Elementariųjų funkcijų diferencijavimo formulės. Diferencijavimo formulės ir taisyklės (išvestinės radimas)

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas pristatymas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 60-65 balams. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindų egzaminą. Norint išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį reikia išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (pirmos 12 uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų per egzaminą, ir be jų neapsieina nei šimtabalsis, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa teorija, kurios jums reikia. Greiti būdai egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Iš FIPI užduočių banko išardytos visos atitinkamos 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka egzamino-2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprasta ir nesudėtinga.

Šimtai egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi triukai sprendimai, naudingi cheat lapai, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sunkių užduočių 2 egzamino dalys.

Tegu funkcija y = f (x) apibrėžta intervale X. Darinys funkcija y = f (x) taške x o vadinama riba

Jei ši riba baigtinis, tada iškviečiama funkcija f (x). skiriasi taške x o; be to, šiuo metu jis pasirodo būtinai ir tęstinis.

Jei svarstoma riba yra ¥ (arba - ¥), tada su sąlyga, kad funkcija taške x o yra tęstinis, sakome, kad funkcija f (x) turi taške x o begalinė išvestinė.

Išvestinė žymima simboliais

y ¢, f ¢ (x o),,.

Išvestinės radimas vadinamas diferenciacija funkcijas. Išvestinės geometrinė reikšmė yra tai, kad išvestinė yra nuolydis kreivės y = f (x) liestinė duotame taške x o; fizinė prasmė - yra ta, kad kelio laiko išvestinė yra momentinis judančio taško greitis tiesiame judėjime s = s (t) momentu t o.

Jeigu su yra pastovus skaičius, o u = u (x), v = v (x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tada laikantis taisyklių diferenciacija:

1) (c) "= 0, (cu)" = cu ";

2) (u + v) "= u" + v ";

3) (uv) "= u" v + v "u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) jei y = f (u), u = j (x), t.y. y = f (j (x)) – sudėtinga funkcija, arba superpozicija sudarytas iš diferencijuojamų funkcijų j ir f, tada, arba

6) jei funkcijai y = f (x) egzistuoja atvirkštinė diferencijuojama funkcija x = g (y) ir ¹ 0, tada.

Remiantis išvestinės apibrėžimu ir diferenciacijos taisyklėmis, galima sudaryti pagrindinių elementariųjų funkcijų lentelių išvestinių sąrašą.

1. (u m) "= m u m - 1 u" (m Î R).

2. (a u) "= a u lna × u".

3. (e u) "= e u u".

4. (log a u) "= u" / (u ln a).

5. (ln u) "= u" / u.

6. (sin u) "= cos u × u".

7. (cos u) "= - sin u × u".

8. (tg u) "= 1 / cos 2 u × u".

9. (ctg u) "= - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u) "= u" /.

11. (arccos u) "= - u" /.

12. (arctan u) "= u" / (1 + u 2).

13. (arcctg u) "= - u" / (1 + u 2).

Apskaičiuojame eksponentinės išraiškos išvestinę
y = u v, (u> 0), kur u ir v funkcijos esmė iš NS tam tikrame taške turintys išvestines tu",v ".

Paėmę lygybės y = u v logaritmą, gauname ln y = v ln u.

Išvestinių prilyginimas NS iš abiejų gautos lygybės pusių, naudodamiesi 3, 5 taisyklėmis ir logaritminės funkcijos išvestinės formule, turėsime:

y "/ y = vu" / u + v "ln u, iš kur y" = y (vu "/ u + v" ln u).

(u v) "= u v (vu" / u + v "ln u), u> 0.

Pavyzdžiui, jei y = x sin x, tada y "= x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

Jei funkcija y = f (x) taške yra diferencijuojama x, t.y. šioje vietoje turi baigtinę išvestinę y", tada = y "+ a, kur a®0 Dх® 0; taigi D y = y" Dх + a x.

Pagrindinė funkcijos prieaugio dalis, tiesinė Dx atžvilgiu, vadinama diferencialinė funkcija ir žymimas dy: dy = y "Dх. Jei į šią formulę įdėsime y = x, tada gausime dx = x" Dх = 1 × Dх = Dх, todėl dy = y "dx, tai yra simbolis žymėti išvestinę gali būti laikoma trupmena.

D funkcijos padidėjimas y yra kreivės ordinatės prieaugis, o diferencialas d y yra liestinės ordinatės prieaugis.

