Dieser Artikel zeigt die Ableitung der Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechteckigen Koordinatensystem verläuft, das sich auf einer Ebene befindet. Wir leiten die Gleichung einer Geraden her, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem verläuft. Wir werden mehrere Beispiele im Zusammenhang mit dem behandelten Material visuell zeigen und lösen.

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Bevor Sie die Gleichung einer geraden Linie erhalten, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen Sie einige Tatsachen beachten. Es gibt ein Axiom, das besagt, dass es möglich ist, durch zwei nicht zusammenfallende Punkte auf einer Ebene eine gerade Linie zu zeichnen und nur eine. Mit anderen Worten, zwei gegebene Punkte der Ebene werden durch eine gerade Linie bestimmt, die durch diese Punkte verläuft.

Wenn die Ebene durch das rechteckige Koordinatensystem Oxy gegeben ist, entspricht jede darin dargestellte gerade Linie der Gleichung der geraden Linie in der Ebene. Es besteht auch ein Zusammenhang mit dem Richtungsvektor der Geraden, diese Daten reichen aus, um die Gleichung einer Geraden aufzustellen, die durch zwei gegebene Punkte geht.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Lösung eines ähnlichen Problems. Es ist notwendig, die Gleichung einer geraden Linie a zu formulieren, die durch zwei nicht übereinstimmende Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, die sich im kartesischen Koordinatensystem befinden.

In der kanonischen Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene mit der Form x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay wird ein rechteckiges Koordinatensystem O xy mit einer geraden Linie angegeben, die es an einem Punkt mit den Koordinaten M schneidet 1 (x 1, y 1) mit einem Leitvektor a → = (ax , ay) .

Es ist notwendig, die kanonische Gleichung der geraden Linie a zu erstellen, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft .

Die Gerade a hat einen Richtungsvektor M 1 M 2 → mit Koordinaten (x 2 - x 1, y 2 - y 1), da sie die Punkte M 1 und M 2 schneidet. Wir haben die notwendigen Daten erhalten, um die kanonische Gleichung mit den Koordinaten des Richtungsvektors M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) und den Koordinaten der darauf liegenden Punkte M 1 umzuwandeln (x 1, y 1) und M 2 (x 2 , y 2) . Wir erhalten eine Gleichung der Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Nach den Berechnungen schreiben wir die parametrischen Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ oder x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Schauen wir uns einige Beispiele genauer an.

Beispiel 1

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch 2 gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 geht.

Lösung

Die kanonische Gleichung für eine gerade Linie, die sich in zwei Punkten mit den Koordinaten x 1 , y 1 und x 2 , y 2 schneidet, hat die Form x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 . Entsprechend der Bedingung des Problems haben wir das x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Es ist notwendig, numerische Werte in der Gleichung x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 zu ersetzen. Daraus ergibt sich, dass die kanonische Gleichung die Form x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 annehmen wird.

Antwort: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Wenn es notwendig ist, ein Problem mit einer anderen Art von Gleichung zu lösen, können Sie zunächst zur kanonischen gehen, da es einfacher ist, von ihr zu einer anderen zu gelangen.

Beispiel 2

Stellen Sie die allgemeine Gleichung einer geraden Linie auf, die durch Punkte mit den Koordinaten M 1 (1, 1) und M 2 (4, 2) im O x y-Koordinatensystem verläuft.

Lösung

Zuerst müssen Sie die kanonische Gleichung einer gegebenen Linie aufschreiben, die durch die gegebenen zwei Punkte verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Wir bringen die kanonische Gleichung auf die gewünschte Form, dann erhalten wir:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Antworten: x - 3 y + 2 = 0 .

Beispiele für solche Aufgaben wurden in Schulbüchern im Algebraunterricht berücksichtigt. Die Schulaufgaben unterschieden sich darin, dass die Gleichung einer geraden Linie mit einem Steigungskoeffizienten in der Form y \u003d k x + b bekannt war. Wenn Sie den Wert der Steigung k und die Zahl b finden müssen, bei der die Gleichung y \u003d kx + b eine Linie im O xy-System definiert, die durch die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M verläuft 2 (x 2, y 2) , wobei x 1 ≠ x 2 . Wenn x 1 = x 2 , dann nimmt die Steigung den Wert unendlich an, und die Gerade M 1 M 2 wird durch eine allgemeine unvollständige Gleichung der Form x - x 1 = 0 definiert .

Weil die Punkte M 1 und M 2 auf einer Geraden liegen, dann erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung y 1 = k x 1 + b und y 2 = k x 2 + b. Es ist notwendig, das Gleichungssystem y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b bezüglich k und b zu lösen.

Dazu finden wir k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Mit solchen Werten von k und b nimmt die Gleichung einer geraden Linie, die durch die gegebenen zwei Punkte verläuft, die folgende Form an y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Das Auswendiglernen einer so großen Anzahl von Formeln auf einmal wird nicht funktionieren. Dazu ist es notwendig, die Anzahl der Wiederholungen beim Lösen von Problemen zu erhöhen.

Beispiel 3

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung, die durch Punkte mit den Koordinaten M 2 (2, 1) und y = k x + b verläuft.

Lösung

Um das Problem zu lösen, verwenden wir eine Formel mit einer Steigung der Form y \u003d k x + b. Die Koeffizienten k und b müssen einen solchen Wert annehmen, dass diese Gleichung einer geraden Linie entspricht, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (–7, –5) und M 2 (2, 1) geht.

