Санамсаргүй хувьсагч. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон үзүүлэлтүүд. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f (x) тархалтын функцээр өгье.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс ялгаатай нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний тархалтын хуулийн хүснэгт хэлбэрээр зааж өгөх боломжгүй, учир нь түүний бүх утгыг тодорхой дарааллаар жагсаах, бичих боломжгүй юм. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжит аргуудын нэг бол тархалтын функцийг ашиглах явдал юм.
ТОДОРХОЙЛОЛТ. Тархалтын функц нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь х цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тоон тэнхлэгт дүрслэгдсэн утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог функц юм.
Заримдаа "Түгээлтийн функц" гэсэн нэр томъёоны оронд "Хуримтлагдсан функц" гэсэн нэр томъёог ашигладаг.
Түгээх функцийн шинж чанарууд:
1. Тархалтын функцийн утгууд нь сегментэд хамаарна: 0F (x) 1
2. F (x) нь буурахгүй функц, i.e. F (x 2) F (x 1) хэрэв x 2> x 1 бол
Дүгнэлт 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн (a, b) интервалд орсон утгыг авах магадлал нь энэ интервал дээрх тархалтын функцийн өсөлттэй тэнцүү байна.
P (aX
Жишээ 9. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр өгөгдсөн:
Туршилтын үр дүнд X нь (0; 2) интервалд хамаарах утгыг авах магадлалыг ол: P (0) Шийдэл: (0; 2) интервал дээр нөхцөлөөр F (x) = x / 4 + 1/4, дараа нь F (2) -F (0) = (2/4 + 1/4) - ( 0/4 + 1/4) = 1/2. Тиймээс, P (0 Дүгнэлт 2. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тодорхой нэг утгыг авах магадлал тэг байна. Дүгнэлт 3. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд (a; b) интервалд хамаарах бол: 1) xa хувьд F (x) = 0; 2) xb-ийн хувьд F (x) = 1. Тархалтын функцийн график нь y = 0, y = 1 (эхний шинж чанар) шулуун шугамаар хязгаарлагдсан туузанд байрладаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг агуулсан (a; b) интервалд x нэмэгдэх тусам график "дээш өснө". xa үед графикийн ординатууд тэгтэй тэнцүү байна; xb дээр графикийн ординатууд нэгтэй тэнцүү байна. Жишээ 10. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хүснэгтээр өгөгдсөн: Түгээлтийн функцийг олоод график зур. ТОДОРХОЙЛОЛТ: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягт нь f (x) функц - F (x) тархалтын функцийн эхний дериватив: f (x) = F "(x) Энэ тодорхойлолтоос харахад түгээлтийн функц нь тархалтын нягтын эсрэг дериватив юм. Теорем. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь (a; b) интервалд хамаарах утгыг авах магадлал нь a-аас b хүртэлх мужид авсан тархалтын нягтын тодорхой интегралтай тэнцүү байна. Магадлалын нягтын шинж чанарууд: 1. Магадлалын нягт нь сөрөг бус функц: f (x) 0. Жишээ 11. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтыг өгөв Шийдэл: Магадлалыг хайж байна: Дискрет хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарын тодорхойлолтыг тасралтгүй хэмжигдэхүүн болгон өргөжүүлье. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f (x) тархалтын нягтаар өгье. ТОДОРХОЙЛОЛТ. Боломжит утгууд нь сегментэд хамаарах тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлт нь тодорхой интеграл юм. M (x) = xf (x) dx (9) Хэрэв боломжит утгууд нь бүхэл бүтэн Ox тэнхлэгт хамаарах бол: M (x) = xf (x) dx (10) Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн горим M 0 (X) нь тархалтын нягтын орон нутгийн максимумтай тохирч байгаа боломжит утга гэж нэрлэгддэг. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн медиан M e (X)-ийг түүний боломжит утга гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. P (X e (X)) = P (X> M e (X)) ТОДОРХОЙЛОЛТ. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь түүний хазайлтын квадратын математик хүлээлт юм. Хэрэв X-ийн боломжит утгууд сегментэд хамаарах бол: D (x) = 2 f (x) dx (11) Хэрэв боломжит утгууд нь бүхэлд нь x тэнхлэгт хамаарах бол. Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч
тохиолдолоос хамааран тодорхой утгыг авч болох хувьсагч гэж нэрлэгддэг. Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр (X, Y, Z), тэдгээрийн утгыг харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой тэгээс өөр магадлал бүхий зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) утгыг авдаг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг харгалзах магадлалтай холбодог функц гэж нэрлэдэг. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно. 1
. Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.
