Аль тоо нь үндэслэлгүй жишээ юм. Иррационал тоо гэж юу гэсэн үг вэ
Бүх рационал тоог энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ нь бүхэл тоо (жишээ нь, 12, -6, 0), эцсийн аравтын бутархай (жишээлбэл, 0.5; -3.8921) болон хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай (жишээлбэл, 0.11(23); -3 ,(87) зэрэгт хамаарна. )).
Гэсэн хэдий ч хязгааргүй үечилсэн бус аравтын бутархай энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй. Тэд ийм л байна иррационал тоо(жишээ нь, үндэслэлгүй). Ийм тооны жишээ нь π бөгөөд ойролцоогоор 3.14-тэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч 4-ийн тооны дараа давтагдах үеийг ялгах боломжгүй бусад тоонуудын эцэс төгсгөлгүй цуврал байдаг тул энэ нь яг юу болохыг тодорхойлох боломжгүй юм. Үүний зэрэгцээ π тоог яг илэрхийлэх боломжгүй ч гэсэн тодорхой геометрийн утгатай. π тоо нь аливаа тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцаа юм. Тиймээс рационал тоонуудын нэгэн адил иррационал тоонууд байгальд байдаг.
Иррационал тооны өөр нэг жишээ бол квадрат үндэсэерэг тооноос. Зарим тооноос үндсийг гаргаж авах нь оновчтой утгыг өгдөг, бусад тооноос үндэслэлгүй байдаг. Жишээлбэл, √4 = 2, өөрөөр хэлбэл 4-ийн үндэс нь рационал тоо юм. Гэхдээ √2, √5, √7 болон бусад олон тоонууд нь иррационал тоонуудыг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг зөвхөн ойролцоогоор аравтын бутархай руу дугуйруулж гаргаж авах боломжтой. Энэ тохиолдолд фракцыг үе үе бус авдаг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тоонуудын үндэс нь юу болохыг яг таг, тодорхой хэлэх боломжгүй юм.
Тэгэхээр √5 нь 2 ба 3-ын хоорондох тоо, учир нь √4 = 2, √9 = 3. Мөн √5 нь 3-аас 2-той ойр, учир нь √4 нь √9-ээс √5-тай ойр байна гэж дүгнэж болно. √5. Үнэхээр √5 ≈ 2.23 эсвэл √5 ≈ 2.24.
Иррационал тоонуудыг бусад тооцоололд (зөвхөн үндсийг задлахад төдийгүй) олж авдаг, тэдгээр нь сөрөг байна.
Иррационал тоонуудын хувьд бид ийм тоогоор илэрхийлсэн уртыг хэмжихийн тулд ямар нэгж сегментийг авсан ч бид үүнийг тодорхой хэмжиж чадахгүй гэж хэлж болно.
Арифметик үйлдлүүдэд рационал тоонуудын хамт иррационал тоонууд оролцож болно. Үүний зэрэгцээ хэд хэдэн зүй тогтол бий. Жишээлбэл, хэрэв арифметик үйлдэлд зөвхөн рационал тоонууд оролцвол үр дүн нь үргэлж рационал тоо болно. Хэрэв энэ үйл ажиллагаанд зөвхөн ухаалаг бус хүмүүс оролцвол энэ нь оновчтой болох уу, үгүй юу гэдгийг хэлэх нь эргэлзээгүй. иррационал тоо, энэ нь хориотой.
Жишээлбэл, хэрэв та √2 * √2 гэсэн хоёр иррационал тоог үржүүлбэл 2 гарна - энэ нь оновчтой тоо юм. Нөгөө талаас √2 * √3 = √6 нь иррационал тоо юм.
Хэрэв арифметик үйлдэл нь рационал ба иррационал тоог агуулж байвал иррациональ үр дүн гарна. Жишээлбэл, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 - 4.
√17 - 4 яагаад иррационал тоо вэ? Та рационал тоо х байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь √17 = x + 4. Харин x-г рациональ гэж үзсэн тул x + 4 нь рационал тоо юм. 4-ийн тоо ч оновчтой, тэгэхээр x + 4 нь оновчтой. Гэсэн хэдий ч рационал тоо нь иррациональ √17-тай тэнцүү байж болохгүй. Тиймээс √17 - 4 нь оновчтой үр дүнг өгдөг гэсэн таамаглал буруу байна. Арифметик үйлдлийн үр дүн нь иррациональ байх болно.
