Хавтгай дээр байрлах тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийн гарал үүслийг энэ нийтлэлд үзүүлэв. Тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргаж авдаг. Бид хамрагдсан материалтай холбоотой хэд хэдэн жишээг нүдээр үзүүлж, шийдвэрлэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авахын өмнө зарим баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугам татах боломжтой гэсэн аксиом байдаг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар онгоцны өгөгдсөн хоёр цэгийг тодорхойлно.

Хэрэв хавтгайг тэгш өнцөгт координатын систем Oxy өгсөн бол түүн дээр дүрсэлсэн аливаа шулуун шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй тохирно. Шулуун шугамын чиглүүлэх вектортой мөн холболт бий.Эдгээр өгөгдөл нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиоход хангалттай.

Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдэх жишээг авч үзье. Декартын координатын системд байрлах M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) хоёр тохирохгүй цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг томъёолох шаардлагатай.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлд x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay хэлбэртэй тэгш өнцөгт координатын систем O xy нь M координаттай цэг дээр түүнтэй огтлолцдог шулуун шугамаар тодорхойлогддог. 1 (x 1, y 1) чиглүүлэгч вектортой a → = (ax , ay) .

M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай.

Шулуун шугам a нь M 1 ба M 2 цэгүүдийг огтолж байгаа тул координаттай (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → чиглүүлэх вектортой байна. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) чиглэлийн векторын координат ба тэдгээр дээр байрлах M 1 цэгүүдийн координат бүхий каноник тэгшитгэлийг хувиргахын тулд бид шаардлагатай өгөгдлийг олж авсан. (x 1, y 1) ба M 2 (x 2 , y 2) . Бид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Тооцооллын дараа бид M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайд шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ. Бид x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ эсвэл x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авдаг. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Хэд хэдэн жишээг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 координаттай өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

x 1 , y 1 ба x 2 , y 2 координаттай хоёр цэгт огтлолцох шулуун шугамын каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 хэлбэртэй байна. Асуудлын нөхцлийн дагуу бид x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 байна. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 тэгшитгэлд тоон утгыг орлуулах шаардлагатай. Эндээс бид каноник тэгшитгэл нь x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 хэлбэртэй болно.

Хариулт: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Хэрэв та өөр төрлийн тэгшитгэлээр асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол эхлээд каноник хувилбар руу очиж болно, учир нь үүнээс өөр зүйлд хүрэх нь илүү хялбар байдаг.

Жишээ 2

O xy координатын системийн M 1 (1, 1) ба M 2 (4, 2) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл

Эхлээд та өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн шугамын каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Бид каноник тэгшитгэлийг хүссэн хэлбэрт оруулаад дараах зүйлийг авна.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 у - 1 ⇔ x - 3 у + 2 = 0

Хариулт: x - 3 y + 2 = 0.

Ийм даалгаврын жишээг сургуулийн сурах бичигт алгебрийн хичээл дээр авч үзсэн. Сургуулийн даалгавар нь y \u003d k x + b хэлбэртэй налуугийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэддэг байснаараа ялгаатай байв. Хэрэв та y \u003d kx + b тэгшитгэл нь M 1 (x 1, y 1) ба M цэгүүдийг дайран өнгөрөх O xy систем дэх шугамыг тодорхойлдог k налуу ба b тоог олох шаардлагатай бол. 2 (x 2, y 2) , энд x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 үед , дараа нь налуу нь хязгааргүй байдлын утгыг авах ба шулуун шугам M 1 M 2 нь x - x 1 = 0 хэлбэрийн ерөнхий бүрэн бус тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. .

Учир нь цэгүүд М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байгаа бол тэдгээрийн координатууд нь y 1 = k x 1 + b ба y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийг хангана. y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийн системийг k ба b-тэй харьцуулан шийдвэрлэх шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд бид k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x-ийг олно. 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ийм k ба b утгуудын хувьд өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 хэлбэртэй байна. - x 1 x 1 эсвэл y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ийм олон тооны томьёог нэг дор цээжлэх нь үр дүнд хүрэхгүй. Үүнийг хийхийн тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд давталтын тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 3

М 2 (2, 1) ба у = k x + b координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх налуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид y \u003d k x + b хэлбэртэй налуутай томьёог ашигладаг. k ба b коэффициентүүд нь энэ тэгшитгэл нь M 1 (- 7 , - 5) ба M 2 (2 , 1) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байх ёстой.

оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байрладаг бол тэдгээрийн координатууд нь y = k x + b тэгшитгэлийг зөв тэгшитгэлийг эргүүлэх ёстой. Эндээс бид үүнийг олж авна - 5 = k · (- 7) + b ба 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b системд тэгшитгэлийг нэгтгэж шийдье.

Орлуулах үед бид үүнийг олж авдаг

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Одоо k = 2 3 ба b = - 1 3 утгуудыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулж байна. Өгөгдсөн цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хүссэн тэгшитгэл нь y = 2 3 x - 1 3 хэлбэртэй тэгшитгэл болно гэдгийг бид олж мэднэ.

Шийдвэрлэх ийм арга нь их хэмжээний цаг зарцуулалтыг урьдчилан тодорхойлдог. Даалгаврыг шууд утгаараа хоёр үе шаттайгаар шийддэг арга байдаг.

M 2 (2, 1) ба M 1 (- 7, - 5) -ийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) хэлбэртэй бичнэ. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Одоо налуугийн тэгшитгэл рүү шилжье. Бид үүнийг олж авна: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Хариулт: y = 2 3 x - 1 3 .

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) координаттай өгөгдсөн давхцаагүй хоёр цэг бүхий тэгш өнцөгт координатын систем O xyz байвал M шулуун шугамыг тэдгээрийн дундуур 1 M 2 дамжуулж, энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай.

Бидэнд x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд ба x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлүүд байна. az λ нь a → = (ax, ay, az) чиглэлийн вектор бүхий координат (x 1, y 1, z 1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх O x y z координатын системд шугам тавих боломжтой.

Шулуун М 1 М 2 нь M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) хэлбэрийн чиглэлийн вектортой бөгөөд шугам нь M 1 (x 1 , y 1 , z ) цэгийг дайран өнгөрдөг. 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2), иймээс каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z хэлбэртэй байж болно. 2 - z 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, эргээд параметрийн x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Орон зайд өгөгдсөн 2 цэг болон шулуун шугамын тэгшитгэлийг харуулсан зургийг авч үзье.

Жишээ 4

Гурван хэмжээст орон зайн O xyz тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон шулуун шугамын M 1 (2, - 3, 0) ба M 2 (1, - 3, - 5) координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх тэгшитгэлийг бич. ).

Шийдэл

Бид каноник тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй. Гурван хэмжээст орон зайн тухай ярьж байгаа тул өгөгдсөн цэгүүдийг шулуун шугам өнгөрөхөд хүссэн каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = хэлбэртэй болно гэсэн үг юм. z - z 1 z 2 - z 1.

Нөхцөлөөр бид x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Хариулт: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

мөн A, B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл. A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - шугам эхийг дайран өнгөрдөг

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Axe + C \u003d 0) - шугам нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцдаг

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл

Тодорхойлолт.Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + By + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна.

Жишээ. (3, -1) перпендикуляр А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 үед бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулна: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуулна. Бид дараахийг авна. 3 - 2 + C = 0, тиймээс, C = -1 . Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь 0-тэй тэнцүү бол харгалзах хүртэгчийг тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1 ≠ x 2 ба x = x 1 бол x 1 = x 2.

Бутархай = k гэж нэрлэдэг налуугийн хүчин зүйлЧигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуу

Хэрэв нийт Ax + Wu + C = 0 нь дараах хэлбэрт хүргэнэ:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Цэг ба чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй адилтгаж, та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам болон шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг оруулж болно.

Тодорхойлолт.Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A α 1 + B α 2 = 0 нөхцөлийг хангадаг тэг биш вектор (α 1, α 2) бүрийг шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Чиглэлийн вектор (1, -1) ба А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2-ын хувьд бид C / A = -3, i.e. Хүссэн тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал –C-д хуваавал бид дараахийг авна. эсвэл

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм гэхдээнь шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б- шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x - y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмүүдээс ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл

Ax + Vy + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг тоогоор үржүүлбэл гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл. Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг μ * С байхаар сонгох ёстой< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Жишээ. Өгөгдсөн ерөнхий тэгшитгэл 12x - 5y - 65 = 0. Энэ мөрөнд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ. Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Жишээ. А (-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. , энд x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг

Тодорхойлолт.Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцөг дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

.