Энд λ> 0, k = 0, 1, 2,…. v)ашиглах замаар түгээлтийн функц F (x)
, энэ нь х-ийн утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F (x) = P (X< x). F (x) функцийн шинж чанарууд 3
. Хуваарилалтын хуулийг графикаар тогтоож болно
- олон өнцөгт (олон өнцөгт) хуваарилалт (даалгавар 3-ыг үз). Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хуваарилалтын хуулийн хамгийн чухал шинж чанарыг тусгасан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж утга" гэсэн утгатай тоо эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаасаа дундаж хазайлтыг харуулсан тоо байж болно. Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар
: 1000 ширхэг сугалааны тасалбар гаргасан: тэдгээрийн 5 нь 500 рублийн, 10 нь 100 рублийн, 20 нь 50 рублийн, 50 нь 10 рублийн хожил авсан. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ашиг. Шийдэл.
Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500. Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 - (5 + 10 + 20 + 50) = 915, дараа нь P (X = 0) = 915/1000 = 0.915 байна. Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P (X = 0) = 50/1000 = 0.05, P (X = 50) = 20/1000 = 0.02, P (X = 100) = 10/1000 = 0.01 , P (X) = 500) = 5/1000 = 0.005. Бид үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр илэрхийлнэ. X утгын математик хүлээлтийг олъё: M (X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3.5 Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гаргаж, түгээлтийн полигон байгуул. F (x) тархалтын функцийг олоод графикийг зур. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг ол. Шийдэл.
1.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементийн тоо) дараах боломжит утгуудтай байна: x 1 = 0 (төхөөрөмжийн аль ч элемент амжилтгүй болсон), x 2 = 1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 = 2 ( хоёр элемент амжилтгүй болсон) ба x 4 = 3 (гурван элемент амжилтгүй болсон). Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент тус бүрийн эвдрэлийн магадлал нь хоорондоо тэнцүү тул үүнийг хэрэглэнэ Бернулли томъёо
... Нөхцөлөөр n = 3, p = 0.1, q = 1-p = 0.9 гэдгийг харгалзан бид утгуудын магадлалыг тодорхойлно. Тиймээс, X-ийн хайж буй хоёртын тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна. Абсцисса тэнхлэг дээр бид x i-ийн боломжит утгуудыг, ордны тэнхлэг дээр - p i-ийн харгалзах магадлалыг тавьдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шугамын сегментээр холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна. 3.
F (x) = P (X) тархалтын функцийг олцгооё Функцийн график F (x) 4.
X хоёрын тархалтын хувьд: Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй харьцах ёстой бөгөөд тэдгээрийн бүх утгыг тоолж болохгүй. Жишээлбэл, цагийг цаг, минут, секунд, миллисекунд гэх мэтээр хэмжиж болох тул $ X $ санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгыг авч, "давтрах" боломжгүй - цагийн үйлчилгээний хугацаа. Та зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд байрлах тодорхой интервалыг зааж өгч болно. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнутга нь тодорхой интервалыг бүрэн дүүргэх санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгыг тоолох боломжгүй тул түгээлтийн функцийг ашиглан үүнийг тодорхойлж болно. Түгээлтийн функц$ X $ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $ F \ left (x \ баруун) $ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $ X $ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $ x $ зарим тогтмол утгаас бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог. F \ зүүн (x \ баруун) = P \ зүүн (X< x\right)$. Түгээх функцийн шинж чанарууд: 1
... $ 0 \ le F \ зүүн (x \ баруун) \ le 1 $. 2
... Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $ X $ нь $ \ зүүн (\ альфа; \ \ бета \ баруун) $ интервалаас утгыг авах магадлал нь түүний төгсгөлд байгаа түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. интервал: $ P \ зүүн (\ альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$. 3
... $ F \ зүүн (x \ баруун) $ - буурахгүй. 4
... $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ баруун) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x) \ баруун) = 1 \) $. Жишээ 1
$$ P \ үлдсэн (0.3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$ $ f \ left (x \ right) = (F) "(x) $ функцийг магадлалын тархалтын нягт гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь $ F \ left (x) түгээлтийн функцээс авсан нэгдүгээр эрэмбийн дериватив юм. \ баруун) $ өөрөө. $ f \ left (x \ баруун) $ функцийн шинж чанарууд. 1