Гэхдээ энэ дүрэмд үл хамаарах зүйл бий. Хэрэв бид иррационал тоог 0-ээр үржүүлбэл 0 оновчтой тоо гарна.
Бид өмнө нь $1\frac25$ нь $\sqrt2$-д ойрхон байгааг харуулсан. Хэрэв энэ нь $\sqrt2$-тай яг тэнцүү байсан бол . Дараа нь бутархайн дээд ба доод хэсгийг 5-аар үржүүлснээр бүхэл тооны $\frac75$-ын харьцаа болж хувирах - $\frac(1\frac25)(1)$ харьцаа нь хүссэн утга болно.
Гэвч харамсалтай нь $1\frac25$ нь $\sqrt2$-ын яг тодорхой утга биш юм. $1\frac(41)(100)$ гэсэн илүү нарийвчлалтай хариултыг $\frac(141)(100)$ харьцаагаар өгнө. Бид $\sqrt2$-г $1\frac(207)(500)$-тай тэнцүүлэхдээ илүү нарийвчлалтай болно. Энэ тохиолдолд бүхэл тоонуудын харьцаа $\frac(707)(500)$-тай тэнцүү байна. Гэвч $1\frac(207)(500)$ нь 2-ын квадрат язгуурын яг утга биш юм.Грекийн математикчид тооцоолохын тулд маш их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргасан. яг үнэ цэнэ$\sqrt2$, гэхдээ тэд хэзээ ч амжилтанд хүрч чадаагүй. Тэд $\frac(\sqrt2)(1)$ харьцааг бүхэл тоонуудын харьцаагаар илэрхийлж чадсангүй.
Эцэст нь хэлэхэд, Грекийн агуу математикч Евклид тооцооллын нарийвчлал хэрхэн өсөхөөс үл хамааран $\sqrt2$-ын яг утгыг олж авах боломжгүй гэдгийг баталжээ. Квадрат нь 2-ын үр дүн гарах тийм бутархай байхгүй. Пифагор анх ийм дүгнэлтэд хүрсэн гэж ярьдаг ч энэ тайлагдашгүй баримтЭрдэмтэд маш их сэтгэгдэл төрүүлсэн тул тэрээр өөрийгөө тангараглаж, шавь нараасаа энэхүү нээлтээ нууцлахыг тангараглав. Гэсэн хэдий ч энэ мэдээлэл үнэн биш байж магадгүй юм.
Харин $\frac(\sqrt2)(1)$ тоог бүхэл тоонуудын харьцаагаар илэрхийлэх боломжгүй бол $\sqrt2$ агуулсан тоо байхгүй, жишээ нь $\frac(\sqrt2)(2)$ эсвэл $\frac (4)(\sqrt2)$-г бүхэл тоонуудын харьцаагаар илэрхийлэх боломжгүй, учир нь ийм бүх бутархайг $\frac(\sqrt2)(1)$ болгон зарим тоогоор үржүүлж болно. Тэгэхээр $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Эсвэл $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, дээд ба доод хэсгийг $\sqrt2$-оор үржүүлж $\frac(4) болж хувирна. (\sqrt2)$. ($\sqrt2$ ямар ч байсан хамаагүй, $\sqrt2$-р үржүүлбэл 2 гарна гэдгийг мартаж болохгүй.)
$\sqrt2$ тоог бүхэл тоонуудын харьцаагаар илэрхийлэх боломжгүй тул үүнийг дуудна иррационал тоо. Нөгөө талаас бүхэл тоонуудын харьцаагаар илэрхийлж болох бүх тоог дууддаг оновчтой.
Эерэг ба сөрөг аль аль нь бүхэл ба бутархай тоо нь оновчтой байдаг.
Эндээс харахад ихэнх квадрат язгуурууд нь иррационал тоонууд юм. Рационал квадрат язгуур нь зөвхөн цувралд орсон тоонуудад зориулагдсан квадрат тоо. Эдгээр тоог төгс квадрат гэж бас нэрлэдэг. Рационал тоонууд нь мөн эдгээр төгс квадратуудаас бүтсэн бутархай юм. Жишээлбэл, $\sqrt(1\frac79)$ нь рационал тоо, учир нь $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ эсвэл $1\frac13$ (4 нь үндэс юм. квадрат нь 16, 3 нь 9-ийн квадрат язгуур).
