Үндэсүүдийн нийлбэрийн шинж чанарууд. Арифметик квадрат язгуур ба түүний шинж чанарууд

Үндэс томъёо. квадрат язгуурын шинж чанарууд.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй "маш их биш ..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Өмнөх хичээлээр бид квадрат язгуур гэж юу болохыг олж мэдсэн. Юу болохыг олж мэдэх цаг болжээ үндэсийн томъёо, гэж юу вэ үндэс шинж чанаруудмөн энэ бүхний талаар юу хийж болох вэ.

Үндэс томьёо, үндэс шинж чанар, үндэстэй үйлдлийн дүрэм- энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм. Формула квадрат үндэсгайхалтай бага. Энэ нь мэдээж таалагдах болно! Үүний оронд та олон төрлийн томъёо бичиж болно, гэхдээ үндэстэй практик, итгэлтэй ажиллахад ердөө гурав нь л хангалттай. Бусад бүх зүйл энэ гурваас урсдаг. Хэдийгээр олон хүн язгуурын гурван томъёонд төөрөлддөг ч тийм ээ ...

Хамгийн энгийнээс эхэлцгээе. Тэр тэнд байна:

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.

Нэг квадрат талбай нь 81 дм². Түүний талыг ол. Дөрвөлжингийн хажуугийн урт нь байна гэж бодъё Xдециметр. Дараа нь талбайн талбай байна X² квадрат дециметр. Учир нь нөхцөл байдлын дагуу энэ талбай 81 дм² байна X² = 81. Квадрат талын урт нь эерэг тоо. Квадрат нь 81 бол эерэг тоо нь 9. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат нь 81 байх х тоог олох, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байв. X² = 81. Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. х 1 = 9 ба х 2 \u003d - 9, учир нь 9² \u003d 81 ба (- 9)² \u003d 81. 9 ба - 9 тоог хоёуланг нь 81 тооны квадрат язгуур гэж нэрлэдэг.

Квадрат язгууруудын нэг гэдгийг анхаарна уу X= 9 бол эерэг тоо. Үүнийг 81-ийн арифметик квадрат язгуур гэж нэрлэдэг ба √81 гэж тэмдэглэсэн тул √81 = 9 байна.

Тооны арифметик квадрат язгуур аквадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм а.

Жишээлбэл, 6 ба -6 тоо нь 36-ын квадрат язгуур юм. 6 нь сөрөг бус тоо бөгөөд 6² = 36 тул 6 тоо нь 36-ын арифметик квадрат язгуур юм. -6 тоо нь арифметик язгуур биш юм.

Арифметик Квадрат язгуурдугаараас адараах байдлаар тэмдэглэнэ: √ а.

Тэмдгийг арифметик язгуур тэмдэг гэж нэрлэдэг; аязгуур илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Илэрхийлэл √ аунших үүнтэй адил: тооны арифметик квадрат язгуур а.Жишээлбэл, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Энэ нь тодорхой болсон тохиолдолд бид ярьж байнаАрифметик язгуурын талаар тэд товчхондоо: "квадрат язгуур а«.

Тооны язгуурыг олох үйлдлийг квадрат язгуур гэж нэрлэдэг. Энэ үйлдэл нь квадратын эсрэг үйлдэл юм.

Ямар ч тоог квадрат болгож болох ч тоо бүр квадрат язгуур байж болохгүй. Жишээлбэл, тооны язгуурыг гаргаж авах боломжгүй - 4. Хэрэв ийм язгуур байсан бол үүнийг үсгээр тэмдэглэнэ. X, зүүн талд сөрөг бус тоо, баруун талд сөрөг тоо байгаа тул бид буруу x² \u003d - 4 тэгшитгэлийг авах болно.

