Формула за n-то число на аритметична прогресия. Алгебрична прогресия

Преди да започнем да решаваме проблеми с аритметичната прогресия, помислете какво е числова последователност, тъй като аритметичната прогресия е специален случай на числова последователност.

Числовата последователност е числово множество, всеки елемент от което има свой собствен порядков номер... Елементите на това множество се наричат ​​членове на последователността. Поредният номер на елемента на последователността е обозначен с индекса:

Първият елемент от последователността;

Пети елемент от последователността;

- "n-ти" елемент от последователността, т.е. елементът "на опашката" n.

Съществува връзка между стойността на елемент на последователност и неговия порядков номер. Следователно можем да мислим за последователност като функция, чийто аргумент е поредният номер на елемент от последователността. С други думи, можем да кажем това последователността е функция на естествен аргумент:

Последователността може да бъде зададена по три начина:

1 . Последователността може да се зададе с помощта на таблица.В този случай просто задаваме стойността на всеки член от последователността.

Например, Някой реши да се заеме с лично управление на времето и за начало да изчисли колко време прекарва във VKontakte през седмицата. Записвайки времето в таблицата, той ще получи последователност, състояща се от седем елемента:

Първият ред на таблицата съдържа номера на деня от седмицата, вторият - времето в минути. Виждаме, че в понеделник Някой прекара 125 минути във VKontakte, тоест в четвъртък - 248 минути, а в петък - само 15.

2 . Последователността може да бъде определена с помощта на формулата на n-ия член.

В този случай зависимостта на стойността на елемента на последователността от неговия номер се изразява директно под формата на формула.

Например, ако, тогава

За да намерим стойността на елемент от поредица с дадено число, заместваме номера на елемента във формулата на n-ия член.

Правим същото, ако трябва да намерим стойността на функция, ако стойността на аргумента е известна. Вместо това заместваме стойността на аргумента в уравнението на функцията:

Ако например , тогава

Още веднъж отбелязвам, че в последователност, за разлика от произволна числова функция, само естествено число може да бъде аргумент.

3 ... Последователност може да бъде определена с помощта на формула, която изразява зависимостта на стойността на номерирания член на последователността от стойността на предишните членове. В този случай не е достатъчно да знаем само номера на члена на поредицата, за да намерим неговата стойност. Трябва да посочим първия член или първите няколко члена на последователността.

Например, помислете за последователността ,

Можем да намерим стойностите на членовете на последователността в последователностзапочвайки с третия:

Тоест всеки път, за да намерим стойността на n-ия член на поредицата, се връщаме към предишните два. Този начин на секвениране се нарича повтарящи се, от латинската дума recurro- Върни се.

Сега можем да дефинираме аритметична прогресия. Аритметичната прогресия е прост специален случай на числова последователност.

Аритметична прогресия се извиква числова последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен към същото число.

Извиква се номерът разлика в аритметичната прогресия... Разликата в аритметичната прогресия може да бъде положителна, отрицателна или нула.

Ако заглавие = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} повишаване на.

Например, 2; 5; осем; единадесет;...

Ако, тогава всеки член на аритметичната прогресия е по-малък от предишния и прогресията е намаляващи.

Например, 2; -един; -4; -7;...

Ако, тогава всички членове на прогресията са равни на едно и също число и прогресията е стационарен.

Например 2; 2; 2; 2; ...

Основното свойство на аритметичната прогресия:

Нека разгледаме снимката.

Ние виждаме това

, и в същото време

Събирайки тези две равенства, получаваме:

.

Разделете двете страни на равенството на 2:

И така, всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичната стойност на две съседни:

Освен това, тъй като

, и в същото време

, тогава

, и следователно

Всеки член на аритметичната прогресия, започващ с title = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Формула на ия член.

Виждаме, че за членовете на аритметичната прогресия са изпълнени следните отношения:

и накрая

имаме формулата на n-ия член.

ВАЖНО!Всеки член на аритметичната прогресия може да бъде изразен чрез и. Познавайки първия член и разликата в аритметичната прогресия, можете да намерите всеки от неговите термини.

Сборът от n члена на аритметична прогресия.

В произволна аритметична прогресия сумите на членовете, които са на еднакво разстояние от екстремума, са равни един на друг:

Помислете за аритметична прогресия с n члена. Нека сумата от n членове на тази прогресия е.

Нека подредим членовете на прогресията първо във възходящ ред на числата, а след това в низходящ ред:

Нека добавим по двойки:

Сборът във всяка скоба е равен, броят на двойките е n.

Получаваме:

Така, сумата от n члена на аритметична прогресия може да се намери по формулите:

Обмисли решаване на задачи за аритметична прогресия.

1 . Последователността се дава от формулата на n-ия член: . Докажете, че тази последователност е аритметична прогресия.

Нека докажем, че разликата между два съседни члена на поредицата е равна на едно и също число.

Разбрахме, че разликата между два съседни члена на поредицата не зависи от техния брой и е постоянна. Следователно, по дефиниция, тази последователност е аритметична прогресия.

2 . Получавате аритметична прогресия -31; -27;...

а) Намерете 31 члена на прогресията.

б) Определете дали числото 41 е включено в тази прогресия.

а)Виждаме това;

Нека напишем формулата за n-ия член за нашата прогресия.

Общо взето

В нашия случай , Ето защо

Да, да: аритметичната прогресия не е играчка за теб :)

Е, приятели, ако четете този текст, тогава вътрешните доказателства ми казват, че все още не знаете какво е аритметична прогресия, но наистина (не, така: МУУУУ!) искате да знаете. Затова няма да ви измъчвам с дълги въведения и веднага ще се заема с работата.

Нека започнем с няколко примера. Помислете за няколко набора от числа:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Какво е общото между всички тези комплекти? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. а именно: всеки следващ елемент се различава от предишния със същото число.

Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всяко следващо повече от предишното. Във втория случай разликата между съседните числа вече е пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай корените като цяло. Въпреки това, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ и $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, т.е. и в този случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $ \ sqrt (2) $ (и не се страхувайте, че това число е ирационално).

