Аритметична прогресияназовете последователност от числа (членове на прогресия)

При което всеки следващ термин се различава от предишния със стоманен термин, който също се нарича разлика в стъпката или прогресията.

По този начин, като зададете стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи с помощта на формулата

Свойства на аритметична прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичната стойност на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средноаритметичната стойност на съседните нечетни (четни) членове на прогресията е равна на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. С това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също така чрез свойството на аритметична прогресия, горната формула може да бъде обобщена до следното

Това е лесно да се провери, ако напишем термините вдясно от знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията в задачи.

2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сбора на аритметична прогресия, тя е незаменима при изчисления и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от поредицата, започваща от нейния k -ти член, тогава следната формула за сума ще ви бъде полезна

4) От практически интерес е да се намери сборът от n члена на аритметична прогресия, започвайки от k-то число. За да направите това, използвайте формулата

Тук теоретичният материал приключва и преминаваме към решаване на проблеми, които са често срещани в практиката.

Пример 1. Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...

решение:

Според условието имаме

Определете стъпката на прогресиране

Според добре познатата формула намираме четиридесетия член на прогресията

Пример2. Аритметична прогресиясе дава от третия и седмия му член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.

решение:

Записваме дадените елементи на прогресията по формулите

Изваждаме първото уравнение от второто, в резултат намираме стъпката на прогресия

Намерената стойност се замества във всяко от уравненията, за да се намери първия член на аритметичната прогресия

Изчислете сумата от първите десет члена на прогресията

Без да прилагаме сложни изчисления, намерихме всички необходими стойности.

Пример 3. Аритметична прогресия се дава от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започващи от 50, и сбора от първите 100.

решение:

Нека напишем формулата за стотния елемент от прогресията

и намерете първия

Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията

Намиране на сумата от частта от прогресията

и сумата от първите 100

Сумата на прогресията е 250.

Пример 4

Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, ако:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

решение:

Записваме уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заместваме получените стойности във формулата за сбора, за да определим броя на членовете в сбора

Правене на опростявания

и решете квадратното уравнение

От двете намерени стойности само числото 8 е подходящо за състоянието на проблема. Така сборът от първите осем члена на прогресията е 111.

Пример 5

реши уравнението

1+3+5+...+x=307.

решение: Това уравнениее сумата от аритметична прогресия. Изписваме първия му член и намираме разликата в прогресията

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават училищен курсалгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия.

Каква е тази прогресия?

Преди да пристъпим към разглеждането на въпроса (как да намерим сумата от аритметична прогресия), си струва да разберем какво ще бъде обсъдено.

Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предишно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, преведено на езика на математиката, приема формата:

Тук i е поредният номер на елемента от поредицата a i . По този начин, знаейки само едно първоначално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича разлика в прогресията.

Може лесно да се покаже, че за разглежданата серия от числа важи следното равенство:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент в ред, добавете разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата от аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, си струва да помислите за проста специален случай. Като се има предвид прогресия на естествени числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като в прогресията (10) има малко членове, възможно е проблемът да се реши директно, тоест да се сумират всички елементи по ред.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Струва си да се обмисли едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия със същата стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и така нататък ще даде същия резултат . Наистина ли:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите в поредицата. След това умножавайки броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи в ред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и последния a n , а също и общ бройтермини n.

Смята се, че Гаус за първи път е помислил за това равенство, когато е търсил решение на проблема, поставен от неговия учител в училище: да се сумират първите 100 цели числа.

Сбор от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (от първите елементи), но често в задачите е необходимо да се сумират поредица от числа в средата на прогресията. Как да го направя?

Най-лесният начин да се отговори на този въпрос е като разгледаме следния пример: нека е необходимо да се намери сборът от членове от m-то до n-то. За да се реши задачата, даден сегмент от m до n от прогресията трябва да бъде представен като нов числов ред. В такава презентация m-ти срок a m ще бъде първо, а n ще бъде номерирано n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата от аритметична прогресия, си струва да разгледаме прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сбора от нейните членове, като се започне от 5-ти и завършва с 12-ти:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 = 29.

Познаване на стойностите на числата в краищата на разглеждания алгебрична прогресия, а също и като знаете кои числа в реда заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Вземете:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да бъде получена по различен начин: първо намерете сумата от първите 12 елемента, използвайки стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, използвайки същата формула, и след това извадете втория от първата сума .

Например последователността \(2\); \(5\); \(осем\); \(единадесет\); \(14\)... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това, \(d\) може да бъде и отрицателно число. например, в аритметична прогресия \(16\); \(десет\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разликата в прогресията \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващ.

