Зуувангийн голомтуудын координатууд. Эллипсийн каноник тэгшитгэл. Эллипсийн хагас тэнхлэгүүд. Канон тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол эллипс байгуулах
Зууван гэдэг нь хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал, тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр F_1, F_2 нь тогтмол утга (2a) бөгөөд эдгээрийн хоорондох зайнаас (2c) их байна. оноо өгсөн(Зураг 3.36, а). Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг эллипсийн фокусын шинж чанар.
Зуувангийн фокусын шинж чанар
F_1 ба F_2 цэгүүдийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 2c=F_1F_2 нь фокусын урт, F_1F_2 сегментийн дунд цэг O нь эллипсийн төв, 2a тоо нь эллипсийн гол тэнхлэгийн урт юм. эллипс (тус тусад нь a тоо нь эллипсийн гол хагас тэнхлэг юм). Зуувангийн дурын М цэгийг голомтууд нь холбосон F_1M ба F_2M хэрчмүүдийг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Зуувангийн хоёр цэгийг холбосон шугамыг эллипсийн хөвч гэж нэрлэдэг.
e=\frac(c)(a) харьцааг эллипсийн эксцентриситет гэнэ. Тодорхойлолтоос (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Зуйвангийн геометрийн тодорхойлолт, түүний фокусын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - эллипсийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам:
Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.36, в). Эллипсийн төв О-г координатын системийн эхлэл гэж авна; голомтоор дайран өнгөрөх шулуун шугамыг (фокусын тэнхлэг эсвэл эллипсийн эхний тэнхлэг) бид абсцисса тэнхлэг болгон авна (үүн дээрх эерэг чиглэлийг F_1 цэгээс F_2 цэг хүртэл); фокусын тэнхлэгт перпендикуляр, эллипсийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг (зуувангийн хоёр дахь тэнхлэг) y тэнхлэгээр авна (у тэнхлэг дээрх чиглэлийг сонгосон тул тэгш өнцөгт координатын систем Oxy зөв байна). ).
Фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийг томъёолъё. Сонгосон координатын системд бид голомтын координатыг тодорхойлно F_1(-c,0),~F_2(c,0). Зуувант хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Энэ тэгш байдлыг координат хэлбэрээр бичвэл бид дараахь зүйлийг авна.
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Бид хоёр дахь радикалыг баруун тал руу шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, ижил төстэй нөхцөлийг өгнө.
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((xc)^2+y^2)+(xc)^2+y^2~\Зүүн баруун сум ~4a\sqrt((xc) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-т хуваахдаа тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно.
a^2(xc)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Зүүн баруун сум~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Тэмдэглэх b=\sqrt(a^2-c^2)>0, бид авдаг b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Хоёр хэсгийг хоёуланг нь a^2b^2\ne0-д хувааснаар бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ.
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Тиймээс сонгосон координатын систем нь каноник юм.
Хэрэв эллипсийн голомтууд давхцаж байвал a=b тул эллипс нь тойрог болно (Зураг 3.36.6). Энэ тохиолдолд цэг дээрх гарал үүсэлтэй аливаа тэгш өнцөгт координатын систем O\equiv F_1\equiv F_2, мөн x^2+y^2=a^2 тэгшитгэл нь О төвтэй, a радиустай тойргийн тэгшитгэл юм.
Буцаж тайлбарласнаар координатууд нь (3.49) тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгүүд зөвхөн эллипс гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд хамаардаг болохыг харуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, эллипсийн аналитик тодорхойлолт нь эллипсийн фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолттой тэнцүү байна.
Зууван зургийн лавлах шинж чанар
Каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгтэй параллель, түүнээс ижил \frac(a^2)(c) зайд өнгөрөх хоёр шулууныг эллипсийн чиглүүлэлтүүд гэнэ. c=0-ийн хувьд эллипс нь тойрог байх үед ямар ч директрикс байхгүй (бид чиглүүлэлтүүд хязгааргүй хасагдсан гэж үзэж болно).
0 хазгайтай эллипс
Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, фокус F_2 ба Directrix d_2 (Зураг 3.37.6) нөхцөл \frac(r_2)(\rho_2)=eкоординат хэлбэрээр бичиж болно:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\баруун)
Ухаангүй байдлаас ангижрах, солих e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ (3.49). Фокус F_1 ба чиглүүлэлтийн хувьд ижил төстэй үндэслэлийг хийж болно d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Туйлын координат дахь эллипсийн тэгшитгэл
F_1r\varphi (Зураг 3.37,c ба 3.37(2)) туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
Энд p=\frac(b^2)(a) нь эллипсийн фокусын параметр юм.
Үнэхээр туйлын координатын системийн туйлаар эллипсийн зүүн фокус F_1, туйлын тэнхлэгээр F_1F_2 туяаг сонгоцгооё (Зураг 3.37, в). Дараа нь дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд эллипсийн геометрийн тодорхойлолтын (фокусын шинж чанар) дагуу бид r+MF_2=2a байна. Бид M(r,\varphi) ба F_2(2c,0) цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлнэ (харна уу):
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Тиймээс координатын хэлбэрээр F_1M+F_2M=2a эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дөрвөлжин, радикалыг тусгаарлаж, 4-т хувааж, ижил төстэй нөхцөлийг өгнө:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Зүүн баруун сум~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Бид туйлын радиусыг r илэрхийлж, орлуулалтыг хийнэ e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Зууван тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн геометрийн утга
Зууван (зураг 3.37, а-г үз) координатын тэнхлэгүүдтэй (zllips-ийн орой) огтлолцох цэгүүдийг олцгооё. Тэгшитгэлд y=0 гэж орлуулснаар эллипсийн абсцисса тэнхлэгтэй (фокусын тэнхлэгтэй) огтлолцох цэгүүдийг олно: x=\pm a . Тиймээс эллипс доторх фокусын тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2a-тай тэнцүү байна. Энэ сегментийг дээр дурдсанчлан эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд a тоо нь эллипсийн гол хагас тэнхлэг юм. x=0-г орлуулахад y=\pm b болно. Иймд эллипсийн дотор хаалттай эллипсийн хоёр дахь тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2b-тэй тэнцүү байна. Энэ сегментийг эллипсийн бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба b тоог эллипсийн бага хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Үнэхээр, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, мөн b=a тэгшитгэл нь зөвхөн эллипс тойрог байх үед c=0 тохиолдолд л гарна. Хандлага k=\frac(b)(a)\leqslant1эллипсийн агшилтын коэффициент гэж нэрлэдэг.