И така: всички такива поредици се наричат ​​просто аритметични прогресии. Нека дадем строго определение:

Определение. Поредица от числа, в които всяко следващо се различава от предишното с точно еднакво количество, се нарича аритметична прогресия. Самата сума, с която се различават числата, се нарича разлика на прогресията и най-често се обозначава с буквата $ d $.

Обозначение: $ \ вляво (((a) _ (n)) \ вдясно) $ - самата прогресия, $ d $ - нейната разлика.

И само няколко важни забележки. Първо, само подреденипоследователност от числа: те се четат стриктно в реда, в който са написани - и нищо друго. Не можете да пренареждате или разменяте номерата.

Второ, самата последователност може да бъде или крайна, или безкрайна. Например множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако напишете нещо в духа (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Многоточината след четирите, така да се каже, подсказва, че все още има доста числа. Безкрайно много, например. :)

Бих искал също да отбележа, че прогресията се увеличава и намалява. Вече видяхме нарастващите - същото множество (1; 2; 3; 4; ...). И ето примери за намаляващи прогресии:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Добре, добре: този последен пример може да изглежда твърде сложен. Но останалото мисля, че ти е ясно. Затова ще въведем нови дефиниции:

Определение. Аритметична прогресия се нарича:

1. нарастващ, ако всеки следващ елемент е по-голям от предишния;
2. намалява, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

Освен това има така наречените "стационарни" последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).

Остава само един въпрос: как да различим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие всичко зависи от знака на числото $ d $, т.е. прогресия на разликата:

1. Ако $ d \ gt 0 $, тогава прогресията се увеличава;
2. Ако $ d \ lt 0 $, тогава прогресията очевидно намалява;
3. И накрая, има случай $ d = 0 $ - в този случай цялата прогресия се свежда до стационарна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата $ d $ за трите намаляващи прогресии, дадени по-горе. За да направите това, достатъчно е да вземете произволни два съседни елемента (например първия и втория) и да извадите числото вляво от числото вдясно. Ще изглежда така:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Както виждате, и в трите случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, когато повече или по-малко разбрахме дефинициите, е време да разберем как се описват прогресиите и какви са техните свойства.

Членове на прогресията и повтаряща се формула

Тъй като елементите на нашите поредици не могат да бъдат разменени, те могат да бъдат номерирани:

\ [\ ляво (((a) _ (n)) \ дясно) = \ ляво \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ вдясно \) \]

Отделните елементи от това множество се наричат ​​членове на прогресията. Те се обозначават с число: първият член, вторият член и т.н.

Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани по формулата:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Стрелка надясно ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Накратко, за да намерите $ n $-тия член в прогресията, трябва да знаете $ n-1 $-ия член и разликата в $ d $. Такава формула се нарича повтаряща се, тъй като с нейна помощ можете да намерите произволно число, само като знаете предишното (и всъщност - всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-сложна формула, която намалява всички изчисления до първия член и разликата:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ вляво (n-1 \ вдясно) d \]

Със сигурност вече сте срещали тази формула. Те обичат да го дават във всички видове справочници и reshebniki. И във всеки разумен учебник по математика тя е една от първите.

Все пак предлагам да потренираме малко.

Проблем номер 1. Запишете първите три члена от аритметичната прогресия $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $, ако $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Решение. И така, знаем първия член $ ((a) _ (1)) = 8 $ и разликата в прогресията $ d = -5 $. Нека използваме току-що дадена формула и заместваме $ n = 1 $, $ n = 2 $ и $ n = 3 $:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ ляво (n-1 \ дясно) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ вляво (1-1 \ вдясно) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ вляво (2-1 \ вдясно) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ вляво (3-1 \ вдясно) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ край (подравняване) \]

Отговор: (8; 3; −2)

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: прогресът ни намалява.

Разбира се, $ n = 1 $ не можеше да бъде заменено - първият член вече ни е известен. Въпреки това, заменяйки един, ние се уверихме, че нашата формула работи дори за първия мандат. В други случаи всичко се свеждаше до тривиална аритметика.

Проблем номер 2. Запишете първите три члена от аритметичната прогресия, ако нейният седми член е −40, а седемнадесетият член е −50.

Решение. Нека запишем условието на проблема с обичайните термини:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ четворка ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ left \ (\ начало (подравняване) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ край (подравняване) \ вдясно. \]

\ [\ наляво \ (\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ край (подравняване) \ точно. \]

Поставих знака на системата, защото тези изисквания трябва да бъдат изпълнени едновременно. И сега обърнете внимание, че ако извадим първото от второто уравнение (имаме право да направим това, тъй като имаме система), получаваме това:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) + 16d- \ вляво (((a) _ (1)) + 6d \ вдясно) = - 50- \ вляво (-40 \ вдясно); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ край (подравняване) \]

Ето колко лесно открихме разликата в прогресията! Остава да се замени намереното число в някое от уравненията на системата. Например в първия:

\ [\ начало (матрица) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Стрелка надолу \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ край (матрица) \]

Сега, като знаем първия член и разликата, остава да намерим втория и третия член:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ край (подравняване) \]

Готов! Проблемът е решен.

Отговор: (-34; -35; -36)

Обърнете внимание на едно интересно свойство на прогресията, което открихме: ако вземем $ n $ th и $ m $ th члена и ги извадим един от друг, получаваме разликата в прогресията, умножена по числото $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ вляво (n-m \ вдясно) \]

Едно просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решаването на много проблеми в прогресията. Ето един отличен пример:

Проблем номер 3. Петият член на аритметичната прогресия е 8,4, а десетият член е 14,4. Намерете петнадесетия член от тази прогресия.

Решение. Тъй като $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ и трябва да намерите $ ((a) _ (15)) $, тогава отбелязваме следното :

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ край (подравняване) \]

Но по условие $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = $ 6, следователно $ 5d = $ 6, откъдето имаме:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ край (подравняване) \]

Отговор: 20.4

Това е всичко! Нямаше нужда да съставяме някои системи от уравнения и да изчисляваме първия член и разликата - всичко беше решено само с няколко реда.

