Сборът от елементите на геометрична прогресия. Алгебра: Аритметични и геометрични прогресии
Ако всяко естествено число н съвпада с реално число a n тогава казват, че е дадено числова последователност :
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .
И така, числовата последователност е функция на естествения аргумент.
номер а 1 са наречени първият член на поредицата , номер а 2 — втори срок , номер а 3 — трети и т.н. номер a n са наречени n-ия член на последователността , и естественото число н — неговия номер .
От двама съседни членове a n и a n +1 член на последователността a n +1 са наречени последващо (към a n ), а a n — предишен (към a n +1 ).
За да посочите последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователността с произволен номер.
Често последователността е дадена с формули за n-ти член , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.
Например,
поредица от положителни нечетни числа може да бъде определена с формулата
a n= 2н - 1,
и последователността на редуване 1 и -1 - по формулата
бн = (-1)н +1 . ◄
Последователността може да се определи рекурсивна формула, тоест формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предишните (един или повече) членове.
Например,
ако а 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5
а 1 = 1,
а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност се задават, както следва:
а 1 = 1,
а 2 = 1,
а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,
а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,
а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,
а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,
а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последователностите могат да бъдат финал и безкраен .
Последователността се нарича върховното ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен ако има безкрайно много членове.
Например,
поредица от двуцифрени естествени числа:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
финал.
Поредица от прости числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
безкраен. ◄
Последователността се нарича повишаване на ако всеки от членовете му, започвайки от втория, е по-голям от предишния.
Последователността се нарича намаляващи ако всеки от членовете му, започвайки от втория, е по-малък от предишния.
Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . - увеличаваща се последователност;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . - низходяща последователност. ◄
Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .
Монотонните последователности, по-специално, са възходящи и низходящи последователности.
Аритметична прогресия
Аритметична прогресия се извиква последователност, всеки член на която, започвайки с втория, е равен на предишния, към който се добавя същото число.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .
е аритметична прогресия, ако за произволно естествено число н е изпълнено условието:
a n +1 = a n + д,
където д - някакъв номер.
По този начин разликата между следващите и предишните членове на дадена аритметична прогресия винаги е постоянна:
а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.
номер д са наречени разлика в аритметичната прогресия.
За да зададете аритметична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и разлика.
Например,
ако а 1 = 3, д = 4 , тогава първите пет члена на последователността се намират, както следва:
а 1 =3,
а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,
а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,
а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,
а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄
За аритметична прогресия с първия член а 1 и разликата д нея н
a n = а 1 + (н- 1)д.
Например,
намерете тридесетия член от аритметичната прогресия
1, 4, 7, 10, . . .
а 1 =1, д = 3,
а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
а n-1 = а 1 + (н- 2)д,
a n= а 1 + (н- 1)д,
a n +1 = а 1 + nd,
тогава очевидно
| a n=
| a n-1 + a n + 1
|
| 2
|
всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичната стойност на предишния и следващите членове.
числа a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия, ако и само ако едно от тях е равно на средноаритметичната стойност на другите две.
Например,
a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.
Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:
a n = 2н- 7,
а n-1 = 2(н - 1) - 7 = 2н- 9,
a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2н- 5.
следователно,
| a n + 1 + a n-1
| =
| 2н- 5 + 2н- 9
| = 2н- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Отбележи, че н -ти член на аритметичната прогресия може да се намери не само чрез а 1 , но и всички предишни а к
a n = а к + (н- к)д.
Например,
за а 5 може да се напише
а 5 = а 1 + 4д,
а 5 = а 2 + 3д,
а 5 = а 3 + 2д,
а 5 = а 4 + д. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n + k - kd,
тогава очевидно
| a n=
| а n-k
+ а n + k
|
| 2
|
всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на полусумата от членовете на тази аритметична прогресия, разположени на еднакво разстояние от нея.
Освен това, за всяка аритметична прогресия, равенството е вярно:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Например,
в аритметична прогресия
1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;
2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (а 7 + а 13)/2;
4) а 2 + а 12 = а 5 + а 9, защото
а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,
а 5 + а 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= а 1 + а 2 + а 3 +. ... ...+ a n,
първият н членове на аритметичната прогресия е равно на произведението на полусумата от екстремни членове на броя на членовете:
Оттук по-специално следва, че ако е необходимо да се сумират термините
а к, а к +1 , . . . , a n,
тогава предишната формула запазва своята структура:
Например,
в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ако е дадена аритметична прогресия, тогава стойностите а 1 , a n, д, ниС н свързани с две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:
- ако д > 0 , то се увеличава;
- ако д < 0 , то намалява;
- ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.
