k * n / 2), энд k нь ямар ч натурал тоотой тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, энгийн тооцоолол хийсний дараа бид дүгнэлтэд хүрч болно. f (x) = sin x цуврал нь дараах хэлбэртэй байна:

3. Одоо f-yu f (x) = cos x гэж үзэхийг оролдъё. Бүх үл мэдэгдэхийн хувьд энэ нь дурын дарааллын деривативтай ба | f (k) (x) | = | cos (x + k * n / 2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Тиймээс, бид Маклаурины цуврал болгон өргөжүүлж болох хамгийн чухал функцуудыг жагсаасан боловч зарим функцийг Тэйлорын цувралаар дүүргэсэн болно. Одоо бид тэдгээрийг бас жагсаах болно. Тейлор ба Маклаурин цувралууд нь дээд математикийн цувралыг шийдвэрлэх семинарын чухал хэсэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, Тейлор жагсаж байна.

1. Эхнийх нь f-ii f (x) = ln (1 + x) -ийн цуваа байх болно. Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил өгөгдсөн f (x) = ln (1 + x) хувьд бид Маклаурин цувралын ерөнхий хэлбэрийг ашиглан цуваа нэмж болно. Гэсэн хэдий ч, Маклаурины цувралыг энэ функцэд илүү хялбараар авч болно. Тодорхой геометрийн цувралыг нэгтгэсний дараа бид ийм түүврийн f (x) = ln (1 + x) цувралыг авна.

2. Мөн бидний өгүүлэлд эцсийн байх хоёр дахь нь f (x) = arctan x-ийн цуврал байх болно. [-1; 1] интервалд хамаарах x-ийн хувьд задрал хүчинтэй байна:

Тэгээд л болоо. Энэ нийтлэлд дээд математик, ялангуяа эдийн засаг, техникийн их сургуулиудад хамгийн их хэрэглэгддэг Тейлор, Маклаурин цувралуудыг авч үзсэн.

16.1. Тейлорын цувралын энгийн функцүүдийн өргөтгөл ба

Маклаурин

Хэрэв олонлог дээр дурын функц тодорхойлогдсон бол гэдгийг харуулъя
, цэгийн ойролцоо
нь олон деривативтай ба зэрэглэлийн цувааны нийлбэр юм:

дараа нь энэ цувралын коэффициентүүдийг олж болно.

Эрчим хүчний цувралд орлуулах
... Дараа нь
.

Функцийн эхний деривативыг ол
:

At
:
.

Хоёр дахь деривативын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

At
:
.

Энэ процедурыг үргэлжлүүлнэ nнэг удаа бид:
.

Тиймээс бид дараах хэлбэрийн чадлын цувралыг авсан.

гэж нэрлэдэг Тейлорын хажуудфункцийн хувьд
цэгийн ойролцоо
.

Тейлорын цувралын онцгой тохиолдол бол Маклаурин цувралцагт
:

Тейлор (Маклаурин) цувралын үлдсэн хэсгийг үндсэн мөрүүдийг хаях замаар олж авна. nэхний гишүүд ба гэж тэмдэглэнэ
... Дараа нь функц
нийлбэр гэж бичиж болно nтооны анхны гишүүд
болон үлдсэн
:,

Үлдсэн хэсэг нь ихэвчлэн байдаг
янз бүрийн томъёогоор илэрхийлэгддэг.

Тэдний нэг нь Лагранж хэлбэртэй:

, хаана
.
.

Практикт Maclaurin цувралыг илүү олон удаа ашигладаг болохыг анхаарна уу. Тиймээс функцийг бичихийн тулд
Эрчим хүчний цувралын нийлбэр хэлбэрээр дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) Маклаурин (Тейлор) цувралын коэффициентийг олох;

2) олж авсан чадлын цувааны нийлэх мужийг олох;

3) өгөгдсөн цуваа функцэд нийлдэг болохыг батал
.

Теорем1 (Маклаурины цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Цувралын нэгдэх радиусыг үзье
... Энэ цуврал интервалд нийлэхийн тулд
ажиллах
, нөхцөлийг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай:
заасан интервалд.