Сега нека разгледаме друг тип задачи - да намерим отрицателни и положителни членове на прогресията. Не е тайна, че ако прогресията се увеличи, докато първият член е отрицателен, тогава рано или късно в него ще се появят положителни термини. И напротив: членовете на намаляващата прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

В същото време далеч не винаги е възможно да се опипва този момент "челно", последователно преминавайки през елементите. Често задачите са проектирани по такъв начин, че без да знаем формулите, изчисленията биха отнели няколко листа - просто щяхме да заспим, докато намерим отговора. Затова ще се опитаме да решим тези проблеми по-бърз начин.

Проблем номер 4. Колко отрицателни члена има в аритметичната прогресия -38,5; −35,8; ...?

Решение. И така, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, откъдето веднага намираме разликата:

Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че в един момент наистина ще се натъкнем на положителни числа. Единственият въпрос е кога ще се случи.

Нека се опитаме да разберем: колко дълго (т.е. до какво естествено число $ n $) се запазва отрицателността на членовете:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Стрелка надясно ((a) _ (1)) + \ наляво (n-1 \ надясно) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ ляво (n-1 \ дясно) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ ляво | \ cdot 10 \ вдясно. \\ & -385 + 27 \ cdot \ ляво (n-1 \ дясно) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Стрелка надясно ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ край (подравняване) \]

Последният ред се нуждае от малко обяснение. И така, знаем, че $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. От друга страна, ще се задоволим само с целочислени стойности на числото (освен това: $ n \ in \ mathbb (N) $), така че най-голямото разрешено число е точно $ n = 15 $ и в никакъв случай е 16.

Проблем номер 5. В аритметична прогресия $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Намерете номера на първия положителен член от тази прогресия.

Би бил абсолютно същият проблем като предишния, но ние не знаем $ ((a) _ (1)) $. Но съседните термини са известни: $ ((a) _ (5)) $ и $ ((a) _ (6)) $, така че лесно можем да намерим разликата в прогресията:

Освен това ще се опитаме да изразим петия член по отношение на първия и разликата според стандартната формула:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ ляво (n-1 \ дясно) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ край (подравняване) \]

Сега продължаваме по аналогия с предишната задача. Откриваме в кой момент от нашата последователност ще има положителни числа:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ ляво (n-1 \ дясно) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Стрелка надясно ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ край (подравняване) \]

Най-малкото цяло число на това неравенство е 56.

Моля, обърнете внимание: в последната задача всичко беше сведено до строго неравенство, така че опцията $ n = 55 $ няма да ни подхожда.

Сега, след като се научихме как да решаваме прости проблеми, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека проучим още едно много полезно свойство на аритметичните прогресии, което в бъдеще ще ни спести много време и неравни клетки. :)

Средно аритметично и равни отстъпи

Помислете за няколко последователни члена на нарастващата аритметична прогресия $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Нека се опитаме да ги отбележим на числовата права:

Членове на аритметична прогресия на числова права

Специално отбелязах произволни термини $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не всякакви $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ и т.н. Защото правилото, за което сега ще говоря, работи по същия начин за всякакви „сегменти“.

И правилото е много просто. Нека си спомним формулата за рекурсия и да я запишем за всички маркирани членове:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ край (подравняване) \]

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ край (подравняване) \]

Е, и какво от това? И фактът, че термините $ ((a) _ (n-1)) $ и $ ((a) _ (n + 1)) $ лежат на същото разстояние от $ ((a) _ (n)) $ . И това разстояние е равно на $ d $. Същото може да се каже и за термините $ ((a) _ (n-2)) $ и $ ((a) _ (n + 2)) $ - те също се премахват от $ ((a) _ (n) ) $ същото разстояние, равно на $ 2d $. Можете да продължите безкрайно, но значението е добре илюстрирано от снимката.

Членовете на прогресията лежат на еднакво разстояние от центъра

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $ ((a) _ (n)) $, ако съседните числа са известни:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Изведохме отлично твърдение: всеки член на аритметичната прогресия е равен на средноаритметичната стойност на съседните членове! Освен това: можем да се отклоним от нашите $ ((a) _ (n)) $ наляво и надясно не една стъпка, а $ k $ стъпки - и все пак формулата ще бъде правилна:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Тези. лесно можем да намерим някои $ ((a) _ (150)) $, ако знаем $ ((a) _ (100)) $ и $ ((a) _ (200)) $, тъй като $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много проблеми са специално „изострени“ за използването на средноаритметичната стойност. Погледни:

Проблем номер 6. Намерете всички стойности на $ x $, за които числата $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ и $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ са последователни членове на аритметичната прогресия (по ред).

Решение. Тъй като посочените числа са членове на прогресията, условието за средноаритметичната стойност за тях е изпълнено: централният елемент $ x + 1 $ може да бъде изразен чрез съседни елементи:

\ [\ начало (подравняване) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ край (подравняване) \]

Резултатът е класическо квадратно уравнение. Неговите корени: $ x = 2 $ и $ x = -3 $ - това са отговорите.

Отговор: −3; 2.

Проблем номер 7. Намерете стойностите на $$, за които числата $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ образуват аритметична прогресия (в този ред).

Решение. Отново изразяваме средния член чрез средноаритметичната стойност на съседните термини:

\ [\ начало (подравняване) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ вдясно .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ край (подравняване) \]

Отново квадратното уравнение. И отново има два корена: $ x = 6 $ и $ x = 1 $.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на задача извадите някои брутални числа или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има прекрасна техника, която ви позволява да проверите: дали сме решили проблема правилно?

Например в задача №6 получихме отговори -3 и 2. Как да проверим дали тези отговори са верни? Нека просто ги включим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ и $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), които трябва да образуват аритметична прогресия. Заместете $ x = -3 $:

\ [\ начало (подравняване) & x = -3 \ Стрелка надясно \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ край (подравняване) \]

Получени номера -54; −2; 50, които се различават с 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото нещо се случва и за $ x = 2 $:

\ [\ начало (подравняване) & x = 2 \ Стрелка надясно \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ край (подравняване) \]

Отново прогресия, но с разлика от 27. Така задачата е решена правилно. Желаещите могат сами да проверят втория проблем, но веднага ще кажа: и там всичко е правилно.