Геометрична прогресия
Геометрична прогресия се извиква последователност, всеки член на която, започвайки с втория, е равен на предишния, умножен по същото число.
б 1 , б 2 , б 3 , . . . , б н, . . .
е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н е изпълнено условието:
б н +1 = б н · q,
където q ≠ 0 - някакъв номер.
По този начин съотношението на следващия член от дадена геометрична прогресия към предишния е постоянно число:
б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = б н +1 / б н = q.
номер q са наречени знаменател на геометричната прогресия.
За да зададете геометрична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и знаменател.
Например,
ако б 1 = 1, q = -3 , тогава първите пет члена на последователността се намират, както следва:
б 1 = 1,
б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,
б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,
б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,
б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
б 1 и знаменателят q нея н Тоят член може да се намери по формулата:
б н = б 1 · q n -1 .
Например,
намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .
б 1 = 1, q = 2,
б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = б 1 · q n -2 ,
б н = б 1 · q n -1 ,
б н +1 = б 1 · q n,
тогава очевидно
б н 2 = б н -1 · б н +1 ,
всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.
Тъй като обратното твърдение също е вярно, важи следното твърдение:
числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия, ако и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, тоест едно от числата е средното геометрично на другите две.
Например,
нека докажем, че последователността, дадена от формулата б н= -3 2 н , е експоненциална прогресия. Нека използваме горното твърдение. Ние имаме:
б н= -3 2 н,
б н -1 = -3 2 н -1 ,
б н +1 = -3 2 н +1 .
следователно,
б н 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) (-3 2 н +1 ) = б н -1 · б н +1 ,
което доказва изискваното твърдение. ◄
Отбележи, че н -ти член на геометричната прогресия може да се намери не само чрез б 1 , но и всеки предишен мандат б к , за което е достатъчно да използвате формулата
б н = б к · q n - к.
Например,
за б 5 може да се напише
б 5 = б 1 · q 4 ,
б 5 = б 2 · q 3,
б 5 = б 3 · q 2,
б 5 = б 4 · q. ◄
б н = б к · q n - к,
б н = б н - к · q k,
тогава очевидно
б н 2 = б н - к· б н + к
квадратът на всеки член от геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от него.
Освен това, за всяка геометрична прогресия, равенството е вярно:
б м· б н= б к· б л,
м+ н= к+ л.
Например,
експоненциално
1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;
2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;
4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , защото
б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,
б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + б н
първият н членове на геометрична прогресия със знаменател q ≠ 0 изчислено по формулата:
И когато q = 1 - по формулата
S n= nb 1
Обърнете внимание, че ако трябва да сумирате термините
б к, б к +1 , . . . , б н,
тогава се използва формулата:
| S n- S k -1 = б к + б к +1 + . . . + б н = б к · | 1 - q n -
к +1
| . |
| 1 - q
|
Например,
експоненциално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ако е дадена геометрична прогресия, тогава стойностите б 1 , б н, q, ни S n свързани с две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на кои да е три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
За геометрична прогресия с първия член б 1 и знаменателят q следното свойства на монотонност :
- прогресията е възходяща, ако е изпълнено едно от следните условия:
б 1 > 0 и q> 1;
б 1 < 0 и 0 < q< 1;
- прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:
б 1 > 0 и 0 < q< 1;
б 1 < 0 и q> 1.
Ако q< 0 , то геометричната прогресия се редува: нейните нечетни членове имат същия знак като първия член, а четните членове имат противоположен знак. Ясно е, че редуващата се геометрична прогресия не е монотонна.
Делото на първия н членовете на геометричната прогресия могат да бъдат изчислени по формулата:
P n= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) н / 2 .
Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия се нарича безкрайна геометрична прогресия, модулът на знаменателя на която е по-малък 1 , това е
|q| < 1 .
Имайте предвид, че безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Това отговаря на случая
1 < q< 0 .
При такъв знаменател последователността се редува. Например,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Сборът от безкрайно намаляваща геометрична прогресия е числото, към което е сумата от първата н членове на прогресията с неограничено увеличение на броя н ... Това число винаги е крайно и се изразява с формулата
| С= б 1 + б 2 + б 3 + . . . = | б 1
| . |
| 1 - q
|
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Връзка между аритметичната и геометричната прогресия
Аритметичната и геометричната прогресии са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , тогава
б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .
Например,
1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 и
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄
б 1 , б 2 , б 3 , . . . - геометрична прогресия със знаменател q , тогава
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика дневник аq .
Например,
2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия със знаменател 6 и
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄
Геометричната прогресия, наред с аритметиката, е важен числов ред, който се изучава в училищния курс по алгебра в 9 клас. В тази статия ще разгледаме знаменателя на геометрична прогресия и как нейната стойност влияе върху нейните свойства.
Определение на геометрична прогресия
За начало нека дадем определението на тази числова серия. Геометрична прогресия се нарича поредица от рационални числа, която се образува чрез последователно умножение на първия си елемент по постоянно число, наречено знаменател.
Например числата в ред 3, 6, 12, 24, ... са геометрична прогресия, защото ако умножите 3 (първият елемент) по 2, ще получите 6. Ако умножите 6 по 2, ще получите 12 и така нататък.
Членовете на разглежданата последователност обикновено се означават със символа ai, където i е цяло число, указващо номера на елемент в реда.
Горното определение за прогресия може да бъде написано на езика на математиката, както следва: an = bn-1 * a1, където b е знаменателят. Лесно е да се провери тази формула: ако n = 1, тогава b1-1 = 1 и получаваме a1 = a1. Ако n = 2, тогава an = b * a1 и отново стигаме до дефиницията на разглежданата серия от числа. Подобни разсъждения могат да бъдат продължени за големи стойности на n.
Знаменател на геометричната прогресия
Числото b напълно определя какъв знак ще има цялата серия от числа. Знаменателят b може да бъде положителен, отрицателен или по-голям от едно или по-малко. Всички тези опции водят до различни последователности:
- b> 1. Има нарастваща серия от рационални числа. Например, 1, 2, 4, 8, ... Ако елементът a1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само по абсолютна стойност, но ще намалее, като се вземе предвид знакът на числата.
- b = 1. Такъв случай често не се нарича прогресия, тъй като има обикновена серия от еднакви рационални числа. Например -4, -4, -4.
Формула за количеството
Преди да се пристъпи към разглеждането на конкретни проблеми, използвайки знаменателя на разглеждания тип прогресия, трябва да се даде важна формула за сумата от първите n елемента. Формулата е: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Можете сами да получите този израз, ако разгледате рекурсивна последователност от членове на прогресията. Също така имайте предвид, че в горната формула е достатъчно да знаете само първия елемент и знаменателя, за да намерите сумата от произволен брой членове.
Безкрайно намаляваща последователност
По-горе беше дадено обяснение какво представлява. Сега, като знаете формулата за Sn, приложете я към тази серия от числа. Тъй като всяко число, чийто модул не надвишава 1, когато се повиши до големи градуси, клони към нула, тоест b∞ => 0, ако -1
Тъй като разликата (1 - b) винаги ще бъде положителна, независимо от стойността на знаменателя, знакът на сумата от намаляващата безкрайна прогресия на геометричната S∞ се определя еднозначно от знака на първия му елемент a1.
Сега ще разгледаме няколко задачи, където ще покажем как да приложим получените знания върху конкретни числа.
Задача номер 1. Изчисляване на неизвестните елементи на прогресията и сбора
Дадена ви е геометрична прогресия, знаменателят на прогресията е 2, а първият й елемент е 3. Какви ще бъдат нейните 7-ми и 10-ти член и каква е сумата от седемте й начални елемента?
Условието на задачата е съставено доста просто и включва директно използване на горните формули. И така, за да изчислим елемента с номер n, използваме израза an = bn-1 * a1. За 7-ми елемент имаме: a7 = b6 * a1, замествайки известните данни, получаваме: a7 = 26 * 3 = 192. Правим същото за 10-ия член: a10 = 29 * 3 = 1536.
