Rodiklis yra skaičius, nurodantis, kiek kartų vertė turi būti padauginta iš savęs. Pavyzdžiui, jei eksponentas yra 3, o reikšmė yra 4, tada 4 3 reiškia 4 x 4x4, tai yra 64. Matematinė išraiška 2 val reiškia adresu NS adresu, o skaičius 2 yra eksponentas.

Kuo eksponentinis augimas skiriasi nuo linijinio augimo? Esant tiesiniam augimui, vertė kiekviename etape didėja vienas ir tas pats gerai, Neprijungtas daugkartinis numerį. Jei mano pradinis kapitalas yra 1000 USD ir kasmet didėja 100 USD, tai po 10 metų jį padvigubinsiu ir turėsiu 2000 USD. Tai linijinis augimas, kasmet tiek pat. Bet jei mano pradinis 1000 USD kapitalas kasmet padidės 10 procentų, tai po dešimties metų turėsiu 2594 USD. Tai eksponentinio augimo pavyzdys, kurio pastovus kartotinis yra 1,1 per metus. Jei tęsiu savo verslą dar 10 metų, linijinis augimas man duos iš viso 3000 USD, o eksponentinis augimas – 6727 USD.

Bet kuri rinka ar verslas, kuris ilgą laiką išlaiko 10 ar daugiau procentų augimo tempą, turės daug didesnį vertę kuriantį poveikį, nei mes intuityviai manome. Kai kurios įmonės, tokios kaip IBM ar McDonald's, nuo 1950 m

1985 m. arba „Microsoft“ 1990-aisiais – sugebėjo pasiekti augimo tempus, viršijančius 15 procentų per metus, ir padidino savo kapitalą. Jei pradėsite nuo 100 USD ir padidinsite savo kapitalą 15 procentų per metus per 15 metų, tada pabaigoje turėsite 3292 USD, tai yra beveik 33 kartus daugiau nei pradžioje. Nedidelis augimo procento padidėjimas lemia didelį rezultatų skirtumą.

Pavyzdžiui, JAV biržos makleris Williamas O'Nealas 1961–1986 m. sukūrė ir valdė fondą savo klasės draugams. Per tą laiką pradiniai 850 USD, sumokėjus visus mokesčius, virto 51 653 USD. * Per 25 metus vidutinis augimas buvo 17 85 procentai per metus, o tai reiškia, kad pradinė suma padidėja 61 kartą.Todėl matome, kad jei per 25 metus 15 procentų augimas padidins kapitalą 33 kartus, tai prie metinio augimo tempo pridėjus mažiau nei 3 procentinius punktus rezultatas – 61 kartas.

Eksponentinis augimas keičia dalykus ne tik kiekybiškai, bet ir kokybiškai. Pavyzdžiui, sparčiai augant pramonei – Peteris Druckeris šį skaičių vadina 40 procentų per 10 metų – keičiasi pati jos struktūra, o į priekį iškyla nauji rinkos lyderiai. Staigus augimas rinkas skatina naujovės, modelio trūkumas, nauji produktai, technologijos ar vartotojai. Inovatoriai pagal apibrėžimą viską daro kitaip. Nauji būdai retai egzistuoja kartu su esamų įmonių įpročiais, idėjomis, procedūromis ir struktūromis. Neretai novatoriai turi galimybę nugriebti putas kelerius metus, kol tradiciniai lyderiai nusprendžia imtis kontratakos, tačiau tada gali būti per vėlu.

Vienas iš didžiausių mitų, kuriais buvo grindžiama XX amžiaus pabaigos ekonomika, buvo eksponentinės augimo mitas. Technologijos turėjo keistis dar greičiau, kad ekonomika taip pat augtų eksponentiškai, todėl mes visi būtume turtingesni nei mūsų tėvai ir nepamatuojamai turtingesni už mūsų prosenelius. Tačiau atrodo, kad nuo 2000 m. viskas klostėsi blogai, bent jau ekonomikoje. Problema iš dalies susijusi su kapitalo nutekėjimu į besivystančias rinkas, kuriuos įgalina internetas ir šiuolaikinės komunikacijos. Tačiau net už šios nepatogios realybės slypi išties nerimą kelianti mintis, kad technologijų pažanga, taigi ir galimybė pagerinti gyvenimo lygį, gali nesukurti jokio eksponentinio augimo.

Kelių entuziastų vizijoje tikėjimas eksponentine technologine pažanga buvo paverstas išskirtinumu, kuris arba jau vyksta, arba netrukus mus aplenks. Daroma prielaida, kad tai paskatins tolesnį progreso pagreitį, kuris bus toks galingas, kad žmonijos istorijos ateitis labai skirsis nuo praeities.

Tačiau prieš sveikinant singuliarumo atsiradimą, reikia pažymėti, kad, anot šios teorijos šalininkų, jį lems protingesnių už žmogų atsiradimas, mašinos, kurios vėliau įsivyraus, sukurs dar protingesnius robotus ir paliks žmoniją uodega“. Taigi singuliarumas nereikš beveik begalinio žmonijos gyvenimo kokybės pagerėjimo, nes, matyt, tokios superinteligentiškos mašinos nebus itin suinteresuotos žmonių gyvenimo kokybe – ar net nenorės mūsų naudoti kaip eksperimentinius gyvūnus ar augintinius. . (Jei pastarasis, aš neabejotinai būsiu pretendentų į pašalinimą priešakyje - vargu ar turiu augintinio savybių, kurias reguliariai rodo mūsų katė Evdoksya).

