Гауссын аргыг ашиглан матрицын ерөнхий шийдлийг хэрхэн олох вэ. Гауссын арга буюу хүүхдүүд яагаад математикийг ойлгодоггүй вэ?

Энэ нийтлэлд уг аргыг системийг шийдвэрлэх арга гэж үзсэн болно шугаман тэгшитгэл(SLAU). Энэ арга нь аналитик, өөрөөр хэлбэл шийдлийн алгоритмыг бичих боломжийг танд олгоно ерөнхий үзэл, дараа нь тодорхой жишээнүүдийн утгыг орлуулна уу. Матрицын арга эсвэл Крамерын томъёоноос ялгаатай нь Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ та хязгааргүй олон шийдлүүдтэй ажиллах боломжтой. Эсвэл тэдэнд огт байхгүй.

Гаусс гэж юу гэсэн үг вэ?

Эхлээд та манай тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй. Системийг авсан:

Коэффициентийг хүснэгт хэлбэрээр бичсэн бөгөөд баруун талд тусдаа баганад - чөлөөт гишүүд. Чөлөөт гишүүдтэй баганыг тав тухтай байлгах үүднээс тусгаарласан бөгөөд энэ баганыг агуулсан матрицыг өргөтгөсөн гэж нэрлэдэг.

Цаашид коэффициент бүхий үндсэн матрицыг дээд гурвалжин хэлбэрт оруулах ёстой. Энэ бол системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх гол цэг юм. Энгийнээр хэлэхэд, тодорхой зохицуулалт хийсний дараа матриц нь иймэрхүү харагдах ёстой бөгөөд ингэснээр түүний зүүн доод хэсэгт зөвхөн тэг байх болно.

Дараа нь, хэрэв та шинэ матрицыг дахин тэгшитгэлийн систем болгон бичих юм бол сүүлийн мөрөнд аль нэг язгуурын утгыг агуулж, дараа нь дээрх тэгшитгэлд орлуулах, өөр язгуур олдох гэх мэтийг анзаарах болно.

Уусмалыг Гауссын аргаар хамгийн их тайлбарласан ерөнхий утгаараа. Гэнэт системд шийдэл байхгүй бол яах вэ? Эсвэл тэд хязгааргүй олон байдаг уу? Эдгээр болон бусад олон асуултанд хариулахын тулд Гауссын аргаар шийдэлд ашигласан бүх элементүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

Матрицууд, тэдгээрийн шинж чанарууд

Байхгүй далд утгаматрицад байхгүй. Энэ бол энгийн тохиромжтой аргатэдэнтэй хийх дараагийн үйл ажиллагааны өгөгдлийг бүртгэх. Сургуулийн хүүхдүүд ч гэсэн тэднээс айх ёсгүй.

Матриц нь үргэлж тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг, учир нь энэ нь илүү тохиромжтой байдаг. Гауссын аргад ч гэсэн матрицыг бүтээхэд бүх зүйл ирдэг гурвалжин, оруулгад тэгш өнцөгт гарч ирэх бөгөөд зөвхөн тоо байхгүй газарт тэгтэй байна. Тэгийг орхиж болно, гэхдээ тэдгээр нь далд утгатай.

Матриц нь хэмжээтэй байна. Түүний "өргөн" нь мөрийн тоо (м), "урт" нь баганын тоо (n) юм. Дараа нь А матрицын хэмжээг (том латин үсгийг ихэвчлэн тэмдэглэгээнд ашигладаг) A m×n гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв m=n бол энэ матриц нь квадрат бөгөөд m=n нь түүний дараалал юм. Үүний дагуу А матрицын аль ч элементийг түүний мөр, баганын дугаараар тэмдэглэж болно: a xy ; x - мөрийн дугаар, өөрчлөлт , y - баганын дугаар, өөрчлөлт .

B нь шийдлийн гол цэг биш юм. Зарчмын хувьд бүх үйлдлийг тэгшитгэлийн тусламжтайгаар шууд хийж болох боловч тэмдэглэгээ нь илүү төвөгтэй болж хувирах бөгөөд үүн дээр төөрөлдөх нь илүү хялбар байх болно.

Тодорхойлогч

Матриц нь мөн тодорхойлогчтой. Энэ бол маш чухал шинж чанар юм. Үүний утгыг одоо олж мэдэх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш бөгөөд та үүнийг хэрхэн тооцоолж байгааг харуулж, дараа нь матрицын ямар шинж чанарыг тодорхойлж байгааг хэлж болно. Тодорхойлогчийг олох хамгийн хялбар арга бол диагональууд юм. Матрицад төсөөллийн диагональ зурсан; тус бүр дээр байрлах элементүүдийг үржүүлж, дараа нь үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ: баруун тийш налуу бүхий диагональууд - "нэмэх" тэмдгээр, зүүн тийш налуу - "хасах" тэмдгээр.

Тодорхойлогчийг зөвхөн квадрат матрицаар тооцоолж болно гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм. Тэгш өнцөгт матрицын хувьд та дараах зүйлийг хийж болно: мөр болон баганын тооноос хамгийн багаг нь сонгоод (энэ нь k байх ёстой), дараа нь матриц дахь k багана, k мөрийг санамсаргүй байдлаар тэмдэглэнэ. Сонгосон багана, мөрүүдийн огтлолцол дээр байрлах элементүүд нь шинийг бүрдүүлнэ квадрат матриц. Хэрэв ийм матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр тоо байвал түүнийг анхны тэгш өнцөгт матрицын суурь минор гэж нэрлэдэг.

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийн шийдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө тодорхойлогчийг тооцоолох нь гэмтээхгүй. Хэрэв энэ нь тэг болж хувирвал матриц нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй эсвэл огт байхгүй гэж шууд хэлж болно. Ийм гунигтай тохиолдолд та цаашаа явж, матрицын зэрэглэлийн талаар олж мэдэх хэрэгтэй.

Системийн ангилал

Матрицын зэрэглэл гэж нэг зүйл байдаг. Энэ нь түүний тэг биш тодорхойлогчийн хамгийн дээд дараалал юм (минорын үндсэн суурийг санаж, матрицын зэрэглэл нь үндсэн минорын дараалал гэж хэлж болно).

Зэрэглэлд хэрхэн нийцэж байгаагаас хамааран SLAE-ийг дараахь байдлаар хувааж болно.

Хамтарсан. AtХамтарсан системийн зэрэглэлд үндсэн матрицын зэрэглэл (зөвхөн коэффициентуудаас бүрдэх) нь өргөтгөсөн (чөлөөт гишүүдийн баганатай) зэрэгтэй давхцдаг. Ийм системүүд нь шийдэлтэй байдаг, гэхдээ нэг байх албагүй тул хамтарсан системийг дараахь байдлаар хуваана.
- тодорхой- өвөрмөц шийдэлтэй байх. Тодорхой системд матрицын зэрэглэл ба үл мэдэгдэх тоо (эсвэл баганын тоо, энэ нь ижил зүйл) тэнцүү байна;
- тодорхойгүй -хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй. Ийм системийн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байна.
Тохиромжгүй. AtИйм системд үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэлүүд давхцдаггүй. Тохиромжгүй системд шийдэл байхгүй.

Гауссын арга нь системийн зөрчилтэй байдлын хоёрдмол утгагүй нотолгоог (том матрицын тодорхойлогчийг тооцохгүйгээр) эсвэл хязгааргүй олон тооны шийдтэй системийн ерөнхий шийдлийг олж авах боломжийг олгодогоороо сайн.

Анхан шатны өөрчлөлтүүд

Системийн шийдэлд шууд орохын өмнө үүнийг илүү төвөгтэй, тооцоолол хийхэд илүү хялбар болгох боломжтой. Үүнийг анхан шатны өөрчлөлтөөр дамжуулан хийдэг - ингэснээр тэдгээрийн хэрэгжилт нь эцсийн хариултыг ямар ч байдлаар өөрчлөхгүй. Дээрх энгийн хувиргалтуудын зарим нь зөвхөн SLAE-ийн эх сурвалж байсан матрицуудад хүчинтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Эдгээр өөрчлөлтүүдийн жагсаалт энд байна:

Мөр солих. Хэрэв бид системийн бүртгэл дэх тэгшитгэлийн дарааллыг өөрчлөх юм бол энэ нь шийдэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй нь ойлгомжтой. Иймээс энэ системийн матриц дахь мөрүүдийг сольж болох нь мэдээжийн хэрэг чөлөөт гишүүдийн баганын тухай мартаж болохгүй.
Мөрний бүх элементүүдийг зарим хүчин зүйлээр үржүүлэх. Маш хэрэгтэй! Үүнийг богиносгоход ашиглаж болно том тооматрицад эсвэл тэгийг арилгах. Шийдлийн багц нь ердийнх шиг өөрчлөгдөхгүй бөгөөд цаашдын үйл ажиллагааг гүйцэтгэхэд илүү тохиромжтой байх болно. Хамгийн гол нь коэффициент нь тэгтэй тэнцүү биш юм.
Пропорциональ коэффициент бүхий мөрүүдийг устгах. Энэ нь өмнөх догол мөрөөс зарим талаараа хамаарна. Хэрэв матриц дахь хоёр ба түүнээс дээш мөр нь пропорциональ коэффициенттэй бол нэг мөрийг пропорциональ коэффициентоор үржүүлэх / хуваах үед хоёр (эсвэл дахин, түүнээс дээш) туйлын ижил мөр гарч ирэх бөгөөд та зөвхөн үлдсэн хэсгийг нь хасаж болно. нэг.
Үгүй мөрийг устгаж байна. Хэрэв хувиргалтын явцад бүх элементүүд, түүний дотор чөлөөт гишүүн нь тэг байх тэмдэгт мөрийг олж авсан бол ийм мөрийг тэг гэж нэрлээд матрицаас гаргаж болно.
Нэг эгнээний элементүүдэд нөгөөгийн элементүүдийг нэмэх (харгалзах баганад), тодорхой коэффициентоор үржүүлнэ. Хамгийн ойлгомжгүй бөгөөд хамгийн чухал өөрчлөлт. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хүчин зүйлээр үржүүлсэн мөрийг нэмэх

Ойлгоход хялбар болгохын тулд энэ үйл явцыг алхам алхмаар задлах нь зүйтэй. Матрицаас хоёр мөрийг авсан:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Та "-2" коэффициентээр үржүүлсэн эхнийхийг хоёр дахь дээр нэмэх хэрэгтэй гэж бодъё.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Дараа нь матрицад хоёр дахь мөрийг шинээр сольж, эхнийх нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Үржүүлэх хүчин зүйлийг хоёр мөр нэмсний үр дүнд шинэ мөрийн аль нэг элемент нь тэгтэй тэнцүү байхаар сонгож болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс системд үл мэдэгдэх нэг нь бага байх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Хэрэв та ийм хоёр тэгшитгэл олж авбал үйлдлийг дахин хийж, хоёр бага үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг авах боломжтой. Хэрэв бид анхныхаасаа доогуур байгаа бүх эгнээний хувьд нэг коэффициентийг тэг рүү эргүүлэх бүртээ алхамууд шиг матрицын хамгийн доод хэсэгт очиж, нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Үүнийг Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдэх гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө

Систем байгаасай. Энэ нь m тэгшитгэл, n үл мэдэгдэх үндэстэй. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Үндсэн матрицыг системийн коэффициентүүдээс бүрдүүлдэг. Өргөтгөсөн матрицад чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмж, тав тухтай байлгах үүднээс баараар тусгаарласан.

матрицын эхний мөрийг k = коэффициентээр үржүүлнэ (-a 21 / a 11);
матрицын эхний өөрчлөгдсөн мөр болон хоёр дахь эгнээ нэмэгдсэн;
хоёр дахь эгнээний оронд өмнөх догол мөрийн нэмэлтийн үр дүнг матрицад оруулна;
одоо шинэ хоёр дахь эгнээний эхний коэффициент нь 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 байна.

Одоо ижил цуврал өөрчлөлтүүд хийгдэж байгаа бөгөөд зөвхөн эхний болон гурав дахь эгнээнд оролцдог. Үүний дагуу алгоритмын алхам бүрт a 21 элементийг 31-ээр солино. Дараа нь бүх зүйл давтагдана 41 , ... a m1 . Үр дүн нь эгнээний эхний элемент нь тэгтэй тэнцүү байх матриц юм. Одоо бид нэгдүгээр мөрийг мартаж, хоёр дахь мөрөөс эхлэн ижил алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй:

коэффициент k \u003d (-a 32 / a 22);
хоёр дахь өөрчлөгдсөн мөрийг "одоогийн" мөрөнд нэмнэ;
нэмэлтийн үр дүнг гурав, дөрөв, гэх мэт мөрөнд орлуулж, эхний болон хоёр дахь нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна;
матрицын эгнээнд эхний хоёр элемент аль хэдийн тэгтэй тэнцүү байна.

k = (-a m,m-1 /a мм) коэффициент гарч ирэх хүртэл алгоритмыг давтах ёстой. Энэ нь алгоритмыг хамгийн сүүлд зөвхөн доод тэгшитгэлд зориулж ажиллуулсан гэсэн үг юм. Одоо матриц нь гурвалжин шиг эсвэл шаталсан хэлбэртэй байна. Доод мөрөнд a mn × x n = b m тэгшитгэлийг агуулна. Коэффициент ба чөлөөт нэр томъёо нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд язгуур нь тэдгээрээр илэрхийлэгдэнэ: x n = b m /a mn. Үүссэн үндэсийг дээд эгнээнд орлуулж x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 -ийг олно. Гэх мэт зүйрлэлээр: дараагийн мөр бүрт шинэ үндэс байгаа бөгөөд системийн "дээд" хэсэгт хүрснээр та олон шийдлийг олох боломжтой. Энэ нь цорын ганц байх болно.

Шийдэл байхгүй үед

Хэрэв матрицын аль нэг эгнээнд чөлөөт гишүүнээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал энэ мөрөнд харгалзах тэгшитгэл нь 0 = b хэлбэртэй байна. Үүнд ямар ч шийдэл байхгүй. Ийм тэгшитгэл нь системд багтсан тул бүхэл системийн шийдлүүдийн багц хоосон, өөрөөр хэлбэл доройтсон байна.

Хязгааргүй олон шийдэл байх үед

Буурсан гурвалжин матрицад тэгшитгэлийн коэффициент бүхий нэг элемент, нэг нь чөлөөт гишүүнтэй мөр байхгүй болно. Дахин бичихэд хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэл шиг харагдах мөрүүд л байдаг. Тиймээс системд байна хязгааргүй тоошийдлүүд. Энэ тохиолдолд хариултыг ерөнхий шийдэл хэлбэрээр өгч болно. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Матриц дахь бүх хувьсагчдыг үндсэн ба чөлөөт гэж хуваадаг. Үндсэн - эдгээр нь шаталсан матриц дахь эгнээний "ирмэг дээр" байрладаг хүмүүс юм. Үлдсэн нь үнэгүй. Ерөнхий шийдэлд үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар бичнэ.

Тохиромжтой болгохын тулд матрицыг эхлээд тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичдэг. Дараа нь зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч үлдсэн сүүлчийнх нь нэг талдаа үлдэж, бусад бүх зүйл нөгөө рүү шилждэг. Энэ нь нэг үндсэн хувьсагчтай тэгшитгэл бүрийн хувьд хийгддэг. Дараа нь бусад тэгшитгэлд боломжтой бол үндсэн хувьсагчийн оронд түүний хувьд олж авсан илэрхийлэлийг орлуулна. Үр дүн нь дахин зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч агуулсан илэрхийлэл байвал үндсэн хувьсагч бүрийг чөлөөт хувьсагчтай илэрхийлэл болгон бичих хүртэл тэндээс дахин илэрхийлнэ. Энэ бол SLAE-ийн ерөнхий шийдэл юм.

Та мөн системийн үндсэн шийдлийг олох боломжтой - чөлөөт хувьсагчдад ямар ч утгыг өгч, дараа нь энэ тохиолдолд үндсэн хувьсагчдын утгыг тооцоолно. Хязгааргүй олон тодорхой шийдэл байдаг.

Тодорхой жишээнүүдийн шийдэл

Энд тэгшитгэлийн систем байна.

Тохиромжтой болгохын тулд түүний матрицыг нэн даруй үүсгэх нь дээр

Гауссын аргаар шийдвэрлэх үед эхний эгнээнд тохирох тэгшитгэл нь хувиргалтын төгсгөлд өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Тиймээс, матрицын зүүн дээд элемент нь хамгийн бага нь байвал илүү ашигтай байх болно - дараа нь үйлдлүүдийн дараа үлдсэн мөрүүдийн эхний элементүүд тэг болж хувирна. Энэ нь эмхэтгэсэн матрицад эхний эгнээний оронд хоёр дахь хэсгийг тавих нь ашигтай байх болно гэсэн үг юм.

хоёр дахь мөр: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

Гурав дахь мөр: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Одоо эндүүрэхгүйн тулд хувиргалтын завсрын үр дүнтэй матрицыг бичих шаардлагатай.

Ийм матрицыг зарим үйлдлүүдийн тусламжтайгаар ойлгоход илүү тохиромжтой болгох нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, та элемент бүрийг "-1" -ээр үржүүлснээр хоёр дахь мөрөнд байгаа бүх "хасах" зүйлсийг арилгаж болно.

Гурав дахь эгнээнд бүх элементүүд гурвын үржвэр байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь та энэ тоогоор мөрийг багасгаж, элемент бүрийг "-1/3" -ээр үржүүлж болно (хасах - сөрөг утгыг арилгахын тулд нэгэн зэрэг).

Илүү сайхан харагдаж байна. Одоо бид эхний мөрийг ганцааранг нь үлдээж, хоёр, гурав дахь эгнээтэй ажиллах хэрэгтэй. Даалгавар бол гурав дахь эгнээнд хоёр дахь эгнээ нэмж, ийм коэффициентоор үржүүлж, a 32 элемент нь тэгтэй тэнцүү болно.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 бутархай, зөвхөн дараа нь хариултыг хүлээн авсны дараа дугуйлж, тэмдэглэгээний өөр хэлбэр рүү хөрвүүлэх эсэхийг шийднэ)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицыг шинэ утгуудаар дахин бичнэ.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Таны харж байгаагаар үүссэн матриц нь шаталсан хэлбэртэй байна. Тиймээс Гауссын аргаар системийг цаашид өөрчлөх шаардлагагүй. Энд юу хийж болох вэ гэвэл гурав дахь мөрөнд "-1/7" гэсэн ерөнхий коэффициентийг хасах явдал юм.

Одоо бүх зүйл сайхан болсон. Энэ цэг нь жижиг - матрицыг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр дахин бичиж, үндсийг нь тооцоол

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Одоо үндсийг олох алгоритмыг Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (3) нь z-ийн утгыг агуулна:

у = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Эхний тэгшитгэл нь x-ийг олох боломжийг танд олгоно.

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ийм системийг хамтарсан, бүр тодорхой, өөрөөр хэлбэл өвөрмөц шийдэлтэй гэж нэрлэх эрхтэй. Хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Тодорхой бус системийн жишээ

Тодорхой системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх хувилбарт дүн шинжилгээ хийсэн тул одоо систем нь тодорхойгүй, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй олон шийдлийг олох боломжтой тохиолдолд авч үзэх шаардлагатай байна.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - x 5 = 12 (4)

Системийн хэлбэр нь аль хэдийн түгшүүр төрүүлж байна, учир нь үл мэдэгдэх тоо n = 5, системийн матрицын зэрэглэл нь энэ тооноос яг бага байна, учир нь эгнээний тоо m = 4, өөрөөр хэлбэл, квадрат тодорхойлогчийн хамгийн том дараалал нь 4. Энэ нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй гэсэн үг бөгөөд түүний ерөнхий хэлбэрийг хайх шаардлагатай болно. Шугаман тэгшитгэлийн Гауссын арга нь үүнийг хийх боломжтой болгодог.

Нэгдүгээрт, ердийнхөөрөө нэмэгдүүлсэн матрицыг эмхэтгэсэн.

Хоёр дахь мөр: коэффициент k = (-a 21 / a 11) = -3. Гурав дахь мөрөнд эхний элемент нь хувиргалтын өмнө байгаа тул та ямар нэгэн зүйлд хүрэх шаардлагагүй, үүнийг байгаагаар нь үлдээх хэрэгтэй. Дөрөв дэх мөр: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Эхний эгнээний элементүүдийг коэффициент тус бүрээр нь үржүүлж, хүссэн эгнээнд нэмснээр бид дараах хэлбэрийн матрицыг олж авна.

Таны харж байгаагаар хоёр, гурав, дөрөв дэх эгнээ нь хоорондоо пропорциональ элементүүдээс бүрдэнэ. Хоёр дахь болон дөрөв дэх нь ерөнхийдөө ижил байдаг тул тэдгээрийн аль нэгийг нь нэн даруй арилгаж, үлдсэнийг нь "-1" коэффициентээр үржүүлж, мөрийн дугаар 3-ыг авна. Мөн дахин хоёр ижил шугамын нэгийг үлдээгээрэй.

Ийм матриц болж хувирав. Системийг хараахан бичиж амжаагүй байгаа тул энд үндсэн хувьсагчдыг тодорхойлох шаардлагатай - 11 \u003d 1 ба 22 \u003d 1 коэффициентүүд дээр зогсож, үлдсэн бүх зүйлийг чөлөөтэй.

Хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндсэн хувьсагчтай - x 2 . Эндээс үүнийг чөлөөтэй x 3 , x 4 , x 5 хувьсагчаар дамжуулан бичиж илэрхийлж болно.

Бид үүссэн илэрхийлэлийг эхний тэгшитгэлд орлуулна.

Цорын ганц үндсэн хувьсагч нь x 1 гэсэн тэгшитгэл гарч ирэв. Үүнийг x 2-той адил хийцгээе.

Бүх үндсэн хувьсагч, үүнээс хоёр нь гурван чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэгддэг тул одоо та хариултыг ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно.

Та мөн системийн тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг зааж өгч болно. Ийм тохиолдлын хувьд, дүрмээр бол тэгийг чөлөөт хувьсагчийн утгууд болгон сонгодог. Дараа нь хариулт нь:

16, 23, 0, 0, 0.

Тохиромжгүй системийн жишээ

Тогтворгүй тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх нь хамгийн хурдан юм. Үе шатуудын аль нэгэнд шийдэлгүй тэгшитгэл гармагц дуусна. Энэ нь нэлээд урт, уйтгартай, үндсийг тооцоолох үе шат алга болно. Дараахь системийг авч үздэг.

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ердийнх шиг матрицыг эмхэтгэсэн:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Мөн шаталсан хэлбэр болгон бууруулсан байна:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Эхний хувиргалт хийсний дараа гурав дахь мөрөнд хэлбэрийн тэгшитгэлийг агуулна

шийдэлгүй. Тиймээс систем нь нийцэхгүй бөгөөд хариулт нь хоосон багц юм.

Аргын давуу болон сул талууд

Хэрэв та SLAE-ийг цаасан дээр үзэг ашиглан шийдвэрлэх аргыг сонговол энэ нийтлэлд авч үзсэн арга нь хамгийн сэтгэл татам харагдаж байна. Анхан шатны хувиргалтуудад тодорхойлогч эсвэл зарим нэг төвөгтэй урвуу матрицыг гараар хайхаас илүү төөрөлдөх нь илүү хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ийм төрлийн өгөгдөлтэй, жишээлбэл, хүснэгттэй ажиллах програм ашигладаг бол ийм програмууд нь матрицын үндсэн параметрүүдийг тооцоолох алгоритмуудыг аль хэдийн агуулдаг болох нь тодорхойлогч, жижиг, урвуу гэх мэт. Хэрэв та машин эдгээр утгыг өөрөө тооцоолж, алдаа гаргахгүй гэдэгт итгэлтэй байгаа бол матрицын арга эсвэл Крамерын томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой, учир нь тэдгээрийн хэрэглээ тодорхойлогчдын тооцоогоор эхэлж, дуусдаг. урвуу матрицууд.

Өргөдөл

Гауссын шийдэл нь алгоритм бөгөөд матриц нь үнэндээ хоёр хэмжээст массив учраас програмчлалд ашиглаж болно. Гэхдээ энэ нийтлэл нь "дамми нарт зориулсан" гарын авлага болж байгаа тул энэ аргыг оруулахад хамгийн хялбар газар бол хүснэгт, жишээлбэл Excel юм. Дахин хэлэхэд, хүснэгтэд матриц хэлбэрээр оруулсан аливаа SLAE-г Excel хоёр хэмжээст массив гэж үзэх болно. Мөн тэдэнтэй ажиллахын тулд олон сайхан командууд байдаг: нэмэх (та зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицуудыг нэмж болно!), Тооноор үржүүлэх, матрицыг үржүүлэх (мөн тодорхой хязгаарлалттай), урвуу болон шилжүүлсэн матрицуудыг олох, хамгийн чухал нь , тодорхойлогчийг тооцоолох. Хэрэв энэ цаг хугацаа шаардсан ажлыг нэг тушаалаар солих юм бол матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох нь илүү хурдан бөгөөд ингэснээр түүний нийцтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа эсэхийг тогтоох болно.

Гауссын аргашугаман системийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой алгебрийн тэгшитгэл(SLAU). Энэ нь бусад аргуудаас хэд хэдэн давуу талтай:

нэгдүгээрт, тэгшитгэлийн системийг нийцтэй байдлын үүднээс урьдчилан судлах шаардлагагүй;
Хоёрдугаарт, Гауссын аргыг зөвхөн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой давхцаж, системийн үндсэн матриц нь доройтдоггүй SLAE-ийг төдийгүй тэгшитгэлийн тоо давхцдаггүй тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоо эсвэл үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна;
Гуравдугаарт, Гауссын арга нь харьцангуй цөөн тооны тооцооллын үйлдлүүдтэй үр дүнд хүргэдэг.

Өгүүллийн товч тойм.

Эхлээд өгье шаардлагатай тодорхойлолтуудболон тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх.

Дараа нь бид Гауссын аргын алгоритмыг хамгийн энгийн тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүдийн хувьд үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцаж байгаа тэгшитгэлийн тоо, системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь биш юм. тэгтэй тэнцүү. Ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахаас бүрддэг Гауссын аргын мөн чанар хамгийн тод харагдаж байна. Тиймээс Гауссын аргыг үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга гэж бас нэрлэдэг. Хэд хэдэн жишээний нарийвчилсан шийдлүүдийг харуулъя.

Дүгнэж хэлэхэд, үндсэн матриц нь тэгш өнцөгт эсвэл доройтсон шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн Гауссын шийдлийг авч үзье. Ийм системийн шийдэл нь зарим онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд бид үүнийг жишээн дээр нарийвчлан шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Үндсэн тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ.

n үл мэдэгдэх p шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье (p нь n-тэй тэнцүү байж болно):

Үл мэдэгдэх хувьсагч, тоо (бодит эсвэл цогц), чөлөөт гишүүд байна.

Хэрвээ , дараа нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг нэрлэнэ нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - гетероген.

Системийн бүх тэгшитгэл нь таних тэмдэг болж хувирдаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багцыг нэрлэдэг. SLAU шийдвэр.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн ядаж нэг шийдэл байгаа бол түүнийг дуудна хамтарсан, эс бөгөөс - нийцэхгүй.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой. Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол системийг дуудна тодорхойгүй.

Систем нь бичигдсэн гэж байгаа координатын хэлбэрХэрэв энэ нь маягттай бол
.

Энэ системд матриц хэлбэрбүртгэл нь хаана гэсэн хэлбэртэй байна - SLAE-ийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын баганын матриц, - чөлөөт гишүүдийн матриц.

Хэрэв бид А матрицад (n + 1)-р баганад чөлөөт нэр томъёоны матриц баганыг нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. Өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн нэмэгдүүлсэн матрицыг T үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт гишүүдийн баганыг бусад багануудаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл,

А квадрат матриц гэж нэрлэдэг доройтохХэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг байвал. Хэрэв бол А матрицыг дуудна доройтдоггүй.

Дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системээр дараах үйлдлүүдийг хийвэл

хоёр тэгшитгэл солих,
аливаа тэгшитгэлийн хоёр талыг дурын ба тэг биш бодит (эсвэл комплекс) k тоогоор үржүүлэх,
дурын тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт нөгөө тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг дурын k тоогоор үржүүлж нэмнэ.

Дараа нь бид ижил шийдэлтэй (эсвэл анхных шиг шийдэлгүй) ижил төстэй системийг авна.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн өргөтгөсөн матрицын хувьд эдгээр үйлдлүүд нь мөр бүхий энгийн хувиргалтыг хэлнэ.

хоёр мөрийг солих
T матрицын аль ч эгнээний бүх элементүүдийг тэг биш k тоогоор үржүүлэх,
матрицын аль ч эгнээний элементүүдэд өөр эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дурын k тоогоор үржүүлнэ.

Одоо бид Гауссын аргын тайлбар руу орж болно.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэхийн тоотой тэнцүү, системийн үндсэн матриц нь доройтдог шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх.

Хэрэв бидэнд тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох даалгавар өгвөл бид сургуульд юу хийх байсан бэ? .

Зарим нь тэгэх байсан.

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд, баруун талыг баруун талд нэмснээр та үл мэдэгдэх хувьсагч x 2 ба x 3-аас салж, шууд x 1-ийг олох боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

Бид системийн эхний ба гурав дахь тэгшитгэлд олсон x 1 \u003d 1 утгыг орлуулна.

Хэрэв бид системийн гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг -1-ээр үржүүлж, эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдэд нэмбэл үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчаас салж, x 2-ыг олж болно.

Гурав дахь тэгшитгэлд бид олж авсан x 2 \u003d 2 утгыг орлуулж, үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ыг олно.

Бусад нь өөрөөр хийх байсан.

Үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчтай холбоотой системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг системийн хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, энэ хувьсагчийг тэдгээрээс хасъя.

Одоо системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг x 2-т хамааруулан шийдэж, үр дүнг гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, үл мэдэгдэх х 2 хувьсагчийг хасъя.

Системийн гурав дахь тэгшитгэлээс x 3 =3 болохыг харж болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог , мөн эхний тэгшитгэлээс бид .

Танил шийдлүүд, тийм үү?

Энд хамгийн сонирхолтой зүйл бол хоёр дахь шийдлийн арга нь үндсэндээ үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга буюу Гауссын арга юм. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (эхний x 1, дараагийн x 2) илэрхийлж, системийн бусад тэгшитгэлд орлуулах үед бид тэдгээрийг хассан. Сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үл мэдэгдэх хувьсагч үлдээх хүртэл бид үл хамаарах зүйлийг хийсэн. Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах үйл явц гэж нэрлэдэг шууд Гауссын арга. Урагшлах хөдөлгөөн дууссаны дараа бид сүүлчийн тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх хувьсагчийг тооцоолох боломжтой болно. Үүний тусламжтайгаар бид эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагч гэх мэтийг олдог. Сүүлчийн тэгшитгэлээс эхнийх рүү шилжих явцад үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан олох үйл явцыг гэнэ урвуу Гауссын арга.

Эхний тэгшитгэлд x 1-ийг x 2 ба x 3-аар илэрхийлж, дараа нь гарсан илэрхийлэлийг хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулах үед дараах үйлдлүүд ижил үр дүнд хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Үнэн хэрэгтээ ийм журам нь үл мэдэгдэх x 1 хувьсагчийг системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс хасах боломжийг бидэнд олгодог.

Гауссын аргаар үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах нюансууд нь системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч агуулаагүй тохиолдолд үүсдэг.

Жишээлбэл, SLAU-д эхний тэгшитгэлд x 1 үл мэдэгдэх хувьсагч байхгүй (өөрөөр хэлбэл түүний өмнөх коэффициент нь тэг). Тиймээс бид үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусад тэгшитгэлээс хасахын тулд x 1-тэй холбоотой системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй. Энэ байдлаас гарах арга зам бол системийн тэгшитгэлийг солих явдал юм. Бид үндсэн матрицуудын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэж байгаа тул бидэнд хэрэгтэй хувьсагч байх тэгшитгэл үргэлж байдаг бөгөөд бид энэ тэгшитгэлийг шаардлагатай байрлалд нь өөрчилж болно. Бидний жишээн дээр системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийг солиход хангалттай , тэгвэл та x 1-ийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, системийн бусад тэгшитгэлээс хасч болно (хэдийгээр хоёр дахь тэгшитгэлд x 1 байхгүй).

Та гол санааг ойлгосон гэж найдаж байна.

Тодорхойлъё Гауссын аргын алгоритм.

Бид n үл мэдэгдэх n шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё хэлбэрийн хувьсагч , мөн түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр байг.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үргэлж үүнд хүрч чадна гэж бид таамаглах болно. Бид үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлээс хасдаг. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэл дээр эхний үржүүлсэн тэгшитгэлийг нэмэх, гурав дахь тэгшитгэл дээр эхний үржвэрийг нэмэх гэх мэт эхний үржвэрийг n-р тэгшитгэлд нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулбал ижил үр дүнд хүрнэ. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үүнтэй ижил төстэй үйлдэл хийдэг, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үүссэн системийн нэг хэсэгтэй

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийн тэгшитгэлийг нэмж, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмж, n-р тэгшитгэлд хоёр дахь үржвэрийг нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахьээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй ажиллахын зэрэгцээ үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд чиглэлийг үргэлжлүүлнэ

Одооноос эхлэн бид эхэлнэ урвуу цус харвалтГауссын арга: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно.

Алгоритмыг жишээгээр задлан шинжилье.

Жишээ.

Гауссын арга.

Шийдвэр.

a 11 коэффициент нь тэгээс ялгаатай тул Гауссын аргын шууд чиглэл рүү, өөрөөр хэлбэл системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчийг эхнийхээс бусад тэгшитгэлээс хасах руу орцгооё. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсэгт эхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг тус тус үржүүлж нэмнэ. болон:

Үл мэдэгдэх хувьсагч x 1 хасагдсан тул x 2 хасалт руу шилжье. Системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсэгт бид хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг нэмж, үржүүлсэн үржвэрийг нэмнэ. болон :

Гауссын аргын урагшлах курсийг дуусгахын тулд системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчийг хасах хэрэгтэй. Дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмээд үржүүлнэ. :

Та Гауссын аргын урвуу чиглэлийг эхлүүлж болно.

Бидэнд байгаа сүүлчийн тэгшитгэлээс ,
Гурав дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.
хоёр дахь нь
эхний үеэс.

Шалгахын тулд та үл мэдэгдэх хувьсагчийн олж авсан утгыг тэгшитгэлийн анхны системд орлуулж болно. Бүх тэгшитгэлүүд ижил төстэй байдал болж хувирдаг бөгөөд энэ нь Гауссын аргын шийдэл зөв олдсон гэсэн үг юм.

Хариулт:

Одоо бид ижил жишээний шийдлийг Гауссын аргаар матриц хэлбэрээр өгөх болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн системийн шийдийг ол Гауссын арга.

Шийдвэр.

Системийн өргөтгөсөн матриц нь хэлбэртэй байна . Багана бүрийн дээр матрицын элементүүдтэй тохирох үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бичнэ.

Гауссын аргын шууд явц нь энгийн хувиргалтыг ашиглан системийн өргөтгөсөн матрицыг трапец хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ процесс нь координат хэлбэрээр системтэй хийсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг хассантай адил юм. Одоо та үүнд итгэлтэй байх болно.

