Алгоритъм за цялостно изследване на функция. Общата схема на изследване на функцията и графика

За пълно изследване на функцията и начертаване на нейната графика се препоръчва да се използва следната схема:

1) намерете областта на функцията;

2) намират точките на прекъсване на функцията и вертикалните асимптоти (ако съществуват);

3) изследва поведението на функцията в безкрайност, намира хоризонтални и наклонени асимптоти;

4) изследва функцията за четност (нечетност) и периодичност (за тригонометрични функции);

5) намират екстремумите и интервалите на монотонност на функцията;

6) определя интервалите на изпъкналост и точките на прегъване;

7) намерете точките на пресичане с координатните оси, ако е възможно, и някои допълнителни точки, които прецизират графиката.

Изучаването на функцията се извършва едновременно с изграждането на нейната графика.

Пример 9Разгледайте функцията и начертайте графиката.

1. Обхват на дефиницията:;

2. Функцията е нарушена в точки
,
;

Нека разгледаме функцията за наличие на вертикални асимптоти.

;
,
─ вертикална асимптота.

;
,
─ вертикална асимптота.

3. Да изследваме функцията за наличие на наклонени и хоризонтални асимптоти.

Направо
─ наклонена асимптота ако
,
.

,
.

Направо
─ хоризонтална асимптота.

4. Функцията е четна, защото
... Четността на функцията показва симетрията на графиката спрямо оста на ординатата.

5. Да намерим интервалите на монотонност и екстремуми на функцията.

Да намерим критичните точки, т.е. точки, в които производната е 0 или не съществува:
;
... Имаме три точки
;

... Тези точки разделят цялата валидна ос на четири пространства. Нека дефинираме знаците на всеки от тях.

На интервалите (-∞; -1) и (-1; 0) функцията се увеличава, на интервалите (0; 1) и (1; + ∞) ─ намалява. При пресичане на точка
производната променя знака от плюс на минус, следователно в този момент функцията има максимум
.

6. Намерете интервалите на изпъкналост, точките на огъване.

Намерете точките, в които е 0 или не съществува.

няма валидни корени.
,
,

точки
и
раздели реалната ос на три интервала. Нека дефинираме знака на всеки интервал.

По този начин кривата на интервали
и
изпъкнал надолу, на интервала (-1; 1) изпъкнал нагоре; няма точки на прегъване, тъй като функцията в точките
и
неуточнено.

7. Намерете пресечните точки с осите.

С ос
графиката на функцията се пресича в точката (0; -1) и с оста
графиката не се припокрива, т.к числителят на тази функция няма реални корени.

Графиката на дадената функция е показана на фигура 1.

Фигура 1 ─ Графика на функциите

Приложение на концепцията за производно в икономиката. Еластичност на функцията

За изучаване на икономически процеси и решаване на други приложни проблеми често се използва концепцията за еластичност на функция.

Определение.Еластичност на функцията
се нарича граница на отношението на относителното нарастване на функцията към относителното увеличение на променливата в
,. (VII)

Еластичността на функция показва приблизителен процент от промяната във функцията
при промяна на независимата променлива с 1%.

Еластичността на функцията се прилага при анализа на търсенето и потреблението. Ако еластичността на търсенето (в абсолютна стойност)
, тогава търсенето се счита за еластично, ако
─ неутрален ако
─ нееластичен по отношение на цената (или дохода).

Пример 10Изчислете еластичността на функция
и намерете стойността на индекса на еластичност за = 3.

Решение: съгласно формула (VII) еластичност на функцията:

Тогава нека x = 3
Това означава, че ако обяснителната променлива се увеличи с 1%, тогава стойността на зависимата променлива се увеличава с 1,42%.

Пример 11Нека търсенето функционира по отношение на цената има формата
, където ─ постоянен коефициент. Намерете стойността на показателя за еластичност на функцията на търсенето при цена x = 3 den. единици

Решение: изчислете еластичността на функцията на търсене по формула (VII)

Предполагайки
парични единици, получаваме
... Това означава, че на цена
парични единици увеличение на цената с 1% ще доведе до 6% намаление на търсенето, т.е. търсенето е еластично.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Инструкции

Намерете обхвата на функцията. Например, функцията sin (x) е дефинирана през целия интервал от -∞ до + ∞, а функцията 1 / x е дефинирана от -∞ до + ∞, с изключение на точката x = 0.

Определете области на приемственост и точки на прекъсване. Обикновено функцията е непрекъсната в същата област, където е дефинирана. За да откриете прекъсвания, изчислете, когато аргументът се приближи до изолирани точки в областта на дефиницията. Например, функцията 1 / x клони към безкрайност, когато x → 0 +, и към минус безкрайност, когато x → 0-. Това означава, че в точката x = 0 има прекъсване от втори вид.
Ако границите в точката на прекъсване са крайни, но не са равни, тогава това е прекъсване от първия вид. Ако те са равни, тогава функцията се счита за непрекъсната, въпреки че в изолирана точка не е дефинирана.

Намерете вертикалните асимптоти, ако има такива. Тук ще ви помогнат изчисленията от предишната стъпка, тъй като вертикалната асимптота почти винаги е в точката на прекъсване от втория вид. Понякога обаче от зоната на дефиницията не се изключват отделни точки, а цели интервали от точки и тогава вертикалните асимптоти могат да бъдат разположени в краищата на тези интервали.

Проверете дали функцията има специални свойства: четност, нечетна четност и периодичност.
Функцията ще бъде четна, ако за всяко x в областта f (x) = f (-x). Например, cos (x) и x ^ 2 са четни функции.

Периодичността е свойство, което показва, че има определено число T, наречено период, което за всяко x f (x) = f (x + T). Например всички основни тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс) са периодични.

Намерете точките. За да направите това, изчислете производната на дадената функция и намерете онези стойности на x, където тя изчезва. Например, функцията f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 има производна g (x) = 3x ^ 2 + 18x, която изчезва при x = 0 и x = -6.

За да определите кои точки на екстремум са максимуми и кои са минимуми, проследете промяната в знака на производната в намерените нули. g (x) променя знака от плюс в точка x = -6, а в точка x = 0 обратно от минус на плюс. Следователно функцията f (x) има минимум в първата точка и във втората.

По този начин сте открили области на монотонност: f (x) монотонно нараства на интервала -∞; -6, монотонно намалява с -6; 0 и отново нараства с 0; + ∞.

Намерете втората производна. Неговите корени ще покажат къде графиката на дадена функция ще бъде изпъкнала и къде ще бъде вдлъбната. Например, втората производна на функцията f (x) ще бъде h (x) = 6x + 18. Тя изчезва при x = -3, променяйки знака от минус на плюс. Следователно графиката f (x) преди тази точка ще бъде изпъкнала, след нея - вдлъбната, а самата тази точка ще бъде точката на прегъване.

Функцията може да има и други асимптоти освен вертикалните, но само ако е включена в нейната област на дефиниция. За да ги намерите, изчислете границата на f (x) като x → ∞ или x → -∞. Ако е краен, значи сте намерили хоризонталната асимптота.

Наклонената асимптота е права линия от вида kx + b. За да намерите k, изчислете границата на f (x) / x като x → ∞. Да се ​​намери b - границата (f (x) - kx) за същото x → ∞.

Начертайте функцията върху изчислените данни. Маркирайте асимптотите, ако има такива. Маркирайте точките на екстремум и стойностите на функцията в тях. За по-голяма точност на графиката изчислете стойностите на функцията в още няколко междинни точки. Изследването приключи.

Нека разгледаме функцията \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) и да построим нейната графика.

1. Област на дефиниция.
Областта на дефиниране на рационална функция (дроб) ще бъде: знаменателят не е равен на нула, т.е. \ (1 -x \ ne 0 => x \ ne 1 \). Обхват $$ D_f = (- \ infty; 1) \ чаша (1; + \ infty) $$

2. Точки на прекъсване на функция и тяхната класификация.
Функцията има една точка на прекъсване x = 1
изследва точката x = 1. Намерете границата на функцията вдясно и вляво от точката на прекъсване, вдясно $$ \ lim_ (x \ to 1 + 0) (\ frac (x ^ 3) (1-x )) = - \ infty $$ и вляво от точката $$ \ lim_ (x \ to 1-0) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = + \ infty $$ Това е точка на прекъсване от втория вид, тъй като едностранните граници са \ (\ infty \).

Правата линия \ (x = 1 \) е вертикалната асимптота.

3. Четността на функцията.
Проверете за четност \ (f (-x) = \ frac ((- x) ^ 3) (1 + x) \) функцията не е нито четна, нито нечетна.

4. Нули на функцията (точки на пресичане с оста Ox). Знакови интервали на функцията.
Нулите на функцията (пресечна точка с оста Ox): приравняваме \ (y = 0 \), получаваме \ (\ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 => x = 0 \). Кривата има една пресечна точка с оста Ox с координати \ ((0; 0) \).

Интервали на постоянство на функцията.
На разглежданите интервали \ ((- \ infty; 1) \ cup (1; + \ infty) \) кривата има една пресечна точка с оста Ox, следователно ще разгледаме областта на дефиниция на три интервала.

Нека определим знака на функцията на интервалите от областта на дефиницията:
интервал \ ((- \ infty; 0) \) намерете стойността на функцията във всяка точка \ (f (-4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \ ((0; 1) \) намерете стойността на функцията във всяка точка \ (f (0.5) = \ frac (x ^ 3) (1-x)> 0 \), на този интервал функцията е положителна \ (f (x )> 0 \), т.е. се намира над оста Ox.
интервал \ ((1; + \ infty) \) намерете стойността на функцията във всяка точка \ (f (4) = \ frac (x ^ 3) (1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Точки на пресичане с оста Oy: приравняваме \ (x = 0 \), получаваме \ (f (0) = \ frac (x ^ 3) (1-x) = 0 \). Координати на пресечната точка с оста Oy \ ((0; 0) \)

6. Интервали на монотонност. Функционални екстремуми.
Намерете критичните (неподвижни) точки, за това намираме първата производна и я приравняваме на нула $$ y "= (\ frac (x ^ 3) (1-x))" = \ frac (3x ^ 2 (1- x) + x ^ 3) ((1-x) ^ 2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) $$ се равнява на 0 $$ \ frac (x ^ 2 (3 -2x)) ((1-x) ^ 2) = 0 => x_1 = 0 \ quad x_2 = \ frac (3) (2) $$ Намерете стойността на функцията в тази точка \ (f ( 0) = 0 \) и \ (f (\ frac (3) (2)) = -6,75 \). Получихме две критични точки с координати \ ((0; 0) \) и \ ((1.5; -6.75) \)

Монотонни интервали.
Функцията има две критични точки (точки на възможен екстремум), следователно монотонността ще се разглежда на четири интервала:
интервал \ ((- \ infty; 0) \) намерете стойността на първата производна във всяка точка от интервала \ (f (-4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x ) ^ 2)>
интервал \ ((0; 1) \) намерете стойността на първата производна във всяка точка от интервала \ (f (0,5) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , функцията се увеличава на този интервал.
интервал \ ((1; 1.5) \) намерете стойността на първата производна във всяка точка от интервала \ (f (1.2) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2 )> 0 \) , функцията се увеличава на този интервал.
интервал \ ((1.5; + \ infty) \) намерете стойността на първата производна във всяка точка от интервала \ (f (4) = \ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Функционални екстремуми.

При изследването на функцията бяха получени две критични (стационарни) точки на интервала от областта на дефиниране. Определете дали са екстремни. Нека разгледаме промяната в знака на производната при преминаване през критичните точки:

точка \ (x = 0 \) производната променя знака с \ (\ quad + \ quad 0 \ quad + \ quad \) - точката не е екстремум.
точка \ (x = 1,5 \) производна променя знака от \ (\ quad + \ quad 0 \ quad - \ quad \) - точката е максимална точка.

7. Интервали на изпъкналост и вдлъбнатина. Точки на огъване.

За да намерим интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина, намираме втората производна на функцията и я приравняваме на нула $$ y "" = (\ frac (x ^ 2 (3-2x)) ((1-x) ^ 2) ) "= \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3) $$ Равно на нула $$ \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1 -x) ^ 3) = 0 => 2x (x ^ 2-3x + 3) = 0 => x = 0 $$ Функцията има една критична точка от втория вид с координати \ ((0; 0) \) .
Нека дефинираме изпъкналостта на интервалите от областта на дефиниция, като вземем предвид критичната точка от втория вид (точката на възможна флексия).

интервал \ ((- \ infty; 0) \) намерете стойността на втората производна във всяка точка \ (f "" (- 4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1- x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \ ((0; 1) \) намерете стойността на втората производна във всяка точка \ (f "" (0,5) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)> 0 \), на този интервал втората производна на функцията е положителна \ (f "" (x)> 0 \) функцията е изпъкнала надолу (изпъкнала).
интервал \ ((1; \ infty) \) намерете стойността на втората производна във всяка точка \ (f "" (4) = \ frac (2x (x ^ 2-3x + 3)) ((1-x) ^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Точки на огъване.

Нека разгледаме промяната в знака на втората производна при преминаване през критичната точка от втория вид:
В точката \ (x = 0 \), втората производна променя знака от \ (\ quad - \ quad 0 \ quad + \ quad \), графиката на функцията променя своята изпъкналост, т.е. това е точка на прегъване с координати \ ((0; 0) \).

8. Асимптоти.

Вертикална асимптота... Графиката на функцията има една вертикална асимптота \ (x = 1 \) (виж т. 2).
Наклонена асимптота.
За да може графиката на функцията \ (y = \ frac (x ^ 3) (1-x) \) с \ (x \ to \ infty \) да има наклонена асимптота \ (y = kx + b \) , необходимо е и достатъчно, така че да има две граници $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) = \ frac (f (x)) (x) = k $$ намерете го $$ \ lim_ (x \ to \ infty) (\ frac ( x ^ 3) (x (1-x))) = \ infty => k = \ infty $$ и второ ограничение $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) (f (x ) - kx) = b $ $, защото \ (k = \ infty \) - няма наклонена асимптота.

Хоризонтална асимптота:за да съществува хоризонталната асимптота, границата трябва да съществува $$ \ lim_ (x \ to \ infty) f (x) = b $$ намерете го $$ \ lim_ (x \ to + \ infty) (\ frac ( x ^ 3) (1-x)) = - \ infty $$$$ \ lim_ (x \ to - \ infty) (\ frac (x ^ 3) (1-x)) = - \ infty $$
Няма хоризонтална асимптота.

9. Графика на функциите.

Опорните точки при изследването на функциите и построяването на техните графики са характерни точки - точки на прекъсване, екстремум, прегъване, пресичане с координатните оси. С помощта на диференциално смятане е възможно да се установят характерните особености на промените във функциите: увеличение и намаляване, максимуми и минимуми, посоката на изпъкналост и вдлъбнатина на графиката, наличие на асимптоти.

Скица на графиката на функция може (и трябва) да бъде скицирана след намиране на асимптотите и точките на екстремум и е удобно да се попълни въртящата таблица за изследване на функцията, докато изследването напредва.

Обикновено се използва следната схема за изследване на функциите.

1.Намерете домейна, интервалите на непрекъснатост и точките на прекъсване на функцията.

2.Изследвайте функцията за четност или нечетност (аксиална или централна симетрия на графиката.

3.Намерете асимптоти (вертикални, хоризонтални или наклонени).

4.Намерете и изследвайте интервалите на нарастване и намаляване на функцията, точките на нейния екстремум.

5.Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина на кривата, точките на нейната флексия.

6.Намерете пресечните точки на кривата с координатните оси, ако съществуват.

7.Подгответе обобщена таблица на изследването.

8.Изградете графика, като вземете предвид изследването на функцията, извършено по горните точки.

Пример.Функция за изследване

и построете графика за него.

7. Нека съставим обобщена таблица на изследването на функцията, където ще въведем всички характерни точки и интервалите между тях. Като се има предвид четността на функцията, получаваме следната таблица:

				Характеристики на графика
[-1, 0[			Повишаване на	Изпъкнала
				(0; 1) - максимална точка
]0, 1[			Намалява	Изпъкнала
				Точка на огъване, форми с ос волтъп ъгъл