Илэрхийлэл √ аүед л утга учиртай a ≥ 0. Квадрат язгуурын тодорхойлолтыг дараах байдлаар товч бичиж болно: √ a ≥ 0, (√а)² = а. Тэгш байдал (√ а)² = а-д хүчинтэй a ≥ 0. Иймд сөрөг бус тооны квадрат язгуур байгаа эсэхийг шалгах атэнцүү байна б, өөрөөр хэлбэл, тэр √ а =б, та дараах хоёр нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй. b ≥ 0, б² = а.

Бутархайн квадрат язгуур

Тооцоолъё. √25 = 5, √36 = 6 гэдгийг анхаарч, тэгш байдал хангагдсан эсэхийг шалгана уу.

Учир нь ба , тэгвэл тэгш байдал үнэн болно. Тэгэхээр, .

Теорем:Хэрэв а≥ 0 ба б> 0, өөрөөр хэлбэл бутархайн язгуур нь хуваагчийн язгуурт хуваагдсан тооны язгууртай тэнцүү байна. Үүнийг батлах шаардлагатай: ба .

√ оноос хойш а≥0 ба √ б> 0, дараа нь .

Бутархайг зэрэглэлд хүргэх, квадрат язгуурыг тодорхойлох шинж чанараар теорем батлагдсан. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Батлагдсан теоремын дагуу тооцоол .

Хоёр дахь жишээ: Үүнийг батал , хэрэв а ≤ 0, б < 0. .

Өөр нэг жишээ: Тооцоол.

Квадрат язгуурын хувиргалт

Үндэсний тэмдгийн доороос үржүүлэгчийг гаргаж авах. Илэрхийлэл өгье. Хэрэв а≥ 0 ба б≥ 0 байвал бүтээгдэхүүний үндэс дээрх теоремоор бид дараахийг бичиж болно.

Ийм хувиргалтыг язгуур тэмдгийг ялгах гэж нэрлэдэг. Жишээ авч үзье;

Тооцоолох X= 2. Шууд орлуулалт XРадикал илэрхийлэл дэх = 2 нь нарийн төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг. Хэрэв бид эхлээд язгуур тэмдгийн доорхи хүчин зүйлсийг хасвал эдгээр тооцоог хялбарчилж болно: . Одоо x = 2-ыг орлуулахад бид:.

Тиймээс, язгуур тэмдгийн доор хүчин зүйлийг гаргаж авахдаа радикал илэрхийлэл нь нэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйл нь сөрөг бус тоонуудын квадратууд болох бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгдэнэ. Дараа нь үндсэн үржвэрийн теоремыг хэрэглэж, хүчин зүйл бүрийн үндсийг авна. Нэг жишээг авч үзье: Эхний хоёр гишүүний язгуур тэмдгийн доорхи хүчин зүйлсийг гаргаж A = √8 + √18 - 4√2 илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзвэл:. тэгш эрхтэй гэдгийг бид онцолж байна үед л хүчинтэй а≥ 0 ба б≥ 0. хэрэв а < 0, то .

Сэдвийн талаархи хичээл ба танилцуулга:
"Квадрат язгуурын шинж чанарууд. Томъёо. Шийдлийн жишээ, хариулттай даалгавар"

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай. Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

8-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
8-р ангийн "Геометр 10 минутын дотор" интерактив сургалтын гарын авлага
"1С: Сургууль. Геометр, 8-р анги" боловсролын цогцолбор

Квадрат язгуур шинж чанарууд

Бид квадрат язгуурыг үргэлжлүүлэн судалсаар байна. Өнөөдөр бид үндэсийн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх болно. Бүх үндсэн шинж чанарууд нь ойлгомжтой бөгөөд бидний өмнө нь хийж байсан бүх үйлдлүүдтэй нийцдэг.

Өмч чанар 1. Хоёр сөрөг бус тооны үржвэрийн квадрат язгуур нь эдгээр тооны квадрат язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Аливаа эд хөрөнгийг нотлох заншилтай, үүнийг хийцгээе.
$\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ байг. Дараа нь бид $x=y*z$ гэдгийг батлах ёстой.
Илэрхийлэл бүрийг квадрат болгоё.
Хэрэв $\sqrt(a*b)=x$ бол $a*b=x^2$.
Хэрэв $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, хоёр илэрхийлэлийг квадрат болговол бид дараахийг авна: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, өөрөөр хэлбэл $x^2=(y*z)^2$. Хэрэв сөрөг бус хоёр тооны квадратууд тэнцүү бол тоонууд нь тэнцүү бөгөөд үүнийг батлах ёстой.