Теорем 2.Хэрэв функцийн аль нэг эрэмбийн деривативууд
тодорхой интервалд
үнэмлэхүй утгаараа ижил тоогоор хязгаарлагдана М, тэр бол
, дараа нь энэ интервалд функц
Маклаурин цуврал болгон өргөжүүлж болно.

Жишээ1 . Цэгийн эргэн тойронд Тейлорын цувралыг дэлгэнэ үү
функц.

Шийдэл.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Конвергенцийн бүс нутаг
.

Жишээ2 . Функцийг өргөжүүлэх цэгийн эргэн тойронд Тейлорын эгнээнд
.

Шийдэл:

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг ол
.

,
;

...........……………………………

,
.

Бид эдгээр утгыг дараалан орлуулдаг. Бид авах:

эсвэл
.

Энэ цувралын нэгдэх мужийг олцгооё. d'Alembert онцлог дагуу, цуврал converges бол

Тиймээс, аливаад Энэ хязгаар нь 1-ээс бага тул цувралын нийлэх муж нь:
.

Маклаурины цувралын үндсэн үндсэн функцүүдийн өргөтгөлийн хэд хэдэн жишээг авч үзье. Маклаурин цувралыг эргэн санацгаая.

интервал дээр нийлдэг
ажиллах
.

Функцийг цувралаар өргөжүүлэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатайг анхаарна уу.

a) энэ функцийн Маклаурины цувралын коэффициентийг олох;

б) үүссэн цувралын нийлэгжилтийн радиусыг тооцоолох;

в) гарсан цуваа нь функцэд нийлдэг болохыг нотол
.

Жишээ 3.Функцийг авч үзье
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг тооцоолъё
.

Дараа нь цувралын тоон коэффициентүүд нь:

хэний ч төлөө n.Олдсон коэффициентүүдийг Маклаурин цувралд орлуулж дараахийг авна уу:

Үүссэн цувааны нэгдэх радиусыг ол, тухайлбал:

Үүний үр дүнд цувралууд интервал дээр нийлдэг
.

Энэ цуврал функцэд нийлдэг аливаа үнэт зүйлсийн хувьд учир нь ямар ч цоорхой
функц мөн үнэмлэхүй утга дахь түүний дериватив нь тоогоор хязгаарлагддаг .

Жишээ4 . Функцийг авч үзье
.

Шийдэл.

Энэ нь жигд дарааллын дериватив гэдгийг харахад хялбар байдаг
, мөн деривативууд нь сондгой дараалалтай. Бид олсон коэффициентүүдийг Маклаурин цувралд орлуулж, өргөтгөлийг олж авна.

Энэ цувралын нийлэх интервалыг олцгооё. Д'Аламберт үндэслэн:

хэний ч төлөө ... Үүний үр дүнд цувралууд интервал дээр нийлдэг
.

Энэ цуврал функцэд нийлдэг
, учир нь түүний бүх дериватив нь нэгээр хязгаарлагддаг.

Жишээ5 .
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг олъё
:

Тиймээс энэ цувралын коэффициентүүд:
болон
, иймээс:

Өмнөх цувралын нэгэн адил нийлмэл байдлын бүс
... Цуврал нь функцэд нийлдэг
, учир нь түүний бүх дериватив нь нэгээр хязгаарлагддаг.

функц гэдгийг анхаарна уу
сондгой ба цуваа сондгой градусаар өргөтгөх, функц
- тэгш эрх мэдэлд тэгш ба цуврал өргөтгөл.

Жишээ6 . бином цуврал:
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг олъё
:

Үүнээс үзэхэд:

Маклаурины цуврал дахь коэффициентүүдийн эдгээр утгыг орлуулж, энэ функцийн өргөтгөлийг хүчирхэг цувралд авна уу.

Энэ цувралын нэгдэх радиусыг ол:

Үүний үр дүнд цувралууд интервал дээр нийлдэг
... Хязгаарлалтын цэгүүдэд
болон
Цуврал нь илтгэгчээс хамаарч нийлэх эсвэл нийлэхгүй байж болно
.

Судалж буй цувралууд нь интервал дээр нийлдэг
ажиллах
, өөрөөр хэлбэл хураамжийн нийлбэр
цагт
.