Като цяло, докато решавахме последните проблеми, се натъкнахме на друг интересен факт, който също трябва да се помни:

Ако три числа са такива, че второто е средноаритметичната стойност на първото и последното, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „конструираме“ необходимите прогресии въз основа на състоянието на проблема. Но преди да се заемем с подобно „строителство“, трябва да обърнем внимание на още един факт, който пряко следва от вече разгледаното.

Групиране и сбор от елементи

Да се ​​върнем отново към оста на числата. Нека да отбележим там няколко члена на прогресията, между които може би. има много други членове:

Числовата права има маркирани 6 елемента

Нека се опитаме да изразим "лявата опашка" по отношение на $ ((a) _ (n)) $ и $ d $ и "дясната опашка" по отношение на $ ((a) _ (k)) $ и $ d $ . Много е просто:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ край (подравняване) \]

Сега имайте предвид, че следните суми са равни:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S \ край (подравняване) \]

Най-просто казано, ако вземем за начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакво число $ S $, и след това започнем да вървим от тези елементи в противоположни посоки (един към друг или обратно, за да се отдалечим) , тогава сумите от елементите, на които ще се натъкнем, също ще бъдат равни$ S $. Това може да бъде най-ясно представено графично:

Равният отстъп дава равни количества

Разбирането на този факт ще ни позволи да решаваме проблеми с фундаментално по-високо ниво на сложност от тези, които разгледахме по-горе. Например такива:

Проблем номер 8. Определете разликата в аритметичната прогресия, в която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е възможно най-малкото.

Решение. Нека запишем всичко, което знаем:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ край (подравняване) \]

Така че, ние не знаем разликата в прогресията $ d $. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ може да бъде пренаписан, както следва:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ ляво (66 + d \ дясно) \ cdot \ ляво (66 + 11d \ дясно) = \\ & = 11 \ cdot \ ляво (d + 66 \ дясно) \ cdot \ ляво (d + 6 \ дясно). \ край (подравняване) \]

За тези в резервоара: извадих общия множител 11 от втората скоба. Така търсеното произведение е квадратична функция по отношение на променливата $ d $. Следователно, разгледайте функцията $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, тъй като ако разширим скобите, получаваме:

\ [\ начало (подравняване) & f \ ляво (d \ дясно) = 11 \ ляво (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ дясно) = \\ & = 11 (( г) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ край (подравняване) \]

Както можете да видите, коефициентът за водещия член е 11 - това е положително число, така че наистина имаме работа с парабола с разклонения нагоре:

график на квадратична функция - парабола

Обърнете внимание: тази парабола взема минималната си стойност във върха с абсцисата $ ((d) _ (0)) $. Разбира се, можем да изчислим тази абциса според стандартната схема (има и формулата $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), но би било много по-разумно за да забележите, че желаният връх лежи върху осовата симетрия на параболата, така че точката $ ((d) _ (0)) $ е еднакво отдалечена от корените на уравнението $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ начало (подравняване) & f \ ляво (d \ дясно) = 0; \\ & 11 \ cdot \ ляво (d + 66 \ дясно) \ cdot \ ляво (d + 6 \ дясно) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ край (подравняване) \]

Ето защо не бързах да отварям скобите: в оригиналния вид корените бяха много, много лесни за намиране. Следователно абсцисата е равна на средноаритметичната стойност на числата −66 и −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Какво ни дава откритото число? С него необходимият продукт приема най-малката стойност (между другото, ние не сме броили $ ((y) _ (\ min)) $ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата между първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)

Отговор: −36

Проблем номер 9. Вмъкнете три числа между числата $ - \ frac (1) (2) $ и $ - \ frac (1) (6) $, така че те заедно с дадените числа да образуват аритметична прогресия.

Решение. По принцип трябва да направим последователност от пет числа, като първото и последното число са вече известни. Нека да обозначим липсващите числа с променливите $ x $, $ y $ и $ z $:

\ [\ ляво (((a) _ (n)) \ дясно) = \ ляв \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ дясно \ ) \]

Обърнете внимание, че числото $ y $ е "средата" на нашата последователност - то е еднакво отдалечено както от числата $ x $ и $ z $, така и от числата $ - \ frac (1) (2) $ и $ - \ frac (1) (6) $. И ако в момента не можем да получим $ y $ от числата $ x $ и $ z $, тогава ситуацията е различна с краищата на прогресията. Запомняне на средната аритметика:

Сега, знаейки $ y $, ще намерим останалите числа. Обърнете внимание, че $ x $ се намира между числата $ - \ frac (1) (2) $ и $ y = - \ frac (1) (3) $, току-що намерени. Така

Разсъждавайки по подобен начин, намираме оставащото число:

Готов! Намерихме и трите числа. Нека ги запишем в отговора в реда, в който трябва да се вмъкнат между оригиналните числа.

Отговор: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Проблем номер 10. Вмъкнете няколко числа между числата 2 и 42, които заедно с тези числа образуват аритметична прогресия, ако знаете, че сборът на първото, второто и последното от вмъкнатите числа е 56.

Решение. Още по-трудна задача, която обаче се решава по същата схема като предишните - чрез средноаритметично. Проблемът е, че не знаем точно колко числа да вмъкнем. Следователно, за определеност, нека приемем, че след вмъкване на всичко ще има точно $ n $ числа, като първото от тях е 2, а последното е 42. В този случай желаната аритметична прогресия може да бъде представена като:

\ [\ ляво (((a) _ (n)) \ дясно) = \ ляво \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( а) _ (n-1)); 42 \ вдясно \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Имайте предвид обаче, че числата $ ((a) _ (2)) $ и $ ((a) _ (n-1)) $ се получават от числата 2 и 42 в краищата с една стъпка едно към друго, т.е... до центъра на последователността. Това означава, че

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Но тогава изразът, написан по-горе, може да бъде пренаписан, както следва:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ вляво (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ вдясно) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ край (подравняване) \]

Знаейки $ ((a) _ (3)) $ и $ ((a) _ (1)) $, можем лесно да намерим разликата в прогресията:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ ляво (3-1 \ дясно) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Стрелка надясно d = 5. \\ \ край (подравняване) \]

Остава само да намерите останалите членове:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ край (подравняване) \]

По този начин вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на последователността - числото 42. Общо беше необходимо да вмъкнете само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Word проблеми с прогресията

В заключение бих искал да разгледам няколко сравнително прости проблема. Е, колко просто: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са чели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат като тенекия. Независимо от това, точно такива проблеми се срещат в OGE и USE по математика, така че ви препоръчвам да се запознаете с тях.