Logiškai mąstydami, galime išskirti tris žmonijos istorijoje jau įvykusius singuliarumus: kalbos atsiradimą, perėjimą iš klajoklio į sėslų gyvenimą. Žemdirbystė o vėliau pramonės revoliucija. Kiekvienas iš šių reiškinių dešimteriopai paspartino žmonijos vystymąsi, todėl pokyčiai, trukę milijonus metų vien evoliucijos įtakoje, po kalbos atsiradimo, pradėjo vykti po šimtų tūkstančių metų, išradus žemdirbystę – m. dešimtis tūkstančių metų, o vos per du ar tris šimtmečius – po pramonės revoliucijos. Kiekvienas iš šių pokyčių visiškai pakeitė gyvenimą; ji taip pat judėjo greitesniu tempu, o po pramonės revoliucijos per vieną trumpą žmogaus gyvenimas vyksta didžiuliai technologiniai pokyčiai.

Verta atidžiau pažvelgti į pramonės revoliucijos išskirtinumą. Jis truko apie 200 metų ir nė viena iš pirmųjų jo naujovių neatnešė didelių gyvenimo pokyčių. Mašina Naujokai vandens siurbimui kasyklose, išrastas 1712 m., rimtų pokyčių tiesiogiai neprivedė, nesekė joks daug pažangesnis variklis, kaip Džeimsas Vatas, iki 1769 m. (o vatų varikliai buvo plačiai naudojami tik 1790 m.). Tačiau technologinę revoliuciją lydėjo ne mažiau svarbi žmogaus mąstymo revoliucija, kuri prasidėjo maždaug 1662 m. įkūrus Karališkąją mokslo draugiją ir tęsėsi. Tautų turtai» Adomas Smitas(1776 m.) iki XIX a. pradžios.

Taigi, nors 1785 m. pilietis ne itin džiaugėsi technikos pažanga, palyginti su savo protėviu nuo 1660 m., o šimtmečiu anksčiau alchemikai buvo pašiepti garsiojo paveikslo paveiksle. Džozefas Raitas, dabar ji tarnauja kaip priedanga " Praradimo alchemikai“. Pirmieji didžiuliai techniniai pramonės revoliucijos vaisiai pasirodė vėliau – tekstilės gamyba įsibėgėjo tik 1790-aisiais, o geležinkelių tinklas atsirado tik po 1830 m., tačiau psichikos pokyčiai, sudarę išskirtinumą, jau įvyko maždaug 1785 m.

Šia prasme mums dar negresia joks išskirtinumas. Internetas, iš esmės pakeitęs pasaulio komunikacijas ir mūsų gyvenimo būdą, nėra revoliucingesnis už elektros šviesą, telefoną ar automobilį. 2010 m. gyvenimas iš tikrųjų skiriasi nuo 1995 m. Pasaulinę gamybos ar paslaugų įmonę šiandien galime organizuoti daug efektyviau nei 1995 metais. Dauguma gyvenimą už miego, jaunimas praleidžia internete ar pokalbiuose Mobilusis telefonas, ko ji negalėjo padaryti iki 1995 m.

Tačiau taip buvo praėjus 15-20 metų nuo ankstesnių lemtingų technologijų atsiradimo. 1845 m., išradus geležinkelius, kelionės modelis jau skyrėsi nuo 1830 m. 1905 m., išradus elektrą, miesto darbo modeliai vakaro laikas ir pramogos labai skyrėsi nuo 1890 m. modelių. Taip, gyvenimas viduje kaimas Amerika 1925 m., kai pasirodė „Lizzy Tin“ (Ford Model T), buvo visiškai kitokia nei 1910 m.

Taigi, kiekvienas iš šių išradimų radikaliai pakeitė kai kuriuos gyvenimo būdo aspektus, tačiau vis tiek nepaspartino išradimų ir pažangos proceso, kaip pramonės revoliucija. Pasklidus išradimams gyvenimas tapo kitoks, bet tempas technikos pažanga buvo gana saikingas. Internetas yra tarsi tokio tipo naujovė: jis gerokai pakeitė mūsų gyvenimus, tačiau nepaspartino pokyčių taip, kaip pramonės revoliucija, ir tam nėra prielaidų. Iš tiesų, galima pagrįstai teigti, kad karta, kuri patyrė daugumą revoliucinių pokyčių, gyveno mano didžiosios tetos Beatričės laikais, kuri gimė 1889 m. ir mirė 1973 m. Jos vaikystėje buvo naudojamas dujinis apšvietimas ir traukiantys arkliai, o senatvėje jie jau galingai skraidė lėktuvais ir aplankė mėnulį.

Žvelgiant į ateitį, yra trys galimos technologinės pažangos, galinčios paspartinti pokyčių tempą, net jei jie nesukelia išskirtinumo. Tai yra: mašinos gamyba protingesnis už žmogų, manipuliavimo genais metodų, galinčių padidinti žmogaus pažintinius gebėjimus, atradimas, taip pat techninio, medicininio ar genetinio pobūdžio atradimai, galintys gerokai pailginti žmogaus gyvenimo trukmę.