Жишээ7 . Маклаурины цувралд функцийг өргөжүүлье
.

Шийдэл.

Энэ функцийг цувралаар өргөжүүлэхийн тулд бид хоёрын цувааг ашигладаг
... Бид авах:

Эрчим хүчний цувралын шинж чанарт үндэслэн (цахилгаан цувааг нэгтгэх бүсэд нэгтгэж болно) бид энэ цувралын зүүн ба баруун талуудын салшгүй хэсгийг олно.

Энэ цувралын нэгдэх мужийг олцгооё.
,

өөрөөр хэлбэл энэ цувааны нийлэх муж нь интервал юм
... Интервалын төгсгөлд цуваа нийлэхийг тодорхойлъё. At

... Энэ эгнээ нь эв нэгдэлтэй эгнээ, өөрөөр хэлбэл хуваагддаг. At
Бид нийтлэг нэр томъёо бүхий тооны цувралыг авдаг
.

Лейбницийн цуврал нийлдэг. Тиймээс энэ цувралын нийлэх муж нь интервал юм
.

16.2. Ойролцоогоор тооцоололд эрчим хүчний цуваа хэрэглэх

Ойролцоогоор тооцоололд эрчим хүчний цуваа нь маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтүүд, логарифмын хүснэгтүүд, бусад функцүүдийн утгын хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн бөгөөд эдгээрийг мэдлэгийн янз бүрийн салбарт, жишээлбэл, магадлалын онол, математик статистикт ашигладаг. Нэмж дурдахад хүчин чадлын цуваа дахь функцүүдийн өргөтгөл нь тэдний онолын судалгаанд ашигтай байдаг. Ойролцоогоор тооцоололд чадлын цуваа ашиглах гол асуудал бол цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр солих үед гарсан алдааг тооцоолох асуудал юм. nгишүүд.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

функцийг ээлжлэн цуврал болгон өргөжүүлсэн;

функцийг тогтмол цуврал болгон өргөжүүлсэн.

Ээлжит цуваа ашиглан тооцоолох

Функцийг зөвшөөр
ээлжлэн эрчим хүчний цуврал болгон өргөжүүлсэн. Дараа нь энэ функцийг тодорхой утгыг тооцоолохдоо Бид Лейбницийн тестийг ашиглаж болох тоон цувралыг олж авдаг. Энэ онцлогийн дагуу цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр сольсон бол nНөхцөлүүдийн хувьд үнэмлэхүй алдаа нь энэ цувралын үлдсэн хэсгийн эхний гишүүнээс хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл:
.

Жишээ8 . Тооцоол
0.0001 хүртэл нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Бид Маклаурин цувралыг ашиглах болно
, радиан дахь өнцгийн утгыг орлуулах:

Хэрэв бид цувралын нэг ба хоёрдугаар гишүүнийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар харьцуулж үзвэл:.

Гурав дахь өргөтгөлийн хугацаа:

тогтоосон тооцооллын нарийвчлалаас бага. Тиймээс тооцоолох
цувралын хоёр гишүүнийг орхиход хангалттай, өөрөөр хэлбэл

Тиймээс
.

Жишээ9 . Тооцоол
0.001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Бид бином цувралын томъёог ашиглана. Үүнийг хийхийн тулд бичнэ үү
зэрэг:
.

Энэ илэрхийлэлд
,

Цувралын гишүүн бүрийг заасан нарийвчлалтайгаар харьцуулж үзье. Энэ нь ойлгомжтой
... Тиймээс тооцоолох
эгнээний гурван гишүүнийг орхиход л хангалттай.

эсвэл
.

Эерэг цуваа ашиглан тооцоолох

Жишээ10 . Тоогоо тооцоол 0.001 хүртэл нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Функцийн хувьд дараалан
орлуулах
... Бид авах:

Цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр солиход гарах алдааг тооцоолъё гишүүд. Илэрхий тэгш бус байдлыг бичье:

энэ нь 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Асуудлын нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй nДараахь тэгш бус байдал үүснэ.
эсвэл
.

