Този онлайн калкулатор ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете вашето уравнение в съответното поле, като обозначите "производната на функцията" чрез апостроф и щракнете върху бутона "решете уравнението". И системата, внедрена на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще даде подробна информация решение на диференциално уравнениеабсолютно безплатно. Можете също така да зададете задачата на Коши, за да изберете частното, съответстващо на дадените начални условия от целия набор от възможни решения. Задачата на Коши се въвежда в отделно поле.

Диференциално уравнение

Функцията по подразбиране в уравнението е ге функция на променлива х... Можете обаче да зададете собствено обозначение на променлива, ако напишете, например, y (t) в уравнението, тогава калкулаторът автоматично ще разпознае, че гима функция на променлива т... С калкулатор можете решаване на диференциални уравненияс всякаква сложност и вид: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, от първи или втори и по-високи порядки, уравнения с разделими или неразделими променливи и др. Диференциално решение уравнението е дадено в аналитичен вид, има подробно описание. Диференциалните уравнения са много разпространени във физиката и математиката. Без тяхното изчисляване е невъзможно да се решат много проблеми (особено в математическата физика).

Един от етапите на решаване на диференциални уравнения е интегрирането на функциите. Има стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е уравненията да се приведат във вида с отделими променливи y и x и отделните функции да се интегрират отделно. За да направите това, понякога трябва да се извърши определена подмяна.

В някои проблеми на физиката не е възможно да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но е възможно да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от тяхното решаване за намиране на неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които са изправени пред проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е структурирана така, че с нулево представяне на диференциални уравнения, вие ще можете да се справите със задачата си.

На всеки тип диференциални уравнения се приписва метод на решение с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите формата на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способността да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) от различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме да се обърнете към раздела.

Първо ще разгледаме видовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това преминаваме към ODE от втори ред, след това се спираме на уравнения от по-висок порядък и завършваме със системи от диференциал уравнения.

Припомнете си, че ако y е функция на аргумента x.

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата.

Нека напишем няколко примера за такива DE .

Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f (x). В този случай стигаме до уравнение, което ще бъде еквивалентно на оригиналното за f (x) ≠ 0. Примери за такива ODE са.

Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f (x) и g (x) едновременно изчезват, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за тези стойности на аргумента. Могат да бъдат дадени примери за такива диференциални уравнения.

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LODE с постоянни коефициенти е много често срещана форма на диференциални уравнения. Тяхното решение не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение ... За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на характерното му уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LODE с постоянни коефициенти има формата


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LDE и конкретно решение на оригиналното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният раздел е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И конкретно решение се определя или по метода на недефинираните коефициенти за определена форма на функцията f(x), която е от дясната страна на оригиналното уравнение, или по метода на вариация на произволни константи.

Като примери за LDE от втори ред с постоянни коефициенти даваме


За да разберете теорията и да се запознаете с подробни решения на примери, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения (LDE) от втори ред.

Специален случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LDE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен сегмент се представя от линейна комбинация от две линейно независими частни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се крие именно в намирането на линейно независими частни решения на диференциално уравнение от този тип. Обикновено конкретни решения се избират от следните системи от линейно независими функции:


Частните решения обаче не винаги се представят в тази форма.

Пример за LODU е .

Общото решение на LHDE се търси във формата, където е общото решение на съответния LHDE, и е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.

Пример за LNDE е .

Диференциални уравнения от по-висок порядък.

Диференциални уравнения, допускащи редукция по ред.

Ред на диференциално уравнение , който не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 порядък, може да бъде намален до n-k чрез замяна.

В този случай и оригиналното диференциално уравнение ще бъде сведено до. След намиране на нейното решение p (x), остава да се върнем към заместването и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната то става отделимо уравнение и неговият ред ще намалее от третото към първото.

Обикновено диференциално уравнение се нарича уравнение, свързващо независимата променлива, неизвестната функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различни порядки.