Рационал тоо нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх тоо юм, хаана 
. Q нь бүх рационал тоонуудын багц юм.
Рационал тоог эерэг, сөрөг, тэг гэж хуваадаг.
Рационал тоо бүрийг координатын шугамын нэг цэгтэй холбож болно. Цэгүүдийн "зүүн талд" хамаарал нь эдгээр цэгүүдийн координатын хувьд "бага" харьцаатай тохирч байна. Сөрөг тоо бүрийг харж болно тэгээс багаболон аливаа эерэг тоо; хоёр сөрөг тооноос модуль нь их бол бага байна. Тэгэхээр -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Аливаа рационал тоог аравтын бутархай үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, .
Рационал тоон дээрх үйлдлийн алгоритмууд нь тэг ба эерэг бутархай дээрх харгалзах үйлдлүүдийн тэмдгийн дүрмээс дагалддаг. Q нь тэг хуваахаас өөр хуваалтыг гүйцэтгэдэг.
Ямар ч шугаман тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл ax+b=0 хэлбэрийн тэгшитгэл нь Q олонлог дээр шийдэгдэх боловч аль нь ч биш квадрат тэгшитгэлтөрлийн 
, рационал тоогоор шийдэгдэх боломжтой. Координатын шулуун дээрх цэг бүр оновчтой цэгтэй байдаггүй. МЭӨ 6-р зууны төгсгөлд ч гэсэн. n. Пифагорын сургуульд дөрвөлжингийн диагональ нь түүний өндөртэй тохирдоггүй нь батлагдсан бөгөөд энэ нь "Тэгшитгэл нь оновчтой үндэсгүй" гэсэн үгтэй адил юм. Дээр дурдсан бүхэн Q багцыг өргөжүүлэх хэрэгцээг бий болгосноор иррационал тооны тухай ойлголт гарч ирэв. Иррационал тооны багцыг үсгээр тэмдэглэ Ж
.
Координатын шулуун дээр оновчтой координатгүй бүх цэгүүд иррационал координаттай байна. , энд r нь бодит тооны олонлог юм. бүх нийтийн арга замаарбодит тоонуудын хуваарилалт нь аравтын бутархай юм. Үе үе аравтын бутархай нь рационал тоог, үе бус бутархай нь иррационал тоог тодорхойлдог. Тэгэхээр 2.03 (52) нь рационал тоо, 2.03003000300003 ... (дараах "3" орон бүрийн үе нэг тэгээр илүү бичигдсэн) иррационал тоо юм.
Q ба R олонлогууд нь эерэг шинж чанартай байдаг: дурын хоёр рационал тооны хооронд рационал тоо байдаг, жишээлбэл, ecoi a Иррационал тоо бүрийн хувьд α
Дутагдалтай болон илүүдэлтэй аль алинд нь оновчтой ойролцооллыг ямар ч нарийвчлалтайгаар тодорхойлж болно: a< α
Зарим рационал тооноос үндсийг гаргаж авах үйлдэл нь иррационал тоонд хүргэдэг. Байгалийн зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах нь алгебрийн үйлдэл, i.e. түүний танилцуулга нь хэлбэрийн алгебрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой юм Сөрөг бус a тооны n-р зэргийн арифметик язгуур (товчлолын хувьд язгуур) нь сөрөг биш b тоо бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн үндэс юм. a тооноос n-р зэргийн язгуурыг тэмдгээр тэмдэглэнэ. n=2-ын хувьд язгуур 2-ын зэргийг заагаагүй: . Жишээлбэл, , учир нь 2 2 =4 ба 2>0; , учир нь 3 3 =27 ба 3>0; байхгүй учраас -4<0. n=2k ба a>0-ийн хувьд (1) тэгшитгэлийн язгуурыг ба гэж бичнэ. Жишээлбэл, x 2 \u003d 4 тэгшитгэлийн үндэс нь 2 ба -2 байна. n сондгойн хувьд тэгшитгэл (1) нь дурын нэг язгууртай байна. Хэрэв a≥0 бол - энэ тэгшитгэлийн үндэс. Хэрвээ<0, то –а>0 ба - тэгшитгэлийн үндэс. Тэгэхээр x 3 \u003d 27 тэгшитгэл