Проблем номер 11. През януари бригадата е произвела 62 части, като през всеки следващ месец е произвеждала с 14 части повече от предходния. Колко части направи екипът през ноември?

Решение. Очевидно броят на частите, планиран по месеци, ще представлява нарастваща аритметична прогресия. Освен това:

\ [\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ ляво (n-1 \ дясно) \ cdot 14. \\ \ край (подравняване) \]

Ноември е 11-ият месец от годината, така че трябва да намерим $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Следователно през ноември ще бъдат произведени 202 части.

Проблем номер 12. Работилницата за подвързване подвърза 216 книги през януари и всеки месец подвърза 4 книги повече от предишния. Колко книги подвърза семинарът през декември?

Решение. Все същото:

$ \ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ ляво (n-1 \ дясно) \ cdot 4. \\ \ край (подравняване) $

Декември е последният, 12-ти месец от годината, така че търсим $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Това е отговорът – 260 книги ще бъдат подвързани през декември.

Е, ако сте чели дотук, бързам да ви поздравя: успешно завършихте „Курс за млад боец“ в аритметични прогресии. Можете спокойно да продължите към следващия урок, където ще изучаваме формулата за сбора на прогресията, както и важни и много полезни последствия от нея.

Например последователността \ (2 \); \(5\); \(осем\); \(единадесет\); \ (14 \) ... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на триплет):

В тази прогресия разликата \ (d \) е положителна (равна на \ (3 \)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това, \ (d \) може да бъде и отрицателен. например, в аритметична прогресия \ (16 \); \(10\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... разликата в прогресията \ (d \) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващ.

Записване на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латиница.

Числата, образуващи прогресията, го наричат членове на(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметичната прогресия, но с числов индекс, равен на номера на елемента в реда.

Например, аритметичната прогресия \ (a_n = \ ляво \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ дясно \) \) се състои от елементите \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) и така нататък.

С други думи, за прогресията \ (a_n = \ наляво \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ вдясно \) \)

Решаване на задачи за аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем за аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \ (b_1 = 7; d = 4 \). Намерете \ (b_5 \).
Решение:

Отговор: \ (b_5 = 23 \)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на аритметичната прогресия: \ (62; 49; 36 ... \) Намерете стойността на първия отрицателен член от тази прогресия..
Решение:

	Дадени са ни първите елементи от последователността и знаем, че това е аритметична прогресия. Тоест всеки елемент се различава от съседния със същото число. Разберете коя, като извадите предишния от следващия елемент: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия до (първия отрицателен) елемент, от който се нуждаем.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметичната прогресия: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Намерете стойността на елемента, обозначен с буквата \ (x \).
Решение:

	За да намерим \ (x \), трябва да знаем колко се различава следващият елемент от предишния, с други думи - разликата в прогресията. Нека го намерим от два известни съседни елемента: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	И сега намираме желания без проблеми: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от следните условия: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

Трябва да намерим сбора от първите шест члена на прогресията. Но ние не знаем техните значения, даден ни е само първият елемент. Следователно, първо изчисляваме стойностите на свой ред, като използваме даденото ни: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) И след като изчислим шестте елемента, от които се нуждаем, намираме тяхната сума.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Търсената сума е намерена.

Отговор: \ (S_6 = 9 \).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Намерете разликата между тази прогресия.
Решение:

Отговор: \ (d = 7 \).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто като се разбере основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното (разликата на прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е много неудобно да се вземе решение "челно". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \ (b_5 \), а триста осемдесет и шестия \ (b_ (386) \). Какво е това, ние \ (385 \) пъти добавяме четири? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Ще бъдеш измъчван да броиш...

Следователно в такива случаи те не решават „челно“, а използват специални формули, получени за аритметичната прогресия. А основните са формулата за n-ия член на прогресията и формулата за сбора \ (n \) от първите членове.

Формула \ (n \) - ти член: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), където \ (a_1 \) е първият член на прогресията;
\ (n \) - номер на търсения елемент;
\ (a_n \) е член на прогресията с числото \ (n \).

Тази формула ни позволява бързо да намерим поне тристотния, дори милионния елемент, като знаем само първия и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се определя от условията: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Намерете \ (b_ (246) \).
Решение:

Отговор: \ (b_ (246) = 1850 \).

Формулата за сумата от първите n члена: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), където

\ (a_n \) - последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Намерете сбора на първите \ (25 \) членове на тази прогресия.
Решение:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		За да изчислим сумата от първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет и петия член. Нашата прогресия се дава от формулата на n-ия член в зависимост от неговия брой (виж подробности). Нека изчислим първия елемент, като заменим с \ (n \).
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \)		Сега намираме двадесет и петия член, замествайки двадесет и пет вместо \ (n \).
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		Е, сега можем да изчислим необходимата сума без проблеми.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2,8 + 84,4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Отговорът е готов.

Отговор: \ (S_ (25) = 1090 \).

За сумата \ (n \) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) вместо \ (a_n \) заместете формулата за него \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Получаваме:

Формулата за сумата от първите n члена: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), където

\ (S_n \) - необходимата сума \ (n \) от първите елементи;
\ (a_1 \) - първият сумиран член;
\ (d \) - разлика в прогресията;
\ (n \) - броят на елементите в сбора.

