Gleichung einer Geraden auf einer Ebene.
Der Richtungsvektor ist eine Gerade. Normalvektor

Eine gerade Linie in einer Ebene ist eine der einfachsten geometrischen Formen, die Sie seit der Grundschule kennen, und heute lernen wir, mit den Methoden der analytischen Geometrie damit umzugehen. Um das Material zu beherrschen, müssen Sie in der Lage sein, eine gerade Linie zu bauen; wissen, mit welcher Gleichung eine Gerade definiert wird, insbesondere eine Gerade durch den Ursprung und Geraden parallel zu den Koordinatenachsen. Diese Informationen finden Sie im Handbuch Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, ich habe es für matan erstellt, aber der Abschnitt über die lineare Funktion erwies sich als sehr erfolgreich und detailliert. Deshalb, liebe Teekannen, wärmt euch erstmal dort auf. Darüber hinaus benötigen Sie Grundkenntnisse in Vektoren, sonst ist das Verständnis des Materials unvollständig.

In dieser Lektion werden wir uns Möglichkeiten ansehen, wie Sie die Gleichung einer geraden Linie in eine Ebene schreiben können. Ich empfehle, praktische Beispiele nicht zu vernachlässigen (auch wenn es sehr einfach erscheint), da ich sie mit elementaren und wichtigen Fakten versorgen werde, Techniken, die in Zukunft auch in anderen Bereichen der höheren Mathematik benötigt werden.

• Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung?
• Wie ?
• Wie finde ich den Richtungsvektor durch die allgemeine Gleichung einer Geraden?
• Wie schreibe ich die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

und wir starten:

Gleichung einer Geraden mit einer Steigung

Die bekannte "Schulform" der Geradengleichung heißt Gleichung einer Geraden mit Steigung... Wenn beispielsweise eine Gerade durch eine Gleichung gegeben ist, dann ist ihre Steigung:. Betrachten Sie die geometrische Bedeutung dieses Koeffizienten und wie sich sein Wert auf die Position der geraden Linie auswirkt:

Das beweist der Geometriekurs die Steigung der Geraden ist Tangente eines Winkels zwischen der positiven Richtung der Achseund diese Zeile:, und der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn "abgeschraubt".

Um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich nur zwei Linien Ecken gezeichnet. Betrachten Sie die "rote" Linie und ihre Steigung. Wie oben: (Winkel "Alpha" wird durch einen grünen Bogen angezeigt). Für die "blaue" Linie mit der Steigung gilt Gleichheit (der "Beta"-Winkel wird durch den braunen Bogen angezeigt). Und wenn der Tangens des Winkels bekannt ist, ist er gegebenenfalls leicht zu finden und die ecke selbst unter Verwendung der Umkehrfunktion - Arkustangens. Wie sie sagen, eine trigonometrische Tabelle oder ein Mikrorechner in der Hand. Auf diese Weise, die Steigung charakterisiert den Neigungsgrad der Geraden zur Abszissenachse.

In diesem Fall sind folgende Fälle möglich:

1) Wenn die Steigung negativ ist:, dann verläuft die Linie grob gesagt von oben nach unten. Beispiele sind "blaue" und "karmesinrote" Geraden in der Zeichnung.

2) Wenn die Steigung positiv ist: dann verläuft die Linie von unten nach oben. Beispiele sind "schwarze" und "rote" Linien in der Zeichnung.

3) Wenn die Steigung Null ist: dann nimmt die Gleichung die Form an und die entsprechende Gerade verläuft parallel zur Achse. Ein Beispiel ist eine "gelbe" Gerade.

4) Für eine Schar von Geraden parallel zur Achse (in der Zeichnung gibt es kein Beispiel außer der Achse selbst), die Steigung existiert nicht (Tangente 90 Grad nicht definiert).

Je größer die Steigung des Moduls, desto steiler der Verlauf der Geraden.

Betrachten Sie beispielsweise zwei Zeilen. Hier hat die Linie daher eine steilere Steigung. Lassen Sie mich daran erinnern, dass Sie mit dem Modul das Zeichen ignorieren können. Wir sind nur daran interessiert absolute Werte Steigungskoeffizienten.

Eine Gerade ist wiederum steiler als eine Gerade. .

Umgekehrt: Je kleiner die Steigung im Modul, desto flacher die Gerade.

Für direktes die Ungleichung ist wahr, die Gerade ist also flacher. Kinderrutsche, um sich keine Prellungen und Beulen zu verpassen.

Warum wird das benötigt?

Verlängern Sie Ihre Qual Die Kenntnis der oben genannten Fakten ermöglicht es Ihnen, Ihre Fehler, insbesondere Fehler in der grafischen Darstellung, sofort zu erkennen - wenn sich herausstellt, dass die Zeichnung "eindeutig nicht stimmt". Es ist ratsam, dass Sie sofort Es war klar, dass zum Beispiel eine Gerade sehr steil ist und von unten nach oben verläuft und eine Gerade sehr flach, nahe der Achse und von oben nach unten verläuft.

Bei geometrischen Problemen treten oft mehrere gerade Linien auf, daher ist es praktisch, sie irgendwie zu bezeichnen.