Manoma, kad populiariausia tariamo išskirtinumo priežastis yra superroboto atsiradimo galimybė, tačiau atidžiau pažvelgus atrodo, kad tai mažai tikėtina. Singuliarumo teoretikai mėgsta cituoti Moore'o dėsnį, pasiūlytą teoriją Autorius Gordonas Moore'as 1965 m., pagal kurį kompiuterių apdorojimo greitis padvigubėja kas dvejus metus. Tačiau iš tikrųjų mes rimtai artėjame prie šio progreso ribos; ribojantys veiksniai yra šviesos greitis, energija, reikalinga mikroprocesoriams (kurie generuoja šilumą) veikti, elektromagnetinės spinduliuotės bangos ilgis ir atominių struktūrų dydis.

Per porą kartų pagal Moore'o dėsnį priartėsime prie laikinos barjero, kuris gerokai apsunkins pažangą, o po 5-6 kartų pagal tą patį dėsnį priartėsime prie nuolatinio barjero, kurį peržengus, su įsivaizduojama Šis momentas technologijų pažanga bus neįmanoma. Reikia pripažinti, kad tolesnė pažanga kompiuterinio intelekto srityje yra įgyvendinama tobulinant programavimą ir architektūrą su masiniu lygiagretumu, tačiau realybė tokia, kad po 2015-2020 metų pažangos šioje srityje bus pastebimas LĖTĖJIMAS, o ne pagreitis. Lygiai taip pat, kaip paskutinis tikrai revoliucinis automobilių dizaino pokytis buvo automatinės pavarų dėžės išradimas 1939 m., akivaizdu, kad begalinė mašinų projektavimo pažanga pamažu pasieks natūralią ribą.

Žmogaus intelektą gerinanti genų inžinerija neabejotinai pakeis mūsų pasaulį, tačiau greičiausiai tai įvyks labai seniai, nes tokiems pokyčiams smarkiai priešinsis dauguma Vakarų religinių grupių ir vyriausybių. Netgi paprastas klonavimas, kuris yra paprasčiausias esamo individo atkūrimas, per dešimt metų nelabai pažengė į priekį, o ateityje gali būti atidėtas visai kartai. Net ir gavus vyriausybių pritarimą, gali būti atlikti saugos patikrinimai, kurių reikia prieš pradedant žvalgybos išplėtimo eksperimentus, yra tikimybė, kad pirmieji tokie bandymai paprasčiausiai padidins intelektą iki dabartinio lygio, o ne padidins. . Be to, dėl šių vaikų biologinio poreikio subręsti iki 15 metų, įgyjant Aukštasis išsilavinimas per artimiausius 5-10 metų šių pokyčių rezultatas pasirodys ne anksčiau kaip po 50 metų ateityje. Šia prasme super robotas, ar jis tikras, gali būti sukurtas greičiau, nes jis tuoj taps suaugęs! Atsižvelgiant į tai, kad pirmieji Tobulėjusio žmogaus egzemplioriai sudarys nedidelę žmonių / naujosios žmonių rasės dalelę, tampa aišku, kad iki kito šimtmečio iš čia nesitikima jokio makro pagreičio.

Trečioji potenciali technologija, gyvenimo pratęsimas, yra įdomesnis. Techniniu požiūriu bet koks reikšmingas poveikis (išskyrus medicinos pažangą, padidinančią žmonių, gyvenančių iki 90–100 metų procentą), gali prireikti panašių įgūdžių, kad būtų galima sukurti daugiau aukštas lygis intelektas. Tačiau ši sritis susidurs su kur kas mažiau luditų politikų ir religinių lyderių pasipriešinimo, nes ilgesnio gyvenimo nauda yra aiški ir teoriškai universali. Kita vertus, prailginti jau gyvenančių žmonių gyvenimo trukmę bus daug sunkiau nei sukurti naujus ilgaamžius, ir greičiausiai tai įvyks vėliau.

Pasirodo, iki 2050 metų tikriausiai galėsime pagimdyti vaikus, kurie gyvens 150-200 metų (tai yra ilgiau nei reikia, kad galėtume įveikti suvaržymus, apie kuriuos dar nežinome, nes jie neturi įtakos ilgaamžiai). Po kurio laiko po to išmoksime bent iš dalies pailginti jau esamų žmonių gyvenimo trukmę. Atsižvelgiant į galimą didžiulę tokių technologijų paklausą, jos turėtų greitai išplisti tarp daugumos žmonių, nes masinė gamyba sumažins jų sąnaudas iki priimtino lygio.

Tačiau nors gyvenimo ciklo pratęsimas labai pagerins žmogaus gyvenimą, tai nepagreitins pažangos. Šimtamečiai nepradės dirbti bent iki 25-erių, nes gaus visapusiškesnį išsilavinimą nei mes. Išėję į darbą jie bus mažiau linkę rizikuoti ir bus kantresni nei mes, nes vėluodami sunaudos mažiau viso likusio gyvenimo. Savo ruožtu net ir be tolesnio pagreičio juos reikės perauklėti kas 20–25 metus, kad jų darbo įgūdžiai nespėtų beviltiškai pasenti. Kadangi greitų pokyčių akivaizdoje sąnaudos jiems bus didesnės nei mums, o naudos mažesnė, jie patys norės sulėtinti pažangą. Tik kartu su aukštesniu intelekto lygiu jie galės susitaikyti su svaiginančiais porevoliuciniais pokyčių tempais.