Тайлбар 3.9
1. x=\pm a,~y=\pm b шулуунууд нь эллипс байрлах координатын хавтгай дээрх үндсэн тэгш өнцөгтийг хязгаарладаг (3.37, а-г үз).
2. Зууван хэлбэрийг дараах байдлаар тодорхойлж болно тойргийг диаметртэй нь ойртуулах замаар олж авсан цэгүүдийн байрлал.
Үнэн хэрэгтээ тэгш өнцөгт координатын Oxy системд тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=a^2 хэлбэртэй байна. 0-ийн коэффициенттэй x тэнхлэгт шахагдсан үед \эхлэх(тохиолдлууд)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(тохиолдлууд) Тойргийн тэгшитгэлд x=x" ба y=\frac(1)(k)y"-г орлуулснаар M(x) цэгийн M"(x",y") зургийн координатын тэгшитгэлийг олж авна. ,y): (x")^2+(\зүүн(\frac(1)(k)\cdot y"\баруун)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} Учир нь b=k\cdot a . Энэ бол эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. 3. Координатын тэнхлэгүүд (каноник координатын системийн) нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд (зуувангийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг) бөгөөд түүний төв нь тэгш хэмийн төв юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M(x,y) цэг нь эллипсэд хамаарна. тэгвэл координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) ба M""(-x,y) цэгүүд мөн адил эллипсэд хамаарна. 4. Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэлээс r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Зураг 3.37, в-ийг үзнэ үү), фокусын параметрийн геометрийн утгыг тодруулсан - энэ нь фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусыг дамжин өнгөрөх эллипсийн хөвчний хагасын урт юм (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Хачирхалтай e нь эллипсийн хэлбэр, тухайлбал эллипс ба тойргийн хоорондох ялгааг тодорхойлдог. e нь том байх тусам эллипс уртасч, е тэг рүү ойртох тусам эллипс тойрогт ойртоно (Зураг 3.38, а). Үнэн хэрэгтээ, e=\frac(c)(a) ба c^2=a^2-b^2 гэж үзвэл бид олж авна. e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\баруун )\^2=1-k^2,
!} Энд k нь эллипсийн агшилтын коэффициент, 0 6. Тэгшитгэл \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1төлөө a 7. Тэгшитгэл \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bО "(x_0, y_0) цэг дээр төвлөрсөн эллипсийг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байна (Зураг 3.38, в). Энэ тэгшитгэлийг параллель орчуулгыг ашиглан каноник болгон бууруулсан (3.36). a=b=R хувьд тэгшитгэл (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2О цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойргийг дүрсэлдэг"(x_0,y_0) . Эллипсийн параметрийн тэгшитгэлканоник координатын системд хэлбэртэй байна \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(тохиолдол)0\leqslant t<2\pi.
Үнэн хэрэгтээ, эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (3.49) болгон орлуулснаар бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдалд хүрнэ. \cos^2t+\sin^2t=1. Жишээ 3.20.эллипс зурах \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1каноник координатын системд Окси . Хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазгай байдал, харьцаа, фокусын параметр, директрисын тэгшитгэлийг ол. Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлийг каноник тэгшитгэлтэй харьцуулахдаа хагас тэнхлэгүүдийг тодорхойлно: a=2 - гол хагас тэнхлэг, b=1 - эллипсийн жижиг хагас тэнхлэг. Бид 2a=4,~2b=2 талуудтай үндсэн тэгш өнцөгтийг гарал үүслийн цэг дээр төвлөрсөн байдлаар байгуулна (Зураг 3.39). Эллипсийн тэгш хэмийг харгалзан бид үүнийг үндсэн тэгш өнцөгт рүү оруулна. Шаардлагатай бол эллипсийн зарим цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, x=1-ийг эллипс тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв y^2=\frac(3)(4) \дөрөв \Зүүн баруун сум \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Тиймээс координаттай цэгүүд \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\баруун)- зуйван хэлбэртэй. Шахалтын харьцааг тооцоол k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); фокусын урт 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); хазгай байдал e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); фокусын параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Бид директорын тэгшитгэлийг бүтээдэг: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Зүүн баруун сум~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна a нь хагас гол тэнхлэг; b - бага хагас тэнхлэг. F1(c,0) ба F2(-c,0) − c цэгүүдийг дуудна a, b - эллипсийн хагас тэнхлэгүүд. Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол фокус, эксцентриситет, директрисын олох. Гиперболын тодорхойлолт. Гиперболын голомт. Тодорхойлолт. Гипербола гэдэг нь фокус гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн хоёр цэгээс холын зөрүүний модуль нь фокусын хоорондох зайнаас бага тогтмол утгатай байх хавтгай дахь цэгүүдийн багц юм. Тодорхойлолтоор |r1 – r2|= 2a. F1, F2 нь гиперболын голомт юм. F1F2 = 2c. Гиперболын каноник тэгшитгэл. Гиперболын хагас тэнхлэгүүд. Хэрэв түүний канон тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол гиперболыг байгуулах. Каноник тэгшитгэл: Гиперболын хагас гол тэнхлэг нь тэнхлэгийн эерэг ба сөрөг тал дээр (газар үүсэлтэй харьцуулахад зүүн ба баруун) гиперболын хоёр салбар хоорондын хамгийн бага зайны хагас юм. Эерэг тал дээр байрлах салбаруудын хувьд хагас тэнхлэг нь дараахтай тэнцүү байна. Хэрэв бид үүнийг конус хэсэг ба хазгайгаар илэрхийлбэл илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй болно. Хэрэв каноник тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол гиперболын фокус, эксцентриситет, директрисын олох. Гиперболын хазгай байдал Тодорхойлолт. Энэ харьцааг гиперболын эксцентриситет гэж нэрлэдэг бөгөөд энд c - голомтын хоорондох зайны хагас нь бөгөөд бодит хагас тэнхлэг юм. c2 - a2 = b2 гэдгийг харгалзан үзвэл: Хэрэв a \u003d b, e \u003d бол гиперболыг тэгш талт (тэнцүү талт) гэж нэрлэдэг. Гиперболын чиглүүлэлтүүд Тодорхойлолт. Гиперболын бодит тэнхлэгт перпендикуляр, төвөөс нь a/e зайд тэгш хэмтэй байрлалтай хоёр шугамыг гиперболын директорууд гэнэ. Тэдний тэгшитгэл нь: Теорем. Хэрэв r нь гиперболын дурын М цэгээс зарим фокус хүртэлх зай, d нь ижил цэгээс энэ фокустай харгалзах директор хүртэлх зай бол r/d харьцаа нь хазгайтай тэнцүү тогтмол утга юм. Параболын тодорхойлолт. Параболагийн фокус ба чиглүүлэлт. Парабола. Парабола гэдэг нь өгөгдсөн тогтмол цэг болон өгөгдсөн шулуунаас ижил зайтай цэгүүдийн байрлал юм. Тодорхойлолтод дурдсан цэгийг параболын фокус, шулуун шугамыг түүний чиглүүлэлт гэж нэрлэдэг. Параболагийн каноник тэгшитгэл. параболын параметр. Парабола байгуулах. Тэгш өнцөгт координатын систем дэх параболын каноник тэгшитгэл нь: (эсвэл тэнхлэгүүд урвуу байвал). p параметрийн өгөгдсөн утгад параболыг барих ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ. Параболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг зурж, түүн дээр KF=p хэрчмийг тавь; Directrix DD1 нь тэгш хэмийн тэнхлэгт перпендикуляр K цэгээр дамждаг; Параболын 0 оройг авахын тулд KF сегментийг хагасаар хуваана; Хэд хэдэн дурын цэгүүд 1, 2, 3, 5, 6 нь тэдгээрийн хооронд аажмаар нэмэгдэж буй зайг дээд талаас хэмждэг; Эдгээр цэгүүдээр дамжуулан параболын тэнхлэгт перпендикуляр туслах шугамууд татагдана; Туслах шулуун шугамууд дээр серифийг шулуун шугамаас чиглүүлэлт хүртэлх зайтай тэнцүү радиусаар хийдэг; Үүссэн цэгүүд нь гөлгөр муруйгаар холбогддог. Тодорхойлолт. Зуйван гэдэг нь хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал бөгөөд голомт гэж нэрлэгддэг энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэгээс тэдгээрийн тус бүрийн зайны нийлбэр нь тогтмол утга юм (энэ утга нь голомтын хоорондох зайнаас их байх тохиолдолд). Голомтыг тэдгээрийн хоорондох зайгаар - дамжуулан, мөн эллипсийн цэг бүрээс голомт хүртэлх зайны нийлбэртэй тэнцүү тогтмол утгыг (нөхцөлөөр) тэмдэглэе. Фокусууд нь абсцисса тэнхлэг дээр байх ба координатын эхлэл нь сегментийн дунд хэсэгтэй давхцаж байхаар декартын координатын системийг байгуулъя (Зураг 44). Дараа нь фокусууд дараах координатуудтай болно: зүүн фокус ба баруун фокус. Сонгосон координатын системд эллипсийн тэгшитгэлийг гаргая. Үүний тулд эллипсийн дурын цэгийг авч үзье. By эллипсийн тодорхойлолтЭнэ цэгээс голомт хүртэлх зайны нийлбэр нь: Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан бид олж авна. Энэ тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд бид үүнийг хэлбэрээр бичнэ Дараа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоход гарна эсвэл тодорхой хялбаршуулсаны дараа: Одоо бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дахин квадрат болгосны дараа бид дараах байдалтай болно. эсвэл ижил өөрчлөлтүүдийн дараа: Зууваныг тодорхойлох нөхцөлийн дагуу эерэг тоо байна. Бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна Дараа нь тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна. Зуувангийн тодорхойлолтоор түүний аль нэг цэгийн координат нь (26) тэгшитгэлийг хангана. Харин (29) тэгшитгэл нь (26) тэгшитгэлийн үр дагавар юм. Тиймээс эллипсийн аль ч цэгийн координатыг бас хангадаг. Зууван дээр хэвтэхгүй цэгүүдийн координатууд (29) тэгшитгэлийг хангахгүй байгааг харуулж болно. Тиймээс (29) тэгшитгэл нь эллипсийн тэгшитгэл юм. Үүнийг эллипсийн каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Эллипсийн хэлбэрийг түүний каноник тэгшитгэлийг ашиглан тогтооцгооё. Юуны өмнө, энэ тэгшитгэл нь зөвхөн x ба у-ийн тэгш хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь хэрэв аль нэг цэг нь эллипсэд хамаарах бол абсцисса тэнхлэгийг тойрсон цэгтэй тэгш хэмтэй цэг, у тэнхлэгтэй тэгш хэмтэй цэгүүд мөн багтана гэсэн үг юм. Тиймээс эллипс нь харилцан перпендикуляр тэгш хэмийн хоёр тэнхлэгтэй бөгөөд бидний сонгосон координатын системд координатын тэнхлэгүүдтэй давхцдаг. Эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийг эллипсийн тэнхлэгүүд, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг эллипсийн төв гэж нэрлэнэ. Зуувангийн голомтууд байрладаг тэнхлэгийг (энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг) фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Эхний улиралд эхлээд эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид (28) тэгшитгэлийг y-д хамааруулан шийднэ. Энд байгаа нь ойлгомжтой, учир нь y нь хувьд төсөөллийн утгыг авдаг. 