Formel zur Berechnung der inversen Matrix. Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix mit algebraischen Komplementen: die adjungierte (adjungierte) Matrixmethode

Wir sprechen weiterhin über Aktionen mit Matrizen. Nämlich - im Laufe des Studiums dieser Vorlesung erfahren Sie, wie Sie die inverse Matrix finden. Lernen. Auch wenn Mathe knapp ist.

Was ist eine inverse Matrix? Hier können Sie eine Analogie zu reziproken Zahlen ziehen: Betrachten Sie zum Beispiel die optimistische Zahl 5 und ihre Umkehrung. Das Produkt dieser Zahlen ist gleich eins:. Bei Matrizen ist alles ähnlich! Das Produkt einer Matrix durch ihre inverse Matrix ist - Identitätsmatrix, die das Matrixanalogon einer numerischen Einheit ist. Als erstes werden wir jedoch ein wichtiges praktisches Problem lösen, nämlich lernen, wie man genau diese inverse Matrix findet.

Was müssen Sie wissen und können, um die inverse Matrix zu finden? Du musst dich entscheiden können Determinanten... Sie müssen verstehen, was es ist Matrix und in der Lage sein, einige Aktionen mit ihnen durchzuführen.

Es gibt zwei Hauptmethoden, um die Inverse einer Matrix zu finden:
mit der Hilfe algebraische Komplemente und mit elementaren Transformationen.

Heute werden wir den ersten, einfacheren Weg erkunden.

Beginnen wir mit dem Schrecklichsten und Unverständlichsten. Erwägen Quadrat Matrix. Die inverse Matrix kann durch die folgende Formel gefunden werden:

Wo ist die Determinante der Matrix, ist die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix.

Das Konzept einer inversen Matrix existiert nur für quadratische Matrizen, Matrizen "zwei mal zwei", "drei mal drei" usw.

Bezeichnungen: Wie Sie wahrscheinlich schon bemerkt haben, wird die Inverse der Matrix durch ein hochgestelltes Zeichen angezeigt

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall - einer Zwei-mal-Zwei-Matrix. Meistens ist natürlich "drei mal drei" erforderlich, aber ich empfehle dennoch dringend, eine einfachere Aufgabe zu studieren, um das allgemeine Prinzip der Lösung zu beherrschen.

Beispiel:

Finden Sie die Inverse einer Matrix

Wir entscheiden. Die Abfolge der Aktionen lässt sich bequem in Punkte unterteilen.

1) Bestimme zuerst die Determinante der Matrix.

Wenn Ihr Verständnis dieser Aktion nicht gut genug ist, lesen Sie das Material Wie berechnet man die Determinante?

Wichtig! Für den Fall, dass die Determinante der Matrix NULL- inverse Matrix EXISTIERT NICHT.

Im betrachteten Beispiel, wie sich herausstellte, ist also alles in Ordnung.

2) Finden Sie die Matrix der Minderjährigen.

Um unser Problem zu lösen, ist es nicht notwendig zu wissen, was ein Minderjähriger ist, es ist jedoch ratsam, den Artikel zu lesen So berechnen Sie die Determinante.

Die Matrix der Minderjährigen hat die gleichen Dimensionen wie die Matrix, also in diesem Fall.
Die Sache ist klein, es müssen noch vier Zahlen gefunden und anstelle von Sternchen eingefügt werden.

Zurück zu unserer Matrix
Schauen wir uns zuerst das obere linke Element an:

So finden Sie es unerheblich?
Und das geht so: Streichen Sie NACHDENKLICH die Zeile und Spalte durch, in der sich dieses Element befindet:

Die verbleibende Zahl ist geringfügig von diesem Element, die wir in unsere Minderjährige-Matrix schreiben:

Betrachten Sie das folgende Matrixelement:

Wir streichen gedanklich die Zeile und Spalte durch, in der sich dieses Element befindet:

Was übrig bleibt, ist das Moll dieses Elements, das wir in unsere Matrix schreiben:

Ebenso betrachten wir die Elemente der zweiten Zeile und finden ihre Nebenwerte:


Bereit.