Редът на диференциалното уравнение се нарича ред на най-високата производна, съдържаща се в него.

Освен обикновените се изучават и частни диференциални уравнения. Това са уравнения, свързващи независими променливи, неизвестната функция на тези променливи и нейните частни производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова ще пропуснем думата "обикновен" за краткост.

Примери за диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, а уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение н-тият ред не трябва да съдържа изрично функция, всички нейни производни от първия до н-ти ред и независима променлива. Може да не съдържа изрично производни на някои порядки, функция, независима променлива.

Например в уравнение (1) явно няма производни от трети и втори порядък, както и функцията; в уравнение (2) - производна от втори ред и функция; в уравнение (4) - независима променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) съдържа изрично всички производни, функция и независима променлива.

Чрез решаване на диференциалното уравнение се извиква всяка функция y = f (x), когато се замести в уравнение, то се превръща в идентичност.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича интегриране.

Пример 1.Намерете решение на диференциалното уравнение.

Решение. Нека запишем това уравнение във формата. Решението е да се намери функцията по нейната производна. Началната функция, както е известно от интегралното смятане, е антипроизводната за, т.е.

Ето какво е решение на дадено диференциално уравнение ... Промяна в него ° С, ще получим различни решения. Открихме, че има безкрайно много решения на диференциално уравнение от първи ред.

Общото решение на диференциалното уравнение н-ти ред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестна функция и съдържащо ннезависими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в Пример 1 е общо.

Чрез конкретно решение на диференциалното уравнение неговото решение се нарича, в което се дават конкретни числови стойности на произволни константи.

Пример 2.Намерете общото решение на диференциалното уравнение и частното решение за .

Решение. Интегрираме двете страни на уравнението толкова пъти, колкото е реда на диференциалното уравнение.

,

.

В резултат на това получихме общо решение -

даденото диференциално уравнение от трети ред.

Сега ще намерим конкретно решение при посочените условия. За да направите това, заменете техните стойности вместо произволни коефициенти и получете

.

Ако в допълнение към диференциалното уравнение е дадено първоначално условие във формата, тогава такъв проблем се нарича проблемът на Коши ... Стойностите и се заместват в общото решение на уравнението и се намира стойността на произволна константа ° С, а след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност ° С... Това е решението на проблема на Коши.

Пример 3.Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от пример 1 при условието.

Решение. Нека заместим в общото решение стойностите от първоначалното условие г = 3, х= 1. Получаваме

Записваме решението на задачата на Коши за дадено диференциално уравнение от първи ред:

Решаването на диференциални уравнения, дори и на най-простите, изисква добри умения за интегриране и вземане на производни, включително сложни функции. Това може да се види в следния пример.

Пример 4.Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано по такъв начин, че можете веднага да интегрирате двете му страни.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променливата (заместване). Нека тогава.

Задължително е да се вземе dxи сега - внимание - правим го по правилата за диференциране на сложна функция, т.к хи има сложна функция ("ябълка" е извличането на квадратния корен или, което е едно и също нещо, степенуването на "една половина", а "кайма" е самият израз под корена):

Намерете интеграла:

Връщане към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

При решаването на диференциални уравнения ще са необходими не само умения от предишните раздели на висшата математика, но и умения от елементарна, тоест училищна математика. Както вече беше споменато, в диференциално уравнение от всякакъв ред може да няма независима променлива, т.е. променлива х... Познаването на пропорцията, незабравено (както обаче някой) от училищната скамейка, ще помогне за решаването на този проблем. Това е следващият пример.

Решаване на диференциални уравнения. Благодарение на нашата онлайн услуга можете да решавате диференциални уравнения от всякакъв вид и сложност: нехомогенни, хомогенни, нелинейни, линейни, от първи, втори ред, с разделими или неразделими променливи и др. Получавате решението на диференциални уравнения в аналитична форма с подробно описание. Много хора се чудят: защо трябва да решавате диференциални уравнения онлайн? Този тип уравнения са много разпространени в математиката и физиката, където ще бъде невъзможно да се решат много проблеми без да се изчисли диференциално уравнение. Диференциалните уравнения са често срещани и в икономиката, медицината, биологията, химията и други науки. Решаването на такова уравнение онлайн значително улеснява възложените ви задачи, прави възможно по-доброто усвояване на материала и тестване. Предимства от решаването на диференциални уравнения онлайн. Съвременният сайт за математически услуги ви позволява да решавате онлайн диференциални уравнения с всякаква сложност. Както знаете, има голям брой видове диференциални уравнения и всяко от тях има свои собствени решения. В нашата услуга можете да намерите онлайн решения на диференциални уравнения от всякакъв ред и вид. За да получите решение, ви предлагаме да попълните първоначалните данни и да кликнете върху бутона "Решение". Грешки в услугата са изключени, така че можете да сте 100% сигурни, че сте получили правилния отговор. Решете диференциални уравнения с нашата услуга. Решавайте диференциални уравнения онлайн. По подразбиране в такова уравнение функцията y е функция на променливата x. Но можете също да посочите собствено обозначение на променливата. Например, ако посочите y (t) в диференциалното уравнение, тогава нашата услуга автоматично ще определи, че y е функция на променливата t. Редът на цялото диференциално уравнение ще зависи от максималния ред на производната на функцията, присъстваща в уравнението. Да се ​​реши такова уравнение означава да се намери необходимата функция. Нашата услуга ще ви помогне да решавате диференциални уравнения онлайн. Не са необходими много усилия от ваша страна, за да решите уравнението. Просто трябва да въведете лявата и дясната страна на вашето уравнение в задължителните полета и да щракнете върху бутона "Решение". При въвеждане производната на функция трябва да се обозначи с апостроф. За секунди ще получите готово подробно решение на диференциалното уравнение. Нашата услуга е абсолютно безплатна. Диференциални уравнения с отделими променливи. Ако в диференциално уравнение от лявата страна има израз, който зависи от y, а от дясната страна има израз, който зависи от x, тогава такова диференциално уравнение се извиква с разделими променливи. От лявата страна може да има производна на y, решението на диференциални уравнения от тази форма ще бъде под формата на функция y, изразена чрез интеграла от дясната страна на уравнението. Ако диференциалът на функцията на y е от лявата страна, тогава и двете страни на уравнението са интегрирани. Когато променливите в диференциалното уравнение не са разделени, те ще трябва да бъдат разделени, за да се получи разделено диференциално уравнение. Линейно диференциално уравнение. Линейно диференциално уравнение е диференциално уравнение, в което функцията и всички нейни производни са в първа степен. Общ вид на уравнението: y ’+ a1 (x) y = f (x). f (x) и a1 (x) са непрекъснати функции на x. Решаването на диференциални уравнения от този тип се свежда до интегриране на две диференциални уравнения с отделни променливи. Редът на диференциалното уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде от първи, втори, n-ти ред. Редът на диференциалното уравнение определя реда на най-високата производна, която съдържа. В нашата услуга можете да решавате диференциални уравнения онлайн първо, второ, трето и т.н. поръчка. Решението на уравнението ще бъде всяка функция y = f (x), замествайки я в уравнението, ще получите идентичността. Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича интегриране. Проблем на Коши. Ако в допълнение към самото диференциално уравнение е посочено първоначалното условие y (x0) = y0, тогава това се нарича задача на Коши. Индексите y0 и x0 се добавят към решението на уравнението и определят стойността на произволна константа C, а след това и конкретно решение на уравнението при тази стойност на C. Това е решението на задачата на Коши. Проблемът на Коши се нарича още проблем с граничните условия, който е много често срещан във физиката и механиката. Също така имате възможност да зададете задачата на Коши, тоест от всички възможни решения на уравнението да изберете конкретно, което отговаря на зададените начални условия.

Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения.
Отделими диференциални уравнения

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения лаик. Диференциалните уравнения изглеждат като нещо скандално и трудно за научаване за много ученици. Уууууу... диференциални уравнения, как мога да преживея всичко това?!

Това мнение и това отношение са коренно погрешни, защото в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИТЕ УРАВНЕНИЯ СА ПРОСТИ И ДАЖЕ ЗАБАВНИ... Какво трябва да знаете и да можете, за да научите как да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно diffura, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаи Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде да се разберат диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, значи темата е практически усвоена! Колкото повече интеграли от различни видове можете да решите, толкова по-добре. Защо? Има много за интегриране. И диференцирайте. Също горещо препоръчвамнаучи се да намираш.

В 95% от случаите в контролните документи се срещат 3 вида диференциални уравнения от първи ред: разделими уравнениякоито ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияи линейни нехомогенни уравнения... За начинаещи да изучават дифузията, съветвам ви да се запознаете с уроците в тази последователност и след изучаване на първите две статии няма да навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, свеждащи до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: уравнения в тотални диференциали, уравнения на Бернули и някои други. Най-важният от последните два вида са уравнения в тотални диференциали, тъй като в допълнение към този DE обмислям нов материал - частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, тогава за изключително бързо приготвянеима блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Нека първо си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример:. Какво означава да се реши обикновено уравнение? Означава да намериш много числакоито удовлетворяват това уравнение. Лесно е да се види, че детското уравнение има един корен:. За забавление, нека да направим проверка, да заменим намерения корен в нашето уравнение:

- се получава правилно равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Разликите са подобни!

Диференциално уравнение първа поръчкаобщо взето съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията:.

В някои уравнения от 1-ви порядък може да няма "x" или (и) "игра", но това не е от съществено значение - важнотака че в DU бешепървата производна и не са ималипроизводни от по-висок порядък - и др.

Какво означава ?Решаването на диференциално уравнение означава намиране много от всички функциикоито удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата (е произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълно натоварване с боеприпаси. Откъде да започна решение?

На първо място, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавото обозначение, което на мнозина от вас вероятно изглеждаше нелепо и ненужно. In diffura е това, което управлява!

На втората стъпка вижте дали е възможно разделяне на променливите?Какво означава разделяне на променливи? Грубо казано, отлявотрябва да си тръгнем само "геймъри", а от дясната странаорганизирайте само "x"... Разделянето на променливите се извършва с помощта на "училищни" манипулации: скоби, прехвърляне на термини от част в част със смяна на знака, прехвърляне на фактори от част в част според правилото за пропорция и др.

Диференциали и са пълноценни мултипликатори и активни участници във военните действия. В разглеждания пример променливите се разделят лесно чрез хвърляне на множители според правилото за пропорция:

Променливите са разделени. От лявата страна има само "игри", от дясната - само "X".

Следващ етап - интегриране на диференциално уравнение... Просто е, окачваме интеграли от двете страни:

Разбира се, интегралите трябва да се вземат. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се присвоява на всеки антидериват. Тук има два интеграла, но е достатъчно да запишем константата веднъж (тъй като константа + константа все още е равна на друга константа)... В повечето случаи се поставя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашата "игра" не се изразява чрез "x", тоест се представя решението имплицитноформа. Нарича се решението на диференциалното уравнение в имплицитна форма общ интеграл от диференциално уравнение... Тоест това е общ интеграл.

Отговорът в тази форма е напълно приемлив, но няма ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.

Вие сте добре дошъл, запомнете първата техника, той е много разпространен и често се използва в практически упражнения: ако логаритъмът се появи от дясната страна след интегрирането, тогава в много случаи (но не винаги!) също е препоръчително да запишете константата под логаритъма.

Това е, ВМЕСТОзаписите обикновено са написани .

Защо е необходимо това? И с цел по-лесно изразяване на "игра". Използване на свойството на логаритмите ... В такъв случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са сравнително лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

- се получава правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението, което се изискваше да се провери.

Като дадете константа различни стойности, можете да получите безкрайно много частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че някоя от функциите и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение.

Общото решение понякога се нарича семейство от функции... В този пример общото решение е Това е семейство от линейни функции, или по-скоро семейство от преки пропорции.

След като сдъвкахме добре първия пример, е уместно да отговорим на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Винаги ли това може да се направи?Не, не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например, в хомогенни уравнения от първи ред, първо трябва да замените. В други видове уравнения, например, в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни техники и методи, за да намерите общо решение. Разделимите уравнения, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не, не винаги. Много е лесно да се измисли "фантастично" уравнение, което не може да бъде интегрирано, освен това има нетривиални интеграли. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д'Аламбер и Коши гарантират ... ... ъф, lurkmore.току-що четем много, почти добавя "от другия свят".

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл ... Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общ интеграл, тоест да се изрази „играта“ в явна форма?Не, не винаги. Например: . Е, как мога да изразя "игра"?! В такива случаи отговорът трябва да бъде записан под формата на общ интеграл. Освен това понякога може да се намери общо решение, но е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставите отговора под формата на общ интеграл

4) ... вероятно достатъчно за сега. В първия пример се срещнахме още един важен момент, но за да не затрупам "манекените" с лавина от нова информация, ще го оставя до следващия урок.

Нека не бързаме. Друго просто дистанционно управление и още едно типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение, удовлетворяващо началното условие

Решение: по условие се изисква да се намери частно решение DE, удовлетворяващ дадено начално условие. Тази формулировка на въпроса също се нарича проблемът на Коши.

Първо, намираме общо решение. В уравнението няма променлива „x“, но това не трябва да е объркващо, основното е, че съдържа първата производна.

Пренаписваме производната в необходимия вид:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа със звездичка над индекса, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да трансформираме общия интеграл в общо решение (изразете "играта" изрично). Спомняме си старото, доброто училище: ... В такъв случай:

Константата в индикатора изглежда някак некошерна, така че обикновено се спуска от небето на земята. В детайли става така. Използвайки свойството мощност, ние пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава тя също е някаква константа, ще я обозначим отново с буква:

Не забравяйте, че "разрушаването" на константата е втора техника, който често се използва в хода на решаване на диференциални уравнения.

Така че общото решение е:. Такова хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което отговаря на даденото първоначално условие. Това също е лесно.

Каква е задачата? Трябва да вземете такъвстойността на константата за условието, което трябва да бъде изпълнено.

Можете да проектирате по различни начини, но най-разбираемият, може би, ще бъде така. В общото решение вместо "x" заместваме нула и вместо "играта" две:



Това е,

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената константна стойност в общото решение:
- това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Отговор: частно решение:

Да проверим. Проверката на частно решение включва два етапа:

Първо е необходимо да се провери дали намереното конкретно решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо "x" заместваме нула и виждаме какво се случва:
- да, наистина се получава двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Вземаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместете в оригиналното уравнение:

- се получава правилното равенство.

Заключение: конкретно решение е намерено правилно.

Преминаваме към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяване дали променливите могат да бъдат разделени? Мога. Прехвърляме втория член в дясната страна с промяна на знака:

И хвърляме множителите според правилото за пропорция:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че идва съдният ден. Ако не си учил добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма накъде - сега ще трябва да ги овладеете.

Интегралът от лявата страна е лесен за намиране, можем да се справим с интеграла на котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииПрез изминалата година:

От дясната страна имаме логаритъм и според първата ми техническа препоръка константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме еднакви логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Чрез известни свойстваопаковаме логаритмите колкото е възможно повече. Ще пиша много подробно:

Опаковката е пълна, за да бъде варварски оголена:

Можете ли да изразите "игра"? Мога. И двете страни трябва да са в квадрат.

Но не е нужно да правите това.

Трети технически съвет:ако за получаване на общо решение трябва да повишите до степен или да извлечете корени, тогава В повечето случаичовек трябва да се въздържа от тези действия и да остави отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда просто ужасно - с големи корени, табели и други боклуци.

Следователно, ние записваме отговора под формата на общ интеграл. Счита се за добра форма да го представите във формата, тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да се прави това, но винаги е от полза да се хареса на професора ;-)

Отговор:общ интеграл:

! Забележка: общият интеграл на всяко уравнение може да се запише по повече от един начин. По този начин, ако резултатът ви не съвпада с предишния известен отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също се проверява доста лесно, основното е да можете да намерите производна на имплицитна функция... Разграничаване на отговора:

Умножаваме и двата термина по:

И разделяме на:

Получава се точно оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява първоначалното условие. Виж това.

Това е пример за решение "направи си сам".

Нека ви напомня, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото частно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (виж образеца в Пример № 2), трябва:
1) уверете се, че намереното конкретно решение удовлетворява първоначалното условие;
2) проверете дали конкретното решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение удовлетворяващи първоначалното условие. Виж това.

Решение:Първо намираме общо решение.Това уравнение вече съдържа готови диференциали и следователно решението е опростено. Разделяне на променливите:

Интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е по метода на привеждане на функцията под диференциалния знак:

Получава се общият интеграл, възможно ли е успешно да се изрази общото решение? Мога. Окачваме логаритмите от двете страни. Тъй като те са положителни, знаците за модул са излишни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

Така че общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие.
В общото решение вместо "x" заместваме нула, а вместо "играта", логаритъмът на две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:частно решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение. Намерете производната:

Разглеждаме оригиналното уравнение: - представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Заместваме намереното конкретно решение и получения диференциал в оригиналното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилно равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият начин за проверка е огледален и по-познат: от уравнението изразяваме производната, за това разделяме всички парчета на:

И в трансформираната DE заместваме полученото частно решение и производната производна. В резултат на опростяването трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциалното уравнение. Отговорът е представен под формата на общ интеграл.

Това е пример "направи си сам", пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с отделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за "чайника"), че променливите могат да бъдат разделени. Нека разгледаме условен пример:. Тук трябва да извършите разлагането на скоби: и да отделите корените:. Как се процедира е ясно.

2) Трудности в самата интеграция. Интегралите често не са много прости и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, то при много дифузи ще е трудно. Освен това сред съставителите на сборници и ръководства логиката е популярна „тъй като диференциалното уравнение е просто, нека интегралите са по-сложни“.

3) Преобразувания с константа. Както всички са забелязали, константата в диференциалните уравнения може да се обработва доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Помислете за друг условен пример: ... В него е препоръчително да умножите всички термини по 2: ... Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде обозначена с: ... Да, и тъй като логаритъмът е от дясната страна, препоръчително е да пренапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Каква ерес? Има грешки! Строго погледнато, да. От смислена гледна точка обаче няма грешки, тъй като в резултат на трансформацията на променлива константа все пак се получава променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака за всеки термин: ... Формално отново има грешка - вдясно трябва да се пише. Но неофициално се има предвид, че "минус це" все още е константа ( което също толкова лесно приема всякаква стойност!), така че няма смисъл да поставяте "минус" и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежния подход и все пак ще присвоя различни индекси на константите, когато ги преобразувам.

Пример 7

Решете диференциалното уравнение. Виж това.

Решение:Това уравнение позволява разделяне на променливите. Разделяне на променливите:

Ние интегрираме:

Константата тук не трябва да се дефинира като логаритъм, тъй като нищо добро няма да излезе от нея.

Отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (неявна функция):

Отърваваме се от дробите, за това умножаваме и двата термина по:

Получава се оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете частно решение за дистанционно управление.
,

Това е пример за решение "направи си сам". Единствената улика е, че тук получавате общ интеграл и, по-правилно, трябва да се стремите да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл... Пълно решение и отговор в края на урока.