Šiuo metu svarsčiau apie galimą teigiamų pokyčių pagreitį. Tačiau galimi katastrofiškai neigiami pokyčiai, galintys grąžinti civilizaciją, gyvenimo lygį ir žinias į primityvesnį lygmenį. Vienas iš galimų to šaltinių yra Pasaulinis karas galbūt kitaip nei buvo prieš 50 metų. Kitas veiksnys gali būti ekologinė katastrofa... Nieko gero čia nenumatoma. Dabartinį neišvengiamą gyventojų skaičiaus augimą, kuris, tikėtina, sulėtės, bet nesustos iki 2050 m., pablogins atradimai, pailginę gyvenimo trukmę iki 200 metų – tiek dėl sumažėjusio mirčių skaičiaus, tiek dėl gimstamumo padidėjimo. dėl to, kad gebėjimas daugintis išliks 100 metų. Ar globalinis atšilimas yra rimta problema pasaulyje, kuriame gyvena nuo 7 iki 10 milijardų, vis dar kyla klausimas, tačiau jis neabejotinai virs rimta problema pasaulyje, kuriame gyvena 20 milijardų (ir ištekliai išeikvoti atitinkamai , kelia realesnį pavojų). Atitinkamai, pagrindinis prioritetas turėtų būti priemonės, skirtos sulėtinti gyventojų skaičiaus augimą arba, dar geriau, grįžti prie mažėjimo. Galų gale iki paskutinio singuliarumo pasaulio gyventojų buvo tik 1 mlrd. šiame lygmenyje mūsų problemos su aplinką ir resursai išnyktų.

Be žlugimo galimybės, du ar trys tikėtini technologiniai pokyčiai per ateinančius 50 metų – Moore'o dėsnio ribos pasiekimas ir gyvenimo trukmės ilgėjimas – pokyčių tempą sulėtins, o ne paspartins. Tik trečiasis variantas – genetiškai sustiprintas intelektas – gali paspartinti pažangą, tačiau sisteminis pasipriešinimas šiai technologijai greičiausiai atidės ją labai ilgam. Taigi žmonijos kreivė XXI amžiuje bus asimptotinė [ribota], o ne eksponentinė.