0-ээс a хүртэл өсөхөд y нь b-ээс 0 хүртэл буурна.Эллипсийн эхний улиралд байрлах хэсэг нь B (0; b) цэгүүдээр хүрээлэгдсэн, координатын тэнхлэгүүд дээр байрлах нум байх болно (Зураг 45). Одоо эллипсийн тэгш хэмийг ашигласнаар бид эллипс нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна гэж дүгнэж байна. 45. Эллипсийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Зуувангийн тэгш хэмээс харахад зуйван нь оройнуудаас гадна өөр хоёр оройтой байна (45-р зургийг үз). Эллипсийн эсрэг талын оройг холбосон сегментүүд болон тэдгээрийн уртыг тус тус эллипсийн том ба бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. a ба b тоонуудыг тус тус эллипсийн том ба жижиг хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Голомтуудын хоорондох зайны хагасын эллипсийн хагас гол тэнхлэгийн харьцааг эллипсийн хазгай гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн дараах үсгээр тэмдэглэдэг. Учир нь , тэгвэл эллипсийн хазгай нэгээс бага байна: Хачирхалтай байдал нь эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ энэ нь (28) томъёоноос харагдаж байна. Эндээс харахад эллипсийн хазайлт бага байх тусам түүний жижиг хагас тэнхлэг b нь том хагас тэнхлэгээс бага ялгаатай, өөрөөр хэлбэл эллипс бага сунадаг (фокусын дагуу). тэнхлэг). Хязгаарлагдмал тохиолдолд a радиустай тойрог авах үед: , эсвэл . Үүний зэрэгцээ эллипсийн голомтууд нэг цэг дээр нийлдэг - тойргийн төв. Тойргийн хазгай нь тэг байна: Зууван ба тойрог хоорондын холболтыг өөр өнцгөөс харж болно. a ба b хагас тэнхлэгтэй эллипсийг a радиустай тойргийн проекц гэж үзэж болохыг харуулъя. Өөр хоорондоо ийм a өнцөг үүсгэсэн P ба Q хоёр хавтгайг авч үзье (Зураг 46). Бид P хавтгайд координатын системийг, Q хавтгайд Oxy системийг нийтлэг гарал үүсэлтэй O, нийтлэг абсцисса тэнхлэгийг хавтгайнуудын огтлолцлын шугамтай давхцуулж байгуулдаг. P хавтгайд тойргийг авч үзье гарал үүсэл ба радиус дээр төвлөрсөн a. Тойргийн дур зоргоороо сонгогдсон цэг, түүний Q хавтгай дээрх проекц, М цэгийн Үхрийн тэнхлэг дээрх проекц нь байг. Энэ цэг нь a ба b хагас тэнхлэгтэй эллипс дээр оршдог болохыг харуулъя. Хоёр дахь эрэмбийн муруйнуудХавтгай дээрх хувьсах координатууд нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог шугамууд гэж нэрлэгддэг хТэгээд yхоёрдугаар зэрэгт агуулагддаг. Үүнд эллипс, гипербол, парабол орно. Хоёрдахь эрэмбийн муруй тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна. хаана A, B, C, D, E, F- тоонууд ба хамгийн багадаа нэг коэффициент A, B, Cтэгтэй тэнцүү биш байна. Хоёрдахь эрэмбийн муруйтай асуудлыг шийдвэрлэхдээ эллипс, гипербол, параболын каноник тэгшитгэлийг ихэвчлэн авч үздэг. Тэдэнд ерөнхий тэгшитгэлээс шилжихэд хялбар байдаг, эллипстэй холбоотой асуудлын 1-р жишээг үүнд зориулах болно. Эллипсийн тодорхойлолт.Зуйван гэдэг нь фокус гэж нэрлэгддэг цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол бөгөөд голомтын хоорондох зайнаас их байх хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багц юм. Фокусуудыг доорх зурган дээрх шиг тэмдэглэв. Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь: хаана аТэгээд б (а > б) - хагас тэнхлэгийн урт, өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэг дээрх эллипсээр таслагдсан сегментүүдийн хагасын урт. Зуувангийн голомтоор дамжин өнгөрөх шулуун шугам нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Эллипсийн өөр нэг тэгш хэмийн тэнхлэг нь энэ сегменттэй перпендикуляр сегментийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Цэг ТУХАЙЭдгээр шугамын огтлолцол нь эллипсийн тэгш хэмийн төв буюу зүгээр л эллипсийн төв болдог. Эллипсийн абсцисса тэнхлэг нь цэгүүдээр огтлолцдог ( а, ТУХАЙ) ба (- а, ТУХАЙ), y тэнхлэг нь ( цэгүүд дээр байна) б, ТУХАЙ) ба (- б, ТУХАЙ). Эдгээр дөрвөн цэгийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Абсцисса тэнхлэг дээрх эллипсийн оройн хоорондох сегментийг түүний гол тэнхлэг, ордны тэнхлэгийг бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэдний эллипсийн дээд хэсгээс төв хүртэлх хэсгүүдийг хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Хэрэв а = б, дараа нь эллипсийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна. Энэ бол радиустай тойргийн тэгшитгэл юм а, мөн тойрог нь эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Радиусын тойргоос эллипс авч болно а, хэрэв та үүнийг шахаж авбал а/бтэнхлэгийн дагуух удаа Өө
