Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бич. Шулуун шугамын янз бүрийн тэгшитгэлүүд

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

шугамууд огтлолцдог;

шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрүүдямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд бид координатуудыг орлуулна өгсөн оноо A. Бид дараахийг авна: 3 - 2 + C = 0, тиймээс

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,гэхдээ б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

гэхдээ φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Бичих шаардлагатай янз бүрийн төрөлтэгшитгэл

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-т хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / к 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Дамжуулж буй шулуун шугамын тэгшитгэл өгсөн онооэнэ шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (х 1, у 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (х 1, у 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Орон зайн шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд нь өгөгдсөн цэгээр чиглэлийн вектор руу коллинеар дамжин өнгөрөх шулууныг тодорхойлох тэгшитгэл юм.

Цэг ба чиглэлийн векторыг өгье. Дурын цэг нь шулуун дээр байрладаг лЗөвхөн векторууд нь коллинеар байвал, өөрөөр хэлбэл, нөхцөлийг хангана.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь каноник тэгшитгэлЧигээрээ.

Тоонууд м , nТэгээд хнь координатын тэнхлэгүүд дээрх чиглэлийн векторын проекцууд юм. Вектор нь тэг биш тул бүх тоонууд м , nТэгээд хнэгэн зэрэг тэг байж болохгүй. Гэхдээ тэдний нэг хоёр нь тэг байж болно. Жишээлбэл, аналитик геометрийн хувьд дараахь тэмдэглэгээг зөвшөөрдөг.

тэнхлэгүүд дээрх векторын проекцууд гэсэн үг ӨөТэгээд Озтэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн вектор ба шулуун шугам хоёулаа тэнхлэгт перпендикуляр байна ӨөТэгээд Оз, өөрөөр хэлбэл онгоцууд yOz .

Жишээ 1Хавтгайд перпендикуляр орон зайд шулуун шугамын тэгшитгэл зохио ба энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээр дамжин өнгөрөх Оз .

Шийдэл. Өгөгдсөн хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол Оз. тэнхлэгийн аль ч цэгээс хойш Оз, хавтгайн өгөгдсөн тэгшитгэлд тооцвол координаттай байна x=y= 0, бид 4-ийг авна z- 8 = 0 эсвэл z= 2 . Иймд өгөгдсөн хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг Озкоординаттай (0; 0; 2) . Хүссэн шугам нь хавтгайд перпендикуляр тул түүний хэвийн вектортой параллель байна. Тиймээс хэвийн вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч вектор болж чадна өгсөн онгоц.

Одоо бид цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын хүссэн тэгшитгэлийг бичнэ А= (0; 0; 2) векторын чиглэлд:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг түүн дээр байрлах хоёр цэгээр тодорхойлж болно Тэгээд Энэ тохиолдолд шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь вектор байж болно. Дараа нь шугамын каноник тэгшитгэлүүд хэлбэрийг авна

Дээрх тэгшитгэлүүд нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 2ба цэгүүдийг дайран өнгөрөх огторгуйд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Бид онолын лавлагаанд дээр дурдсан хэлбэрээр шулуун шугамын хүссэн тэгшитгэлийг бичнэ.

-ээс хойш, дараа нь хүссэн шугам нь тэнхлэгт перпендикуляр байна Өө .

Онгоцуудын огтлолцлын шугам шиг шулуун

Орон зайн шулуун шугамыг хоёр зэрэгцээ бус хавтгайн огтлолцох шугам, өөрөөр хэлбэл хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг хангадаг цэгүүдийн багц гэж тодорхойлж болно.

Системийн тэгшитгэлийг мөн огторгуй дахь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Жишээ 3Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн орон зайд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг зохио

Шийдэл. Шулуун шугамын каноник тэгшитгэл эсвэл өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичихийн тулд шулуун шугамын дурын хоёр цэгийн координатыг олох хэрэгтэй. Эдгээр нь жишээлбэл, дурын хоёр координатын хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцох цэг байж болно yOzТэгээд xOz .

Шугамын хавтгайтай огтлолцох цэг yOzабсциссатай х= 0. Тиймээс энэ тэгшитгэлийн системд таамаглаж байна х= 0, бид хоёр хувьсагчтай системийг авна.