Punkte M 1 und M 2 auf einer geraden Linie befinden, dann sollten ihre Koordinaten die Gleichung y = k x + b umkehren die richtige Gleichheit. Daraus ergibt sich - 5 = k · (- 7) + b und 1 = k · 2 + b. Lassen Sie uns die Gleichung in das System - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b kombinieren und lösen.

Bei Substitution bekommen wir das

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nun werden die Werte k = 2 3 und b = - 1 3 in die Gleichung y = k x + b eingesetzt. Wir erhalten, dass die gewünschte Gleichung, die durch die gegebenen Punkte geht, eine Gleichung sein wird, die die Form y = 2 3 x - 1 3 hat.

Diese Art der Lösung bedingt einen großen Zeitaufwand. Es gibt eine Möglichkeit, die Aufgabe buchstäblich in zwei Schritten zu lösen.

Wir schreiben die kanonische Gleichung einer geraden Linie, die durch M 2 (2, 1) und M 1 (- 7, - 5) verläuft und die Form x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) hat ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Kommen wir nun zur Steigungsgleichung. Wir erhalten das: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Antwort: y = 2 3 x - 1 3 .

Wenn es im dreidimensionalen Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem O xyz mit zwei gegebenen nicht zusammenfallenden Punkten mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) gibt, so ist das gerade Linie M, die durch sie verläuft 1 M 2 , ist es notwendig, die Gleichung dieser Linie zu erhalten.

Wir haben kanonische Gleichungen der Form x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az und parametrische Gleichungen der Form x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ können im Koordinatensystem O x y z eine Linie durch Punkte mit den Koordinaten (x 1, y 1, z 1) mit einem Richtungsvektor a → = (ax, ay, az) setzen.

Gerade M 1 M 2 hat einen Richtungsvektor der Form M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , wobei die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2), daher kann die kanonische Gleichung die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z haben 2 - z 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1 wiederum parametrisch x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Stellen Sie sich eine Figur vor, die 2 gegebene Punkte im Raum und die Gleichung einer geraden Linie zeigt.

Beispiel 4

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem O xyz des dreidimensionalen Raums definiert ist und durch die gegebenen zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (2, - 3, 0) und M 2 (1, - 3, - 5) verläuft ) .

Lösung

Wir müssen die kanonische Gleichung finden. Da wir über den dreidimensionalen Raum sprechen, bedeutet dies, dass, wenn eine gerade Linie durch gegebene Punkte geht, die gewünschte kanonische Gleichung die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = annimmt z - z 1 z 2 - z 1 .

Als Bedingung haben wir, dass x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Daraus folgt, dass die notwendigen Gleichungen wie folgt geschrieben werden können:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Antwort: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Definition. Jede Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ah + Wu + C = 0,

und die Konstanten A, B sind gleichzeitig ungleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung wird aufgerufen die allgemeine Geradengleichung. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - die Linie verläuft durch den Ursprung

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - die Linie verläuft parallel zur Ox-Achse

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - die Linie ist parallel zur Oy-Achse

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - die gerade Linie fällt mit der Oy-Achse zusammen

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - die gerade Linie fällt mit der Ox-Achse zusammen

Die Geradengleichung kann je nach gegebenen Anfangsbedingungen in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Normalenvektor

Definition. In einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem steht ein Vektor mit den Komponenten (A, B) senkrecht auf der Linie, die durch die Gleichung Ax + By + C = 0 gegeben ist.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt A (1, 2) senkrecht zu (3, -1) verläuft.

Lösung. Bei A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung einer geraden Linie auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden, setzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein. Wir erhalten: 3 - 2 + C = 0, also C = -1 . Gesamt: die gewünschte Gleichung: 3x - y - 1 \u003d 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht

Seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch diese Punkte verläuft:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden.In der Ebene wird die oben geschriebene Geradengleichung vereinfacht:

wenn x 1 ≠ x 2 und x = x 1 wenn x 1 = x 2.

Bruch = k wird aufgerufen Neigungsfaktor gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenden wir die obige Formel an, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einer Steigung

Wenn die Summe Ax + Wu + C = 0 zu der Form führt:

und benennen , dann wird die resultierende Gleichung aufgerufen Gleichung einer Geraden mit einer Steigungk.

Gleichung einer Geraden mit einem Punkt- und Richtungsvektor

Analog zum Absatz über die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor können Sie die Zuordnung einer Geraden durch einen Punkt und eines Richtungsvektors einer Geraden eingeben.

Definition. Jeder Nicht-Null-Vektor (&agr; 1, &agr; 2), dessen Komponenten die Bedingung A &agr; 1 + B &agr; 2 = 0 erfüllen, wird als Richtungsvektor der Linie bezeichnet

Ah + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie mit dem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen die Gleichung der gesuchten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Gemäß der Definition müssen die Koeffizienten die Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0. für x = 1, y = 2 erhalten wir C / A = -3, d.h. Gewünschte Gleichung:

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ah + Wu + C = 0 C≠0, dann erhalten wir durch Division durch –C: oder

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient ein ist die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der x-Achse, und B- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Gegeben sei die allgemeine Gleichung der Linie x - y + 1 = 0. Finde die Gleichung dieser Linie in den Segmenten.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalgleichung einer Geraden

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Vy + C = 0 mit der Zahl multipliziert werden , welches heisst normalisierender Faktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

Normalgleichung einer Geraden. Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Beispiel. Angesichts der allgemeinen Gleichung der Linie 12x - 5y - 65 = 0. Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen für diese Linie zu schreiben.

die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (dividiere durch 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Dabei ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Streckengleichung darstellbar ist, beispielsweise Geraden parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung gehend.