Үүнийг шалгах нь амархан n= 6:
.

Тиймээс,
.

Жишээ11 . Тооцоол
0.0001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Логарифмыг тооцоолохын тулд функцэд цуврал ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу
, гэхдээ энэ цуврал нь маш удаан нийлдэг бөгөөд өгөгдсөн нарийвчлалд хүрэхийн тулд 9999 нөхцөлийг авах шаардлагатай болно! Тиймээс логарифмыг тооцоолохын тулд дүрмээр бол функцийн цуваа
интервал дээр нийлдэг
.

Тооцоод үзье
энэ мөрийг ашиглан. Байцгаая
, дараа нь .

Тиймээс,
,

Тооцоолохын тулд
Өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар бид эхний дөрвөн гишүүний нийлбэрийг авна.
.

Эгнээний үлдэгдэл
хаях. Алдаагаа тооцоод үзье. Энэ нь ойлгомжтой

эсвэл
.

Тиймээс, тооцоололд ашигласан цувралд функцийн цувралд 9999-ийн оронд зөвхөн эхний дөрвөн гишүүнийг авахад хангалттай байсан.
.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

1. Тейлорын цуврал гэж юу вэ?

2. Маклаурин цуврал ямар төрлийн байсан бэ?

3. Тейлорын цуваа дахь функцийн өргөтгөлийн теоремыг томъёол.

4. Үндсэн функцүүдийн Маклаурины цуврал өргөтгөлийг бич.

5. Харгалзан үзсэн цувааны нийлэх талбаруудыг заана уу.

6. Хүчний цуваа ашиглан ойролцоогоор тооцооллын алдааг хэрхэн тооцох вэ?

Хэрэв f (x) функц нь а цэгийг агуулсан зарим интервал дахь бүх эрэмбийн деривативтай бол түүнд Тейлорын томъёог хэрэглэж болно.
,
хаана r n- цувралын үлдэгдэл буюу үлдэгдэл гэж нэрлэгддэгийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.
, энд x тоо нь x ба a хооронд байна.

Функцийг оруулах дүрэм:

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд NS r n→ 0 n→ ∞, дараа нь хязгаарт Тейлорын томъёо нь энэ утгыг нэгтгэгч болгон хувиргадаг Тейлорын цуврал:
,
Тиймээс f (x) функцийг авч үзсэн x цэг дээр Тейлорын цувралд өргөтгөж болно, хэрэв:
1) бүх захиалгын деривативтай;
2) баригдсан цувралууд энэ цэг дээр нийлдэг.

a = 0-ийн хувьд бид нэртэй цувралыг олж авна Маклаурины ойролцоо:
,
Маклаурин цувралын хамгийн энгийн (анхны) функцүүдийн өргөтгөл:
Заагч функцууд
, R = ∞
Тригонометрийн функцууд
, R = ∞
, R = ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
actgx функц нь x-ийн зэрэглэлд тэлэхгүй, учир нь ctg0 = ∞
Гиперболын функцууд

Логарифм функцууд
, -1
Бином цуврал
.

Жишээ №1. Хүч чадлын цуваа дахь функцийг өргөжүүлэх f (x) = 2х.
Шийдэл... Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё NS=0
f (x) = 2х, f ( 0) = 2 0 =1;
f "(x) = 2х ln2, f "( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f "" (x) = 2х ln 2 2, f "" ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2х ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цувралын томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ цувралын нийлэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ тэлэлт нь -∞-д хүчинтэй байна.<х<+∞.

Жишээ № 2. Тейлорын цувралыг хүчээр бичнэ үү ( NS+4) функцийн хувьд f (x) =д х.
Шийдэл... Функцийн деривативуудыг олоорой e хболон тэдний үнэ цэнэ NS=-4.
f (x)= e х, f (-4) = e -4 ;
f "(x)= e х, f "(-4) = e -4 ;
f "" (x)= e х, f "" (-4) = e -4 ;
…
f (n) (x)= e х, f (n) ( -4) = e -4 .
Тиймээс функцийн шаардлагатай Тейлор цуврал дараах хэлбэртэй байна.

Энэ задрал нь -∞-д мөн хүчинтэй<х<+∞.