Tarkime, kad funkcijai y = f (x) radome jos išvestinę y ¢ = f ¢ (x). Šios išvestinės vedinys vadinamas antros eilės išvestinė funkcija f (x), arba antrasis darinys, ir yra nurodytas.

Toliau apibrėžiami ir žymimi panašiai:

trečios eilės išvestinė - ,

ketvirtos eilės vedinys -

ir apskritai kalbant n-osios eilės išvestinė - .

15 pavyzdys.Įvertinkite funkcijos y = (3x 3 -2x + 1) × sin x išvestinę.

Sprendimas. Pagal 3 taisyklę y "= (3x 3 -2x + 1)" × sin x + (3x 3 -2x + 1) × (sin x) "=
= (9x 2 -2) sin x + (3x 3 -2x + 1) cos x.

16 pavyzdys... Raskite y ", y = tg x +.

Sprendimas. Naudodami sumos ir dalinio diferencijavimo taisykles gauname: y "= (tgx +)" = (tgx) "+ ()" = + =.

17 pavyzdys. Rasti išvestinę sudėtinga funkcija y =,
u = x 4 +1.

Sprendimas. Pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę gauname: y "x = y" u u "x = ()" u (x 4 +1) "x = (2u +. Kadangi u = x 4 + 1, tai
(2 x 4 +2+.

18 pavyzdys.

Sprendimas. Funkciją y = pavaizduojame kaip dviejų funkcijų superpoziciją: y = e u ir u = x 2. Turime: y "x = y" u u "x = (e u)" u (x 2) "x = e u × 2x. Pakeičiant x 2 vietoj u, gauname y = 2x.

19 pavyzdys. Raskite funkcijos y = ln sin x išvestinę.

Sprendimas. Pažymime u = sin x, tada kompleksinės funkcijos y = ln u išvestinė apskaičiuojama pagal formulę y "= (ln u)" u (sin x) "x =.

20 pavyzdys. Raskite funkcijos y = išvestinę.

Sprendimas. Sudėtingos funkcijos, atsirandančios dėl kelių superpozicijų, atvejis išnaudojamas nuosekliai taikant 5 taisyklę:

21 pavyzdys... Apskaičiuokite išvestinę y = ln.

Sprendimas. Paėmę logaritmą ir naudodami logaritmų savybes, gauname:

y = 5 / 3ln (x 2 +4) + 7 / 3ln (3x-1) -2 / 3ln (6x 3 +1) -1 / 3tg 5x.

Atskirdami abi paskutinės lygybės puses, gauname:

2.2. Ribinė analizė ekonomikoje. Funkcijos elastingumas

Ekonominiuose tyrimuose išvestinėms priemonėms žymėti dažnai vartojama specifinė terminija. Pavyzdžiui, jei f (x) yra gamybos funkcija, išreiškiantis bet kurio produkto produkcijos priklausomybę nuo faktoriaus kaštų x, tada f "(x) yra vadinami ribinis produktas; jeigu g (x) yra kaštų funkcija, ty funkcija g (x) išreiškia bendrųjų kaštų priklausomybę nuo gaminių apimties x, tada g "(x) yra vadinami ribiniai kaštai .

Ribinė analizė ekonomikoje- metodų rinkinys, skirtas tirti besikeičiančias sąnaudų ar rezultatų vertes keičiant gamybos apimtį, vartojimą ir kt. remiantis jų ribinių verčių analize. Didžiąja dalimi planiniai skaičiavimai, pagrįsti įprastiniais statistiniais duomenimis, atliekami suminių sumų forma. Šiuo atveju analizę daugiausia sudaro vidutinių verčių apskaičiavimas. Tačiau kai kuriais atvejais, atsižvelgiant į ribines vertes, būtina atlikti išsamesnį tyrimą. Pavyzdžiui, skaičiuojant grūdų gamybos sąnaudas regione ateičiai, atsižvelgiama į tai, kad kaštai gali skirtis priklausomai nuo kitų dalykų vienodų numatomų grūdų derliaus apimčių, nes blogesnėse žemėse naujai užsiimame auginimu, gamybos kaštai bus didesni nei vidutiniškai rajone.

Jei ryšys tarp dviejų rodiklių v ir x pateikiamas analitiškai: v = f (x) – tada Vidutinė vertė yra santykis v / x, a galutinis- vedinys.