Beispiel. Die Gerade schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, wenn die Fläche des von diesen Segmenten gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Lösung. Die Geradengleichung hat die Form: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt A (-2, -3) und den Ursprung verläuft.

Lösung. Die Geradengleichung hat die Form: , wobei x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Winkel zwischen Linien in einer Ebene

Definition. Wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dann wird der spitze Winkel zwischen diesen Linien definiert als

.

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2 . Zwei Geraden sind senkrecht, wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz. Die geraden Linien Ax + Vy + C \u003d 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB proportional sind. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Geraden zusammen. Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft

Definition. Die Linie, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y \u003d kx + b verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand von Punkt zu Linie

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, ist der Abstand zur Linie Ax + Vy + C \u003d 0 definiert als

.

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M auf die gegebene Linie fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Die Koordinaten x 1 und y 1 finden sich als Lösung des Gleichungssystems:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen geraden Linie verläuft. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = π /4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Lösung. Wir finden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, daher sind die Linien senkrecht.

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sind gegeben. Finden Sie die Gleichung für die vom Scheitelpunkt C gezogene Höhe.

Lösung. Wir finden die Gleichung der Seite AB: ; 4x = 6y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Die gesuchte Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b. k = . Dann ist y = . Denn die Höhe durch den Punkt C geht, dann erfüllen ihre Koordinaten diese Gleichung: womit b = 17. Gesamt: .

Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.

In diesem Artikel betrachten wir die allgemeine Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene. Lassen Sie uns Beispiele für die Konstruktion der allgemeinen Gleichung einer Geraden geben, wenn zwei Punkte dieser Geraden bekannt sind oder wenn ein Punkt und der Normalenvektor dieser Geraden bekannt sind. Lassen Sie uns Methoden zur Transformation einer Gleichung in allgemeiner Form in kanonische und parametrische Formen vorstellen.

Gegeben sei ein beliebiges kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy. Betrachten Sie eine Gleichung ersten Grades oder eine lineare Gleichung:

Axt+Durch+C=0,

(1)

wo A, B, C sind einige Konstanten und mindestens eines der Elemente EIN und B von Null verschieden.

Wir werden zeigen, dass eine lineare Gleichung in der Ebene eine Gerade definiert. Beweisen wir den folgenden Satz.

Satz 1. In einem beliebigen kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene kann jede gerade Linie durch eine lineare Gleichung gegeben werden. Umgekehrt definiert jede lineare Gleichung (1) in einem beliebigen kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem in der Ebene eine gerade Linie.

Nachweisen. Es genügt zu beweisen, dass die Linie L durch eine lineare Gleichung für ein beliebiges kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem bestimmt wird, da es dann durch eine lineare Gleichung und für jede Wahl eines kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems bestimmt wird.

In der Ebene sei eine gerade Linie gegeben L. Wir wählen ein Koordinatensystem so, dass die Achse Ochse an der Linie ausgerichtet L, und die Achse Ey stand senkrecht dazu. Dann die Geradengleichung L wird folgende Form annehmen:

y=0.

(2)

Alle Punkte auf einer Linie L wird die lineare Gleichung (2) erfüllen, und alle Punkte außerhalb dieser geraden Linie werden die Gleichung (2) nicht erfüllen. Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.

Gegeben sei ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem und sei lineare Gleichung (1) gegeben, wobei mindestens eines der Elemente EIN und B von Null verschieden. Finden Sie den Ort der Punkte, deren Koordinaten die Gleichung (1) erfüllen. Da mindestens einer der Koeffizienten EIN und B von Null verschieden ist, dann hat Gleichung (1) mindestens eine Lösung m(x 0 ,j 0). (Zum Beispiel wann EIN≠0, Punkt m 0 (−C/A, 0) gehört zum gegebenen Ort der Punkte). Durch Einsetzen dieser Koordinaten in (1) erhalten wir die Identität

Axt 0 +Durch 0 +C=0.

(3)

Subtrahieren wir Identität (3) von (1):

EIN(x−x 0)+B(j−j 0)=0.

(4)

Offensichtlich ist Gleichung (4) äquivalent zu Gleichung (1). Daher genügt es zu beweisen, dass (4) eine Gerade definiert.

Da wir ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem betrachten, folgt aus Gleichung (4), dass der Vektor mit Komponenten ( x-x 0 , y−y 0 ) ist orthogonal zum Vektor n mit Koordinaten ( A,B}.

Betrachten Sie eine Linie L durch den Punkt gehen m 0 (x 0 , j 0) und senkrecht zum Vektor n(Abb.1). Lassen Sie den Punkt m(x,y) gehört zur Zeile L. Dann der Vektor mit Koordinaten x-x 0 , y−y 0 senkrecht n und Gleichung (4) erfüllt ist (Skalarprodukt von Vektoren n und gleich Null). Umgekehrt, wenn der Punkt m(x,y) liegt nicht auf einer Linie L, dann der Vektor mit Koordinaten x-x 0 , y−y 0 ist nicht orthogonal zum Vektor n und Gleichung (4) ist nicht erfüllt. Der Satz ist bewiesen.