Түүний шийдвэр y = 2 , z= 6-тай хамт х= 0 цэгийг тодорхойлно А(0; 2; 6) хүссэн шугамын. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн системд гэж үзвэл y= 0, бид системийг авна

Түүний шийдвэр х = -2 , z= 0-тэй хамт y= 0 цэгийг тодорхойлно Б(-2; 0; 0) хавтгайтай шулууны огтлолцол xOz .

Одоо бид цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичнэ А(0; 2; 6) ба Б (-2; 0; 0) :

эсвэл хуваагчийг -2-т хуваасны дараа:

Энэ нийтлэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн сэдвийг үргэлжлүүлж байна: бид ийм төрлийн тэгшитгэлийг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж үзэх болно. Теоремыг тодорхойлж, түүний баталгааг өгье; Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий тэгшитгэлээс шулуун шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжихийг олж мэдье. Бид онолыг бүхэлд нь зураг чимэглэл, практик асуудлыг шийдвэрлэх замаар нэгтгэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгш өнцөгт координатын системийг O x y хавтгай дээр өгье.

Теорем 1

A x + B y + C \u003d 0 хэлбэртэй, A, B, C нь зарим бодит тоо (A, B зэрэг тэгтэй тэнцүү биш) хэлбэртэй, нэгдүгээр зэргийн аливаа тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог. хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем. Хариуд нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шугамыг A, B, C утгуудын тодорхой багцын хувьд A x + B y + C = 0 хэлбэртэй тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Баталгаа

Энэ теорем нь хоёр цэгээс бүрдэх бөгөөд бид тус бүрийг батлах болно.

A x + B y + C = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулууныг тодорхойлж байгааг баталцгаая.

Координатууд нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирох M 0 (x 0 , y 0) цэг байг. Тиймээс: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасвал бид A шиг харагдах шинэ тэгшитгэлийг авна. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Энэ нь A x + B y + C = 0-тэй тэнцүү байна.

Үүссэн тэгшитгэл A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x) векторуудын перпендикуляр байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм. 0, y - y 0 ). Тиймээс M (x, y) цэгүүдийн олонлог нь тэгш өнцөгт координатын системд векторын чиглэлд перпендикуляр шулуун шугамыг тодорхойлдог n → = (A, B) . Энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж болно, гэхдээ дараа нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд перпендикуляр биш, A (x -) тэнцүү байх болно. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 нь үнэн биш байх болно.

Тиймээс A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх тодорхой шугамыг тодорхойлдог тул A x + B y + C \u003d 0 тэнцүү тэгшитгэлийг тодорхойлдог. ижил мөрийг тодорхойлдог. Ингээд бид теоремын эхний хэсгийг нотолсон.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шулуун шугамыг A x + B y + C = 0 1-р зэргийн тэгшитгэлээр баталъя.

Хавтгай дээр тэгш өнцөгт координатын системд шулуун а шугамыг тогтооцгооё; цэг M 0 (x 0 , y 0) энэ шугам өнгөрөх, түүнчлэн энэ шугамын хэвийн вектор n → = (A , B) .

Мөн шугамын хөвөгч цэг болох M (x, y) цэг байг. Энэ тохиолдолд n → = (A , B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд хоорондоо перпендикуляр байх ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэг болно.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 тэгшитгэлийг дахин бичиж, C: C = - A x 0 - B y 0 -ийг тодорхойлж, эцэст нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлийг авъя.

Ингээд бид теоремын хоёр дахь хэсгийг баталж, бүхэл бүтэн теоремыг баталлаа.

Тодорхойлолт 1

Ийм харагдах тэгшитгэл A x + B y + C = 0 - энэ шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрO xy.

Батлагдсан теорем дээр үндэслэн бид тэгш өнцөгт координатын тогтмол систем дэх хавтгай дээр өгөгдсөн шулуун шугам ба түүний ерөнхий тэгшитгэл нь салшгүй холбоотой гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, анхны шугам нь түүний ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна; шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай тохирч байна.