Жишээ №3. Функцийг өргөжүүлэх f (x)= ln хэрх мэдлийн цувралд ( NS- 1),
(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд NS=1).
Шийдэл... Энэ функцийн деривативуудыг ол.
f (x) = lnx,,,,

f (1) = ln1 = 0, f "(1) = 1, f" "(1) = - 1, f" "" (1) = 1 * 2, ..., f (n) = (- 1) n-1 (n-1)!
Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид шаардлагатай Тейлор цувралыг авна.

d'Alembert тестийг ашиглан цувралууд ½x-1½-д нийлж байгаа эсэхийг шалгаж болно.<1 . Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ NS- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При NS= 2 Бид Лейбницийн тестийн нөхцлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авна. x = 0-ийн хувьд функц тодорхойгүй байна. Тиймээс Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас нээлттэй интервал юм (0; 2).

Жишээ № 4. Хүчин чадлын цуваа дахь функцийг өргөжүүлэх.
Шийдэл... Өргөтгөл (1) дээр бид x-г -x 2-оор сольж, бид дараахь зүйлийг авна.
, -∞

Жишээ №5. Маклаурин цуврал функцийг өргөжүүлэх .
Шийдэл... Бидэнд байгаа
Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

-x томъёонд x-ийн оронд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Эндээс бид олох болно: ln (1 + x) -ln (1-x) = -
Хаалтуудыг өргөжүүлж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нөхцлүүдийг бууруулснаар бид олж авна.
... Энэ цуваа нь (-1; 1) интервалд нийлдэг, учир нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цувралаас авсан.

Сэтгэгдэл .
Формула (1) - (5) нь мөн Тейлорын цувралын харгалзах функцуудыг өргөжүүлэхэд ашиглагдаж болно, өөрөөр хэлбэл. эерэг бүхэл тоон дахь функцуудыг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн функц дээр (1) - (5) функцүүдийн аль нэгийг олж авахын тулд ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай байдаг. NSзардал k ( Ха) m, k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо. Хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь чадлын цуваа дахь функцийг өргөтгөх өвөрмөц байдлын теорем дээр суурилдаг. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ № 5a. Маклаурины цуврал дахь функцийг өргөжүүлж, нийлэх мужийг заана уу.
Шийдэл. Эхлээд 1-x-6x 2 = (1-3x) (1 + 2x), ол.
анхан шат руу:

3 / (1-3x) бутархайг хуваагч 3x-тай хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр гэж үзэж болно, хэрэв |3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

нийлэх мужтай | x |< 1/3.

Жишээ № 6. x = 3 цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралын функцийг өргөжүүл.
Шийдэл... Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох шаардлагатай. NS= 3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа задралыг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):
=
Үүссэн цуваа нь буюу -3-т нийлдэг

Жишээ № 7. Тейлорын цувралыг ln (x + 2) функцийн (x -1) зэрэглэлээр бич.
Шийдэл.

Цуврал нь -2-д нийлдэг< x < 5.

Жишээ №8. f (x) = sin (πx / 4) функцийг x = 2 цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд өргөжүүл.
Шийдэл... t = x-2 орлуулалтыг хийцгээе:

X-ийн оронд π / 4 t-ийг орлуулах (3) өргөтгөлийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь өгөгдсөн функцэд -∞ дээр нийлдэг< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Тиймээс,
, (-∞

Эрчим хүчний цуваа ашиглан ойролцоогоор тооцоолол

Эрчим хүчний цувааг ойролцоогоор тооцоололд өргөн ашигладаг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та язгуур, тригонометрийн функц, тоон логарифм, тодорхой интегралын утгуудыг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно. Цувралыг дифференциал тэгшитгэлийг интегралчлахад бас ашигладаг.
Хүч чадлын цуваа дахь функцийн өргөтгөлийг авч үзье.

Өгөгдсөн цэг дэх функцийн ойролцоо утгыг тооцоолохын тулд NSзаасан цувралын нэгдэх бүсэд хамаарах, эхний nгишүүд ( nЭнэ нь хязгаарлагдмал тоо), үлдсэн нэр томъёог хассан:

Олж авсан ойролцоо утгын алдааг тооцоолохын тулд r n (x) хаягдсан үлдэгдлийг тооцоолох шаардлагатай. Үүний тулд дараахь техникийг ашигладаг.