Darbo našumo paieška. Tegul funkcija
u = u (t), išreiškiantis pagamintų produktų kiekį u dirbant t... Apskaičiuokime per laiką pagamintų produktų kiekį
Dt = t 1 - t 0: Du = u (t 1) - u (t 0) = u (t 0 + Dt) - u (t 0). Vidutinis darbo našumas vadinamas pagamintų produktų kiekio ir sugaišto laiko santykiu, t.y. z, plg. = Du / Dt.

Darbuotojo produktyvumas z (t 0) momentu t 0 yra riba, iki kurios z cf linksta. esant Dt®0:. Taigi darbo našumo apskaičiavimas redukuojamas iki išvestinės apskaičiavimo: z (t 0) = u "(t 0).

Vienarūšių gaminių gamybos kaštai K priklauso nuo gaminių kiekio x... Todėl galime parašyti K = K (x). Tarkime, produkcijos kiekis padidėja D NS... Gamybos kaštai K (x + Dx) atitinka gaminių kiekį x + Dx. Vadinasi, produkcijos kiekio padidėjimas D NS atitinka gamybos kaštų prieaugį DK = K (x + Dх) - K (x).

Vidutinis gamybos sąnaudų prieaugis yra DK / Dx. Tai yra gamybos sąnaudų prieaugis, tenkantis gaminių kiekio prieaugio vienetui.

Limitas vadinamas ribinės gamybos sąnaudos.

Jei žymėsime pagal u (x) pardavimo pajamų x prekių vienetų, tada jis vadinamas ribinės pajamos.

Naudodami išvestinę, galite apskaičiuoti funkcijos prieaugį, atitinkantį argumento prieaugį. Daugelyje uždavinių patogiau apskaičiuoti priklausomo kintamojo augimo procentą (santykinį prieaugį), kuris atitinka nepriklausomo kintamojo augimo procentą. Tai atveda mus prie funkcijos elastingumo sampratos (kartais vadinamos santykinė išvestinė). Taigi, duokime funkciją y = f (x), kurios išvestinė y ¢ = f ¢ (x). Funkcijos elastingumas y = f (x) kintamojo atžvilgiu x vadinti ribą

Jis žymimas E x (y) = x / y f ¢ (x) =.

Elastingumo santykinis x yra apytikslis procentinis funkcijos padidėjimas (padidėjimas arba sumažėjimas), atitinkantis nepriklausomo kintamojo padidėjimą 1%. Ekonomistai matuoja vartotojų jautrumo arba jautrumo produkto kainos pokyčiams laipsnį, naudodami kainų elastingumo sąvoką. Kai kurių gaminių paklausa pasižymi santykiniu vartotojų jautrumu kainų pokyčiams, nedideli kainų pokyčiai lemia reikšmingus perkamų produktų kiekio pokyčius. Tokių gaminių paklausa dažniausiai vadinama santykinai elastingas arba tiesiog elastingas. Kitų prekių atžvilgiu vartotojai yra gana nejautrūs kainų pokyčiams, tai yra, reikšmingas kainos pokytis lemia tik nedidelį pirkinių skaičiaus pokytį. Tokiais atvejais paklausa santykinai neelastingi arba tiesiog neelastingas. Terminas tobulai neelastingas paklausa reiškia kraštutinį atvejį, kai pasikeitus kainai nepasikeičia prašomų produktų kiekis. Pavyzdžiui, pacientų paklausa ūminė forma diabetas insulinui arba narkomanų poreikis heroinui. Ir atvirkščiai, kai mažėjant kainai pirkėjai padidina pirkimus iki savo galimybių ribos - tada mes sakome, kad paklausa yra idealiai elastingas.

Ekstremali funkcija

Iškviečiama funkcija y = f (x). didėja (mažėja) tam tikru intervalu, jei x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

Jei diferencijuojama funkcija y = f (x) didėja (mažėja) intervale, tai jos išvestinė šiame intervale f ¢ (x)> 0 (f ¢ (x)< 0).

Taškas x apie paskambino tašką vietinis maksimumas (minimumas) funkcijos f (x), jei yra taško kaimynystė x apie, visiems taškams, kurių galioja nelygybė f (x) £ f (x о) (f (x) ³ f (x о)).

Vadinami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra jos ekstremalumas.