Нека използваме добре познатата формула за сумата и да определим тази стойност за първите 7 елемента от поредицата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача номер 2. Определяне на сумата от произволни елементи на прогресията
Нека -2 е знаменателят на експоненциалната прогресия bn-1 * 4, където n е цяло число. Необходимо е да се определи количеството от 5-ти до 10-ти елемент от тази серия, включително.
Поставеният проблем не може да бъде решен директно с помощта на известни формули. Може да се реши по 2 различни метода. За пълнота представяме и двете.
Метод 1. Идеята му е проста: необходимо е да се изчислят двете съответни суми от първите членове и след това да се извади другият от единия. Изчисляваме по-малкото количество: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега изчисляваме голямата сума: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Обърнете внимание, че в последния израз бяха сумирани само 4 члена, тъй като 5-ият вече е включен в сумата, която трябва да бъде изчислена според условието на задачата. Накрая вземете разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Преди да замените числата и да преброите, можете да получите формула за сумата между членовете m и n на въпросния ред. Правим точно същото като в метод 1, само че първо работим със символното представяне на сумата. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . В получения израз можете да замените известни числа и да изчислите крайния резултат: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача номер 3. Какъв е знаменателят?
Нека a1 = 2, намерете знаменателя на геометричната прогресия, при условие че нейната безкрайна сума е 3 и е известно, че това е намаляваща поредица от числа.
По условието на задачата е лесно да се отгатне коя формула трябва да се използва за нейното решаване. Разбира се, за сумата от прогресията е безкрайно намаляваща. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Откъдето изразяваме знаменателя: b = 1 - a1 / S∞. Остава да замените известните стойности и да получите необходимото число: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 или -0,333 (3). Този резултат може да бъде проверен качествено, ако си припомним, че за този тип последователност модулът b не трябва да надхвърля 1. Както виждате, |-1/3 |
Задача номер 4. Възстановяване на поредица от числа
Нека са дадени 2 елемента от числов ред, например, 5-ият е равен на 30, а 10-ият е равен на 60. Необходимо е да се реконструира цялата серия от тези данни, като се знае, че тя удовлетворява свойствата на геометрична прогресия.
За да решите проблема, първо трябва да запишете съответния израз за всеки известен член. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега разделяме втория израз на първия, получаваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. От тук определяме знаменателя, като вземем петия корен от съотношението на членовете, известни от условието на задачата, b = 1,148698. Заместваме полученото число в един от изразите за известния елемент, получаваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.
Така открихме знаменателят на прогресията bn и геометричната прогресия bn-1 * 17,2304966 = an, където b = 1,148698.
Къде се използват геометричните прогресии?
Ако нямаше приложение на този числов ред на практика, тогава неговото изследване щеше да се сведе до чисто теоретичен интерес. Но има такова приложение.
По-долу са 3-те най-известни примера:
- Парадоксът на Зенон, при който умният Ахил не може да настигне бавната костенурка, се решава с помощта на концепцията за безкрайно намаляваща последователност от числа.
- Ако поставите пшенични зърна на всяко поле на шахматната дъска, така че 1 зърно да се постави на 1-во поле, 2 - на 2-ро, 3 - на 3-то и така нататък, тогава са необходими 18446744073709551615 зърна, за да запълните всички квадратчета на дъска!
- В играта Tower of Hanoi, за да пренаредите дисковете от един прът в друг, е необходимо да се извършат 2n - 1 операции, тоест броят им нараства експоненциално с броя на използваните дискове n.
Още в Древен Египет те знаеха не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето например проблем от папируса на Ринд: „Седем лица имат по седем котки; всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка яде седем класа, всяко ухо може да отгледа седем мерки ечемик. Колко големи са числата на тази серия и тяхната сума?"
 |
|
Ориз. 1. Древноегипетският проблем за геометричната прогресия |
Тази задача се повтаряше много пъти с различни вариации сред другите народи в друго време. Например в написаното през XIII век. „Книгата на абакуса“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който има 7 стари жени, които се отправят към Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 чувала, всяка от които има 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които е в 7 ножници. Проблемът пита колко артикула има.
Сумата от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1). Тази формула може да се докаже, например, както следва: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Добавете към S n числото b 1 q n и получите:
|
Следователно S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) и получаваме необходимата формула.
Вече е на една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от 6 век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Вярно е, както в редица други случаи, ние не знаем как този факт е бил известен на вавилонците .
Бързият растеж на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в индийската, многократно се използва като визуален символ на необятността на Вселената. В добре познатата легенда за появата на шаха, лордът дава на неговия изобретател възможност сам да избере наградата и той иска количеството пшенични зърна, което ще се получи, ако се постави на първата клетка на шахматната дъска, две на втория, четири на третия, осем на четвъртия и така нататък, всеки път, когато числото се удвоява. Владиката помисли, че най-много става дума за няколко чувала, но се обърка. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят е трябвало да получи (2 64 - 1) зърно, което се изразява с 20-цифрено число; дори и цялата повърхност на Земята да бъде засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимото количество зърна. Тази легенда понякога се тълкува като сочеща към почти неограничените възможности, скрити в играта на шах.
Лесно е да се види, че това число наистина е 20 цифри:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6 ∙ 10 19 (по-точно изчисление дава 1,84 ∙ 10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?
Геометричната прогресия се увеличава, ако знаменателят е по-голям от 1 по абсолютна стойност, или намалява, ако е по-малък от единица. В последния случай числото q n за достатъчно голямо n може да стане произволно малко. Докато нарастващата геометрична прогресия се увеличава неочаквано бързо, намаляващата намалява също толкова бързо.
Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото qn се различава от нула и толкова по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q) до числото S = b 1 / ( 1 - q). (Така разсъждава Ф. Виет например). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това в продължение на много векове въпросът какъв е смисълът на сумирането на ЦЯЛАТА геометрична прогресия с нейния безкраен брой термини не е бил достатъчно ясен за математиците.
Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Разполовяване“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (да предположим, с дължина 1) е сумата от безкраен брой отсечки 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Така че, разбира се, от гледна точка на концепцията за безкрайна геометрична прогресия с краен сбор. И все пак – как може да бъде това?
|
Ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2 |
В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, тъй като тук знаменателят на прогресията е равен не на 1/2, а на някакво друго число. Да предположим, че Ахил бяга със скорост v, костенурка се движи със скорост u и първоначалното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за време l/v, костенурката ще се движи на разстояние lu/v през това време. Когато Ахил пробяга този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u / v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член l и знаменателят u / v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще избяга до мястото, където среща костенурката - е равна на l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Но, отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл, дълго време не беше много ясно.
|
Ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3 |
Сборът от геометрична прогресия е използван от Архимед за определяне на площта на сегмент от парабола. Нека даденият сегмент от параболата е ограничен от хордата AB и нека допирателната в точката D на параболата е успоредна на AB. Нека C е средата на AB, E - средата на AC, F - средата на CB. Начертайте прави линии, успоредни на DC през точки A, E, F, B; нека допирателната, начертана в точка D, тези прави се пресичат в точки K, L, M, N. Нека начертаем и сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G, а параболата в точката H; правата FM пресича правата DB в точка Q, а параболата в точка R. Според общата теория на коничните сечения, DC е диаметърът на парабола (тоест сегмент, успореден на нейната ос); то и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до която и да е точка от даден диаметър, y е дължината на a успоредно на даден допирателен сегмент от тази точка на диаметър до някаква точка на самата парабола).
По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA и тъй като DK = 2DL, тогава KA = 4LH. Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на параболата е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на AHD и DRB сегментите, комбинирани. От своя страна площта на сегмента AHD е равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които можете да извършите същата операция - разделете на триъгълник (Δ) и два оставащи сегмента () и т.н.:
Площта на триъгълник ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълник ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. По този начин площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълника ΔADB. Повтарянето на тази операция, приложена към сегментите AH, HD, DR и RB, също ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взета заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно , което означава 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB. и т.н.:
Така Архимед доказа, че „всеки сегмент, затворен между права линия и парабола, е четири трети от триъгълник със същата основа и еднаква височина“.
Урок и презентация на тема: "Поредици от числа. Геометрична прогресия"
Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени от антивирусна програма.
Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин Интеграл за 9 клас
Степени и корени Функции и графики
Момчета, днес ще се запознаем с друг вид прогресия.
Темата на днешния урок е геометричната прогресия.
Геометрична прогресия
Определение. Числова последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на произведението на предишното и някакво фиксирано число, се нарича геометрична прогресия.Нека зададем нашата последователност рекурсивно: $ b_ (1) = b $, $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $,
където b и q са определени дадени числа. Числото q се нарича знаменател на прогресията.
Пример. 1,2,4,8,16 ... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на единица и $ q = 2 $.
Пример. 8,8,8,8 ... Геометрична прогресия, в която първият член е осем,
и $ q = 1 $.
Пример. 3, -3,3, -3,3 ... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на три,
и $ q = -1 $.
Геометричната прогресия има свойствата на монотонност.
Ако $ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
тогава последователността е възходяща.
Ако $ b_ (1)> 0 $, $ 0 Последователността обикновено се обозначава като: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.
Както и в аритметична прогресия, ако броят на елементите е краен в геометрична прогресия, тогава прогресията се нарича крайна геометрична прогресия.
$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Забележете, ако последователността е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати от членове също е геометрична прогресия. За втората последователност първият член е $ b_ (1) ^ 2 $, а знаменателят е $ q ^ 2 $.
Формула на n-ия член на геометрична прогресия
Геометричната прогресия може да бъде определена и в аналитична форма. Нека видим как да го направим:$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
Лесно забелязваме модела: $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Нашата формула се нарича "формулата за n-ия член на геометрична прогресия".
Нека се върнем към нашите примери.
Пример. 1,2,4,8,16 ... Геометрична прогресия, в която първият член е равен на единица,
и $ q = 2 $.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.
Пример. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Геометрична прогресия, в която първият член е шестнадесет и $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.
Пример. 8,8,8,8 ... Геометрична прогресия, в която първият член е осем и $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $.
Пример. 3, -3.3, -3.3 ... Геометрична прогресия, в която първият член е три и $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.
Пример. Получавате геометрична прогресия $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
а) Известно е, че $ b_ (1) = 6, q = 3 $. Намерете $ b_ (5) $.
b) Известно е, че $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $. Намерете n.
в) Известно е, че $ q = -2, b_ (6) = 96 $. Намерете $ b_ (1) $.
г) Известно е, че $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $. Намерете q.
Решение.
а) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $.
б) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $, тъй като $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $.
в) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
г) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $.
Пример. Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 192, сборът от петия и шестия член на прогресията е 192. Намерете десетия член на тази прогресия.
Решение.
Знаем, че: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ и $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
Знаем също: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
Тогава:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $.
Получаваме система от уравнения:
$ \ начало (случаи) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ край (случаи) $.
Приравнявайки, нашите уравнения получават:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 $.
Получаваме две решения q: $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $.
Заместете последователно във второто уравнение:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ няма решения.
Получаваме това: $ b_ (1) = 4, q = 2 $.
Намерете десетия член: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.
Сума от крайна геометрична прогресия
Да предположим, че имаме крайна геометрична прогресия. Нека, както и за аритметична прогресия, да изчислим сумата на нейните членове.Нека е дадена крайна геометрична прогресия: $ b_ (1), b_ (2),..., b_ (n-1), b_ (n) $.
Нека въведем обозначението на сбора от неговите членове: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
В случай, когато $ q = 1 $. Всички членове на геометричната прогресия са равни на първия член, тогава е очевидно, че $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
Разгледайте сега случая $ q ≠ 1 $.
Умножете горната сума по q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Забележка:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2 ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.
Получихме формулата за сумата от крайна геометрична прогресия.
Пример.
Намерете сбора от първите седем члена на геометрична прогресия, в която първият член е 4, а знаменателят е 3.
Решение.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $.
Пример.
Намерете петия член на геометричната прогресия, който е известен: $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $.
Решение.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 $.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$ q ^ (n) = 1024q $.
$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $.
$ -4095 (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) = - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $.
$341q = $1364.
$ q = 4 $.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $.
Характерно свойство на геометрична прогресия
Момчета, дадена е геометрична прогресия. Нека разгледаме три последователни члена от него: $ b_ (n-1), b_ (n), b_ (n + 1) $.знаем, че:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
Тогава:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Ако прогресията е крайна, тогава това равенство важи за всички членове с изключение на първия и последния.
Ако не е известно предварително каква последователност е последователността, но е известно, че: $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Тогава можем спокойно да кажем, че това е геометрична прогресия.