... $ f \ зүүн (x \ баруун) \ ge 0 $. 2
... $ \ int ^ x _ (- \ infty) (f \ зүүн (t \ баруун) dt) = F \ зүүн (x \ баруун) $. 3
... Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $ X $ нь $ \ зүүн (\ альфа; \ \ бета \ баруун) $ интервалаас утгыг авах магадлал нь $ P \ зүүн (\ альфа) байна.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$. 4
... $ \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ зүүн (x \ баруун)) = 1 $. Жишээ 2
... Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн $ X $ нь дараах тархалтын функцээр өгөгдөнө $ F (x) = \ зүүн \ (\ эхлэл (матриц) $ X $ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг томъёогоор тооцоолно $$ M \ зүүн (X \ баруун) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ зүүн (x \ баруун) dx). $$ Жишээ 3
... $ 2 $ жишээнээс $ X $ санамсаргүй хэмжигдэхүүнд $ M \ зүүн (X \ баруун) $ -г ол. $$ M \ зүүн (X \ баруун) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (xf \ зүүн (x \ баруун) \ dx) = \ int ^ 1_0 (x \ dx) = (( x ^ 2) \ дээр (2)) \ том | _0 ^ 1 = ((1) \ (2)-оос дээш). $$ Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн $ X $-ийн дисперсийг томъёогоор тооцоолно $$ D \ зүүн (X \ баруун) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ зүүн (x \ баруун) \ dx) - (\ зүүн) ^ 2. $$ Жишээ 4
... $ 2 $ жишээнээс $ X $ санамсаргүй хэмжигдэхүүнд $ D \ зүүн (X \ баруун) $ -г ол. $$ D \ зүүн (X \ баруун) = \ int ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (x ^ 2f \ зүүн (x \ баруун) \ dx) - (\ зүүн) ^ 2 = \ int ^ 1_0 (x ^ 2 \ dx) - (\ зүүн (((1) \ (2) гаруй) \ баруун)) ^ 2 = ((x ^ 3) \ (3) гаруй) \ том | _0 ^ 1- ( (1) \ (4)-ээс дээш) = ((1) \ (3)-аас дээш) - ((1) \ (4)) = ((1) \ (12)-аас дээш). $$ руу Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг ол, та энэ тооны машиныг ашиглах ёстой. Дасгал 1... Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. Даалгавар 2... Интеграл функцээр өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперсийг ол. Даалгавар 3... Өгөгдсөн тархалтын функцээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлтийг ол. Даалгавар 4... Зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтыг дараах байдлаар өгөв: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞) Даалгавар... Зарим тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг дараах байдлаар тодорхойлно. a ба b параметрүүдийг тодорхойлж, магадлалын нягт f (x), математикийн хүлээлт ба дисперс, түүнчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утгыг авах магадлалын илэрхийлэлийг ол. f (x) ба F (x) графикуудыг байгуул. Тархалтын нягтын функцийг тархалтын функцийн дериватив хэлбэрээр олъё. Жишээ №1. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн f (x) магадлалын тархалтын нягтыг өгөв. Шаардлагатай: Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f (x) тархалтын нягтаар өгөгдсөн: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт (дифференциал тархалтын функц) нь хуримтлагдсан тархалтын функцийн анхны дериватив юм: f (x) = F ’(X). Энэ тодорхойлолт болон хуваарилалтын функцийн шинж чанараас үүдэн гарч ирдэг Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлт нь тоо юм Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперс нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог Жишээ 79.Цагийн хуваарилалтын нягтрал Түйлдвэрлэлийн шугам дээрх электрон тоног төхөөрөмжийн угсралт Коэффицентийг ол А, электрон тоног төхөөрөмжийг угсрах хугацааны хуваарилалтын функц ба угсрах хугацаа нь интервал (0.1А) дотор байх магадлал. Шийдэл.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн шинж чанарт үндэслэсэн Хоёр удаа хэсгүүдээр нэгтгэж, бид олж авна Түгээлтийн функц нь Электрон төхөөрөмжийг угсрах хугацаа (0; 1 / λ) -аас хэтрэхгүй байх магадлал: Жишээ 80... REA нэгжийн гаралтын эсэргүүцлийн нэрлэсэн утгаас хазайх магадлалын нягт Р 0
2δ хүлцлийн хязгаарын хүрээнд хуулиар тодорхойлсон Эсэргүүцлийн нэрлэсэн утгаас хазайх математик хүлээлт ба дисперсийг ол. Шийдэл. Интеграл нь сондгой, интегралын хязгаар нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй тул интеграл нь 0 байна. Тиймээс, М{Р}
=
0. Сэлгээ хийх r
=
а
нүгэл
х,
авах Жишээ 81.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв. Олно: 1. F (x); 2. М (X); 3. D (X). Шийдэл. 1. F (x) -ийг олохын тулд бид томъёог ашиглана Хэрэв Хэрэв Хэрэв 3.