Бидний өмчөөс харахад жишээлбэл $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Тайлбар 1. Үндэс дор хоёроос дээш сөрөг бус хүчин зүйл байгаа тохиолдолд өмч хүчинтэй байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хэрэв $a≥0$ ба $b>0$ байвал дараах тэгшитгэлийг хангана: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Өөрөөр хэлбэл, язгуурын язгуур нь язгуурын язгууртай тэнцүү байна.
Баталгаа.
Хүснэгтийг ашиглаад өмчөө товч нотолж үзье.

Квадрат язгуур шинж чанарыг ашиглах жишээ

Жишээ 1
Тооцоолох: $\sqrt(81*25*121)$.

Шийдэл.
Мэдээжийн хэрэг, бид тооцоолуур авч, үндэс дор байгаа бүх тоог үржүүлж, квадрат язгуурыг задлах үйлдлийг хийж болно. Хэрэв гарт тооцоолуур байхгүй бол яах вэ?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Хариулт: 495.

Жишээ 2. Тооцоол: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Шийдэл.
Бид радикал тоог буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлнэ: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) доллар.
2-р өмчийг ашиглацгаая.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4 доллар.
Хариулт: 3.4.

Жишээ 3
Тооцоолох: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Шийдэл.
Бид өөрсдийн илэрхийлэлийг шууд үнэлж чадна, гэхдээ үүнийг бараг үргэлж хялбаршуулж болно. Үүнийг хийхийг хичээцгээе.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Тэгэхээр $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Хариулт: 32.

Залуус аа, радикал илэрхийллийг нэмэх, хасах үйлдлүүдийн томьёо байхгүй бөгөөд доорх илэрхийлэл буруу байгааг анхаарна уу.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Жишээ 4
Тооцоолох: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Шийдэл.
Дээр үзүүлсэн шинж чанарууд нь зүүнээс баруун тийш, урвуу дарааллаар ажилладаг, өөрөөр хэлбэл:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Үүнийг ашиглан жишээгээ шийдье.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Хариулт: a) 16; б) 2.

Эд хөрөнгө 3. Хэрэв $a≥0$ ба n нь натурал тоо бол дараах тэгшитгэл биелнэ: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Жишээ нь. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ гэх мэт.

Жишээ 5
Тооцоолох: $\sqrt(129600)$.

Шийдэл.
Бидэнд танилцуулсан тоо нь нэлээд том тул үүнийг үндсэн хүчин зүйл болгон задалъя.
Бид авсан: $129600=5^2*2^6*3^4$ эсвэл $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Хариулт: 360.

Бие даасан шийдлийн даалгавар

1. Тооцоолох: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Тооцоолох: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Тооцоолох: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Тооцоол:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
б) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Квадрат язгуурын шинж чанарууд

Одоогийн байдлаар бид тоон дээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах ба экспонентаци, тооцоололд тэд идэвхтэй ашигласан янз бүрийн шинж чанаруудэдгээр үйлдлүүд, жишээлбэл, a + b = b + a, an-bn = (ab) n гэх мэт.

Энэ бүлэгт сөрөг бус тооны квадрат язгуурыг авах шинэ үйлдлийг танилцуулж байна. Үүнийг амжилттай ашиглахын тулд та энэ үйлдлийн шинж чанаруудтай танилцах хэрэгтэй бөгөөд үүнийг бид энэ хэсэгт хийх болно.

Баталгаа. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Тэгш байдал" width="120" height="25 id=">!}.

Бид дараах теоремыг ингэж томъёолдог.

(Практикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой богино томъёолол: бутархайн үндэс бутархайтай тэнцүүязгуураас авсан буюу хуваалтын үндэс нь язгуурын хэсэгтэй тэнцүү байна.)

Энэ удаад бид зөвхөн танилцуулах болно богино тэмдэглэлнотлох ба та 1-р теоремын нотлох мөн чанарыг бүрдүүлсэн тайлбартай ижил төстэй тайлбар хийхийг хичээ.

Тайлбар 3. Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээг өөр аргаар шийдэж болно, ялангуяа танд тооцоолуур байгаа бол: 36, 64, 9 тоог үржүүлж, үр дүнгийн үр дүнгийн квадрат язгуурыг авна. Гэсэн хэдий ч дээр санал болгож буй шийдэл нь илүү соёлтой харагддаг гэдэгтэй та санал нийлэх болно.

Тайлбар 4. Эхний аргын хувьд бид шууд тооцоолол хийсэн. Хоёр дахь арга нь илүү гоёмсог юм:
бид өргөдөл гаргасан томъёо a2 - b2 = (a - b) (a + b) ба квадрат язгуурын шинж чанарыг ашигласан.

Тайлбар 5. Зарим "халуун толгой" заримдаа 3-р жишээнд дараах "шийдлийг" санал болгодог.

Энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм: та харж байна - үр дүн нь бидний жишээн дээрхтэй адилгүй 3. Үнэн хэрэгтээ өмч байхгүй байна. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Task" width="148" height="26 id=">!}Зөвхөн квадрат язгуурыг үржүүлэх, хуваах шинж чанарууд байдаг. Болгоомжтой, болгоомжтой байгаарай, хүсэл мөрөөдлөө бүү ав.

Догол мөрийг дуусгахад бид өөр нэг энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг чухал шинж чанарыг тэмдэглэж байна.
хэрэв a > 0 ба n - натурал тоо, дараа нь

Квадрат язгуур үйлдлийг агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх

Одоогоор бид зөвхөн өөрчлөлтийг хийсэн оновчтой илэрхийллүүд, үүний тулд олон гишүүнт дээр үйлдлийн дүрмийг ашиглан ба алгебрийн бутархай, үржүүлэх товчилсон томъёо гэх мэт Энэ бүлэгт бид шинэ үйлдлийг танилцуулсан - квадрат язгуурыг задлах үйл ажиллагаа; бид үүнийг тогтоосон

Энд, эргэн санах, a, b нь сөрөг бус тоонууд.

Эдгээрийг ашиглах томъёо, та квадрат язгуур үйлдлийг агуулсан илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалтыг хийж болно. Хэд хэдэн жишээг авч үзье, бүх жишээн дээр хувьсагчид зөвхөн сөрөг бус утгыг авна гэж үзэх болно.

Жишээ 3Квадрат язгуур тэмдгийн доор хүчин зүйл оруулна уу:

Жишээ 6. Шийдэл илэрхийллийг хялбарчлах. Дараалсан өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:

Энэ нийтлэл нь үндэс шинж чанарын сэдвийг авч үздэг дэлгэрэнгүй мэдээллийн цуглуулга юм. Сэдвийг авч үзэхэд бид шинж чанараас нь эхэлж, бүх томъёог судалж, нотлох баримтуудыг өгнө. Сэдвийг нэгтгэхийн тулд бид n-р зэргийн шинж чанарыг авч үзэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Root Properties

Бид үл хөдлөх хөрөнгийн талаар ярих болно.

Өмч үржүүлсэн тоо аболон б, энэ нь a · b = a · b тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ. Үүнийг эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү үржүүлэгчээр илэрхийлж болно a 1 , a 2 , … , a k a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k гэж;
хувийн хэсгээс a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, үүнийг мөн энэ хэлбэрээр бичиж болно a b = a b ;
Тооны хүчнээс гарах өмч атэгш илтгэгчтэй a 2 m = a m аль ч тооны хувьд ажишээлбэл, a 2 = a тооны квадратаас авсан шинж чанар.