Записване на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латиница.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с числов индекс, равен на номера на елемента по ред.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи с аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия.
решение:

	Дадени са ни първите елементи от последователността и знаем, че това е аритметична прогресия. Тоест всеки елемент се различава от съседния със същото число. Разберете коя, като извадите предишния от следващия елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия до желания (първи отрицателен) елемент.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(...5; x; 10; 12.5...\) Намерете стойността на елемента, обозначен с буквата \(x\).
решение:

	За да намерим \(x\), трябва да знаем колко се различава следващият елемент от предишния, с други думи, разликата в прогресията. Нека го намерим от два известни съседни елемента: \(d=12.5-10=2.5\).
	И сега намираме това, което търсим без никакви проблеми: \(x=5+2.5=7.5\).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
решение:

	Трябва да намерим сбора от първите шест члена на прогресията. Но ние не знаем техните значения, даден ни е само първият елемент. Затова първо изчисляваме стойностите на свой ред, като използваме даденото ни: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И след като изчислим шестте елемента, от които се нуждаем, намираме тяхната сума.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Исканата сума е намерена.

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата в тази прогресия.
решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто като се разбере основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Понякога обаче има ситуации, когато е много неудобно да се решава "на челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Какво е това, ние \ (385 \) пъти да добавим четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Броенето е объркващо...

Следователно в такива случаи те не решават „на челото“, а използват специални формули, извлечени за аритметична прогресия. А основните са формулата за n-ия член на прогресията и формулата за сбора \(n\) от първите членове.

Формула за \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на необходимия елемент;
\(a_n\) е член на прогресията с числото \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, като знаем само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се дава от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формулата за сумата от първите n члена е: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) е последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да изчислим сумата от първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет и петия член. Нашата прогресия се дава от формулата на n-ия член в зависимост от неговия брой (виж подробности). Нека изчислим първия елемент, като заменим \(n\) с един.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Сега нека намерим двадесет и петия член, като заместим двадесет и пет вместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Е, сега безпроблемно изчисляваме необходимата сума.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заместете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формулата за сбора на първите n члена е: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – необходимата сума \(n\) от първите елементи;
\(a_1\) е първият член, който трябва да се сумира;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) - броят на елементите в сбора.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(четиринадесет\)…
решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега имате цялата информация, която ви е необходима, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да помислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-деветнадесет\); \(-18,7\)…
решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е много подобна на предишната. Започваме да решаваме по същия начин: първо намираме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Сега да заместим \ (d \) във формулата за сумата ... и ето, че тя изскача малък нюанс– не знаем \(n\). С други думи, не знаем колко термина ще трябва да бъдат добавени. Как да разбера? Нека да помислим. Ще спрем да добавяме елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Тоест, трябва да разберете номера на този елемент. Как? Нека запишем формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметична прогресия: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашия случай.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Трябва \(a_n\) да бъде по-голямо от нула. Нека разберем за какво \(n\) ще се случи това.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Разделяме двете страни на неравенството на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Прехвърляме минус едно, като не забравяме да сменим знаците
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Компютърни...
\(n>65 333…\)		…и се оказва, че първият положителен елемент ще има числото \(66\). Съответно, последният минус има \(n=65\). За всеки случай нека да го проверим.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		По този начин трябва да добавим първите \(65\) елементи.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Отговорът е готов.

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се дава от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)ти до \(42\) елемент включително.
решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	В този проблем също трябва да намерите сумата от елементи, но не от първия, а от \(26\)-ия. Нямаме формула за това. Как да решим? Лесно - за да получите сумата от \(26\)th до \(42\)th, първо трябва да намерите сумата от \(1\)th до \(42\)th и след това да извадите от нея сумата от първият до \ (25 \) ти (виж снимката).
	За нашата прогресия \(a_1=-33\) и разликата \(d=4\) (все пак добавяме четири към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, намираме сумата от първите \(42\)-uh елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега сумата от първите \(25\)-ти елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И накрая, изчисляваме отговора.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Отговор: \(S=1683\).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разгледали в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша си. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете най-много внимание на нашия навигатор полезен ресурсза

Числова последователност

Така че нека да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:
Можете да напишете произволни числа и може да има толкова, колкото искате (в нашия случай те). Колкото и числа да напишем, винаги можем да кажем кое от тях е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един пореден номер. С други думи, в поредицата няма три втори числа. Второто число (като -тото число) винаги е същото.
Числото с числото се нарича -ти член на поредицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

в нашия случай:

Да кажем, че имаме числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Такава числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът „прогресия“ е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е пренесено от теорията на непрекъснатите пропорции, с която са се занимавали древните гърци.