Хоёр удаа хэсгүүдээр нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна. 82. 74, 75-р бодлогод f (x), M (X), D (X) -ийг ол. 83. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв. F (x) тархалтын функцийг ол. 84. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын нягтыг Ox тэнхлэгт бүхэлд нь тэгшитгэлээр өгнө. 85. (-3, 3) интервал дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын нягтаар өгөгдсөн. a) Х дисперсийг ол; б) аль нь илүү магадлалтай вэ: туршилтын үр дүн X болно<1 или X>1? 86. Тархалтын функцээр өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперсийг ол 87. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын функцээр тодорхойлно X-ийн хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг ол. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтыг жигд гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв X-ийн бүх боломжит утгууд хамаарах интервалд (a, b) нягтрал нь тогтмол хэвээр байгаа бөгөөд энэ интервалаас гадуур тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Экспоненциал (экпоненциал) тархалт нь нягтралаар тодорхойлогддог тасралтгүй X санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм. Энд λ нь тогтмол эерэг утга юм. Экспоненциал хуулийн тархалтын функц Математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү байна Жишээ 88.Амперметрийн хуваалт нь 0.10А байна. Амметрийн заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан байна. Тооцооллын үед 0.02А-аас их алдаа гарах магадлалыг ол. Шийдэл.Бөөрөнхийлөх алдааг бүхэл тооны хоёр хуваагдлын хоорондох интервалд (0; 0.1) жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X гэж үзэж болно. Тиймээс, Дараа нь Жишээ 89.Элементийн ажиллах хугацааны үргэлжлэх хугацаа нь экспоненциал тархалттай байдаг. Хугацааны t = 100 цаг байх магадлалыг ол: a) элемент бүтэлгүйтэх; б) элемент бүтэлгүйтэхгүй. Шийдэл. a) Тодорхойлолтоор б) "Элемент бүтэлгүйтэхгүй" үйл явдал нь авч үзсэнийхээ эсрэг байдаг тул түүний магадлал 90. Цахим нэгжийг үйлдвэрлэлийн шугам дээр угсарч, угсрах цикл 2 минут байна. Дууссан блокыг циклийн дотор дурын цэгт хяналт, тохируулах зорилгоор конвейерээс гаргаж авдаг. Дууссан блок конвейер дээр байх хугацааны математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлтыг ол. Конвейер дээр блокийн зарцуулсан хугацаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жигд тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг. 91. Электрон төхөөрөмж тодорхой хугацаанд эвдрэх магадлалыг томъёогоор илэрхийлнэ 92. Хөгжиж буй холбооны хиймэл дагуул нь дунджаар 5 жилийн MTBF байх ёстой. Гэмтлийн хоорондох бодит цагийг санамсаргүй экспоненциал тархсан хэмжигдэхүүн гэж үзээд магадлалыг тодорхойл. a) хиймэл дагуул 5-аас доош жил ажиллах; б) хиймэл дагуул 10-аас доошгүй жил ажиллах; в) хиймэл дагуул 6 дахь жилдээ бүтэлгүйтнэ. 93. Түрээслэгч дунджаар 1000 цаг ажилладаг дөрвөн улайсдаг гэрлийн чийдэн худалдаж авсны нэгийг нь ширээний чийдэнд суулгаж, үлдсэнийг нь чийдэн нь шатаж магадгүй гэж нөөцөлсөн байна. Тодорхойлох: a) дөрвөн чийдэнгийн хүлээгдэж буй хуримтлагдах хугацаа, б) нийт дөрвөн чийдэн 5000 ба түүнээс дээш цаг ажиллах магадлал; в) бүх чийдэнгийн нийт ашиглалтын хугацаа 2000 цагаас хэтрэхгүй байх магадлал. 94. Хэмжих хэрэгслийн хуваарийн хуваалт 0.2. Багажны заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан. Тоолох явцад алдаа гарах магадлалыг ол: a) 0.04-ээс бага; б) том 0.05. 95. Тодорхой чиглэлийн автобуснууд цагийн хуваарийн дагуу хатуу явдаг. Хөдөлгөөний завсарлага 5 минут байна. Зогсоол дээр ирсэн зорчигч дараагийн автобусаа 3 минут хүрэхгүй хугацаанд хүлээх магадлалыг ол. 96. (2, 8) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн математик хүлээлтийг ол. 97. (2, 8) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперс ба стандарт хазайлтыг ол. 98. Бие даасан ажиллагаатай хоёр элементийг турших. Эхний элементийн ажиллах хугацааны үргэлжлэх хугацаа нь экспоненциал тархалттай байдаг
Дараах хязгаарын харилцаа хүчинтэй байна.