Числовата последователност е геометрична прогресия само когато квадратът на всеки от нейните членове е равен на произведението на два съседни члена на прогресията. Не забравяйте, че за крайна прогресия това условие не е изпълнено за първия и последния член.
Нека разгледаме тази идентичност: $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ \ sqrt (a * b) $ се нарича средно геометрично на числата a и b.
Модулът на всеки член от геометрична прогресия е равен на средното геометрично на два съседни члена.
Пример.
Намерете x такова, че $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ бяха три последователни експоненциални члена.
Решение.
Нека използваме характерното свойство:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 = 0 $.
$ x_ (1) = 2 $ и $ x_ (2) = - 1 $.
Замествайки последователно в оригиналния израз, нашите решения:
С $ x = 2 $ получаваме последователността: 4; 6; 9 - геометрична прогресия, в която $ q = 1,5 $.
С $ x = -1 $ получаваме последователността: 1; 0; 0.
Отговор: $ x = 2. $
Задачи за самостоятелно решаване
1. Намерете първия осми член от геометричната прогресия 16; -8; 4; -2….2. Намерете десетия член на геометричната прогресия 11,22,44….
3. Известно е, че $ b_ (1) = 5, q = 3 $. Намерете $ b_ (7) $.
4. Известно е, че $ b_ (1) = 8, q = -2, b_ (n) = 512 $. Намерете n.
5. Намерете сбора от първите 11 члена на геометричната прогресия 3; 12; 48….
6. Намерете x такова, че $ 3x + 4; 2x + 4; x + 5 $ са три последователни експоненциални члена.
Геометрична прогресияне по-малко важен в математиката от аритметиката. Геометрична прогресия е поредица от числа b1, b2, ..., b [n], всеки следващ член на който се получава чрез умножаване на предишния по постоянно число. Това число, което също характеризира скоростта на нарастване или намаляване на прогресията, се нарича знаменател на геометричната прогресияи обозначават
За пълно присвояване на геометрична прогресия, освен знаменателя, е необходимо да се знае или определи първият й член. За положителна стойност на знаменателя прогресията е монотонна последователност и ако тази последователност от числа е монотонно намаляваща и за, монотонно нарастваща. Случаят, когато знаменателят е равен на единица, не се разглежда на практика, тъй като имаме поредица от еднакви числа и тяхното сумиране не представлява практически интерес.
Общ термин на геометрична прогресияизчислено по формулата
Сумата от първите n члена на геометрична прогресияопределя се по формулата
Помислете за решения на класически задачи върху геометрична прогресия. Нека започнем с най-простите за разбиране.
Пример 1. Първият член на геометрична прогресия е 27, а знаменателят му е 1/3. Намерете първите шест члена на геометрична прогресия.
Решение: Нека запишем условието на задачата във формата
За изчисления използваме формулата за n-ия член на геометрична прогресия
Въз основа на него намираме неизвестните членове на прогресията
Както можете да видите, изчисляването на членовете на геометрична прогресия не е трудно. Самата прогресия ще изглежда така
Пример 2. Дадени са първите три члена на геометричната прогресия: 6; -12; 24. Намерете знаменателя и неговия седми член.
Решение: Изчислете знаменателя на геометричната прогресия въз основа на нейното определение
Получаваме редуваща се геометрична прогресия, чийто знаменател е -2. Седмият член се изчислява по формулата
Това реши проблема.
Пример 3. Геометрична прогресия е дадена от двама от нейните членове 
... Намерете десетия член в прогресията.
Решение:
Нека запишем дадените стойности чрез формулите
Според правилата би било необходимо да се намери знаменателят и след това да се търси желаната стойност, но за десетия член имаме
Същата формула може да се получи въз основа на прости манипулации с входните данни. Разделяме шестия член от поредицата на друг, в резултат получаваме
Ако получената стойност се умножи по шестия член, получаваме десетия
По този начин, за такива задачи, като използвате прости трансформации по бърз начин, можете да намерите правилното решение.
Пример 4. Геометричната прогресия се дава с повтарящи се формули
Намерете знаменателя на геометричната прогресия и сбора от първите шест члена.
Решение:
Нека запишем дадените данни под формата на система от уравнения
Изразете знаменателя, като разделите второто уравнение на първото
Намерете първия член на прогресията от първото уравнение
Нека изчислим следващите пет члена, за да намерим сумата от геометрична прогресия