Пример. Намерете сумата на първите \ (33 \) - бивши членове на аритметичната прогресия: \ (17 \); \ (15,5 \); \(14\)…
Решение:

Отговор: \ (S_ (33) = - 231 \).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега имате цялата информация, която ви е необходима, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Завършваме темата, като разглеждаме задачи, в които трябва не само да прилагате формули, но и да помислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \ (- 19,3 \); \(-деветнадесет\); \ (- 18,7 \) ...
Решение:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Задачата е много подобна на предишната. Започваме да решаваме също: първо намираме \ (d \).
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \)		Сега бихме заместили \ (d \) във формулата за сумата ... и тук се появява малък нюанс - не знаем \ (n \). С други думи, не знаем колко термина ще трябва да бъдат добавени. Как да разбера? Нека да помислим. Ще спрем да добавяме елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Тоест, трябва да разберете номера на този елемент. Как? Нека запишем формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметичната прогресия: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) за нашия случай.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \)		Трябва \ (a_n \) да бъде по-голямо от нула. Нека разберем при какво \ (n \) ще се случи това.
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \)
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \)		Разделяме двете страни на неравенството на \ (0,3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Преместете минус едно, като не забравяте да смените знаците
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Ние изчисляваме...
\ (n> 65 333 ... \)		... и се оказва, че първият положителен елемент ще има числото \ (66 \). Съответно, последният минус има \ (n = 65 \). Нека го проверим за всеки случай.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		По този начин трябва да добавим първите \ (65 \) елементи.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Отговорът е готов.

Отговор: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Намерете сумата от \ (26 \)-ти до \ (42 \) елемент включително.
Решение:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	В този проблем също трябва да намерите сумата от елементите, но започвайки не от първия, а от \ (26 \) - th. За такъв случай нямаме формула. Как да решим? Лесно - да получите сумата от \ (26 \) - th до \ (42 \) - о, първо трябва да намерите сумата от \ (1 \) - th до \ (42 \) - о, и след това да извадите сума от него първи до \ (25 \) - th (вижте снимката).
	За нашата прогресия \ (a_1 = -33 \) и разликата \ (d = 4 \) (все пак добавяме четирите към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, намираме сумата от първите \ (42 \) - yh елементи.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Сега сумата от първите \ (25 \) - ty елементи.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Накрая изчисляваме отговора.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Отговор: \ (S = 1683 \).

Има още няколко формули за аритметичната прогресия, които не разгледахме в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nсе извиква последователност, всеки член на който, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен със същото число д (д- разлика в прогресията)	Геометрична прогресия b nе поредица от числа, различни от нула, всеки член на който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число q (qе знаменателят на прогресията)
Повтаряща се формула	За всякакви естествени н a n + 1 = a n + d	За всякакви естествени н b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула за N-ти член	a n = a 1 + d (n - 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Характерно свойство
Сбор от n-първи членове

Примери за задачи с коментари

Упражнение 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-ия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д

По условие:

а 1= -6, значи а 22= -6 + 21 д.

Необходимо е да се намери разликата между прогресиите:

d = а 2 - а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член на геометрична прогресия: -3; 6; ....

1-ви начин (използвайки n-членната формула)

Според формулата на n-ия член на геометрична прогресия:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Защото б 1 = -3,

2-ри начин (използвайки повтаряща се формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор : б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( а н) а 74 = 34; а 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характерното свойство е .

Следователно:

.

Нека заместим данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n) a n= 3n - 4. Намерете сбора от първите седемнадесет члена.

За намиране на сумата от първите n члена на аритметична прогресия се използват две формули:

.

Кой от тях е по-удобен за използване в този случай?

По условие формулата за n-ия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Можете веднага да намерите и а 1, и а 16без да се намери d. Следователно ще използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член в прогресията.

Според формулата на n-ия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21 д.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата между прогресиите:

d = а 2 - а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 6

Записани са няколко последователни члена на геометрична прогресия:

Намерете термина в прогресията, обозначена с буквата x.

При решаването използваме формулата за n-ия член b n = b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете някой от дадените членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можете да вземете и да разделите на. Получаваме, че q = 3. Вместо n във формулата, ние заместваме 3, тъй като е необходимо да се намери третият член, даден от геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

.

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-ия член, изберете тази, за която условието а 27 > 9:

Тъй като даденото условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

.

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата n-стойност, която удовлетворява неравенството a n > -6.

Каква е основната същност на формулата?

Тази формула ви позволява да намерите всякакви ПО НЕГОВИЯ НОМЕР " н " .

Разбира се, трябва да знаете и първия термин. а 1и разликата в прогресията д, добре, без тези параметри не можете да запишете конкретна прогресия.

Запомнянето (или разпръскването) на тази формула не е достатъчно. Необходимо е да се усвои нейната същност и да се приложи формулата в различни задачи. Освен това, не забравяйте в точното време, да ...) Как не забравяй- Не знам. Но как да запомняако трябва, ще ти кажа точно. Тези, които овладеят урока до края.)

И така, нека се заемем с формулата за n-ия член на аритметичната прогресия.

Какво е формула като цяло - можем да си представим.) Какво е аритметична прогресия, номер на член, разлика в прогресията - е налично в предишния урок. Разгледайте, между другото, ако не сте го чели. Там всичко е просто. Остава да разберем какво е n-ти срок.

Прогресията като цяло може да се запише като серия от числа:

1, 2, 3, 4, 5, .....

а 1- обозначава първия член на аритметична прогресия, а 3- трети мандат, а 4- четвъртата и т.н. Ако се интересуваме от петия мандат, кажете, че работим а 5ако сто и двадесети - от а 120.

И как да обозначим в общи линии всякаквичлен на аритметичната прогресия, s всякаквиномер? Много просто! Като този:

a n

Ето какво е n-ия член на аритметичната прогресия.Буквата n скрива всички числа на членовете наведнъж: 1, 2, 3, 4 и т.н.

И какво ни дава такъв запис? Помислете само, вместо число те написаха буква ...

Този запис ни дава мощен инструмент за работа с аритметична прогресия. Използване на нотацията a n, можем бързо да намерим всякаквичлен всякаквиаритметична прогресия. И за решаване на куп проблеми в прогресия. Ще се убедите сами.

Във формулата за n-ия член на аритметичната прогресия:

a n = a 1 + (n-1) d

а 1- първият член на аритметичната прогресия;

н- членски номер.

Формулата свързва ключовите параметри на всяка прогресия: a n; а 1; ди н. Всички проблеми в прогресията се въртят около тези параметри.