Bezeichnungen: gerade Linien werden durch kleine lateinische Buchstaben gekennzeichnet:. Eine beliebte Option ist die Bezeichnung durch denselben Buchstaben mit natürlichen Indizes. Zum Beispiel können die fünf geraden Geraden, die wir gerade betrachtet haben, bezeichnet werden mit .

Da jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, kann sie mit diesen Punkten bezeichnet werden: usw. Die Notation impliziert eindeutig, dass die Punkte zu einer Geraden gehören.

Zeit zum Aufwärmen:

Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung?

Wenn ein zu einer bestimmten Geraden gehörender Punkt und die Steigung dieser Geraden bekannt sind, dann wird die Gleichung dieser Geraden durch die Formel ausgedrückt:

Beispiel 1

Setzen Sie eine Gerade mit einer Steigung gleich, wenn bekannt ist, dass der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Lösung: Die Geradengleichung ergibt sich aus der Formel ... In diesem Fall:

Antworten:

Untersuchung wird elementar durchgeführt. Zuerst schauen wir uns die resultierende Gleichung an und stellen sicher, dass unsere Steigung richtig ist. Zweitens müssen die Koordinaten des Punktes diese Gleichung erfüllen. Setzen wir sie in die Gleichung ein:

Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Ausgabe: Gleichung ist richtig.

Ein kniffligeres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden auf, wenn bekannt ist, dass ihr Neigungswinkel zur positiven Richtung der Achse liegt und der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, lesen Sie das theoretische Material erneut. Genauer gesagt, praktischer vermisse ich viele der Beweise.

Die letzte Glocke läutete, die Abschlussfeier verstummte, und hinter den Toren unserer Heimatschule erwartet uns tatsächlich die analytische Geometrie. Die Witze sind vorbei…. Oder vielleicht fangen sie gerade erst an =)

Wir schwenken nostalgisch einen Stift zum Vertrauten und machen uns mit der allgemeinen Gleichung einer Geraden vertraut. Da dies in der analytischen Geometrie verwendet wird:

Die allgemeine Geradengleichung hat die Form:, wo sind einige Zahlen. Außerdem sind die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind, da die Gleichung ihre Bedeutung verliert.

Lassen Sie uns die Steigungsgleichung in Anzug und Krawatte kleiden. Verschieben wir zunächst alle Begriffe auf die linke Seite:

Der Begriff mit "x" muss an erster Stelle stehen:

Im Prinzip hat die Gleichung bereits die Form, aber nach den Regeln der mathematischen Etikette muss der Koeffizient des ersten Termes (in diesem Fall) positiv sein. Wechsel der Schilder:

Denken Sie an dieses technische Feature! Wir machen den ersten Koeffizienten (meistens) positiv!

In der analytischen Geometrie wird die Gleichung einer Geraden fast immer in allgemeiner Form angegeben. Nun, bei Bedarf kann man es leicht in die "Schule"-Ansicht mit der Neigung bringen (außer gerade Linien parallel zur Ordinatenachse).

Fragen wir uns was genug weißt du, wie man eine gerade Linie baut? Zwei Punkte. Aber mehr zu diesem Kindheitsfall später, bleibt jetzt bei der Pfeilregel. Jede Gerade hat eine gut definierte Steigung, an die sie sich leicht "anpassen" lässt Vektor.

Ein zu einer Geraden paralleler Vektor wird als Richtungsvektor dieser Geraden bezeichnet.... Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und alle sind kollinear (gleichgerichtet oder nicht - es spielt keine Rolle).

Den Richtungsvektor bezeichne ich wie folgt:

Aber ein Vektor reicht nicht aus, um eine gerade Linie zu bauen, der Vektor ist frei und an keinen Punkt auf der Ebene gebunden. Daher ist es zusätzlich notwendig, einen Punkt zu kennen, der zur Geraden gehört.

Wie setzt man eine Gerade aus einem Punkt und einem Richtungsvektor gleich?

Wenn ein zu einer Geraden gehörender Punkt und der Richtungsvektor dieser Geraden bekannt sind, dann kann die Gleichung dieser Geraden durch die Formel gebildet werden:

Es heißt manchmal die kanonische Gleichung der Geraden .

Was tun, wenn eine der Koordinaten Null ist, werden wir unten praktische Beispiele sehen. Übrigens, beachten Sie - beides gleichzeitig Koordinaten können nicht gleich Null sein, da der Nullvektor keine bestimmte Richtung vorgibt.

Beispiel 3

Gleichen Sie eine Gerade von einem Punkt und einem Richtungsvektor aus

Lösung: Die Gleichung der Geraden wird durch die Formel erstellt. In diesem Fall:

Mit den Proportionseigenschaften entfernen wir Brüche:

Und wir bringen die Gleichung in eine allgemeine Form:

Antworten:

Das Zeichnen in solchen Beispielen muss in der Regel nicht erfolgen, aber zum Verständnis:

In der Zeichnung sehen wir den Startpunkt, den ursprünglichen Richtungsvektor (er kann von jedem beliebigen Punkt auf der Ebene abgesetzt werden) und die konstruierte Linie. Übrigens ist es in vielen Fällen am bequemsten, eine Gerade mit einer Gleichung mit einer Steigung zu konstruieren. Es ist einfach, unsere Gleichung in die Form umzuwandeln und einfach einen weiteren Punkt auszuwählen, um eine gerade Linie zu bilden.