Хэрэв үр дүнгийн цуваа тэмдэгтүүдээр солигдож байвал дараахь шинж чанарыг ашиглана. Лейбницийн нөхцөлийг хангасан ээлжлэн цувааны хувьд үнэмлэхүй утгын цувралын үлдсэн хэсэг нь хасагдсан эхний гишүүнээс хэтрэхгүй байна..
хэрэв өгөгдсөн мөр нь тэмдгээр тогтмол байвал хасагдсан гишүүдээс бүтсэн мөрийг хязгааргүй багасах геометр прогресстой харьцуулна.
ерөнхий тохиолдолд, Тейлорын цувралын үлдэгдлийг тооцоолохын тулд Лагранжийн томъёог ашиглаж болно: a х ).

Жишээ №1. ln (3)-ыг 0.01-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл... Задралыг ашиглая, энд x = 1/2 (өмнөх сэдвийн 5-р жишээг үзнэ үү):

Өргөтгөлийн эхний гурван гишүүний дараа үлдэгдлийг хаяж чадах эсэхийг шалгая, үүний тулд бид үүнийг хязгааргүй багасах геометр прогрессийн нийлбэрээр тооцоолно:

Тиймээс бид энэ үлдэгдлийг хаяж, авах боломжтой

Жишээ № 2. 0.0001-ийн нарийвчлалтайгаар тооцоол.
Шийдэл... Хоёр гишүүний цувааг ашиглая. 5 3 нь 130-д хамгийн ойр бүхэл тооны шоо учраас 130-ын тоог 130 = 5 3 +5 гэж илэрхийлэх нь зүйтэй.

Учир нь Лейбницийн шалгуурыг хангасан ээлжит цувралын дөрөв дэх гишүүн нь шаардлагатай нарийвчлалаас бага байна.
, тиймээс үүнийг болон түүнийг дагаж буй гишүүдийг хасч болно.
Практикт шаардлагатай олон тодорхой буюу буруу интегралыг Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тооцоолох боломжгүй, учир нь түүний хэрэглээ нь үндсэн функцүүдэд илэрхийлэлгүй эсрэг дериватив олохтой холбоотой байдаг. Эсрэг деривативыг олох нь боломжтой боловч шаардлагагүй их хөдөлмөр шаарддаг. Гэсэн хэдий ч хэрэв интегралыг хүчирхэг цуваа болгон өргөжүүлж болох бөгөөд интегралын хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах бол урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар интегралыг ойролцоогоор тооцоолох боломжтой.

Жишээ №3. ∫ 0 1 4 sin (x) x интегралыг 10 -5 хүртэл үнэл.
Шийдэл... Харгалзах тодорхойгүй интегралыг энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй, өөрөөр хэлбэл. нь "хугаршгүй интеграл" юм. Энд Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэх боломжгүй. Интегралыг ойролцоогоор тооцоолъё.
Нүглийн төлөө цувралыг хуваах замаар хдээр х, бид авах:

Энэ цувралын нэр томьёог нэр томъёогоор нэгтгэж (интеграцын хязгаар нь энэ цувралын нийлэх интервалд хамаарах тул энэ нь боломжтой) бид дараах зүйлийг олж авна.

Үүссэн цуваа нь Лейбницийн нөхцөлийг хангаж байгаа тул өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар хүссэн утгыг авахын тулд эхний хоёр гишүүний нийлбэрийг авахад хангалттай.
Тиймээс бид олдог
.

Жишээ № 4. ∫ 0 1 4 e x 2 интегралыг 0.001-ийн нарийвчлалтайгаар үнэл.
Шийдэл.
... Үр дүнгийн цувралын хоёр дахь гишүүний дараа үлдсэн хэсгийг хаяж чадах эсэхийг шалгацгаая.
0.0001<0.001. Следовательно, .