Nachweisen. Da die Linien (5) und (6) dieselbe Linie definieren, sind die Normalenvektoren n 1 ={EIN 1 ,B 1) und n 2 ={EIN 2 ,B 2) sind kollinear. Da die Vektoren n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, dann gibt es eine Zahl λ , was n 2 =n 1 λ . Daher haben wir: EIN 2 =EIN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Lassen Sie uns das beweisen C 2 =C 1 λ . Es ist offensichtlich, dass zusammenfallende Linien einen gemeinsamen Punkt haben m 0 (x 0 , j 0). Multiplizieren von Gleichung (5) mit λ und Subtrahieren von Gleichung (6) davon erhalten wir:

Da die ersten beiden Gleichheiten aus den Ausdrücken (7) erfüllt sind, dann C 1 λ −C 2=0. Jene. C 2 =C 1 λ . Die Bemerkung ist bewiesen.

Beachten Sie, dass Gleichung (4) die Gleichung einer geraden Linie definiert, die durch den Punkt verläuft m 0 (x 0 , j 0) und mit einem Normalenvektor n={A,B). Wenn daher der Normalenvektor der Linie und der zu dieser Linie gehörende Punkt bekannt sind, kann die allgemeine Gleichung der Linie unter Verwendung von Gleichung (4) konstruiert werden.

Beispiel 1. Eine Gerade geht durch einen Punkt m=(4,−1) und hat einen Normalenvektor n=(3, 5). Stelle die allgemeine Geradengleichung auf.

Lösung. Wir haben: x 0 =4, j 0 =−1, EIN=3, B=5. Um die allgemeine Gleichung einer geraden Linie zu konstruieren, setzen wir diese Werte in Gleichung (4) ein:

Antworten:

Vektor parallel zur Linie L und steht somit senkrecht auf dem Normalenvektor der Geraden L. Lassen Sie uns einen normalen Linienvektor konstruieren L, da das Skalarprodukt von Vektoren n und gleich Null ist. Wir können z.B. schreiben n={1,−3}.

Um die allgemeine Geradengleichung aufzustellen, verwenden wir Formel (4). Lassen Sie uns in (4) die Koordinaten des Punktes einsetzen m 1 (wir können auch die Koordinaten des Punktes nehmen m 2) und dem Normalenvektor n:

Ersetzen von Punktkoordinaten m 1 und m 2 in (9) können wir sicherstellen, dass die durch Gleichung (9) gegebene Gerade durch diese Punkte geht.

Antworten:

Subtrahiere (10) von (1):

Wir haben die kanonische Gleichung einer Geraden erhalten. Vektor Q={−B, EIN) ist der Richtungsvektor der Geraden (12).

Siehe Rücktransformation.

Beispiel 3. Eine gerade Linie in einer Ebene wird durch die folgende allgemeine Gleichung dargestellt:

Bewege den zweiten Term nach rechts und dividiere beide Seiten der Gleichung durch 2 5.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht. Im Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, den zweiten Weg zur Lösung der vorgestellten Probleme zum Finden der Ableitung mit einem gegebenen Funktionsgraphen und einer Tangente an diesen Graphen zu analysieren. Wir werden diese Methode in untersuchen , nicht verpassen! Warum nächste?

Tatsache ist, dass dort die Formel der Gleichung einer geraden Linie verwendet wird. Natürlich könnte man diese Formel einfach zeigen und dir raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären, woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Es ist notwendig! Wenn Sie es vergessen haben, stellen Sie es schnell wieder herwird nicht schwierig sein. Alles ist unten detailliert. Wir haben also zwei Punkte A auf der Koordinatenebene(x 1; y 1) und B (x 2; y 2) wird eine gerade Linie durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die direkte Formel:

*Das heißt, wenn wir die spezifischen Koordinaten der Punkte ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y=kx+b.

** Wenn diese Formel einfach „auswendig gelernt“ wird, dann besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass man sie mit Indizes verwechselt x. Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun die Herleitung dieser Formel. Alles ist sehr einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF sind ähnlich in Bezug auf einen spitzen Winkel (das erste Zeichen für die Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken). Daraus folgt, dass die Verhältnisse der entsprechenden Elemente gleich sind, das heißt:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich wird es keinen Fehler geben, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (die Hauptsache ist, die Korrespondenz beizubehalten):

Das Ergebnis ist die gleiche Gleichung einer geraden Linie. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, finden Sie immer die Gleichung einer geraden Linie.

Die Formel kann anhand der Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, aber das Prinzip der Ableitung ist dasselbe, da wir über die Proportionalität ihrer Koordinaten sprechen werden. In diesem Fall funktioniert die gleiche Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Schlussfolgerung verständlicher)).

Ausgabe über Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Es sei eine Gerade auf der Koordinatenebene konstruiert, die durch zwei gegebene Punkte A (x 1; y 1) und B (x 2; y 2) geht. Markieren wir einen beliebigen Punkt C auf der Geraden mit Koordinaten ( x; j). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf einer Linie) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, das heißt:

- wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten:

Betrachten Sie ein Beispiel:

Finden Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2;5) und (7:3) verläuft.

