Auf der diese Lektion Wir werden Methoden zur Lösung des Systems betrachten lineare Gleichungen. Im Studium der höheren Mathematik müssen lineare Gleichungssysteme sowohl in Form von Einzelaufgaben gelöst werden, zB „Löse das System mit den Formeln von Cramer“, als auch im Zuge der Lösung anderer Probleme. In fast allen Zweigen der höheren Mathematik hat man mit linearen Gleichungssystemen zu tun.

Zunächst ein wenig Theorie. Was bedeutet in diesem Fall das mathematische Wort „linear“? Dies bedeutet, dass in den Gleichungen des Systems alle Variablen enthalten sind im ersten Grad: keine ausgefallenen Sachen wie etc., von denen nur Teilnehmer von Mathematik-Olympiaden begeistert sind.

IN höhere Mathematik Zur Bezeichnung von Variablen werden nicht nur aus der Kindheit bekannte Buchstaben verwendet.
Eine ziemlich beliebte Option sind Variablen mit Indizes: .
Oder die Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets, klein und groß:
Griechische Buchstaben findet man gar nicht so selten: - vielen bekannt „Alpha, Beta, Gamma“. Und auch ein Satz mit Indizes, sagen wir, mit dem Buchstaben "mu":

Die Verwendung des einen oder anderen Buchstabensatzes hängt von dem Zweig der höheren Mathematik ab, in dem wir mit einem System linearer Gleichungen konfrontiert sind. So ist beispielsweise in linearen Gleichungssystemen, die beim Lösen von Integralen angetroffen werden, Differentialgleichung traditionell verwendete Notation

Aber egal wie die Variablen bezeichnet werden, die Prinzipien, Methoden und Methoden zum Lösen eines linearen Gleichungssystems ändern sich hiervon nicht. Also, wenn Sie auf etwas Schreckliches stoßen, beeilen Sie sich nicht, das Problembuch vor Angst zu schließen, stattdessen können Sie stattdessen die Sonne zeichnen - einen Vogel und stattdessen - ein Gesicht (eines Lehrers). Und seltsamerweise kann auch ein lineares Gleichungssystem mit diesen Notationen gelöst werden.

Etwas habe ich so eine Vorahnung, dass der Artikel recht lang werden wird, also ein kleines Inhaltsverzeichnis. Die sequentielle „Nachbesprechung“ wird also wie folgt aussehen:

– Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode („Schulmethode“);
– Lösung des Systems durch die Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems;
– Lösung des Systems durch Cramersche Formeln;
– Lösung des Systems mit der inversen Matrix;
– Lösung des Systems nach dem Gauß-Verfahren.

Lineare Gleichungssysteme kennt jeder aus dem Schulmathematikunterricht. Tatsächlich beginnen wir mit der Wiederholung.

Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

Diese Methode kann auch als „Schulmethode“ oder Methode der Unbekannten bezeichnet werden. Bildlich gesprochen kann man es auch als „halbfertiges Gauß-Verfahren“ bezeichnen.

Beispiel 1

Hier haben wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Beachten Sie, dass sich die freien Terme (Nummer 5 und 7) auf der linken Seite der Gleichung befinden. Im Allgemeinen spielt es keine Rolle, wo sie sich befinden, links oder rechts, nur dass sie bei Problemen in der höheren Mathematik oft so angeordnet sind. Und so ein Satz sollte nicht verwirren, notfalls kann das System immer „wie gewohnt“ geschrieben werden:. Vergessen Sie nicht, dass Sie beim Übertragen eines Begriffs von Teil zu Teil sein Vorzeichen ändern müssen.

Was bedeutet es, ein lineares Gleichungssystem zu lösen? Das Lösen eines Gleichungssystems bedeutet, die Menge seiner Lösungen zu finden. Die Lösung des Systems ist eine Reihe von Werten aller darin enthaltenen Variablen, die JEDE Gleichung des Systems in eine wahre Gleichheit verwandelt. Darüber hinaus kann das System sein unvereinbar (habe keine Lösungen).Sei nicht schüchtern, es ist allgemeine Definition=) Wir werden nur einen Wert von "x" und einen Wert von "y" haben, die jede Gleichung mit-wir erfüllen.

Es gibt eine grafische Methode zum Lösen des Systems, die in der Lektion zu finden ist. Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie. Da habe ich geredet geometrischen Sinn Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. Aber jetzt im Hof ​​​​ist die Ära der Algebra und Zahlen-Zahlen, Aktionen-Aktionen.

Wir entscheiden: aus der ersten Gleichung drücken wir aus:
Wir setzen den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung ein:

Wir öffnen die Klammern, geben gleiche Terme an und finden den Wert:

Als nächstes erinnern wir uns, woraus sie getanzt haben:
Wir kennen den Wert bereits, es bleibt zu finden:

Antworten:

Nachdem JEDES Gleichungssystem auf IRGENDEINE Weise gelöst wurde, empfehle ich dringend, es zu überprüfen (mündlich, auf einem Entwurf oder Taschenrechner). Glücklicherweise ist dies schnell und einfach erledigt.

1) Setzen Sie die gefundene Antwort in die erste Gleichung ein:

- die richtige Gleichheit erreicht wird.

2) Wir ersetzen die gefundene Antwort in der zweiten Gleichung:

- die richtige Gleichheit erreicht wird.