Энэ нийтлэлд олон сурах бичигт Маклаурин тэлэлт гэж нэрлэгддэг тэг дэх шүргэгч тэлэлтийн талаар өгүүлэх болно гэдгийг би даруй тэмдэглэх болно.

За, бүх функцууд бидэнд хэрэгтэй үед хязгааргүй ялгаатай байх болно.

Бусад хамгийн энгийн энгийн функцүүдийн ихэнхийг Тейлорын цуврал болгон хялбархан өргөжүүлж болох ба тэлэлтийн нэр томъёог бүрдүүлдэг хууль нь ихэвчлэн төвөгтэй биш бөгөөд энгийн таамаг байдаг ч шүргэгчийн хувьд энэ нь тийм биш юм. Хэдийгээр сүүлийнх нь зүгээр л синус ба косинусын харьцаа юм шиг санагдаж байгаа ч өргөтгөхөд асуудал гардаггүй функцууд. Үүний зэрэгцээ, шүргэгчийн нийтлэг нэр томъёоны хэлбэрийг зааж өгөхийн тулд бид холоос эхэлж, хиймэл аргыг хэрэглэх шаардлагатай болно. Гэхдээ практик дээр цувралын бүх коэффициентийг мэдэх шаардлагагүй, өргөтгөлийн хэдхэн нөхцөл хангалттай байдаг. Асуудлыг ийм томъёолсноор оюутнууд ихэвчлэн тулгардаг. Тиймээс бид түүнтэй эхлэх болно. Ялангуяа төвөг учруулахгүйн тулд бид тав дахь зэрэглэлийн коэффициентийн өргөтгөлийг хайх болно.

Энд хамгийн түрүүнд санаанд орж байгаа зүйл бол Тейлорын томъёог шууд ашиглахыг оролдох явдал юм. Ихэнхдээ хүмүүс дараалан тэлэх өөр аргуудын талаар огтхон ч төсөөлдөггүй. Дашрамд хэлэхэд, шалны дэвсгэр дээрх манай семинарч. Шинжилгээний хувьд хоёр дахь жилдээ би яг ийм задралыг хайж байсан, гэхдээ би энэ талаар муу зүйл хэлж чадахгүй, ухаалаг залуу, тэр зүгээр л дериватив авах чадвараа харуулахыг хүссэн байх. Ямар ч байсан, гэхдээ шүргэгчээс өндөр тушаалын дериватив авах нь таашаал, туйлын уйтгартай ажил бөгөөд зөвхөн хүнд биш машинд даатгахад хялбар байдаг. Гэхдээ жинхэнэ тамирчдын хувьд бид үр дүнг биш, харин үйл явцыг сонирхдог бөгөөд үйл явц нь илүү хялбар байх нь зүйтэй юм. Деривативууд нь дараах байдалтай байна (максима системээр тооцоолсон): , , , ,. Деривативыг гар аргаар олж авахад хялбар гэж хэн бодож байгаа бол түүнийг үнэгүй хий. Ямар ч байсан одоо бид задралыг бичиж болно: .

Энд юу хялбаршуулж болох вэ, бид үүнийг анзаарч байна Иймээс шүргэгчийн анхны дериватив нь шүргэгчээр илэрхийлэгддэг бөгөөд үүнээс гадна шүргэгчийн бусад бүх деривативууд шүргэгч дэх олон гишүүнт байх бөгөөд энэ нь синусын хэсгийн деривативын талаар санаа зовохгүй байх боломжийг бидэнд олгодог. ба косинусууд:
,
,
,
.
Мэдээжийн хэрэг задрал нь адилхан болж хувирдаг.

Би шалны шалгалт дээр шууд цуврал өргөтгөх өөр аргын талаар олж мэдсэн. дүн шинжилгээ хийж, энэ аргыг мэдэхгүй байсан тул би найрал дууг хүлээн авсан. оронд нь хуучин.-a. Аргын утга нь бид синус болон косинусын аль алиных нь цуврал өргөтгөл, түүнчлэн функцийг мэддэг, сүүлчийн өргөтгөл нь секантын задралыг олох боломжийг олгодог. Хаалтуудыг өргөжүүлснээр бид синусын тэлэлтээр үржүүлэх шаардлагатай цувралыг авдаг. Одоо бид хоёр мөрийг үржүүлэхэд л хангалттай. Хэрэв бид нарийн төвөгтэй байдлын талаар ярих юм бол энэ нь эхний аргаас доогуур байгаа гэдэгт би эргэлзэж байна, ялангуяа олох шаардлагатай өргөтгөлүүдийн зэрэг нэмэгдэхийн хэрээр тооцооллын хэмжээ хурдацтай өсдөг.