Өгөгдсөн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд та зураасны тэмдгийн өмнө болон хойно байгаа хэсгүүдийг сольж болно, жишээлбэл, a · b = a · b тэгшитгэлийг a · b = a · b болгон хувиргана. Нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийг хялбарчлахад тэгш байдлын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг.

Эхний шинж чанаруудын нотолгоо нь квадрат язгуур болон байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанаруудын тодорхойлолт дээр суурилдаг. Гурав дахь шинж чанарыг нотлохын тулд тооны модулийн тодорхойлолтод хандах шаардлагатай.

Юуны өмнө квадрат язгуурын шинж чанарыг батлах шаардлагатай a · b = a · b . Тодорхойлолтын дагуу a b нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү тоо бөгөөд энэ нь тэнцүү байх болно гэж үзэх шаардлагатай. a bбарилгын ажлын явцад дөрвөлжин болгон. a · b илэрхийллийн утга нь сөрөг бус тоонуудын үржвэрийн хувьд эерэг буюу тэгтэй тэнцүү байна. Үржүүлсэн тооны зэрэглэлийн шинж чанар нь тэгш байдлыг (a · b) 2 = a 2 · b 2 хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Квадрат язгуурын тодорхойлолтоор a 2 \u003d a ба b 2 \u003d b, дараа нь a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Үүнтэй адилаар үүнийг бүтээгдэхүүнээс баталж болно күржүүлэгчид a 1 , a 2 , … , a kэдгээр хүчин зүйлсийн квадрат язгуурын үржвэртэй тэнцүү байх болно. Үнэн хэрэгтээ, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k.

Энэ тэгшитгэлээс харахад a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Сэдвийг бататгахын тулд хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 ба 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

Хэмжилтийн арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг батлах шаардлагатай: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Энэ шинж чанар нь a: b 2 = a 2: b 2, a 2: b 2 = a: b гэсэн тэгшитгэлийг бичих боломжийг олгодог бол a: b нь эерэг тоо буюу тэгтэй тэнцүү байна. Энэ илэрхийлэл нь нотолгоо байх болно.

Жишээлбэл, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ба 30, 121 = 30, 121.

Тооны квадратын квадрат язгуурын шинж чанарыг авч үзье. Үүнийг 2 = a гэж тэнцүү гэж бичиж болно. Энэ шинж чанарыг батлахын тулд хэд хэдэн тэгшитгэлийг нарийвчлан авч үзэх шаардлагатай. a ≥ 0болон цагт а< 0 .

a ≥ 0-ийн хувьд a 2 = a тэнцүү байх нь ойлгомжтой. At а< 0 a 2 = - a тэгшитгэл үнэн болно. Үнэндээ, энэ тохиолдолд − a > 0ба (− a) 2 = a 2 . Бид a 2 = a , a ≥ 0 - a , a гэж дүгнэж болно< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

5 2 = 5 = 5 ба - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.

Батлагдсан өмч нь 2 м = a m-ийг зөвтгөхөд тусална а- бодит ба м- натурал тоо. Үнэн хэрэгтээ, экспоненциал шинж чанар нь градусыг солих боломжийг бидэнд олгодог нь 2 милэрхийлэл (цаг) 2, дараа нь a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Жишээ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ба (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