Хэрвээ k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна. k 1 = -1/ k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB коэффициентүүд пропорциональ байх үед Ax + Vy + C \u003d 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 шулуун шугамууд зэрэгцээ байна. Хэрэв мөн С 1 = λС байвал шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх ба y \u003d kx + b шугаманд перпендикуляр шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем.Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Vy + C \u003d 0 шугам хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

(1)

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0-ээр + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэл (1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ. Шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Жишээ. 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Шийдэл. Бид олдог: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. Гурвалжны оройг A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид AB талын тэгшитгэлийг олно. ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Хүссэн өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b. k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана. үүнээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3x + 2y - 34 = 0.

Энэ нийтлэлд бид хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Хэрэв энэ шулуун шугамын хоёр цэг мэдэгдэж байгаа эсвэл нэг цэг ба хэвийн вектор нь мэдэгдэж байвал шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулах жишээг өгье. Ерөнхий хэлбэрийн тэгшитгэлийг каноник ба параметрт хэлбэрт шилжүүлэх аргуудыг танилцуулъя.

Дурын декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгье Окси. Нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл эсвэл шугаман тэгшитгэлийг авч үзье.

Ax+By+C=0,

(1)

хаана A, B, Cнь зарим тогтмолууд ба ядаж нэг элемент юм АТэгээд Бтэгээс ялгаатай.

Хавтгай дээрх шугаман тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог болохыг бид харуулах болно. Дараах теоремыг баталъя.

Теорем 1. Хавтгай дээрх дурын декартын тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугам бүрийг шугаман тэгшитгэлээр өгч болно. Үүний эсрэгээр, хавтгай дээрх дурын декартын тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугаман тэгшитгэл (1) бүр нь шулуун шугамыг тодорхойлдог.

Баталгаа. Энэ нь шугам гэдгийг батлахад хангалттай Лаль нэг декарт тэгш өнцөгт координатын системийн шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлогддог ба түүнээс хойш шугаман тэгшитгэл болон аль ч декартын тэгш өнцөгт координатын системийн сонголтоор тодорхойлогдоно.

Хавтгай дээр шулуун шугам өгье Л. Бид координатын системийг сонгож, ингэснээр тэнхлэг Үхэршугамтай нийцүүлсэн Л, болон тэнхлэг Өөтүүнд перпендикуляр байсан. Дараа нь шугамын тэгшитгэл Лдараах хэлбэрийг авна.

y=0.

(2)

Нэг шулуун дээрх бүх цэгүүд Лшугаман тэгшитгэлийг (2) хангах бөгөөд энэ шулуун шугамын гаднах бүх цэгүүд (2) тэгшитгэлийг хангахгүй. Теоремын эхний хэсэг батлагдсан.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг өгч, шугаман тэгшитгэлийг (1) өгье, энд дор хаяж нэг элемент байна. АТэгээд Бтэгээс ялгаатай. Координатууд нь (1) тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдийн байршлыг ол. Наад зах нь нэг коэффициент учраас АТэгээд Бтэгээс ялгаатай бол (1) тэгшитгэл дор хаяж нэг шийдтэй байна М(х 0 ,y 0). (Жишээ нь, хэзээ А≠0, цэг М 0 (−C/A, 0) өгөгдсөн цэгийн байршилд хамаарна). Эдгээр координатуудыг (1)-д орлуулснаар бид таних тэмдгийг олж авна

Сүх 0 +By 0 +C=0.

(3)

(1)-ээс (3) дугаарыг хасъя:

А(х−х 0)+Б(y−y 0)=0.

(4)

Тэгшитгэл (4) нь тэгшитгэл (1)-тэй тэнцэх нь ойлгомжтой. Тиймээс (4) ямар нэг мөрийг тодорхойлж байгааг батлахад хангалттай.

Бид декартын тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзэж байгаа тул (4) тэнцүү байдлаас үзэхэд бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор ( x−x 0 , y−y 0 ) нь векторт ортогональ байна nкоординаттай ( А,Б}.

Зарим шугамыг анхаарч үзээрэй Лцэгээр дамжин өнгөрөх М 0 (х 0 , y 0) ба векторт перпендикуляр байна n(Зураг 1). Гол нь байя М(х,y) мөрөнд хамаарна Л. Дараа нь координат бүхий вектор x−x 0 , y−y 0 перпендикуляр nба тэгшитгэл (4) хангагдсан (векторуудын скаляр үржвэр). nба тэгтэй тэнцүү). Эсрэгээрээ, хэрэв цэг М(х,y) шугаман дээр хэвтдэггүй Л, дараа нь координаттай вектор x−x 0 , y−y 0 нь векторын ортогональ биш юм n(4) тэгшитгэл хангагдаагүй байна. Теорем нь батлагдсан.