Формулата за n-тия термин може да се използва и за запис на специфична прогресия. Например, проблемът може да каже, че прогресията се определя от условието:

a n = 5 + (n-1) 2.

Такава задача дори може да обърка ... Няма серия, няма разлика ... Но, сравнявайки условието с формулата, е лесно да разберете, че в тази прогресия a 1 = 5 и d = 2.

И се случва още по-ядосано!) Ако приемем същото условие: a n = 5 + (n-1) 2,да да отворя скобите и да донесе подобни? Да вземем нова формула:

a n = 3 + 2n.

Това Само не общо, а за конкретна прогресия. Тук се крие клопката. Някои хора смятат, че първият член е тройка. Въпреки че в действителност първият член е пет... Малко по-късно ще работим с такава модифицирана формула.

В задачите за прогресията има още едно обозначение - a n + 1... Това е, както се досещате, терминът "en плюс първи" в прогресията. Значението му е просто и безобидно.) Това е член на прогресията, чийто номер е по-голям от n с едно. Например, ако в някакъв проблем вземем за a nпети мандат тогава a n + 1ще бъде шестият член. И т.н.

Най-често обозначението a n + 1се среща в рекурсивни формули. Не се плашете от тази ужасна дума!) Това е просто начин за изразяване на член на аритметична прогресия през предишния.Да предположим, че ни е дадена аритметична прогресия като тази, използвайки повтаряща се формула:

a n + 1 = a n +3

а 2 = а 1 + 3 = 5 + 3 = 8

а 3 = а 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Четвъртият - през третия, петият - през четвъртия и т.н. И как да броим веднага, да кажем двадесетия член, а 20? Но няма как!) Докато 19-ият мандат не бъде признат, 20-ият не може да се брои. Това е основната разлика между повтарящата се формула и формулата за n-ия член. Повтарящият се работи само през предишенчлен, а формулата на n-ия член е през първои позволява незабавнонамерете всеки член по неговия номер. Без да броим цялата поредица от числа в ред.

В аритметична прогресия повтаряща се формула може лесно да се превърне в обикновена. Пребройте чифт последователни члена, изчислете разликата д,намерете, ако е необходимо, първия член а 1, запишете формулата в обичайната й форма и работете с нея. В GIA често се срещат такива задачи.

Прилагане на формулата за n-ия член на аритметичната прогресия.

Първо, нека разгледаме директното приложение на формулата. В края на предишния урок имаше проблем:

Получавате аритметична прогресия (a n). Намерете 121, ако a 1 = 3 и d = 1/6.

Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто изхождайки от значението на аритметичната прогресия. Добавете, да, добавете ... час или два.)

И според формулата решението ще отнеме по-малко от минута. Можете да го време.) Ние решаваме.

Условията предоставят всички данни за използване на формулата: a 1 = 3, d = 1/6.Остава да разберем на какво е равно н.Няма проблем! Трябва да намерим а 121... Така че пишем:

Моля, обърни внимание! Вместо индекс нсе появи конкретно число: 121. Което е съвсем логично.) Интересуваме се от член на аритметичната прогресия номер сто двадесет и едно.Това ще бъде наше н.Това е този смисъл н= 121 ще заместим по-нататък във формулата, в скоби. Заместваме всички числа във формулата и изчисляваме:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Това е всичко. Също толкова бързо можеше да се намери петстотин и десети член и хиляда и три, който и да е. Слагаме вместо това нжелания индекс на буквата " а "и в скоби, и броим.

Нека ви напомня: тази формула ви позволява да намерите всякаквичлен на аритметична прогресия ПО НЕГОВИЯ НОМЕР " н " .

Нека решим задачата по-хитро. Нека имаме такъв проблем:

Намерете първия член на аритметичната прогресия (a n), ако a 17 = -2; d = -0,5.

Ако имате някакви затруднения, ще ви кажа първата стъпка. Запишете формулата за n-ия член на аритметичната прогресия!Да да. Пишете с ръцете си, направо в бележника си:

a n = a 1 + (n-1) d

И сега, гледайки буквите на формулата, разбираме какви данни имаме и какво липсва? Има d = -0,5,има седемнадесети член... Това ли е всичко? Ако мислите, че това е всичко, тогава няма да решите проблема, да...

Все още имаме номер н! В състояние а 17 = -2скрит два параметъра.Това е както стойността на седемнадесетия член (-2), така и неговият номер (17). Тези. n = 17.Тази "дреболия" често се изплъзва покрай главата и без нея (без "дреболията", а не главата!) Проблемът не може да бъде решен. Въпреки че ... и без глава.)

Сега можете просто глупаво да замените нашите данни във формулата:

a 17 = a 1 + (17-1) (-0,5)

О да, а 17знаем, че е -2. Добре, нека заменим:

-2 = a 1 + (17-1) (-0,5)

Това по същество е всичко. Остава да изразим първия член на аритметичната прогресия от формулата и да изчислим. Отговорът ще бъде: а 1 = 6.

Тази техника - писане на формула и просто заместване на известни данни - помага много при прости задачи. Е, трябва, разбира се, да можете да изразявате променлива от формула, но какво да правите!? Без това умение математиката изобщо може да бъде избегната...

Друг популярен пъзел:

Намерете разликата в аритметичната прогресия (a n), ако a 1 = 2; а 15 = 12.

Какво правим? Ще се изненадате, ние пишем формулата!)

a n = a 1 + (n-1) d

Помислете какво знаем: а 1 = 2; а 15 = 12; и (ще го подчертая специално!) n = 15. Чувствайте се свободни да замените във формулата:

12 = 2 + (15-1) d

Ние броим аритметика.)

12 = 2 + 14d

д=10/14 = 5/7

Това е правилният отговор.

И така, задачи за а н, а 1и дрешен. Остава да научите как да намерите числото:

Числото 99 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 = 12; d = 3. Намерете номера на този член.

Заместваме познатите ни количества във формулата за n-ия член:

a n = 12 + (n-1) 3

На пръв поглед има две неизвестни: a n и n.Но a nе някакъв член на прогресията с число н... И ние познаваме този член на прогресията! 99 е. Не знаем номера му. н,така че този номер трябва да бъде намерен. Заместваме члена на прогресията 99 във формулата:

99 = 12 + (n-1) 3

Изразяваме от формулата н, обмисли. Получаваме отговора: n = 30.

А сега пъзел на същата тема, но по-креативен):

Определете дали числото 117 е член на аритметичната прогресия (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Пишем формулата отново. Какво, няма параметри? Хм... Защо са ни дадени очи?) Вижте първия член на прогресията? Виждаме. Това е -3,6. Можете спокойно да напишете: а 1 = -3,6.Разликата дможе ли да се определи от число? Лесно е, ако знаете каква е разликата на аритметичната прогресия:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

И така, направихме най-простото нещо. Остава да се справим с неизвестен номер ни неразбираемо число 117. В предишния проблем поне се знаеше, че е член на дадена прогресия. И тук дори не знаем ... Как да бъдем !? Е, как да бъдеш, как да бъдеш ... Включете творчеството!)

ние предположимче 117 в крайна сметка е член на нашата прогресия. С неизвестен номер н... И, както в предишната задача, нека се опитаме да намерим това число. Тези. пишем формулата (да, да!)) и заместваме нашите числа:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Отново изразяваме от формулатан, броим и получаваме:

Опа! Оказа се номер дробно!Сто и една и половина. И дробни числа в прогресии не може да бъде.Какъв извод можем да направим? Да! Номер 117 не ечлен на нашата прогресия. Тя е някъде между сто първи и сто и втори членове. Ако числото се оказа естествено, т.е. цяло положително число, тогава числото ще бъде член на прогресията с намереното число. И в нашия случай отговорът на проблема ще бъде: не.

Задачата, базирана на реалната версия на GIA:

Аритметичната прогресия се определя от условието:

a n = -4 + 6.8n

Намерете първия и десетия член на прогресията.

Тук прогресията не е зададена по напълно познат начин. Някаква формула ... Случва се.) Въпреки това, тази формула (както написах по-горе) - е също така формула за n-ия член на аритметична прогресия!Тя също позволява намерете всеки член на прогресията по неговия номер.

Търсим първия член. Този, който мисли. че първият член е минус четири, е фатална грешка!) Тъй като формулата в задачата е модифицирана. Първият член на аритметичната прогресия в него скрит.Нищо, сега ще го намерим.)

Точно както в предишните задачи, ние заместваме n = 1в тази формула:

а 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Тук! Първият член е 2,8, а не -4!

По същия начин търсим десетия член:

а 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Това е всичко.

И сега, за тези, които са прочели до тези редове - обещаният бонус.)

Да предположим, че в трудна бойна ситуация на GIA или USE сте забравили полезна формула за n-ия член на аритметична прогресия. Нещо се припомня, но някак несигурно... Или нтам или n + 1, или n-1 ...Как да бъде!?

Спокоен! Тази формула е лесна за извод. Не много строго, но за сигурност и правилното решение определено ще бъде достатъчно!) За заключение е достатъчно да запомните елементарното значение на аритметичната прогресия и да имате няколко минути време. Просто трябва да нарисувате картина. За яснота.

Начертайте числова ос и маркирайте първата върху нея. втори, трети и т.н. членове. И отбележете разликата дмежду членове. Като този:

Разглеждаме снимката и разбираме: на какво е равен вторият член? Второ едно нещо д:

а 2 = a 1 + 1 д

Какъв е третият мандат? Треточлен е равен на първия член плюс две д.

а 3 = a 1 + 2 д

Схващаш ли? Не напразно подчертавам някои думи с удебелен шрифт. Добре, още една стъпка).

Какъв е четвъртият мандат? Четвърточлен е равен на първия член плюс три д.

а 4 = a 1 + 3 д

Време е да разберем, че броят на пропуските, т.е. д, винаги едно по-малко от номера на искания член н. Тоест към числото n, брой интервалище n-1.Следователно формулата ще бъде (без опции!):

a n = a 1 + (n-1) d

Като цяло картинните картини са много полезни при решаването на много задачи по математика. Не пренебрегвайте снимките. Но ако е трудно да се направи картина, тогава ... само формулата!) Освен това формулата на n-ия член ви позволява да свържете към решението целия мощен арсенал от математика - уравнения, неравенства, системи и т.н. Не можеш да сложиш картина в уравнение...

Задачи за самостоятелно решаване.

Да се ​​затопли:

1. В аритметична прогресия (a n) a 2 = 3; а 5 = 5,1. Намерете 3.

Съвет: според снимката проблемът се решава за 20 секунди ... Според формулата се оказва по-трудно. Но за овладяване на формулата е по-полезно.) Раздел 555 реши този проблем както чрез картината, така и чрез формулата. Почувствай разликата!)

И това вече не е загряване.)

2. В аритметична прогресия (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Намерете 3.

Какво, чувствате ли неохота да нарисувате картина?) Разбира се! По-добре по формулата, да...

3. Аритметичната прогресия се определя от условието:а 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Намерете сто двадесет и петия член на тази прогресия.

В тази задача прогресията се дава по повтарящ се начин. Но като броим до сто двадесет и пети член... Не всеки може да направи такъв подвиг.) Но формулата на n-ия член е по силите на всеки!

4. Като се има предвид аритметична прогресия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Намерете броя на най-малкия положителен член в прогресията.

5. Съгласно условието на задача 4 намерете сбора от най-малките положителни и най-големите отрицателни членове на прогресията.

6. Произведението на петия и дванадесетия член от нарастващата аритметична прогресия е -2,5, а сборът от третия и единадесетия член е нула. Намерете 14.

Не е най-лесната задача, да ...) Тук методът "на пръстите" няма да работи. Ще трябва да пишем формули и да решаваме уравнения.

Отговори (в безпорядък):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Се случи? Това е хубаво!)

Не всичко се получава? Случва се. Между другото, в последната задача има един тънък момент. Ще се изисква внимателност при четене на проблема. И логика.

Решението на всички тези проблеми е разгледано подробно в раздел 555. И елементът на фантазията за четвъртия, и деликатният момент за шестия, и общите подходи за решаване на всякакви проблеми по формулата на n-ия член - всичко е изписано . Препоръчвам.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.