Мөн x ба y хувьсагчийн А ба В коэффициент нь шулуун шугамын хэвийн векторын координат болох нь теоремын баталгаанаас гарах бөгөөд үүнийг A x + B y + шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр олно. C = 0.

Санаж үз тодорхой жишээшулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамд тохирох 2 x + 3 y - 2 = 0 тэгшитгэлийг өгье. Энэ шугамын хэвийн вектор нь вектор юм n → = (2 , 3) . Зураг дээр өгөгдсөн шулуун шугамыг зур.

Дараахь зүйлийг мөн маргаж болно: зураг дээр бидний харж буй шулуун шугамыг 2 x + 3 y - 2 = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно, учир нь өгөгдсөн шулуун шугамын бүх цэгүүдийн координатууд энэ тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Ерөнхий шулуун тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр λ тоогоор үржүүлснээр λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 тэгшитгэлийг авч болно. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцэх тул хавтгай дээрх ижил шугамыг дүрслэх болно.

Тодорхойлолт 2

Шулуун шугамын бүрэн ерөнхий тэгшитгэл- A x + B y + C \u003d 0 шугамын ийм ерөнхий тэгшитгэл, үүнд A, B, C тоонууд тэгээс ялгаатай байна. Үгүй бол тэгшитгэл нь байна бүрэн бус.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн бүх хувилбаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 үед ерөнхий тэгшитгэл нь B y + C \u003d 0 болно. Ийм бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь тэгш өнцөгт координатын системийн O x y шулуун шугамыг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь O x тэнхлэгтэй параллель байх болно, учир нь x-ийн аливаа бодит утгын хувьд у хувьсагч нь утгыг авна. - С Б. Өөрөөр хэлбэл, A x + B y + C \u003d 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A \u003d 0, B ≠ 0 байх үед координат нь ижил тоотой тэнцүү (x, y) цэгүүдийн байршлыг тодорхойлдог. - С Б.
Хэрэв A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 бол ерөнхий тэгшитгэл нь y \u003d 0 болно. Ийм бүрэн бус тэгшитгэл нь x тэнхлэгийг тодорхойлдог O x .
A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 байх үед бид бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл A x + C \u003d 0 болж, у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлно.
A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, тэгвэл бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь x \u003d 0 хэлбэрийг авах бөгөөд энэ нь координатын шугамын O y-ийн тэгшитгэл юм.
Эцэст нь A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 байх үед бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y \u003d 0 хэлбэртэй болно. Мөн энэ тэгшитгэл нь эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг дүрсэлдэг. Үнэн хэрэгтээ (0, 0) хос тоо нь A x + B y = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул A · 0 + B · 0 = 0 байна.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн дээрх бүх төрлийг графикаар дүрсэлцгээе.

Жишээ 1

Өгөгдсөн шулуун нь у тэнхлэгтэй параллель байх ба 2 7 , - 11 цэгийг дайран өнгөрөх нь мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

У тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг A x + C \u003d 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн бөгөөд A ≠ 0 байна. Нөхцөл нь мөн шугам өнгөрөх цэгийн координатыг зааж өгсөн бөгөөд энэ цэгийн координат нь бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн нөхцөлтэй тохирч байна A x + C = 0 , өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал зөв:

A 2 7 + C = 0

Үүнээс А-г тэгээс бусад утгыг өгснөөр С-г тодорхойлох боломжтой, жишээлбэл, A = 7. Энэ тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Бид A ба C коэффициентийг хоёуланг нь мэдэж, тэдгээрийг A x + C = 0 тэгшитгэлд орлуулж, шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг авна уу: 7 x - 2 = 0

Хариулт: 7 x - 2 = 0

Жишээ 2

Зураг нь шулуун шугамыг харуулсан тул түүний тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн зураг нь асуудлыг шийдвэрлэх анхны өгөгдлийг хялбархан авах боломжийг бидэнд олгодог. Өгөгдсөн шугам нь O x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (0 , 3) цэгээр дамжин өнгөрч байгааг бид зурган дээрээс харж байна.