Wie am Anfang dieses Abschnitts erwähnt, hat eine Gerade unendlich viele Richtungsvektoren, die alle kollinear sind. Ich habe zum Beispiel drei solcher Vektoren gezeichnet: ... Welchen Richtungsvektor wir auch wählen, das Ergebnis ist immer die gleiche Geradengleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie entlang eines Punkts und eines Richtungsvektors zusammenstellen:

Wir berechnen den Anteil:

Teilen Sie beide Seiten durch –2 und wir erhalten die bekannte Gleichung:

Interessierte können ebenfalls Vektoren testen oder jeder andere kollineare Vektor.

Lassen Sie uns nun das inverse Problem lösen:

Wie finde ich den Richtungsvektor durch die allgemeine Gleichung einer Geraden?

Sehr einfach:

Ist eine Linie durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben, dann ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Linie.

Beispiele für das Finden von Richtungsvektoren von Geraden:

Die Behauptung erlaubt es uns, nur einen Richtungsvektor aus einer unendlichen Menge zu finden, aber wir brauchen nicht mehr. In einigen Fällen ist es jedoch ratsam, die Koordinaten der Richtungsvektoren zu reduzieren:

Die Gleichung legt also eine gerade Linie parallel zur Achse fest und die Koordinaten des resultierenden Richtungsvektors werden zweckmäßigerweise durch -2 geteilt, wodurch man genau den Basisvektor als Richtungsvektor erhält. Es ist logisch.

In ähnlicher Weise gibt die Gleichung eine gerade Linie parallel zur Achse an, und wenn wir die Koordinaten des Vektors durch 5 teilen, erhalten wir die ort als Richtungsvektor.

Jetzt lass uns ausführen check Beispiel 3... Das Beispiel ist nach oben gegangen, also erinnere ich Sie daran, dass wir darin die Gleichung einer geraden Linie entlang eines Punkts und eines Richtungsvektors erstellt haben

Erstens, durch die Gleichung der Geraden stellen wir ihren Richtungsvektor wieder her: - alles in Ordnung, wir haben den Originalvektor erhalten (in einigen Fällen kann er kollinear zum Originalvektor sein, was normalerweise an der Proportionalität der entsprechenden Koordinaten leicht zu erkennen ist).

Zweitens, müssen die Koordinaten des Punktes die Gleichung erfüllen. Wir setzen sie in die Gleichung ein:

Die richtige Gleichberechtigung wurde erreicht, worüber wir uns sehr freuen.

Ausgabe: Die Aufgabe wurde korrekt abgeschlossen.

Beispiel 4

Gleichen Sie eine Gerade von einem Punkt und einem Richtungsvektor aus

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Es ist sehr ratsam, eine Prüfung nach dem gerade betrachteten Algorithmus durchzuführen. Versuchen Sie immer (wenn möglich), einen Entwurf zu überprüfen. Es ist töricht, Fehler zu machen, die zu 100 % vermeidbar sind.

Für den Fall, dass eine der Koordinaten des Richtungsvektors Null ist, wirken sie sehr einfach:

Beispiel 5

Lösung: Die Formel funktioniert nicht, weil der Nenner der rechten Seite Null ist. Es gibt einen Ausgang! Mit den Proportionseigenschaften schreiben wir die Formel in die Form um, und der Rest rollt auf einer tiefen Spur:

Antworten:

Untersuchung:

1) Rekonstruieren Sie den Richtungsvektor der Geraden:
- der resultierende Vektor ist kollinear mit dem ursprünglichen Richtungsvektor.

2) Setze die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein:

Die richtige Gleichheit wird erhalten

Ausgabe: Aufgabe richtig erledigt

Es stellt sich die Frage, warum sich mit der Formel beschäftigen, wenn es eine universelle Version gibt, die trotzdem funktioniert? Es gibt zwei Gründe. Zuerst die Bruchformel viel besser in Erinnerung... Und zweitens fehlt eine universelle Formel: die Verwechslungsgefahr steigt deutlich beim Ersetzen von Koordinaten.

Beispiel 6

Gleichen Sie eine Gerade entlang eines Punkts und eines Richtungsvektors aus.

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung.

Kehren wir zu den allgegenwärtigen zwei Punkten zurück:

Wie erstelle ich die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten?

Sind zwei Punkte bekannt, so lässt sich die Gleichung einer durch diese Punkte verlaufenden Geraden nach folgender Formel aufstellen:

Tatsächlich ist dies eine Art Formel und der Grund dafür: Wenn zwei Punkte bekannt sind, ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Linie. Im Unterricht Vektoren für Dummies Wir haben das einfachste Problem betrachtet - wie man die Koordinaten eines Vektors durch zwei Punkte findet. Gemäß diesem Problem sind die Koordinaten des Richtungsvektors:

Notiz : Punkte können "getauscht" werden und die Formel verwenden ... Eine solche Lösung wäre äquivalent.