Баталгаа. (5) ба (6) шугамууд нь ижил шугамыг тодорхойлдог тул хэвийн векторууд n 1 ={А 1 ,Б 1) ба n 2 ={А 2 ,Б 2) хоорондоо уялдаатай байна. Векторуудаас хойш n 1 ≠0, n 2 ≠ 0 байвал тоо байна λ , юу n 2 =n 1 λ . Тиймээс бидэнд байна: А 2 =А 1 λ , Б 2 =Б 1 λ . Үүнийг баталъя C 2 =C 1 λ . Давхцаж буй шугамууд нь нийтлэг цэгтэй байх нь ойлгомжтой М 0 (х 0 , y 0). (5) тэгшитгэлийг үржүүлэх λ ба түүнээс (6) тэгшитгэлийг хасвал бид дараахь зүйлийг авна.

(7) илэрхийллийн эхний хоёр тэгшитгэл хангагдсан тул C 1 λ −C 2=0. Тэдгээр. C 2 =C 1 λ . Тайлбар нотлогдсон.

Тэгшитгэл (4) нь тухайн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу М 0 (х 0 , y 0) ба хэвийн вектортой байна n={А,Б). Иймд шугамын хэвийн вектор болон энэ шулуунд хамаарах цэг нь мэдэгдэж байгаа бол (4) тэгшитгэлийг ашиглан шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулж болно.

Жишээ 1. Шугаман цэгийг дайран өнгөрдөг М=(4,−1) ба хэвийн вектортой n=(3, 5). Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуул.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: х 0 =4, y 0 =−1, А=3, Б=5. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгохын тулд бид эдгээр утгыг тэгшитгэл (4) болгон орлуулна.

Хариулт:

Шугамантай параллель вектор Лба иймээс шугамын хэвийн векторт перпендикуляр байна Л. Ердийн шулуун векторыг байгуулъя Л, векторуудын скаляр үржвэрийг өгсөн nба тэгтэй тэнцүү байна. Бид жишээ нь бичиж болно. n={1,−3}.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулахын тулд (4) томъёог ашиглана. (4) цэгийн координатыг орлуулъя М 1 (бид мөн цэгийн координатыг авч болно М 2) ба хэвийн вектор n:

Орлуулах цэгийн координат М 1 ба М 2-ын (9)-д бид (9) тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрч байгаа эсэхийг шалгаж болно.

Хариулт:

(1)-ээс (10) хасна:

Бид шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг олж авлаа. Вектор q={−Б, А) нь шулуун шугамын (12) чиглэлийн вектор юм.

Урвуу хувиргалтыг үзнэ үү.

Жишээ 3. Хавтгайн шулуун шугамыг дараах ерөнхий тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Хоёр дахь гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг 2 5-т хуваа.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Нийтлэлд" " Өгөгдсөн функцийн график ба энэ графикт шүргэгчээр дериватив олохын тулд танилцуулсан асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь аргыг шинжлэхийг би танд амласан. Бид энэ аргыг судлах болно , битгий алдаарай! Яагааддараачийн?

Баримт нь шулуун шугамын тэгшитгэлийн томъёог тэнд ашиглах болно. Мэдээжийн хэрэг, хүн энэ томъёог зүгээр л харуулж, үүнийг сурахыг зөвлөж болно. Гэхдээ энэ нь хаанаас гаралтай вэ гэдгийг тайлбарлах нь дээр. Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай! Хэрэв та мартсан бол хурдан сэргээхэцүү биш байх болно. Бүгдийг доор дэлгэрэнгүй харуулав. Тиймээс бид координатын хавтгай дээр хоёр А цэгтэй байна(x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) гэж заасан цэгүүдээр шулуун шугам татна.

Энд шууд томъёо байна:

*Өөрөөр хэлбэл, цэгүүдийн тусгай координатыг орлуулахад y=kx+b хэлбэрийн тэгшитгэл гарна.

** Хэрэв энэ томьёог зүгээр л "цээсэн" бол индекстэй андуурагдах магадлал өндөр байна. X. Нэмж дурдахад индексийг янз бүрийн аргаар тэмдэглэж болно, жишээлбэл:

Тийм учраас утгыг нь ойлгох нь чухал.