Das ist einfach. In der Minderjährigen-Matrix brauchst du ZEICHEN ÄNDERN zwei Zahlen:

Das sind die Zahlen, die ich eingekreist habe!

- eine Matrix von algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente der Matrix.

Und es ist nur...

4) Finden Sie die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente.

- transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix.

5) Antwort.

Erinnerung an unsere Formel
Alles ist gefunden!

Die Umkehrung der Matrix lautet also:

Die Antwort lässt man am besten so wie sie ist. NICHT NÖTIG dividiere jedes Element der Matrix durch 2, da du Bruchzahlen erhältst. Diese Nuance wird im selben Artikel ausführlicher erörtert. Matrixoperationen.

Wie kann ich die Lösung überprüfen?

Es ist notwendig, eine Matrixmultiplikation durchzuführen oder

Untersuchung:

Das bereits erwähnte Identitätsmatrix Ist eine Matrix mit Einsen Hauptdiagonale und Nullen an anderer Stelle.

Somit ist die Umkehrung richtig.

Wenn Sie eine Aktion ausführen, dann ist das Ergebnis auch die Identitätsmatrix. Dies ist einer der wenigen Fälle, in denen die Matrixmultiplikation permutierbar ist. Weitere Informationen finden Sie im Artikel Eigenschaften von Operationen auf Matrizen. Matrixausdrücke... Beachten Sie auch, dass bei der Prüfung die Konstante (Bruch) vorgezogen und ganz am Ende verarbeitet wird - nach der Matrixmultiplikation. Dies ist eine Standardtechnik.

Kommen wir zu einem in der Praxis häufigeren Fall - der "Drei mal Drei"-Matrix:

Beispiel:

Finden Sie die Inverse einer Matrix

Der Algorithmus ist genau derselbe wie für den Zwei-mal-Zwei-Fall.

Wir finden die inverse Matrix durch die Formel:, wobei die transponierte Matrix der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix ist.

1) Finden Sie die Determinante der Matrix.

Hier wird die Determinante offenbart in der ersten Zeile.

Vergessen Sie das auch nicht, was bedeutet, dass alles in Ordnung ist - inverse Matrix existiert.

2) Finden Sie die Matrix der Minderjährigen.

Minors-Matrix hat eine Dimension "drei mal drei" und wir müssen neun Zahlen finden.

Ich gehe auf ein paar kleine Details im Detail ein:

Betrachten Sie das folgende Matrixelement:

DABEI streichen Sie die Zeile und Spalte, in der sich dieses Element befindet, durch:

Die restlichen vier Zahlen werden in die Determinante "zwei mal zwei" geschrieben.

Dieser Qualifier ist "zwei mal zwei" und ist das Minor dieses Elements... Es muss berechnet werden:


Das war's, das Minor ist gefunden, wir schreiben es in unsere Minor-Matrix:

Wie Sie vielleicht erraten haben, müssen neun zwei-mal-zwei-Determinanten berechnet werden. Der Prozess ist natürlich langweilig, aber der Fall ist nicht der schwierigste, er kann schlimmer sein.

Nun, um es zu konsolidieren - auf den Bildern einen weiteren Minderjährigen zu finden:

Versuchen Sie, den Rest der Minderjährigen selbst zu berechnen.

Endergebnis:
- die Matrix der Minderjährigen der entsprechenden Elemente der Matrix.

Dass alle Minderjährigen negativ ausfielen, ist reiner Zufall.

3) Finden Sie die Matrix der algebraischen Komplemente.

In der Matrix der Minderjährigen ist es notwendig ZEICHEN ÄNDERN ausschließlich für folgende Elemente:

In diesem Fall:

Das Auffinden der inversen Matrix für die „vier mal vier“-Matrix wird nicht berücksichtigt, da eine solche Aufgabe nur von einem sadistischen Lehrer gegeben werden kann (so dass der Schüler eine Determinante „vier mal vier“ und 16 Determinanten „drei mal drei“ berechnet “). In meiner Praxis habe ich nur einen solchen Fall kennengelernt, und der Kunde des Tests hat meine Qualen recht teuer bezahlt =).