Абсциссатай параллель шулуун шугамыг бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно B y + С = 0. B ба C-ийн утгыг ол. (0, 3) цэгийн координатууд нь өгөгдсөн шулуун шугамыг дайран өнгөрч байгаа тул B y + С = 0 шулуун шугамын тэгшитгэлийг хангана, тэгвэл тэгшитгэл хүчинтэй болно: В · 3 + С = 0. В-г тэгээс өөр утгыг тохируулъя. B \u003d 1 гэж үзье, энэ тохиолдолд B · 3 + C \u003d 0 тэгшитгэлээс бид C: C \u003d - 3-ийг олж болно. Бидний хэрэглэдэг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ B ба C, бид шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна: y - 3 = 0.

Хариулт: y - 3 = 0.

Хавтгайн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл

Өгөгдсөн шугамыг M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжин өнгөрвөл түүний координатууд нь шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн: A x 0 + B y 0 + C = 0. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг ерөнхий зүүн ба баруун талаас хас бүрэн тэгшитгэлЧигээрээ. Бид дараахь зүйлийг авна: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, энэ тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамждаг ба хэвийн вектор n → \u003d (A, B) .

Бидний олж авсан үр дүн нь шулуун шугамын хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон энэ шулуун шугамын тодорхой цэгийн координатуудын хувьд шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой болгож байна.

Жишээ 3

Шугаман өнгөрөх M 0 (- 3, 4) цэг ба энэ шугамын хэвийн вектор өгөгдсөн. n → = (1 , - 2) . Өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай өгөгдлийг олж авах боломжийг олгодог: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Дараа нь:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 у (у - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 у + 22 = 0

Асуудлыг өөрөөр шийдэж болох байсан. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y + C = 0 хэлбэртэй байна. Өгөгдсөн хэвийн вектор нь A ба B коэффициентүүдийн утгыг авах боломжийг танд олгоно, дараа нь:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Одоо шугам өнгөрөх бодлогын нөхцөлөөр өгөгдсөн М 0 (- 3, 4) цэгийг ашиглан С-ийн утгыг олъё. Энэ цэгийн координатууд нь x - 2 · y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Тиймээс C = 11. Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x - 2 · y + 11 = 0 .

Хариулт: x - 2 y + 11 = 0.

Жишээ 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 шулуун ба энэ шулуун дээр байрлах M 0 цэг өгөгдсөн. Зөвхөн энэ цэгийн абсцисс нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь - 3-тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн цэгийн ординатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

M 0 цэгийн координатын тэмдэглэгээг x 0 ба y 0 гэж тохируулъя. Анхны өгөгдөл нь x 0 \u003d - 3 гэдгийг харуулж байна. Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна. Дараа нь дараахь тэгш байдал үнэн болно.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ийг тодорхойлох: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Хариулт: - 5 2

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс шулуун шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү шилжих ба эсрэгээр

Бидний мэдэж байгаагаар хавтгайд ижил шулуун шугамын тэгшитгэлийн хэд хэдэн төрөл байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг сонгох нь асуудлын нөхцлөөс хамаарна; түүний шийдэлд илүү тохиромжтойг нь сонгох боломжтой. Энд нэг төрлийн тэгшитгэлийг өөр төрлийн тэгшитгэл болгон хувиргах ур чадвар маш их хэрэг болдог.

Эхлээд A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлээс x - x 1 a x = y - y 1 a y каноник тэгшитгэл рүү шилжихийг авч үзье.

Хэрэв A ≠ 0 бол ерөнхий тэгшитгэлийн баруун талд B y нэр томъёог шилжүүлнэ. Зүүн талд бид А-г хаалтнаас гаргаж авдаг. Үүний үр дүнд бид: A x + C A = - B y болно.

Энэ тэгшитгэлийг пропорциональ байдлаар бичиж болно: x + C A - B = y A .

Хэрэв B ≠ 0 байвал ерөнхий тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн A x гэсэн нэр томъёог үлдээж, бусдыг баруун тал руу шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна: A x \u003d - B y - C. Бид хаалтнаас - B-г гаргаж аваад: A x \u003d - B y + C B.

Тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар дахин бичье: x - B = y + C B A .

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник руу шилжих үед үйлдлийн алгоритмыг мэдэхэд хангалттай.