Одоо энэ томъёоны гарал үүсэл. Бүх зүйл маш энгийн!

ABE ба ACF гурвалжин нь хурц өнцгөөр төстэй (тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын эхний шинж тэмдэг). Эндээс харгалзах элементүүдийн харьцаа тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл:

Одоо бид эдгээр сегментүүдийг цэгүүдийн координатын зөрүүгээр илэрхийлж байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та элементүүдийн харилцааг өөр дарааллаар бичвэл алдаа гарахгүй (хамгийн гол нь захидал харилцааг хадгалах явдал юм):

Үр дүн нь шулуун шугамын ижил тэгшитгэл юм. Энэ бүгд!

Өөрөөр хэлбэл, цэгүүд (мөн тэдгээрийн координатууд) хэрхэн томилогдсоноос үл хамааран энэ томъёог ойлгосноор та шулуун шугамын тэгшитгэлийг үргэлж олох болно.

Томьёог векторуудын шинж чанарыг ашиглан гаргаж болно, гэхдээ бид тэдгээрийн координатын пропорциональ байдлын талаар ярих тул гарган авах зарчим нь ижил байх болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдал ажилладаг. Миний бодлоор дээр дурдсан дүгнэлт илүү ойлгомжтой)).

Гаралтыг вектор координатаар харах >>>

Өгөгдсөн A (x 1; y 1) ба B (x 2; y 2) хоёр цэгийг дайран өнгөрөх координатын хавтгай дээр шулуун шугам байгуулъя. Координаттай шулуун дээрх дурын C цэгийг тэмдэглэе. х; y). Бид мөн хоёр векторыг тэмдэглэдэг:

Зэрэгцээ шулуун (эсвэл нэг шулуун дээр) байрлах векторуудын хувьд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байдаг нь мэдэгдэж байна, өөрөөр хэлбэл:

- бид харгалзах координатын харьцааны тэгш байдлыг бичнэ.

Жишээ авч үзье:

(2;5) ба (7:3) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Та өөрөө шугам барьж чадахгүй. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Харьцааг гаргахдаа захидал харилцааг барьж авах нь чухал юм. Хэрэв та дараах зүйлийг бичвэл буруу явж чадахгүй.

Хариулт: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Үүссэн тэгшитгэл зөв олдсон эсэхийг шалгахын тулд үүнийг шалгахаа мартуузай - өгөгдлийн координатыг цэгүүдийн нөхцөлд орлуулна уу. Та зөв тэгш байдлыг авах ёстой.

Тэгээд л болоо. Энэ материал танд хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна.

Хүндэтгэсэн, Александр.

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам нь бага ангиасаа эхлэн танил болсон хамгийн энгийн геометрийн хэлбэрүүдийн нэг бөгөөд өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд шулуун шугам барих чадвартай байх шаардлагатай; аль тэгшитгэл нь шулуун шугамыг, тухайлбал эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугам, координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээллийг гарын авлагаас олж болно. График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд, Би үүнийг matan-д зориулж бүтээсэн боловч шугаман функцийн хэсэг нь маш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Тиймээс, эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэнд дулаацаарай. Үүнээс гадна та үндсэн мэдлэгтэй байх хэрэгтэй векторуудэс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Энэ хичээлээр бид хавтгайд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих аргуудыг авч үзэх болно. Би практик жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч) би тэдэнд анхан шатны болон чухал баримтуудыг, ирээдүйд шаардагдах техникийн аргуудыг, тэр дундаа дээд математикийн бусад хэсгүүдэд өгөх болно.

• Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Яаж ?
• Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл түүний налуу: . Энэ коэффициентийн геометрийн утга, түүний утга нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлж байгааг анхаарч үзээрэй.

Энэ нь геометрийн явцад батлагдсан шулуун шугамын налуу нь өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондба өгөгдсөн шугам: , мөн булан нь цагийн зүүний эсрэг "эрэггүй" байна.

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцөг зурсан. "Улаан" шулуун шугам ба түүний налууг анхаарч үзээрэй. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар тэмдэглэсэн). Налуутай "цэнхэр" шулуун шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно болон буланурвуу функцийг ашиглан - нуман тангенс. Тэдний хэлснээр гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл тооцоолуур байдаг. Энэ замаар, налуу нь шулуун шугамын х тэнхлэгт налуугийн түвшинг тодорхойлдог.

Энэ тохиолдолд дараахь тохиолдлууд боломжтой.