n-р язгуурын шинж чанарууд

Эхлээд та n-р зэргийн үндэсийн үндсэн шинж чанарыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Тоонуудын үржвэрийн өмч аболон б, эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, тэгшитгэлээр илэрхийлж болно a b n = a n b n , энэ шинж чанар нь бүтээгдэхүүнд хүчинтэй байна ктоо a 1 , a 2 , … , a k a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n гэж;
бутархай тооноос a b n = a n b n шинж чанартай, энд аэерэг буюу тэгтэй тэнцүү ямар ч бодит тоо бөгөөд бэерэг бодит тоо;
Дурын хувьд аба тэгш тоо n = 2 м a 2 м 2 м = a нь үнэн бөгөөд сондгой n = 2 м − 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a тэгшитгэл биелэгдэнэ.
a m n = a n m -аас олборлох шинж чанар, энд а- эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү дурын тоо; nболон мнатурал тоонууд тул энэ шинж чанарыг мөн хэлбэрээр илэрхийлж болно . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Ямар ч сөрөг биш a болон дурын хувьд nболон м, байгалийн юм, нэг нь бас шударга тэгш байдлыг тодорхойлж болно a m n · m = a n ;
зэрэгтэй өмч nтооны хүчнээс а, эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, төрөл м, тэгшитгэлээр тодорхойлогддог a m n = a n m ;
Ижил илтгэгчтэй харьцуулах шинж чанар: дурын эерэг тоонуудын хувьд аболон бтиймэрхүү а< b , тэгш бус байдал a n< b n ;
Харьцуулах өмчийг эзэмшдэг ижил тооүндэс: хэрэв мболон n-натурал тоонууд m > n, дараа нь цагт 0 < a < 1 a m > a n тэгш бус байдал хүчинтэй бөгөөд хувьд a > 1а м< a n .

Тэнцүүний тэмдгийн өмнөх болон дараах хэсгүүдийг урвуу болгосон тохиолдолд дээрх тэгшитгэл хүчинтэй байна. Тэдгээрийг энэ хэлбэрээр ашиглаж болно. Энэ нь хэллэгийг хялбарчлах эсвэл хувиргах үед ихэвчлэн ашиглагддаг.

Үндэсний дээрх шинж чанаруудын баталгаа нь тодорхойлолт, зэрэглэлийн шинж чанар, тооны модулийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Эдгээр шинж чанарууд нь батлагдсан байх ёстой. Гэхдээ бүх зүйл эмх цэгцтэй байна.

Юуны өмнө бид a · b n = a n · b n үржвэрээс n-р зэргийн язгуурын шинж чанарыг батлах болно. Учир нь аболон б, аль ньбайна эерэг эсвэл тэг , a n · b n утга нь мөн эерэг буюу тэгтэй тэнцүү, учир нь энэ нь сөрөг бус тоог үржүүлсний үр дагавар юм. Байгалийн эрчим хүчний бүтээгдэхүүний шинж чанар нь a n · b n n = a n n · b n n тэгшитгэлийг бичих боломжийг бидэнд олгодог. Үндэсний тодорхойлолтоор n th зэрэгтэй a n n = a ба b n n = b , тиймээс a n · b n n = a · b . Үүний үр дүнд үүссэн тэгш байдал нь нотлох шаардлагатай байсан зүйл юм.

Энэ шинж чанар нь бүтээгдэхүүний хувьд ижил төстэй нотлогдсон кхүчин зүйлс: сөрөг бус тоонуудын хувьд a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Үндсэн өмчийг ашиглах жишээ энд байна nБүтээгдэхүүнээс гарах хүч: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ба 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

a b n = a n b n хэсгийн язгуурын шинж чанарыг баталъя. At a ≥ 0болон b > 0 a n b n ≥ 0 нөхцөл хангагдах ба a n b n n = a n n b n n = a b.

Жишээнүүдийг үзүүлье:

Жишээ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ба 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

Учир нь дараагийн алхамтооноос зэрэг хүртэлх n-р зэргийн шинж чанарыг батлах шаардлагатай n. Бид үүнийг ямар ч бодит хувьд a 2 м 2 м = a ба 2 м - 1 2 м - 1 = a тэнцүү гэж төлөөлдөг. амөн байгалийн м. At a ≥ 0бид a = a ба a 2 m = a 2 m-ийг авах бөгөөд энэ нь a 2 m 2 m = a тэнцүү болохыг баталж, a 2 m - 1 2 m - 1 = a тэнцүү байх нь ойлгомжтой. At а< 0 Бид тус тусад нь a = - a ба 2 m = (- a) 2 m = a 2 m-ийг авна. Тооны сүүлчийн хувиргалт нь зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу хүчинтэй байна. Энэ нь 2 м 2 м \u003d a тэнцүү болохыг баталж байгаа бөгөөд 2 м - 1 2 м - 1 \u003d a нь үнэн байх болно, учир нь - c 2 м - 1 \u003d - c 2 м-ийг сондгой гэж үздэг. зэрэг - дурын тооны хувьд 1 в,эерэг буюу тэгтэй тэнцүү.