Sveiki! Šiandien mes pabandysime išsiaiškinti, kas yra eksponentinis augimas. Eksponentinis augimas yra eksponentinis vertės padidėjimas. Vertė auga proporcingu jos vertei. Tai reiškia, kad bet koks eksponentiškai didėjantis kiekis, kuo didesnė vertė, tuo greičiau jis auga. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu. Iš biologijos galite prisiminti, kad bakterijos dauginasi LABAI greitai. Bakterijų populiacijos augimas yra analogiškas nuolat apmokestinamų palūkanų augimui. Tai parodysiu, kai išspręsime problemą. Taigi, tai yra mūsų eksponentinio augimo užduotis. Čia yra sąlyga: įjungta Pradinis etapas bakterijų kolonijoje yra 100 ląstelių, ir ji pradeda augti proporcingai savo dydžiui. Po 1 valandos ląstelių skaičius padidėja iki 420. Pirmiausia reikia rasti išraišką, kuri parodytų bakterijų skaičių per t valandas. Eikime prie to. Bakterijų skaičius, galima sakyti, yra laiko funkcija. Pavadinkime tai b. Taigi, užsirašykime. Bakterijų skaičius kaip funkcija t gali būti parašytas kaip b (t). Užrašysiu čia: b (t). Taigi, bakterijų skaičius kaip laiko funkcija yra lygus: pradiniam bakterijų skaičiui, tai yra, I yra nulis (jei pabrėžtume analogiją su palūkanomis, tai yra paskolos dalis). Šiuo atveju tai yra suma, nuo kurios pradedame. Toliau turime skaičių e iki kt laipsnio, kur k yra eksponentinis augimas. Tai I nulis, kitaip tariant, pradinė suma. t = 0, nes pradiniu laiko momentu laikas lygus nuliui, o tai reiškia, kad visas laipsnis lygus nuliui, o visa išraiška čia lygi vienetui. Tai logiška, ar ne? b (0) turi būti lygus I nuliui. Taigi, jei žinote, nuo kurios vertės pradėti, taip pat su antrąja verte, galite rasti k. Tada vietoj k pakeisite rastą reikšmę – ir dabar įvykdėte pirmąjį užduoties tašką: suraskite išraišką, rodančią bakterijų skaičių per t valandas. Taigi mano klausimas yra, kam aš lygus nuliui? Mes žinome šį skaičių. Štai problema: pradiniame etape bakterijų kolonijoje yra 100 ląstelių. Todėl žinome, kad b (0) yra lygus 100. Užsirašysiu kitaip: b (0) = I nulis * e iki laipsnio 0 = I nulis. Todėl bakterijų skaičius, kai t = 0, yra 100. Čia mes padarėme tam tikrą pažangą sprendime. Dabar galime pasakyti, kad b (t) = 100 * e iki kt laipsnio. Taigi, jei turėtume k, tai galėtume atlikti pirmąją užduoties dalį: rasti išraišką, rodančią bakterijų skaičių per t valandas. Kaip rasti k? Bet čia turime antrąją bakterijų skaičiaus reikšmę: po 1 valandos ląstelių skaičius padidėja iki 420 vienetų. Ką tai mums sako? Kad b (1) t.y. populiacija po 1 valandos yra 420 vienetų arba lygi 100 * e iki kt galios. Kas yra t? t = 1, todėl padauginkite iš e iki k laipsnio. Taigi, 420 = 100 * e iki k laipsnio. Dabar galime rasti k. Pradėkime nuo abiejų lygybės pusių padalinimo iš 100. Taigi 4,2... Tikriausiai pakeisiu lygybės puses. Taigi, e iki k laipsnio yra 4,2. Dabar, norėdami rasti k, turime paimti abiejų pusių natūraliuosius logaritmus. Taigi, k = ln (4,2). Dėl to mes gausime tam tikrą skaičių. Vėliau rasime su skaičiuotuvu. Taigi, pirmiausia į šią išraišką pakeitėme reikšmę 100, išsiaiškinome, kas I lygus nuliui, ir papildomų duomenų pagalba radome k: k = ln (4,2). Dabar turime išraišką, nes žinome, kad k ir I yra nulis. Todėl čia yra atsakymas į pirmąjį užduoties punktą: funkcija b (t) lygi: pradiniam kiekiui, tai yra 100, padaugintam iš e iki laipsnio kt, o kadangi k = ln (4, 2), gauname e laipsnį (ln (4 , 2)) * t. Štai kaip atrodo mūsų funkcija. Dabar pereikime prie antrojo užduoties punkto. Štai antras punktas: raskite bakterijų skaičių per 3 valandas. Tai lengva ir paprasta padaryti. Turime funkciją ir t = 3, todėl bakterijų skaičių galime rasti per 3 valandas. Taigi, b (3) = 100 * e laipsniui (ln (4.2) * 3). Ir mes galime apskaičiuoti šios išraiškos reikšmę, jei, žinoma, turite skaičiuotuvą. Kas yra lygus natūralusis logaritmas 4.2? Tiesą sakant, vertę galime rasti analitiškai. Taigi, tai yra tas pats, kas 100 padauginti iš e iš ln (4.2) laipsnio ir visa tai yra trečiajame laipsnyje, nes jei dvi laipsniai padauginami, tai yra tolygu kėlimui į laipsnį, o tai reiškia, kad padidiname iki 3 galia... O jei čia supaprastinsime, tada viskas aišku. O kas e lygi ln (4.2) laipsniui? Tai 4,2, tiesa? Natūralusis logaritmas nurodo, kiek e reikia padidinti, kad gautume 4.2. Žiūrėk, aš galiu net be skaičiuoklės. Vadinasi, 100 * (4,2) trečiajame laipsnyje. Ir dabar turime išsiaiškinti, kiek (4,2) bus trečiojoje laipsnėje. Bus apie 70. Panagrinėkime tai vėliau. Štai atsakymas į antrąjį mūsų užduoties punktą. Ir jūs galite rasti vertę naudodami skaičiuotuvą. Jūs galite tai padaryti patys. Kas yra trečias punktas? Dabar