In einer Reihe von Lehrbüchern und Handbüchern finden Sie einen etwas anderen Ansatz zum Ermitteln der inversen Matrix, jedoch empfehle ich die Verwendung des obigen Lösungsalgorithmus. Wieso den? Denn die Wahrscheinlichkeit, bei Berechnungen und Zeichen verwirrt zu werden, ist viel geringer.

Methoden zum Finden der inversen Matrix,. Betrachten Sie eine quadratische Matrix

Wir setzen Δ = det A.

Die quadratische Matrix A heißt nicht entartet, oder nicht speziell wenn seine Determinante ungleich Null ist, und degenerieren oder Besondere, wennΔ = 0.

Eine quadratische Matrix B existiert für eine quadratische Matrix A derselben Ordnung, wenn ihr Produkt A B = B A = E ist, wobei E die Identitätsmatrix derselben Ordnung wie die Matrizen A und B ist.

Satz . Damit die Matrix A eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Determinante ungleich Null ist.

Die inverse Matrix der Matrix A, bezeichnet mit A- 1, so dass B = A - 1 und berechnet sich nach der Formel

, (1)

wobei А i j die algebraischen Komplemente der Elemente a i j der Matrix A .. sind.

Die Berechnung von A -1 gemäß Formel (1) für Matrizen höherer Ordnung ist sehr mühsam, daher ist es in der Praxis praktisch, A -1 mit der Methode der elementaren Transformationen (EP) zu finden. Jede nicht singuläre Matrix A kann durch EP von nur Spalten (oder nur Zeilen) auf die Identitätsmatrix E reduziert werden. Es ist praktisch, EP gleichzeitig über die Matrizen A und E auszuführen, indem beide Matrizen nebeneinander durch eine Linie geschrieben werden. Beachten Sie noch einmal, dass Sie beim Finden der kanonischen Form einer Matrix zum Zwecke der Suche Transformationen von Zeilen und Spalten verwenden können. Wenn Sie die Inverse einer Matrix finden müssen, sollten im Transformationsprozess nur Zeilen oder nur Spalten verwendet werden.

Beispiel 2.10... Für Matrix finde A -1.

Lösung.Wir finden zunächst die Determinante der Matrix A
Daher existiert die inverse Matrix und wir können sie durch die Formel finden: , wobei A i j (i, j = 1,2,3) die algebraischen Komplemente der Elemente a i j der ursprünglichen Matrix sind.

Woher .

Beispiel 2.11... Finden Sie mit der Methode der elementaren Transformationen A -1 für die Matrix: A =.

Lösung.Wir weisen der Originalmatrix rechts die Identitätsmatrix gleicher Ordnung zu: ... Mit Hilfe elementarer Spaltentransformationen bringen wir die linke „Hälfte“ auf die Einheit Eins und führen gleichzeitig exakt die gleichen Transformationen über die rechte Matrix durch.
Vertauschen wir dazu die erste und die zweite Spalte: ~ ... Addiere die erste zur dritten Spalte und die erste multipliziert mit -2 zur zweiten: ... Von der ersten Spalte subtrahieren wir die zweite verdoppelt und von der dritten - die zweite mit 6 multipliziert; ... Fügen wir die dritte Spalte zur ersten und zweiten hinzu: ... Lassen Sie uns die letzte Spalte mit -1 multiplizieren: ... Die quadratische Matrix rechts vom vertikalen Balken ist die Umkehrung der gegebenen Matrix A. Also,
.

Es gebe eine quadratische Matrix n-ter Ordnung

Die Matrix A -1 heißt inverse Matrix bezüglich der Matrix A, falls A * A -1 = E, wobei E die Einheitsmatrix n-ter Ordnung ist.

Einheitenmatrix- eine solche quadratische Matrix, in der alle Elemente entlang der Hauptdiagonale von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke Einsen und der Rest Nullen sind, zum Beispiel:

inverse Matrix kann existieren nur für quadratische Matrizen jene. für die Matrizen mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten.

Der Satz über die Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix

Damit eine Matrix eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass sie nicht entartet ist.

Die Matrix A = (A1, A2, ... A n) heißt nicht entartet wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren einer Matrix wird als Rang der Matrix bezeichnet. Daher können wir sagen, dass es für die Existenz einer inversen Matrix notwendig und ausreichend ist, dass der Rang der Matrix gleich ihrer Dimension ist, d.h. r = n.