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: , дараа нь шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "час улаан" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: , дараа нь шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд юм.

3) Хэрэв налуу нь тэгтэй тэнцүү бол: , тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах бөгөөд харгалзах шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) налуу байдаггүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн модуль их байх тусам шугамын график эгц болно.

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Эндээс шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг танд сануулж байна, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгуудөнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг. .

Үүний эсрэгээр: налуугийн модуль бага байх тусам шулуун шугам нь тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал нь үнэн тул шулуун шугам нь халхавчаас илүү юм. Хөхөрсөн, овойлт тарихгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудыг мэдэх нь алдаагаа, ялангуяа график зурахдаа алдаагаа шууд харах боломжийг олгоно - хэрэв зураг "ямар нэг зүйл буруу байгаа нь тодорхой" байвал. Энэ нь таны хувьд зүйтэй юм шуудЖишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон, дээрээс доош явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тэмдэглэхэд тохиромжтой.

Тэмдэглэгээ: шулуун шугамыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ: . Алдартай сонголт бол байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгийн тэмдэглэгээ юм. Жишээлбэл, бидний саяхан авч үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд харьяалагддаг гэдгийг тодорхой харуулж байна.

Жаахан тайвшрах цаг:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын налуу нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Хэрэв цэг нь энэ шулуун шугамд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл: Бид томьёоны дагуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио . Энэ тохиолдолд:

Хариулах:

Шалгалтүндсэн байдлаар гүйцэтгэсэн. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байрандаа байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангах ёстой. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Гаралт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Өөрөө хийх шийдлийн илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 2

Шулууны тэнхлэгийн эерэг чиглэлд налуугийн өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд бэрхшээл тулгарвал онолын материалыг дахин уншина уу. Илүү нарийн, илүү практик, би олон нотлох баримтыг алдаж байна.

Сүүлчийн хонх дуугарч, төгсөлтийн бөмбөг унтарч, төрөлх сургуулийн маань хаалганы цаана аналитик геометр биднийг хүлээж байна. Хошигнол дууслаа... Магадгүй дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Дурсамжтайгаар бид танил тал руу бариулыг даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Аналитик геометрийн хувьд яг үүнийг ашиглаж байгаа тул:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, налуутай тэгшитгэлийг уяцгаая. Эхлээд бид бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлнэ:

"x" бүхий нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой.

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд ) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Энэ техникийн шинж чанарыг санаарай!Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж ерөнхий хэлбэрээр өгөх болно. За, шаардлагатай бол налуутай "сургууль" хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (y тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууя хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Харин энэ бага насны хэргийн талаар хожим нь одоо сумны дүрмийг баримталж байна. Шулуун шугам бүр нь "дасан зохицоход" хялбар байдаг тодорхой налуутай. вектор.

Шугамантай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ.. Мэдээжийн хэрэг, аливаа шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлтэй векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байх болно (хамтран чиглүүлэх эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Гэхдээ нэг вектор нь шулуун шугам барихад хангалтгүй, вектор нь чөлөөтэй бөгөөд онгоцны аль ч цэгт холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын чиглүүлэгч вектор мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэг бол бид доорх практик жишээг авч үзэх болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэг байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Бид томьёоны дагуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиох болно. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Мөн бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулдаг.

Хариулах:

Ийм жишээн дээр зурах нь дүрмээр бол шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэх цэг, анхны чиглэлийн вектор (энэ нь хавтгай дээрх аль ч цэгээс хойшлогдож болно) болон баригдсан шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, ихэнх тохиолдолд шулуун шугам барих нь налуу тэгшитгэлийг ашиглан хамгийн тохиромжтой байдаг. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэхэд хялбар бөгөөд шулуун шугам барихын тулд ямар ч асуудалгүйгээр дахин нэг цэгийг сонгоно.

Хэсгийн эхэнд дурьдсанчлан шулуун нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаатай байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Аль ч чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Цэг ба чиглүүлэх вектороор шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцийг задлах:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг гарга.