Sie können nicht einmal die Leitung selbst bauen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie die Korrespondenz bei der Erstellung der Quote erfassen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie schreiben:

Antwort: y=-2/5x+29/5 geht y=-0,4x+5,8

Um sicherzustellen, dass die resultierende Gleichung korrekt gefunden wird, überprüfen Sie sie unbedingt - ersetzen Sie die Datenkoordinaten in der Bedingung der Punkte. Sie sollten korrekte Gleichheiten erhalten.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene.
Der Richtungsvektor ist gerade. Normaler Vektor

Eine gerade Linie in einer Ebene ist eine der einfachsten geometrischen Formen, die Ihnen seit Grundschulklassen vertraut ist, und heute lernen wir, mit den Methoden der analytischen Geometrie damit umzugehen. Um das Material zu beherrschen, ist es notwendig, eine gerade Linie bauen zu können; wissen, welche Gleichung eine Gerade definiert, insbesondere eine Gerade durch den Ursprung und Geraden parallel zu den Koordinatenachsen. Diese Informationen finden Sie im Handbuch. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, ich habe es für matan erstellt, aber der Abschnitt über die lineare Funktion ist sehr gelungen und ausführlich geworden. Deshalb, liebe Teekannen, wärmt euch dort erstmal auf. Außerdem müssen Sie über Grundkenntnisse verfügen Vektoren andernfalls wird das Verständnis des Materials unvollständig sein.

In dieser Lektion werden wir uns ansehen, wie Sie die Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene schreiben können. Ich empfehle, praktische Beispiele nicht zu vernachlässigen (auch wenn es sehr einfach erscheint), da ich sie mit elementaren und wichtigen Fakten, technischen Methoden versorgen werde, die in Zukunft auch in anderen Abschnitten der höheren Mathematik benötigt werden.

• Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit Steigung?
• Wie ?
• Wie findet man den Richtungsvektor durch die allgemeine Geradengleichung?
• Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind?

und wir beginnen:

Liniengleichung mit Steigung

Die bekannte "Schul"-Form der Geradengleichung heißt Gleichung einer Geraden mit einer Steigung. Wenn zum Beispiel eine Gerade durch die Gleichung gegeben ist, dann ist ihre Steigung: . Betrachten Sie die geometrische Bedeutung dieses Koeffizienten und wie sich sein Wert auf die Position der Linie auswirkt:

Im Laufe der Geometrie wird das bewiesen die Steigung der Geraden ist Tangens eines Winkels zwischen positiver Achsrichtungund gegebene Linie: , und die Ecke wird gegen den Uhrzeigersinn „abgeschraubt“.

Um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich Winkel für nur zwei gerade Linien gezeichnet. Betrachten Sie die "rote" Gerade und ihre Steigung. Entsprechend dem Obigen: (Winkel "Alpha" wird durch einen grünen Bogen angezeigt). Für die „blaue“ Gerade mit der Steigung gilt Gleichheit (der Winkel „beta“ ist durch den braunen Bogen angedeutet). Und wenn der Tangens des Winkels bekannt ist, dann ist er notfalls leicht zu finden und die Ecke mit der Umkehrfunktion - Arkustangens. Wie sie sagen, eine trigonometrische Tabelle oder einen Taschenrechner in der Hand. Auf diese Weise, die Steigung charakterisiert den Grad der Neigung der Geraden zur x-Achse.

Dabei sind folgende Fälle möglich:

1) Wenn die Steigung negativ ist: , dann verläuft die Gerade grob gesagt von oben nach unten. Beispiele sind "blaue" und "rote" gerade Linien in der Zeichnung.

2) Wenn die Steigung positiv ist: , dann verläuft die Gerade von unten nach oben. Beispiele sind "schwarze" und "rote" gerade Linien in der Zeichnung.

3) Wenn die Steigung gleich Null ist: , dann hat die Gleichung die Form , und die entsprechende Linie ist parallel zur Achse. Ein Beispiel ist die "gelbe" Linie.

4) Für eine Familie von geraden Linien parallel zur Achse (es gibt kein Beispiel in der Zeichnung, außer der Achse selbst), die Steigung existiert nicht (Tangens von 90 Grad nicht definiert).

Je größer der Steigungsmodulo ist, desto steiler wird das Liniendiagramm.

Stellen Sie sich beispielsweise zwei gerade Linien vor. Hier hat also die Gerade eine steilere Steigung. Ich erinnere Sie daran, dass Sie mit dem Modul das Zeichen ignorieren können, an dem wir nur interessiert sind absolute Werte Winkelkoeffizienten.

Eine gerade Linie ist wiederum steiler als gerade Linien. .

Umgekehrt gilt: Je kleiner der Steigungsmodulo, desto flacher ist die Gerade.

Für gerade Linien die Ungleichung ist wahr, also ist die gerade Linie mehr als ein Baldachin. Kinderrutsche, um keine blauen Flecken und Beulen zu pflanzen.

Warum wird das benötigt?

Verlängern Sie Ihre Qual Wenn Sie die oben genannten Fakten kennen, können Sie Ihre Fehler sofort erkennen, insbesondere Fehler beim Zeichnen von Diagrammen - wenn sich herausstellte, dass „eindeutig etwas nicht stimmt“. Es ist wünschenswert, dass Sie sofort Es war klar, dass zum Beispiel eine gerade Linie sehr steil ist und von unten nach oben geht, und eine gerade Linie sehr flach ist, nahe an der Achse liegt und von oben nach unten geht.

Bei geometrischen Problemen erscheinen oft mehrere gerade Linien, daher ist es praktisch, sie irgendwie zu bezeichnen.

