Gaußsche Matrix aus vier Gleichungen. Gauß-Methode zum Lösen von Matrizen. Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Gauß-Methode

Zwei Systeme lineare Gleichungen heißen äquivalent, wenn die Menge aller ihrer Lösungen gleich ist.

Elementare Transformationen des Gleichungssystems sind:

1. Streichung aus dem System trivialer Gleichungen, d.h. diejenigen, für die alle Koeffizienten gleich Null sind;
2. Multiplizieren einer beliebigen Gleichung mit einer Zahl ungleich Null;
3. Addition einer beliebigen i-ten Gleichung einer beliebigen j-ten Gleichung, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Die Variable x i heißt frei, wenn diese Variable nicht erlaubt ist und das ganze Gleichungssystem erlaubt ist.

Satz. Elementare Transformationen transformieren das Gleichungssystem in ein äquivalentes.

Die Bedeutung des Gauß-Verfahrens besteht darin, das ursprüngliche Gleichungssystem zu transformieren und ein äquivalentes zulässiges oder äquivalentes inkonsistentes System zu erhalten.

Die Gauß-Methode besteht also aus den folgenden Schritten:

1. Betrachten Sie die erste Gleichung. Wir wählen den ersten Nicht-Null-Koeffizienten und dividieren die ganze Gleichung durch ihn. Wir erhalten eine Gleichung, in die eine Variable x i mit einem Koeffizienten von 1 eintritt;
2. Subtrahieren wir diese Gleichung von allen anderen und multiplizieren sie mit Zahlen, so dass die Koeffizienten für die Variable x i in den verbleibenden Gleichungen auf Null gesetzt werden. Wir erhalten ein bezüglich der Variablen x i aufgelöstes und dem ursprünglichen äquivalentes System;
3. Wenn triviale Gleichungen auftauchen (selten, aber es passiert; zum Beispiel 0 = 0), löschen wir sie aus dem System. Als Ergebnis werden die Gleichungen eins weniger;
4. Wir wiederholen die vorherigen Schritte nicht mehr als n Mal, wobei n die Anzahl der Gleichungen im System ist. Jedes Mal, wenn wir eine neue Variable zur „Verarbeitung“ auswählen. Wenn widersprüchliche Gleichungen auftreten (z. B. 0 = 8), ist das System inkonsistent.

Als Ergebnis erhalten wir nach wenigen Schritten entweder ein erlaubtes System (evtl. mit freien Variablen) oder ein inkonsistentes. Zulässige Systeme fallen in zwei Fälle:

1. Die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen. Das System ist also definiert;
2. Anzahl der Variablen mehr Nummer Gleichungen. Wir sammeln alle freien Variablen auf der rechten Seite - wir erhalten Formeln für erlaubte Variablen. Diese Formeln sind in die Antwort geschrieben.

Das ist alles! Das lineare Gleichungssystem ist gelöst! Dies ist ein ziemlich einfacher Algorithmus, und um ihn zu beherrschen, müssen Sie sich nicht an einen Mathematiklehrer wenden. Betrachten Sie ein Beispiel:

Eine Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Beschreibung der Schritte:

1. Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und dritten - wir erhalten die erlaubte Variable x 1;
2. Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit (−1) und dividieren die dritte Gleichung durch (−3) – wir erhalten zwei Gleichungen, in denen die Variable x 2 mit einem Koeffizienten von 1 eintritt;
3. Wir addieren die zweite Gleichung zur ersten und subtrahieren von der dritten. Holen wir uns die erlaubte Variable x 2 ;
4. Schließlich subtrahieren wir die dritte Gleichung von der ersten - wir erhalten die erlaubte Variable x 3 ;
5. Wir haben ein autorisiertes System erhalten, wir schreiben die Antwort auf.

Die allgemeine Lösung des gemeinsamen linearen Gleichungssystems ist neues System, das dem Original entspricht, in dem alle erlaubten Variablen als freie Variablen ausgedrückt werden.

Wann kann erforderlich sein gemeinsame Entscheidung? Wenn Sie weniger Schritte als k machen müssen (k ist die Anzahl der Gleichungen insgesamt). Die Gründe, warum der Prozess jedoch bei irgendeinem Schritt l endet< k , может быть две:

1. Nach dem l-ten Schritt erhalten wir ein System, das keine Gleichung mit der Zahl (l + 1) enthält. Das ist sogar gut so, denn. Das aufgelöste System wird trotzdem empfangen - sogar ein paar Schritte früher.
2. Nach dem l-ten Schritt erhält man eine Gleichung, bei der alle Koeffizienten der Variablen gleich Null sind und der freie Koeffizient von Null verschieden ist. Dies ist eine inkonsistente Gleichung, und daher ist das System inkonsistent.

Es ist wichtig zu verstehen, dass das Auftreten einer inkonsistenten Gleichung durch die Gauß-Methode ein ausreichender Grund für eine Inkonsistenz ist. Gleichzeitig stellen wir fest, dass als Ergebnis des l-ten Schritts triviale Gleichungen nicht verbleiben können - sie werden alle direkt im Prozess gelöscht.

Beschreibung der Schritte:

1. Subtrahiere die erste Gleichung mal 4 von der zweiten. Und fügen Sie auch die erste Gleichung zur dritten hinzu - wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Wir subtrahieren die dritte Gleichung, multipliziert mit 2, von der zweiten – wir erhalten die widersprüchliche Gleichung 0 = −5.

Das System ist also inkonsistent, da eine inkonsistente Gleichung gefunden wurde.