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix

1. Schreiben Sie Matrix A in die Tabelle zur Lösung von Gleichungssystemen nach der Gauß-Methode und ordnen Sie rechts (anstelle der rechten Seite der Gleichungen) Matrix E zu.
2. Reduzieren Sie mit der Jordan-Transformation die Matrix A auf eine Matrix, die aus Einheitsspalten besteht; in diesem Fall ist es notwendig, gleichzeitig die Matrix E zu transformieren.
3. Ordnen Sie gegebenenfalls die Zeilen (Gleichungen) der letzten Tabelle so um, dass wir unter der Matrix A der ursprünglichen Tabelle die Einheitsmatrix E erhalten.
4. Schreiben Sie die inverse Matrix A -1 auf, die in der letzten Tabelle unter der Matrix E der ursprünglichen Tabelle steht.

Beispiel 1

Finden Sie für Matrix A die inverse Matrix A -1

Lösung: Wir schreiben die Matrix A auf und ordnen rechts die Identitätsmatrix E zu. Mit den Jordan-Transformationen reduzieren wir die Matrix A auf die Identitätsmatrix E. Die Berechnungen sind in Tabelle 31.1 dargestellt.

Lassen Sie uns die Richtigkeit der Berechnungen überprüfen, indem wir die ursprüngliche Matrix A und die inverse Matrix A -1 multiplizieren.

Als Ergebnis der Matrixmultiplikation wird die Einheitsmatrix erhalten. Daher sind die Berechnungen korrekt.

Antworten:

Lösen von Matrixgleichungen

Matrixgleichungen können die Form haben:

AX = B, XA = B, AXB = C,

wobei A, B, C die angegebenen Matrizen sind, X die erforderliche Matrix.

Matrixgleichungen werden gelöst, indem die Gleichung mit ihren inversen Matrizen multipliziert wird.

Um beispielsweise eine Matrix aus einer Gleichung zu finden, multiplizieren Sie diese Gleichung mit der linken.

Um eine Lösung der Gleichung zu finden, müssen Sie daher die inverse Matrix finden und mit der Matrix auf der rechten Seite der Gleichung multiplizieren.

Andere Gleichungen werden ähnlich gelöst.

Beispiel 2

Löse die Gleichung AX = B falls

Lösung: Da die Inverse der Matrix ist (siehe Beispiel 1)

Matrixmethode in der Wirtschaftsanalyse

Neben anderen finden sie auch Anwendung in Matrixmethoden... Diese Verfahren basieren auf Linear- und Vektor-Matrix-Algebra. Solche Methoden werden verwendet, um komplexe und mehrdimensionale ökonomische Phänomene zu analysieren. Am häufigsten werden diese Methoden verwendet, wenn eine vergleichende Bewertung der Funktionsweise von Organisationen und ihrer Struktureinheiten erforderlich ist.

Bei der Anwendung von Matrixanalysemethoden können mehrere Stufen unterschieden werden.

In der ersten Phase ein System von Wirtschaftsindikatoren wird gebildet und auf seiner Grundlage eine Matrix von Ausgangsdaten erstellt, die eine Tabelle ist, in der die Systemnummern in separaten Zeilen aufgeführt sind (i = 1,2, ...., n), und entlang der vertikalen Spalten - die Anzahl der Indikatoren (j = 1,2, ...., m).

In der zweiten Stufe Für jede vertikale Spalte wird der größte der verfügbaren Werte von Indikatoren angezeigt, der als Einheit verwendet wird.

Danach werden alle in dieser Spalte angegebenen Beträge durch den größten Wert geteilt und eine Matrix standardisierter Koeffizienten gebildet.

In der dritten Stufe alle Bestandteile der Matrix werden quadriert. Wenn sie unterschiedliche Bedeutung haben, wird jedem Indikator der Matrix ein bestimmter Gewichtungsfaktor zugewiesen k... Der Wert der letzteren wird durch Expertenurteil bestimmt.

Beim letzten, vierte Stufe gefundene Werte von Bewertungen R j werden nach steigender oder fallender Reihenfolge gruppiert.

