Pagrindai yra tokio pat laipsnio. Laipsnių dauginimo su skirtingais pagrindais taisyklės. Eksponentiškumas

Jei reikia padidinti konkretų skaičių iki galios, galite naudoti. Ir dabar mes gyvensime išsamiau laipsnių savybės.

Eksponentiniai skaičiai atveria dideles galimybes, leidžia daugybą paversti sudėjimu, o sudėti daug lengviau nei dauginti.

Pavyzdžiui, 16 reikia padauginti iš 64. Šių dviejų skaičių sandauga yra 1024. Tačiau 16 yra 4x4, o 64 - 4x4x4. Tai yra, 16 x 64 = 4x4x4x4x4, tai taip pat yra 1024.

Skaičius 16 taip pat gali būti pavaizduotas kaip 2x2x2x2, o 64 - kaip 2x2x2x2x2x2, o jei padauginsime, vėl gausime 1024.

Dabar naudokimės taisykle. 16 = 4 2 arba 2 4, 64 = 4 3 arba 2 6, tuo pačiu metu 1024 = 6 4 = 4 5 arba 2 10.

Todėl mūsų uždavinys gali būti parašytas skirtingai: 4 2 x4 3 = 4 5 arba 2 4 x2 6 = 2 10, ir kiekvieną kartą gauname 1024.

Galime išspręsti daugybę panašių pavyzdžių ir pamatyti, kad skaičių padauginus iš laipsnių, sumažėja iki eksponentų pridėjimas, arba eksponentinis, žinoma, su sąlyga, kad veiksnių bazės yra lygios.

Taigi, nedauginant, galime iš karto pasakyti, kad 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Ši taisyklė galioja ir dalijant skaičius laipsniais, tačiau šiuo atveju el daliklio rodiklis atimamas iš dividendo rodiklio... Taigi, 2 5: 2 3 = 2 2, kuris įprastais skaičiais yra 32: 8 = 4, tai yra, 2 2. Apibendrinkime:

a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, kur m ir n yra sveikieji skaičiai.

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kas yra skaičių daugyba ir dalyba laipsniais nėra labai patogu, nes pirmiausia reikia pavaizduoti skaičių eksponentine forma. Nesunku pavaizduoti skaičius 8 ir 16 tokia forma, ty 2 3 ir 2 4, bet kaip tai padaryti su skaičiais 7 ir 17? Arba ką daryti, kai skaičius gali būti pavaizduotas eksponentine forma, tačiau skaičių eksponentinių išraiškų pagrindai labai skiriasi. Pavyzdžiui, 8 × 9 yra 2 3 × 3 2, tokiu atveju negalime sumuoti eksponentų. Nei 2 5, nei 3 5 nėra atsakymas, taip pat atsakymas nėra intervale tarp šių dviejų skaičių.

Tada ar verta vargti su šiuo metodu? Tikrai verta. Tai suteikia didžiulę naudą, ypač atliekant sudėtingus ir daug laiko reikalaujančius skaičiavimus.

Kaip padauginti laipsnius? Kokius laipsnius galima padauginti, o kurių ne? Kaip padauginti skaičių iš laipsnio?

Algebroje laipsnių sandaugą galima rasti dviem atvejais:

1) jei laipsniai turi vienodus pagrindus;

2) jei laipsniai turi vienodus rodiklius.

Dauginant laipsnius su tais pačiais pagrindais, pagrindas turi būti paliktas toks pat ir pridedami rodikliai:

Dauginant laipsnius iš tų pačių rodiklių, bendrą rodiklį galima išimti iš skliaustų:

Pažiūrėkime, kaip padauginti laipsnius naudojant konkrečius pavyzdžius.

Vienetas eksponente nerašomas, bet padauginus laipsnius, atsižvelgiama į:

Dauginant laipsnių skaičius gali būti bet koks. Reikėtų atsiminti, kad prieš raidę nereikia rašyti daugybos ženklo:

Išraiškose pirmiausia atliekama eksponencija.

Jei jums reikia skaičių padauginti iš laipsnio, pirmiausia turite atlikti eksponentinį koeficientą, o tik tada dauginti:

www.algebraclass.ru

Galių sudėjimas, atimtis, daugyba ir padalijimas

Sudėkite ir atimkite galias

Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami, kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.

Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2.
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šansai tie patys tų pačių kintamųjų laipsniai galima pridėti arba atimti.

Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2.

Taip pat akivaizdu, kad jei imsite du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.

Bet laipsniai skirtingi kintamieji ir įvairaus laipsnio identiški kintamieji, turėtų būti pridedami pridedant jų ženklus.

Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + 3 suma.

Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas lygus ne dvigubam a kvadratui, o du kartus kubui a.

A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atimtis laipsniai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atimtojo ženklai turi būti atitinkamai pakeisti.

Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6

Laipsnių dauginimas

Skaičius su laipsniais galima dauginti, kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.

Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.

Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.

Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.

Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.

Taigi, a n .a m = a m + n.

Jei n, a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek n laipsnis yra lygus;

Ir a m, imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra m galia;

Štai kodėl, laipsnius su tais pačiais kamienais galima padauginti pridedant laipsnius.

Taigi, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Ir x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra - neigiamas.

1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5. Tai galima parašyti kaip (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Jei a + b padauginama iš a - b, rezultatas yra a 2 - b 2: tai yra

Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.

Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.

Taigi (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 – y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 – y 8.

Laipsnių skirstymas

Laipsnius galima padalyti, kaip ir kitus skaičius, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos forma.

Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 lygus 3.

5 padalintas iš 3 atrodo kaip $ \ frac $. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.

Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..

Taigi, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Tai yra, $ \ frac = y $.

Ir a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Tai yra, $ \ frac = a ^ n $.

Arba:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas laipsnių reikšmės.
-5 padalijus iš -3 gaunamas -2.
Taip pat $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 arba $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

Būtina labai gerai įsisavinti laipsnių daugybą ir dalybą, nes tokios operacijos yra labai plačiai naudojamos algebroje.

Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

1. Sumažinkite eksponentus $ \ frac $ Atsakymas: $ \ frac $.

2. Sumažinkite eksponentus $ \ frac $. Atsakymas: $ \ frac $ arba 2x.

3. Sumažinkite laipsnius a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir perkelkite juos į bendrą vardiklį.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1, bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 / a -1 ir 1 / a -1.

4. Sumažinkite laipsnius 2a 4 / 5a 3 ir 2 / a 4 ir perkelkite juos į bendrą vardiklį.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5 / 5a 2.

5. Padauginkite (a 3 + b) / b 4 iš (a - b) / 3.

6. Padauginkite (a 5 + 1) / x 2 iš (b 2 - 1) / (x + a).

7. Padauginkite b 4 / a -2 iš h -3 / x ir a n / y -3.

8. Padalinkite 4/y 3 iš 3/y 2. Atsakymas: a/y.

Laipsnio savybės

Primename, kad ši pamoka supranta galios savybės su natūraliais rodikliais ir nuliu. Apie racionalius laipsnius ir jų savybes bus kalbama 8 klasės pamokose.

Natūralusis rodiklis turi keletą svarbių savybių, kurios palengvina skaičiavimą eksponentų pavyzdžiuose.

Nuosavybės numeris 1
Laipsnių sandauga

Dauginant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė lieka nepakitusi, o laipsniai pridedami.

a m · a n = a m + n, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.

Ši laipsnių savybė taip pat turi įtakos trijų ar daugiau laipsnių sandaugai.

Supaprastinkite išraišką.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Pateikti kaip laipsnį.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Pateikti kaip laipsnį.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Atkreipkite dėmesį, kad nurodytoje savybėje buvo kalbama tik apie galių dauginimą tais pačiais pagrindais.... Tai netaikoma jų papildymui.

Sumos (3 3 + 3 2) negalite pakeisti 3 5. Tai suprantama, jei
skaičiuoti (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ir 3 5 = 243

Nuosavybės numeris 2
Privatūs laipsniai

Dalijant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė išlieka nepakitusi, o daliklio rodiklis atimamas iš dividendo laipsnio.

Parašykite koeficientą kaip laipsnį
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Apskaičiuoti.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Pavyzdys. Išspręskite lygtį. Naudojamės privačių laipsnių nuosavybe.
3 8: t = 3 4

Atsakymas: t = 3 4 = 81

Naudodami savybes # 1 ir # 2, galite lengvai supaprastinti išraiškas ir atlikti skaičiavimus.

Pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę naudodami laipsnio savybes.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Atkreipkite dėmesį, kad 2 savybė buvo tik apie laipsnių padalijimą su tais pačiais pagrindais.

Skirtumo (4 3 −4 2) negalite pakeisti 4 1. Tai suprantama, jei apskaičiuosime (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 ir 4 1 = 4

Turto numeris 3
Eksponentiškumas

Didinant laipsnį iki laipsnio, laipsnio bazė lieka nepakitusi, o laipsniai dauginami.

(a n) m = a n · m, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.

Atminkite, kad ypatybė # 4, kaip ir kitos laipsnio savybės, taikoma atvirkštine tvarka.

(a n b n) = (a b) n

Tai yra, norint padauginti laipsnius su tais pačiais rodikliais, galite padauginti bazes, o eksponentas gali būti paliktas nepakitęs.

Pavyzdys. Apskaičiuoti.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Pavyzdys. Apskaičiuoti.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Sudėtingesniuose pavyzdžiuose gali būti atvejų, kai daugyba ir dalyba turi būti atliekama laipsniais su skirtingais pagrindais ir skirtingais rodikliais. Tokiu atveju patariame elgtis taip.

Pavyzdžiui, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Didinimo iki dešimtainio laipsnio pavyzdys.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Savybės 5
Dalinio laipsnis (trupmena)

Norėdami padidinti koeficientą iki laipsnio, galite pakelti atskirą dividendą ir šios laipsnio daliklį, o pirmąjį rezultatą padalyti iš antrojo.

(a: b) n = a n: b n, kur „a“, „b“ yra bet kokie racionalūs skaičiai, b ≠ 0, n yra bet koks natūralusis skaičius.

Pavyzdys. Pateikite išraišką privačių laipsnių forma.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Primename, kad koeficientas gali būti pavaizduotas trupmena. Todėl kitame puslapyje mes išsamiau aptarsime trupmenos pakėlimo į laipsnį temą.

Laipsniai ir šaknys

Operacijos su galiomis ir šaknimis. Laipsnis su neigiamu ,

nulis ir trupmena indikatorius. Apie posakius, kurie neturi prasmės.

Operacijos su laipsniais.

1. Dauginant laipsnius su ta pačia baze, pridedami jų rodikliai:

esu · a n = a m + n.

2. Dalijant laipsnius su tuo pačiu pagrindu, jų rodikliai atskaityta .

3. Dviejų ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių laipsnių sandaugai.

4. Santykio laipsnis (trupmena) lygus dividendo (skaitiklio) ir daliklio (vardiklio) laipsnių santykiui:

(a / b) n = a n / b n.

5. Didinant laipsnį iki laipsnio, jų rodikliai dauginami:

Visos aukščiau pateiktos formulės skaitomos ir vykdomos abiem kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.

PAVYZDYS (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4 .

Šakninės operacijos. Visose toliau pateiktose formulėse simbolis reiškia aritmetinė šaknis(radikalioji išraiška yra teigiama).

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir daliklio šaknų santykiui:

3. Keliant šaknį į galią, pakanka pakelti iki šios galios šakninis numeris:

4. Jeigu šaknies laipsnį padidinsime m kartų ir tuo pačiu radikalinį skaičių pakelsime iki m-osios laipsnio, tai šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei šaknies laipsnį sumažinsime m kartų ir tuo pačiu iš radikalinio skaičiaus ištrauksime m -ojo laipsnio šaknį, tai šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnio sampratos išplėtimas. Iki šiol laipsnius nagrinėjome tik su natūraliuoju rodikliu; bet veiksmai, turintys galių ir šaknų, taip pat gali sukelti neigiamas, nulis ir trupmeninis rodikliai. Visi šie laipsnio rodikliai reikalauja papildomo apibrėžimo.

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Skaičiaus, turinčio neigiamą (sveikąjį) rodiklį, galia apibrėžiama kaip vienetas, padalytas iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neigiamo eksponento vertei:

Dabar formulė esu : a n = a m - n gali būti naudojamas ne tik m geresnis negu n, bet ir adresu m mažiau nei n .

PAVYZDYS a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Jei norime formulės esu : a n = esu — n buvo sąžininga, kai m = n, mums reikia nulinio laipsnio apibrėžimo.

Nulinis laipsnis. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio eksponentas nulis, laipsnis yra 1.

PAVYZDYS 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Trupmeninis rodiklis. Norėdami padidinti realųjį skaičių a laipsniu m / n, turite išgauti šio skaičiaus a m-osios laipsnio n-ąją šaknį:

Apie posakius, kurie neturi prasmės. Yra keletas tokių posakių.

kur a ≠ 0 , neegzistuoja.

Iš tiesų, darant prielaidą, kad x- tam tikras skaičius, tada pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: a = 0· x, t.y. a= 0, o tai prieštarauja sąlygai: a ≠ 0

— bet koks skaičius.

Iš tiesų, jei manysime, kad ši išraiška yra lygi tam tikram skaičiui x, tada pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: 0 = 0 x... Tačiau ši lygybė galioja bet koks skaičius x, kaip reikalaujama.

0 0 — bet koks skaičius.

Sprendimas. Apsvarstykite tris pagrindinius atvejus:

1) x = 0 – ši reikšmė netenkina pateiktos lygties

2) val x> 0 gauname: x/x= 1, t.y. 1 = 1, iš kur tai išplaukia

ką x- bet koks skaičius; bet atsižvelgiant į tai, kad

mūsų atvejis x> 0, atsakymas yra x > 0 ;

Daugybos taisyklės laipsniams su skirtingu radiksu

LAIPSNIS SU RACIONALIU RODIKLIU,

LAIPSNIO FUNKCIJA IV

§ 69. Laipsnių su tais pačiais pagrindais daugyba ir dalyba

1 teorema. Norint padauginti laipsnius iš tų pačių bazių, pakanka pridėti laipsnius, o bazę palikti tą pačią, t.

Įrodymas. Pagal laipsnio apibrėžimą

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Mes atsižvelgėme į dviejų laipsnių sandaugą. Tiesą sakant, įrodyta savybė tinka bet kokiam laipsnių skaičiui su tomis pačiomis bazėmis.

2 teorema. Norint padalinti laipsnius tais pačiais pagrindais, kai dividendo indeksas yra didesnis už daliklio indeksą, pakanka iš dividendo indekso atimti daliklio indeksą ir palikti bazę tokią pat, t. adresu m> n

(a =/= 0)

Įrodymas. Prisiminkite, kad vieno skaičiaus dalijimosi iš kito koeficientas yra skaičius, kurį padauginus iš daliklio gaunamas dividendas. Todėl įrodykite formulę kur a = / = 0, tai tarsi formulės įrodymas

Jeigu m> n , tada skaičius t - n bus natūralus; todėl pagal 1 teoremą

2 teorema įrodyta.

Reikėtų pažymėti, kad formulė

mes įrodėme tik darydami prielaidą, kad m> n ... Todėl iš to, kas buvo įrodyta, dar negalima padaryti, pavyzdžiui, tokių išvadų:

Be to, mes dar nesvarstėme laipsnių su neigiamais eksponentais ir dar nežinome, kokią reikšmę galima suteikti išraiškai 3 - 2 .

3 teorema. Norint padidinti galią iki galios, pakanka padauginti rodiklius, paliekant galios bazę ta pačia, tai yra

Įrodymas. Naudodamiesi laipsnio apibrėžimu ir šio skyriaus 1 teorema, gauname:

Q.E.D.

Pavyzdžiui, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Žodžiu.) Apibrėžkite NS iš lygčių:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (U st n about.) Supaprastinimui:

520. Norėdami supaprastinti:

521. Šios išraiškos turi būti pateiktos laipsniais su tais pačiais pagrindais:

1) 32 ir 64; 3) 8 5 ir 16 3; 5) 4 100 ir 32 50;

2) -1000 ir 100; 4) -27 ir -243; 6) 81 75 8 200 ir 3 600 4 150.

Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami, kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.

Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2.
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šansai tie patys tų pačių kintamųjų laipsniai galima pridėti arba atimti.

Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2.

Taip pat akivaizdu, kad jei imsite du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.

Bet laipsniai skirtingi kintamieji ir įvairaus laipsnio identiški kintamieji, turėtų būti pridedami pridedant jų ženklus.

Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + 3 suma.

Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas lygus ne dvigubam a kvadratui, o du kartus kubui a.

A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atimtis laipsniai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atimtojo ženklai turi būti atitinkamai pakeisti.

Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6

Laipsnių dauginimas

Skaičius su laipsniais galima dauginti, kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.

Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.

Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.

Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.

Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.

Taigi, a n .a m = a m + n.

Jei n, a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek n laipsnis yra lygus;

Ir a m, imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra m galia;

Štai kodėl, laipsnius su tais pačiais kamienais galima padauginti pridedant laipsnius.

Taigi, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Ir x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra - neigiamas.

1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5. Tai galima parašyti kaip (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Jei a + b padauginama iš a - b, rezultatas yra a 2 - b 2: tai yra

Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.

Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.

Taigi (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 – y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 – y 8.

Laipsnių skirstymas

Laipsnius galima padalyti, kaip ir kitus skaičius, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos forma.

Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 lygus 3.

Arba:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Žymėjimas a 5, padalytas iš 3, atrodo kaip $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.

Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..

Taigi, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Tai yra, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

Ir a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Tai yra, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Arba:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas laipsnių reikšmės.
-5 padalijus iš -3 gaunamas -2.
Taip pat $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 arba $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Būtina labai gerai įsisavinti laipsnių daugybą ir dalybą, nes tokios operacijos yra labai plačiai naudojamos algebroje.

Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

1. Sumažinkite eksponentus $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Atsakymas: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Sumažinkite eksponentus $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Atsakymas: $ \ frac (2x) (1) $ arba 2x.

3. Sumažinkite laipsnius a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir perkelkite juos į bendrą vardiklį.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1, bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 / a -1 ir 1 / a -1.

4. Sumažinkite laipsnius 2a 4 / 5a 3 ir 2 / a 4 ir perkelkite juos į bendrą vardiklį.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5 / 5a 2.

5. Padauginkite (a 3 + b) / b 4 iš (a - b) / 3.

6. Padauginkite (a 5 + 1) / x 2 iš (b 2 - 1) / (x + a).

7. Padauginkite b 4 / a -2 iš h -3 / x ir a n / y -3.

8. Padalinkite 4/y 3 iš 3/y 2. Atsakymas: a/y.

9. Padalinkite (h 3 - 1) / d 4 iš (d n + 1) / h.

Pamokos turinys

Kas yra laipsnis?

Laipsnis vadinamas kelių vienodų veiksnių sandauga. Pavyzdžiui:

2 × 2 × 2

Šios išraiškos reikšmė yra 8

2 × 2 × 2 = 8

Kairiąją šios lygybės pusę galima sutrumpinti – pirmiausia užrašykite kartotinį faktorių ir virš jo nurodykite, kiek kartų jis kartojamas. Pasikartojimo koeficientas šiuo atveju yra 2. Kartojama tris kartus. Todėl virš dviejų rašome tris:

2 3 = 8

Ši išraiška skamba taip: „ nuo dviejų iki trečios laipsnio yra aštuoni arba " trečioji skaičiaus 2 laipsnė yra 8 ".

Dažniau naudojama trumpoji žymėjimo forma tiems patiems veiksniams dauginti. Todėl turime atsiminti, kad jei virš tam tikro skaičiaus įrašytas kitas skaičius, tai yra kelių identiškų faktorių dauginimas.

Pavyzdžiui, jei pateikiama išraiška 5 3, reikia turėti omenyje, kad ši išraiška yra lygiavertė 5 × 5 × 5 rašymui.

Pakartotinis skaičius vadinamas bazinis laipsnis... Išraiškoje 5 3 laipsnio pagrindas yra skaičius 5.

Ir skambinamas skaičius, įrašytas virš skaičiaus 5 eksponentas... Išraiškoje 5 3 rodiklis yra skaičius 3. Rodiklis parodo, kiek kartų kartojasi rodiklio bazė. Mūsų atveju 5 bazė kartojama tris kartus.

Pati tų pačių veiksnių dauginimo operacija vadinama eksponencija.

Pavyzdžiui, jei jums reikia rasti keturių identiškų veiksnių sandaugą, kurių kiekvienas yra lygus 2, tada jie sako, kad skaičius 2 pakeltas iki ketvirto laipsnio:

Matome, kad skaičius 2 ketvirtoje laipsnyje yra skaičius 16.

Atkreipkite dėmesį, kad šioje pamokoje mes svarstome natūralusis eksponentas... Tai savotiškas rodiklis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius. Prisiminkite, kad sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai, didesni už nulį. Pavyzdžiui, 1, 2, 3 ir pan.

Apskritai laipsnio apibrėžimas su natūraliu rodikliu yra toks:

Laipsnis a su natūraliu indikatoriumi n Yra formos išraiška a n, kuri yra lygi gaminiui n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus a

Pavyzdžiai:

Turėtumėte būti atsargūs keldami skaičių į laipsnį. Dažnai dėl neatidumo žmogus laipsnio bazę padaugina iš laipsnio.

Pavyzdžiui, skaičius 5 antroje laipsnyje yra dviejų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra 5. Šis sandauga yra lygus 25

Dabar įsivaizduokite, kad netyčia bazę 5 padauginome iš eksponento 2

Gavome klaidą, nes 5 nėra lygus 10 antrajai laipsniai.

Be to, reikia paminėti, kad skaičiaus, kurio eksponentas 1, laipsnis yra pats šis skaičius:

Pavyzdžiui, pirmojo laipsnio skaičius 5 yra pats skaičius 5

Atitinkamai, jei skaičius neturi rodiklio, tada reikia daryti prielaidą, kad rodiklis yra lygus vienetui.

Pavyzdžiui, skaičiai 1, 2, 3 pateikti be rodiklio, todėl jų rodikliai bus lygūs vienetui. Kiekvienas iš šių skaičių gali būti parašytas eksponentu 1

O jei pakelsi 0 iki tam tikro laipsnio, tai gauni 0. Išties, kad ir kiek kartų niekas nebūtų padaugintas iš savęs, niekas neišeis. Pavyzdžiai:

Ir posakis 0 0 yra beprasmis. Tačiau kai kuriose matematikos srityse, ypač analizėje ir aibių teorijoje, išraiška 0 0 gali būti prasminga.

Treniruotėms išspręskime keletą skaičių didinimo iki galių pavyzdžių.

1 pavyzdys. Pakelkite skaičių 3 į antrą laipsnį.

Skaičius 3 antroje laipsnyje yra dviejų veiksnių, kurių kiekvienas yra lygus 3, sandauga

3 2 = 3 × 3 = 9

2 pavyzdys. Pakelkite skaičių 2 iki ketvirtosios laipsnio.

Skaičius 2 ketvirtoje laipsnyje yra keturių veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

3 pavyzdys. Pakelkite skaičių 2 iki trečiosios laipsnio.

Skaičius 2 iki trečiosios laipsnio yra trijų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

10 eksponencija

Norint padidinti skaičių 10 iki laipsnio, pakanka po vieno pridėti nulių skaičių, lygų laipsniui.

Pavyzdžiui, skaičių 10 pakelkime į antrą laipsnį. Pirmiausia užrašome patį skaičių 10 ir kaip rodiklį nurodome skaičių 2.

10 2

Dabar dedame lygybės ženklą, parašome vieną, o po šio – du nulius, nes nulių skaičius turi būti lygus eksponentui

10 2 = 100

Tai reiškia, kad skaičius 10 antroje laipsnyje yra skaičius 100. Taip yra dėl to, kad skaičius 10 antroje laipsnyje yra dviejų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 10

10 2 = 10 × 10 = 100

2 pavyzdys... Pakelkime skaičių 10 į trečią laipsnį.

Šiuo atveju po vieno bus trys nuliai:

10 3 = 1000

3 pavyzdys... Pakelkime skaičių 10 iki ketvirtosios laipsnio.

Šiuo atveju po vieno bus keturi nuliai:

10 4 = 10000

4 pavyzdys... Pakelkime skaičių 10 į pirmą laipsnį.

Šiuo atveju po vieno bus vienas nulis:

10 1 = 10

Skaičių 10, 100, 1000 vaizdavimas kaip laipsniai su 10 baze

Norėdami pavaizduoti skaičius 10, 100, 1000 ir 10 000 kaip laipsnį su 10 baze, turite užrašyti bazinį 10 ir kaip rodiklį nurodyti skaičių, lygų nulių skaičiui pradiniame skaičiuje.

Pavaizduokime skaičių 10 kaip laipsnį su baze 10. Matome, kad jis turi vieną nulį. Todėl skaičius 10 kaip laipsnis su baze 10 bus pavaizduotas kaip 10 1

10 = 10 1

2 pavyzdys... Pavaizduokime skaičių 100 kaip bazės 10 laipsnį. Matome, kad skaičiuje 100 yra du nuliai. Taigi skaičius 100 laipsnio, kurio bazė yra 10, forma bus vaizduojamas kaip 10 2

100 = 10 2

3 pavyzdys... Pavaizduokime skaičių 1000 kaip laipsnį su 10 baze.

1 000 = 10 3

4 pavyzdys... Pavaizduokime skaičių 10 000 kaip laipsnį su 10 baze.

10 000 = 10 4

Neigiamojo skaičiaus didinimas

Keliant neigiamą skaičių į laipsnį, jis turi būti rašomas skliausteliuose.

Pavyzdžiui, neigiamą skaičių −2 pakelkime į antrą laipsnį. Skaičius −2 iki antrosios laipsnio yra dviejų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra (−2)

(-2) 2 = (-2) × (-2) = 4

Jei skliausteliuose nebūtume įrašę skaičiaus −2, būtume apskaičiavę išraišką −2 2, kuri nėra lygus 4 . Išraiška −2² bus lygi −4. Norėdami suprasti, kodėl, palieskime kai kuriuos dalykus.

Kai prieš teigiamą skaičių dedame minusą, mes taip atliekame priešinga operacija.

Tarkime, kad duotas skaičius 2, ir jums reikia rasti priešingą skaičių. Žinome, kad 2 priešingybė yra −2. Kitaip tariant, norėdami rasti priešingą skaičių 2, tiesiog prieš šį skaičių įrašykite minusą. Minuso įterpimas prieš skaičių jau laikomas visaverte matematikos operacija. Ši operacija, kaip nurodyta aukščiau, vadinama priešingos reikšmės gavimo operacija.

Išraiškos −2 2 atveju yra dvi operacijos: priešingos reikšmės paėmimo ir padidinimo iki laipsnio operacija. Eksponentiškumas turi viršenybę prieš priešingą reikšmę.

Todėl išraiška −2 2 vertinama dviem etapais. Pirmiausia atliekama eksponencijos operacija. Šiuo atveju teigiamas skaičius 2 buvo pakeltas į antrą laipsnį

Tada buvo paimta priešinga vertė. Ši priešinga reikšmė buvo nustatyta 4 reikšmei. O priešinga 4 reikšmė yra −4

−2 2 = −4

Skliausteliuose yra didžiausias vykdymo prioritetas. Todėl skaičiuojant išraišką (−2) 2, pirmiausia imama priešinga reikšmė, o tada neigiamas skaičius −2 keliamas į antrą laipsnį. Rezultatas yra teigiamas atsakymas 4, nes neigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius.

2 pavyzdys... Pakelkite skaičių −2 iki trečiosios laipsnio.

Skaičius –2 iki trečiosios laipsnio yra trijų veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra (–2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

3 pavyzdys... Pakelkite skaičių −2 iki ketvirtosios laipsnio.

Skaičius −2 iki ketvirtosios laipsnio yra keturių faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra (−2)

(-2) 4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16

Nesunku suprasti, kad neigiamą skaičių padidinus iki laipsnio, atsakymas gali būti teigiamas arba neigiamas. Atsakymo ženklas priklauso nuo pradinio laipsnio rodiklio.

Jei rodiklis lyginis, atsakymas yra taip. Jei rodiklis nelyginis, atsakymas yra ne. Parodykime tai skaičiaus −3 pavyzdžiu

Pirmu ir trečiu atveju rodiklis buvo nelyginis numerį, taip ir tapo atsakymas neigiamas.

Antru ir ketvirtu atveju rodiklis buvo net numerį, taip ir tapo atsakymas teigiamas.

7 pavyzdys. Pakelkite skaičių −5 iki trečiosios laipsnio.

Skaičius –5 iki trečiosios laipsnio yra trijų faktorių, kurių kiekvienas yra –5, sandauga. Rodiklis 3 yra nelyginis skaičius, todėl galime iš anksto pasakyti, kad atsakymas bus neigiamas:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

8 pavyzdys. Pakelkite skaičių −4 iki ketvirtosios laipsnio.

Skaičius –4 iki ketvirtosios laipsnio yra keturių veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra –4. Šiuo atveju rodiklis 4 yra lygus, todėl galime iš anksto pasakyti, kad atsakymas bus teigiamas:

(-4) 4 = (-4) × (-4) × (-4) × (-4) = 256

Išraiškos reikšmių paieška

Kai randamos reiškinių, kuriuose nėra skliaustų, reikšmės, pirmiausia bus atliktas eksponentas, tada daugyba ir padalijimas jų tvarka, o tada sudėjimas ir atėmimas jų tvarka.

1 pavyzdys... Raskite išraiškos 2 + 5 2 reikšmę

Pirma, atliekama eksponencija. Šiuo atveju skaičius 5 pakeliamas į antrą laipsnį – pasirodo 25. Tada šis rezultatas pridedamas prie skaičiaus 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

10 pavyzdys... Raskite išraiškos reikšmę −6 2 × (−12)

Pirma, atliekama eksponencija. Atkreipkite dėmesį, kad skaičius −6 nėra skliausteliuose, todėl skaičius 6 bus pakeltas į antrą laipsnį, tada prieš rezultatą bus įrašytas minusas:

–6 2 × (–12) = –36 × (–12)

Pavyzdžio užbaigimas padauginus −36 iš (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

11 pavyzdys... Raskite išraiškos −3 × 2 2 reikšmę

Pirma, atliekama eksponencija. Tada rezultatas padauginamas iš skaičiaus −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Jei reiškinyje yra skliaustų, pirmiausia turite atlikti šiuose skliausteliuose nurodytus veiksmus, tada – didinimą, tada daugybą ir padalijimą, o tada sudėtį ir atimtį.

12 pavyzdys... Raskite išraiškos reikšmę (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5

Pirmiausia atliekame veiksmus skliausteliuose. Skliaustuose taikome anksčiau ištirtas taisykles, ty pirmiausia skaičių 3 pakeliame į antrą laipsnį, tada atliekame dauginimą 1 × 3, tada padidinimo rezultatus pridedame prie skaičiaus 3 laipsnio ir daugyba 1 × 3. Tada atimimas ir sudėjimas atliekami tokia tvarka, kokia jie pasirodo. Išdėstykime tokią pradinės išraiškos veiksmų atlikimo tvarką:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

13 pavyzdys... Raskite išraiškos 2 × 5 3 + 5 × 2 3 reikšmę

Pirmiausia pakeliame skaičius iki laipsnio, tada atliekame dauginimą ir pridedame rezultatus:

2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290

Identiškos laipsnio transformacijos

Įvairios identiškos transformacijos gali būti atliekamos su laipsniais, taip jas supaprastinant.

Tarkime, reikėjo apskaičiuoti išraišką (2 3) 2. Šiame pavyzdyje nuo dviejų iki trečiojo laipsnio pakeliama į antrą laipsnį. Kitaip tariant, laipsnis pakeliamas kitu laipsniu.

(2 3) 2 yra dviejų laipsnių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus 2 3

Be to, kiekvienas iš šių laipsnių yra trijų veiksnių, kurių kiekvienas yra lygus 2, sandauga

Gauta sandauga 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, kuri yra lygi 64. Taigi išraiškos reikšmė (2 3) 2 arba lygi 64

Šį pavyzdį galima labai supaprastinti. Norėdami tai padaryti, išraiškos (2 3) 2 eksponentus galima padauginti ir šį sandaugą parašyti ant 2 bazės

Gauta 26. Nuo dviejų iki šešto laipsnio yra šešių veiksnių sandauga, kurių kiekvienas yra 2. Šis sandauga yra 64

Ši savybė veikia, nes 2 3 yra 2 × 2 × 2 sandauga, kuri savo ruožtu kartojama du kartus. Tada paaiškėja, kad 2 bazė kartojama šešis kartus. Iš čia galime parašyti, kad 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 yra 2 6

Paprastai dėl bet kokios priežasties a su rodikliais m ir n, galioja ši lygybė:

(a n)m = a n × m

Ši identiška transformacija vadinama eksponencija... Ją galima perskaityti taip: „Keliant laipsnį iki laipsnio, bazė paliekama nepakitusi, o rodikliai dauginami“ .

Padauginus rodiklius, gaunamas dar vienas laipsnis, kurio reikšmę galima rasti.

2 pavyzdys... Raskite reiškinio reikšmę (3 2) 2

Šiame pavyzdyje bazė yra 3, o skaičiai 2 ir 2 yra rodikliai. Naudokime eksponentiškumo taisyklę. Palikite bazę nepakeistą ir padauginkite rodiklius:

Gauta 34. O skaičius 3 ketvirtoje laipsnyje yra 81

Panagrinėkime likusias transformacijas.

Laipsnių dauginimas

Norėdami padauginti laipsnius, turite atskirai apskaičiuoti kiekvieną galią ir padauginti rezultatus.

Pavyzdžiui, 2 2 padauginkite iš 3 3.

2 2 yra skaičius 4, o 3 3 yra skaičius 27. Padauginus skaičius 4 ir 27, gauname 108

2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108

Šiame pavyzdyje laipsnių pagrindai buvo skirtingi. Jei pagrindai yra vienodi, galite užrašyti vieną bazę, o kaip rodiklį užrašyti pradinių laipsnių rodiklių sumą.

Pavyzdžiui, 2 2 padauginkite iš 2 3

Šiame pavyzdyje laipsnių pagrindai yra vienodi. Tokiu atveju galite užrašyti vieną bazę 2 ir kaip rodiklį užrašyti eksponentų 2 2 ir 2 3 sumą. Kitaip tariant, palikite pamatą nepakeistą ir pridėkite pradinių laipsnių rodiklius. Tai atrodys taip:

Gauta 25. Skaičius 2 iki penktosios laipsnio yra 32

Ši savybė veikia, nes 2 2 yra 2 × 2 sandauga, o 2 3 yra 2 × 2 × 2 sandauga. Tada produktas gaunamas iš penkių identiškų faktorių, kurių kiekvienas yra lygus 2. Šį darbą galima pavaizduoti kaip 25

Apskritai, bet kam a ir rodikliai m ir n galioja ši lygybė:

Ši identiška transformacija vadinama pagrindinė laipsnio savybė... Tai galima perskaityti taip: „ NSDauginant laipsnius iš tų pačių bazių, bazė paliekama nepakitusi, o rodikliai pridedami " .

Atkreipkite dėmesį, kad ši transformacija gali būti taikoma bet kokiam laipsnių skaičiui. Svarbiausia, kad pagrindas būtų tas pats.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos 2 1 × 2 2 × 2 3 reikšmę. 2 bazė

Kai kuriose problemose gali pakakti atlikti atitinkamą transformaciją neapskaičiuojant galutinio laipsnio. Tai, žinoma, labai patogu, nes apskaičiuoti dideles galias nėra taip paprasta.

1 pavyzdys... Padidinkite išraišką 5 8 × 25

Šioje užduotyje turite padaryti ją taip, kad vietoj išraiškos 5 8 × 25 gautumėte vieną laipsnį.

Skaičius 25 gali būti pavaizduotas kaip 5 2. Tada gauname tokią išraišką:

Šioje išraiškoje galite pritaikyti pagrindinę laipsnio savybę - palikti 5 bazę nepakeistą ir pridėti rodiklius 8 ir 2:

Parašykime sprendimą trumpiau:

2 pavyzdys... Padidinkite išraišką 2 9 × 32

Skaičius 32 gali būti pavaizduotas kaip 25. Tada gauname išraišką 2 9 × 2 5. Tada galite pritaikyti bazinę laipsnio savybę - palikti 2 bazę nepakeistą ir pridėti 9 ir 5 rodiklius. Rezultatas bus toks sprendimas:

3 pavyzdys... Apskaičiuokite 3 × 3 sandaugą naudodami pagrindinę galios savybę.

Visi žino, kad trys kart trys lygu devyni, tačiau problemai spręsti reikia panaudoti pagrindinę laipsnio savybę. Kaip tai padaryti?

Primename, kad jei skaičius pateikiamas be rodiklio, tada rodiklis turi būti laikomas lygiu vienetui. Todėl koeficientai 3 ir 3 gali būti užrašyti kaip 3 1 ir 3 1

3 1 × 3 1

Dabar naudosime pagrindinę laipsnio savybę. 3 bazę paliekame nepakeistą ir pridedame 1 ir 1 rodiklius:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

4 pavyzdys... Apskaičiuokite sandaugą 2 × 2 × 3 2 × 3 3 naudodami pagrindinę galios savybę.

Produktas 2 × 2 pakeičiamas 2 1 × 2 1, tada 2 1 + 1 ir 2 2. sandauga 3 2 × 3 3 pakeičiama 3 2 + 3, o tada 3 5

5 pavyzdys... Atlikite dauginimą x × x

Tai yra du identiški abėcėlės veiksniai su rodikliais 1. Aiškumo dėlei šiuos rodiklius užrašome. Tolesnė bazė x paliksime nepakeistą ir pridėsime rodiklius:

Būdami prie lentos neturėtumėte taip detaliai užsirašyti laipsnių dauginimo su tais pačiais pagrindais, kaip tai daroma čia. Tokie skaičiavimai turi būti atliekami mintyse. Išsamus įrašas greičiausiai suerzins mokytoją ir jis sumažins įvertinimą. Čia pateikiamas išsamus įrašas, kad medžiaga būtų kuo lengviau suprantama.

Šio pavyzdžio sprendimą pageidautina parašyti taip:

6 pavyzdys... Atlikite dauginimą x 2 × x

Antrojo koeficiento eksponentas lygus vienetui. Aiškumo dėlei užsirašykime. Be to, bazę paliksime nepakeistą ir pridėsime rodiklius:

7 pavyzdys... Atlikite dauginimą y 3 y 2 y

Trečiojo koeficiento eksponentas lygus vienetui. Aiškumo dėlei užsirašykime. Be to, bazę paliksime nepakeistą ir pridėsime rodiklius:

8 pavyzdys... Atlikite dauginimą aa 3 a 2 a 5

Pirmojo koeficiento eksponentas lygus vienetui. Aiškumo dėlei užsirašykime. Be to, bazę paliksime nepakeistą ir pridėsime rodiklius:

9 pavyzdys... Pavaizduokite laipsnį 3 8 kaip laipsnių sandaugą su tais pačiais pagrindais.

Šioje užduotyje reikia sudaryti laipsnių sandaugą, kurios pagrindas bus 3, o rodiklių suma lygi 8. Galima naudoti bet kokią metriką. Galią 3 8 pavaizduojame kaip galių 3 5 ir 3 3 sandaugą

Šiame pavyzdyje mes vėl rėmėmės pagrindine laipsnio savybe. Juk išraišką 3 5 × 3 3 galima parašyti kaip 3 5 + 3, iš kur 3 8.

Žinoma, buvo galima pavaizduoti 3 8 laipsnį kaip kitų laipsnių sandaugą. Pavyzdžiui, 3 7 × 3 1 forma, nes šis produktas taip pat yra 3 8

Atstovauti laipsniui kaip tų pačių pagrindų laipsnių produktui dažniausiai yra kūrybinis darbas. Taigi nebijokite eksperimentuoti.

10 pavyzdys... Pateikti laipsnį x 12 kaip skirtingi laipsnių gaminiai su pagrindais x .

Pasinaudokime pagrindine laipsnio savybe. Įsivaizduok x 12 kūrinių su bazėmis pavidalu x, o rodiklių suma yra 12

Konstrukcijos su rodiklių sumomis aiškumo dėlei įrašytos. Dažniausiai juos galima praleisti. Tada gausite kompaktišką sprendimą:

Kūrinio eksponentiškumas

Norėdami padidinti sandaugą iki galios, turite padidinti kiekvieną šio produkto koeficientą iki nurodytos galios ir padauginti gautus rezultatus.

Pavyzdžiui, pakelkime sandaugą 2 × 3 iki antrojo laipsnio. Paimkime šį gaminį skliausteliuose ir nurodykime 2

Dabar kiekvieną sandaugos koeficientą padidiname iki antros laipsnio 2 × 3 ir padauginame gautus rezultatus:

Šios taisyklės veikimo principas grindžiamas laipsnio apibrėžimu, kuris buvo pateiktas pačioje pradžioje.

2 × 3 sandaugos pakėlimas į antrą laipsnį reiškia, kad duota sandauga kartojama du kartus. Ir jei pakartosite tai du kartus, galite gauti šiuos dalykus:

2 × 3 × 2 × 3

Produktas nekinta nuo faktorių vietų permutacijos. Tai leidžia sugrupuoti tuos pačius veiksnius:

2 × 2 × 3 × 3

Pasikartojančius daugiklius galima pakeisti trumpais įrašais – bazėmis su indikatoriais. Produktas 2 × 2 gali būti pakeistas 2 2, o 3 × 3 produktas gali būti pakeistas 3 2. Tada išraiška 2 × 2 × 3 × 3 tampa išraiška 2 × 3 × 2.

Leisti būti ab originalus darbas. Pakelti duotą kūrinį į valdžią n, reikia atskirai pakelti veiksnius a ir b iki nurodyto laipsnio n

Ši savybė galioja daugeliui veiksnių. Taip pat teisingi šie posakiai:

2 pavyzdys... Raskite išraiškos reikšmę (2 × 3 × 4) 2

Šiame pavyzdyje turite pakelti sandaugą 2 × 3 × 4 iki antrojo laipsnio. Norėdami tai padaryti, kiekvieną šio produkto koeficientą turite padidinti iki antros laipsnio ir padauginti gautus rezultatus:

3 pavyzdys... Pakelkite darbą į trečią laipsnį a × b × c

Šį gaminį pateikiame skliausteliuose, o kaip rodiklį nurodome skaičių 3

4 pavyzdys... Pakelkite gaminį 3 į trečią laipsnį xyz

Šį gaminį pateikiame skliausteliuose, o kaip rodiklį nurodome 3

(3xyz) 3

Padidinkime kiekvieną šio produkto koeficientą iki trečios laipsnio:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

Skaičius 3 iki trečiosios laipsnio yra lygus skaičiui 27. Likusią dalį palikite nepakeistą:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

Kai kuriuose pavyzdžiuose laipsnių su tuo pačiu rodikliu daugyba gali būti pakeista bazių su vienu laipsniu sandauga.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime išraiškos 5 2 × 3 2 reikšmę. Pakelkime kiekvieną skaičių iki antrojo laipsnio ir gautus rezultatus padauginkime:

5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225

Bet nereikia skaičiuoti kiekvieno laipsnio atskirai. Vietoj to, nurodytą laipsnių sandaugą galima pakeisti sandauga, kurios rodiklis yra vienas (5 × 3) 2. Tada apskaičiuokite skliausteliuose esančią reikšmę ir padidinkite rezultatą iki antrojo laipsnio:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Šiuo atveju vėl buvo panaudota kūrinio pakėlimo į galią taisyklė. Juk jei (a × b)n = a n × b n , tada a n × b n = (a × b) n... Tai yra, kairė ir dešinė lygybės pusės yra apverstos.

Eksponentiškumas

Šią transformaciją laikėme pavyzdžiu, kai bandėme suprasti identiškų laipsnių transformacijų esmę.

Didinant laipsnį iki laipsnio, bazė paliekama nepakitusi, o rodikliai dauginami:

(a n)m = a n × m

Pavyzdžiui, išraiška (2 3) 2 yra laipsnio kėlimas į laipsnį – du trečiajame laipsnyje pakeliami į antrą laipsnį. Norint rasti šios išraiškos reikšmę, bazę galima palikti nepakeistą, o rodiklius padauginti:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Ši taisyklė pagrįsta ankstesnėmis taisyklėmis: gaminio pakėlimas į laipsnio galią ir pagrindinę savybę.

Grįžkime prie (2 3) 2 išraiškos. Išraiška skliausteliuose 2 3 yra trijų identiškų faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra 2. Tada (2 3) 2 išraiškoje skliaustuose esanti galia gali būti pakeista sandauga 2 × 2 × 2.

(2 × 2 × 2) 2

Ir tai padidina darbo, kurį studijavome anksčiau, galią. Prisiminkite, kad norėdami padidinti gaminį iki galios, turite padidinti kiekvieną šio gaminio koeficientą iki nurodytos galios ir padauginti gautus rezultatus:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 × 2 × 2 × 2 2

Dabar mes kalbame apie pagrindinę laipsnio savybę. Paliekame nepakeistą bazę ir pridedame rodiklius:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Kaip ir anksčiau, gavome 26. Šios galios vertė yra 64

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Produktas taip pat gali būti pakeltas į laipsnį, kurio veiksniai taip pat yra galios.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę (2 2 × 3 2) 3. Čia kiekvieno daugiklio rodikliai turi būti padauginti iš bendro rodiklio 3. Tada suraskite kiekvieno laipsnio vertę ir apskaičiuokite sandaugą:

(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656

Maždaug tas pats nutinka ir pakėlus kūrinio galią. Sakėme, kad keliant gaminį iki galios, kiekvienas šio gaminio faktorius pakeliamas iki nurodytos galios.

Pavyzdžiui, norėdami pakelti sandaugą 2 × 4 iki trečiosios laipsnio, turite parašyti šią išraišką:

Tačiau anksčiau buvo sakoma, kad jei skaičius pateikiamas be rodiklio, tada rodiklis turėtų būti laikomas lygiu vienetui. Pasirodo, sandaugos koeficientai 2 × 4 iš pradžių turi rodiklius, lygius 1. Taigi išraiška 2 1 × 4 1 ​​buvo padidinta iki trečiosios laipsnio. Ir tai yra galios pakėlimas į galią.

Perrašykime sprendimą naudodami galios į galią taisyklę. Turėtume gauti tą patį rezultatą:

2 pavyzdys... Raskite (3 3) 2 išraiškos reikšmę

Paliekame nepakeistą bazę ir padauginame rodiklius:

Gauta 36. Skaičius 3 iki šeštojo laipsnio yra skaičius 729

3 pavyzdysxy)³

4 pavyzdys... Atlikite eksponenciją išraiškoje ( abc)⁵

Pakelkime kiekvieną sandaugos daugiklį iki penktos laipsnio:

5 pavyzdyskirvis) 3

Pakelkime kiekvieną sandaugos daugiklį iki trečiosios laipsnio:

Kadangi neigiamas skaičius −2 buvo pakeltas į trečią laipsnį, jis buvo įrašytas skliausteliuose.

6 pavyzdys... Atlikite eksponenciją išraiškoje (10 xy) 2

7 pavyzdys... Atlikite eksponenciją išraiškoje (−5 x) 3

8 pavyzdys... Atlikite eksponenciją išraiškoje (-3 y) 4

9 pavyzdys... Atlikite eksponenciją išraiškoje (-2 abx)⁴

10 pavyzdys... Supaprastinkite išraišką x 5 × ( x 2) 3

Laipsnis x 5 kol kas išliks nepakitęs, o išraiškoje ( x 2) 3 atliekame laipsnio eksponenciją:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6

Dabar atlikime dauginimą x 5 × x 6. Norėdami tai padaryti, naudosime pagrindinę laipsnio savybę - bazę x paliksime nepakeistą ir pridėsime rodiklius:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

9 pavyzdys... Raskite išraiškos 4 3 × 2 2 reikšmę naudodami pagrindinę laipsnio savybę.

Pagrindinė laipsnio savybė gali būti naudojama, jei pirminių laipsnių pagrindai yra vienodi. Šiame pavyzdyje bazės yra skirtingos, todėl pirmiausia reikia šiek tiek pakeisti pradinę išraišką, būtent, kad laipsnių pagrindai taptų vienodi.

Atidžiai pažvelkime į 4 3 laipsnį. Šio laipsnio pagrindas yra skaičius 4, kuris gali būti pavaizduotas kaip 2 2. Tada pradinė išraiška bus (2 2) 3 × 2 2. Atlikę eksponentiškumą reiškinyje (2 2) 3, gauname 2 6. Tada pradinė išraiška bus 2 6 × 2 2, kurią galima apskaičiuoti naudojant pagrindinę laipsnio savybę.

Užrašykime šio pavyzdžio sprendimą:

Laipsnių skirstymas

Norėdami padalinti laipsnius, turite rasti kiekvieno laipsnio reikšmę, tada padalinkite įprastus skaičius.

Pavyzdžiui, padalinkite 4 3 iš 2 2.

Apskaičiuokime 4 3, gausime 64. Apskaičiuokite 2 2, gaukite 4. Dabar padalinkite 64 iš 4 ir gaukite 16

Jei dalijant bazių laipsnius paaiškėja, kad jie yra vienodi, tada bazę galima palikti nepakeistą, o daliklio rodiklį atimti iš dividendo laipsnio.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę 2 3: 2 2

2 bazę palikite nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimkite daliklio rodiklį:

Vadinasi, išraiškos 2 3: 2 2 reikšmė yra 2.

Ši savybė yra pagrįsta laipsnių padauginimu su tais pačiais pagrindais arba, kaip sakydavome, pagrindine laipsnio savybe.

Grįžkime prie ankstesnio pavyzdžio 2 3: 2 2. Čia dividendas yra 2 3, o daliklis yra 2 2.

Vieną skaičių padalyti iš kito reiškia rasti skaičių, kurį padauginus iš daliklio gaunamas dividendas.

Mūsų atveju 2 3 dalijimas iš 2 2 reiškia laipsnio radimą, kurį padauginus iš 2 2 daliklio, gaunamas 2 3. O kokį laipsnį galite padauginti iš 2 2, kad gautumėte 2 3? Akivaizdu, kad tik 2 laipsnis yra 1. Iš pagrindinės laipsnio savybės turime:

Galite patikrinti, ar išraiškos 2 3: 2 2 reikšmė yra 2 1, tiesiogiai įvertinę pačią išraišką 2 3: 2 2. Norėdami tai padaryti, pirmiausia randame galios 2 3 reikšmę, gauname 8. Tada randame laipsnio reikšmę 2 2, gauname 4. Padalinkite 8 iš 4, gausime 2 arba 2 1, nes 2 = 2 1.

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Taigi, dalijant laipsnius su tais pačiais pagrindais, galioja ši lygybė:

Taip pat gali atsitikti taip, kad ne tik pagrindas, bet ir rodikliai gali sutapti. Šiuo atveju atsakymas bus vienas.

Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę 2 2: 2 2. Apskaičiuokime kiekvieno laipsnio reikšmę ir padalinkime gautus skaičius:

Spręsdami 2 2: 2 2 pavyzdį, taip pat galite taikyti galių dalijimo taisyklę tais pačiais pagrindais. Rezultatas yra skaičius iki nulio laipsnio, nes skirtumas tarp laipsnių 2 2 ir 2 2 rodiklių yra lygus nuliui:

Kodėl skaičius 2 nuliniame laipsnyje yra lygus vienetui, mes sužinojome aukščiau. Jei apskaičiuosite 2 2: 2 2 įprastu būdu, nenaudodami valdžių padalijimo taisyklės, gausite vieną.

2 pavyzdys... Raskite išraiškos 4 12: 4 10 reikšmę

4 paliksime nepakeistą, o iš dividendo rodiklio atimsime daliklio rodiklį:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

3 pavyzdys... Pateikti privačiai x 3: x kaip laipsnis su radiksu x

Pasinaudokime laipsnių padalijimo taisykle. Bazė x Palikite jį nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimkite daliklio rodiklį. Daliklio rodiklis yra lygus vienetui. Kad būtų aiškumo, užsirašykime:

4 pavyzdys... Pateikti privačiai x 3: x 2 kaip galia su radiksu x

Pasinaudokime laipsnių padalijimo taisykle. Bazė x

Laipsnių padalijimas gali būti parašytas trupmena. Taigi, ankstesnį pavyzdį galima parašyti taip:

Trupmenos skaitiklį ir vardiklį leidžiama rašyti išplėstine forma, būtent tų pačių veiksnių sandaugų forma. Laipsnis x 3 gali būti parašytas kaip x × x × x ir laipsnį x 2 kaip x × x... Tada statyba x 3–2 galite praleisti ir naudoti trupmenos sumažinimą. Skaitiklyje ir vardiklyje bus galima atšaukti du veiksnius x... Dėl to išliks vienas veiksnys x

Arba dar trumpiau:

Taip pat naudinga greitai sumažinti galios dalis. Pavyzdžiui, trupmeną galima atšaukti x 2. Norėdami sumažinti trupmeną x 2 trupmenos skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš x 2

Detaliau galima praleisti laipsnių skirstymą. Ši santrumpa gali būti sutrumpinta:

Arba dar trumpiau:

5 pavyzdys... Atlikite padalijimą x 12 : x 3

Pasinaudokime laipsnių padalijimo taisykle. Bazė x Paliksime jį nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimsime daliklio rodiklį:

Užrašykime sprendimą mažindami trupmeną. Laipsnių skirstymas x 12 : x 3 parašysime formoje. Toliau šią trupmeną galime sumažinti x 3 .

6 pavyzdys... Raskite išraiškos reikšmę

Skaitiklyje atliekame galių dauginimą tomis pačiomis bazėmis:

Dabar taikome laipsnių dalijimo taisyklę tais pačiais pagrindais. 7 bazę paliekame nepakeistą ir iš dividendo rodiklio atimame daliklio rodiklį:

Užbaikite pavyzdį apskaičiuodami laipsnį 7 2

7 pavyzdys... Raskite išraiškos reikšmę

Atlikime eksponenciją skaitiklyje. Tai turite padaryti naudodami išraišką (2 3) 4

Dabar atlikime laipsnių dauginimą tomis pačiomis skaitiklio bazėmis.