Жишээ 5

3 y - 4 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв. Үүнийг каноник тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

Бид анхны тэгшитгэлийг 3 y - 4 = 0 гэж бичнэ. Дараа нь бид алгоритмын дагуу ажилладаг: 0 x гэсэн нэр томъёо зүүн талд үлддэг; баруун талд нь бид хаалтнаас 3-ыг гаргаж авдаг; Бид дараахийг авна: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Үүссэн тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар бичье: x - 3 = y - 4 3 0 . Тиймээс бид каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хариулт: x - 3 = y - 4 3 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг параметрийн тэгшитгэл болгон хувиргахын тулд эхлээд каноник хэлбэрт шилжих, дараа нь шулуун шугамын каноник тэгшитгэлээс параметрт тэгшитгэл рүү шилжих ажлыг хийнэ.

Жишээ 6

Шулуун шугамыг 2 x - 5 y - 1 = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Одоо үүссэн каноник тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг λ-тэй тэнцүү авч үзье, тэгвэл:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Хариулт:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ерөнхий тэгшитгэлийг y \u003d k x + b налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргаж болно, гэхдээ зөвхөн B ≠ 0 үед л. Зүүн талын шилжилтийн хувьд бид B y нэр томъёог орхиж, үлдсэн хэсэг нь баруун тийш шилждэг. Бид дараахийг авна: B y = - A x - C . Үүссэн тэгш байдлын хоёр хэсгийг тэгээс ялгаатай B -д хуваая: y = - A B x - C B .

Жишээ 7

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн: 2 x + 7 y = 0 . Та энэ тэгшитгэлийг налуугийн тэгшитгэл болгон хувиргах хэрэгтэй.

Шийдэл

Үйлдвэрлэе шаардлагатай арга хэмжээалгоритмын дагуу:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Хариулт: y = - 2 7 x .

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс x a + y b \u003d 1 хэлбэрийн сегмент дэх тэгшитгэлийг авахад хангалттай. Ийм шилжилтийг хийхийн тулд бид C тоог тэгш байдлын баруун талд шилжүүлж, үүссэн тэгш байдлын хоёр хэсгийг - С-д хувааж, эцэст нь x ба y хувьсагчдын коэффициентийг хуваагч руу шилжүүлнэ.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Жишээ 8

x - 7 y + 1 2 = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

1 2-ыг баруун тийш шилжүүлье: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Тэгшитгэлийн хоёр талыг -1/2-оор хуваана: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Хариулт: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ерөнхийдөө урвуу шилжилт нь бас хялбар байдаг: бусад төрлийн тэгшитгэлээс ерөнхийд шилжих.

Хэсэгт шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуутай тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бүх гишүүнийг цуглуулснаар амархан ерөнхий хэлбэрт шилжүүлж болно.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Дараах схемийн дагуу каноник тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт шилжүүлнэ.

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Параметрээс шилжихийн тулд эхлээд каноник руу, дараа нь ерөнхий рүү шилжих болно.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Жишээ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг өгөв. Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Параметр тэгшитгэлээс каноник руу шилжих шилжилтийг хийцгээе.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Каноникоос ерөнхий рүү шилжье:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ у - 4 = 0

Хариулт: y - 4 = 0

Жишээ 10

x 3 + y 1 2 = 1 хэрчмүүд дэх шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөв. Тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрт шилжих шаардлагатай.

Шийдэл:

Тэгшитгэлийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичье.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Хариулт: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зурах

Дээр бид ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон шугам өнгөрөх цэгийн координатаар бичиж болно гэж хэлсэн. Ийм шулуун шугамыг A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Үүнтэй ижил газарт бид холбогдох жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн.

Одоо илүү ихийг харцгаая нарийн төвөгтэй жишээнүүд, үүнд эхлээд хэвийн векторын координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Жишээ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 шулуунтай параллель шугам өгөгдсөн. Мөн өгөгдсөн шугам өнгөрөх M 0 (4 , 1) цэгийг мэддэг. Өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь шугамууд параллель байгааг хэлж байгаа бол тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай шулууны хэвийн векторын хувьд n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y шулууны чиглүүлэх векторыг авна. + 3 3 = 0. Одоо бид шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай бүх өгөгдлийг мэдэж байна.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 у - 5 = 0

Хариулт: 2 х - 3 у - 5 = 0.