Die skizzierten Matrixmethoden sollten beispielsweise bei der vergleichenden Analyse verschiedener Investitionsprojekte sowie bei der Bewertung anderer wirtschaftlicher Indikatoren der Aktivitäten von Organisationen verwendet werden.

Betrachten Sie das Problem der Definition der Operation invers zur Matrixmultiplikation.

Sei A eine quadratische Matrix der Ordnung n. Die Matrix A ^ (- 1), die zusammen mit der gegebenen Matrix A die Gleichungen erfüllt:

A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E,

namens umkehren... Die Matrix A heißt reversibel wenn es eine Umkehrung dafür gibt, sonst - irreversibel.

Aus der Definition folgt, dass wenn die inverse Matrix A ^ (- 1) existiert, sie ein Quadrat von der gleichen Ordnung wie A ist. Die Umkehrung existiert jedoch nicht für jede quadratische Matrix. Ist die Determinante der Matrix A gleich Null (\ det (A) = 0), dann gibt es dafür keine Inverse. In der Tat erhalten wir mit dem Satz über die Determinante des Produkts von Matrizen für die Identitätsmatrix E = A ^ (- 1) A einen Widerspruch

\ det (E) = \ det (A ^ (- 1) \ cdot A) = \ det (A ^ (- 1)) \ det (A) = \ det (A ^ (- 1)) \ cdot0 = 0

da die Determinante der Identitätsmatrix 1 ist. Es stellt sich heraus, dass die Differenz der Determinante einer quadratischen Matrix von Null die einzige Bedingung für die Existenz einer inversen Matrix ist. Denken Sie daran, dass eine quadratische Matrix, deren Determinante gleich Null ist, als entartet (singulär) bezeichnet wird, andernfalls ist sie nicht entartet (nicht singulär).

Satz 4.1 über die Existenz und Eindeutigkeit der inversen Matrix. Quadratische Matrix A = \ begin (pmatrix) a_ (11) & \ cdots & a_ (1n) \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ (n1) & \ cdots & a_ (nn) \ end (pmatrix), deren Determinante ungleich Null ist, hat eine inverse Matrix und außerdem nur eine:

A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \! \ begin (pmatrix) A_ (11) & A_ (21) & \ cdots & A_ (1n) \\ A_ (12) & A_ (22) & \ cdots & A_ (n2) \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ (1n ) & A_ (2n) & \ cdots & A_ (nn) \ end (pmatrix) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+),

wobei A ^ (+) die transponierte Matrix für die Matrix ist, die sich aus den algebraischen Komplementen der Elemente der Matrix A zusammensetzt.

Die Matrix A ^ (+) heißt angehängte Matrix bezüglich Matrix A.

Tatsächlich ist die Matrix \ frac (1) (\ det (A)) \, A ^ (+) existiert unter der Bedingung \ det (A) \ ne0. Es muss gezeigt werden, dass es invers zu A ist, d.h. erfüllt zwei Bedingungen:

\ begin (ausgerichtet) \ mathsf (1)) & ~ A \ cdot \! \ left (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) = E; \ \ mathsf (2)) & ~ \! \ Left (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) \! \ Cdot A = E. \ End (bündig)

Beweisen wir die erste Gleichheit. Nach Abschnitt 4 der Bemerkungen 2.3 folgt aus den Eigenschaften der Determinante, dass AA ^ (+) = \ det (A) \ cdot E... Deshalb

A \ cdot \! \ Left (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot AA ^ (+) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \ det (A) \ cdot E = E,

was gezeigt werden musste. Die zweite Gleichheit wird analog bewiesen. Daher hat die Matrix A unter der Bedingung \ det (A) \ ne0 die Inverse

A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+).

Beweisen wir die Eindeutigkeit der inversen Matrix durch Widerspruch. Es gebe neben der Matrix A ^ (- 1) eine weitere inverse Matrix B \, (B \ ne A ^ (- 1)) mit AB = E. Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichheit auf der linken Seite mit der Matrix A ^ (- 1), erhalten wir \ Unterspanne (A ^ (- 1) AB) _ (E) = A ^ (- 1) E... Daher B = A ^ (- 1), was der Annahme B \ ne A ^ (- 1) widerspricht. Daher ist die inverse Matrix eindeutig.