Eine Aufgabe. Untersuchen Sie die Kompatibilität und finden Sie die allgemeine Lösung des Systems:

Beschreibung der Schritte:

1. Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten (nach Multiplikation mit zwei) und der dritten - wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Subtrahiere die zweite Gleichung von der dritten. Da alle Koeffizienten in diesen Gleichungen gleich sind, wird die dritte Gleichung trivial. Gleichzeitig multiplizieren wir die zweite Gleichung mit (−1);
3. Wir subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten Gleichung - wir erhalten die erlaubte Variable x 2. Das gesamte Gleichungssystem ist nun auch aufgelöst;
4. Da die Variablen x 3 und x 4 frei sind, verschieben wir sie nach rechts, um die erlaubten Variablen auszudrücken. Das ist die Antwort.

Das System ist also verbunden und unbestimmt, da es zwei erlaubte Variablen (x 1 und x 2) und zwei freie (x 3 und x 4) gibt.

Lassen Sie ein lineares System algebraische Gleichungen, die gelöst werden muss (finde solche Werte des unbekannten хi, die jede Gleichung des Systems in eine Gleichheit verwandeln).

Wir wissen, dass ein System linearer algebraischer Gleichungen:

1) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).
2) Unendlich viele Lösungen haben.
3) Haben Sie eine eindeutige Lösung.

Wie wir uns erinnern, sind die Cramersche Regel und die Matrixmethode ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Gauss-Methode – mächtigste u universelles Werkzeug um eine Lösung für ein beliebiges lineares Gleichungssystem zu finden, was die in jedem Fall führen Sie uns zur Antwort! Der Algorithmus des Verfahrens funktioniert in allen drei Fällen gleich. Wenn das Cramer- und das Matrizenverfahren die Kenntnis von Determinanten erfordern, erfordert die Anwendung des Gauß-Verfahrens nur die Kenntnis von arithmetischen Operationen, was sie auch Grundschülern zugänglich macht.

Erweiterte Matrixtransformationen ( dies ist die Matrix des Systems - eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten der Unbekannten besteht, plus einer Spalte mit freien Termen) Systeme linearer algebraischer Gleichungen im Gauß-Verfahren:

1) Mit troky Matrizen kann neu anordnen setzt.

2) wenn die Matrix proportional (as besonderer Fall gleich sind) Saiten, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine.

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen.

4) die Zeile der Matrix kann multiplizieren (dividieren) auf eine andere Zahl als Null.

5) in die Zeile der Matrix, können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden.

Bei der Gauß-Methode elementare Transformationen die Lösung des Gleichungssystems nicht verändern.

Die Gauß-Methode besteht aus zwei Stufen:

1. "Direkte Bewegung" - Bringen Sie die erweiterte Matrix des Systems linearer algebraischer Gleichungen mithilfe elementarer Transformationen in eine "dreieckige" Stufenform: Die Elemente der erweiterten Matrix, die sich unterhalb der Hauptdiagonale befinden, sind gleich Null (Bewegung von oben nach unten ). Zum Beispiel zu dieser Art:

Führen Sie dazu die folgenden Schritte aus:

1) Betrachten wir die erste Gleichung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen und der Koeffizient bei x 1 ist gleich K. Die zweite, dritte usw. Wir wandeln die Gleichungen wie folgt um: Wir teilen jede Gleichung (Koeffizienten für Unbekannte, einschließlich freier Terme) durch den Koeffizienten für Unbekannte x 1, der in jeder Gleichung enthalten ist, und multiplizieren mit K. Danach subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung ( Koeffizienten für Unbekannte und freie Terme). Wir erhalten bei x 1 in der zweiten Gleichung den Koeffizienten 0. Von der dritten transformierten Gleichung subtrahieren wir die erste Gleichung, bis alle Gleichungen außer der ersten mit unbekanntem x 1 keinen Koeffizienten 0 haben.

2) Fahren Sie mit der nächsten Gleichung fort. Sei dies die zweite Gleichung und der Koeffizient bei x 2 ist gleich M. Mit allen "untergeordneten" Gleichungen gehen wir wie oben beschrieben vor. Somit werden "unter" der Unbekannten x 2 in allen Gleichungen Nullen sein.

3) Wir gehen zur nächsten Gleichung über und so weiter, bis ein letzter unbekannter und transformierter freier Term übrig bleibt.

1. Die "umgekehrte Bewegung" der Gauß-Methode besteht darin, eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen zu erhalten (die "Bottom-up"-Bewegung). Aus der letzten "unteren" Gleichung erhalten wir eine erste Lösung - die Unbekannte x n. Dazu lösen wir die Elementargleichung A * x n \u003d B. Im obigen Beispiel x 3 \u003d 4. Wir ersetzen den gefundenen Wert in der „oberen“ nächsten Gleichung und lösen ihn in Bezug auf die nächste Unbekannte. Zum Beispiel x 2 - 4 \u003d 1, d.h. x 2 \u003d 5. Und so weiter, bis wir alle Unbekannten gefunden haben.

Beispiel.

Wir lösen das lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode, wie einige Autoren raten:

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Machen wir es so:
1 Schritt . Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat.

Jetzt oben links "minus eins", was perfekt zu uns passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Aktion ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen).

2 Schritt . Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

3 Schritt . Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit.

4 Schritt . Fügen Sie zur dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit 2.

5 Schritt . Die dritte Zeile wird durch 3 geteilt.

Ein Zeichen, das auf einen Fehler in Berechnungen hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir unten etwas wie (0 0 11 | 23) und dementsprechend 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 erhalten, können wir mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass in der Grundschule ein Fehler gemacht wurde Transformationen.