reikia rasti augimo tempą po 3 valandų. Ko jie šiuo metu iš mūsų nori? Turime rasti šios funkcijos nuolydį. Kitaip tariant, turime rasti šios funkcijos išvestinę, kai t = 3. Leiskite man ištrinti viską čia, nes mes jau atlikome šiuos užduočių punktus. Čia tereikia pasikliauti skaičiuokle. Paruošta. Taigi, pereikime prie trečiojo punkto. Turime rasti augimo tempą, tai yra šios funkcijos išvestinę. Taigi, funkcijos b ’(t) išvestinė yra lygi ... Kam ji lygi? Pasinaudokime grandinės taisykle, t.y. kompleksinės funkcijos diferenciacijos principas. Taigi, kadangi 100 yra konstanta, prieš funkciją galime parašyti 100. O šios išraiškos išvestinė lygi ln (4,2) padaugintam iš e išvestinės iki laipsnio ln (4,2) * t. Mes nustatėme augimo greitį esant t, ir turime išsiaiškinti, kam jis bus lygus, kai t = 3. Todėl b ’(3) = 100 * ln (4,2), ir visa tai padauginame iš e iki laipsnio ln (4,2) * t. Ir mes jau sakėme, kad ši išraiška yra tiesiog (4.2) laipsniu t. Taigi, mes dauginame iš (4.2) iki trečiosios laipsnio. Kaip matote, čia palietėme logaritmų temą. Na, tada viskas paprasta ir paprasta: vietoj t pakeitėme reikšmę 3. Tikiuosi, kad supratote. Na, jei ne, galite tiesiog naudoti skaičiuotuvą. Bet, mano nuomone, jūs turite žinoti tai: e laipsnyje (ln x) = x. Galų gale, kas yra (ln x)? Tai yra laipsnis, kuriuo e reikia padidinti, kad gautume x. Kitaip tariant, jei pakelsiu e iki x laipsnio, gaunu x. Tai viskas, ką norėjau pasakyti. Taigi e į laipsnį ((ln (4.2) į t) = (4.2) į laipsnį t. Kaip matote, pradinę mūsų išraišką galiu perrašyti taip: 100 * (4.2) į t laipsnį. Ką tik supaprastinome pirmojo užduoties punkto atsakymą. Taip bus geriau. Taip būtų lengviau rasti antrojo punkto sprendimą. Na, o dėl trečiojo punkto, čia geriau palikti viską taip, kaip yra, nes daug lengviau rasti šios išraiškos išvestinę. Šią išraišką galime perrašyti taip: b ’(t) = (100 * ln (4,2)) * (4,2) į t laipsnį. Taigi aš tiesiog pakeičiau šią išraišką į šią. Atsiprašau, aš jau nubraižiau. Ir galiausiai pasiekiame paskutinį savo užduoties tašką: raskite laiką, po kurio bakterijų skaičius pasieks 10 000. Leiskite man tikriausiai ištrinti trečiojo punkto sprendimą. Per kiek laiko bakterijų skaičius pasiekia 10 000? Pirmiausia šiek tiek supaprastinkime savo išraišką. Taigi, b (t) = 100 * e laipsniui (ln (4.2) * t). Ir tai lygu, kaip sakiau, 100 * (4,2) ^ t. Mūsų klausia, kada bakterijų skaičius pasieks 10 000. Kitaip tariant, kuriai t reikšmei funkcija b (t) yra lygi 10 000. Taigi, 10 000 = 100 * e iki ln (4.2) * t laipsnio. Pažiūrėkime, ką čia turime. Abi lygybės puses galime padalyti iš 100. Todėl 100 = e laipsniui (ln (4,2) * t). Dabar galime parašyti abi dalis kaip natūralius logaritmus. Ką mes čia galime padaryti? Paimsiu kitą spalvą, ln100 yra ..., ir jei paimsime e natūralųjį logaritmą tam tikru laipsniu, tai gausime tik šio laipsnio reikšmės natūralųjį logaritmą. Kitaip tariant, mums lieka tik išraiškos logaritmas, kuris yra valdžioje. Taigi užsirašykime tai: ln100 = ln (4,2) * t. Ir norėdami rasti t, turime padalyti abi lygybės puses iš ln (4,2). Todėl t = (ln100) / (ln (4,2)) Taip randame laiką, po kurio bakterijų skaičius pasieks 10 000. Belieka paimti skaičiuotuvą ir rasti šios išraiškos reikšmę. Dabar linksmai apsvarstykime supaprastintą mūsų išraiškos versiją. Taigi, ką gautume: 100 * (4,2) iki laipsnio t = 10 000. Abi lygybės puses padalinkite iš 100. Taigi (4.2) laipsniui t = 100. Ir norėdami tai išspręsti, turime paimti logaritmą į bazę 4.2. Todėl t yra lygus logaritmo bazei 4,2 iš 100. Prie to grįšime vaizdo įraše apie logaritmo savybes. Labai svarbu žinoti, kaip galite apskaičiuoti logaritmą iki skaičiaus pagrindo. Kadangi skaičiuotuvu galite rasti tik logaritmą iki e arba 10. Bet kaip rasti logaritmą iki bet kurio kito skaičiaus bazės? Mano atsakymas labai paprastas: tiesiog paimkite natūralųjį 100 logaritmą ir padalykite jį iš šios reikšmės natūraliojo logaritmo. Arba dešimtainis logaritmas yra 100 ir padalytas iš dešimtainio logaritmo 4,2. Tai viskas, tuo tikriausiai ir baigsime, kad viskas jūsų galvoje nesusimaišytų. Taigi, šioje pamokoje pažvelgėme į eksponentinį augimą. Vietoj „bakterijų kolonijos“ galėtume rašyti „pradinė įnašo suma yra 100 ir auga proporcingai savo dydžiui“. Tada tai būtų sudėtinės palūkanos. Ir čia būtų galima sakyti, kad „po 1 valandos suma padidėjo, tarkime, 4, 2 doleriais. Tokiu atveju mes ieškotume nuolatinio susidomėjimo. Apskritai tai tas pats. Nesvarbu, ką tiksliai mes svarstome. Ateityje parodysiu dar kelis pavyzdžius šia tema, taip pat apsvarstysime eksponentinio skilimo problemą. Greitai pasimatysime!