Hinweise 4.1

1. Aus der Definition folgt, dass die Matrizen A und A ^ (- 1) kommutieren.

2. Die inverse Matrix einer nicht entarteten Diagonale ist auch diagonal:

\ Bigl [\ Operatorname (diag) (a_ (11), a_ (22), \ ldots, a_ (nn)) \ Bigr] ^ (- 1) = \ Operatorname (diag) \! \ Left (\ frac (1 ) (a_ (11)), \, \ frac (1) (a_ (22)), \, \ ldots, \, \ frac (1) (a_ (nn)) \ right) \ !.

3. Die Umkehrung der nicht entarteten unteren (oberen) Dreiecksmatrix ist die untere (obere) Dreiecksmatrix.

4. Elementarmatrizen haben Inverse, die ebenfalls elementar sind (siehe Punkt 1 der Anmerkungen 1.11).

Eigenschaften der inversen Matrix

Die Matrixinversionsoperation hat die folgenden Eigenschaften:

\ begin (ausgerichtet) \ fett (1.) & ~~ (A ^ (- 1)) ^ (- 1) = A \,; \\ \ fett (2.) & ~~ (AB) ^ (- 1 ) = B ^ (- 1) A ^ (- 1) \,;\ \ fett (3.) & ~~ (A ^ T) ^ (- 1) = (A ^ (- 1)) ^ T \ ,;\\ \ fett (4.) & ~~ \ det (A ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ det (A)) \,; \\ \ fett (5.) & ~~ E^(-1) = E\,. \ Ende (ausgerichtet)

wenn die in den Gleichungen 1-4 angegebenen Operationen sinnvoll sind.

Beweisen wir Eigenschaft 2: wenn das Produkt AB nicht entarteter quadratischer Matrizen gleicher Ordnung eine Inverse hat, dann (AB) ^ (- 1) = B ^ (- 1) A ^ (- 1).

Tatsächlich ist die Determinante des Produkts der Matrizen AB nicht gleich Null, da

\ det (A \ cdot B) = \ det (A) \ cdot \ det (B), wo \ det (A) \ ne0, ~ \ det (B) \ ne0

Daher existiert die inverse Matrix (AB) ^ (- 1) und ist eindeutig. Zeigen wir per Definition, dass die Matrix B ^ (- 1) A ^ (- 1) invers zur Matrix AB ist. Wirklich.

Um die Inverse einer Matrix online zu finden, müssen Sie die Größe der Matrix selbst angeben. Klicken Sie dazu auf die Symbole "+" oder "-", bis der Wert der Spalten- und Zeilenanzahl zu Ihnen passt. Geben Sie als Nächstes die erforderlichen Elemente in die Felder ein. Darunter befindet sich der Button "Berechnen" - durch Drücken erhalten Sie eine Antwort auf dem Bildschirm mit einer detaillierten Lösung.

In der linearen Algebra ist es durchaus üblich, sich mit der Berechnung der inversen Matrix zu befassen. Sie existiert nur für nicht-ausgedrückte Matrizen und für quadratische Matrizen unter der Bedingung einer Determinante ungleich null. Im Prinzip ist die Berechnung nicht besonders schwierig, insbesondere wenn es sich um eine kleine Matrix handelt. Wenn Sie jedoch komplexere Berechnungen benötigen oder Ihre Entscheidung gründlich überprüfen möchten, verwenden Sie besser diesen Online-Rechner. Es hilft Ihnen, die inverse Matrix schnell und mit hoher Genauigkeit zu lösen.

Mit Hilfe dieses Online-Rechners können Sie Ihre Rechenaufgabe erheblich erleichtern. Außerdem hilft es, den theoretisch gewonnenen Stoff zu festigen – das ist eine Art Trainer für das Gehirn. Sie sollten es nicht als Ersatz für manuelle Berechnungen betrachten, es kann Ihnen viel mehr geben und das Verständnis des Algorithmus selbst erleichtern. Außerdem schadet es nie, sich selbst zu überprüfen.