Wir führen aus Rückwärtshub, wird beim Entwurf von Beispielen das System selbst oft nicht umgeschrieben, und die Gleichungen werden „direkt aus der reduzierten Matrix entnommen“. Ich erinnere Sie daran, dass die umgekehrte Bewegung „von unten nach oben“ funktioniert. BEI dieses Beispiel Geschenk bekommen:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, also x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Antworten: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lassen Sie uns dasselbe System mit dem vorgeschlagenen Algorithmus lösen. Wir bekommen

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Teilen Sie die zweite Gleichung durch 5 und die dritte durch 3. Wir erhalten:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplizieren Sie die zweite und dritte Gleichung mit 4, wir erhalten:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten und dritten Gleichung, wir haben:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Teilen Sie die dritte Gleichung durch 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multipliziere die dritte Gleichung mit 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Subtrahieren Sie die zweite Gleichung von der dritten Gleichung, wir erhalten die „gestufte“ erweiterte Matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da sich im Berechnungsprozess ein Fehler angesammelt hat, erhalten wir also x 3 \u003d 0,96 oder ungefähr 1.

x 2 \u003d 3 und x 1 \u003d -1.

Wenn Sie auf diese Weise lösen, kommen Sie bei den Berechnungen nie durcheinander und erhalten trotz der Berechnungsfehler das Ergebnis.

Diese Methode zur Lösung eines linearen algebraischen Gleichungssystems ist leicht programmierbar und berücksichtigt nicht die Besonderheiten der Koeffizienten für Unbekannte, da man es in der Praxis (bei wirtschaftlichen und technischen Berechnungen) mit nicht ganzzahligen Koeffizienten zu tun hat.

Wünsche dir Erfolg! Wir sehen uns in der Klasse! Tutor.

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Definition und Beschreibung der Gauß-Methode

Die Gaußsche Transformationsmethode (auch als Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen aus einer Gleichung oder Matrix bekannt) zum Lösen von Systemen linearer Gleichungen ist eine klassische Methode zum Lösen eines Systems algebraischer Gleichungen (SLAE). Diese klassische Methode wird auch verwendet, um Probleme wie das Erhalten zu lösen inverse Matrizen und Bestimmen des Rangs der Matrix.

Die Transformation nach der Gauß-Methode besteht darin, kleine (elementare) sukzessive Änderungen im System linearer algebraischer Gleichungen vorzunehmen, die zur Eliminierung von Variablen von oben nach unten führen, wobei ein neues dreieckiges Gleichungssystem gebildet wird, das äquivalent ist zu das Original.

Bestimmung 1

Dieser Teil der Lösung wird Gaußsche Vorwärtslösung genannt, da der gesamte Prozess von oben nach unten durchgeführt wird.

Nachdem das ursprüngliche Gleichungssystem in ein dreieckiges System gebracht wurde, werden alle Variablen des Systems von unten nach oben gefunden (d. h. die ersten gefundenen Variablen befinden sich genau auf den letzten Zeilen des Systems oder der Matrix). Dieser Teil der Lösung wird auch als umgekehrte Gauß-Lösung bezeichnet. Sein Algorithmus besteht aus folgendem: Zuerst werden die Variablen berechnet, die dem unteren Rand des Gleichungssystems oder einer Matrix am nächsten sind, dann werden die erhaltenen Werte oben ersetzt und somit eine andere Variable gefunden, und so weiter.

Beschreibung des Algorithmus der Gauß-Methode

Die Abfolge der Aktionen zur allgemeinen Lösung des Gleichungssystems nach dem Gauß-Verfahren besteht darin, die Matrix basierend auf dem SLAE abwechselnd mit den Vorwärts- und Rückwärtsstrichen zu beaufschlagen. Das ursprüngliche Gleichungssystem habe die folgende Form:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Um SLAE nach der Gauß-Methode zu lösen, ist es notwendig, das anfängliche Gleichungssystem in Form einer Matrix aufzuschreiben:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Die Matrix $A$ wird als Hauptmatrix bezeichnet und stellt die Koeffizienten der Variablen dar, die der Reihe nach geschrieben sind, und $b$ wird als Spalte ihrer freien Elemente bezeichnet. Die Matrix $A$, die durch die Zeile mit einer Spalte freier Elemente geschrieben wird, wird als erweiterte Matrix bezeichnet:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nun ist es notwendig, es durch elementare Transformationen über das Gleichungssystem (oder über die Matrix, wie es bequemer ist) auf die folgende Form zu bringen:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Die aus den Koeffizienten des transformierten Gleichungssystems (1) erhaltene Matrix wird Stufenmatrix genannt, so sehen Stufenmatrizen üblicherweise aus:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Diese Matrizen sind durch die folgenden Eigenschaften gekennzeichnet:

1. Alle seine Null-Zeilen kommen nach Nicht-Null-Zeilen
2. Wenn eine Zeile der Matrix mit dem Index $k$ ungleich Null ist, dann gibt es in der vorherigen Zeile derselben Matrix weniger Nullen als in dieser Zeile mit dem Index $k$.

Nach dem Erhalten der Schrittmatrix ist es notwendig, die erhaltenen Variablen in die verbleibenden Gleichungen einzusetzen (beginnend am Ende) und die verbleibenden Werte der Variablen zu erhalten.

Grundregeln und erlaubte Transformationen bei der Anwendung der Gauß-Methode

Bei der Vereinfachung einer Matrix oder eines Gleichungssystems mit dieser Methode sollten nur elementare Transformationen verwendet werden.