. Жишээ 1Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам байгаа эсэхийг шалгана уу Шийдэл. Бид ерөнхий тэгшитгэлийн хувиргалтыг хийдэг. Бид чөлөөт нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлэх, тэгшитгэлийн нэр томъёог ижил тоогоор хуваах, бутархайг багасгахыг ашигладаг. Хариулах. Үүссэн тэгшитгэл нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. Тиймээс энэ шугам нь эллипс юм. Жишээ 2Хэрэв хагас тэнхлэг нь 5 ба 4 байвал эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Бид эллипс ба орлуулах каноник тэгшитгэлийн томъёог харна: хагас гол тэнхлэг нь а= 5, бага хагас тэнхлэг нь байна б= 4. Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олж авна. Гол тэнхлэг дээр ногооноор тэмдэглэсэн цэгүүд, хаана дуудсан заль мэх. дуудсан хазгай байдалэллипс. Хандлага б/аэллипсийн "хязгаарлалт" -ыг тодорхойлдог. Энэ харьцаа бага байх тусам эллипс гол тэнхлэгийн дагуу сунадаг. Гэсэн хэдий ч эллипсийн суналтын зэрэг нь ихэвчлэн хазгайгаар илэрхийлэгддэг бөгөөд томъёог дээр дурдсан болно. Янз бүрийн эллипсийн хувьд хазайлт нь 0-ээс 1 хооронд хэлбэлздэг бөгөөд үргэлж нэгээс бага хэвээр байна. Жишээ 3Фокусын хоорондох зай 8 ба гол тэнхлэг 10 бол эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Бид энгийн дүгнэлт гаргадаг: Хэрэв гол тэнхлэг нь 10 бол түүний хагас, өөрөөр хэлбэл хагас тэнхлэг а = 5
, Хэрэв голомтын хоорондох зай 8 байвал тоо вфокусын координат нь 4 байна. Орлуулах ба тооцоолох: Үр дүн нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. Жишээ 4Эллипсийн гол тэнхлэг нь 26, хазгай нь 2 бол түүний канон тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Гол тэнхлэгийн хэмжээ болон хазгай тэгшитгэлийн аль алиных нь дагуу эллипсийн гол хагас тэнхлэг а= 13. Эксцентрисийн тэгшитгэлээс бид тоог илэрхийлнэ в, бага хагас тэнхлэгийн уртыг тооцоолоход шаардлагатай: Бид жижиг хагас тэнхлэгийн уртын квадратыг тооцоолно. Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бүтээдэг. Жишээ 5Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийн голомтуудыг тодорхойл. Шийдэл. Тоо олох хэрэгтэй в, энэ нь эллипсийн голомтуудын эхний координатыг тодорхойлдог. Бид эллипсийн фокусуудыг авдаг: Жишээ 6Эллипсийн голомтууд нь тэнхлэг дээр байрладаг Үхэргарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй. Дараах тохиолдолд эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бич. 1) голомтуудын хоорондох зай 30, гол тэнхлэг нь 34 байна 2) бага тэнхлэг нь 24, фокусуудын нэг нь цэг дээр байна (-5; 0) 3) хазгай, голомтын нэг нь цэг дээр байна (6; 0) Хэрэв - эллипсийн дурын цэг (зуувангийн баруун дээд хэсэгт байрлах зурган дээр ногооноор тэмдэглэгдсэн) ба - гол цэгээс энэ цэг хүртэлх зай бол зайны томъёо дараах байдалтай байна. Зуувант хамаарах цэг бүрийн хувьд голомтоос авах зайн нийлбэр нь 2-той тэнцүү тогтмол утгатай байна. а. Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугамууд дуудсан захирлуудэллипс (зураг дээр - ирмэгийн дагуу улаан шугам). Дээрх хоёр тэгшитгэлээс харахад эллипсийн аль ч цэгийн хувьд ийм байна хаана ба энэ цэгийн директрикс хүртэлх зай ба . Жишээ 7Зууван өгөгдсөн. Түүний директоруудын тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Директрисын тэгшитгэлийг судалж үзээд эллипсийн хазайлтыг олох шаардлагатайг олж мэдэв. Үүний бүх өгөгдөл байна. Бид тооцоолно: Бид эллипсийн директрисын тэгшитгэлийг олж авна. Жишээ 8Эллипсийн голомтууд нь цэг, директрикс нь шулуун байвал түүний каноник тэгшитгэлийг бич. 11.1. Үндсэн ойлголтууд Одоогийн координаттай холбоотой хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамуудыг авч үзье Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь бодит тоо боловч A, B, C тоонуудын ядаж нэг нь тэг биш байна. Ийм шугамыг хоёр дахь эрэмбийн шугам (муруй) гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (11.1) нь хавтгайд тойрог, эллипс, гипербол, параболыг тодорхойлдог болохыг доороос тогтоох болно. Энэ мэдэгдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө тоологдсон муруйнуудын шинж чанарыг судалж үзье. 11.2. Тойрог Дараа нь нөхцөл байдлаас бид тэгшитгэлийг олж авна (11.2) тэгшитгэл нь өгөгдсөн тойргийн аль ч цэгийн координатаар хангагдах ба тойрог дээр ороогүй цэгийн координат хангагдахгүй. Тэгшитгэл (11.2) гэж нэрлэгддэг тойргийн каноник тэгшитгэл Ялангуяа, ба гэж үзвэл эх цэг дээр төвлөрсөн тойргийн тэгшитгэлийг олж авна Энгийн хувиргалтуудын дараа тойргийн тэгшитгэл (11.2) хэлбэрийг авна. Энэ тэгшитгэлийг 2-р эрэмбийн муруйн ерөнхий тэгшитгэл (11.1)-тэй харьцуулахдаа тойргийн тэгшитгэлийн хоёр нөхцөл хангагдсаныг хялбархан харж болно. 1) x 2 ба y 2 дахь коэффициентүүд хоорондоо тэнцүү; 2) одоогийн координатын xy үржвэрийг агуулсан гишүүн байхгүй. Урвуу асуудлыг авч үзье. Тэгшитгэлд (11.1) ба утгуудыг оруулбал бид олж авна Энэ тэгшитгэлийг өөрчилье: Эндээс (11.3) тэгшитгэл нь нөхцлийн дор тойргийг тодорхойлно Хэрэв Энэ нь нэг цэгийн координатаар хангагдсан байдаг Хэрэв 11.3. Зууван Эллипсийн каноник тэгшитгэл Зууван
Энэ нь хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. заль мэх
, голомтын хоорондох зайнаас их тогтмол утга юм. Зуувангийн тэгшитгэлийг гаргахын тулд бид координатын системийг сонгож, фокусууд F1Тэгээд F2тэнхлэг дээр хэвтэх ба гарал үүсэл нь сегментийн дунд цэгтэй давхцдаг F 1 F 2. Дараа нь голомтууд нь дараах координаттай байна: ба . Эллипсийн дурын цэг байцгаая. Дараа нь эллипсийн тодорхойлолтын дагуу, i.e. Энэ нь үнэн хэрэгтээ эллипсийн тэгшитгэл юм. Бид (11.5) тэгшитгэлийг илүү болгон хувиргана энгийн харагдах байдалдараах байдлаар: Учир нь а>-аас, дараа нь. тавья Дараа нь сүүлчийн тэгшитгэл нь эсвэл хэлбэрийг авна (11.7) тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлтэй тэнцүү болохыг баталж болно. Энэ нь гэж нэрлэгддэг эллипсийн каноник тэгшитгэл