Дараагийн арга нь тодорхойгүй коэффициентийн аргын хувилбар юм. Эхлээд априори хэлээр өргөтгөлийг бий болгоход юу тусалж болох тангенсийн талаар бид ерөнхийдөө юу мэддэг вэ гэсэн асуултыг тавьцгаая. Энд хамгийн чухал зүйл бол шүргэгч функц нь сондгой тул тэгш градусын бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл коэффициентүүдийн талыг олох шаардлагагүй юм. Дараа нь та бичиж болно, эсвэл синус ба косинусыг цувралаар өргөжүүлбэл бид олж авна. Ижил градусын коэффициентүүдийг тэнцүүлж үзвэл бид олж авна , болон ерөнхийдөө ... Тиймээс, давтагдах процессыг ашигласнаар бид өргөтгөлөөс хэдэн ч нэр томъёог олж чадна.

Дөрөв дэх арга нь мөн тодорхойгүй коэффициентийн арга боловч үүний тулд бидэнд өөр функцийг задлах шаардлагагүй болно. Бид тангенсийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Шүргэгчийн уламжлалыг шүргэгчийн функцээр илэрхийлж болохыг бид дээр үзсэн. Энэ тэгшитгэлд хэд хэдэн тодорхойгүй коэффициентийг орлуулснаар та бичиж болно. Дөрвөлжин ба эндээс дахин давтагдах процессоор тэлэлтийн коэффициентийг олох боломжтой болно.

Эдгээр аргууд нь эхний хоёроос хялбар биш боловч цувралын нийтлэг нэр томъёоны илэрхийлэлийг ийм аргаар олох нь ажиллахгүй, гэхдээ бид үүнийг хүсч байна. Би эхэнд хэлсэнчлэн та холоос эхлэх хэрэгтэй болно (Би Курантын сурах бичгийг дагах болно). Бид функцийг өргөжүүлэх замаар эхэлнэ. Үүний үр дүнд бид маягт дээр бичигдэх цувралыг авдаг Энд байгаа тоонууд нь Бернуллигийн тоо юм.
Эхлээд эдгээр тоонуудыг Жейкоб Бернулли натурал тоонуудын mth зэрэглэлийн нийлбэрийг олохдоо олжээ. ... Тригонометр үүнтэй ямар холбоотой юм шиг санагдаж байна? Хожим нь Эйлер натурал тоонуудын урвуу квадратуудын нийлбэрийн асуудлыг шийдэж, синусыг хязгааргүй үржвэр болгон тэлэхээс хариулт авсан. Цаашилбал, котангентын задрал нь бүх натурал n тоонуудын хувьд хэлбэрийн нийлбэрүүдийг агуулдаг болох нь тогтоогдсон. Үүнээс үүдэн Эйлер ийм нийлбэрүүдийн илэрхийлэлийг Бернуллигийн тоогоор олж авсан. Тиймээс энд холболтууд байгаа бөгөөд шүргэгчийн задрал нь энэ дарааллыг агуулж байгаад гайхах хэрэггүй.
Харин фракцын тэлэлт рүү буцъя. Экспонентийг өргөжүүлж, нэгийг нь хасаад "x"-д хувааснаар бид эцэст нь олж авна. Эндээс харахад Бернуллигийн тоонуудын эхнийх нь нэгтэй тэнцүү, хоёр дахь нь хасах нэг секунд гэх мэт нь тодорхой байна. Бернуллигийн k-р тооны илэрхийлэлийг нэгээс эхлэн бичье. Энэ илэрхийллийг үржүүлээд бид илэрхийллийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ. Энэ илэрхийллээс бид Бернулли тоонуудыг ээлжлэн авч болно, тухайлбал:,,