Būtinos sąlygos ekstremumas... Jei taškas x apie yra funkcijos f (x) ekstremumo taškas, tada arba f ¢ (x о) = 0, arba f ¢ (x о) neegzistuoja. Tokie taškai vadinami kritiškas, be to, pati funkcija apibrėžiama kritiniame taške. Funkcijos kraštutinumo reikia ieškoti tarp jos kritinių taškų.

Pirma pakankama sąlyga. Leisti būti x apie- kritinis taškas. Jei f ¢ (x) einantis per tašką x apie pakeičia pliuso ženklą į minusą, tada taške x apie funkcija turi maksimumą, kitu atveju turi minimumą. Jei išvestinė nekeičia ženklo, eidama per kritinį tašką, tai taške x apie ekstremalaus nera.

Antra pakankama sąlyga. Tegul funkcija f (x) turi išvestinę
f ¢ (x) taško kaimynystėje x apie o antrasis darinys pačiame taške x apie... Jei f ¢ (x о) = 0,> 0 (<0), то точка x apie yra funkcijos f (x) lokalaus minimumo (maksimalaus) taškas. Jei = 0, tada naudokite pirmąją pakankamą sąlygą arba įtraukite aukštesnes išvestines.

Atkarpoje funkcija y = f (x) gali pasiekti mažiausią arba didžiausią reikšmę kritiniuose taškuose arba atkarpos galuose.

22 pavyzdys. Raskite funkcijos f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstremalumą.

Sprendimas. Kadangi f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), tai funkcijos kritiniai taškai x 1 = 2 ir x 2 = 3. Ekstrema gali būti tik šiuose taškuose . Kadangi, eidama per tašką x 1 = 2, išvestinė ženklą pliusą pakeičia į minusą, tai šioje vietoje funkcija turi maksimumą. Eidama per tašką x 2 = 3, išvestinė savo minuso ženklą pakeičia į pliusą, todėl taške x 2 = 3 funkcija turi minimumą. Funkcijos reikšmių skaičiavimas taškais
x 1 = 2 ir x 2 = 3, randame funkcijos kraštutinumus: maksimalus f (2) = 14 ir minimalus f (3) = 13.

23 pavyzdys. Prie akmeninės sienos reikia pastatyti stačiakampį plotą, kad iš trijų pusių ji būtų aptverta vielos tinklu, o iš ketvirtos pusės – greta sienos. Tam yra a bėgimo metrų tinklelio. Kokiu formatu svetainė turės didžiausią plotą?

Sprendimas. Svetainės puses žymime x ir y... Svetainės plotas S = xy. Leisti būti y yra kraštinės, esančios greta sienos, ilgis. Tada pagal sąlygą turi būti įvykdyta lygybė 2x + y = a. Todėl y = a - 2x ir S = x (a - 2x), kur 0 £ x £ a / 2 (srities ilgis ir plotis negali būti neigiami). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0, jei x = a / 4, iš kur
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. Kadangi x = a / 4 yra vienintelis kritinis taškas, patikrinkime, ar einant per šį tašką keičiasi išvestinės ženklas. Už x< a/4 S ¢ >0, o x> a / 4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Kadangi S yra nuolatinis, o jo reikšmės galuose S (0) ir S (a / 2) yra lygios nuliui, rasta reikšmė bus didžiausia funkcijos reikšmė. Taigi naudingiausias svetainės kraštinių santykis nurodytomis uždavinio sąlygomis yra y = 2x.

24 pavyzdys. Būtina pagaminti uždarą cilindrinį baką, kurio talpa V = 16p "50 m 3. Kokie yra bako matmenys (spindulys R ir aukštis H), kad jo gamybai būtų sunaudota mažiausiai medžiagos?

Sprendimas. Bendras cilindro paviršiaus plotas yra S = 2pR (R + H). Mes žinome cilindro tūrį V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. Vadinasi, S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). Raskite šios funkcijos išvestinę:
S ¢ (R) = 2 p (2R- 16 / R 2) = 4 p (R- 8 / R 2). S¢ (R) = 0, kai R3 = 8, todėl
R = 2, H = 16/4 = 4.

Elementariųjų funkcijų išvestinė lentelė

1 apibrėžimas

Išvestinės skaičiavimas vadinamas diferenciacija.

Žymi išvestinę $ y "$ arba $ \ frac (dy) (dx) $.

1 pastaba

Norint rasti funkcijos išvestinę, pagal pagrindines diferenciacijos taisykles ji paverčiama kita funkcija.