. Эллипс нь хоёр дахь эрэмбийн муруй юм. Эллипсийн хэлбэрийг тэгшитгэлийн дагуу судлах Эллипсийн хэлбэрийг түүний каноник тэгшитгэлийг ашиглан тогтооцгооё. 1. Тэгшитгэл (11.7) нь зөвхөн тэгш зэрэглэлд x, y-г агуулж байгаа тул хэрэв цэг нь эллипст харьяалагддаг бол ,, цэгүүд мөн үүнд хамаарна. Үүнээс үзэхэд эллипс нь тэнхлэгүүд болон , мөн цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг бөгөөд үүнийг эллипсийн төв гэж нэрлэдэг. 3. Тэгшитгэлээс (11.7) зүүн гар талын гишүүн бүр нэгээс хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл. тэгш бус байдал ба эсвэл ба . Тиймээс эллипсийн бүх цэгүүд шулуун шугамаар үүссэн тэгш өнцөгт дотор байрладаг. 4. (11.7) тэгшитгэлд сөрөг бус гишүүний нийлбэр ба нэгтэй тэнцүү байна. Үүний үр дүнд нэг нэр томьёо нэмэгдэх тусам нөгөө нь буурах болно, өөрөөр хэлбэл хэрэв энэ нь нэмэгдвэл буурч, эсрэгээр болно. Дээр дурдсан зүйлсээс харахад эллипс нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 50 (зууван хаалттай муруй). Зуувангийн талаар дэлгэрэнгүй Эллипсийн хэлбэр нь харьцаанаас хамаарна. Зууван тойрог болж хувирвал эллипсийн тэгшитгэл (11.7) хэлбэрийг авна. Зууван хэлбэрийн шинж чанарын хувьд харьцааг ихэвчлэн ашигладаг. Голомтуудын хоорондох зайны хагасыг эллипсийн хагас гол тэнхлэгтэй харьцуулсан харьцааг эллипсийн хазайлт гэж нэрлэдэг ба o6o-г ε ("epsilon") үсгээр тэмдэглэнэ. 0-тэй<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде Энэ нь эллипсийн хазайлт бага байх тусам эллипс бага байх болно гэдгийг харуулж байна; Хэрэв бид ε = 0 гэж үзвэл эллипс тойрог болж хувирна. Томъёо байдаг Шулуун шугам гэж нэрлэдэг Тэгш байдал (11.6)-аас . Хэрэв бол тэгшитгэл (11.7) нь том тэнхлэг нь Oy тэнхлэг дээр, бага тэнхлэг нь Ox тэнхлэг дээр байрладаг эллипсийг тодорхойлно (52-р зургийг үз). Ийм эллипсийн голомтууд нь ба , хаана байна 11.4. Гипербола Гиперболын каноник тэгшитгэл Гипербол
Хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны зөрүүний модуль гэж нэрлэдэг. заль мэх
, тогтмол утга бөгөөд голомт хоорондын зайнаас бага байна. Гиперболын тэгшитгэлийг гаргахын тулд бид координатын системийг сонгож, фокусууд F1Тэгээд F2тэнхлэг дээр хэвтэх ба гарал үүсэл нь сегментийн дунд цэгтэй давхцаж байна F 1 F 2(53-р зургийг үз). Дараа нь голомтууд нь координаттай ба Гиперболын дурын цэг байцгаая. Дараа нь гиперболын тодорхойлолтын дагуу Гипербола нь хоёр дахь эрэмбийн шугам юм. Гиперболын хэлбэрийг тэгшитгэлийн дагуу судлах Гиперболын хэлбэрийг түүний какон тэгшитгэлийг ашиглан тогтооцгооё. 1. (11.9) тэгшитгэлд зөвхөн тэгш зэрэглэлд x ба у-г агуулна. Тиймээс гипербол нь тэнхлэгүүд болон , мөн цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг. гиперболын төв.
2. Гиперболын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол. (11.9) тэгшитгэлд бид гиперболын тэнхлэгтэй огтлолцох хоёр цэгийг олно: ба . (11.9)-д оруулснаар бид байж болохгүй -г олж авна. Тиймээс гипербол нь у тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй. Оноо ба гэж нэрлэдэг
оргилууд
гипербол, сегмент бодит тэнхлэг
, Хэсэг - жинхэнэ хагас тэнхлэг
гипербол. Цэгүүдийг холбосон шугамын сегментийг нэрлэдэг
төсөөллийн тэнхлэг
, тоо b - төсөөллийн тэнхлэг
. Хажуу талтай тэгш өнцөгт 2аТэгээд 2бдуудсан гиперболын үндсэн тэгш өнцөгт
. 3. (11.9) тэгшитгэлээс хасах утга нь нэгээс багагүй, өөрөөр хэлбэл тэр эсвэл . Энэ нь гиперболын цэгүүд нь шугамын баруун талд (гиперболын баруун мөчир) болон шугамын зүүн талд (гиперболын зүүн салбар) байрладаг гэсэн үг юм. 4. Гиперболын (11.9) тэгшитгэлээс харахад ихсэх үед мөн нэмэгддэгийг харж болно. Энэ нь зөрүү нь тогтмол утгыг нэгтэй тэнцүү байлгаж байгаатай холбоотой юм. Дээр дурдсан зүйлсээс харахад гипербола нь Зураг 54-т үзүүлсэн хэлбэртэй (хоёр хязгааргүй мөчирөөс бүрдэх муруй) байна. Гиперболын асимптотууд
L шугамыг асимптот гэж нэрлэдэг Гипербола нь хоёр асимптоттой болохыг харуулъя. Шугаман (11.11) ба гипербол (11.9) нь координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг тул зөвхөн эхний квадратад байрлах заасан шугамын цэгүүдийг авч үзэхэд хангалттай. Гиперболын цэгтэй ижил абсцисса х бүхий N цэгийг шулуун дээр ав Таны харж байгаагаар x нэмэгдэх тусам бутархайн хуваагч нэмэгддэг; тоологч нь тогтмол утга юм. Тиймээс сегментийн урт Гипербол (11.9) байгуулахдаа эхлээд гиперболын үндсэн тэгш өнцөгтийг (57-р зургийг үз) барьж, энэ тэгш өнцөгтийн эсрэг талын оройнууд - гиперболын асимптотуудыг дайран өнгөрч буй шугамуудыг зурж, орой болон , гиперболыг тэмдэглэх нь зүйтэй. . Адил талт гиперболын тэгшитгэл. тэдгээрийн асимптотууд нь координатын тэнхлэгүүд юм Адил талт гиперболын асимптотууд нь тэгшитгэлтэй байдаг тул координатын өнцгийн биссектрис юм. Энэ гиперболын тэгшитгэлийг координатын тэнхлэгийг өнцгөөр эргүүлэх замаар хуучин нэгээс олж авсан шинэ координатын системд (58-р зургийг үз) авч үзье. Бид координатын тэнхлэгийг эргүүлэх томъёог ашигладаг. Бид (11.12) тэгшитгэлд x ба y-ийн утгыг орлуулна. Ox болон Oy тэнхлэгүүд нь асимптот болох тэгш талт гиперболын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Гиперболын талаар дэлгэрэнгүй хазгай байдал