Хүлээн авсан мэдээллийг нэгтгэхийн тулд үл хөдлөх хөрөнгийг ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 ба (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39.

Дараах тэгш байдлыг баталъя a m n = a n · m . Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн өмнөх ба дараа нь a n · m = a m n гэсэн газруудын тоог өөрчлөх шаардлагатай. гэсэн утгатай болно зөв оруулга. Учир нь а,энэ нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү байна , a m n хэлбэрээс эерэг тоо буюу тэгтэй тэнцүү байна. Эрх мэдлийг хүчирхэг болгох шинж чанар, тодорхойлолт руу хандъя. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та тэгш байдлыг a m n n · m = a m n n m = a m m = a хэлбэрээр хувиргаж болно. Энэ нь язгуураас язгуурын авч үзсэн шинж чанарыг нотолж байна.

Бусад шинж чанарууд нь ижил төстэй байдлаар нотлогддог. Үнэхээр, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk =. . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk =. . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk =. . . = a n k n k = a .

Жишээлбэл, 7 3 5 = 7 5 3 ба 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Баталцгаая дараагийн өмч a m n · m = a n . Үүний тулд n нь эерэг буюу тэгтэй тэнцүү тоо гэдгийг харуулах шаардлагатай. Хүчин чадалд n m нь дээшлэх үед а м. Хэрэв дугаар аэерэг эсвэл тэг байвал nдундаас-р зэрэг аэерэг тоо буюу тэгтэй тэнцүү Түүнээс гадна нотлох ёстой a n · m n = a n n m .

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэхийн тулд цөөн хэдэн жишээг авч үзье.

Дараах шинж чанарыг баталъя - a m n = a n m хэлбэрийн чадлын язгуурын шинж чанар. Энэ нь тодорхой байна a ≥ 0 a n m зэрэг нь сөрөг бус тоо юм. Түүнээс гадна, түүнийг n-р зэрэгтэй тэнцүү байна а м, үнэхээр, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Энэ нь тухайн зэрэглэлийн шинж чанарыг нотолж байна.

Жишээлбэл, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

Аливаа эерэг тоонуудын хувьд бид үүнийг батлах хэрэгтэй аболон б а< b . a n тэгш бус байдлыг авч үзье< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Иймээс a n< b n при а< b .

Жишээлбэл, бид 12 4-ийг өгдөг< 15 2 3 4 .

Үндсэн шинж чанарыг анхаарч үзээрэй n--р зэрэг. Эхлээд тэгш бус байдлын эхний хэсгийг анхаарч үзээрэй. At m > nболон 0 < a < 1 үнэн a m > a n . a m ≤ a n гэж бодъё. Properties нь a n m · n ≤ a m m · n илэрхийллийг хялбарчлах болно. Дараа нь байгалийн илтгэгчтэй градусын шинж чанарын дагуу a n m n m n ≤ a m m n m n тэгш бус байдал хангагдана, өөрөөр хэлбэл, a n ≤ a m. Хүлээн авсан утга m > nболон 0 < a < 1 дээрх шинж чанаруудтай таарахгүй байна.

Үүнтэй адил хүн үүнийг баталж чадна m > nболон a > 1нөхцөл a m< a n .

Дээрх шинж чанаруудыг засахын тулд хэд хэдэн зүйлийг анхаарч үзээрэй тодорхой жишээнүүд. Тодорхой тоонуудыг ашиглан тэгш бус байдлыг авч үзье.

Жишээ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу