Онлайнаар цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл, хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл, хоёр шулууны хоорондох өнцөг, шулууны налуу

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Нийтлэлд" " Өгөгдсөн функцийн график ба энэ графикт шүргэгчээр дериватив олохын тулд танилцуулсан асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь аргыг шинжлэхийг би танд амласан. Бид энэ аргыг судлах болно , битгий алдаарай! Яагааддараачийн?

Баримт нь шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог тэнд ашиглах болно. Мэдээжийн хэрэг, хүн зүгээр л харуулж болно энэ томъёомөн үүнийг сурахыг танд зөвлөж байна. Гэхдээ энэ нь хаанаас гаралтай вэ гэдгийг тайлбарлах нь дээр. Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Хэрэв та мартсан бол хурдан сэргээхэцүү биш байх болно. Бүгдийг доор дэлгэрэнгүй харуулав. Тиймээс бид координатын хавтгай дээр хоёр А цэгтэй байна(x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) гэж заасан цэгүүдээр шулуун шугам татна.

Энд шууд томъёо байна:

*Өөрөөр хэлбэл, цэгүүдийн тодорхой координатыг орлуулахад y=kx+b хэлбэрийн тэгшитгэл гарна.

** Хэрэв энэ томьёог зүгээр л "цээсэн" бол индекстэй андуурагдах магадлал өндөр байна. X. Нэмж дурдахад индексийг янз бүрийн аргаар тэмдэглэж болно, жишээлбэл:

Тийм учраас утгыг нь ойлгох нь чухал.

Одоо энэ томъёоны гарал үүсэл. Бүх зүйл маш энгийн!

ABE ба ACF гурвалжин нь хурц өнцгийн хувьд ижил төстэй (тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын эхний шинж тэмдэг). Эндээс харгалзах элементүүдийн харьцаа тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл:

Одоо бид эдгээр сегментүүдийг цэгүүдийн координатын зөрүүгээр илэрхийлж байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та элементүүдийн харилцааг өөр дарааллаар бичвэл алдаа гарахгүй (хамгийн гол нь захидал харилцааг хадгалах явдал юм):

Үр дүн нь шулуун шугамын ижил тэгшитгэл юм. Энэ бүгд!

Өөрөөр хэлбэл, цэгүүд (мөн тэдгээрийн координатууд) хэрхэн томилогдсоноос үл хамааран энэ томъёог ойлгосноор та шулуун шугамын тэгшитгэлийг үргэлж олох болно.

Томьёог векторуудын шинж чанарыг ашиглан гаргаж болно, гэхдээ бид тэдгээрийн координатын пропорциональ байдлын талаар ярих тул гарган авах зарчим нь ижил байх болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал ажилладаг. Миний бодлоор дээр дурдсан дүгнэлт илүү ойлгомжтой)).

Гаралтыг вектор координатаар харах >>>

Өгөгдсөн A (x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) хоёр цэгийг дайран өнгөрөх координатын хавтгай дээр шулуун шугам байгуулъя. Координаттай шулуун дээрх дурын C цэгийг тэмдэглэе. х; y). Бид мөн хоёр векторыг тэмдэглэж байна:

Зэрэгцээ шулуун (эсвэл нэг шулуун дээр) байрлах векторуудын хувьд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байдаг нь мэдэгдэж байна, өөрөөр хэлбэл:

- бид харгалзах координатын харьцааны тэгш байдлыг бичнэ.

Жишээ авч үзье:

(2;5) ба (7:3) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Та өөрөө шугам барьж чадахгүй. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Харьцааг гаргахдаа захидал харилцааг барьж авах нь чухал юм. Хэрэв та дараах зүйлийг бичвэл буруу явж чадахгүй.

Хариулт: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Үүссэн тэгшитгэл зөв олдсон эсэхийг шалгахын тулд үүнийг шалгахаа мартуузай - өгөгдлийн координатыг цэгүүдийн нөхцөлд орлуулна уу. Та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.

Тэгээд л болоо. Энэ материал танд хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна.

Хүндэтгэсэн, Александр.

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Шулуун шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдийг дайруул. M 1 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y- y 1 \u003d хэлбэртэй байна. к (x - x 1), (10.6)

хаана к - одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгийг дайран өнгөрч байгаа тул энэ цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (10.6) хангах ёстой: y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 \u003d x 2 бол M 1 (x 1, y I) ба M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 \u003d y I бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг y \u003d y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь x тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг Ox тэнхлэгийг M 1 (a; 0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0; b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг шулуун шугамаар таслахыг заадаг.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Дамжуулж буй шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол өгсөн оноо Mo (x O; y o) нь өгөгдсөн тэг биш n = (A; B) векторт перпендикуляр байна.

Шулуун дээр дурын M(x; y) цэгийг аваад M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: өөрөөр хэлбэл,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг нэрлэнэ дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл өгсөн онооөгөгдсөн вектортой перпендикуляр .

Шугаманд перпендикуляр n = (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

(10.8) тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C \u003d -Ax o - Vu o - чөлөөт гишүүн. Тэгшитгэл (10.9) шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
шулуун өнгөрөх цэгийн координат ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. Тэгээд фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол утга юм
, голомтын хоорондох зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Үхрийн тэнхлэг дээр байрладаг, гарал үүсэл нь голомтуудын дунд байдаг эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа гол хагас тэнхлэгийн урт;б нь бага хагас тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

"Геометрийн алгоритмууд" цувралын хичээл

Сайн байна уу эрхэм уншигч!

Өнөөдөр бид геометртэй холбоотой алгоритмуудыг сурч эхэлнэ. Тооцооллын геометртэй холбоотой компьютерийн шинжлэх ухаанд олимпиадын олон асуудал байдаг бөгөөд ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг.

Хэд хэдэн хичээлээр бид тооцооллын геометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн дэд бодлогыг авч үзэх болно.

Энэ хичээлээр бид програм бичих болно шулуун шугамын тэгшитгэлийг олохөгөгдсөнөөр дамжин өнгөрөх хоёр цэг. Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тооцооллын геометрийн талаар тодорхой мэдлэгтэй байх шаардлагатай. Бид хичээлийнхээ нэг хэсгийг тэдэнтэй танилцахад зориулах болно.

Тооцооллын геометрийн мэдээлэл

Тооцооллын геометр нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг судалдаг компьютерийн шинжлэх ухааны салбар юм.

Ийм асуудлын анхны өгөгдөл нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц, сегментийн багц, олон өнцөгт (жишээлбэл, оройнуудын жагсаалтыг цагийн зүүний дагуу дарааллаар өгсөн) гэх мэт байж болно.

Үр дүн нь аль нэг асуултын хариулт (жишээ нь нэг цэгт хамаарах уу, хоёр сегмент огтлолцож байна уу, ... гэх мэт) эсвэл геометрийн объект (жишээлбэл, өгөгдсөн цэгүүдийг холбосон хамгийн жижиг гүдгэр олон өнцөгт, талбайн хэмжээ) байж болно. олон өнцөгт гэх мэт).

Тооцооллын геометрийн асуудлыг бид зөвхөн хавтгай дээр, зөвхөн декартын координатын системд авч үзэх болно.

Вектор ба координат

Тооцооллын геометрийн аргыг хэрэглэхийн тулд геометрийн дүрсийг тооны хэл рүү хөрвүүлэх шаардлагатай. Хавтгай дээр цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг гэж нэрлэдэг декартын координатын систем өгөгдсөн гэж бид таамаглаж байна.

Одоо геометрийн объектууд аналитик илэрхийллийг хүлээн авдаг. Тиймээс цэгийг тогтоохын тулд түүний координатыг зааж өгөхөд хангалттай: хос тоо (x; y). Сегментийг төгсгөлийнх нь координатыг зааж өгч, шулуун шугамыг хос цэгийн координатыг зааж өгч болно.

Гэхдээ асуудлыг шийдэх гол хэрэгсэл нь векторууд байх болно. Тиймээс тэдний талаарх зарим мэдээллийг танд сануулъя.

Хэсэг AB, ямар нэг санаа байна ГЭХДЭЭэхлэл (хэрэглэх цэг), цэгийг авч үзсэн IN- төгсгөлийг вектор гэж нэрлэдэг ABболон аль нэгийг нь, эсвэл тодоор тэмдэглэнэ жижиг үсэг, Жишээлбэл гэхдээ .

Векторын уртыг (өөрөөр хэлбэл харгалзах сегментийн урт) тэмдэглэхийн тулд бид модулийн тэмдгийг ашиглана (жишээлбэл, ).

Дурын вектор нь түүний төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатын зөрүүтэй тэнцүү координаттай байна:

,

энд цэгүүд АТэгээд Б координаттай байна тус тус.

Тооцооллын хувьд бид ойлголтыг ашиглах болно чиглэсэн өнцөг, өөрөөр хэлбэл векторуудын харьцангуй байрлалыг харгалзан үзсэн өнцөг.

Векторуудын хооронд чиглэсэн өнцөг а Тэгээд б эргэлт нь вектороос хол байвал эерэг а вектор руу б эерэг чиглэлд (цагийн зүүний эсрэг) хийгддэг ба нөгөө тохиолдолд сөрөг байна. Зураг 1а, зураг 1б-г үзнэ үү. Мөн хос вектор гэж хэлдэг а Тэгээд б эерэг (сөрөг) чиглэсэн.

Тиймээс чиглүүлсэн өнцгийн утга нь векторуудыг тоолох дарааллаас хамаардаг бөгөөд интервал дахь утгыг авч болно.

Тооцооллын геометрийн олон асуудалд векторуудын вектор (хашуу эсвэл псевдоскаляр) бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг ашигладаг.

a ба b векторуудын вектор үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэр юм.

.

Координат дахь векторуудын вектор үржвэр:

Баруун талын илэрхийлэл нь хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч юм:

Аналитик геометрийн тодорхойлолтоос ялгаатай нь энэ нь скаляр юм.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тэмдэг нь бие биентэйгээ харьцуулахад векторуудын байрлалыг тодорхойлдог.

а Тэгээд б эерэг хандлагатай.

Хэрэв утга нь бол векторын хос болно а Тэгээд б сөрөг хандлагатай.

Тэг биш векторуудын хөндлөн үржвэр нь зөвхөн, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал тэг болно ( ). Энэ нь тэд нэг шугам дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байна гэсэн үг юм.

Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим энгийн даалгавруудыг авч үзье.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хоёр цэгийн координатаар тодорхойлъё.

Хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын координатаар нь өгөгдсөн тэгшитгэл.

Шулуун дээр координаттай (x1;y1) ба координаттай (x2; y2) хоёр давхцахгүй цэг өгье. Үүний дагуу эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байгаа вектор нь координаттай (x2-x1, y2-y1) байна. Хэрэв P(x, y) нь манай шулуун дээрх дурын цэг бол векторын координат нь (x-x1, y - y1) болно.

Хөндлөн үржвэрийн тусламжтайгаар векторуудын коллинеар байх нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тэдгээр. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Тиймээс шулуун шугамыг (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгч болно.

Даалгавар 1. Хоёр цэгийн координатыг өгөв. Түүний дүрслэлийг ax + by + c = 0 хэлбэрээр ол.

Энэ хичээлээр бид тооцооллын геометрийн зарим мэдээлэлтэй танилцсан. Бид хоёр цэгийн координатаар шулууны тэгшитгэлийг олох асуудлыг шийдсэн.

Дараагийн хичээлээр бид тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг олох програм бичнэ.

Энэ нийтлэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн сэдвийг үргэлжлүүлж байна: ийм төрлийн тэгшитгэлийг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж үзье. Теоремыг тодорхойлж, түүний баталгааг өгье; Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий тэгшитгэлээс шулуун шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжихийг олж мэдье. Бид онолыг бүхэлд нь зураг чимэглэл, практик асуудлыг шийдвэрлэх замаар нэгтгэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгш өнцөгт координатын системийг O x y хавтгай дээр өгье.

Теорем 1

A x + B y + C \u003d 0 хэлбэртэй, A, B, C нь зарим бодит тоо (A, B зэрэг тэгтэй тэнцүү биш) хэлбэртэй, нэгдүгээр зэргийн аливаа тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог. хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем. Хариуд нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шугамыг A, B, C утгуудын тодорхой багцын хувьд A x + B y + C = 0 хэлбэртэй тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Баталгаа

Энэ теорем нь хоёр цэгээс бүрдэх бөгөөд бид тус бүрийг батлах болно.

1. A x + B y + C = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулууныг тодорхойлж байгааг баталцгаая.

Координатууд нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирох M 0 (x 0 , y 0) цэг байг. Тиймээс: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасвал бид A шиг харагдах шинэ тэгшитгэлийг авна. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Энэ нь A x + B y + C = 0-тэй тэнцүү байна.

Үүссэн тэгшитгэл A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x) векторуудын перпендикуляр байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм. 0, y - y 0 ). Тиймээс M (x, y) цэгүүдийн олонлог нь тэгш өнцөгт координатын системд векторын чиглэлд перпендикуляр шулуун шугамыг тодорхойлдог n → = (A, B) . Энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж болно, гэхдээ дараа нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд перпендикуляр биш, тэгш байдал A (x -) байх болно. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 нь үнэн биш байх болно.

Тиймээс A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх тодорхой шугамыг тодорхойлдог тул A x + B y + C \u003d 0 тэнцүү тэгшитгэлийг тодорхойлдог. ижил мөрийг тодорхойлдог. Ингээд бид теоремын эхний хэсгийг нотолсон.

1. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шулуун шугамыг A x + B y + C = 0 1-р зэргийн тэгшитгэлээр баталъя.

Хавтгай дээр тэгш өнцөгт координатын системд шулуун а шугамыг тогтооцгооё; цэг M 0 (x 0 , y 0) энэ шугам өнгөрөх, түүнчлэн энэ шугамын хэвийн вектор n → = (A , B) .

Мөн шугамын хөвөгч цэг болох M (x, y) цэг байг. Энэ тохиолдолд n → = (A , B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд хоорондоо перпендикуляр байх ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэг болно.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 тэгшитгэлийг дахин бичиж, C: C = - A x 0 - B y 0 -ийг тодорхойлж, эцэст нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлийг авъя.

Ингээд бид теоремын хоёр дахь хэсгийг баталж, бүхэл бүтэн теоремыг баталлаа.

Тодорхойлолт 1

Ийм харагдах тэгшитгэл A x + B y + C = 0 - энэ шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрO xy.

Батлагдсан теорем дээр үндэслэн бид тэгш өнцөгт координатын тогтмол систем дэх хавтгай дээр өгөгдсөн шулуун шугам ба түүний ерөнхий тэгшитгэл нь салшгүй холбоотой гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, анхны шугам нь түүний ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна; шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай тохирч байна.

Мөн x ба y хувьсагчийн А ба В коэффициент нь шулуун шугамын хэвийн векторын координат болох нь теоремын баталгаанаас гарах бөгөөд үүнийг A x + B y + шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр олно. C = 0.

Санаж үз тодорхой жишээшулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамд тохирох 2 x + 3 y - 2 = 0 тэгшитгэлийг өгье. Энэ шугамын хэвийн вектор нь вектор юм n → = (2, 3) . Зураг дээр өгөгдсөн шулуун шугамыг зур.

Дараахь зүйлийг мөн маргаж болно: зураг дээр бидний харж буй шулуун шугамыг 2 x + 3 y - 2 = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно, учир нь өгөгдсөн шулуун шугамын бүх цэгүүдийн координатууд энэ тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Ерөнхий шулуун тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр λ тоогоор үржүүлснээр λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 тэгшитгэлийг авч болно. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцүү тул хавтгай дээрх ижил шугамыг дүрслэх болно.

Тодорхойлолт 2

Шулуун шугамын бүрэн ерөнхий тэгшитгэл- A x + B y + C \u003d 0 шугамын ийм ерөнхий тэгшитгэл, үүнд A, B, C тоонууд тэгээс ялгаатай байна. Үгүй бол тэгшитгэл нь байна бүрэн бус.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн бүх хувилбаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

1. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 үед ерөнхий тэгшитгэл нь B y + C \u003d 0 болно. Ийм бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь тэгш өнцөгт координатын системийн O x y шулуун шугамыг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь O x тэнхлэгтэй параллель байх болно, учир нь x-ийн аливаа бодит утгын хувьд у хувьсагч нь утгыг авна. - С Б. Өөрөөр хэлбэл, A x + B y + C \u003d 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A \u003d 0, B ≠ 0 байх үед координат нь ижил тоотой тэнцүү (x, y) цэгүүдийн байршлыг тодорхойлдог. - С Б.
2. Хэрэв A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 бол ерөнхий тэгшитгэл нь y \u003d 0 болно. Ийм бүрэн бус тэгшитгэл нь x тэнхлэгийг тодорхойлдог O x .
3. A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 байх үед бид бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл A x + C \u003d 0 болж, у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлно.
4. A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, тэгвэл бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь x \u003d 0 хэлбэрийг авах бөгөөд энэ нь координатын шугамын O y-ийн тэгшитгэл юм.
5. Эцэст нь A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 байх үед бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y \u003d 0 хэлбэртэй болно. Мөн энэ тэгшитгэл нь эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг дүрсэлдэг. Үнэн хэрэгтээ (0, 0) хос тоо нь A x + B y = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул A · 0 + B · 0 = 0 байна.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн дээрх бүх төрлийг графикаар дүрсэлцгээе.

Жишээ 1

Өгөгдсөн шулуун нь у тэнхлэгтэй параллель байх ба 2 7 , - 11 цэгийг дайран өнгөрөх нь мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

У тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг A x + C \u003d 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн бөгөөд A ≠ 0 байна. Нөхцөл нь мөн шугам өнгөрөх цэгийн координатыг зааж өгсөн бөгөөд энэ цэгийн координат нь бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн нөхцөлтэй тохирч байна A x + C = 0 , өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал зөв:

A 2 7 + C = 0

Үүнээс А-г тэгээс бусад утгыг өгснөөр С-г тодорхойлох боломжтой, жишээлбэл, A = 7. Энэ тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Бид A ба C коэффициентийг хоёуланг нь мэдэж, тэдгээрийг A x + C = 0 тэгшитгэлд орлуулж, шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг авна уу: 7 x - 2 = 0

Хариулт: 7 x - 2 = 0

Жишээ 2

Зураг нь шулуун шугамыг харуулсан тул түүний тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн зураг нь асуудлыг шийдвэрлэх анхны өгөгдлийг хялбархан авах боломжийг бидэнд олгодог. Өгөгдсөн шугам нь O x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (0 , 3) ​​цэгээр дамжин өнгөрч байгааг бид зураг дээрээс харж байна.

Абсциссатай параллель шулуун шугамыг бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно B y + С = 0. B ба C-ийн утгыг ол. (0, 3) цэгийн координатууд нь өгөгдсөн шулуун шугамыг дайран өнгөрч байгаа тул B y + С = 0 шулуун шугамын тэгшитгэлийг хангана, тэгвэл тэгшитгэл хүчинтэй болно: В · 3 + С = 0. В-г тэгээс өөр утгыг тохируулъя. B \u003d 1 гэж үзье, энэ тохиолдолд B · 3 + C \u003d 0 тэгшитгэлээс бид C: C \u003d - 3-ийг олж болно. Бидний хэрэглэдэг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ B ба C, бид шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна: y - 3 = 0.

Хариулт: y - 3 = 0.

Хавтгайн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл

Өгөгдсөн шугамыг M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжин өнгөрвөл түүний координатууд нь шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн: A x 0 + B y 0 + C = 0. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг ерөнхий зүүн ба баруун талаас хас бүрэн тэгшитгэлЧигээрээ. Бид дараахь зүйлийг авна: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, энэ тэгшитгэл нь анхны ерөнхийтэй тэнцүү, M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамждаг ба хэвийн вектор n → \u003d (A, B) .

Бидний олж авсан үр дүн нь шулуун шугамын хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон энэ шулуун шугамын тодорхой цэгийн координатуудын хувьд шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой болгож байна.

Жишээ 3

Шугаман өнгөрөх M 0 (- 3, 4) цэг ба энэ шугамын хэвийн вектор өгөгдсөн. n → = (1 , - 2) . Өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай өгөгдлийг олж авах боломжийг олгодог: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Дараа нь:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 у (у - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 у + 22 = 0

Асуудлыг өөрөөр шийдэж болох байсан. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y + C = 0 хэлбэртэй байна. Өгөгдсөн хэвийн вектор нь A ба B коэффициентүүдийн утгыг авах боломжийг танд олгоно, дараа нь:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Одоо шулуун шугам өнгөрөх бодлогын нөхцөлөөр өгөгдсөн M 0 (- 3, 4) цэгийг ашиглан С-ийн утгыг олъё. Энэ цэгийн координатууд нь x - 2 · y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Тиймээс C = 11. Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x - 2 · y + 11 = 0 .

Хариулт: x - 2 y + 11 = 0.

Жишээ 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 шулуун ба энэ шулуун дээр байрлах M 0 цэг өгөгдсөн. Зөвхөн энэ цэгийн абсцисс нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь - 3-тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн цэгийн ординатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

M 0 цэгийн координатын тэмдэглэгээг x 0 ба y 0 гэж тохируулъя. Анхны өгөгдөл нь x 0 \u003d - 3 гэдгийг харуулж байна. Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна. Дараа нь дараахь тэгш байдал үнэн болно.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ийг тодорхойлох: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Хариулт: - 5 2

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс шулуун шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү шилжих ба эсрэгээр

Бидний мэдэж байгаагаар хавтгайд ижил шулуун шугамын тэгшитгэлийн хэд хэдэн төрөл байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг сонгох нь асуудлын нөхцлөөс хамаарна; түүний шийдэлд илүү тохиромжтойг нь сонгох боломжтой. Энд нэг төрлийн тэгшитгэлийг өөр төрлийн тэгшитгэл болгон хувиргах ур чадвар маш их хэрэг болдог.

Эхлэхийн тулд A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлээс x - x 1 a x = y - y 1 a y каноник тэгшитгэл рүү шилжихийг авч үзье.

Хэрэв A ≠ 0 бол ерөнхий тэгшитгэлийн баруун талд B y нэр томъёог шилжүүлнэ. Зүүн талд бид А-г хаалтнаас гаргаж авдаг. Үүний үр дүнд бид: A x + C A = - B y болно.

Энэ тэгшитгэлийг пропорциональ байдлаар бичиж болно: x + C A - B = y A .

Хэрэв B ≠ 0 байвал ерөнхий тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн A x гэсэн нэр томъёог үлдээж, бусдыг баруун тал руу шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна: A x \u003d - B y - C. Бид хаалтнаас - B-г гаргаж аваад: A x \u003d - B y + C B.

Тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар дахин бичье: x - B = y + C B A .

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник руу шилжих үед үйлдлийн алгоритмыг мэдэхэд хангалттай.

Жишээ 5

3 y - 4 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв. Үүнийг каноник тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

Бид анхны тэгшитгэлийг 3 y - 4 = 0 гэж бичнэ. Дараа нь бид алгоритмын дагуу ажилладаг: 0 x гэсэн нэр томъёо зүүн талд үлддэг; баруун талд нь бид хаалтнаас 3-ыг гаргаж авдаг; Бид дараахийг авна: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Үүссэн тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар бичье: x - 3 = y - 4 3 0 . Тиймээс бид каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хариулт: x - 3 = y - 4 3 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг параметрт шилжүүлэхийн тулд эхлээд каноник хэлбэрт, дараа нь каноник тэгшитгэлпараметрийн тэгшитгэл рүү шууд .

Жишээ 6

Шулуун шугамыг 2 x - 5 y - 1 = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Одоо үүссэн каноник тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг λ-тэй тэнцүү авч үзье, тэгвэл:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Хариулт:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ерөнхий тэгшитгэлийг y \u003d k x + b налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргаж болно, гэхдээ зөвхөн B ≠ 0 үед л. Зүүн талын шилжилтийн хувьд бид B y нэр томъёог орхиж, үлдсэн хэсэг нь баруун тийш шилждэг. Бид дараахийг авна: B y = - A x - C . Үүссэн тэгш байдлын хоёр хэсгийг тэгээс ялгаатай B -д хуваая: y = - A B x - C B .

Жишээ 7

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн: 2 x + 7 y = 0 . Та энэ тэгшитгэлийг налуугийн тэгшитгэл болгон хувиргах хэрэгтэй.

Шийдэл

Үйлдвэрлэе шаардлагатай арга хэмжээалгоритмын дагуу:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Хариулт: y = - 2 7 x .

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс x a + y b \u003d 1 хэлбэрийн сегмент дэх тэгшитгэлийг авахад хангалттай. Ийм шилжилтийг хийхийн тулд бид C тоог тэгш байдлын баруун талд шилжүүлж, үүссэн тэгш байдлын хоёр хэсгийг - С-ээр хувааж, эцэст нь x ба y хувьсагчдын коэффициентийг хуваагч руу шилжүүлнэ.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Жишээ 8

x - 7 y + 1 2 = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

1 2-ыг баруун тийш шилжүүлье: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Тэгшитгэлийн хоёр талыг -1/2-оор хуваана: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Хариулт: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ерөнхийдөө урвуу шилжилт нь бас хялбар байдаг: бусад төрлийн тэгшитгэлээс ерөнхийд шилжих.

Хэсэгт шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуутай тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бүх гишүүнийг цуглуулснаар амархан ерөнхий хэлбэрт шилжүүлж болно.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Дараах схемийн дагуу каноник тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт шилжүүлнэ.

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Параметрээс шилжихийн тулд эхлээд каноник руу, дараа нь ерөнхий рүү шилжих болно.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Жишээ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг өгөв. Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Параметр тэгшитгэлээс каноник руу шилжих шилжилтийг хийцгээе.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Каноникоос ерөнхий рүү шилжье:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ у - 4 = 0

Хариулт: y - 4 = 0

Жишээ 10

x 3 + y 1 2 = 1 хэрчмүүд дэх шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөв. руу шилжих шаардлагатай байна ерөнхий үзэлтэгшитгэл.

Шийдэл:

Тэгшитгэлийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичье.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Хариулт: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зурах

Дээр бид ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон шугам өнгөрөх цэгийн координатаар бичиж болно гэж хэлсэн. Ийм шулуун шугамыг A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Үүнтэй ижил газарт бид холбогдох жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн.

Одоо илүү ихийг харцгаая нарийн төвөгтэй жишээнүүд, үүнд эхлээд хэвийн векторын координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Жишээ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 шулуунтай параллель шугам өгөгдсөн. Мөн өгөгдсөн шугам өнгөрөх M 0 (4 , 1) цэгийг мэддэг. Өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь шугамууд параллель байгааг хэлж байгаа бол тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай шулууны хэвийн векторын хувьд n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y шулууны чиглүүлэх векторыг авна. + 3 3 = 0. Одоо бид шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай бүх өгөгдлийг мэдэж байна.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 у - 5 = 0

Хариулт: 2 х - 3 у - 5 = 0.

Жишээ 12

Өгөгдсөн шулуун нь x - 2 3 = y + 4 5 шулуунтай перпендикуляр эхийн эхийг дайран өнгөрдөг. Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн шугамын хэвийн вектор нь х - 2 3 = у + 4 5 шугамын чиглүүлэх вектор байх болно.

Дараа нь n → = (3 , 5) . Шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг, өөрөөр хэлбэл. O цэгээр (0, 0) . Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулъя.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 у = 0

Хариулах: 3 x + 5 y = 0.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд:

мөн хэрэв C= 0, тэгшитгэл (2) нь хэлбэртэй байна

Сүх + By = 0,

ба энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь эхийн координатаас хойш эхийг дайран өнгөрдөг х = 0, y= 0 нь энэ тэгшитгэлийг хангана.

б) Хэрэв орсон бол ерөнхий тэгшитгэлшулуун (2) Б= 0 бол тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Сүх + FROM= 0, эсвэл .

Тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй y, мөн энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө.

c) Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд (2) А= 0 бол энэ тэгшитгэл хэлбэрийг авна

By + FROM= 0, эсвэл ;

тэгшитгэл нь хувьсагч агуулаагүй х, түүгээр тодорхойлогдсон шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Үхэр.

Үүнийг санаж байх хэрэгтэй: хэрэв шулуун шугам нь ямар ч координатын тэнхлэгтэй параллель байвал түүний тэгшитгэл нь энэ тэнхлэгтэй ижил нэртэй координатыг агуулсан нэр томъёог агуулаагүй болно.

г) Хэзээ C= 0 ба А= 0 тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна By= 0, эсвэл y = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Үхэр.

д) Хэзээ C= 0 ба Б= 0 тэгшитгэлийг (2) хэлбэрээр бичиж болно Сүх= 0 эсвэл х = 0.

Энэ бол тэнхлэгийн тэгшитгэл юм Өө.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт. Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг. Зэрэгцээ шугамын нөхцөл. Шугамын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 S 1 ба S 2 векторуудыг шугамын чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.

l 1 ба l 2 шугамуудын хоорондох өнцгийг чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.
Теорем 1: cos өнцөг l 1 ба l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Теорем 2: 2 мөр тэнцүү байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

Теорем 3:Ингэснээр 2 шугам перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Онгоцны ерөнхий тэгшитгэл ба түүний онцгой тохиолдлууд. Сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл.

Ерөнхий хавтгай тэгшитгэл:

Ax + By + Cz + D = 0

Онцгой тохиолдлууд:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - онгоц эхийг дайран өнгөрнө

2. С=0 Ax+By+D = 0 – хавтгай || унц

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – хавтгай || Өө

4. A=0 By+Cz+D = 0 – хавтгай || ҮХЭР

5. A=0 ба D=0 By+Cz = 0 - онгоц OX-ээр дамжин өнгөрнө

6. B=0 ба D=0 Ax+Cz = 0 - онгоц OY-ээр дамжин өнгөрнө

7. C=0 ба D=0 Ax+By = 0 - онгоц OZ-ээр дамжин өнгөрнө

Орон зайд хавтгай ба шулуун шугамуудын харилцан зохицуулалт:

1. Орон зайн шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцгөөр тодорхойлно.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Шугамын чиглэлийн вектор ба хавтгайн хэвийн векторын хоорондох өнцгийн нүгэлээр дамжуулан шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн косинусыг олж болно.

4. 2 мөр || сансарт тэдний || вектор хөтөч

5. 2 онгоц || хэзээ || хэвийн векторууд

6. Шугаман ба хавтгайн перпендикуляр байдлын тухай ойлголтыг ижил төстэй байдлаар оруулсан болно.

Асуулт №14

Янз бүрийн төрлүүдхавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл (хэсэгт шулуун шугамын тэгшитгэл, налуу гэх мэт)

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - шулуун шугам нь гарал үүслээр дамждаг.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. дотор \u003d 0 Axe + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Сүх \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл:

У тэнхлэгтэй тэнцүү биш аливаа шулуун шугамыг (B биш = 0) дараах байдлаар бичиж болно. хэлбэр:

k = tgα α нь шулуун ба эерэг чиглэсэн ОХ шугамын хоорондох өнцөг юм

b - OS тэнхлэгтэй шулуун шугамын огтлолцлын цэг

Баримт бичиг:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: Б

Хоёр цэг дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Асуулт №16

Цэг дэх функцийн төгсгөлийн хязгаар ба x→∞-ийн хувьд

x 0 цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог x → x 0-ийн хувьд y \u003d f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг, хэрэв ямар ч E > 0-ийн хувьд b > 0 байвал x ≠ x 0-ийн хувьд |x - x 0 тэгш бус байдлыг хангадаг. |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

+∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог х-ийн y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ → + ∞ , хэрэв ямар нэг E > 0-ийн хувьд C > 0 байгаа тул x > C-ийн хувьд |f(x) - A|< Е

Хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв: = A

-∞ цэг дээрх төгсгөлийн хязгаар:

А тоог y = f(x) функцийн хязгаар гэнэ x→-∞,хэрэв ямар нэг E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е