гипербол (11.9) нь голомтын хоорондох зайг гиперболын бодит тэнхлэгийн утгатай харьцуулсан харьцаа бөгөөд ε-ээр тэмдэглэнэ. Гиперболын хувьд гиперболын хазгай нэгээс их байдаг тул: . Хачирхалтай байдал нь гиперболын хэлбэрийг тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ, тэгш байдал (11.10) -аас харахад i.e. Тэгээд Энэ нь гиперболын хазайлт бага байх тусам түүний хагас тэнхлэгүүдийн харьцаа багасч байгааг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь түүний гол тэгш өнцөгт нь илүү их сунадаг гэсэн үг юм. Адил талт гиперболын хазгай нь . Үнэхээр, Фокусын радиус Шулуун шугамыг гиперболын директрикс гэж нэрлэдэг. Гиперболын хувьд ε > 1 тул . Энэ нь баруун чиглүүлэлт нь гиперболын төв ба баруун оройн хооронд, зүүн чиглэл нь төв ба зүүн оройн хооронд байрладаг гэсэн үг юм. Гиперболын директорууд нь эллипсийн директоруудтай ижил шинж чанартай байдаг. Тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруй нь мөн гипербол бөгөөд түүний бодит тэнхлэг 2b нь Oy тэнхлэгт, төсөөлөл 2 нь тэнхлэгт байрладаг. а- Үхрийн тэнхлэг дээр. Зураг 59-д үүнийг тасархай шугамаар үзүүлэв. Мэдээжийн хэрэг, гиперболууд нь нийтлэг асимптотуудтай байдаг. Ийм гиперболыг коньюгат гэж нэрлэдэг. 11.5. Парабола Каноник параболын тэгшитгэл Парабол гэдэг нь хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь фокус гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн цэг болон директрикс гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн шулуунаас ижил зайтай байдаг. Фокус F-ээс чиглүүлэлт хүртэлх зайг параболын параметр гэж нэрлэдэг бөгөөд p (p > 0) гэж тэмдэглэнэ. 1. (11.13) тэгшитгэлд y хувьсагч тэгш хэмд багтсан бөгөөд энэ нь парабол нь Ox тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна гэсэн үг; x тэнхлэг нь параболын тэгш хэмийн тэнхлэг юм. 2. ρ > 0 тул (11.13)-аас . Тиймээс парабол нь у тэнхлэгийн баруун талд байрлана. 3. Бид y \u003d 0 байх үед. Тиймээс парабол эхийн эхийг дайран өнгөрдөг. 4. Х-ийг хязгааргүй өсгөхөд y модуль мөн хязгааргүй нэмэгддэг. Парабол нь 61-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй (хэлбэр) байна. О (0; 0) цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг, FM \u003d r сегментийг М цэгийн фокусын радиус гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл , , ( p>0) мөн параболыг тодорхойлно, тэдгээрийг Зураг 62-т үзүүлэв , B ба C нь дурын бодит тоо болох гурвалсан квадратын график нь дээрх тодорхойлолтын утгаараа парабол болохыг харуулахад хялбар байдаг. 11.6. Хоёрдахь эрэмбийн шугамын ерөнхий тэгшитгэл Координатын тэнхлэгтэй параллель тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий хоёр дахь эрэмбийн муруйн тэгшитгэлүүд Тэгш хэмийн тэнхлэгүүд нь координатын Ox ба Oy тэнхлэгүүдтэй параллель, хагас тэнхлэгүүд нь тус тус тэнцүү байх цэг дээр төвлөрсөн эллипсийн тэгшитгэлийг эхлээд олъё. аТэгээд б. О 1 эллипсийн төвд тэнхлэг ба хагас тэнхлэг нь шинэ координатын системийн гарал үүслийг байрлуулъя. аТэгээд б(64-р зургийг үз): Эцэст нь 65-р зурагт үзүүлсэн параболууд нь харгалзах тэгшитгэлтэй байна. тэгшитгэл Зууван, гипербол, параболын тэгшитгэл, хувиргасны дараа тойргийн тэгшитгэлийг (хаалт нээх, тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг нэг чиглэлд шилжүүлэх, ижил нөхцөлийг авчрах, коэффициентүүдийн шинэ тэмдэглэгээг оруулах) нэг тэгшитгэлийг ашиглан бичиж болно. хэлбэр Энд А ба С коэффициентүүд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Асуулт гарч ирнэ: (11.14) хэлбэрийн тэгшитгэл нь хоёр дахь эрэмбийн муруйн аль нэгийг (тойрог, эллипс, гипербол, парабол) тодорхойлдог уу? Хариултыг дараах теоремоор өгнө. Теорем 11.2. Тэгшитгэл (11.14) нь тойрог (A = C-ийн хувьд), эсвэл эллипс (A C > 0-ийн хувьд), эсвэл гипербол (A C-ийн хувьд) -ийг үргэлж тодорхойлдог.< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Хоёр дахь эрэмбийн ерөнхий тэгшитгэл Одоо бод ерөнхий тэгшитгэлХоёр үл мэдэгдэх хоёр зэрэг: Энэ нь (11.14) тэгшитгэлээс координатын үржвэртэй (B¹ 0) нэр томъёо байгаагаараа ялгаатай. Координатын тэнхлэгүүдийг а өнцгөөр эргүүлснээр координатын үржвэртэй нэр томъёо байхгүй байхаар энэ тэгшитгэлийг хувиргаж болно. Тэнхлэгийг эргүүлэх томъёог ашиглах Хуучин координатуудыг шинэ координатуудаар илэрхийлье. Бид x "y" дээрх коэффициент алга болохын тулд a өнцгийг сонгоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал Тиймээс (11.17) нөхцөлийг хангасан a өнцгөөр тэнхлэгүүдийг эргүүлэхэд (11.15) тэгшитгэл (11.14) болж буурна. Гаралт: хоёрдугаар эрэмбийн ерөнхий тэгшитгэл (11.15) нь хавтгайд (муухайрах, задрахаас бусад тохиолдолд) дараах муруйг тодорхойлно: тойрог, эллипс, гипербол, парабол. Тайлбар: Хэрэв A = C бол (11.17) тэгшитгэл утгаа алддаг. Энэ тохиолдолд cos2α = 0 ((11.16)-г үзнэ үү), дараа нь 2α = 90°, өөрөөр хэлбэл α = 45° байна. Тиймээс A = C үед координатын системийг 45 ° эргүүлэх ёстой.Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл
Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипс
, эллипс.