нь үндэстэй. Тоо, ялангуяа натурал тоог ойлгох нь хамгийн эртний математикийн "ур чадвар"-ын нэг юм. Олон соёл иргэншил, тэр байтугай орчин үеийнх ч байгалийг дүрслэн харуулахад маш чухал ач холбогдолтой байсан тул тоонуудын ид шидийн шинж чанаруудыг холбодог байв. Хэдийгээр орчин үеийн шинжлэх ухаан, математик эдгээр "шидэт" шинж чанаруудыг баталж чадахгүй ч тооны онолын ач холбогдлыг үгүйсгэх аргагүй юм. Түүхийн хувьд эхлээд олон натурал тоо гарч ирсэн бөгөөд дараа нь удалгүй бутархай, эерэг иррационал тоонууд нэмэгджээ. Бодит тооны олонлогийн эдгээр дэд олонлогуудын дараа тэг ба сөрөг тоог нэвтрүүлсэн. Сүүлчийн багц буюу нийлмэл тоонуудын багц нь орчин үеийн шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр л гарч ирсэн. Орчин үеийн математикт тоонуудыг түүхэн дарааллаар нь оруулдаггүй, гэхдээ үүнтэй ойрхон байдаг. Натурал тоонуудын багцыг ихэвчлэн $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ гэж тэмдэглэдэг ба $\mathbb(N)_0$-г тэмдэглэхийн тулд ихэвчлэн тэгээр дүүргэдэг. $\mathbb(N)$ нь \mathbb(N)$ доторх дурын $a,b,c\-д дараах шинж чанаруудтай нэмэх (+) болон үржүүлэх ($\cdot$) үйлдлүүдийг тодорхойлдог: 1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \mathbb(N)$-д $\mathbb(N)$ олонлог нь нэмэх ба үржүүлэх үйлдлээр хаагдана. $\mathbb(N)$ олонлог нь үржүүлэхэд зориулагдсан төвийг сахисан элемент агуулсан боловч нэмэхэд зориулагдаагүй тул энэ олонлогт тэгийг нэмэх нь нэмэхэд зориулсан саармаг элементийг агуулна. Эдгээр хоёр үйлдлээс гадна $\mathbb(N)$ багц дээр "бага" ($) харьцаа 1. $a b$ трихотоми Бүхэл тоон жишээнүүд: $a+x=b$ тэгшитгэлийн шийдэлд $a$ ба $b$ нь мэдэгдэж байгаа натурал тоо, $x$ нь үл мэдэгдэх натурал тоо байх тул шинэ үйлдэл болох хасах(-)-ыг нэвтрүүлэх шаардлагатай. Хэрэв энэ тэгшитгэлийг хангасан натурал $x$ тоо байвал $x=b-a$ байна. Гэсэн хэдий ч, энэ тусгай тэгшитгэл нь $\mathbb(N)$ олонлог дээр шийдэлтэй байх албагүй тул практикт авч үзэхийн тулд натурал тоонуудын багцыг ийм тэгшитгэлийн шийдийг оруулах байдлаар өргөтгөх шаардлагатай. Энэ нь бүхэл тооны багцыг нэвтрүүлэхэд хүргэдэг: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$. $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ тул өмнө нь нэвтрүүлсэн $+$ ба $\cdot$ үйлдлүүд болон $ 1 харьцаатай гэж үзэх нь логик юм. $0+a=a+0=a$ нэмэлтүүдийн хувьд төвийг сахисан элемент байдаг 5. Эд хөрөнгө: $\mathbb(Z) $ олонлог нь мөн хасах үйлдлээр хаагдана, өөрөөр хэлбэл $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$. Рационал тоонуудын жишээ: Одоо $a\cdot x=b$ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье, $a$ ба $b$ нь бүхэл тоонууд нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд $x$ нь тодорхойгүй байна. Шийдвэрийг боломжтой болгохын тулд хуваах үйлдлийг ($:$) нэвтрүүлэх шаардлагатай бөгөөд шийдэл нь $x=b:a$, өөрөөр хэлбэл $x=\frac(b)(a)$ болно. Дахин хэлэхэд, $x$ нь $\mathbb(Z)$-д үргэлж хамаарахгүй тул бүхэл тооны багцыг өргөтгөх ёстой гэсэн асуудал гарч ирнэ. Тиймээс бид $\frac(p)(q)$ элементүүдтэй $\mathbb(Q)$ рационал тоонуудын багцыг танилцуулж байна. Үүнд $p\in \mathbb(Z)$ болон $q\in \mathbb(N) доллар. $\mathbb(Z)$ олонлог нь элемент бүр $q=1$ байх дэд олонлог тул $\mathbb(Z)\дэд олонлог \mathbb(Q)$ болон нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд мөн энэ олонлогт хамаарна. $\mathbb(Q)$ багц дээр дээрх бүх шинж чанарыг хадгалсан дараах дүрмүүдэд: Хэсгийг дараах байдлаар оруулна. $\mathbb(Q)$ олонлог дээрх $a\cdot x=b$ тэгшитгэл нь $a\neq 0$ тус бүрд өвөрмөц шийдэлтэй байна (тэгд хуваагдахыг тодорхойлоогүй). Энэ нь урвуу элемент $\frac(1)(a)$ эсвэл $a^(-1)$ байна гэсэн үг: $\mathbb(Q)$ багцын дарааллыг дараах байдлаар сунгаж болно: $\mathbb(Q)$ олонлог нь нэг чухал шинж чанартай: дурын хоёр рационал тооны хооронд хязгааргүй олон тооны бусад рационал тоо байдаг тул натурал болон бүхэл тооны олонлогоос ялгаатай нь хоёр хөрш рационал тоо байдаггүй. Иррационал тоонуудын жишээ: Дурын хоёр рационал тооны хооронд хязгааргүй олон тооны рационал тоо байдаг тул рационал тоонуудын олонлог маш нягт байгаа тул цаашид өргөжүүлэх шаардлагагүй гэж буруу дүгнэхэд хялбар байдаг. Пифагор хүртэл ийм алдаа гаргаж байсан удаатай. Гэсэн хэдий ч түүний үеийнхэн $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) тэгшитгэлийн шийдлийг рационал тооны олонлог дээр судалж байхдаа энэ дүгнэлтийг аль хэдийн няцаасан байдаг. Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд квадрат язгуурын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь $x=\sqrt(2)$ хэлбэртэй байна. $x^2=a$ төрлийн тэгшитгэл нь $a$ нь мэдэгдэж байгаа рационал тоо, $x$ нь үл мэдэгдэх рационал тоо нь үргэлж рационал тоонуудын шийдэлтэй байдаггүй бөгөөд дахин хэрэгцээтэй байдаг. багцыг өргөжүүлэх. Иррационал тооны багц үүсч, $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... зэрэг тоонууд энэ олонлогт хамаарна. Рационал ба иррационал тооны олонлогуудын нэгдэл нь бодит тооны олонлог юм. $\mathbb(Q)\дэд олонлог \mathbb(R)$ тул шинээр олонлогт оруулсан арифметик үйлдлүүд болон харилцаанууд шинж чанараа хадгална гэж үзэх нь дахин логик юм. Үүний албан ёсны баталгаа нь маш хэцүү тул дээр дурдсан арифметик үйлдлүүд болон бодит тооны олонлог дээрх харилцааны шинж чанаруудыг аксиом болгон танилцуулсан. Алгебрт ийм объектыг талбар гэж нэрлэдэг тул бодит тооны олонлогийг эрэмбэлэгдсэн талбар гэнэ. Бодит тооны олонлогийн тодорхойлолт бүрэн байхын тулд $\mathbb(Q)$ болон $\mathbb(R)$ олонлогуудыг ялгах нэмэлт аксиомыг нэвтрүүлэх шаардлагатай. $S$ нь бодит тооны олонлогийн хоосон бус дэд олонлог гэж бодъё. $b\in \mathbb(R)$ элементийг $\forall x\in S$ $x\leq b$-г хангаж байвал $S$-ын дээд хязгаар гэж нэрлэнэ. Дараа нь $S$ багцыг дээрээс нь хязгаарласан байна. $S$ багцын хамгийн бага дээд хязгаарыг дээд хязгаар гэж нэрлэх ба $\sup S$ гэж тэмдэглэнэ. Доод хязгаар, доор хязгаарлагдсан олонлог, хязгааргүй $\inf S$ гэсэн ойлголтуудыг мөн адил танилцуулсан. Одоо алга болсон аксиомыг дараах байдлаар томъёоллоо. Бодит тооны олонлогийн дээрх дэд олонлогоос хоосон биш, хязгаарлагдмал ямар ч дээд утгатай байна. Комплекс тоонуудын жишээ: Нарийн төвөгтэй тоонуудын багц нь бодит тоонуудын бүх эрэмблэгдсэн хосууд бөгөөд $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ бөгөөд нэмэх болон Үржүүлэхийг дараах байдлаар тодорхойлно. Комплекс тоо бичих хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд хамгийн түгээмэл нь $z=a+ib$, $(a,b)$ нь хос бодит тоо, $i=(0,1)$ тоо юм. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. $i^2=-1$ гэдгийг харуулахад амархан. $\mathbb(R)$ олонлогийг $\mathbb(C)$ олонлогт өргөтгөснөөр сөрөг тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхойлох боломжтой болсон нь комплекс тооны олонлогийг нэвтрүүлэх үндэслэл болсон юм. $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ гэж өгөгдсөн $\mathbb(C)$ олонлогийн дэд олонлог нь бүгдийг хангаж байгааг харуулахад хялбар байдаг. бодит тоонуудын аксиомууд, иймээс $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, эсвэл $R\дэд олонлог\mathbb(C)$. $\mathbb(C)$ олонлогийн нэмэх ба үржүүлэх үйлдлүүдийн алгебрийн бүтэц нь дараах шинж чанартай байна. иррационал тоо- Энэ бодит тоо, энэ нь оновчтой бус, өөрөөр хэлбэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, энд бүхэл тоо, . Иррационал тоог хязгааргүй давтагдахгүй аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Иррационал тооны багцыг ихэвчлэн латин том үсгээр тод томруунаар сүүдэрлэхгүйгээр тэмдэглэдэг. Тиймээс: , i.e. иррационал тооны багц юм бодит ба рационал тооны олонлогуудын ялгаа. Иррационал тоо байгаа эсэх талаар, илүү нарийвчлалтай Нэгж уртын сегменттэй харьцуулашгүй сегментүүдийг эртний математикчид аль хэдийн мэддэг байсан: тэд жишээлбэл, диагональ ба квадратын хажуугийн харьцуулшгүй байдлыг мэддэг байсан бөгөөд энэ нь тооны иррациональтай тэнцэх юм. Оновчгүй зүйл нь: Эсрэгээр нь бодъё: энэ нь рациональ, өөрөөр хэлбэл энэ нь бүхэл тоо, натурал тоо гэсэн бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Боломжит тэгш байдлыг квадрат болгоё: Үүнээс үзэхэд тэгш, тиймийн тул, тэгш ба . Хаана бүхэлд нь байг. Дараа нь Иймээс, тэгш, тиймээс, тэгш ба . Бид үүнийг олж авсан ба тэгш бөгөөд энэ нь бутархайн бууралтгүй байдалтай зөрчилдөж байна. Тиймээс анхны таамаглал буруу байсан бөгөөд иррационал тоо юм. Эсрэгээр нь бодъё: энэ нь оновчтой, өөрөөр хэлбэл бутархай, энд ба бүхэл тоогоор илэрхийлэгддэг. оноос хойш, мөн эерэгээр авч болно. Дараа нь Гэхдээ ойлгомжтой, хачирхалтай. Бид зөрчилддөг. Иррационал тооны тухай ойлголтыг Энэтхэгийн математикчид МЭӨ 7-р зуунд Манава (МЭӨ 750 он - МЭӨ 690 он) 2 ба 61 гэх мэт зарим натурал тоонуудын квадрат язгуурыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй болохыг олж мэдсэнээр далд хэлбэрээр баталсан. Иррационал тоо байгаагийн анхны нотолгоог ихэвчлэн пентаграмын талуудын уртыг судалснаар энэхүү нотолгоог олсон Пифагорын хүн Метапонтын Гиппас (МЭӨ 500 он)-той холбоотой байдаг. Пифагорчуудын үед хангалттай жижиг, хуваагдашгүй уртын нэг нэгж байдаг гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь аль ч сегментэд багтсан бүхэл тоо юм. Гэсэн хэдий ч Хиппасс уртын нэг нэгж байхгүй гэж маргаж байсан, учир нь түүний оршин тогтнох таамаг нь зөрчилдөөнд хүргэдэг. Тэрээр тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь бүхэл тооны нэгж хэсгүүдийг агуулж байвал энэ тоо нэгэн зэрэг тэгш, сондгой байх ёстойг харуулсан. Нотлох баримт нь дараах байдалтай байв. Грекийн математикчид үүнийг харьцуулшгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэж нэрлэдэг alogos(үлгэршгүй), гэхдээ домогт өгүүлснээр Хиппасс зохих ёсоор хүндэтгэл үзүүлээгүй. Хиппас далайд аялж байхдаа энэ нээлтийг хийж, бусад Пифагорчууд "орчлон ертөнцийн бүх биетүүдийг бүхэл тоо болон тэдгээрийн харьцаа болгон бууруулж болно гэсэн сургаалыг үгүйсгэдэг орчлон ертөнцийн элементийг бий болгосныхоо төлөө" хаясан гэсэн домог байдаг. " Хиппасыг нээсэн нь Пифагорын математикийн хувьд ноцтой асуудал үүсгэж, тоонууд болон геометрийн объектууд нэг бөгөөд салшгүй холбоотой гэсэн бүхэл бүтэн онолын үндэс суурь болсон таамаглалыг устгасан.
. Хэрэв n нь сондгой бол, өөрөөр хэлбэл. n=2k+1, энд , тэгвэл тэгшитгэл нэг язгууртай байна. Хэрэв n тэгш бол n=2k, энд , a=0-ийн хувьд тэгшитгэл нь нэг язгууртай байна x=0, a-ийн хувьд<0 корней нет, при a>0 нь эсрэг талын хоёр үндэстэй. Үндэс гаргаж авах нь байгалийн хүчийг өсгөх урвуу үйлдэл юм.Натурал тоо $\mathbb(N)$
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ шилжих чадвар
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ нэгдэл
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ тархалт
5. $a\cdot 1=a$ нь үржүүлэхэд саармаг элемент юм
2. хэрэв $a\leq b$ ба $b\leq a$ бол $a=b$ нь тэгш хэмийн эсрэг байна.
3. хэрэв $a\leq b$ ба $b\leq c$ бол $a\leq c$ нь шилжилт хөдөлгөөнтэй байна.
4. хэрэв $a\leq b$ бол $a+c\leq b+c$
5. хэрэв $a\leq b$ бол $a\cdot c\leq b\cdot c$Бүхэл тоо $\mathbb(Z)$
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$-д $-a$ эсрэг тоо байна.
5. хэрэв $0\leq a$ ба $0\leq b$ бол $0\leq a\cdot b$Рационал тоо $\mathbb(Q)$
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\байна \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
$\frac(p_1)(q_1)Иррационал тоо $\mathbb(I)$
$0.333333...$
$\sqrt(2) \ойролцоогоор 1.41422135...$
$\pi \ойролцоогоор 3.1415926535...$Бодит тоо $\mathbb(R)$
Дээр тодорхойлсон бодит тоонуудын талбар нь өвөрмөц гэдгийг мөн баталж болно.Цогцолбор тоо $\mathbb(C)$
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ энд $i = \sqrt(-1)$ эсвэл $i^2 = -1$
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
1. нэмэх, үржүүлэхийн солих чадвар
2. нэмэх, үржүүлэхийн холбоо
3. $0+i0$ - нэмэхэд зориулсан саармаг элемент
4. $1+i0$ - үржүүлэхэд зориулсан саармаг элемент
5. үржүүлэх нь нэмэхийн хувьд хуваарилалт юм
6. Нэмэх ба үржүүлэхийн аль алинд нь нэг урвуу элемент байдаг.Үл хөдлөх хөрөнгө
Жишээ
Иррационал тоо
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - Иррационал байдлыг нотлох жишээнүүд
2-ын үндэс
3-ын тооны хоёртын логарифм
д
Өгүүллэг