Хүссэн хүмүүс векторуудыг мөн адил туршиж үзэх боломжтой эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээр чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулуун шугамын чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй олонлогоос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс, тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үр дүнд нь жолоодох векторын координатуудыг -2-т хувааж, яг үндсэн векторыг жолооны вектор болгон авна. Логикийн хувьд.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлж, векторын координатыг 5-д хуваахад бид ort-ыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо гүйцээцгээе жишээ 3-ыг шалгана уу. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хийсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийн дагуу бид түүний чиглүүлэх векторыг сэргээнэ. - бүх зүйл зүгээр, бид анхны векторыг авсан (зарим тохиолдолд энэ нь анхны вектортой давхцаж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатын пропорциональ байдлаар харахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Гаралт: Ажлыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариулт. Саяхан авч үзсэн алгоритмын дагуу шалгалт хийх нь зүйтэй юм. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг юм.

Чиглэлийн векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал үүнийг хийх нь маш энгийн:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо хүчингүй байна. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн гүнзгий нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулах:

Шалгалт:

1) Шулууны чиглэлийн векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой коллинеар байна.

2) Тэгшитгэл дэх цэгийн координатыг орлуулна уу.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Гаралт: ажлыг зөв гүйцэтгэсэн

Тэртэй тэргүй ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа юм бол яагаад томьёогоор зовоод байгаа юм бэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, бутархайн томъёо санах нь хамаагүй дээр. Хоёрдугаарт, бүх нийтийн томъёоны сул тал нь төөрөгдүүлэх эрсдэл мэдэгдэхүйц нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэг өгсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол нэг төрлийн томьёо бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь энэ шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудБид хамгийн энгийн асуудлыг авч үзсэн - хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солилцож" болох ба томъёог ашиглана . Ийм шийдвэр нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Томъёог ашиглана уу:

Бид хуваагчдыг самнадаг:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одоо бутархай тооноос салахад тохиромжтой. Энэ тохиолдолд та хоёр хэсгийг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулах:

ШалгалтЭнэ нь тодорхой байна - эхний цэгүүдийн координатууд нь үүссэн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой.

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Гаралт: шулуун шугамын тэгшитгэл зөв.

Хэрэв ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдааг хай.

Энэ тохиолдолд график баталгаажуулах нь хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь шугам барьж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах нь зүйтэй юм. , тийм ч амар биш.

Би шийдлийн техникийн хэд хэдэн цэгийг тэмдэглэх болно. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгал томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил онооны хувьд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай байдаг. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл дуусгаж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэл байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж чадах эсэхийг харах явдал юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл олдвол үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тогтооно. Гэсэн хэдий ч энэ нь аль хэдийн ярианы сэдэв болсон шулуун шугамын харилцан зохицуулалт.

Хариу хүлээж авлаа Жишээ 7-д би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь тооцооллын техникийг илүү сайн ойлгож, боловсруулах боломжийг танд олгоно.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчийн аль нэг нь (чиглэлийн вектор координат) алга болж, бид үүнийг дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр ямар эвгүй, төөрөгдөлтэй харагдаж эхэлснийг анзаараарай. Бид ийм асуудлыг аль хэдийн шийдсэн тул практик жишээ өгөх нь утгагүй гэж би олж харахгүй байна (№ 5, 6-г үзнэ үү).

Шулуун шугамын хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Хэвийн гэж юу вэ? Энгийнээр хэлбэл, хэвийн бол перпендикуляр юм. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна. Аливаа шулуун шугамд тэдгээрийн хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглүүлэх векторууд) байх нь ойлгомжтой бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондоо чиглүүлэх эсэх нь хамаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглэлийн векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг зүгээр л "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Бид эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгах болно цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн векторыг мэдэж шулуун шугамын тэгшитгэл бичих боломжтой юу? Энэ нь боломжтой юм шиг санагдаж байна. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн шулуун шугамын чиглэлийг мөн өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах зарим цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр өнгөрөв. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Таалагдлаа. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Шийдэл: Томъёог ашиглана уу:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж аваад шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": - тийм ээ, үнэхээр анхны векторыг нөхцөлөөс (эсвэл вектор нь анхны вектортой ижил байх ёстой) олж авсан.

2) Цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даасан шийдлийн ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Хичээлийн эцсийн хэсэг нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийн бага түгээмэл боловч чухал хэлбэрүүдэд зориулагдсан болно.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс өөр тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэг бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Ердийн даалгавар бол шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл болгон илэрхийлэх явдал юм. Яагаад тохиромжтой вэ? Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй шулуун шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал юм.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол. Бид "y"-г дахин тохируулах ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгийг автоматаар авна: .

Тэнхлэгтэй адилхан шугам нь у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.