.
.
Бид хамтдаа эллипс дээрх асуудлыг шийдсээр байна
,
.
Хоёрдахь эрэмбийн хамгийн энгийн муруй бол тойрог юм. Нэг цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойрог нь нөхцөлийг хангасан хавтгайн бүх Μ цэгүүдийн олонлог гэдгийг санаарай. Тэгш өнцөгт координатын систем дэх цэг нь x 0, y 0 a координаттай байг - тойргийн дурын цэг (48-р зургийг үз).
(11.2)
.
(11.4)
. Түүний төв нь цэг дээр байна 
, ба радиус
.
, тэгвэл (11.3) тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
.
. Энэ тохиолдолд тэд "тойрог нь цэг болж хувирсан" гэж хэлдэг (тэг радиустай).
, тэгвэл (11.4) тэгшитгэл, улмаар (11.3) тэгшитгэлийн баруун тал сөрөг, зүүн тал нь сөрөг биш ("төсөөлөл тойрог" гэж хэлье) тул ямар ч шулуун тодорхойлохгүй.
Голомтыг тэмдэглэнэ үү F1Тэгээд F2, тэдгээрийн хоорондох зай 2 в, мөн эллипсийн дурын цэгээс голомт хүртэлх зайны нийлбэр - 2 хүртэлх зай а(49-р зургийг үз). Тодорхойлолтоор 2 а > 2в, өөрөөр хэлбэл а
> в.
(11.6)
(11.7)
2. Эллипсийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол. -ийг тавиад бид тэнхлэг нь эллипстэй огтлолцох хоёр цэгийг олдог (50-р зургийг үз). (11.7) тэгшитгэлд бид эллипсийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олно: ба . оноо А 1 ,
А2 , B1, B2дуудсан эллипсийн оройнууд. Сегментүүд А 1 А2Тэгээд B1 B2, түүнчлэн тэдгээрийн урт 2 аба 2 бтус тус дууддаг гол ба бага тэнхлэгүүдэллипс. Тоонууд аТэгээд бтом, жижиг гэж нэрлэдэг. тэнхлэгийн босоо амэллипс.
M(x; y) нь F 1 ба F 2 фокустай эллипсийн дурын цэг байг (51-р зургийг үз). F 1 M=r 1 ба F 2 M = r 2 хэрчмүүдийн уртыг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Мэдээжийн хэрэг,
Теорем 11.1.Хэрэв эллипсийн дурын цэгээс зарим фокус хүртэлх зай, d нь ижил цэгээс энэ фокустай харгалзах директор хүртэлх зай бол харьцаа нь эллипсийн хазгайтай тэнцүү тогтмол утга болно.
.
Голомтыг тэмдэглэнэ үү F1Тэгээд F2дамжуулан тэдгээрийн хоорондох зай 2сек, ба гиперболын цэг бүрээс голомт хүртэлх зайны зөрүүний модуль 2а. Тодорхойлолтоор 2а < 2сек, өөрөөр хэлбэл а < в.
эсвэл , өөрөөр хэлбэл, эллипсийн тэгшитгэлийг гаргахдаа хялбаршуулсаны дараа бид олж авна.
гиперболын каноник тэгшитгэл
(11.9)
(11.10)
К муруйн М цэгээс энэ шулуун хүртэлх d зай нь М цэг К муруйн дагуу эхээс хязгааргүй хөдөлж байх үед тэг болох хандлагатай байвал хязгааргүй К муруйн. Зураг 55-д асимптотын тухай ойлголтыг харуулсан: L шугам нь K муруйн асимптот болно.
(11.11)
(56-р зургийг үз), шулуун шугамын ординат ба гиперболын салааны хоорондох ΜN ялгааг ол:
ΜN нь тэг рүү чиглэдэг. ΜN нь Μ цэгээс шулуун хүртэлх d зайнаас их байх тул d нь бүр тэг рүү чиглэдэг. Тиймээс шугамууд нь гиперболын асимптотууд юм (11.9).
Гипербола (11.9) хагас тэнхлэгүүд нь тэнцүү бол тэнцүү талт гэж нэрлэдэг (). Түүний каноник тэгшитгэл
(11.12)
.
Тэгээд 
Гиперболын баруун мөчрийн цэгүүдийн хувьд ба хэлбэртэй байна, зүүн талд нь - 
Тэгээд 
.
Параболын тэгшитгэлийг гаргахын тулд бид Окси координатын системийг сонгохдоо Окси тэнхлэг нь чиглүүлэлтээс F хүртэлх чиглэлд чиглүүлэгчтэй перпендикуляр F фокусыг дайран өнгөрөх ба О эх нь фокус ба чиглүүлэлтийн дунд байрладаг. (60-р зургийг үз). Сонгосон системд F фокус нь координаттай, директорын тэгшитгэл нь , эсвэл хэлбэртэй байна.
