Энэ нийтлэлд хоёрыг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн гарал үүслийг илчилнэ оноо өгсөнхавтгай дээр байрлах тэгш өнцөгт координатын системд. Тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гарган авна. Бид хамрагдсан материалтай холбоотой хэд хэдэн жишээг нүдээр үзүүлж, шийдвэрлэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авахын өмнө зарим баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хавтгайн давхцаагүй хоёр цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугам татах боломжтой гэсэн аксиом байдаг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар онгоцны өгөгдсөн хоёр цэгийг тодорхойлно.

Хэрэв хавтгайг тэгш өнцөгт координатын Oxy системээр өгсөн бол түүн дээр дүрслэгдсэн аливаа шулуун шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй тохирно. Шулуун шугамын чиглүүлэх вектортой мөн холболт бий.Эдгээр өгөгдөл нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиоход хангалттай.

Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдэх жишээг авч үзье. Декартын координатын системд байрлах M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) хоёр тохирохгүй цэгийг дайран өнгөрөх a шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлд x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay хэлбэртэй тэгш өнцөгт координатын систем O xy нь M координаттай цэг дээр түүнтэй огтлолцдог шулуун шугамаар тодорхойлогддог. 1 (x 1, y 1) чиглүүлэгч вектортой a → = (ax , ay) .

Үүнийг зурах шаардлагатай байна каноник тэгшитгэл M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх a шулуун шугам.

Шулуун шугам a нь M 1 ба M 2 цэгүүдийг огтолж байгаа тул координаттай (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → чиглүүлэх вектортой байна. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) чиглэлийн векторын координат ба тэдгээр дээр байрлах M 1 цэгүүдийн координат бүхий каноник тэгшитгэлийг хувиргахын тулд бид шаардлагатай өгөгдлийг олж авсан. (x 1, y 1) ба M 2 (x 2 , y 2) . Бид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Тооцооллын дараа бид M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ. Бид x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ эсвэл x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авдаг. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Хэд хэдэн жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 координаттай өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

x 1 , y 1 ба x 2 , y 2 координаттай хоёр цэгт огтлолцох шулуун шугамын каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 хэлбэртэй байна. Асуудлын нөхцлийн дагуу бид x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 байна. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 тэгшитгэлд тоон утгыг орлуулах шаардлагатай. Эндээс бид каноник тэгшитгэл нь x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 хэлбэртэй болохыг олж мэднэ.

Хариулт: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Хэрэв та өөр төрлийн тэгшитгэлээр асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол эхлээд каноник хувилбар руу очиж болно, учир нь үүнээс өөр зүйлд хүрэх нь илүү хялбар байдаг.

Жишээ 2

O xy координатын системийн M 1 (1, 1) ба M 2 (4, 2) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл

Эхлээд та өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн шугамын каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Бид каноник тэгшитгэлийг хүссэн хэлбэрт оруулаад дараах зүйлийг авна.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 у - 1 ⇔ x - 3 у + 2 = 0

Хариулт: x - 3 y + 2 = 0.

Ийм ажлуудын жишээг нийтлэлд авч үзсэн болно сургуулийн сурах бичигалгебрийн ангид. Сургуулийн даалгаварууд нь шулуун шугамын тэгшитгэлээр ялгаатай байв налуугийн хүчин зүйл, y = k x + b хэлбэртэй байна. Хэрэв та y \u003d kx + b тэгшитгэл нь M 1 (x 1, y 1) ба M цэгүүдийг дайран өнгөрөх O xy систем дэх шугамыг тодорхойлдог k налуу ба b тоог олох шаардлагатай бол. 2 (x 2, y 2) , энд x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 үед , дараа нь налуу нь хязгааргүй байдлын утгыг авах ба шулуун шугам M 1 M 2 нь x - x 1 = 0 хэлбэрийн ерөнхий бүрэн бус тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. .

Учир нь цэгүүд М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байгаа бол тэдгээрийн координатууд нь y 1 = k x 1 + b ба y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийг хангана. y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийн системийг k ба b-тэй харьцуулан шийдвэрлэх шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд бид k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x-ийг олно. 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ийм k ба b утгуудтай бол өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - хэлбэртэй байна. x 1 x 1 эсвэл y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Үүнийг яг одоо санаарай их хэмжээнийтомъёо ажиллахгүй. Үүнийг хийхийн тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд давталтын тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 3

M 2 (2, 1) ба у = k x + b координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх налуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид y \u003d k x + b хэлбэртэй налуутай томьёог ашигладаг. k ба b коэффициентүүд нь энэ тэгшитгэл нь M 1 (- 7 , - 5) ба M 2 (2, 1) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байх ёстой.

оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байрладаг бол тэдгээрийн координатууд нь y = k x + b тэгшитгэлийг зөв тэгшитгэлийг эргүүлэх ёстой. Эндээс бид үүнийг олж авна - 5 = k · (- 7) + b ба 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b системд тэгшитгэлийг нэгтгэж шийдье.

Орлуулах үед бид үүнийг олж авдаг

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Одоо k = 2 3 ба b = - 1 3 утгуудыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулж байна. Өгөгдсөн цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хүссэн тэгшитгэл нь y = 2 3 x - 1 3 хэлбэртэй тэгшитгэл болно гэдгийг бид олж мэднэ.

Шийдвэрлэх ийм арга нь зарцуулалтыг урьдчилан тодорхойлдог их тооцаг. Даалгаврыг шууд утгаараа хоёр үе шаттайгаар шийддэг арга байдаг.

M 2 (2, 1) ба M 1 (- 7, - 5) -ийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) хэлбэртэй бичнэ. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Одоо налуугийн тэгшитгэл рүү шилжье. Бид үүнийг олж авна: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Хариулт: y = 2 3 x - 1 3 .

Хэрэв гурван хэмжээст орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) координаттай өгөгдсөн давхцаагүй хоёр цэг бүхий тэгш өнцөгт координатын систем O xyz байвал M шулуун шугамыг тэдгээрийн дундуур 1 M 2-ийг дайран өнгөрөхөд энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай.

Бидэнд x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд ба x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлүүд байна. az λ нь a → = (ax, ay, az) чиглэлийн вектор бүхий координат (x 1, y 1, z 1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх O x y z координатын системд шугам тавих боломжтой.

Шулуун М 1 М 2 нь M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) хэлбэрийн чиглэлийн вектортой бөгөөд шугам нь M 1 (x 1 , y 1 , z ) цэгийг дайран өнгөрдөг. 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2), иймээс каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z хэлбэртэй байж болно. 2 - z 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, эргээд параметрийн x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Орон зайд өгөгдсөн 2 цэг болон шулуун шугамын тэгшитгэлийг харуулсан зургийг авч үзье.

Жишээ 4

Гурван хэмжээст орон зайн O xyz тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон шулуун шугамын M 1 (2, - 3, 0) ба M 2 (1, - 3, - 5) координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх тэгшитгэлийг бич. ) .

Шийдэл

Бид каноник тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй. Учир нь бид ярьж байнагурван хэмжээст орон зайн тухай бөгөөд энэ нь шулуун шугам өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөхөд хүссэн каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - хэлбэртэй болно гэсэн үг юм. z 1 z 2 - z 1.

Нөхцөлөөр бид x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Хариулт: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Дамжуулж буй шулуун шугамын тэгшитгэл өгсөн онооэнэ чиглэлд. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Хоёр шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шугамын параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(х 1 , y 1) налуугаар тодорхойлогдсон өгөгдсөн чиглэлд к,

y - y 1 = к(х - х 1). (1)

Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгийг дайран өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(х 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.

2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл: А(х 1 , y 1) ба Б(х 2 , y 2) дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын налууг томъёогоор тодорхойлно

3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг АТэгээд Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцох цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шугамыг налуугийн тэгшитгэлээр өгвөл

y = к 1 х + Б 1 ,

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрүүдямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Иймд: 3 - 2 + C = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,гэхдээ б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, дараа нь бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

гэхдээ φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Бичих шаардлагатай янз бүрийн төрөлтэгшитгэл

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-т хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / к 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (х 1, у 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (х 1, у 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Шулуун шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдийг дайруул. M 1 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y- y 1 \u003d хэлбэртэй байна. к (x - x 1), (10.6)

хаана к - одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгийг дайран өнгөрч байгаа тул энэ цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (10.6) хангах ёстой: y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 \u003d x 2 бол M 1 (x 1, y I) ба M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 \u003d y I бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг y \u003d y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь x тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг Ox тэнхлэгийг M 1 (a; 0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0; b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг шулуун шугамаар таслахыг заадаг.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Өгөгдсөн тэгээс өөр n = (A; B) векторт перпендикуляр Mo (x O; y o) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олъё.

Шулуун дээр дурын M(x; y) цэгийг аваад M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: өөрөөр хэлбэл,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг нэрлэнэ Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл .

Шугаманд перпендикуляр n = (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

(10.8) тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C \u003d -Ax o - Vu o - чөлөөт гишүүн. Тэгшитгэл (10.9) шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
шулуун өнгөрөх цэгийн координат ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. Тэгээд фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол утга юм
, голомтын хоорондох зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Үхрийн тэнхлэг дээр байрладаг, гарал үүсэл нь голомтуудын дунд байдаг эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа гол хагас тэнхлэгийн урт;б нь бага хагас тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Нийтлэлд" " Өгөгдсөн функцийн график ба энэ графикт шүргэгчийг ашиглан дериватив олохын тулд танилцуулсан асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь аргыг шинжлэхийг би танд амласан. Бид энэ аргыг судлах болно , битгий алдаарай! Яагааддараачийн?

Баримт нь шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог тэнд ашиглах болно. Мэдээжийн хэрэг, хүн зүгээр л харуулж болно энэ томъёомөн үүнийг сурахыг танд зөвлөж байна. Гэхдээ энэ нь хаанаас гаралтай вэ гэдгийг тайлбарлах нь дээр. Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Хэрэв та мартсан бол хурдан сэргээхэцүү биш байх болно. Бүгдийг доор дэлгэрэнгүй харуулав. Тиймээс бид координатын хавтгай дээр хоёр А цэгтэй байна(x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) гэж заасан цэгүүдээр шулуун шугам татна.

Энд шууд томъёо байна:

*Өөрөөр хэлбэл, цэгүүдийн тодорхой координатыг орлуулахад y=kx+b хэлбэрийн тэгшитгэл гарна.

** Хэрэв энэ томьёог зүгээр л "цээсэн" бол индекстэй андуурагдах магадлал өндөр байна. X. Нэмж дурдахад индексийг янз бүрийн аргаар тэмдэглэж болно, жишээлбэл:

Тийм учраас утгыг нь ойлгох нь чухал.

Одоо энэ томъёоны гарал үүсэл. Бүх зүйл маш энгийн!

ABE ба ACF гурвалжин нь хурц өнцгөөр төстэй (тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын эхний шинж тэмдэг). Эндээс харгалзах элементүүдийн харьцаа тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл:

Одоо бид эдгээр сегментүүдийг цэгүүдийн координатын зөрүүгээр илэрхийлж байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та элементүүдийн харилцааг өөр дарааллаар бичвэл алдаа гарахгүй (хамгийн гол нь захидал харилцааг хадгалах явдал юм):

Үр дүн нь шулуун шугамын ижил тэгшитгэл юм. Энэ бүгд!

Өөрөөр хэлбэл, цэгүүд (мөн тэдгээрийн координатууд) хэрхэн томилогдсоноос үл хамааран энэ томъёог ойлгосноор та шулуун шугамын тэгшитгэлийг үргэлж олох болно.

Томьёог векторуудын шинж чанарыг ашиглан гаргаж болно, гэхдээ бид тэдгээрийн координатын пропорциональ байдлын талаар ярих тул гарган авах зарчим нь ижил байх болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал ажилладаг. Миний бодлоор дээр дурдсан дүгнэлт илүү ойлгомжтой)).

Гаралтыг вектор координатаар харах >>>

Өгөгдсөн A (x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) хоёр цэгийг дайран өнгөрөх координатын хавтгай дээр шулуун шугам байгуулъя. Координаттай шулуун дээрх дурын C цэгийг тэмдэглэе. х; y). Бид мөн хоёр векторыг тэмдэглэж байна:

Зэрэгцээ шулуун (эсвэл нэг шулуун дээр) байрлах векторуудын хувьд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байдаг нь мэдэгдэж байна, өөрөөр хэлбэл:

- бид харгалзах координатын харьцааны тэгш байдлыг бичнэ.

Жишээ авч үзье:

(2;5) ба (7:3) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Та өөрөө шугам барьж чадахгүй. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Харьцааг гаргахдаа захидал харилцааг барьж авах нь чухал юм. Хэрэв та дараах зүйлийг бичвэл буруу явж чадахгүй.

Хариулт: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Үүссэн тэгшитгэл зөв олдсон эсэхийг шалгахын тулд үүнийг шалгахаа мартуузай - өгөгдлийн координатыг цэгүүдийн нөхцөлд орлуулна уу. Та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.

Тэгээд л болоо. Энэ материал танд хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна.

Хүндэтгэсэн, Александр.

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.