Laboratorinis darbas Nr.1.

„Gyventojų dinamika“.

Populiacijos dinamikos modeliavimas naudojant skaičiavimo programą

Darbo tikslas: Ištirti populiacijos dinamikos modelius naudojant skaičiavimo programą.

Priimtas dirbti

Aš padariau darbą

Jis apgynė savo darbą

2010 G.

1 TEORINIS ĮVADAS

Pagal garsaus rusų ekologo S.S. Schwartzo apibrėžimą, gyventojų Tai elementari tam tikro tipo organizmų grupė, turinti visas būtinas sąlygas skaičiui išlaikyti ilgas laikas nuolat besikeičiančioje aplinkoje.

Populiacija, kaip ir bet kuri atvira biologinė sistema, pasižymi tam tikra struktūra, augimu, vystymusi, atsparumu abiotiniams ir biotiniams veiksniams.

Svarbiausias populiacijos gerovės (stabilumo) rodiklis, jos vaidmuo natūralios ekosistemos funkcionavimui yra jos dydis.

Populiacijos dydį daugiausia lemia du reiškiniai – vaisingumas ir mirtingumas, taip pat migracija.

Vaisingumas - naujų individų, atsiradusių per laiko vienetą dėl reprodukcijos, skaičius. Dauginimosi procese individų skaičius didėja, teoriškai jis gali neribotai augti.

Priklausomai nuo laiko (populiacijos dinamikos), populiacijos individų skaičiaus kitimas yra įvairus. Paprasčiausiais atvejais populiacijos dinamiką galima apibūdinti paprastais matematiniais modeliais, kurie leidžia numatyti individų skaičiaus pokyčius.

1. Eksponentinis skaičių augimas.

Buvo pasiūlytas vienas iš pirmųjų gyventojų skaičiaus augimo modelių T. Malthusas 1798 m., gerai žinomame veikale „Apie gyventojų skaičiaus principus“. Šis modelis buvo pavadintas eksponentinispriklausomybės gyventojų skaičiaus augimas (eksponentinio augimo kreivė). Šis modelis daro prielaidą neribotas kiekis gamtos išteklių, prieinamas gyventojams, ir jokių suvaržymų nebuvimas gyventojų skaičiaus augimui. Esant tokioms prielaidoms, individų skaičius populiacijoje didėja pagal galios dėsnio priklausomybę, t.y. labai greitai ir neribotas.

Jei žymėsime pagal n 0 individų skaičius populiacijoje ir pradinis laiko momentas (t 0 ), o po N t – individų skaičius tam tikru laiko momentu t (t> t 0). Tada skaičiaus ∆N pokytis per laiko intervalą ∆ t. tie. gyventojų skaičiaus augimo tempas bus lygus:

(1)

Išraiška (1) rodo vidutinį populiacijos augimo tempą. Tačiau populiacijos ekologijoje dažniau naudojamas ne absoliutus vidutinis rodiklis, o vieno organizmo augimo greitis (specifinis rodiklis):

(2)

Šis indikatorius leidžia palyginti skirtingų dydžių populiacijų skaičiaus kitimo reikšmes. Šiuo atveju skaičius apibrėžiamas kaip vieno individo padidėjimo greitis per tam tikrą laikotarpį.

Perėjimas prie ribojančios greičio registravimo formos
0 ir
ir įvedant naują pavadinimą:

(3)

Išraiškoje (3) indeksas r gali būti apibrėžtas kaip momentinis specifinis gyventojų skaičiaus augimo tempas... Skirtingoms tos pačios rūšies populiacijoms šis rodiklis gali turėti skirtingas reikšmes. Didžiausia iš visų galimų verčių (r max) vadinama populiacijos biotiniu arba reprodukciniu potencialu.

Atsižvelgiant į (3) išraišką, populiacijos augimo tempą galima apibūdinti tokia išraiška

(4)

Diferencijuojant išraišką (4), gauname, kad bet kuriuo laiko momentu pagal sąlygą r= suonst (augimo greičio konstanta) populiacijos individų skaičius bus lygus:
(5)

(5) formulė aprašo eksponentinį populiacijos augimo modelį, kuris grafiškai turi kreivės formą (1 pav.). Eksponentinio augimo modelis atitinka sąlygas neribotas augimas individų skaičius populiacijoje.

Ryžiai. 1. Asmenų skaičiaus populiacijoje eksponentinio augimo kreivė

1. Logistinio augimo modelis

Vadinamas didžiausias populiacijos dydis, kurį ekosistema gali išlaikyti neribotą laiką nepakitusiomis gamtinėmis sąlygomis ekosistemos pajėgumas tam tikrai rūšiai.

Gyventojų skaičiaus kaita– Tai ryšys tarp biologinio potencialo (individų pridėjimo) ir atsparumo aplinkai (individų žūties, mirtingumo). Aplinkos atsparumo veiksniai lemia mirtingumo padidėjimą, o gausos kreivė pasiekia plokščiakalnį arba net leidžiasi žemyn, jei dėl populiacijos sprogimo išeikvojami gyvybiškai svarbūs ekosistemos ištekliai. Gyventojų augimo kreivė veikiant aplinkos pasipriešinimui įgyja S-perkeltine vaizdas (2 pav.).

Ryžiai. 2 . S formos populiacijos augimo modelis

Taigi natūraliomis sąlygomis neribotas augimas yra neįmanomas ir anksčiau ar vėliau gyventojų skaičius pasieks savo ribą kuri yra apibrėžta vidutinio pajėgumo(erdvinė, maistas ir kt.). Jei didžiausiu galimu individų skaičiumi populiacijoje žymėsime tam tikrą reikšmę K (vidutinė talpa) ir įvesti pataisos koeficientą, į kurį atsižvelgiama "pasipriešinimas" gyventojų skaičiaus augimas santykio forma:

,

tada tokio atvejo lygtis bus įrašyta forma:

(7)

Šios diferencialinės lygties sprendimas turės formą

(8)

kur a - integravimo konstanta, kuri nustato funkcijos padėtį kilmės atžvilgiu, ją galima rasti iš išraiškos (su sąlyga, kad r= konst).

(9)

Išraiška (8) apibūdina vadinamąją logistikos augimo kreivė(2 pav.). Tai antrasis paprasčiausias matematinis populiacijos dinamikos modelis, esant viršutinės skaičiaus ribos ir aplinkos atsparumo skaičiaus augimui sąlyga. Pagal šį modelį populiacijos dydis pirmojestadija auga pakankamai greitai, tačiau tuomet populiacijos augimo tempai sulėtėja irtampa be galo mažas netoli vertėsKAM (logistinė kreivė asimptotiškai artėja prie horizontalės Į).

1. Netiesinių regresijų klasės.

2. Parabolinė priklausomybės forma.

3. Hiperbolinė priklausomybės forma.

4. Eksponentinė priklausomybės forma.

5. Laipsnio priklausomybės forma.

Tarp ekonominių reiškinių egzistuoja netiesiniai ryšiai, kurie išreiškiami netiesinėmis funkcijomis.

Yra dvi netiesinės regresijos klasės:

1. Regresijos, kurios yra netiesinės į analizę įtrauktų aiškinamųjų kintamųjų atžvilgiu, bet tiesinės įvertintų parametrų atžvilgiu. Tokių regresijų pavyzdžiai yra funkcijos:

Įvairių laipsnių polinomai;

Lygiakraščio hiperbolė.

2. Netiesinė regresija pagal apskaičiuotus parametrus apima šias funkcijas:

Laipsnis;

Orientacinė;

Eksponentinis.

Netiesinė įtrauktų kintamųjų regresija, kaip ir tiesinė regresija, apibrėžiama mažiausių kvadratų metodu (OLS), nes šių funkcijų parametrai yra tiesiniai.

1. Parabolinė priklausomybės forma.

Antros eilės parabolės regresijos lygtis yra tokia:

Parabolinės priklausomybės mažiausių kvadratų metodo normaliosios lygtys yra šios:

Išspręsdami šią lygčių sistemą, gauname parametrų reikšmes a, b ir c.

Antrojo laipsnio parabolė ties b > 0 ir su< 0 yra simetriškas maksimalaus taško atžvilgiu, kuris keičia jungties kryptį, ty kilimą iki kritimo. Tokią funkciją galima pastebėti darbo ekonomikoje nagrinėjant fizinį darbą dirbančių darbuotojų darbo užmokesčio priklausomybę nuo amžiaus, didėjant amžiui, atlyginimai didėja dėl kartu didėjančio darbuotojo patirties ir kvalifikacijos. Tačiau nuo tam tikro amžiaus, dėl organizmo senėjimo ir darbo našumo mažėjimo, toliau didėjant amžiui gali mažėti darbuotojo darbo užmokestis.

At b < 0 ir c> 0, antros eilės parabolė yra simetriška funkcijos minimumo atžvilgiu taške, kuris keičia ryšio kryptį, ty mažėja augimui.

2. Hiperbolinė priklausomybės forma.

Hiperbolės regresijos lygtis yra tokia:

Iš mažiausių kvadratų metodo normaliųjų lygčių sistemos hiperbolei:

nustatomos hiperbolinės regresijos lygties koeficientų reikšmės a ir b.

Hiperbolinė priklausomybė gali būti naudojama mikro ir makro lygiu – pavyzdžiui, norint apibūdinti sąryšį tarp specifinio žaliavų, medžiagų, kuro suvartojimo ir produkcijos apimties, prekių apyvartos laiko ir apyvartos vertės. Klasikinis to pavyzdys yra kreivė Phillipsas, charakterizuojantys ryšį tarp nedarbo lygio ir darbo užmokesčio augimo procento.

Apsvarstykite regresiją, kuri yra netiesinė apskaičiuotuose parametruose

3.Eksponentinė priklausomybės forma.

Bendras eksponentinės regresijos lygties vaizdas:

Siekiant supaprastinti imties apdorojimo algoritmą, eksponentinės regresijos lygties linearizacija atliekama imant antrosios iš pateiktų lygčių logaritmą

Pakeitus ln yįjungta z, paaiškėja tiesinė lygtis malonus:

z= a+ bx.

nustatyti regresijos lygties parametrus a ir b. Atlikdami atvirkštinį pakeitimą, gauname gautos funkcijos empirines reikšmes.

4. Galios teisė priklausomybės forma.

Bendras galios regresijos lygties vaizdas:

Paėmus šios lygties logaritmą, ji gaunama tiesine forma:

Parametrų įvertinimai a ir b lygtis galima rasti mažiausiaisiais kvadratais. Normaliųjų lygčių sistema yra tokia:

Parametras b nustatoma iš sistemos ir parametro a- sustiprinant išraišką lna.

Netiesinės koreliacijos sandarumo rodiklis yra koreliacijos indeksas, apskaičiuojamas pagal formulę:

,

kur yra individualios vertybės adresu pagal apribojimo lygtį.

Koreliacijos indeksas yra diapazone: 0 < R < 1 ir ką arčiau vieno, kuo artimesnis nagrinėjamų požymių ryšys, tuo patikimiau randama regresijos lygtis.

Nustatymo indeksas R 2 naudojamas bendrosios netiesinės regresijos lygties statistiniam reikšmingumui patikrinti Fišerio testu.