Beispiel 7

Gleiche eine Gerade aus zwei Punkten .

Lösung: Wir verwenden die Formel:

Wir kämmen die Nenner:

Und mische das Deck:

Es ist jetzt bequem, Bruchzahlen loszuwerden. In diesem Fall müssen Sie beide Teile mit 6 multiplizieren:

Wir öffnen die Klammern und erinnern uns an die Gleichung:

Antworten:

Untersuchung offensichtlich - die Koordinaten der ursprünglichen Punkte müssen der resultierenden Gleichung genügen:

1) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

Ausgabe: Die Geradengleichung ist richtig.

Wenn mindestens ein der Punkte die Gleichung nicht erfüllt, suchen Sie nach dem Fehler.

Es ist erwähnenswert, dass die grafische Überprüfung in diesem Fall schwierig ist, da Sie eine gerade Linie erstellen und sehen können, ob die Punkte dazu gehören. , nicht so einfach.

Ich werde auch einige technische Aspekte der Lösung beachten. Vielleicht ist es bei dieser Aufgabe vorteilhafter, die Spiegelformel zu verwenden und an den gleichen Stellen mach eine gleichung:

Das sind kleinere Fraktionen. Wenn Sie möchten, können Sie die Lösung bis zum Ende verfolgen, und das Ergebnis sollte dieselbe Gleichung sein.

Der zweite Punkt ist, sich die endgültige Antwort anzusehen und herauszufinden, ob sie weiter vereinfacht werden kann. Wenn beispielsweise eine Gleichung erhalten wird, ist es ratsam, sie um zwei zu reduzieren: - Die Gleichung stellt dieselbe Gerade ein. Dies ist jedoch bereits ein Gesprächsthema relative Lage von Geraden.

Nachdem ich die Antwort erhalten habe in Beispiel 7 habe ich für alle Fälle überprüft, ob ALLE Koeffizienten der Gleichung durch 2, 3 oder 7 teilbar sind. Meistens werden solche Reduktionen jedoch sogar während der Lösung durchgeführt.

Beispiel 8

Gleiche eine Gerade durch Punkte .

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, die es Ihnen nur ermöglicht, die Rechentechnik besser zu verstehen und auszuarbeiten.

Ähnlich wie im vorherigen Absatz: wenn in der Formel einer der Nenner (die Koordinate des Richtungsvektors) verschwindet, dann schreiben wir ihn um als. Beachten Sie wieder, wie unbeholfen und verwirrend sie aussieht. Ich sehe wenig Sinn darin, praktische Beispiele zu geben, da wir ein solches Problem bereits tatsächlich gelöst haben (siehe Nr. 5, 6).

Liniennormalenvektor (Normalvektor)

Was ist normal? Einfach ausgedrückt ist eine Normale eine Senkrechte. Das heißt, der Normalenvektor einer Linie steht senkrecht auf dieser Linie. Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele davon (sowie Richtungsvektoren), und alle Normalenvektoren der geraden Linie sind kollinear (gleichgerichtet oder nicht - kein Unterschied).

Das Zerlegen mit ihnen wird noch einfacher sein als mit Richtungsvektoren:

Ist eine Gerade durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben, dann ist der Vektor der Normalenvektor dieser Gerade.

Müssen die Koordinaten des Richtungsvektors vorsichtig aus der Gleichung „herausgezogen“ werden, dann werden die Koordinaten des Normalenvektors einfach „entfernt“.

Der Normalenvektor ist immer orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Lassen Sie uns die Orthogonalität dieser Vektoren mit überprüfen Skalarprodukt:

Ich gebe Beispiele mit den gleichen Gleichungen wie für den Richtungsvektor:

Ist es möglich, die Gleichung einer Geraden zu bilden, wenn man einen Punkt und einen Normalenvektor kennt? Sie können es in Ihrem Bauch spüren. Ist der Normalenvektor bekannt, dann ist die Richtung der Geraden eindeutig bestimmt - es handelt sich um eine "starre Struktur" mit einem Winkel von 90 Grad.

Wie schreibe ich die Gleichung einer geraden Linie aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

Wenn ein zu einer Geraden gehörender Punkt und der Normalenvektor dieser Geraden bekannt sind, dann wird die Gleichung dieser Geraden durch die Formel ausgedrückt:

Hier wurde alles ohne Brüche und andere Überraschungen gemacht. Dies ist unser Normalenvektor. Liebe ihn. Und Respekt =)

Beispiel 9

Gleichen Sie eine Gerade entlang eines Punkts mit einem Normalenvektor aus. Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden.

Lösung: Wir verwenden die Formel:

Die allgemeine Gleichung der Geraden ergibt sich, prüfen wir:

1) "Entfernen" Sie die Koordinaten des Normalenvektors aus der Gleichung: - Ja, tatsächlich wurde der ursprüngliche Vektor aus der Bedingung erhalten (oder ein kollinearer Vektor sollte erhalten werden).

2) Prüfen Sie, ob der Punkt die Gleichung erfüllt:

Wahre Gleichberechtigung.

Nachdem wir uns vergewissert haben, dass die Gleichung richtig ist, führen wir den zweiten, einfacheren Teil der Aufgabe durch. Wir nehmen den Richtungsvektor der Geraden heraus:

Antworten:

In der Zeichnung sieht die Situation so aus:

Zu Schulungszwecken eine ähnliche Aufgabe für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 10

Gleichen Sie eine Gerade von einem Punkt und einem Normalenvektor aus. Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden.

Der letzte Abschnitt der Lektion wird weniger gebräuchlichen, aber auch wichtigen Arten von Gleichungen einer Geraden in einer Ebene gewidmet sein.

Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Gleichung einer Geraden in parametrischer Form

Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten hat die Form, wobei Konstanten ungleich Null sind. Einige Arten von Gleichungen können in dieser Form nicht dargestellt werden, zum Beispiel direkte Proportionalität (da der freie Term gleich Null ist und es keine Möglichkeit gibt, eins auf der rechten Seite zu erhalten).

Dies ist im übertragenen Sinne eine "technische" Art von Gleichung. Eine gewöhnliche Aufgabe besteht darin, die allgemeine Geradengleichung in Form einer Geradengleichung in Segmenten darzustellen. Wie ist es bequem? Die Gleichung einer Geraden in Segmenten ermöglicht es Ihnen, die Schnittpunkte einer Geraden mit Koordinatenachsen schnell zu finden, was bei einigen Problemen der höheren Mathematik sehr wichtig ist.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linie mit der Achse. Wir setzen das "Spiel" auf Null und die Gleichung nimmt die Form an. Der gewünschte Punkt wird automatisch erreicht:.

Ähnlich mit der Achse - der Punkt, an dem die Gerade die Ordinatenachse schneidet.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft. Der Artikel" " Ich habe Ihnen versprochen, die zweite Methode zur Lösung der vorgestellten Probleme des Findens der Ableitung für einen gegebenen Graphen einer Funktion und einer Tangente an diesen Graphen zu analysieren. Wir werden diese Methode in analysieren , nicht verpassen! Wieso den im nächsten?

Tatsache ist, dass dort die Formel für die Gleichung einer Geraden verwendet wird. Natürlich könnten Sie diese Formel einfach zeigen und Ihnen raten, sie zu lernen. Aber es ist besser zu erklären - woher es kommt (wie es abgeleitet wird). Das ist notwendig! Wenn Sie es vergessen, dann stellen Sie es schnell wieder herwird nicht schwer sein. Alles ist unten detailliert beschrieben. Wir haben also zwei Punkte A auf der Koordinatenebene(x 1; y 1) und B (x 2; y 2) wird eine Gerade durch die angegebenen Punkte gezogen:

Hier ist die Formel für die Gerade:

* Das heißt, wenn wir bestimmte Koordinaten von Punkten ersetzen, erhalten wir eine Gleichung der Form y = kx + b.

** Wenn diese Formel einfach "gezackt" ist, besteht eine hohe Verwechslungswahrscheinlichkeit mit den Indizes bei NS... Darüber hinaus können Indizes auf unterschiedliche Weise bezeichnet werden, zum Beispiel:

Deshalb ist es wichtig, die Bedeutung zu verstehen.

Nun das Fazit dieser Formel. Alles ist sehr einfach!

Die Dreiecke ABE und ACF sind im spitzen Winkel ähnlich (das erste Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken). Daraus folgt, dass die Beziehungen der jeweiligen Elemente gleich sind, d. h.:

Jetzt drücken wir diese Segmente einfach durch die Differenz der Koordinaten der Punkte aus:

Natürlich gibt es keinen Fehler, wenn Sie die Beziehungen der Elemente in einer anderen Reihenfolge schreiben (Hauptsache, die Korrespondenz bleibt):

Das Ergebnis ist die gleiche Geradengleichung. Das ist alles!

Das heißt, egal wie die Punkte selbst (und ihre Koordinaten) bezeichnet werden, wenn Sie diese Formel verstehen, finden Sie immer die Gleichung einer Geraden.

Die Formel kann aus den Eigenschaften von Vektoren abgeleitet werden, aber das Inferenzprinzip bleibt dasselbe, da wir über die Proportionalität ihrer Koordinaten sprechen. In diesem Fall funktioniert der gleiche Anschein von rechtwinkligen Dreiecken. Meiner Meinung nach ist die oben beschriebene Ausgabe klarer)).

Ausgabe durch Vektorkoordinaten anzeigen >>>

Es sei eine Gerade auf der Koordinatenebene konstruiert, die durch zwei gegebene Punkte A (x 1; y 1) und B (x 2; y 2) geht. Markieren wir auf der Geraden einen beliebigen Punkt C mit Koordinaten ( x; ja). Wir bezeichnen auch zwei Vektoren:

Es ist bekannt, dass für Vektoren, die auf parallelen Linien (oder auf einer Geraden) liegen, ihre entsprechenden Koordinaten proportional sind, dh:

- wir schreiben die Gleichheit der Verhältnisse der entsprechenden Koordinaten auf:

Betrachten wir ein Beispiel:

Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten (2; 5) und (7: 3) verläuft.