Хоёр дахь баганаас эхлэн эхний баганад байгаа бүх элементүүд тэг болохын тулд матрицыг өөрчилье. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх эгнээний элементүүдэд эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг , -ээр үржүүлж нэмнэ. мөн тус тусад нь:

Дараа нь бид үүссэн матрицыг хувиргаж, хоёр дахь баганад гурав дахь баганаас эхлэн бүх элементүүд тэг болно. Энэ нь үл мэдэгдэх хувьсагч x 2-ыг хассантай тохирно. Үүнийг хийхийн тулд гурав, дөрөв дэх эгнээний элементүүдэд матрицын эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. болон :

Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ийг хасах хэвээр байна. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн матрицын сүүлчийн эгнээний элементүүдэд бид эцсийн өмнөх эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. :

Энэ матриц нь шугаман тэгшитгэлийн системтэй тохирч байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй

шууд шилжилтийн дараа өмнө нь олж авсан.

Буцах цаг нь болсон. Тэмдэглэгээний матриц хэлбэрийн хувьд Гауссын аргын урвуу урсгал нь үүссэн матрицыг ийм хувиргах замаар зурган дээр тэмдэглэсэн матрицыг харуулдаг.

диагональ болсон, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийг авсан

хэдэн тоо хаана байна.

Эдгээр хувиргалтууд нь Гауссын аргынхтай төстэй боловч эхний мөрөөс сүүлчийнх хүртэл биш, харин сүүлчийнхээс эхнийх хүртэл хийгддэг.

Гурав, хоёр, эхний эгнээний элементүүдэд сүүлчийн эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. , үргэлжилээд л байх тус тус:

Одоо хоёр дахь болон эхний эгнээний элементүүдэд гурав дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг тус тусад нь үржүүлж нэмье.

Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөний сүүлчийн алхамд бид эхний эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг -ээр үржүүлж нэмнэ.

Үүссэн матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна , үүнээс бид үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олдог.

Хариулт:

ЖИЧ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглахдаа ойролцоогоор тооцооллоос зайлсхийх хэрэгтэй, учир нь энэ нь туйлын буруу үр дүнд хүргэж болзошгүй юм. Аравтын бутархайг дугуйлахгүй байхыг зөвлөж байна. Илүү сайн аравтын бутархайэнгийн бутархай руу шилжих.

Жишээ.

Гурван тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийд .

Шийдвэр.

Энэ жишээнд үл мэдэгдэх хувьсагчид өөр тэмдэглэгээтэй байгааг анхаарна уу (x 1 , x 2 , x 3 биш харин x, y, z ). Энгийн бутархай руу шилжье:

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х-г хас.

Үүссэн системд хоёр дахь тэгшитгэлд үл мэдэгдэх y хувьсагч байхгүй бөгөөд y нь гурав дахь тэгшитгэлд байгаа тул бид хоёр, гурав дахь тэгшитгэлийг сольж байна.

Энэ үед Гауссын аргын шууд явц дуусч байна (энэ үл мэдэгдэх хувьсагч байхгүй болсон тул та гурав дахь тэгшитгэлээс y-г хасах шаардлагагүй).

Буцаж явцгаая.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог ,
эцсийн мөчөөс

Бидэнд байгаа эхний тэгшитгэлээс

Хариулт:

X=10, y=5, z=-20.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц доройтдог шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийддэг.

Үндсэн матриц нь тэгш өнцөгт буюу дөрвөлжин доройтсон тэгшитгэлийн систем нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно.

Одоо бид Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдал эсвэл үл нийцэх байдлыг хэрхэн тогтоох боломжийг олгодог бөгөөд түүний нийцтэй байдлын хувьд бүх шийдлүүдийг (эсвэл нэг шийдлийг) тодорхойлох боломжийг бид ойлгох болно.

Зарчмын хувьд ийм SLAE-ийн хувьд үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах үйл явц ижил хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч үүсч болзошгүй зарим нөхцөл байдлын талаар нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хамгийн чухал алхам руугаа явцгаая.

Тиймээс, Гауссын аргын гүйлт дууссаны дараа шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем хэлбэрийг авна гэж үзье. ба тэгшитгэлийн аль нь ч болж буураагүй (энэ тохиолдолд бид систем нь нийцэхгүй байна гэж дүгнэх болно). "Дараа нь юу хийх вэ" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ.

Бид үүссэн системийн бүх тэгшитгэлийн эхний байранд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бичнэ.

Бидний жишээнд эдгээр нь x 1 , x 4 ба x 5 юм. Системийн тэгшитгэлийн зүүн хэсэгт бид зөвхөн x 1, x 4, x 5 үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан нэр томъёог үлдээж, үлдсэн нөхцлүүдийг тэгшитгэлийн баруун талд эсрэг тэмдэгтэй шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдад дурын утгыг оноож үзье. - дурын тоо:

Үүний дараа тоонууд нь манай SLAE-ийн бүх тэгшитгэлийн зөв хэсэгт байгаа бөгөөд бид Гауссын аргын урвуу чиглэл рүү шилжиж болно.

Бидэнд байгаа системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс бид эхний тэгшитгэлээс олж авна.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн утгуудын багц юм

Тоо өгч байна өөр өөр утгууд, бид тэгшитгэлийн системийн өөр өөр шийдлүүдийг авах болно. Өөрөөр хэлбэл, манай тэгшитгэлийн систем хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг.

Хариулт:

хаана - дурын тоо.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийдэх Гауссын арга.

Шийдвэр.

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х хувьсагчийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгүүдээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгүүдэд тус тус нэмнэ. Эхний тэгшитгэлийг үржүүлсэн:

Одоо бид үүссэн тэгшитгэлийн системийн гурав дахь тэгшитгэлээс y-г хасна.

Үүссэн SLAE нь системтэй тэнцүү байна .

Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн үл мэдэгдэх x ба y хувьсагчдыг агуулсан нөхцөлүүдийг үлдээж, үл мэдэгдэх z хувьсагчтай нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлнэ.

Гауссын арга хялбар!Яагаад? Германы нэрт математикч Иоганн Карл Фридрих Гаусс амьд ахуй цагтаа хүлээн зөвшөөрөгдсөн. хамгийн агуу математикчбүх цаг үеийн суут ухаантан, тэр ч байтугай "Математикийн хаан" хоч. Та бүхний мэдэж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл энгийн байдаг!Дашрамд хэлэхэд, зөвхөн сорогчид төдийгүй суут ухаантнууд мөнгө рүү ордог - Гауссын хөрөг 10 немец маркийн дэвсгэрт дээр (Еврог нэвтрүүлэхээс өмнө) гайхуулж байсан бөгөөд Гаусс жирийн шуудангийн маркнаас германчуудыг нууцлаг байдлаар инээмсэглэдэг хэвээр байна.

Гауссын арга нь түүнийг эзэмшихэд 5-Р АНГИЙН СУРАГЧИЙН МЭДЛЭГ ХАНГАЛТТАЙ байдгаараа энгийн. Нэмэх, үржүүлэх чадвартай байх ёстой!Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах аргыг сургуулийн математикийн сонгон шалгаруулалтын багш нар ихэвчлэн авч үздэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Энэ нь парадокс боловч Гауссын арга нь оюутнуудад хамгийн их хүндрэл учруулдаг. Гайхалтай зүйл байхгүй - энэ бол аргачлалын тухай бөгөөд би аргын алгоритмын талаар хүртээмжтэй хэлбэрээр хэлэхийг хичээх болно.

Нэгдүгээрт, бид шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи мэдлэгийг бага зэрэг системчилдэг. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх.
2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх.
3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх нийцэхгүй).

Гауссын арга нь хамгийн хүчирхэг бөгөөд бүх нийтийн хэрэгсэлшийдлийг олохын тулд ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын аргаСистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөл! Дээр энэ хичээлБид 1-р тохиолдлын хувьд Гауссын аргыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэл нь 2-3-р цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулагдсан болно. Аргын алгоритм нь бүх гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг би тэмдэглэж байна.

Буцах хамгийн энгийн системхичээлээс Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?
Гауссын аргыг ашиглан шийднэ.

Эхний алхам бол бичих явдал юм Өргөтгөсөн матрицын систем:
. Коэффициентийг ямар зарчмаар бүртгэдэг вэ гэдгийг хүн бүр харж байгаа байх гэж бодож байна. Матрицын доторх босоо шугам нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй - энэ нь дизайныг хялбарчлах үүднээс зүгээр л зураас юм.

Лавлагаа :Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөлшугаман алгебр. Системийн матрицнь зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матриц юм, in энэ жишээсистемийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матрицнь системийн ижил матриц ба чөлөөт нөхцлийн багана бөгөөд энэ тохиолдолд: . Аливаа матрицыг товчилсон матриц гэж нэрлэж болно.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичсэний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг. анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараахь зүйлүүд байна анхан шатны өөрчлөлтүүд:

1) Мөрматрицууд чадна дахин зохион байгуулахгазрууд. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь мөрийг аюулгүйгээр дахин байрлуулж болно.

2) Хэрэв матрицад пропорциональ (эсвэл гарч ирсэн) байвал онцгой тохиолдолижил) мөрүүд, дараа нь энэ нь дагадаг устгахматрицаас, нэгээс бусад бүх мөр. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье . Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргалт хийх явцад матрицад тэг мөр гарч ирсэн бол энэ нь мөн адил байна устгах. Би зурахгүй, мэдээжийн хэрэг, тэг шугам нь ямар шугам юм зөвхөн тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)дурын тооны хувьд тэг биш. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Энэ үйлдэл нь матрицын цаашдын хувиргалтыг хялбарчлах тул маш хэрэгтэй.

5) Энэ хувиргалт нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээнд та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ, тэгээс ялгаатай. Манай матрицыг авч үзье кейс судалгаа: . Эхлээд би өөрчлөлтийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , ба хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: . Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2-оор хувааж болно: . Таны харж байгаагаар НЭМЭГДСЭН мөр Л.И – өөрчлөгдөөгүй. Үргэлжмөрийг өөрчилсөн, НЭМЭГДСЭН UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд ийм нарийн зурдаггүй, гэхдээ богино бичдэг:

Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн. Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бол тооцооллын сэтгэцийн явц нь дараах байдалтай байна.

"Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

Эхний багана. Доор би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс дээрх нэгжийг -2:-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: 2 + (-2) = 0. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Одоо хоёр дахь багана. -1 дахин -2-оос дээш: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Ба гурав дахь багана. -5 дахин их -2: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: -7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээг сайтар бодож, дараалсан тооцооллын алгоритмыг ойлгоорой, хэрвээ та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга нь бараг "халаасандаа" байна. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг бид энэ өөрчлөлтийг хийхээр ажиллаж байна.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААР: заль мэх гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрсдөө" өгдөг даалгавар санал болгосон бол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицуудямар ч тохиолдолд та матриц доторх ямар нэг зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй!

Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Тэр бараг хэсэг хэсгээрээ хуваагдсан.

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг багасгая шаталсан харах:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Дахин хэлэхэд: яагаад бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талдаа тэг авахын тулд, энэ нь хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас салах гэсэн үг юм.

(2) Хоёр дахь эгнээ 3-аар хуваагдана.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – матрицыг алхам хэлбэрт хөрвүүлэх: . Даалгаврын дизайн хийхдээ тэд "шат" -ыг энгийн харандаагаар шууд зурж, "алхам" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлна. "Шаталсан үзэл" гэсэн нэр томъёо нь шинжлэх ухаанд тийм ч онолын хувьд биш юм боловсролын уран зохиолихэвчлэн гэж нэрлэдэг трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "муйрах" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ процессыг нэрлэдэг. урвуу Гауссын арга.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна: .

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд аль хэдийн орлуулаарай мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ"yig":

Шийдвэрлэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглах шаардлагатай хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье гуравгурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл.

Жишээ 1

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичье.

Одоо би шийдлийн явцад хүрэх үр дүнг нэн даруй зурах болно.

Би давтан хэлэхэд бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Хаанаас арга хэмжээ авч эхлэх вэ?

Эхлээд зүүн дээд талын дугаарыг харна уу:

Бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж. Ерөнхийдөө -1 (заримдаа бусад тоонууд) ч тохирох болно, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар нэг нэгжийг ихэвчлэн тэнд байрлуулсан байдаг. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг хардаг - бид бэлэн нэгжтэй байна! Нэгдүгээр өөрчлөлт: эхний болон гурав дахь мөрийг солих:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно. Одоо зүгээр.

Зүүн дээд талд байгаа нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Тэгийг зөвхөн "хэцүү" өөрчлөлтийн тусламжтайгаар олж авдаг. Эхлээд бид хоёр дахь мөрөнд (2, -1, 3, 13) ханддаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Хэрэгтэй хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: (-2, -4, 2, -18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаараа эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, өөрчлөлт оруулдаг. хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Үүний нэгэн адил бид гурав дахь мөрөнд (3, 2, -5, -1) ханддаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ: (-3, -6, 3, -27). Тэгээд Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар бичдэг.

Бүх зүйлийг нэг дор, нэгэн зэрэг тоолох шаардлагагүй. Тооцооллын дараалал, үр дүнг "оруулах" тууштайихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичээд чимээгүйхэн хийсгэнэ - ТУСГАЙ болон АНХААРАЛТАЙ:

Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн явцыг би аль хэдийн авч үзсэн.

Энэ жишээнд үүнийг хийхэд хялбар байдаг, бид хоёр дахь мөрийг -5-д хуваадаг (бүх тоонууд 5-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг тул). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-оор хуваана, учир нь тоо бага байх тусам шийдэл нь хялбар болно.

Анхан шатны хувиргалтын эцсийн шатанд дахиад нэг тэгийг эндээс авах шаардлагатай.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ:

Энэ үйлдлийг өөрөө задлан шинжилж үзээрэй - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаараа -2-оор үржүүлж, нэмэлтийг гүйцэтгээрэй.

Гүйцэтгэсэн хамгийн сүүлийн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн ижил төстэй анхны системийг олж авав.

Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу чиглэл хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд нь доороосоо "тайлдаг".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье: . "z"-ийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл: . "Y" ба "Z" нь мэдэгдэж байгаа, асуудал бага байна:

Хариулах:

Дахин дахин дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд аз болоход энэ нь хэцүү бөгөөд хурдан биш юм.

Жишээ 2

Энэ бол хичээлийн төгсгөлд өөрийгөө шийдвэрлэх жишээ, дуусгах жишээ, хариулт юм.

Таны үйл ажиллагааны чиглэлМиний үйл ажиллагааны чиглэлтэй таарахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм. Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулдаг.

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Тэнд бид нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад нэг ч хүн байхгүй тул мөрүүдийг дахин цэгцлэх замаар юу ч шийдэж чадахгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах ёстой. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн:
(1) Эхний мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрийг нэмж гүйцэтгэсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд "хасах нэг" байгаа нь бидэнд төгс тохирно. +1 авахыг хүссэн хүн бүр нэмэлт дохио зангаа хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (түүний тэмдгийг өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Гурав дахь эгнээний тэмдгийг мөн өөрчилж, хоёрдугаарт шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхам дээр бид хүссэн нэгжтэй болсон.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлсэн.

(5) Гурав дахь эгнээ 3-т хуваагдсан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (харилцан үсгийн алдаа) нь "муу" дүгнэлт юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доорх шиг зүйл авсан бол, үүний дагуу, , дараа нь өндөр магадлалтайгаар анхан шатны хувиргалтын явцад алдаа гарсан гэж маргаж болно.

Бид урвуу хөдөлгөөнийг цэнэглэдэг, жишээнүүдийн дизайнд систем өөрөө ихэвчлэн дахин бичигддэггүй бөгөөд тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг". Урвуу хөдөлгөөн нь доороос дээш ажиллана гэдгийг би танд сануулж байна. Тийм ээ, энд бэлэг байна:

Хариулах: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэрэв хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, дизайны дээж. Таны шийдэл минийхээс өөр байж магадгүй.

Сүүлчийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанарыг авч үзье.
Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл:

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Би энэ мөчийн талаар аль хэдийн хичээл дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга. Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг тавьдаг.

Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд хялбар жишээ юм, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд цөөн тооны энгийн хувиргалт хийх болно.

Хоёр дахь онцлог нь энэ юм. Үзсэн бүх жишээн дээр бид "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Өөр тоо байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид deuce байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоонууд 2-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагдаж, өөр хоёр ба зургаад хуваагддаг болохыг бид анзаарч байна. Мөн зүүн дээд талд байгаа deuce бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Ингэснээр бид авах болно шаардлагатай тэгэхний баганад.

Эсвэл өөр нэг таамаглалын жишээ: . 12 (тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "шат" дээрх гурвалсан тоо нь бидэнд тохирно. Дараахь өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай: гурав дахь мөрөнд -4-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмж, үүний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Та өөр аргуудаар (Крамерын арга, матрицын арга) системийг хэрхэн шийдвэрлэхийг анх удаагаа итгэлтэйгээр сурч чадна - маш хатуу алгоритм байдаг. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "гараа дүүргэж", дор хаяж 5-10 системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс эхлээд төөрөгдөл, тооцоололд алдаа гарч болзошгүй бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадна намрын бороотой цаг агаар .... Тиймээс хүн бүрт илүү их нарийн төвөгтэй жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 5

Гауссын аргаар шийднэ дөрвөн системдөрвөн үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэл.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор биш юм. Энэ хуудсыг нарийвчлан судалсан цайны аяга хүртэл ийм системийг зөн совингоор шийдвэрлэх алгоритмыг ойлгодог гэж би бодож байна. Үндсэндээ адилхан - зүгээр л илүү их үйлдэл.

Системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг ерөнхий шийдэл бүхий үл нийцэх систем ба системийг хичээлд авч үзнэ. Тэнд та Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг засах боломжтой.

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдвэр : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулцгаая.

Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд:
(1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар!Энд гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасах сонирхолтой байж магадгүй, би хасахыг зөвлөдөггүй - алдаа гарах эрсдэл эрс нэмэгддэг. Бид зүгээр л нугалав!
(2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрийг сольсон. тэмдэглэл"Алхам" дээр бид зөвхөн нэгд төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм.
(3) Гурав дахь мөрөнд 5-аар үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ.
(4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулах: .

Жишээ 4: Шийдвэр : Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулдаг.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт:
(1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулав.
(2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд, 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмж оруулав.

Хоёр дахь "алхам" -аар бүх зүйл улам дорддог , үүний "нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно

(3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.
(4) -3-аар үржүүлсэн гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмсэн.
(3) Гурав дахь мөрөнд 4-өөр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг, дөрөв дэх мөрөнд -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмж оруулав.
(4) Хоёр дахь мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дөрөв дэх мөрийг 3-т хувааж, гурав дахь мөрийн оронд байрлуулсан.
(5) Гурав дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -5-аар үржүүлсэн.

Урвуу хөдөлгөөн:

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно. Энэ хичээл нь сэдвийн гурав дахь хичээл юм. Хэрэв та шугаман тэгшитгэлийн систем гэж юу болох талаар тодорхойгүй ойлголттой бол та цайны сав шиг санагдаж байвал дараагийн хуудасны үндсээс эхлэхийг зөвлөж байна, энэ хичээлийг судлах нь ашигтай юм.

Гауссын арга хялбар!Яагаад? Германы алдарт математикч Иоганн Карл Фридрих Гаусс амьд ахуйдаа бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикч, суут ухаантан гэдгээрээ хүлээн зөвшөөрөгдөж, "Математикийн хаан" гэсэн хоч хүртэл авч байжээ. Та бүхний мэдэж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл энгийн байдаг!Дашрамд хэлэхэд, зөвхөн сорогчид төдийгүй суут ухаантнууд мөнгө рүү ордог - Гауссын хөрөг 10 немец маркийн дэвсгэрт дээр (Еврог нэвтрүүлэхээс өмнө) гайхуулж байсан бөгөөд Гаусс жирийн шуудангийн маркнаас германчуудыг нууцлаг байдлаар инээмсэглэдэг хэвээр байна.

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх. 2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх. 3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх нийцэхгүй).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, олон талын хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын аргаСистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөл! Энэ хичээл дээр бид Гауссын аргыг 1-р тохиолдлыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэлийг 2-3-р цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулж хадгалсан болно. Аргын алгоритм нь бүх гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг би тэмдэглэж байна.

Хичээлээс хамгийн энгийн систем рүү буцъя Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Гауссын аргыг ашиглан шийднэ.

Эхний алхам бол бичих явдал юм Өргөтгөсөн матрицын систем: . Коэффициентийг ямар зарчмаар бүртгэдэг вэ гэдгийг хүн бүр харж байгаа байх гэж бодож байна. Матрицын доторх босоо шугам нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй - энэ нь дизайныг хялбарчлах үүднээс зүгээр л зураас юм.

Лавлагаа : Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөл шугаман алгебр. Системийн матриц нь зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матриц бөгөөд энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матриц нь системийн ижил матриц ба чөлөөт гишүүдийн багана бөгөөд энэ тохиолдолд: . Аливаа матрицыг товчилсон матриц гэж нэрлэж болно.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

2) Хэрэв матрицад пропорциональ (эсвэл гарч ирсэн) мөрүүд (тусгай тохиолдол - ижил) байвал дараах байдалтай байна. устгахматрицаас, нэгээс бусад бүх мөр. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье . Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

5) Энэ хувиргалт нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээнд та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ, тэгээс ялгаатай. Практик жишээнээс бидний матрицыг авч үзье: . Эхлээд би өөрчлөлтийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , ба хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: . Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2-оор хувааж болно: . Таны харж байгаагаар НЭМЭГДСЭН мөр Л.И – өөрчлөгдөөгүй. Үргэлжмөрийг өөрчилсөн, НЭМЭГДСЭН UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд ийм нарийн зурдаггүй, гэхдээ богино бичдэг: Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн. Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бол тооцооллын сэтгэцийн явц нь дараах байдалтай байна.

"Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг багасгая шаталсан харах:

(2) Хоёр дахь эгнээ 3-аар хуваагдана.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – матрицыг алхам хэлбэрт хөрвүүлэх: . Даалгаврын дизайн хийхдээ тэд "шат" -ыг энгийн харандаагаар шууд зурж, "алхам" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлна. "Шаталсан үзэл" гэсэн нэр томъёо нь өөрөө онолын шинж чанартай биш бөгөөд шинжлэх ухаан, боловсролын ном зохиолд үүнийг ихэвчлэн нэрлэдэг. трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "муйрах" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ процессыг нэрлэдэг. урвуу Гауссын арга.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна: .

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд түүнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан "y" утгыг орлуулна уу.

Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглах шаардлагатай хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье.

Жишээ 1

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичье.

Одоо би шийдлийн явцад хүрэх үр дүнг нэн даруй зурах болно. Би давтан хэлэхэд бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Хаанаас арга хэмжээ авч эхлэх вэ?

Эхлээд зүүн дээд талын дугаарыг харна уу: Бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж. Ерөнхийдөө -1 (заримдаа бусад тоонууд) ч тохирох болно, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар нэг нэгжийг ихэвчлэн тэнд байрлуулсан байдаг. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг хардаг - бид бэлэн нэгжтэй байна! Нэгдүгээр өөрчлөлт: эхний болон гурав дахь мөрийг солих:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно. Одоо зүгээр.

Зүүн дээд талд байгаа нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ.

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар бичдэг.

Бүх зүйлийг нэг дор, нэгэн зэрэг тоолох шаардлагагүй. Тооцооллын дараалал, үр дүнг "оруулах" тууштайихэвчлэн ийм байдаг: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичээд чимээгүйхэн хийсгэнэ - ТУСГАЙ болон АНХААРАЛТАЙ:
Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн явцыг би аль хэдийн авч үзсэн.

Анхан шатны хувиргалтын эцсийн шатанд дахиад нэг тэгийг эндээс авах шаардлагатай.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ:
Энэ үйлдлийг өөрөө задлан шинжилж үзээрэй - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаараа -2-оор үржүүлж, нэмэлтийг гүйцэтгээрэй.

Гүйцэтгэсэн хамгийн сүүлийн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн ижил төстэй анхны системийг олж авав. Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу чиглэл хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд нь доороосоо "тайлдаг".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье: . "z"-ийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл: . "Y" ба "Z" нь мэдэгдэж байгаа, асуудал бага байна:

Хариулах:

Жишээ 2

Энэ бол хичээлийн төгсгөлд өөрийгөө шийдвэрлэх жишээ, дуусгах жишээ, хариулт юм.

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Тэнд бид нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад нэг ч хүн байхгүй тул мөрүүдийг дахин цэгцлэх замаар юу ч шийдэж чадахгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах ёстой. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: (1) Эхний мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрийг нэмж гүйцэтгэсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлсэн.

(5) Гурав дахь эгнээ 3-т хуваагдсан.

Хариулах: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Сүүлчийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанарыг авч үзье. Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл: Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Би энэ мөчийн талаар аль хэдийн хичээл дээр ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга. Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгийг тавьдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд хялбар жишээ юм, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд цөөн тооны энгийн хувиргалт хийх болно.

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид deuce байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоонууд 2-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагдаж, өөр хоёр ба зургаад хуваагддаг болохыг бид анзаарч байна. Мөн зүүн дээд талд байгаа deuce бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Тиймээс бид эхний баганад хүссэн тэгүүдийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Та өөр аргуудаар (Крамерын арга, матрицын арга) системийг хэрхэн шийдвэрлэхийг анх удаагаа итгэлтэйгээр сурч чадна - маш хатуу алгоритм байдаг. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "гараа дүүргэж", дор хаяж 5-10 арван системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс эхлээд төөрөгдөл, тооцоололд алдаа гарч болзошгүй бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадна бороотой намрын цаг агаар .... Тиймээс хүн бүрт бие даасан шийдлийн илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 5

Дөрвөн үл мэдэгдэх 4 шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд.

Хичээл дээр системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэлтэй. Тэнд та Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг засах боломжтой.

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдвэр : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулцгаая.
Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд: (1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар! Энд гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасах сонирхолтой байж магадгүй, би хасахыг зөвлөдөггүй - алдаа гарах эрсдэл эрс нэмэгддэг. Бид зүгээр л нугалав! (2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрийг сольсон. тэмдэглэл "Алхам" дээр бид зөвхөн нэгд төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм. (3) Гурав дахь мөрөнд 5-аар үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулах : .

Жишээ 4: Шийдвэр : Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулдаг.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулав. (2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд, 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмж оруулав.

Хоёр дахь "алхам" -аар бүх зүйл улам дорддог , үүний "нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) -3-аар үржүүлсэн гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмсэн. Хоёр дахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авна . (5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, 6-аар үржүүлсэн. (6) Хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, гурав дахь мөрийг -83-аар хуваасан.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулах :

Жишээ 5: Шийдвэр : Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний болон хоёр дахь мөрүүдийг сольсон. (2) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн. (3) Гурав дахь мөрөнд 4-өөр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг, дөрөв дэх мөрөнд -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмж оруулав. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дөрөв дэх мөрийг 3-т хувааж, гурав дахь мөрийн оронд байрлуулсан. (5) Гурав дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -5-аар үржүүлсэн.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулах :

1. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем

1.1 Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тухай ойлголт

Тэгшитгэлийн систем гэдэг нь хэд хэдэн хувьсагчийн хэд хэдэн тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэх нөхцөл юм. m тэгшитгэл ба n үл мэдэгдэхийг агуулсан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем (цаашид SLAE гэх) нь дараах хэлбэрийн систем юм.

a ij тоонуудыг системийн коэффициент гэж нэрлэдэг бол b i тоонууд нь чөлөөт гишүүд, айжболон б би(i=1,…, m; b=1,…, n) нь зарим мэдэгдэж буй тоонууд ба x 1 ,…, x n- үл мэдэгдэх. Коэффициентуудын тэмдэглэгээнд айжЭхний индекс i нь тэгшитгэлийн тоог, хоёр дахь j индекс нь энэ коэффициент зогсож буй үл мэдэгдэх тоо юм. x n тоог олоход хамаарна. Ийм системийг компакт матриц хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой. AX=B.Энд А нь үндсэн матриц гэж нэрлэгддэг системийн коэффициентүүдийн матриц;

нь үл мэдэгдэх xj баганын вектор юм.
чөлөөт гишүүдийн баганын вектор юм bi.

А матрицад X матрицад мөрийн хэрээр олон багана (n ширхэг) байгаа тул A * X матрицын үржвэр тодорхойлогдоно.

Системийн өргөтгөсөн матриц нь системийн А матриц бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны баганаар нэмэгддэг.

1.2 Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь тоонуудын дараалсан багц (хувьсагчийн утгууд) бөгөөд тэдгээрийг хувьсагчийн оронд орлуулах үед системийн тэгшитгэл бүр нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг.

Системийн шийдэл нь x1=c1, x2=c2,..., xn=cn үл мэдэгдэх n утгууд бөгөөд үүнийг орлуулснаар системийн бүх тэгшитгэлүүд жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг. Системийн аливаа шийдлийг матриц-багана хэлбэрээр бичиж болно

Тэгшитгэлийн системийг дор хаяж нэг шийдэлтэй бол тууштай, шийдэлгүй бол үл нийцэх гэж нэрлэдэг.

Хамтарсан системийг өвөрмөц шийдэлтэй бол тодорхойгүй, нэгээс олон шийдэлтэй бол тодорхойгүй гэж нэрлэдэг. Сүүлчийн тохиолдолд түүний шийдэл бүрийг системийн тодорхой шийдэл гэж нэрлэдэг. Бүх тодорхой шийдлүүдийн багцыг ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

Системийг шийднэ гэдэг нь тууштай эсвэл нийцэхгүй байгаа эсэхийг олж мэдэхийг хэлнэ. Хэрэв систем таарч байвал түүний ерөнхий шийдлийг олоорой.

Хоёр системийг ижил ерөнхий шийдэлтэй бол эквивалент (эквивалент) гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, аль нэгнийх нь шийдэл бүр нөгөөгийнхөө шийдэл, эсрэгээр байвал системүүд тэнцүү байна.

Хэрэглэснээр системийг хувиргадаг өөрчлөлт шинэ систем, анхныхтай тэнцэхийг эквивалент буюу эквивалент хувиргалт гэж нэрлэдэг. Дараах хувиргалтуудыг эквивалент хувиргалтын жишээ болгож болно: системийн хоёр тэгшитгэлийг солих, хоёр үл мэдэгдэхийг бүх тэгшитгэлийн коэффициентүүдтэй хамт солих, системийн дурын тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

x1=x2=x3=…=xn=0 нь системийн шийдэл учраас нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг. Энэ шийдлийг null эсвэл trivial гэж нэрлэдэг.

2. Гауссын арилгах арга

2.1 Гауссын арилгах аргын мөн чанар

Шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийг шийдэх сонгодог арга бол үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга юм. Гауссын арга(Үүнийг мөн Гауссын арилгах арга гэж нэрлэдэг). Энэ бол энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар тэгшитгэлийн системийг шаталсан (эсвэл гурвалжин) хэлбэрийн эквивалент систем болгон бууруулж, бусад бүх хувьсагчдыг дараалан олох арга юм. сүүлчийн (тоогоор) хувьсагч.

Гауссын шийдлийн үйл явц нь урагш болон хойшлох хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

1. Шууд шилжих.

Эхний шатанд эгнээний үндсэн хувиргалтаар системийг шаталсан эсвэл гурвалжин хэлбэрт оруулах эсвэл систем нь нийцэхгүй байгаа нь тогтоогдсон тохиолдолд шууд хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг. Тухайлбал, матрицын эхний баганын элементүүдийн дотроос тэгээс өөр нэгийг сонгож, мөрүүдийг солих замаар хамгийн дээд байрлалд шилжүүлж, сэлгэсний дараа олж авсан эхний мөрийг үлдсэн мөрүүдээс хасаж, үржүүлнэ. Эдгээр мөр бүрийн эхний элементийг эхний эгнээний эхний элементтэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү утгаар түүний доорх баганыг тэглэнэ.

Заасан хувиргалтыг хийсний дараа эхний мөр ба эхний баганыг оюун ухаанаар зурж, тэг хэмжээтэй матриц үлдэх хүртэл үргэлжилнэ. Хэрэв эхний баганын элементүүдийн зарим давталт дээр тэгээс өөр нэг нь олдоогүй бол дараагийн багана руу очиж ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

Эхний шатанд (урагш гүйлт) системийг шаталсан (ялангуяа гурвалжин) хэлбэрт оруулдаг.

Дараахь систем нь алхам алхмаар байна.

aii коэффициентүүдийг системийн үндсэн (тэргүүлэх) элементүүд гэж нэрлэдэг.

(хэрэв a11=0 бол матрицын мөрүүдийг дахин байрлуул а 11 нь 0-тэй тэнцүү биш байсан. Энэ нь үргэлж боломжтой байдаг, учир нь өөрөөр хэлбэл матриц нь тэг баганатай, тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд систем нь нийцэхгүй байна).

Эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх x1-ийг арилгах замаар бид системийг хувиргадаг (системийн энгийн хувиргалтыг ашиглан). Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ

мөн системийн хоёр дахь тэгшитгэлтэй гишүүн гишүүнийг нэмнэ (эсвэл хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийх нь үржүүлсэн гишүүнийг хасах). Дараа нь бид эхний тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг үржүүлж, системийн гурав дахь тэгшитгэлд нэмнэ (эсвэл эхний нэгийг гурав дахь гишүүнээр үржүүлсэнийг хасах). Тиймээс бид эхний мөрийг дараалан тоогоор үржүүлж, нэмнэ би-th мөр, төлөө i= 2, 3, …,n.

Энэ процессыг үргэлжлүүлснээр бид ижил төстэй системийг олж авна.

- томъёогоор тодорхойлогддог системийн сүүлийн m-1 тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх болон чөлөөт нөхцлийн коэффициентүүдийн шинэ утгууд:

Тиймээс эхний алхамд 11 гэсэн эхний тэргүүлэх элементийн бүх коэффициентүүд устгагдана

0, хоёр дахь алхам нь хоёр дахь тэргүүлэх элементийн доор байгаа элементүүдийг устгадаг a 22 (1) (хэрэв 22 (1) 0) гэх мэт. Энэ үйл явцыг цааш үргэлжлүүлснээр бид эцэст нь (m-1) алхам дээр анхны системийг гурвалжин систем болгон бууруулна.

Хэрэв системийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах явцад тэг тэгшитгэл гарч ирнэ, өөрөөр хэлбэл. 0=0 хэлбэрийн тэгш байдал, тэдгээрийг хасна. Хэрэв хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол

Энэ нь системд нийцэхгүй байгааг харуулж байна.

Энэ нь Гауссын аргын шууд чиглэлийг дуусгадаг.

2. Урвуу хөдөлгөөн.

Хоёр дахь шатанд урвуу хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүний мөн чанар нь бүх үндсэн хувьсагчдыг үндсэн бус хувьсагчаар илэрхийлэх, бүтээх явдал юм. үндсэн системшийдлүүд, эсвэл хэрэв бүх хувьсагч нь суурь бол шугаман тэгшитгэлийн системийн цорын ганц шийдлийг тоон хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Энэ процедур нь хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлдэг бөгөөд үүнээс харгалзах үндсэн хувьсагчийг илэрхийлж (түүнд зөвхөн нэг л байдаг) өмнөх тэгшитгэлд орлуулж, "алхмууд" дээшилнэ.

Мөр бүр яг нэг үндсэн хувьсагчтай тохирч байгаа тул сүүлийн (хамгийн дээд)-ээс бусад алхам бүрт нөхцөл байдал сүүлийн мөрний тохиолдлыг яг давтдаг.

Анхаарна уу: практик дээр системтэй биш, харин өргөтгөсөн матрицтай ажиллах нь илүү тохиромжтой бөгөөд түүний мөрөнд бүх элементийн хувиргалтыг гүйцэтгэдэг. a11 коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх нь тохиромжтой (тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талыг a11-д хуваах).

2.2 SLAE-ийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх жишээ

Энэ хэсэгт гурван өөр жишээ ашиглан SLAE-ийг шийдвэрлэхэд Гауссын аргыг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно.

Жишээ 1. 3-р эрэмбийн SLAE-г шийд.

Коэффициентийг тэг болгож тохируулна уу

хоёр ба гурав дахь мөрөнд. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийг 2/3 ба 1-ээр үржүүлж, эхний мөрөнд нэмнэ үү.