Зураг 1X
1
4
8
П
0.3
0.1
0.6
Шийдэл: Түгээлтийн функцийг аналитик байдлаар дараах байдлаар бичиж болно.
Зураг-2
(8)
2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтын -∞-аас + ∞ хүртэлх тодорхой интеграл нь 1-тэй тэнцүү: f (x) dx = 1.
3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын -∞-аас x хүртэлх тодорхой интеграл нь энэ хэмжигдэхүүний тархалтын функцтэй тэнцүү байна: f (x) dx = F (x)
Туршилтын үр дүнд X интервалд хамаарах утгыг (0.5; 1) авах магадлалыг ол.
эсвэл
D (x) = x 2 f (x) dx- 2 (11 *)
М (X) = np хоёрын тархалтын хувьд Пуассон тархалтын хувьд M (X) = λ.
Дуран тархалтын хувьд D (X) = npq, Пуассон тархалтын хувьд D (X) = λ."Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Зорилго 1.
Зорилго 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0.1 * 0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0.1 2 * 0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0.1 3 = 0.001;
Шалгах: ∑p i = 0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.
0-ийн хувьд< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 хувьд< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 хувьд< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
Учир нь x> 3 нь F (x) = 1 байх болно үйл явдал хүчинтэй байна. 
- математикийн хүлээлт M (X) = np = 3 * 0.1 = 0.3;
- дисперс D (X) = npq = 3 * 0.1 * 0.9 = 0.27;
- стандарт хазайлт σ (X) = √D (X) = √0.27 ≈ 0.52.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ төгсгөл (матриц) \ баруун. $. $ X $ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $ \ зүүн (0.3; 0.7 \ баруун) $ интервалд орох магадлалыг $ F \ зүүн (x \ баруун) $ тархалтын функцийн утгуудын хоорондох зөрүүгээр олж болно. Энэ интервалын төгсгөлүүд, өөрөөр хэлбэл:Магадлалын тархалтын нягт
0, \ x \ le 0 \\
x, \ 0< x\le 1\\
1, \ x> 1
\ төгсгөл (матриц) \ баруун. $. Дараа нь нягтын функц $ f \ зүүн (x \ баруун) = (F) "(x) = \ зүүн \ (\ эхлэл (матриц))
0, \ x \ le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0, \ x> 1
\ төгсгөл (матриц) \ баруун. $Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт
Олно:
a) параметр А;
б) тархалтын функц F (x);
в) интервал дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийг цохих магадлал;
г) математикийн хүлээлт MX ба дисперсийн DX.
f (x) ба F (x) функцүүдийн графикийг зур.
А коэффициент, тархалтын функц F (x), математикийн хүлээлт ба дисперс, санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утгыг авах магадлалыг ол. f (x) ба F (x) графикуудыг байгуул.
Үүнийг мэдсээр байж
a параметрийг ол: 
эсвэл 3a = 1, үүнээс a = 1/3
b параметрийг дараах шинж чанаруудаас олно.
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1 эндээс b = -1/3
Тиймээс тархалтын функц нь F (x) = (x-1) / 3 хэлбэртэй байна
Тархалт.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утгыг авах магадлалыг олъё
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
f (x) = A * sqrt (x), 1 ≤ x ≤ 4.
Шийдэл:
Нөхцөлөөс А параметрийг олцгооё. 
эсвэл
14/3 * A-1 = 0
Хаана,
A = 3/14 
Тархалтын функцийг томъёогоор олж болно. 
, дараа нь
а 
, дараа нь
, дараа нь f (x) = 0, ба
, дараа нь
... Тогтмол C параметрийг ол.
; энэ интервалаас гадуур 
§8. Нэг төрлийн ба экспоненциал тархалт
;
;
.
, тиймээс энэ нь t хугацаанд элементийн эвдрэлийн магадлалыг тодорхойлдог, тиймээс
... Электрон тоног төхөөрөмжийн эвдрэлээс өмнө ажиллах дундаж хугацааг тодорхойлно.
, хоёрдугаарт 
... Хугацааны t = 6 цаг үргэлжлэх магадлалыг ол: a) хоёр элемент хоёулаа бүтэлгүйтэх; б) хоёр элемент хоёулаа бүтэлгүйтэхгүй; в) зөвхөн нэг элемент амжилтгүй болно; г) дор хаяж нэг элемент амжилтгүй болно.