Sie müssen nicht einmal die gerade Linie selbst bauen. Wir wenden die Formel an:

Es ist wichtig, dass Sie die Korrespondenz bei der Erstellung des Verhältnisses erfassen. Sie können nichts falsch machen, wenn Sie aufschreiben:

Antwort: y = -2 / 5x + 29/5 gehen y = -0,4x + 5,8

Um sicherzustellen, dass die erhaltene Gleichung richtig gefunden wird, führen Sie unbedingt eine Überprüfung durch - ersetzen Sie die Koordinaten der Daten in der Bedingung von Punkten. Sie sollten korrekte Gleichheiten erhalten.

Das ist alles. Ich hoffe, das Material war für Sie nützlich.

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

PS: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie uns in den sozialen Netzwerken etwas über die Site erzählen könnten.

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Sie können durch jeden Punkt unendlich viele gerade Linien ziehen.

Eine einzelne gerade Linie kann durch zwei beliebige nicht übereinstimmende Punkte gezogen werden.

Zwei nicht übereinstimmende Geraden auf einer Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Geraden:

• gerade Linien schneiden sich;

• gerade Linien sind parallel;

• gerade Linien schneiden sich.

Gerade Leitung- algebraische Kurve erster Ordnung: in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Geradengleichung.

Definition... Jede gerade Linie auf einer Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ax + Wu + C = 0,

mit konstant A, B sind gleichzeitig nicht gleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung heißt gemeinsames

Geradengleichung. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A 0, B ≠ 0- die Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠ 0- die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden kann in verschiedenen Formen dargestellt werden, je nach gegebenem

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Normalenvektors.

Definition... In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden

Ax + Wu + C = 0.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt geht A (1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung... Bei A = 3 und B = -1 stellen wir die Geradengleichung auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C . zu finden

setze die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein.Wir erhalten: 3 - 2 + C = 0, also

C = -1. Summe: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1, y 1, z 1) und M2 (x 2, y 2, z 2), dann Geradengleichung,

Durchlaufen dieser Punkte:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler mit Null gleichgesetzt werden. Auf

Ebene wird die oben geschriebene Gleichung der Geraden vereinfacht:

wenn x 1 ≠ x 2 und x = x 1, wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k namens Neigung gerade.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A (1, 2) und B (3, 4) geht.

Lösung... Wenn wir die obige Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden nach Punkt und Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Geraden Ax + Wu + C = 0 zum Formular führen:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Richtungsvektors.

Analog zu dem Absatz über die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor einer Geraden.

Definition... Jeder Vektor ungleich Null (α1, α2) deren Komponenten die Bedingung erfüllen

α 1 + α 2 = 0 namens Richtvektor einer Geraden.

Ax + Wu + C = 0.

Beispiel... Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A (1, 2).

Lösung... Die Gleichung der benötigten Geraden wird in der Form gesucht: Ax + By + C = 0. Nach der Definition,

die Koeffizienten müssen die Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C / A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, dann erhalten wir durch Division durch -C:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunktes ist

gerade mit Achse Oh, ein B- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Achse OU.

Beispiel... Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Wu + C = 0 durch Zahl teilen welches heisst

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normale Geradengleichung.

Das ± Vorzeichen des Normierungsfaktors sollte so gewählt werden, dass μ * C< 0.

R- die Länge der Senkrechten vom Ursprung bis zur Geraden,

ein φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel... Eine allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0... Erforderlich, um verschiedene Arten von Gleichungen zu schreiben

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 teilen)

Gleichung einer Geraden:

cosφ = 12/13; sinφ = -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in der Ebene.

Definition... Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k1x + b1, y = k2x + b2, dann ein spitzer Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k1 = k2... Zwei Geraden stehen senkrecht,

wenn k1 = -1 / k2 .

Satz.

Direkte Ax + Wu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

1 = λА, В 1 = λВ... Wenn auch 1 =, dann fallen die Geraden zusammen. Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.

Definition... Linie durch Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand von Punkt zu Linie.

Satz... Wenn ein Punkt vergeben wird M (x 0, y 0), der Abstand zur Geraden Ax + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen... Lass den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis der Senkrechten fällt vom Punkt m für ein gegebenes

gerade Linie. Dann der Abstand zwischen den Punkten m und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu verläuft

eine vorgegebene Gerade. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Die Gerade, die durch den Punkt K (x 0; y 0) verläuft und parallel zur Geraden y = kx + a verläuft, ergibt sich nach der Formel:

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Wobei k die Steigung der Geraden ist.

Alternativformel:
Die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1; y 1) und parallel zur Geraden Ax + By + C = 0 wird durch die Gleichung

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)

Bilden Sie eine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt K geht ( ;) parallel zur Geraden y = x + .

Beispiel 1. Bilden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt M 0 (-2,1) geht und gleichzeitig:
a) parallel zur Geraden 2x + 3y -7 = 0;
b) senkrecht zur Geraden 2x + 3y -7 = 0.
Lösung ... Wir stellen die Gleichung mit der Steigung als y = kx + a dar. Verschieben Sie dazu alle Werte außer y auf die rechte Seite: 3y = -2x + 7. Dann dividieren wir die rechte Seite durch den Faktor 3. Wir erhalten: y = -2 / 3x + 7/3
Finden Sie die Gleichung NK, die durch den Punkt K (-2; 1) verläuft, parallel zur Linie y = -2 / 3 x + 7/3
Einsetzen von x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 erhalten wir:
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
oder
y = -2 / 3 x - 1/3 oder 3y + 2x +1 = 0

Beispiel Nr. 2. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden parallel zur Geraden 2x + 5y = 0 und bilden Sie zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit der Fläche 5.
Lösung ... Da die Geraden parallel sind, ist die Gleichung der gewünschten Geraden 2x + 5y + C = 0. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei a und b seine Beine sind. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der gewünschten Geraden mit den Koordinatenachsen:
;
.
Also A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Ersetzen Sie in der Formel für die Fläche: ... Wir erhalten zwei Lösungen: 2x + 5y + 10 = 0 und 2x + 5y - 10 = 0.

Beispiel Nr. 3. Bilden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt (-2; 5) verläuft und parallel zur Geraden 5x-7y-4 = 0 ist.
Lösung. Diese Gerade kann durch die Gleichung y = 5/7 x - 4/7 (hier a = 5/7) dargestellt werden. Die Gleichung der benötigten Geraden lautet y - 5 = 5/7 (x - (-2)), d.h. 7 (y-5) = 5 (x + 2) oder 5x-7y + 45 = 0.

Beispiel Nr. 4. Wenn wir Beispiel 3 (A = 5, B = -7) mit Formel (2) lösen, finden wir 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0.

Beispiel Nr. 5. Gleiche die Gerade durch den Punkt (-2; 5) und parallel zur Geraden 7x + 10 = 0.
Lösung. Hier A = 7, B = 0. Formel (2) ergibt 7 (x + 2) = 0, d.h. x+2 = 0. Formel (1) ist nicht anwendbar, da diese Gleichung nicht nach y gelöst werden kann (diese Linie ist parallel zur Ordinatenachse).

Gleichung einer Linie auf einer Ebene.

Wie Sie wissen, wird jeder Punkt auf einer Ebene durch zwei Koordinaten in einem beliebigen Koordinatensystem bestimmt. Koordinatensysteme können je nach Wahl des Datums und des Ursprungs unterschiedlich sein.

Definition. Gleichungslinie nennt man das Verhältnis y = f (x) zwischen den Koordinaten der Punkte, aus denen diese Linie besteht.

Beachten Sie, dass die Geradengleichung parametrisch ausgedrückt werden kann, d. h. jede Koordinate jedes Punktes wird durch einen unabhängigen Parameter ausgedrückt T.

Ein typisches Beispiel ist die Trajektorie eines sich bewegenden Punktes. Dabei spielt die Zeit die Rolle eines Parameters.

Gleichung einer Geraden auf einer Ebene.

Definition. Jede gerade Linie auf einer Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung gegeben werden

Ax + Wu + C = 0,

außerdem sind die Konstanten A, B gleichzeitig ungleich Null, d.h. А 2 + В 2  0. Diese Gleichung erster Ordnung heißt die allgemeine Geradengleichung.

Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich:

C = 0, A  0, B  0 - die Gerade geht durch den Ursprung

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - die Gerade ist parallel zur Ox-Achse

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - die Gerade verläuft parallel zur Oy-Achse

B = C = 0, A  0 - die Gerade fällt mit der Oy-Achse zusammen

A = C = 0, B  0 - die Gerade fällt mit der Ox-Achse zusammen

Die Gleichung einer Geraden kann je nach gegebenen Anfangsbedingungen in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Normalenvektors.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem steht ein Vektor mit den Komponenten (A, B) senkrecht auf der durch die Gleichung Ax + Vy + C = 0 gegebenen Geraden.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A (1, 2) senkrecht zum Vektor verläuft (3, -1).

Bei A = 3 und B = -1 stellen wir die Geradengleichung zusammen: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden, setzen wir die Koordinaten eines gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck ein.

Wir erhalten: 3 - 2 + C = 0, also C = -1.

Summe: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann gilt die Gleichung der durch diese Punkte verlaufenden Geraden:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler mit Null gleichgesetzt werden.

In der Ebene wird die oben geschriebene Gleichung der Geraden vereinfacht:

wenn x 1  x 2 und x = x 1, wenn x 1 = x 2.

Fraktion
= k heißt Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A (1, 2) und B (3, 4) geht.

Wenn wir die obige Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden nach Punkt und Steigung.

Reduziert man die allgemeine Geradengleichung Ax + Vy + C = 0 auf die Form:

und benennen
, dann heißt die resultierende Gleichung Gleichung einer Geraden mit Steigungk.

Gleichung einer Geraden entlang eines Punktes und eines Richtungsvektors.

Analog zu dem Absatz über die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor können Sie die Angabe einer Geraden durch einen Punkt und eines Richtungsvektors einer Geraden eingeben.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null ( 1,  2), deren Komponenten die Bedingung А 1 + В 2 = 0 erfüllen, heißt Richtvektor der Geraden

Ax + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1) und durch den Punkt A (1, 2).