Solche Transformationen sind Operationen, die auf eine Matrix oder ein Gleichungssystem angewendet werden können, ohne deren Bedeutung zu ändern:

• Stellenweise Permutation mehrerer Zeilen,
• Hinzufügen oder Subtrahieren von einer Zeile der Matrix einer anderen Zeile davon,
• Multiplizieren oder Dividieren einer Zeichenfolge mit einer Konstanten ungleich Null,
• eine Linie, die nur aus Nullen besteht, die bei der Berechnung und Vereinfachung des Systems erhalten wurde, muss gelöscht werden,
• Sie müssen auch unnötige Proportionallinien entfernen und für das System die einzige mit Koeffizienten auswählen, die für weitere Berechnungen geeigneter und bequemer sind.

Alle elementaren Transformationen sind umkehrbar.

Analyse der drei Hauptfälle, die beim Lösen linearer Gleichungen mit der Methode der einfachen Gaußschen Transformationen auftreten

Bei der Anwendung der Gauß-Methode zur Lösung von Systemen treten drei Fälle auf:

1. Wenn das System inkonsistent ist, das heißt, es hat keine Lösungen
2. Das Gleichungssystem hat eine Lösung, und die einzige, und die Anzahl der Zeilen und Spalten ungleich Null in der Matrix ist gleich.
3. Das System hat eine Nummer oder einen Satz mögliche Lösungen, und die Anzahl der Zeilen darin ist kleiner als die Anzahl der Spalten.

Lösungsergebnis mit inkonsistentem System

Für diese Option beim Lösen Matrixgleichung Die Gaußsche Methode zeichnet sich dadurch aus, dass sie eine Linie mit der Unmöglichkeit der Erfüllung der Gleichheit erhält. Wenn also mindestens eine falsche Gleichheit auftritt, haben das resultierende und das ursprüngliche System keine Lösungen, unabhängig von den anderen Gleichungen, die sie enthalten. Ein Beispiel für eine inkonsistente Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

In der letzten Zeile erschien eine nicht erfüllte Gleichheit: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Ein Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat

Die Daten des Systems nach Reduktion auf eine Stufenmatrix und Löschung von Zeilen mit Nullen haben in der Hauptmatrix die gleiche Zeilen- und Spaltenzahl. Hier das einfachste Beispiel so ein System:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Um die erste Zelle der zweiten Zeile auf Null zu bringen, multiplizieren wir die obere Zeile mit $-2$ und subtrahieren sie von der unteren Zeile der Matrix und lassen die obere Zeile in ihrer ursprünglichen Form, als Ergebnis haben wir Folgendes :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Dieses Beispiel kann als System geschrieben werden:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Der folgende Wert von $x$ ergibt sich aus der unteren Gleichung: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Setzen wir diesen Wert in die obere Gleichung ein: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, erhalten wir $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Ein System mit vielen Lösungsmöglichkeiten

Dieses System zeichnet sich durch eine geringere Anzahl signifikanter Zeilen als die Anzahl der darin enthaltenen Spalten aus (die Zeilen der Hauptmatrix werden berücksichtigt).

Variablen in einem solchen System werden in zwei Typen unterteilt: einfach und frei. Bei der Transformation eines solchen Systems müssen die darin enthaltenen Hauptvariablen im linken Bereich vor dem „=“-Zeichen belassen und die restlichen Variablen auf die rechte Seite der Gleichheit übertragen werden.

Ein solches System hat nur eine bestimmte allgemeine Lösung.

Lass uns einen Blick darauf werfen nächstes System Gleichungen:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Schreiben wir es in Form einer Matrix:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Unsere Aufgabe ist es, eine allgemeine Lösung für das System zu finden. Für diese Matrix sind die Basisvariablen $y_1$ und $y_3$ (für $y_1$ - da es an erster Stelle steht, und im Fall von $y_3$ - es befindet sich nach Nullen).

Als Basisvariablen wählen wir genau die, die in der Zeile an erster Stelle ungleich Null sind.

Die verbleibenden Variablen werden als frei bezeichnet, durch sie müssen wir die grundlegenden ausdrücken.

Mit dem sogenannten Reverse Move zerlegen wir das System von unten nach oben, dazu drücken wir zunächst $y_3$ aus der untersten Zeile des Systems aus:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nun setzen wir das ausgedrückte $y_3$ in die obere Gleichung des Systems $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ein: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Wir drücken $y_1$ durch die freien Variablen $y_2$ und $y_4$ aus:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Die Lösung ist fertig.

Beispiel 1

Lösen Sie den Sumpf mit der Gaußschen Methode. Beispiele. Ein Beispiel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems, das durch eine 3-mal-3-Matrix mit der Gauß-Methode gegeben ist

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Wir schreiben unser System in Form einer erweiterten Matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Jetzt müssen wir der Einfachheit halber die Matrix so transformieren, dass sich $1$ in der oberen Ecke der letzten Spalte befindet.

Dazu müssen wir die Zeile aus der Mitte multipliziert mit $-1$ zur 1. Zeile hinzufügen und die mittlere Zeile selbst schreiben, wie sie ist, wie sich herausstellt:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multiplizieren Sie die oberste und die letzte Reihe mit $-1$ und tauschen Sie die letzte und die mittlere Reihe aus:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Und teilen Sie die letzte Zeile durch $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Wir erhalten das folgende Gleichungssystem, das dem ursprünglichen entspricht:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Aus der oberen Gleichung drücken wir $x_1$ aus:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.

Beispiel 2

Ein Beispiel für die Lösung eines Systems, das mit einer 4-mal-4-Matrix unter Verwendung der Gauß-Methode definiert ist

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Am Anfang tauschen wir die oberen Zeilen, die darauf folgen, um $1$ in der oberen linken Ecke zu erhalten:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Jetzt multiplizieren wir die oberste Zeile mit $-2$ und addieren zur 2. und zur 3. Zeile. Zur 4. fügen wir die 1. Zeile hinzu, multipliziert mit $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Jetzt fügen wir zu Zeile 3 Zeile 2 multipliziert mit $4$ hinzu, und zu Zeile 4 fügen wir Zeile 2 multipliziert mit $-1$ hinzu.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Multipliziere Zeile 2 mit $-1$, dividiere Zeile 4 durch $3$ und ersetze Zeile 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Jetzt addieren wir zur letzten Zeile die vorletzte, multipliziert mit $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

Seit Beginn des 16. bis 18. Jahrhunderts begannen Mathematiker, sich intensiv mit den Funktionen zu beschäftigen, wodurch sich so viel in unserem Leben verändert hat. Computertechnologie würde ohne dieses Wissen einfach nicht existieren. Für Lösungen herausfordernde Aufgaben, lineare Gleichungen und Funktionen wurden verschiedene Konzepte, Theoreme und Lösungsmethoden erstellt. Eine dieser universellen und rationalen Methoden und Techniken zum Lösen linearer Gleichungen und ihrer Systeme war die Gauß-Methode. Matrizen, ihr Rang, Determinante - alles kann ohne komplexe Operationen berechnet werden.

Was ist SLAU

In der Mathematik gibt es das Konzept von SLAE – ein System linearer algebraischer Gleichungen. Was stellt sie dar? Dies ist ein Satz von m Gleichungen mit den erforderlichen n Unbekannten, die normalerweise als x, y, z oder x 1 , x 2 ... x n oder andere Symbole bezeichnet werden. Löse nach der Gauß-Methode dieses System- bedeutet, alle erforderlichen Unbekannten zu finden. Wenn das System hat die gleiche Nummer Unbekannten und Gleichungen, dann spricht man von einem System n-ter Ordnung.

Die beliebtesten Methoden zur Lösung von SLAE

BEI Bildungsinstitutionen Sekundarstufe studieren verschiedene Techniken zur Lösung solcher Systeme. Meistens dies einfache Gleichungen, bestehend aus zwei Unbekannten, so dass jede bestehende Methode, um die Antwort darauf zu finden, nicht viel Zeit in Anspruch nimmt. Es kann wie eine Substitutionsmethode sein, wenn eine andere Gleichung aus einer Gleichung abgeleitet und in die ursprüngliche eingesetzt wird. Oder Term für Term Subtraktion und Addition. Die Gauß-Methode gilt jedoch als die einfachste und universellste. Es ermöglicht das Lösen von Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten. Warum gilt diese Technik als rational? Alles ist einfach. Die Matrixmethode ist gut, da unnötige Zeichen nicht mehrmals in Form von Unbekannten neu geschrieben werden müssen. Es reicht aus, arithmetische Operationen an den Koeffizienten durchzuführen - und Sie erhalten ein zuverlässiges Ergebnis.

Wo werden SLAEs in der Praxis eingesetzt?

Die Lösung von SLAE sind die Schnittpunkte der Geraden auf den Funktionsgraphen. In unserem Hightech-Computerzeitalter müssen Menschen, die eng mit der Entwicklung von Spielen und anderen Programmen befasst sind, wissen, wie man solche Systeme löst, was sie darstellen und wie man die Korrektheit des resultierenden Ergebnisses überprüft. Meistens entwickeln Programmierer spezielle lineare Algebra-Rechner, dazu gehört ein System linearer Gleichungen. Mit der Gauß-Methode können Sie alle vorhandenen Lösungen berechnen. Andere vereinfachte Formeln und Techniken werden ebenfalls verwendet.

SLAE-Kompatibilitätskriterium

Ein solches System kann nur gelöst werden, wenn es kompatibel ist. Zur Verdeutlichung präsentieren wir die SLAE in der Form Ax=b. Es hat eine Lösung, wenn rang(A) gleich rang(A,b) ist. In diesem Fall ist (A,b) eine Matrix in erweiterter Form, die aus Matrix A durch Umschreiben mit freien Termen erhalten werden kann. Es stellt sich heraus, dass das Lösen linearer Gleichungen mit der Gaußschen Methode recht einfach ist.

Vielleicht ist eine Notation nicht ganz klar, daher ist es notwendig, alles mit einem Beispiel zu betrachten. Nehmen wir an, es gibt ein System: x+y=1; 2x-3y=6. Es besteht aus nur zwei Gleichungen, in denen es 2 Unbekannte gibt. Das System hat nur dann eine Lösung, wenn der Rang seiner Matrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist. Was ist ein Rang? Dies ist die Anzahl der unabhängigen Linien des Systems. In unserem Fall ist der Rang der Matrix 2. Matrix A besteht aus den Koeffizienten, die sich in der Nähe der Unbekannten befinden, und die Koeffizienten hinter dem Zeichen „=“ passen auch in die erweiterte Matrix.

Warum SLAE in Matrixform dargestellt werden kann

Basierend auf dem Kompatibilitätskriterium nach dem bewährten Satz von Kronecker-Capelli lässt sich das System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform darstellen. Mit der Gaußschen Kaskadenmethode können Sie die Matrix lösen und erhalten die einzig zuverlässige Antwort für das gesamte System. Wenn der Rang einer gewöhnlichen Matrix gleich dem Rang ihrer erweiterten Matrix ist, aber kleiner als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System unendlich viele Antworten.

Matrixtransformationen

Bevor Sie mit dem Lösen von Matrizen fortfahren, müssen Sie wissen, welche Aktionen an ihren Elementen ausgeführt werden können. Es gibt mehrere elementare Transformationen:

• Durch Umschreiben des Systems in Matrixform und Durchführen seiner Lösung ist es möglich, alle Elemente der Reihe mit demselben Koeffizienten zu multiplizieren.
• Um eine Matrix in eine kanonische Form umzuwandeln, können zwei parallele Zeilen vertauscht werden. Die kanonische Form impliziert, dass alle Elemente der Matrix, die sich entlang der Hauptdiagonalen befinden, Einsen werden und die verbleibenden Einsen Nullen werden.
• Die entsprechenden Elemente der parallelen Zeilen der Matrix können miteinander addiert werden.

Jordan-Gauß-Verfahren

Das Wesentliche beim Lösen von Systemen linearer homogener und inhomogener Gleichungen nach der Gauß-Methode besteht darin, die Unbekannten schrittweise zu eliminieren. Nehmen wir an, wir haben ein System aus zwei Gleichungen, in dem es zwei Unbekannte gibt. Um sie zu finden, müssen Sie das System auf Kompatibilität überprüfen. Die Gaußsche Gleichung wird sehr einfach gelöst. Es ist notwendig, die Koeffizienten, die sich in der Nähe jeder Unbekannten befinden, in Matrixform aufzuschreiben. Um das System zu lösen, müssen Sie die erweiterte Matrix schreiben. Wenn eine der Gleichungen eine geringere Anzahl von Unbekannten enthält, muss "0" anstelle des fehlenden Elements eingesetzt werden. Alle gelten für die Matrix bekannte Methoden Transformationen: Multiplikation, Division durch eine Zahl, Addition der entsprechenden Elemente der Reihe und andere. Es stellt sich heraus, dass in jeder Zeile eine Variable mit dem Wert "1" belassen werden muss, der Rest sollte auf Null reduziert werden. Zum genaueren Verständnis ist es notwendig, das Gauß-Verfahren anhand von Beispielen zu betrachten.

Ein einfaches Beispiel für die Lösung eines 2x2-Systems

Nehmen wir zunächst ein einfaches System algebraischer Gleichungen, in dem es 2 Unbekannte gibt.

Schreiben wir es in eine erweiterte Matrix um.

Um dieses lineare Gleichungssystem zu lösen, sind nur zwei Operationen erforderlich. Wir müssen die Matrix in die kanonische Form bringen, damit es Einheiten entlang der Hauptdiagonalen gibt. Wenn wir also von der Matrixform zurück in das System übersetzen, erhalten wir die Gleichungen: 1x+0y=b1 und 0x+1y=b2, wobei b1 und b2 die Antworten sind, die beim Lösungsprozess erhalten werden.

1. Der erste Schritt zur Lösung der erweiterten Matrix sieht folgendermaßen aus: Die erste Zeile muss mit -7 multipliziert und die entsprechenden Elemente zur zweiten Zeile hinzugefügt werden, um eine Unbekannte in der zweiten Gleichung loszuwerden.
2. Da die Lösung von Gleichungen nach der Gauß-Methode impliziert, die Matrix in die kanonische Form zu bringen, ist es notwendig, die gleichen Operationen mit der ersten Gleichung durchzuführen und die zweite Variable zu entfernen. Dazu subtrahieren wir die zweite Zeile von der ersten und erhalten die notwendige Antwort – die Lösung der SLAE. Oder wir multiplizieren, wie in der Abbildung gezeigt, die zweite Reihe mit dem Faktor -1 und addieren die Elemente der zweiten Reihe zur ersten Reihe. Das ist das gleiche.

Wie Sie sehen, wird unser System nach der Jordan-Gauß-Methode gelöst. Wir schreiben es in der erforderlichen Form um: x=-5, y=7.

Ein Beispiel für das Lösen von SLAE 3x3

Angenommen, wir haben ein komplexeres System linearer Gleichungen. Die Gauß-Methode ermöglicht es, die Antwort selbst für das scheinbar verwirrendste System zu berechnen. Um also tiefer in die Berechnungsmethodik einzutauchen, können Sie zu mehr übergehen komplexes Beispiel mit drei Unbekannten.

Wie im vorherigen Beispiel schreiben wir das System in Form einer erweiterten Matrix um und beginnen, es in die kanonische Form zu bringen.

Um dieses System zu lösen, müssen Sie viel mehr Aktionen ausführen als im vorherigen Beispiel.

1. Zuerst müssen Sie in der ersten Spalte ein einzelnes Element und den Rest Nullen machen. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit -1 und addieren Sie die zweite Gleichung dazu. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir die erste Zeile in ihrer ursprünglichen Form und die zweite - bereits in einer modifizierten Form - neu schreiben.
2. Als nächstes entfernen wir dieselbe erste Unbekannte aus der dritten Gleichung. Dazu multiplizieren wir die Elemente der ersten Reihe mit -2 und addieren sie zur dritten Reihe. Jetzt werden die erste und zweite Zeile in ihrer ursprünglichen Form neu geschrieben und die dritte - bereits mit Änderungen. Wie Sie dem Ergebnis entnehmen können, haben wir die erste Eins am Anfang der Hauptdiagonalen der Matrix und der Rest sind Nullen. Noch ein paar Aktionen, und das Gleichungssystem nach der Gauß-Methode ist zuverlässig gelöst.
3. Jetzt müssen Sie Operationen an anderen Elementen der Zeilen ausführen. Der dritte und der vierte Schritt können zu einem kombiniert werden. Wir müssen die zweite und dritte Linie durch -1 teilen, um die negativen auf der Diagonalen loszuwerden. Die dritte Zeile haben wir bereits in die geforderte Form gebracht.
4. Als nächstes kanonisieren wir die zweite Zeile. Dazu multiplizieren wir die Elemente der dritten Zeile mit -3 und addieren sie zur zweiten Zeile der Matrix. Aus dem Ergebnis ist ersichtlich, dass auch die zweite Zeile auf die von uns benötigte Form reduziert wird. Es müssen noch einige Operationen durchgeführt und die Koeffizienten der Unbekannten aus der ersten Reihe entfernt werden.
5. Um aus dem zweiten Element der Reihe 0 zu machen, musst du die dritte Reihe mit -3 multiplizieren und zur ersten Reihe addieren.
6. Der nächste entscheidende Schritt ist die Ergänzung der ersten Zeile notwendige Elemente zweite Reihe. So erhalten wir die kanonische Form der Matrix und dementsprechend die Antwort.

Wie Sie sehen können, ist die Lösung von Gleichungen nach der Gauß-Methode recht einfach.

Ein Beispiel für die Lösung eines 4x4-Gleichungssystems

Etwas mehr komplexe Systeme Gleichungen können nach der Gaußschen Methode gelöst werden Computerprogramme. Es ist notwendig, Koeffizienten für Unbekannte in vorhandene leere Zellen zu treiben, und das Programm berechnet das erforderliche Ergebnis Schritt für Schritt und beschreibt jede Aktion im Detail.

Nachstehend beschrieben Schritt-für-Schritt-Anleitung Lösungen zu diesem Beispiel.

Im ersten Schritt werden freie Koeffizienten und Zahlen für Unbekannte in leere Zellen eingetragen. Somit erhalten wir die gleiche erweiterte Matrix, die wir von Hand schreiben.

Und alle notwendigen arithmetischen Operationen werden durchgeführt, um die erweiterte Matrix in die kanonische Form zu bringen. Es muss verstanden werden, dass die Antwort auf ein Gleichungssystem nicht immer ganze Zahlen sind. Manchmal kann die Lösung aus Bruchzahlen bestehen.

Überprüfung der Richtigkeit der Lösung

Das Jordan-Gauß-Verfahren sieht eine Überprüfung der Richtigkeit des Ergebnisses vor. Um herauszufinden, ob die Koeffizienten korrekt berechnet werden, müssen Sie nur das Ergebnis in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzen. Die linke Seite der Gleichung muss mit der rechten Seite übereinstimmen, die hinter dem Gleichheitszeichen steht. Wenn die Antworten nicht übereinstimmen, müssen Sie das System neu berechnen oder versuchen, eine andere Ihnen bekannte Methode zur Lösung von SLAE anzuwenden, z. B. Substitution oder Term-für-Term-Subtraktion und -Addition. Schließlich ist die Mathematik eine Wissenschaft, die hat große Menge verschiedene Lösungsmethoden. Aber denken Sie daran: Das Ergebnis sollte immer dasselbe sein, egal welche Lösungsmethode Sie verwendet haben.

Gauss-Methode: die häufigsten Fehler beim Lösen von SLAE

Bei der Lösung linearer Gleichungssysteme treten am häufigsten Fehler auf, wie z. B. falsche Übertragung von Koeffizienten in eine Matrixform. Es gibt Systeme, in denen einige Unbekannte in einer der Gleichungen fehlen, die dann beim Übertragen der Daten in die erweiterte Matrix verloren gehen können. Infolgedessen entspricht das Ergebnis beim Lösen dieses Systems möglicherweise nicht dem tatsächlichen.

Ein weiterer Hauptfehler kann das falsche Schreiben des Endergebnisses sein. Es muss klar sein, dass der erste Koeffizient der ersten Unbekannten aus dem System entspricht, der zweite - der zweiten und so weiter.

Das Gauß-Verfahren beschreibt detailliert die Lösung linearer Gleichungen. Dank ihm ist es einfach, die notwendigen Operationen durchzuführen und das richtige Ergebnis zu finden. Außerdem diese Allheilmittel nach einer zuverlässigen Antwort auf Gleichungen beliebiger Komplexität zu suchen. Vielleicht wird es deshalb so oft bei der Lösung von SLAE verwendet.

Bildungseinrichtung "Belarussischer Staat

Landwirtschaftliche Akademie"

Stuhl höhere Mathematik

Richtlinien

für das Studium des Themas „Gauss-Verfahren zur Lösung von linearen Systemen

Gleichungen“ von Studenten der Fakultät für Rechnungswesen der Korrespondenzform der Ausbildung (NISPO)

Gorki, 2013

Gauß-Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen

Äquivalente Gleichungssysteme

Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn jede Lösung des einen eine Lösung des anderen ist. Der Prozess der Lösung eines linearen Gleichungssystems besteht in seiner sukzessiven Transformation in ein äquivalentes System unter Verwendung des sogenannten elementare Transformationen , welche sind:

1) Permutation zweier beliebiger Gleichungen des Systems;

2) Multiplikation beider Teile einer beliebigen Gleichung des Systems mit einer Zahl ungleich Null;

3) Hinzufügen einer weiteren Gleichung zu einer beliebigen Gleichung, multipliziert mit einer beliebigen Zahl;

4) Streichung einer aus Nullen bestehenden Gleichung, d.h. Gleichungen eingeben.

Gaußsche Elimination

Betrachten Sie das System m lineare Gleichungen mit n Unbekannt:

Das Wesen der Gauß-Methode oder der Methode des sukzessiven Ausschlusses von Unbekannten ist wie folgt.

Zunächst wird mit Hilfe elementarer Transformationen die Unbekannte aus allen Gleichungen des Systems außer der ersten ausgeschlossen. Solche Transformationen des Systems werden aufgerufen Gaußscher Eliminationsschritt . Das Unbekannte wird gerufen auflösende Variable im ersten Schritt der Transformation. Der Koeffizient wird aufgerufen Auflösungsfaktor , wird die erste Gleichung aufgerufen Gleichung auflösen , und die Spalte der Koeffizienten bei Spalte aktivieren .

Wenn Sie einen Schritt der Gaußschen Elimination durchführen, müssen Sie verwenden die folgenden Regeln:

1) die Koeffizienten und der freie Term der Auflösungsgleichung bleiben unverändert;

2) die Koeffizienten der Auflösungsspalte, die sich unterhalb des Auflösungskoeffizienten befinden, werden zu Null;

3) alle anderen Koeffizienten und freien Terme im ersten Schritt werden nach der Rechteckregel berechnet:

, wo ich=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Wir führen ähnliche Transformationen an der zweiten Gleichung des Systems durch. Dies führt zu einem System, in dem das Unbekannte in allen Gleichungen außer den ersten beiden ausgeschlossen wird. Als Ergebnis solcher Transformationen über jede der Gleichungen des Systems (direktes Gauß-Verfahren) wird das ursprüngliche System auf ein äquivalentes Stufensystem eines der folgenden Typen reduziert.

Reverse-Gauß-Methode

Stufensystem

Es hat dreieckige Ansicht und alle (ich=1,2,…,n). Ein solches System hat eine einzigartige Lösung. Die Unbekannten werden ausgehend von der letzten Gleichung bestimmt (Umkehrung der Gauß-Methode).

Das Stufensystem hat die Form

wo, d. h. die Anzahl der Systemgleichungen ist kleiner oder gleich der Anzahl der Unbekannten. Dieses System hat keine Lösungen, da die letzte Gleichung für keinen Wert der Variablen gilt.

Stufenansichtssystem

hat unendlich viele Lösungen. Aus der letzten Gleichung wird die Unbekannte durch die Unbekannten ausgedrückt . Dann wird anstelle der Unbekannten ihr Ausdruck in Bezug auf die Unbekannten in die vorletzte Gleichung eingesetzt . Fortsetzung des umgekehrten Verlaufs der Gauß-Methode, der Unbekannten kann durch Unbekannte ausgedrückt werden . In diesem Fall das Unbekannte genannt frei und kann jeden Wert annehmen, und unbekannt Basic.

Beim Lösen von Systemen in der Praxis ist es zweckmäßig, alle Transformationen nicht mit einem Gleichungssystem durchzuführen, sondern mit einer erweiterten Matrix des Systems, die aus Koeffizienten von Unbekannten und einer Spalte mit freien Termen besteht.

Beispiel 1. Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix des Systems zusammensetzen und elementare Transformationen durchführen:

.

In der erweiterten Matrix des Systems ist die Zahl 3 (hervorgehoben) der Auflösungsfaktor, die erste Zeile ist die Auflösungszeile und die erste Spalte ist die Auflösungsspalte. Beim Wechsel zur nächsten Matrix ändert sich die Auflösungszeile nicht, alle Elemente der Auflösungsspalte unterhalb des Auflösungselements werden durch Nullen ersetzt. Und alle anderen Elemente der Matrix werden gemäß der Vierecksregel neu berechnet. Anstelle von Element 4 schreiben wir in die zweite Zeile , anstelle des Elements -3 in der zweiten Zeile wird es geschrieben usw. Somit wird die zweite Matrix erhalten. Diese Matrix hat die Auflösungselementnummer 18 in der zweiten Zeile. Um die nächste (dritte Matrix) zu bilden, lassen wir die zweite Zeile unverändert, schreiben Null in die Spalte unter dem auflösenden Element und berechnen die verbleibenden zwei Elemente neu: Anstelle der Zahl 1 schreiben wir , und statt der Zahl 16 schreiben wir .

Dadurch wird das ursprüngliche System auf ein äquivalentes System reduziert

Aus der dritten Gleichung finden wir . Setzen Sie diesen Wert in die zweite Gleichung ein: j=3. Setze die gefundenen Werte in die erste Gleichung ein j und z: , x=2.

Somit lautet die Lösung dieses Gleichungssystems x=2, j=3, .

Beispiel 2. Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung. Führen wir elementare Transformationen an der erweiterten Matrix des Systems durch:

In der zweiten Matrix wird jedes Element der dritten Reihe durch 2 geteilt.

In der vierten Matrix wurde jedes Element der dritten und vierten Reihe durch 11 geteilt.

. Die resultierende Matrix entspricht dem Gleichungssystem

Lösung dieses Systems, finden wir , , .

Beispiel 3. Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung. Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und führen elementare Transformationen durch:

.

In der zweiten Matrix wurde jedes Element der zweiten, dritten und vierten Reihe durch 7 geteilt.

Als Ergebnis das Gleichungssystem

entspricht dem Original.

Da es zwei Gleichungen weniger als Unbekannte gibt, dann aus der zweiten Gleichung . Ersetzen Sie den Ausdruck für in die erste Gleichung: , .

Also die Formeln Geben Sie die allgemeine Lösung dieses Gleichungssystems an. Unbekannt und sind kostenlos und können jeden Wert annehmen.

Lassen Sie zum Beispiel Dann und . Lösung ist eine der besonderen Lösungen des Systems, von denen es unzählige gibt.

Fragen zur Selbstkontrolle des Wissens

1) Welche Transformationen linearer Systeme nennt man elementar?

2) Welche Transformationen des Systems werden Gaußscher Eliminationsschritt genannt?

3) Was ist eine Auflösungsvariable, ein Auflösungsfaktor, eine Auflösungsspalte?

4) Welche Regeln sollten verwendet werden, wenn ein Schritt der Gaußschen Elimination durchgeführt wird?