Oder einfacher gesagt: „Alles passt zusammen“

Die betrachtete Lösungsmethode ist nicht die einzige; aus der ersten Gleichung konnte ausgedrückt werden, aber nicht .
Sie können umgekehrt etwas aus der zweiten Gleichung ausdrücken und es in die erste Gleichung einsetzen. Beachten Sie übrigens, dass die nachteiligste der vier Möglichkeiten darin besteht, aus der zweiten Gleichung auszudrücken:

Brüche werden erhalten, aber warum? Es gibt eine rationalere Lösung.

In einigen Fällen sind Brüche jedoch immer noch unverzichtbar. In diesem Zusammenhang lenke ich Ihre Aufmerksamkeit darauf, WIE ich den Ausdruck geschrieben habe. Nicht so: und auf keinen Fall so: .

Wenn Sie es in der höheren Mathematik mit Bruchzahlen zu tun haben, dann versuchen Sie, alle Rechnungen in gewöhnlichen unechten Brüchen durchzuführen.

Genau, nicht oder!

Ein Komma kann nur gelegentlich verwendet werden, insbesondere wenn - dies die endgültige Lösung eines Problems ist und mit dieser Nummer keine weiteren Aktionen ausgeführt werden müssen.

Viele Leser dachten wahrscheinlich „warum so eine ausführliche Erklärung, wie für eine Korrekturklasse, und alles ist klar“. Nichts dergleichen, es scheint so ein einfaches Schulbeispiel zu sein, aber wie viele SEHR wichtige Schlussfolgerungen! Hier ist ein anderes:

Jede Aufgabe sollte so rational wie möglich erledigt werden.. Schon allein, weil es Zeit und Nerven spart und zudem die Fehlerwahrscheinlichkeit verringert.

Wenn Sie bei einer Aufgabe in der höheren Mathematik auf ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten stoßen, können Sie immer die Substitutionsmethode verwenden (es sei denn, es wird angezeigt, dass das System durch eine andere Methode gelöst werden muss).
Darüber hinaus ist es in einigen Fällen ratsam, die Substitutionsmethode mit einer größeren Anzahl von Variablen zu verwenden.

Beispiel 2

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Ein ähnliches Gleichungssystem entsteht oft bei der Anwendung der sogenannten Methode der unbestimmten Koeffizienten, wenn wir das Integral einer rationalen Bruchfunktion finden. Das betreffende System wurde von mir von dort übernommen.

Beim Finden des Integrals - das Ziel schnell Finden Sie die Werte der Koeffizienten und seien Sie nicht mit Cramers Formeln, der inversen Matrixmethode usw. Daher ist in diesem Fall die Substitutionsmethode geeignet.

Wenn ein Gleichungssystem gegeben ist, ist es zunächst wünschenswert, es herauszufinden, aber ist es möglich, es SOFORT irgendwie zu vereinfachen? Wenn wir die Gleichungen des Systems analysieren, stellen wir fest, dass die zweite Gleichung des Systems durch 2 geteilt werden kann, was wir tun:

Referenz: mathematisches Zeichen bedeutet „daraus folgt dies“, es wird oft im Zuge von Problemlösungen verwendet.

Jetzt analysieren wir die Gleichungen, wir müssen eine Variable durch den Rest ausdrücken. Welche Gleichung wählen? Sie haben wahrscheinlich schon erraten, dass der einfachste Weg zu diesem Zweck darin besteht, die erste Gleichung des Systems zu nehmen:

Dabei spielt es keine Rolle, welche Variable ausgedrückt werden soll, man könnte genauso gut oder ausdrücken.

Als nächstes setzen wir den Ausdruck für in die zweite und dritte Gleichung des Systems ein:

Öffnen Sie die Klammern und fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu:

Wir teilen die dritte Gleichung durch 2:

Aus der zweiten Gleichung drücken wir aus und setzen sie in die dritte Gleichung ein:

Fast alles ist fertig, aus der dritten Gleichung finden wir:
Aus der zweiten Gleichung:
Aus der ersten Gleichung:

Überprüfung: Ersetzen Sie die gefundenen Werte der Variablen auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems:

1)
2)
3)

Die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen werden erhalten, sodass die Lösung korrekt gefunden wird.

Beispiel 3

Löse ein lineares Gleichungssystem mit 4 Unbekannten

Dies ist ein Beispiel zur Selbstlösung (Antwort am Ende der Lektion).

Lösung des Systems durch Term-für-Term-Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems

Beim Lösen von Systemen linearer Gleichungen sollte man versuchen, nicht die „Schulmethode“, sondern die Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) der Gleichungen des Systems anzuwenden. Warum? Das spart Zeit und vereinfacht Berechnungen, wird aber jetzt übersichtlicher.

Beispiel 4

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Ich habe das gleiche System wie im ersten Beispiel genommen.
Bei der Analyse des Gleichungssystems stellen wir fest, dass die Koeffizienten der Variablen im Betrag identisch und im Vorzeichen entgegengesetzt sind (–1 und 1). In dieser Situation können die Gleichungen Term für Term hinzugefügt werden:

Rot eingekreiste Aktionen werden GEISTIG ausgeführt.
Wie Sie sehen können, haben wir als Ergebnis der termweisen Addition die Variable verloren. Dies ist in der Tat so Die Essenz der Methode besteht darin, eine der Variablen loszuwerden.

Wie aus hervorgeht Cramers Theoreme, beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:

Erster Fall: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung

(das System ist konsistent und eindeutig)

Zweiter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

(das System ist konsistent und unbestimmt)

** ,

diese. die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.

Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen

(systeminkonsistent)

Also das System m lineare Gleichungen mit n Variablen aufgerufen wird unvereinbar wenn es keine Lösungen hat, und gemeinsam wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein gemeinsames Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat, wird aufgerufen sicher, und mehr als eine unsicher.

Beispiele für das Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Cramer-Methode

Lassen Sie das System

.

Basierend auf dem Satz von Cramer

………….
,

wo
-

Systemkennung. Die restlichen Determinanten erhält man, indem man die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Mitglieder ersetzt:

Beispiel 2

.

Daher ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten

Nach Cramers Formeln finden wir:

Also ist (1; 0; -1) die einzige Lösung des Systems.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner verwenden, entscheidende Methode Kramer.

Wenn es in einer oder mehreren Gleichungen keine Variablen im linearen Gleichungssystem gibt, dann sind in der Determinante die ihnen entsprechenden Elemente gleich Null! Dies ist das nächste Beispiel.

Beispiel 3 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

.

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Determinante des Systems genau an und wiederholen Sie die Antwort auf die Frage, in welchen Fällen ein oder mehrere Elemente der Determinante gleich Null sind. Die Determinante ist also nicht gleich Null, also ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Nach Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).

6. Allgemeines lineares System algebraische Gleichungen. Gauss-Methode.

Wie wir uns erinnern, sind die Cramersche Regel und die Matrixmethode ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Gauss-Methode – mächtigste u universelles Werkzeug um eine Lösung für ein beliebiges lineares Gleichungssystem zu finden, was die in jedem Fall führen Sie uns zur Antwort! Der Algorithmus des Verfahrens funktioniert in allen drei Fällen gleich. Wenn die Cramer- und die Matrizenmethode die Kenntnis von Determinanten erfordern, erfordert die Anwendung der Gauß-Methode nur die Kenntnis von Rechenoperationen, was sie auch für Schulkinder zugänglich macht Grundschule.

Zunächst systematisieren wir das Wissen über lineare Gleichungssysteme ein wenig. Ein lineares Gleichungssystem kann:

1) Haben Sie eine eindeutige Lösung.
2) Unendlich viele Lösungen haben.
3) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).

Die Gauß-Methode ist das mächtigste und vielseitigste Werkzeug zur Lösungsfindung irgendein Systeme linearer Gleichungen. Wie wir uns erinnern Cramersche Regel und Matrixmethode sind ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Eine Methode zur sukzessiven Eliminierung von Unbekannten auf jeden Fall führen Sie uns zur Antwort! In dieser Lektion betrachten wir erneut die Gauß-Methode für Fall Nr. 1 (die einzige Lösung des Systems), der Artikel ist den Situationen der Punkte Nr. 2-3 vorbehalten. Ich stelle fest, dass der Methodenalgorithmus selbst in allen drei Fällen auf die gleiche Weise funktioniert.

Zurück zu das einfachste System aus dem Unterricht Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?
und löse es mit der Gaußschen Methode.

Der erste Schritt ist das Schreiben Erweitertes Matrixsystem:
. Nach welchem ​​​​Prinzip die Koeffizienten aufgezeichnet werden, kann jeder sehen, denke ich. Die vertikale Linie innerhalb der Matrix hat keine mathematische Bedeutung – sie ist nur ein Durchstrich zur einfacheren Gestaltung.

Hinweis:Ich empfehle, sich zu erinnern Bedingungen Lineare Algebra. Systemmatrix ist eine Matrix, die nur aus Koeffizienten für Unbekannte besteht, in diesem Beispiel die Matrix des Systems: . Erweiterte Systemmatrix ist dieselbe Matrix des Systems plus eine Spalte mit freien Termen, in diesem Fall: . Jede der Matrizen kann der Kürze halber einfach als Matrix bezeichnet werden.

Nachdem die erweiterte Matrix des Systems geschrieben wurde, müssen einige Aktionen damit ausgeführt werden, die auch aufgerufen werden elementare Transformationen.

Es gibt folgende elementare Transformationen:

1) Saiten Matrizen neu geordnet werden können setzt. In der betrachteten Matrix können Sie beispielsweise die erste und zweite Zeile sicher neu anordnen:

2) Wenn die Matrix proportionale (wie besonderer Fall gleich sind) Saiten, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix . In dieser Matrix sind die letzten drei Zeilen proportional, daher reicht es aus, nur eine davon zu belassen: .

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen. Ich werde natürlich nicht zeichnen, die Nulllinie ist die Linie, in der nur Nullen.

4) Die Zeile der Matrix kann sein multiplizieren (dividieren) für jede Zahl nicht null. Betrachten wir zum Beispiel die Matrix . Hier empfiehlt es sich, die erste Zeile durch -3 zu teilen und die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren: . Diese Aktion ist sehr nützlich, da sie weitere Transformationen der Matrix vereinfacht.

5) Diese Transformation verursacht die meisten Schwierigkeiten, aber eigentlich ist es auch nichts Kompliziertes. Auf die Zeile der Matrix können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden. Betrachten Sie unsere Matrix aus Fallstudie: . Zuerst werde ich die Transformation sehr detailliert beschreiben. Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -2: , Und zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -2: . Jetzt kann die erste Zeile durch -2 "zurück" geteilt werden: . Wie Sie sehen können, ist die Zeile HINZUGEFÜGT LI – hat sich nicht geändert. Ist immer die Zeile wird geändert, ZU DENEN HINZUGEFÜGT UT.

In der Praxis malen sie natürlich nicht so ausführlich, sondern schreiben kürzer:

Noch einmal: zur zweiten Zeile fügte die erste Zeile multipliziert mit -2 hinzu. Die Linie wird normalerweise mündlich oder auf einem Entwurf multipliziert, während der mentale Ablauf der Berechnungen ungefähr so ​​​​ist:

„Ich schreibe die Matrix um und schreibe die erste Zeile neu: »

Erste Spalte zuerst. Unten muss ich Null bekommen. Daher multipliziere ich die obige Einheit mit -2: und addiere die erste zur zweiten Zeile: 2 + (-2) = 0. Das Ergebnis schreibe ich in die zweite Zeile: »

„Nun die zweite Spalte. Über -1 mal -2: . Ich füge die erste zur zweiten Zeile hinzu: 1 + 2 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: »

„Und die dritte Spalte. Über -5 mal -2: . Ich füge die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu: -7 + 10 = 3. Ich schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile: »

Bitte denken Sie genau über dieses Beispiel nach und verstehen Sie den sequentiellen Berechnungsalgorithmus, wenn Sie dies verstehen, dann haben Sie die Gauß-Methode praktisch "in der Tasche". Aber natürlich arbeiten wir noch an dieser Transformation.

Elementare Transformationen verändern die Lösung des Gleichungssystems nicht

! AUFMERKSAMKEIT: betrachtete Manipulationen Kann ich nicht benutzen, wenn Ihnen eine Aufgabe angeboten wird, bei der die Matrizen "von selbst" vorgegeben sind. Zum Beispiel mit "klassisch" Matrizen auf keinen Fall sollten Sie innerhalb der Matrizen etwas umstellen!

Kehren wir zu unserem System zurück. Sie ist praktisch in Stücke gebrochen.

Lassen Sie uns die erweiterte Matrix des Systems schreiben und verwenden elementare Transformationen bring sie zu gestufte Ansicht:

(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Und nochmal: Warum multiplizieren wir die erste Zeile mit -2? Um unten auf Null zu kommen, bedeutet das, eine Variable in der zweiten Zeile loszuwerden.

(2) Teilen Sie die zweite Reihe durch 3.

Der Zweck elementarer Transformationen – Wandeln Sie die Matrix in Stufenform um: . Bei der Gestaltung der Aufgabe zeichnen sie die „Leiter“ direkt mit einem einfachen Bleistift und kreisen auch die Zahlen ein, die sich auf den „Stufen“ befinden. Der Begriff "gestufte Ansicht" selbst ist nicht ganz theoretisch, wissenschaftlich und pädagogische Literatur es wird oft genannt trapezförmige Ansicht oder dreieckige Ansicht.

Als Ergebnis elementarer Transformationen haben wir erhalten gleichwertig ursprüngliches Gleichungssystem:

Nun muss das System in die entgegengesetzte Richtung „aufgedreht“ werden – von unten nach oben heißt dieser Vorgang Reverse-Gauß-Methode.

In der unteren Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis: .

Betrachten Sie die erste Gleichung des Systems und setzen Sie sie bereits ein bekannter Wert"yig":

Betrachten Sie die häufigste Situation, in der die Gaußsche Methode zur Lösung erforderlich ist drei lineare Gleichungen in drei Unbekannten.

Beispiel 1

Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode:

Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems:

Jetzt zeichne ich gleich das Ergebnis, zu dem wir im Laufe der Lösung kommen werden:

Und ich wiederhole, unser Ziel ist es, die Matrix durch elementare Transformationen in eine Stufenform zu bringen. Wo anfangen zu handeln?

Sehen Sie sich zuerst die Nummer oben links an:

Sollte fast immer hier sein Einheit. Im Allgemeinen passt auch -1 (und manchmal andere Zahlen), aber irgendwie ist es traditionell vorgekommen, dass eine Einheit normalerweise dort platziert wird. Wie organisiere ich eine Einheit? Wir schauen uns die erste Spalte an - wir haben eine fertige Einheit! Transformation eins: Vertausche die erste und dritte Zeile:

Jetzt bleibt die erste Zeile bis zum Ende der Lösung unverändert. Jetzt gut.

Die Einheit oben links ist organisiert. Jetzt müssen Sie an diesen Stellen Nullen erhalten:

Nullstellen erhält man nur mit Hilfe einer "schwierigen" Transformation. Zunächst beschäftigen wir uns mit der zweiten Zeile (2, -1, 3, 13). Was muss getan werden, um Null an der ersten Position zu erhalten? Notwendig zur zweiten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -2. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -2: (-2, -4, 2, -18). Und wir führen konsequent (wieder gedanklich oder auf einem Entwurf) hinzu, Zur zweiten Zeile fügen wir die erste Zeile hinzu, die bereits mit -2 multipliziert ist:

Das Ergebnis steht in der zweiten Zeile:

Ähnlich behandeln wir die dritte Zeile (3, 2, -5, -1). Um Null an der ersten Position zu erhalten, müssen Sie zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. In Gedanken oder auf einem Entwurf multiplizieren wir die erste Zeile mit -3: (-3, -6, 3, -27). UND zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit -3:

Das Ergebnis steht in der dritten Zeile:

In der Praxis werden diese Handlungen meist mündlich ausgeführt und in einem Schritt niedergeschrieben:

Sie müssen nicht alles auf einmal und gleichzeitig zählen. Die Reihenfolge der Berechnungen und das "Einfügen" der Ergebnisse konsistent und normalerweise so: zuerst schreiben wir die erste zeile um, und pusten uns leise - KONSEQUENT und SORGSAM:


Und den gedanklichen Ablauf der Berechnungen selbst habe ich oben schon betrachtet.

In diesem Beispiel geht das ganz einfach, wir teilen die zweite Zeile durch -5 (da dort alle Zahlen ohne Rest durch 5 teilbar sind). Gleichzeitig dividieren wir die dritte Zeile durch -2, denn je kleiner die Zahl, desto einfacher die Lösung:

In der Endphase der elementaren Transformationen muss hier noch eine Null erhalten werden:

Dafür zur dritten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -2:


Versuchen Sie, diese Aktion selbst zu analysieren - multiplizieren Sie die zweite Zeile gedanklich mit -2 und führen Sie die Addition durch.

Die letzte durchgeführte Aktion ist die Frisur des Ergebnisses, teilen Sie die dritte Zeile durch 3.

Als Ergebnis elementarer Transformationen wurde ein äquivalentes anfängliches lineares Gleichungssystem erhalten:

Cool.

Nun kommt der umgekehrte Verlauf der Gaußschen Methode ins Spiel. Die Gleichungen "wickeln" sich von unten nach oben ab.

In der dritten Gleichung haben wir bereits das fertige Ergebnis:

Schauen wir uns die zweite Gleichung an: . Die Bedeutung von "z" ist bereits bekannt, also:

Und schließlich die erste Gleichung: . „Y“ und „Z“ sind bekannt, die Sache ist klein:

Antworten:

Wie schon mehrfach angemerkt wurde, ist es für jedes Gleichungssystem möglich und notwendig, die gefundene Lösung zu überprüfen, glücklicherweise ist dies nicht schwierig und schnell.

Beispiel 2

Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung, eine Probe für die Fertigstellung und eine Antwort am Ende der Lektion.

Es ist zu beachten, dass Ihre Vorgehensweise kann nicht mit meiner Vorgehensweise übereinstimmen, und dies ist ein Merkmal der Gauß-Methode. Aber die Antworten müssen die gleichen sein!

Beispiel 3

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Ich tat dies:
(1) Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat.

Jetzt oben links "minus eins", was perfekt zu uns passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Geste ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen).

(2) Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

(3) Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit.

(4) Die zweite Zeile multipliziert mit 2 wurde zur dritten Zeile hinzugefügt.

(5) Die dritte Reihe wurde durch 3 geteilt.

Ein schlechtes Zeichen, das auf einen Rechenfehler hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir etwas wie unten haben und dementsprechend , dann kann mit hoher Wahrscheinlichkeit argumentiert werden, dass bei elementaren Transformationen ein Fehler gemacht wurde.

Wir berechnen den umgekehrten Zug, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht umgeschrieben, und die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix entnommen“. Umkehren, ich erinnere Sie daran, es funktioniert von unten nach oben. Ja, hier ist ein Geschenk:

Antworten: .

Beispiel 4

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, es ist etwas komplizierter. Es ist in Ordnung, wenn jemand verwirrt ist. Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion. Ihre Lösung kann von meiner abweichen.

Im letzten Teil betrachten wir einige Merkmale des Gauß-Algorithmus.
Das erste Merkmal ist, dass manchmal einige Variablen in den Gleichungen des Systems fehlen, zum Beispiel:

Wie schreibe ich die erweiterte Matrix des Systems richtig? Über diesen Moment habe ich bereits im Unterricht gesprochen. Cramersche Regel. Matrix-Methode. In der erweiterten Matrix des Systems setzen wir Nullen anstelle der fehlenden Variablen:

Übrigens ist dies ein ziemlich einfaches Beispiel, da in der ersten Spalte bereits eine Null steht und weniger elementare Transformationen durchgeführt werden müssen.

Das zweite Merkmal ist folgendes. In allen betrachteten Beispielen haben wir entweder –1 oder +1 auf die „Stufen“ gesetzt. Könnte es andere Nummern geben? In einigen Fällen können sie. Betrachten Sie das System: .

Hier auf der oberen linken "Stufe" haben wir eine Zwei. Aber wir bemerken, dass alle Zahlen in der ersten Spalte ohne Rest durch 2 teilbar sind - und noch durch zwei und sechs. Und die Zwei oben links wird uns passen! Im ersten Schritt müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: Fügen Sie die erste Zeile multipliziert mit -1 zur zweiten Zeile hinzu; zur dritten Zeile addieren Sie die erste Zeile multipliziert mit -3. So werden wir bekommen erforderliche Nullen in der ersten Spalte.

Oder ein anderes hypothetisches Beispiel: . Hier passt uns auch das Tripel auf der zweiten „Sprosse“, da 12 (die Stelle, an der wir die Null bekommen müssen) ohne Rest durch 3 teilbar ist. Es ist notwendig, die folgende Transformation durchzuführen: Fügen Sie der dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit -4, wodurch die benötigte Null erhalten wird.

Die Gauß-Methode ist universell, aber es gibt eine Besonderheit. Das Lösen von Systemen mit anderen Methoden (Cramers Methode, Matrixmethode) kann man buchstäblich vom ersten Mal an souverän lernen – es gibt einen sehr starren Algorithmus. Aber um sich in der Gauß-Methode sicher zu fühlen, sollten Sie „Ihre Hand füllen“ und mindestens 5-10 Systeme lösen. Daher kann es zunächst zu Verwirrung und Berechnungsfehlern kommen, und daran ist nichts Ungewöhnliches oder Tragisches.

Regnerisches Herbstwetter vor dem Fenster.... Daher für alle mehr komplexes Beispiel für unabhängige Lösung:

Beispiel 5

Löse nach der Gauß-Methode Vierersystem lineare Gleichungen in vier Unbekannten.

Eine solche Aufgabe ist in der Praxis gar nicht so selten. Ich denke, dass selbst eine Teekanne, die diese Seite ausführlich studiert hat, den Algorithmus zur Lösung eines solchen Systems intuitiv versteht. Im Grunde dasselbe – nur mehr Action.

In der Lektion werden die Fälle betrachtet, in denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent) oder unendlich viele Lösungen hat. Inkompatible Systeme und Systeme mit gemeinsame Lösung . Dort können Sie den betrachteten Algorithmus der Gauß-Methode festlegen.

Wünsche dir Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit Hilfe elementarer Transformationen in eine Stufenform.


Durchgeführte elementare Transformationen:
(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -1. Aufmerksamkeit! Hier mag es verlockend sein, die erste von der dritten Zeile abzuziehen, ich rate dringend davon ab - das Fehlerrisiko steigt stark an. Wir folden einfach!
(2) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht. beachten Sie dass wir uns auf den „Stufen“ nicht nur mit einem zufrieden geben, sondern auch mit -1, was noch bequemer ist.
(3) Zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile, multipliziert mit 5.
(4) Das Vorzeichen der zweiten Zeile wurde geändert (multipliziert mit -1). Die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.

Rückwärtsbewegung:

Antworten: .

Beispiel 4: Lösung: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit Hilfe elementarer Transformationen auf die Stufenform:

Durchgeführte Konvertierungen:
(1) Die zweite Zeile wurde der ersten Zeile hinzugefügt. Somit wird die gewünschte Einheit auf der oberen linken „Stufe“ organisiert.
(2) Die erste Zeile multipliziert mit 7 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 6 wurde zur dritten Zeile addiert.

Beim zweiten „Schritt“ wird alles noch schlimmer, die "Kandidaten" dafür sind die Nummern 17 und 23, und wir brauchen entweder eins oder -1. Die Transformationen (3) und (4) zielen darauf ab, die gewünschte Einheit zu erhalten

(3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -1.
(4) Die dritte Zeile, multipliziert mit -3, wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt.
Das Notwendige im zweiten Schritt wird empfangen .
(5) Zur dritten Zeile wird die zweite addiert, multipliziert mit 6.

Innerhalb des Unterrichts Gauss-Methode Und Inkompatible Systeme/Systeme mit gemeinsamer Lösung wir betrachten inhomogene Systeme linearer Gleichungen, wo Freies Mitglied(was normalerweise rechts ist) mindestens ein der Gleichungen von Null verschieden war.
Und jetzt, nach einem guten Warm-up mit Matrix Rang, werden wir weiter an der Technik feilen elementare Transformationen auf der homogenes System linearer Gleichungen.
Nach den ersten Absätzen mag das Material langweilig und gewöhnlich erscheinen, aber Eindruck vermittelt täuschend. Neben der Weiterentwicklung von Techniken wird es viele neue Informationen geben, also versuchen Sie bitte nicht, die Beispiele in diesem Artikel zu vernachlässigen.

Das Gaußsche Verfahren hat eine Reihe von Nachteilen: Es ist unmöglich zu wissen, ob das System konsistent ist oder nicht, bis alle für das Gaußsche Verfahren erforderlichen Transformationen durchgeführt wurden; das Gaußsche Verfahren ist für Systeme mit Buchstabenkoeffizienten nicht geeignet.

Betrachten Sie andere Methoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Diese Methoden verwenden das Konzept des Rangs einer Matrix und reduzieren die Lösung eines beliebigen gemeinsamen Systems auf die Lösung eines Systems, auf das die Cramersche Regel zutrifft.

Beispiel 1 Finden Sie eine allgemeine Lösung nächstes System lineare Gleichungen unter Verwendung des fundamentalen Lösungssystems des reduzierten homogenen Systems und einer bestimmten Lösung des inhomogenen Systems.

1. Wir erstellen eine Matrix EIN und die erweiterte Matrix des Systems (1)

2. Erkunden Sie das System (1) für Kompatibilität. Dazu finden wir die Ränge der Matrizen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Wenn sich herausstellt, dass , dann das System (1) unvereinbar. Wenn wir das bekommen , dann ist dieses System konsistent und wir werden es lösen. (Die Konsistenzstudie basiert auf dem Satz von Kronecker-Capelli).

A. Wir finden rA.

Finden rA, betrachten wir sukzessive von Null verschiedene Minoren der ersten, zweiten usw. Ordnung der Matrix EIN und die sie umgebenden Minderjährigen.

M1=1≠0 (1 wird aus der oberen linken Ecke der Matrix genommen ABER).

Angrenzend M1 die zweite Zeile und zweite Spalte dieser Matrix. . Wir fahren weiter an der Grenze M1 die zweite Zeile und die dritte Spalte..gif" width="37" height="20 src=">. Jetzt begrenzen wir den Moll ungleich Null М2′ zweite Bestellung.

Wir haben: (weil die ersten beiden Spalten gleich sind)

(weil die zweite und dritte Zeile proportional sind).

Wir sehen das rA=2, und ist der Basis-Minor der Matrix EIN.

B. Wir finden .

Ausreichend grundlegendes Moll М2′ Matrizen EIN Grenze mit einer Spalte mit freien Mitgliedern und allen Zeilen (wir haben nur die letzte Zeile).

. Daraus folgt das М3′′ bleibt die Basis Minor der Matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Als М2′- Basis-Moll der Matrix EIN Systeme (2) , dann ist dieses System äquivalent zu dem System (3) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (2) (zum М2′ befindet sich in den ersten beiden Zeilen der Matrix A).

(3)

Da der grundlegende Minor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> ist (4)

In diesem System sind zwei freie Unbekannte ( x2 Und x4 ). Deshalb FSR Systeme (4) besteht aus zwei Lösungen. Um sie zu finden, weisen wir freie Unbekannte zu (4) Werte zuerst x2=1 , x4=0 , und dann - x2=0 , x4=1 .

Bei x2=1 , x4=0 wir bekommen:

.

Dieses System hat bereits Das einzige Lösung (sie kann durch die Cramersche Regel oder durch jede andere Methode gefunden werden). Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, erhält man:

Ihre Entscheidung wird sein x1= -1 , x3=0 . Angesichts der Werte x2 Und x4 , die wir gegeben haben, bekommen wir die erste grundlegende Entscheidung Systeme (2) : .

Jetzt setzen wir ein (4) x2=0 , x4=1 . Wir bekommen:

.

Wir lösen dieses System mit dem Satz von Cramer:

.

Wir erhalten die zweite fundamentale Lösung des Systems (2) : .

Lösungen β1 , β2 und ausmachen FSR Systeme (2) . Dann wird seine allgemeine Lösung sein

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 sind beliebige Konstanten.

4. Finden Sie einen Privat Lösung heterogenes System(1) . Wie im Absatz 3 , anstelle des Systems (1) Betrachten Sie das äquivalente System (5) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (1) .

(5)

Wir übertragen die freien Unbekannten auf die rechte Seite x2 Und x4.

(6)

Lassen Sie uns freie Unbekannte geben x2 Und x4 beliebige Werte, zum Beispiel x2=2 , x4=1 und stecke sie ein (6) . Holen wir uns das System

Dieses System hat eine eindeutige Lösung (weil seine Determinante М2′0). Wenn wir es lösen (unter Verwendung des Cramer-Theorems oder der Gauß-Methode), erhalten wir x1=3 , x3=3 . Gegeben sind die Werte der freien Unbekannten x2 Und x4 , wir bekommen spezielle Lösung eines inhomogenen Systems(1)α1=(3,2,3,1).

5. Jetzt bleibt noch zu schreiben allgemeine Lösung α eines inhomogenen Systems(1) : es ist gleich der Summe private Entscheidung dieses System u allgemeine Lösung seines reduzierten homogenen Systems (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Das heisst: (7)

6. Untersuchung. Um zu überprüfen, ob Sie das System richtig gelöst haben (1) , brauchen wir eine allgemeine Lösung (7) einwechseln (1) . Wenn jede Gleichung eine Identität wird ( C1 Und C2 zerstört werden soll), dann ist die Lösung richtig gefunden.

Wir werden ersetzen (7) beispielsweise nur in der letzten Gleichung des Systems (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Wir erhalten: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Wobei -1=-1. Wir haben eine Identität. Das machen wir mit allen anderen Gleichungen des Systems (1) .

Kommentar. Die Verifizierung ist in der Regel recht umständlich. Wir können folgende „Teilprüfung“ empfehlen: in der Gesamtlösung des Systems (1) Weisen Sie beliebigen Konstanten einige Werte zu und ersetzen Sie die resultierende bestimmte Lösung nur in den verworfenen Gleichungen (d.h. in jenen Gleichungen aus (1) die nicht darin enthalten sind (5) ). Wenn Sie Identitäten bekommen, dann wahrscheinlich, Lösung des Systems (1) korrekt gefunden (aber eine solche Überprüfung gibt keine volle Garantie für die Korrektheit!). Wenn zum Beispiel in (7) setzen C2=- 1 , C1=1, dann erhalten wir: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Durch Einsetzen in die letzte Gleichung des Systems (1) haben wir: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , also –1=–1. Wir haben eine Identität.

Beispiel 2 Finden Sie eine allgemeine Lösung für ein lineares Gleichungssystem (1) , die die wichtigsten Unbekannten in Form von freien ausdrückt.

Lösung. Wie in Beispiel 1, Matrizen erstellen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dieser Matrizen. Jetzt lassen wir nur noch diese Gleichungen des Systems (1) , deren Koeffizienten in diesem grundlegenden Minor enthalten sind (d. h. wir haben die ersten beiden Gleichungen), und betrachten das System, das aus ihnen besteht, das dem System (1) entspricht.

Übertragen wir die freien Unbekannten auf die rechte Seite dieser Gleichungen.

System (9) wir lösen nach der Gaußschen Methode, wobei wir die rechten Teile als freie Glieder betrachten.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Option 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Möglichkeit 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Möglichkeit 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Möglichkeit 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Mit diesem mathematischen Programm können Sie ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen mit der Substitutionsmethode und der Additionsmethode lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern liefert auch eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen zu den Lösungsschritten auf zwei Arten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.

Dieses Programm kann für Gymnasiasten zur Vorbereitung nützlich sein Kontrollarbeit und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor der Prüfung, Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

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Regeln für die Eingabe von Gleichungen

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Bei der Eingabe von Gleichungen Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall werden die Gleichungen zunächst vereinfacht. Die Gleichungen nach Vereinfachungen müssen linear sein, d.h. der Form ax+by+c=0 mit der Genauigkeit der Reihenfolge der Elemente.
Zum Beispiel: 6x+1 = 5(x+y)+2

In Gleichungen können Sie nicht nur ganze Zahlen verwenden, sondern auch Bruchzahlen in Form von Dezimal- und gewöhnlichen Brüchen.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Ganzzahliger und gebrochener Teil Dezimalbrüche können durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Zum Beispiel: 2,1n + 3,5m = 55

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &

Beispiele.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Lösen Sie ein Gleichungssystem

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Ein bisschen Theorie.

Lineare Gleichungssysteme lösen. Substitutionsmethode

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode:
1) eine Variable aus irgendeiner Gleichung des Systems durch eine andere ausdrücken;
2) ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck in einer anderen Gleichung des Systems anstelle dieser Variablen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Lassen Sie uns von der ersten Gleichung y bis x ausdrücken: y = 7-3x. Setzen wir den Ausdruck 7-3x anstelle von y in die zweite Gleichung ein, erhalten wir das System:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es ist leicht zu zeigen, dass das erste und das zweite System die gleichen Lösungen haben. Im zweiten System enthält die zweite Gleichung nur eine Variable. Lösen wir diese Gleichung:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Setzen wir die Zahl 1 anstelle von x in die Gleichung y=7-3x ein, finden wir den entsprechenden Wert von y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paar (1;4) - Lösung des Systems

Gleichungssysteme in zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben, werden aufgerufen gleichwertig. Systeme, die keine Lösungen haben, werden ebenfalls als äquivalent angesehen.

Lineare Gleichungssysteme durch Addition lösen

Betrachten Sie einen anderen Weg, um Systeme linearer Gleichungen zu lösen - die Additionsmethode. Bei der Lösung von Systemen auf diese Weise sowie bei der Lösung nach der Substitutionsmethode gehen wir von einem gegebenen System zu einem anderen äquivalenten System über, in dem eine der Gleichungen nur eine Variable enthält.

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Additionsmethode:
1) Multiplizieren Sie die Gleichungen des Systems Term für Term, indem Sie die Faktoren so wählen, dass die Koeffizienten für eine der Variablen entgegengesetzte Zahlen werden;
2) Addiere Term für Term den linken und rechten Teil der Gleichungen des Systems;
3) löse die resultierende Gleichung mit einer Variablen;
4) Finden Sie den entsprechenden Wert der zweiten Variablen.

Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

In den Gleichungen dieses Systems sind die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen. Wenn wir den linken und den rechten Teil der Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 3x=33. Ersetzen wir eine der Gleichungen des Systems, zum Beispiel die erste, durch die Gleichung 3x=33. Holen wir uns das System
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Aus der Gleichung 3x=33 finden wir x=11. Setzen wir diesen x-Wert in die Gleichung \(x-3y=38 \) ein, erhalten wir eine Gleichung mit der Variablen y: \(11-3y=38 \). Lösen wir diese Gleichung:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Somit haben wir die Lösung des Gleichungssystems gefunden, indem wir hinzugefügt haben: \(x=11; y=-9 \) oder \((11; -9) \)

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass in den Gleichungen des Systems die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen sind, reduzierten wir seine Lösung auf die Lösung eines äquivalenten Systems (durch Summieren beider Teile jeder der Gleichungen des ursprünglichen Symmeme), in dem eins der Gleichungen enthält nur eine Variable.

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Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig in der mathematischen Modellierung verwendet verschiedene Prozesse. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es um die Lösung von Problemen zur Bestimmung der Populationsgröße geht.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineargleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, um solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. IN Schulkurs Die Mathematik beschreibt detailliert solche Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie die grafische und Matrixmethode, die Lösung nach der Gauß-Methode.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Lösungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme der 7. Klasse des Programms Weiterführende Schule ganz einfach und ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Lösung dieses Beispiel verursacht keine Schwierigkeiten und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die empfangenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung für Systeme nach der Additionsmethode werden Term-für-Term-Additionen und Multiplikationen von Gleichungen mit verschiedenen Zahlen durchgeführt. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Anwendungen dieser Methode erfordern Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante mit der bekannten Formel zu finden: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. IN gegebenes Beispiel a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante weniger als Null, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Das Verfahren besteht darin, Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse aufzuzeichnen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel soll eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet für Abkürzung Systeme linearer Gleichungen. Eine Tabelle wird als Matrix bezeichnet. besondere Art mit Zahlen gefüllt. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird als Identität bezeichnet.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 - inverse Matrix, und |K| - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Die Matrixmethode zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Schreibweisen beim Lösen von Systemen mit zu reduzieren Große anzahl Variablen und Gleichungen.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um die Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Weg algebraische Transformationen und Substitutionen ist der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

IN Schulbücher Für die Klasse 7 wird ein Beispiel für eine Lösung nach dem Gauß-Verfahren wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gauß-Methode ist für Schüler schwer verständlich weiterführende Schule, aber ist einer der meisten interessante Wege um den Einfallsreichtum von Kindern zu entwickeln, die in einem vertieften Studienprogramm im Mathematik- und Physikunterricht eingeschrieben sind.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt die erforderlichen algebraischen Operationen fort, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Aufzählung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.