Това е числова последователност, всеки член на която е равен на предишния, добавен със същото число. Това число се нарича разлика от аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови поредици са аритметична прогресия и кои не:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Сравнете нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществуват двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавим към предишната стойност на числото на прогресията, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че нямаме много за обобщаване - само три стойности:

И така, -тият член на описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Начин

Ами ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането щеше да ни отнеме повече от един час и не е факт, че нямаше да сгрешим при събирането на числата.
Разбира се, математиците са измислили начин, по който не е необходимо да добавяте разликата от аритметична прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно нарисуваната картина ... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека видим какво съставлява стойността на -тия член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте се самостоятелно да намерите по този начин стойността на член от тази аритметична прогресия.

Изчислено? Сравнете вашите записи с отговора:

Обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметична прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "деперсонализираме" тази формула- доведи я до обща формаи вземете:

Уравнение за аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии се увеличават или намаляват.

Повишаване на- прогресии, в които всяка следваща стойност на термините е по-голяма от предходната.
Например:

Низходящо- прогресии, в които всяка следваща стойност на термините е по-малка от предходната.
Например:

Получената формула се използва при изчисляване на термини както в нарастващи, така и в намаляващи термини на аритметична прогресия.
Нека го проверим на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа:

От тогава:

Така се убедихме, че формулата работи както при намаляваща, така и при нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите -тия и -тия членове на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - извеждаме свойството на аритметична прогресия.
Да предположим, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно е, казвате вие, и започнете да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако ни бъдат дадени числа в условието? Съгласете се, има вероятност от грешки в изчисленията.
Сега помислете, възможно ли е да решите този проблем в една стъпка, като използвате някаква формула? Разбира се, да, и ние ще се опитаме да го изведем сега.

Нека да обозначим желания член на аритметичната прогресия като, знаем формулата за намирането му - това е същата формула, която изведохме в началото:
, тогава:

• предишният член на прогресията е:
• следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишния и следващите членове на прогресията е два пъти по-голяма от стойността на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да се намери стойността на член на прогресията с известни предишни и последователни стойности, е необходимо да ги добавите и разделите на.

Точно така, имаме същия номер. Да оправим материала. Изчислете сами стойността за прогресията, защото не е никак трудно.

Много добре! Вие знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която, според легендата, един от най-великите математици на всички времена, "кралят на математиците" - Карл Гаус, лесно извежда за себе си...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учителят, зает да проверява работата на ученици от други класове, зададе следната задача на урока: „Изчислете сбора на всички естествени числа от до (според други източници до) включително. " Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) след минута даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчака след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза модел, който лесно можете да забележите.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ti членове: Трябва да намерим сбора от дадените членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако трябва да намерим сбора от неговите членове в задачата, както търсеше Гаус?

Нека изобразим прогресията, която ни е дадена. Погледнете внимателно подчертаните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.


Опитах? Какво забелязахте? Правилно! Техните суми са равни

Сега отговорете, колко такива двойки ще има в дадена ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сборът от два члена на аритметична прогресия е равен и подобни равни двойки, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

При някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените във формулата на сбора формулата на тия член.
Какво получи?

Много добре! Сега да се върнем към задачата, която беше дадена на Карл Гаус: изчислете сами каква е сумата от числата, започващи от -то, и сумата от числата, започващи от -то.

колко получи?
Гаус се оказа, че сборът от членовете е равен и сборът от членовете. Така ли реши?

Всъщност формулата за сбора на членовете на аритметична прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумни хора са използвали свойствата на аритметична прогресия с голяма сила.
Например, представете си Древен Египет и най-голямата строителна площадка от онова време - изграждането на пирамида... Фигурата показва едната й страна.

Къде е прогресът тук, казвате? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Защо не аритметична прогресия? Пребройте колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако блок тухли са поставени в основата. Надявам се, че няма да броите като движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така:
Разлика в аритметичната прогресия.
Броят на членовете на аритметична прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (броим блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите и на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Съгласи ли се? Браво, усвоихте сумата от ите членове на аритметична прогресия.
Разбира се, не можете да построите пирамида от блоковете в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
Справихте ли се?
Правилният отговор е блокове:

тренировка

задачи:

1. Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще кляка след седмици, ако направи клекове на първата тренировка.
2. Каква е сумата от всички нечетни числа, съдържащи се в.
3. Когато съхраняват трупи, дървосекачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слойсъдържа един дневник по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи.

Отговори:

1. Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
   (седмици = дни).

   Отговор:След две седмици Маша трябва да кляка веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последно число.
   Разлика в аритметичната прогресия.
   Броят на нечетните числа на половината обаче проверете този факт, като използвате формулата за намиране на -ти член на аритметична прогресия:

   Числата съдържат нечетни числа.
   Заместваме наличните данни във формулата:

   Отговор:Сборът от всички нечетни числа, съдържащи се в, е равен на.

3. Припомнете си проблема за пирамидите. За нашия случай, a, тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, има само куп слоеве, т.е.
   Заменете данните във формулата:

   Отговор:В зидарията има трупи.

Обобщаване

1. - числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и еднаква. То се увеличава и намалява.
2. Намиране на формулатият член на аритметична прогресия се записва по формулата - , където е броят на числата в прогресията.
3. Свойство на членовете на аритметична прогресия- - където - броят на числата в прогресията.
4. Сборът от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:
   
   , където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Да седнем и да започнем да пишем няколко числа. Например:

Можете да напишете произволни числа и може да има колкото искате. Но винаги можете да разберете кой от тях е първият, кой е вторият и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число и само с едно. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с числото се нарича -ти член на поредицата.

Обикновено наричаме цялата последователност някаква буква (например), а всеки член на тази последователност - една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

Много е удобно, ако -тият член на последователността може да бъде даден с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

И формулата е в следната последователност:

Например, аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Наричаме рекурентна формула, в която, за да разберете -тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, тия член на прогресията, използвайки такава формула, трябва да изчислим предишните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега е ясно каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. За какво? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-ия член и намерете стотния член.

решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? И ето какво:

(в края на краищата тя се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

Така че формулата е:

Тогава стотният член е:

Каква е сумата от всички естествени числа от до?

Според легендата, велик математикКарл Гаус, като 9-годишно момче, изчисли тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко такива двойки има? Точно така, точно половината от всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

пример:
Намерете сбора от всички двуцифрени числа, кратни.

решение:

Първото такова число е това. Всяко следващо се получава чрез добавяне на число към предишното. По този начин числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формулата за тия член за тази прогресия е:

Колко члена са в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. Тогава сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

1. Всеки ден атлетът бяга с 1 м повече от предишния ден. Колко километра ще избяга за седмици, ако пробяга km m през първия ден?
2. Всеки ден велосипедист кара повече мили от предишния. В първия ден измина км. Колко дни трябва да кара, за да измине един километър? Колко километра ще измине в последния ден от пътуването?
3. Всяка година цената на хладилник в магазина се намалява със същата сума. Определете с колко намалява цената на хладилника всяка година, ако е пуснат за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

1. Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
   .
   Отговор:
2. Тук е дадено:, трябва да се намери.
   Очевидно трябва да използвате същата формула за сумата като в предишния проблем:
   .
   Заменете стойностите:

   Коренът очевидно не пасва, така че отговорът.
   Нека изчислим изминатото разстояние през последния ден, използвайки формулата на -тия член:
   (км).
   Отговор:

3. Дадено: . Да намеря: .
   Не става по-лесно:
   (разтривайте).
   Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Това е числова последователност, в която разликата между съседни числа е еднаква и еднаква.

Аритметичната прогресия се увеличава () и намалява ().

Например:

Формулата за намиране на n-ия член на аритметична прогресия

се записва като формула, където е броят на числата в прогресията.

Свойство на членовете на аритметична прогресия

Улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сборът от членовете на аритметична прогресия

Има два начина за намиране на сумата:

Къде е броят на стойностите.

Къде е броят на стойностите.

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешна доставкаЕдинен държавен изпит, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nсе извиква последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен със същия номер д (д- разлика в прогресията)	геометрична прогресия b nсе нарича поредица от числа, различни от нула, всеки член на който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число q (q- знаменател на прогресията)
Повтаряща се формула	За всякакви естествени н a n + 1 = a n + d	За всякакви естествени н b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
формула за n-ти член	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
характерно свойство
Сума от първите n члена

Примери за задачи с коментари

Упражнение 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-ия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д

По условие:

а 1= -6, значи а 22= -6 + 21d.

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член от геометричната прогресия: -3; 6;....

1-ви начин (използвайки n-членна формула)

Според формулата на n-ия член на геометрична прогресия:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Като б 1 = -3,

2-ри начин (с помощта на рекурсивна формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор : б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( а н) а 74 = 34; а 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата .

Следователно:

.

Заменете данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сбора от първите седемнадесет члена.

За намиране на сумата от първите n члена на аритметична прогресия се използват две формули:

.

Кое от тях е по-удобно за прилагане в този случай?

По условие формулата на n-ия член на оригиналната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Може да се намери веднага и а 1, и а 16без да се намери d . Затова използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

Според формулата на n-ия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21 д.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 6

Записват се няколко последователни члена на геометрична прогресия:

Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.

При решаването използваме формулата за n-ия член b n \u003d b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете някой от тези членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можете да вземете и да разделите на. Получаваме, че q = 3. Вместо n, ние заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

.

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-ия член, изберете тази, за която условието е изпълнено а 27 > 9:

Тъй като определеното условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

.

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-висока стойност n , за което неравенството a n > -6.