Notation: gerade Linien werden durch kleine lateinische Buchstaben gekennzeichnet: . Eine beliebte Option ist die Bezeichnung desselben Buchstabens mit natürlichen Indizes. Beispielsweise können die gerade betrachteten fünf Linien mit bezeichnet werden .

Da jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, kann sie durch diese Punkte bezeichnet werden: usw. Die Notation impliziert ganz offensichtlich, dass die Punkte zur Linie gehören.

Zeit etwas aufzulockern:

Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit Steigung?

Wenn ein Punkt bekannt ist, der zu einer bestimmten Linie gehört, und die Steigung dieser Linie, dann wird die Gleichung dieser Linie durch die Formel ausgedrückt:

Beispiel 1

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden mit Steigung auf, wenn bekannt ist, dass der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Lösung: Wir werden die Gleichung einer geraden Linie nach der Formel zusammenstellen . In diesem Fall:

Antworten:

Untersuchung elementar durchgeführt. Zuerst sehen wir uns die resultierende Gleichung an und vergewissern uns, dass unsere Steigung an ihrem Platz ist. Zweitens müssen die Koordinaten des Punktes die gegebene Gleichung erfüllen. Setzen wir sie in die Gleichung ein:

Die korrekte Gleichheit wird erreicht, was bedeutet, dass der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Fazit: Gleichung richtig gefunden.

Ein kniffligeres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, wenn bekannt ist, dass ihr Neigungswinkel zur positiven Richtung der Achse ist und der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, lesen Sie das theoretische Material erneut. Genauer gesagt, praktischer, ich vermisse viele Beweise.

Die letzte Glocke läutete, der Abschlussball verstummte und hinter den Toren unserer Heimatschule wartet tatsächlich die analytische Geometrie auf uns. Witze sind vorbei... Vielleicht fängt es gerade erst an =)

Nostalgisch schwenken wir den Griff zum Vertrauten und machen uns mit der allgemeinen Geradengleichung vertraut. Denn in der analytischen Geometrie wird genau das verwendet:

Die allgemeine Geradengleichung hat die Form: , wo sind einige Zahlen. Gleichzeitig die Koeffizienten gleichzeitig nicht gleich Null sind, da die Gleichung ihre Bedeutung verliert.

Lassen Sie uns einen Anzug anziehen und eine Gleichung mit einer Steigung binden. Zuerst verschieben wir alle Terme auf die linke Seite:

Der Begriff mit „x“ muss an erster Stelle stehen:

Im Prinzip hat die Gleichung bereits die Form , aber nach den Regeln der mathematischen Etikette muss der Koeffizient des ersten Terms (in diesem Fall ) positiv sein. Vorzeichen wechseln:

Denken Sie an diese technische Besonderheit! Wir machen den ersten Koeffizienten (meistens) positiv!

In der analytischen Geometrie wird die Geradengleichung fast immer in allgemeiner Form angegeben. Nun, bei Bedarf ist es einfach, es in eine „Schulform“ mit Neigung zu bringen (mit Ausnahme von geraden Linien parallel zur y-Achse).

Fragen wir uns was genügend Weißt du, wie man eine gerade Linie baut? Zwei Punkte. Aber über diesen Kindheitsfall später, klebt jetzt mit Pfeilen die Regel. Jede gerade Linie hat eine genau definierte Steigung, an die sie sich leicht „anpassen“ kann Vektor.

Ein Vektor, der parallel zu einer Geraden verläuft, heißt Richtungsvektor dieser Geraden.. Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und alle sind kollinear (gleichgerichtet oder nicht - es spielt keine Rolle).

Ich bezeichne den Richtungsvektor wie folgt: .

Aber ein Vektor reicht nicht aus, um eine gerade Linie zu bilden, der Vektor ist frei und hängt an keinem Punkt der Ebene. Daher ist es zusätzlich notwendig, einen Punkt zu kennen, der zu der Linie gehört.

Wie schreibt man eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor?

Wenn ein bestimmter Punkt, der zu der Linie gehört, und der Richtungsvektor dieser Linie bekannt sind, kann die Gleichung dieser Linie durch die Formel aufgestellt werden:

Manchmal heißt es Kanonische Geradengleichung .

Was ist wann zu tun eine der Koordinaten Null ist, werden wir uns im Folgenden mit praktischen Beispielen befassen. Beachten Sie übrigens - beides auf einmal Koordinaten können nicht Null sein, da der Nullvektor keine bestimmte Richtung vorgibt.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor

Lösung: Wir werden die Gleichung einer geraden Linie nach der Formel zusammenstellen. In diesem Fall:

Unter Verwendung der Proportionseigenschaften werden wir Brüche los:

Und wir bringen die Gleichung auf eine allgemeine Form:

Antworten:

Das Einzeichnen solcher Beispiele ist in der Regel nicht erforderlich, dient jedoch dem Verständnis:

In der Zeichnung sehen wir den Startpunkt, den ursprünglichen Richtungsvektor (er kann von jedem Punkt in der Ebene verschoben werden) und die konstruierte Linie. Übrigens wird die Konstruktion einer Geraden in vielen Fällen am bequemsten mit der Steigungsgleichung durchgeführt. Unsere Gleichung lässt sich leicht in die Form umwandeln und nimmt problemlos einen weiteren Punkt auf, um eine Gerade zu bilden.