Gesucht wird die Gleichung der gesuchten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Die Koeffizienten müssen laut Definition die Bedingungen erfüllen:

1A + (-1) B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

für x = 1, y = 2 erhalten wir C / A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Ist in der allgemeinen Geradengleichung Ax + Vy + C = 0 C 0, dann erhalten wir durch Division durch –C:
oder

, wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient ein die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Ox-Achse ist und B- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1,
, a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Vy + C = 0 durch die Zahl geteilt werden
welches heisst Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcos + ysin - p = 0 -

Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen  des Normierungsfaktors sollte so gewählt werden, dass С< 0.

p ist die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fallen gelassen, und  ist der Winkel, den diese Senkrechten mit der positiven Richtung der Ox-Achse bilden.

Beispiel. Gegeben ist eine allgemeine Gleichung der Geraden 12x - 5y - 65 = 0. Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen dieser Geraden zu schreiben.

die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 dividieren)

normale Geradengleichung:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung.

Beispiel. Die Gerade schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Stellen Sie eine Geradengleichung auf, wenn die Fläche des von diesen Segmenten gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Die Geradengleichung hat die Form:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 stimmt nicht mit der Problemstellung überein.

Gesamt:
oder x + y - 4 = 0.

Beispiel. Stellen Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt A (-2, -3) und den Ursprung geht.

Die Geradengleichung hat die Form:
, wobei x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Der Winkel zwischen geraden Linien in der Ebene.

Definition. Sind zwei Geraden y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 gegeben, so wird der spitze Winkel zwischen diesen Geraden definiert als

.

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2.

Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1 / k 2.

Satz. Geraden Ax + Vu + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A proportional sind 1 =  A, B 1 =  B. Wenn auch C 1 =  C, dann fallen die Geraden zusammen.

Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt geht

senkrecht zu dieser Linie.

Definition. Die Gerade, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft und senkrecht zur Geraden y = kx + b verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand von Punkt zu Linie.

Satz. Wenn Punkt M (x 0 , bei 0 ), dann ist der Abstand zur Geraden Ax + Vy + C = 0 definiert als

.

Nachweisen. Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die von Punkt M auf eine gegebene Gerade fallen gelassen werden. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

Die Koordinaten x 1 und y 1 können als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.

Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Geraden: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
; =  / 4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht sind.

Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, also stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sind angegeben. Finden Sie die Gleichung für die Höhe vom Scheitelpunkt C.

Wir finden die Seitengleichung AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.

k = ... Dann y =
... Weil Höhe geht durch Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung:
daher b = 17. Gesamt:
.

Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytische Geometrie im Raum.

Gleichung einer Linie im Raum.

Gleichung einer Geraden im Raum entlang eines Punktes und

Führungsvektor.

Nimm eine beliebige Gerade und einen Vektor (m, n, p) parallel zur gegebenen Linie. Vektor namens Richtungsvektor gerade.

Nehmen Sie auf der Geraden zwei beliebige Punkte M 0 (x 0, y 0, z 0) und M (x, y, z).

z

M 1

Bezeichnen wir die Radiusvektoren dieser Punkte als und , Es ist klar, dass - =
.

Weil Vektoren
und kollinear, dann ist die Beziehung
= t, wobei t ein Parameter ist.

Insgesamt können Sie schreiben: = + T.

Weil diese Gleichung wird von den Koordinaten eines beliebigen Punktes der geraden Linie erfüllt, dann die resultierende Gleichung - parametrische Gleichung einer Geraden.

Diese Vektorgleichung kann in Koordinatenform dargestellt werden:

Wenn wir dieses System transformieren und die Werte des Parameters t gleichsetzen, erhalten wir die kanonischen Gleichungen einer Geraden im Raum:

.

Definition. Richtung Kosinus Gerade sind die Richtungskosinus des Vektors , die mit den Formeln berechnet werden kann:

;

.

Von hier erhalten wir: m: n: p = cos: cos: cos.

Die Zahlen m, n, p heißen Pisten gerade. Weil ein Vektor ungleich null ist, dann können m, n und p nicht gleichzeitig null sein, aber eine oder zwei dieser Zahlen können null sein. In diesem Fall sollten in der Geradengleichung die entsprechenden Zähler mit Null gleichgesetzt werden.

Gleichung einer geraden Linie im Raumdurchgang

durch zwei Punkte.

Wenn wir auf einer Geraden im Raum zwei beliebige Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) markieren, dann müssen die Koordinaten dieser Punkte die Geradengleichung erfüllen oben erhalten:

.

Außerdem können Sie für Punkt M 1 schreiben:

.

Wenn wir diese Gleichungen zusammen lösen, erhalten wir:

.

Dies ist die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte im Raum verläuft.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum.

Die Gleichung einer Geraden kann als die Gleichung der Schnittlinie zweier Ebenen betrachtet werden.

Wie oben besprochen, kann eine Ebene in Vektorform durch die Gleichung angegeben werden:

+ D = 0, wobei

- Ebene normal; - Radiusvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.