Жишээ 12

Өгөгдсөн шулуун нь x - 2 3 = y + 4 5 шулуунтай перпендикуляр эхийн эхийг дайран өнгөрдөг. Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн шугамын хэвийн вектор нь х - 2 3 = у + 4 5 шугамын чиглүүлэх вектор байх болно.

Дараа нь n → = (3 , 5) . Шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг, өөрөөр хэлбэл. O цэгээр (0, 0) . Өгөгдсөн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулъя.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 у = 0

Хариулах: 3 x + 5 y = 0.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Шулуун шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдийг дайруул. M 1 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y- y 1 \u003d хэлбэртэй байна. к (x - x 1), (10.6)

хаана к - тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгийг дайран өнгөрч байгаа тул энэ цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (10.6) хангах ёстой: y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 \u003d x 2 бол M 1 (x 1, y I) ба M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 \u003d y I бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг y \u003d y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь x тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг Ox тэнхлэгийг M 1 (a; 0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0; b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг шулуун шугамаар таслахыг заадаг.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Өгөгдсөн тэгээс өөр n = (A; B) векторт перпендикуляр Mo (x O; y o) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олъё.

Шулуун дээр дурын M(x; y) цэгийг авч M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: өөрөөр хэлбэл,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг нэрлэнэ Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл .

Шугаманд перпендикуляр n = (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

(10.8) тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C \u003d -Ax o - Vu o - чөлөөт гишүүн. Тэгшитгэл (10.9) шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд

Хаана
шулуун өнгөрөх цэгийн координат ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. Тэгээд фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол утга юм
, голомтын хоорондох зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Үхрийн тэнхлэг дээр байрладаг, гарал үүсэл нь голомтуудын дунд байдаг эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа гол хагас тэнхлэгийн урт;б нь бага хагас тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

Хавтгай дээрх шугамын тэгшитгэл.

Мэдэгдэж байгаагаар, хавтгай дээрх аливаа цэг нь зарим координатын систем дэх хоёр координатаар тодорхойлогддог. Координатын систем нь суурь ба гарал үүслийн сонголтоос хамааран өөр өөр байж болно.

Тодорхойлолт. Шугамын тэгшитгэлнь энэ шулууныг бүрдүүлж буй цэгүүдийн координатуудын хоорондын y = f(x) хамаарал юм.

Шугамын тэгшитгэлийг параметрийн аргаар илэрхийлж болохыг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл цэг бүрийн координат бүрийг бие даасан параметрээр илэрхийлнэ. т.

Энгийн жишээ бол хөдөлж буй цэгийн замнал юм. Энэ тохиолдолд цаг хугацаа нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

үүнээс гадна A, B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, i.e. A 2 + B 2  0. Энэ нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг нэрлэнэ шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C \u003d 0, A  0, B  0 - шугам нь эх үүсвэрээр дамждаг

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Axe + C \u003d 0) - шугам нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d C \u003d 0, A  0 - шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A \u003d C \u003d 0, B  0 - мөр нь давхцаж байна Үхрийн тэнхлэг

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + By + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна.

Жишээ.Векторт перпендикуляр А (1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. (3, -1).

A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулцгаая: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үүссэн илэрхийлэлд орлуулна.

Бид авна: 3 - 2 + C \u003d 0, тиймээс C \u003d -1.

Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1  x 2 ба x \u003d x 1, хэрэв x 1 \u003d x 2 бол.

Бутархай
=k гэж нэрлэдэг налуугийн хүчин зүйлЧигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Ax + Vy + C = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

болон томилох
, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй адилтгаж, та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам болон шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг оруулж болно.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр ( 1 ,  2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A 1 + B 2 = 0 нөхцөлийг хангасан бол шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ.Чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол (1, -1) ба А(1, 2) цэгээр дамжин өнгөрнө.

Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1A + (-1)B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C/A = 0 хэлбэртэй байна.

x = 1, y = 2 үед бид С/A = -3, i.e. Хүссэн тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C 0 байвал –C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
эсвэл

, хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм гэхдээнь шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б- шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x - y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмүүдээс ол.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Ax + Wy + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр тал нь тоонд хуваагдвал
гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcos + ysin - p = 0 –

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Нормчлох хүчин зүйлийн  тэмдгийг С байхаар сонгох ёстой< 0.

p нь эхлэлээс шулуун шугам руу унасан перпендикулярын урт,  Энэ перпендикуляраар Үхрийн тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүссэн өнцөг.

Жишээ.Өгөгдсөн ерөнхий тэгшитгэл 12x - 5y - 65 = 0. Энэ мөрөнд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ.Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 нь асуудлын нөхцөлтэй тохирохгүй байна.

Нийт:
эсвэл x + y - 4 = 0.

Жишээ.А (-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, энд x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцөг дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

Хэрвээ k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна.

k 1 = -1/k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. Ax + Vy + C = 0 ба А шулуун шугамууд 1 x + B 1 y + C 1 А коэффициентүүд пропорциональ байх үед = 0 параллель байна 1 =  А, Б 1 =  B. Хэрэв бас C 1 =  C, дараа нь шугамууд давхцдаг.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

энэ шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх ба y \u003d kx + b шугаманд перпендикуляр шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв M цэг бол (x 0 , y 0 ), тэгвэл Ax + Vy + C = 0 шугам хүртэлх зайг тодорхойлно

Баталгаа. М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ.Шугамануудын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Жишээ. 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Бид олдог: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ.Гурвалжны оройг A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Бид AB талын тэгшитгэлийг олно.
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Хүссэн өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b.

k = . Дараа нь y =
. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана.
үүнээс b = 17. Нийт:
.

Хариулт: 3x + 2y - 34 = 0.

Сансар огторгуй дахь аналитик геометр.

Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл.

Огторгуй дахь шулуун шугамын тэгшитгэл ба

чиглэлийн вектор.

Дурын шугам ба векторыг ав (m, n, p) өгөгдсөн шугамтай параллель байна. Вектор дуудсан чиглүүлэгч векторЧигээрээ.

Шулуун дээр дурын M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ба M(x, y, z) хоёр цэгийг авъя.

М1

Эдгээр цэгүүдийн радиус векторуудыг гэж тэмдэглэе Тэгээд , энэ нь ойлгомжтой - =
.

Учир нь векторууд
Тэгээд collinear байвал хамаарал үнэн болно
= t, энд t нь зарим параметр юм.

Нийтдээ бид дараахь зүйлийг бичиж болно. = + т.

Учир нь Энэ тэгшитгэл нь шулуун дээрх дурын цэгийн координатаар хангагдвал үүссэн тэгшитгэл нь шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.

Энэ вектор тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ системийг хувиргаж, t параметрийн утгыг тэнцүүлэх замаар бид орон зайд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авна.

Тодорхойлолт. Чиглэлийн косинусуудшууд нь векторын чиглэлийн косинусууд юм , үүнийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

;

.

Эндээс: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p тоонуудыг дууддаг налуугийн хүчин зүйлүүдЧигээрээ. Учир нь нь тэг биш вектор бөгөөд m, n, p нь нэгэн зэрэг тэг байж болохгүй, гэхдээ эдгээр тоонуудын нэг эсвэл хоёр нь тэг байж болно. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэлд харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Орон зайд өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

хоёр цэгээр дамжуулан.

Хэрвээ дурын хоёр цэг M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) нь огторгуйд шулуун шугам дээр тэмдэглэгдсэн бол эдгээр цэгүүдийн координатууд нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. дээр авсан шулуун шугам:

Үүнээс гадна M 1 цэгийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Эдгээр тэгшитгэлийг хамтад нь шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ бол огторгуйн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

Орон зайн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хоёр хавтгайн огтлолцох шугамын тэгшитгэл гэж үзэж болно.

Дээр дурдсанчлан вектор хэлбэрийн хавтгайг тэгшитгэлээр өгч болно.

+ D = 0, хаана

- онгоц хэвийн; - хавтгайн дурын цэгийн радиус-вектор.