Wie zu Beginn des Abschnitts erwähnt, hat eine Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und sie sind alle kollinear. Zum Beispiel habe ich drei solcher Vektoren gezeichnet: . Welchen Richtungsvektor wir auch wählen, das Ergebnis ist immer dieselbe Geradengleichung.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Richtungsvektor auf:

Aufschlüsselung des Anteils:

Teilen Sie beide Seiten durch -2 und erhalten Sie die bekannte Gleichung:

Wer möchte, kann auf ähnliche Weise Vektoren testen oder irgendein anderer kollinearer Vektor.

Lösen wir nun das Umkehrproblem:

Wie findet man den Richtungsvektor durch die allgemeine Geradengleichung?

Sehr einfach:

Ist durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade gegeben, so ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Geraden.

Beispiele zum Finden von Richtungsvektoren von Geraden:

Die Aussage erlaubt uns, nur einen Richtungsvektor aus einer unendlichen Menge zu finden, aber wir brauchen nicht mehr. Obwohl es in einigen Fällen ratsam ist, die Koordinaten der Richtungsvektoren zu reduzieren:

Die Gleichung gibt also eine gerade Linie an, die parallel zur Achse ist, und die Koordinaten des resultierenden Lenkvektors werden bequem durch -2 geteilt, wodurch genau der Basisvektor als Lenkvektor erhalten wird. Logisch.

In ähnlicher Weise definiert die Gleichung eine gerade Linie parallel zur Achse, und wenn wir die Koordinaten des Vektors durch 5 teilen, erhalten wir den Ort als Richtungsvektor.

Lassen Sie uns jetzt ausführen siehe Beispiel 3. Das Beispiel ging nach oben, also erinnere ich Sie daran, dass wir darin die Gleichung einer geraden Linie mit einem Punkt und einem Richtungsvektor aufgestellt haben

Erstens, stellen wir gemäß der Gleichung einer geraden Linie ihren Richtungsvektor wieder her: - alles in Ordnung, wir haben den Originalvektor (in einigen Fällen kann es sich herausstellen, dass er kollinear zum Originalvektor ist, was normalerweise leicht an der Proportionalität der entsprechenden Koordinaten zu erkennen ist).

Zweitens, müssen die Koordinaten des Punktes die Gleichung erfüllen . Wir setzen sie in die Gleichung ein:

Die korrekte Gleichheit wurde erreicht, was uns sehr freut.

Fazit: Job korrekt abgeschlossen.

Beispiel 4

Schreiben Sie eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Es ist sehr wünschenswert, eine Überprüfung gemäß dem gerade betrachteten Algorithmus durchzuführen. Versuchen Sie immer (wenn möglich) einen Entwurf zu überprüfen. Es ist dumm, Fehler zu machen, wo sie zu 100 % vermieden werden können.

Für den Fall, dass eine der Koordinaten des Richtungsvektors Null ist, ist es sehr einfach zu tun:

Beispiel 5

Lösung: Die Formel ist ungültig, da der Nenner auf der rechten Seite Null ist. Es gibt einen Ausgang! Unter Verwendung der Proportionseigenschaften schreiben wir die Formel in die Form um, und der Rest rollt entlang einer tiefen Furche:

Antworten:

Untersuchung:

1) Stellen Sie den Richtungsvektor der Geraden wieder her:
– der resultierende Vektor ist kollinear zum ursprünglichen Richtungsvektor.

2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes in der Gleichung:

Die korrekte Gleichheit wird erhalten

Fazit: Auftrag korrekt abgeschlossen

Es stellt sich die Frage, warum sich mit der Formel beschäftigen, wenn es eine universelle Version gibt, die sowieso funktioniert? Es gibt zwei Gründe. Zuerst die Bruchformel viel besser zu merken. Und zweitens ist das der Nachteil der Universalformel deutlich erhöhte Verwechslungsgefahr beim Ersetzen von Koordinaten.

Beispiel 6

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor gegeben sind.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Kommen wir zurück zu den allgegenwärtigen zwei Punkten:

Wie schreibe ich die Gleichung einer Geraden mit zwei Punkten?

Wenn zwei Punkte bekannt sind, kann die Gleichung einer durch diese Punkte verlaufenden Geraden mit der Formel erstellt werden:

Tatsächlich ist dies eine Art Formel, und zwar aus folgendem Grund: Wenn zwei Punkte bekannt sind, ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Linie. Im Unterricht Vektoren für Dummies Wir haben das einfachste Problem betrachtet - wie man die Koordinaten eines Vektors von zwei Punkten aus findet. Nach diesem Problem sind die Koordinaten des Richtungsvektors:

Notiz : Punkte können "getauscht" werden und die Formel verwenden . Eine solche Entscheidung wäre gleich.

Beispiel 7

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten .

Lösung: Verwenden Sie die Formel:

Wir kämmen die Nenner:

Und mische das Deck:

Es ist jetzt bequem, Bruchzahlen loszuwerden. In diesem Fall müssen Sie beide Teile mit 6 multiplizieren:

Öffnen Sie die Klammern und erinnern Sie sich an die Gleichung:

Antworten:

Untersuchung ist offensichtlich - die Koordinaten der Anfangspunkte müssen die resultierende Gleichung erfüllen:

1) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

Fazit: Die Geradengleichung ist richtig.

Wenn mindestens ein von Punkten die Gleichung nicht erfüllt, suchen Sie nach einem Fehler.

Es ist erwähnenswert, dass die grafische Überprüfung in diesem Fall schwierig ist, weil man eine Linie zieht und sieht, ob die Punkte dazu gehören , nicht so einfach.

Ich werde ein paar technische Punkte der Lösung anmerken. Vielleicht ist es bei diesem Problem vorteilhafter, die Spiegelformel zu verwenden und für die gleichen Punkte eine gleichung aufstellen:

Es gibt weniger Brüche. Wenn Sie möchten, können Sie die Lösung bis zum Ende vervollständigen, das Ergebnis sollte die gleiche Gleichung sein.

Der zweite Punkt ist, sich die endgültige Antwort anzusehen und zu sehen, ob sie weiter vereinfacht werden kann? Wenn beispielsweise eine Gleichung erhalten wird, ist es ratsam, sie um zwei zu reduzieren: - Die Gleichung wird dieselbe gerade Linie festlegen. Dies ist jedoch bereits ein Gesprächsthema gegenseitige Anordnung von Geraden.

Nachdem ich eine Antwort erhalten habe In Beispiel 7 habe ich für alle Fälle überprüft, ob ALLE Koeffizienten der Gleichung durch 2, 3 oder 7 teilbar sind. Meistens werden solche Kürzungen jedoch während der Lösung vorgenommen.

Beispiel 8

Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte geht .

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, die es Ihnen nur ermöglicht, die Berechnungstechnik besser zu verstehen und zu erarbeiten.

Ähnlich wie im vorherigen Absatz: if in der Formel einer der Nenner (Richtungsvektorkoordinate) verschwindet, dann schreiben wir ihn um als . Und wieder, beachte, wie unbeholfen und verwirrt sie aussah. Ich sehe nicht viel Sinn darin, praktische Beispiele zu geben, da wir ein solches Problem bereits tatsächlich gelöst haben (siehe Nr. 5, 6).

Gerade Normalenvektor (Normalenvektor)

Was ist normal? Vereinfacht gesagt ist eine Normale eine Senkrechte. Das heißt, der Normalenvektor einer Geraden steht senkrecht auf der gegebenen Geraden. Es ist offensichtlich, dass jede gerade Linie unendlich viele davon hat (sowie Richtungsvektoren), und alle Normalenvektoren der geraden Linie sind kollinear (kodirektional oder nicht - es spielt keine Rolle).

Der Umgang mit ihnen wird noch einfacher als mit Richtungsvektoren:

Wenn durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade gegeben ist, dann ist der Vektor der Normalenvektor dieser Geraden.

Wenn die Koordinaten des Richtungsvektors vorsichtig aus der Gleichung „herausgezogen“ werden müssen, werden die Koordinaten des Normalenvektors einfach „entfernt“.

Der Normalenvektor steht immer orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Wir werden die Orthogonalität dieser Vektoren mit überprüfen Skalarprodukt:

Ich werde Beispiele mit den gleichen Gleichungen wie für den Richtungsvektor geben:

Ist es möglich, eine Geradengleichung zu schreiben, wenn man einen Punkt und einen Normalenvektor kennt? Es fühlt sich an, als wäre es möglich. Ist der Normalenvektor bekannt, so ist die Richtung der Geraden selbst eindeutig bestimmt – das ist ein „starres Gebilde“ mit einem Winkel von 90 Grad.

Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind?

Wenn ein zu der Linie gehörender Punkt und der Normalenvektor dieser Linie bekannt sind, wird die Gleichung dieser Linie durch die Formel ausgedrückt:

Hier lief alles ohne Brüche und sonstige Überraschungen. Das ist unser normaler Vektor. Liebe es. Und Respekt =)

Beispiel 9

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Finde den Richtungsvektor der Geraden.

Lösung: Verwenden Sie die Formel:

Die allgemeine Gleichung der geraden Linie wird erhalten, prüfen wir:

1) "Entfernen" Sie die Koordinaten des Normalenvektors aus der Gleichung: - Ja, tatsächlich, der Originalvektor wird aus der Bedingung erhalten (oder der Vektor muss kollinear zum Originalvektor sein).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die Gleichung erfüllt:

Wahre Gleichberechtigung.

Nachdem wir uns vergewissert haben, dass die Gleichung stimmt, erledigen wir den zweiten, einfacheren Teil der Aufgabe. Wir ziehen den Richtungsvektor der Geraden heraus:

Antworten:

In der Zeichnung ist die Situation wie folgt:

Zu Trainingszwecken eine ähnliche Aufgabe für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 10

Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden.

Der letzte Abschnitt der Lektion widmet sich weniger verbreiteten, aber auch wichtigen Arten von Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene

Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Gleichung einer Geraden in parametrischer Form

Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten hat die Form , wobei Konstanten ungleich Null sind. Einige Arten von Gleichungen können in dieser Form nicht dargestellt werden, z. B. direkte Proportionalität (da der freie Term Null ist und es keine Möglichkeit gibt, einen auf die rechte Seite zu bringen).

Dies ist, bildlich gesprochen, eine "technische" Art von Gleichung. Die übliche Aufgabe besteht darin, die allgemeine Geradengleichung als Streckengleichung darzustellen. Warum ist es bequem? Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten ermöglicht es Ihnen, schnell die Schnittpunkte einer geraden Linie mit Koordinatenachsen zu finden, was bei einigen Problemen der höheren Mathematik sehr wichtig ist.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linie mit der Achse. Wir setzen das „y“ zurück und die Gleichung nimmt die Form an. Der gewünschte Punkt wird automatisch erreicht: .

Dasselbe mit der Achse ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet.