Равно на n в аритметична прогресия. Формула на n-ия член на аритметична прогресия
Аритметични и геометрични прогресии
Теоретична информация
Теоретична информация
Аритметична прогресия |
Геометрична прогресия |
|
Определение |
Аритметична прогресия a nсе извиква последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен със същия номер д (д- разлика в прогресията) |
геометрична прогресия b nсе нарича поредица от числа, различни от нула, всеки член на който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число q (q- знаменател на прогресията) |
Повтаряща се формула |
За всякакви естествени н |
За всякакви естествени н |
формула за n-ти член |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| характерно свойство |  |
|
| Сума от първите n члена |  |
 |
Примери за задачи с коментари
Упражнение 1
В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2
Според формулата на n-ия член:
а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д
По условие:
а 1= -6, значи а 22= -6 + 21d.
Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:
d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Отговор : а 22 = -48.
Задача 2
Намерете петия член от геометричната прогресия: -3; 6;....
1-ви начин (използвайки n-членна формула)
Според формулата на n-ия член на геометрична прогресия:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Защото б 1 = -3,
2-ри начин (с помощта на рекурсивна формула)
Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:
б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Отговор : б 5 = -48.
Задача 3
В аритметична прогресия ( а н) а 74 = 34; а 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.
За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата 
.
Следователно:
.
Заменете данните във формулата:
Отговор: 95.
Задача 4
В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сбора от първите седемнадесет члена.
За намиране на сумата от първите n члена на аритметична прогресия се използват две формули:
.
Кое от тях е по-удобно за прилагане в този случай?
По условие формулата на n-ия член на оригиналната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Може да се намери веднага и а 1, и а 16без да се намери d . Затова използваме първата формула.
Отговор: 368.
Задача 5
В аритметична прогресия a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.
Според формулата на n-ия член:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21 д.
По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:
d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Отговор : а 22 = -48.
Задача 6
Записват се няколко последователни члена на геометрична прогресия:
Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.
При решаването използваме формулата за n-ия член b n \u003d b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете някой от тези членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можете да вземете и да разделите на. Получаваме, че q = 3. Вместо n, ние заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.
Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:
.
Отговор : .
Задача 7
От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-ия член, изберете тази, за която условието е изпълнено а 27 > 9:
Тъй като определеното условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:
.
Отговор: 4.
Задача 8
В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която е валидно неравенството a n > -6.
IV Яковлев | Материали по математика | MathUs.ru
Аритметична прогресия
Аритметичната прогресия е специален вид последователност. Следователно, преди да дефинираме аритметична (и след това геометрична) прогресия, трябва да обсъдим накратко важната концепция за числова последователност.
Последователност
Представете си устройство, на екрана на което няколко числа се показват едно след друго. Да кажем 2; 7; тринадесет; един; 6; 0; 3; : : : Такъв набор от числа е само пример за последователност.
Определение. Числовата последователност е набор от числа, в които на всяко число може да се присвои уникален номер (тоест да се постави в съответствие с едно естествено число)1. Числото с номер n се нарича n-ти член на поредицата.
Така че, в горния пример, първото число има числото 2, което е първият член на последователността, което може да бъде обозначено с a1; числото пет има числото 6, което е петият член на последователността, който може да бъде обозначен като a5. Като цяло, n-тият член на последователност се означава с (или bn, cn и т.н.).
Много удобна ситуация е, когато n-тият член на последователността може да бъде определен с някаква формула. Например, формулата an = 2n 3 определя последователността: 1; един; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n дефинира последователността: 1; един; един; един; : : :
Не всеки набор от числа е последователност. И така, сегментът не е последователност; съдържа ¾твърде много¿ числа, за да бъде преномериран. Множеството R от всички реални числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математическия анализ.
Аритметична прогресия: основни определения
Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.
Определение. Аритметична прогресия е последователност, в която всеки член (започвайки от втория) е равен на сбора от предишния член и някакво фиксирано число (наречено разлика на аритметичната прогресия).
Например, последователност 2; 5; осем; единадесет; : : : е аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; осем; : : : е аритметична прогресия с първи член 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; : : : е аритметична прогресия с нулева разлика.
Еквивалентна дефиниция: Последователност an се нарича аритметична прогресия, ако разликата an+1 an е постоянна стойност (не зависи от n).
За аритметичната прогресия се казва, че се увеличава, ако нейната разлика е положителна, и намалява, ако нейната разлика е отрицателна.
1 И ето по-кратко определение: последователността е функция, дефинирана върху множеството от естествени числа. Например последователността от реални числа е функцията f: N! Р.
По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, тоест съдържащи безкраен брой числа. Но никой не си прави труда да разглежда и крайните последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например, крайната последователност 1; 2; 3; 4; 5 се състои от пет числа.
Формула на n-ия член на аритметична прогресия
Лесно е да се разбере, че аритметичната прогресия се определя изцяло от две числа: първия член и разликата. Следователно възниква въпросът: как, знаейки първия член и разликата, да намерим произволен член на аритметична прогресия?
Не е трудно да се получи желаната формула за n-ия член на аритметична прогресия. Нека an
аритметична прогресия с разлика d. Ние имаме: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; :: ::): | |
По-специално, ние пишем: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
и сега става ясно, че формулата за an е: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Задача 1. В аритметична прогресия 2; 5; осем; единадесет; : : : намерете формулата на n-ия член и изчислете стотния член.
Решение. Съгласно формула (1) имаме:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Свойство и знак на аритметична прогресия
свойство на аритметична прогресия. В аритметична прогресия an за произволно
С други думи, всеки член на аритметичната прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичната стойност на съседните членове.
Доказателство. Ние имаме: | ||||
a n 1+ a n+1 | (г) + (ан + г) | |||
което се изискваше.
По-общо казано, аритметичната прогресия an удовлетворява равенството
a n = a n k+ a n+k
за всяко n > 2 и всяко естествено k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Оказва се, че формула (2) е не само необходимо, но и достатъчно условие една последователност да бъде аритметична прогресия.
Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) важи за всички n > 2, тогава последователността an е аритметична прогресия.
Доказателство. Нека пренапишем формулата (2) както следва:
a na n 1= a n+1a n:
Това показва, че разликата an+1 an не зависи от n и това просто означава, че последователността an е аритметична прогресия.
Свойството и знакът на аритметична прогресия могат да бъдат формулирани като едно твърдение; за удобство ще направим това за три числа (това е ситуацията, която често се случва при проблеми).
Характеризиране на аритметична прогресия. Три числа a, b, c образуват аритметична прогресия, ако и само ако 2b = a + c.
Задача 2. (Московски държавен университет, Стопански факултет, 2007 г.) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и напишете разликата на тази прогресия.
Решение. По свойството на аритметична прогресия имаме:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Ако x = 1, тогава получаваме намаляваща прогресия от 8, 2, 4 с разлика от 6. Ако x = 5, тогава получаваме нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не работи.
Отговор: x = 1, разликата е 6.
Сумата от първите n члена на аритметична прогресия
Легендата разказва, че веднъж учителят казал на децата да намерят сбора от числа от 1 до 100 и седнал тихо да четат вестника. Само след няколко минути едно момче каза, че е решил проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, по-късно един от най-великите математици в историята.
Идеята на малкия Гаус беше следната. Позволявам
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Нека запишем тази сума в обратен ред:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
и добавете тези две формули:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Всеки член в скоби е равен на 101 и има общо 100 такива члена
2S = 101 100 = 10100;
Използваме тази идея, за да изведем формулата за сумата
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Полезна модификация на формула (3) се получава чрез заместване на формулата за n-ия член an = a1 + (n 1)d в нея:
2a1 + (n 1)d | |||||
Задача 3. Намерете сбора от всички положителни трицифрени числа, делими се на 13.
Решение. Трицифрените числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия с първия член 104 и разликата 13; n-тият член на тази прогресия е:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Нека разберем колко членове съдържа нашата прогресия. За да направим това, решаваме неравенството:
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Така че в нашата прогресия има 69 членове. По формула (4) намираме необходимото количество:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Аритметична прогресияназовете последователност от числа (членове на прогресия)
При което всеки следващ термин се различава от предишния със стоманен термин, който също се нарича разлика в стъпката или прогресията.
По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата
Свойства на аритметична прогресия
1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичната стойност на предишния и следващия член на прогресията
Обратното също е вярно. Ако средноаритметичната стойност на съседните нечетни (четни) членове на прогресията е равна на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. С това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.
Също така чрез свойството на аритметична прогресия, горната формула може да бъде обобщена до следното
Това е лесно да се провери, ако напишем термините вдясно от знака за равенство
Често се използва на практика за опростяване на изчисленията в задачи.
2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява по формулата
Запомнете добре формулата за сбора на аритметична прогресия, тя е незаменима при изчисления и е доста често срещана в прости житейски ситуации.
3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от поредицата, започваща от нейния k -ти член, тогава следната формула за сума ще ви бъде полезна
4) От практически интерес е да се намери сборът от n члена на аритметична прогресия, започвайки от k-то число. За да направите това, използвайте формулата
Тук теоретичният материал приключва и преминаваме към решаване на проблеми, които са често срещани в практиката.
Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...
Решение:
Според условието имаме
Определете стъпката на прогресиране
Според добре познатата формула намираме четиридесетия член на прогресията
Пример2. Аритметичната прогресия се дава от третия и седмия член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.
Решение:
Записваме дадените елементи на прогресията по формулите
Изваждаме първото уравнение от второто, в резултат намираме стъпката на прогресия
Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първия член на аритметичната прогресия
Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията
Без да прилагаме сложни изчисления, намерихме всички необходими стойности.
Пример 3. Аритметична прогресия се дава от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започващи от 50, и сбора от първите 100.
Решение:
Нека напишем формулата за стотния елемент от прогресията
и намерете първия
Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията
Намиране на сумата от частта от прогресията
и сумата от първите 100
Сумата на прогресията е 250.
Пример 4
Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, ако:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Решение:
Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме
Заместваме получените стойности във формулата за сбора, за да определим броя на членовете в сбора
Правене на опростявания
и решете квадратното уравнение
От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сборът от първите осем члена на прогресията е 111.
Пример 5
реши уравнението
1+3+5+...+x=307.
Решение: Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата в прогресията
Проблемите с аритметичната прогресия съществуват от древни времена. Те се появиха и поискаха решение, защото имаха практическа нужда.
И така, в един от папирусите на Древен Египет, който има математическо съдържание - папирусът на Ринд (XIX век пр. н. е.) - съдържа следната задача: разделете десет мерки хляб на десет души, при условие че разликата между всеки от тях е една осма част от мярката.
А в математическите трудове на древните гърци има елегантни теореми, свързани с аритметичната прогресия. И така, Хипсикъл от Александрия (2-ри век, който състави много интересни задачи и добави четиринадесетата книга към „Елементите” на Евклид), формулира идеята: „В аритметична прогресия с четен брой членове, сборът от членовете от 2-ра половина е по-голям от сбора на членовете на 1-ви на квадрат 1 / 2 членове.
Последователността an е обозначена. Номерата на поредицата се наричат нейни членове и обикновено се обозначават с букви с индекси, които показват поредния номер на този член (a1, a2, a3 ... той гласи: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd “ и така нататък).
Последователността може да бъде безкрайна или крайна.
Какво е аритметична прогресия? Тя се разбира като получена чрез добавяне на предишния член (n) със същото число d, което е разликата на прогресията.
Ако d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, тогава такава прогресия се счита за нарастваща.
За една аритметична прогресия се казва, че е крайна, ако се вземат предвид само няколко от първите й члена. С много голям брой членове това вече е безкрайна прогресия.
Всяка аритметична прогресия се дава по следната формула:
an =kn+b, докато b и k са някои числа.
Твърдението, което е обратното, е абсолютно вярно: ако последователността е дадена с подобна формула, тогава това е точно аритметична прогресия, която има свойствата:
- Всеки член на прогресията е средноаритметичната стойност на предишния член и следващия.
- Обратното: ако, започвайки от 2-ри, всеки член е средноаритметичната стойност на предишния член и следващия, т.е. ако условието е изпълнено, тогава дадената последователност е аритметична прогресия. Това равенство в същото време е знак за прогресия, така че обикновено се нарича характерно свойство на прогресията.
По същия начин, теоремата, която отразява това свойство, е вярна: последователността е аритметична прогресия само ако това равенство е вярно за някой от членовете на последователността, започвайки от 2-ри.
Характеристичното свойство за произволни четири числа от аритметична прогресия може да се изрази с формулата an + am = ak + al, ако n + m = k + l (m, n, k са числата на прогресията).
В аритметична прогресия всеки необходим (N-ти) член може да бъде намерен чрез прилагане на следната формула:
Например: първият член (a1) в аритметична прогресия е даден и е равен на три, а разликата (d) е равна на четири. Трябва да намерите четиридесет и петия член на тази прогресия. a45 = 1+4(45-1)=177
Формулата an = ak + d(n - k) ви позволява да определите n-тия член на аритметична прогресия през който и да е от нейните k-ти член, при условие че е известен.
Сборът от членовете на аритметична прогресия (приемайки 1-ви n членове на крайната прогресия) се изчислява, както следва:
Sn = (a1+an) n/2.
Ако 1-вият член също е известен, тогава друга формула е удобна за изчисляване:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумата от аритметична прогресия, която съдържа n члена, се изчислява, както следва:
Изборът на формули за изчисления зависи от условията на задачите и изходните данни.
Естественият ред на произволни числа като 1,2,3,...,n,... е най-простият пример за аритметична прогресия.
Освен аритметичната прогресия има и геометрична, която има свои свойства и характеристики.
Онлайн калкулатор.
Решение за аритметична прогресия.
Дадени са: a n , d, n
Намерете: а 1
Тази математическа програма намира \(a_1\) на аритметична прогресия въз основа на зададени от потребителя числа \(a_n, d \) и \(n \).
Числата \(a_n\) и \(d \) могат да бъдат посочени не само като цели числа, но и като дроби. Освен това дробно число може да бъде въведено като десетична дроб (\(2,5 \)) и като обикновена дроб (\(-5\frac(2)(7) \)).
Програмата не само дава отговор на проблема, но и показва процеса на намиране на решение.
Този онлайн калкулатор може да бъде полезен на учениците от гимназията при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, както и на родителите за контрол върху решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.
По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучението на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.
Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на номера, препоръчваме ви да се запознаете с тях.
Правила за въвеждане на числа
Числата \(a_n\) и \(d \) могат да бъдат посочени не само като цели числа, но и като дроби.
Числото \(n\) може да бъде само положително цяло число.
Правила за въвеждане на десетични дроби.
Целите и дробните части в десетичните дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например, можете да въведете десетични знаци като 2,5 или като 2,5
Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част на дроб.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Вход:
Резултат: \(-\frac(2)(3) \)
Цялата част се отделя от дроба с амперсанд: &
Вход:
Резултат: \(-1\frac(2)(3) \)
Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.
Защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...
Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачати решаваш какво въведете в полетата.
Нашите игри, пъзели, емулатори:
Малко теория.
Числова последователност
В ежедневната практика номерирането на различни обекти често се използва за обозначаване на реда, в който са разположени. Например къщите на всяка улица са номерирани. В библиотеката читателските абонаменти се номерират и след това се подреждат по реда на присвоените номера в специални картотеки.
В спестовна каса по номера на личната сметка на вложителя можете лесно да намерите тази сметка и да видите какъв вид депозит има. Нека има депозит от a1 рубли по сметка № 1, депозит от a2 рубли по сметка № 2 и т.н. числова последователност
a 1, a 2, a 3, ..., a N
където N е броят на всички сметки. Тук на всяко естествено число n от 1 до N се приписва число a n .
Математиката също учи безкрайни поредици от числа:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Числото а 1 се нарича първият член на поредицата, номер а 2 - вторият член на поредицата, номер а 3 - третият член на поредицатаи т.н.
Числото a n се нарича n-ти (n-ти) член на последователността, а естественото число n е неговото номер.
Например, в последователността от квадрати от естествени числа 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... и 1 = 1 е първият член на поредицата; и n = n 2 е n-тият член на последователността; a n+1 = (n + 1) 2 е (n + 1)-ия (en плюс първия) член на последователността. Често една последователност може да бъде определена с формулата на нейния n-ти член. Например, формулата \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) дава последователността \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Аритметична прогресия
Продължителността на една година е приблизително 365 дни. По-точна стойност е \(365\frac(1)(4) \) дни, така че на всеки четири години се натрупва грешка от един ден.
За да се отчете тази грешка, към всяка четвърта година се добавя ден, а удължената година се нарича високосна.
Например през третото хилядолетие високосните години са 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
В тази последователност всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен със същото число 4. Такива последователности се наричат аритметични прогресии.
Определение.
Числовата последователност a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... се нарича аритметична прогресия, ако за всички естествени n равенството
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
където d е някакво число.
От тази формула следва, че a n+1 - a n = d. Числото d се нарича разлика аритметична прогресия.
По дефиниция на аритметична прогресия имаме:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
където
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), където \(n>1 \)
По този начин всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичната стойност на двата съседни члена. Това обяснява името "аритметична" прогресия.
Имайте предвид, че ако са дадени a 1 и d, тогава останалите членове на аритметичната прогресия могат да бъдат изчислени с помощта на рекурсивната формула a n+1 = a n + d. По този начин не е трудно да се изчислят първите няколко члена на прогресията, но например за 100 вече ще са необходими много изчисления. Обикновено за това се използва формулата на n-тия термин. Според определението за аритметична прогресия
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
и т.н.
В общи линии,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
тъй като n-тият член на аритметична прогресия се получава от първия член чрез добавяне (n-1) по числото d.
Тази формула се нарича формула на n-ия член на аритметична прогресия.
Сумата от първите n члена на аритметична прогресия
Нека намерим сбора от всички естествени числа от 1 до 100.
Записваме тази сума по два начина:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Добавяме тези равенства член по член:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В тази сума има 100 термина.
Следователно, 2S = 101 * 100, откъдето S = 101 * 50 = 5050.
Помислете сега за произволна аритметична прогресия
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Нека S n е сумата от първите n члена на тази прогресия:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Тогава сумата от първите n члена на аритметична прогресия е
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Тъй като \(a_n=a_1+(n-1)d \), след това замествайки a n в тази формула, получаваме друга формула за намиране сумите от първите n члена на аритметична прогресия:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