Apsvarstykite išvestinių priemonių lentelę. Atkreipkite dėmesį į tai, kad funkcijos, suradusios jų išvestinius, transformuojamos į kitas funkcijas.

Vienintelė išimtis yra $ y = e ^ x $, kuris virsta savimi.

Išvestinės diferenciacijos taisyklės

Dažniausiai, ieškant išvestinės, reikia ne tik žiūrėti į išvestinių lentelę, o pirmiausia taikyti diferenciacijos taisykles ir sandaugos išvestinės įrodymą, o tik tada naudoti elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę.

1. Konstanta išimama už išvestinės ženklo

$ C $ yra pastovi (konstanta).

1 pavyzdys

Atskirkite funkciją $ y = 7x ^ 4 $.

Sprendimas.

Raskite $ y "= (7x ^ 4)" $. Išvedimo ženklui išimame skaičių $ 7 $, gauname:

$ y "= (7x ^ 4)" = 7 (x ^ 4) "= $

naudodamiesi lentele, turite rasti galios funkcijos išvestinės reikšmę:

$ = 7 \ cdot 4x ^ 3 = $

Rezultatą transformuojame į matematikoje priimtą formą:

Atsakymas:$ 28x ^ 3 $.

2. Sumos (skirtumo) išvestinė lygi išvestinių sumai (skirtumui):

$ (u \ pm v) "= u" \ pm v "$.

2 pavyzdys

Atskirkite funkciją $ y = 7 + x-5x ^ 3 + 4 \ sin x-9 \ sqrt (x ^ 2) + \ frac (4) (x ^ 4) -11 \ cot x $.

Sprendimas.

$ y "= (7 + x-5x ^ 5 + 4 \ sin x-9 \ kvadratas (x ^ 2) + \ frac (4) (x ^ 4) -11 \ vaikiška lovelė x)" = $

taikyti išvestinės sumos ir skirtumo diferencijavimo taisyklę:

$ = (7) "+ (x)" - (5x ^ 5) "+ (4 \ sin x)" - (9 \ kvadratas (x ^ 2)) "+ (\ frac (4) (x ^ 4) ) "- (11 \ vaikiška lovelė x)" = $

atkreipkite dėmesį, kad diferenciacijos metu visi laipsniai ir šaknys turi būti transformuoti į formą $ x ^ (\ frac (a) (b)) $;

paimkite visas konstantas už išvestinės ženklo ribų:

$ = (7) "+ (x)" - (5x ^ 5) "+ (4 \ sin x)" - (9x ^ (\ frac (2) (5))) "+ (4x ^ (- 4) ) "- (11 \ vaikiška lovelė x)" = $

$ = (7) "+ (x)" - 5 (x ^ 5) "+ 4 (\ sin x)" - 9 (x ^ (\ frac (2) (5))) "+ 4 (x ^ () -4)) "- 11 (\ lovely x)" = $

supratus diferenciacijos taisykles, kai kurios iš jų (pavyzdžiui, kaip ir paskutinės dvi) taikomos vienu metu, kad būtų išvengta ilgo posakio perrašymo;

gavome išraišką iš elementariųjų funkcijų po išvestinės ženklu; panaudokime išvestinių lentelę:

$ = 0 + 1-5 \ cdot 5x ^ 4 + 4 \ cos x-9 \ cdot \ frac (2) (5) x ^ (- \ frac (3) (5)) + 12x ^ (- 5) - 11 \ cdot \ frac (-1) (\ sin ^ 2 x) = $

transformuojame į matematikoje priimtą formą:

$ = 1-25x ^ 4 + 4 \ cos x- \ frac (18) (5 \ sqrt (x ^ 3)) + \ frac (12) (x ^ 5) + \ frac (11) (\ sin ^ 2 x) $

Atkreipkite dėmesį, kad ieškant rezultato terminus su trupmenomis įprasta transformuoti į šaknis, o turinčius neigiamą galią į trupmenas.

Atsakymas: $ 1-25x ^ 4 + 4 \ cos x- \ frac (18) (5 \ sqrt (x ^ 3)) + \ frac (12) (x ^ 5) + \ frac (11) (\ sin ^ 2 x ) $.

3. Funkcijų sandaugos išvestinės formulė:

$ (uv) "= u" v + uv "$.

3 pavyzdys

Atskirkite funkciją $ y = x ^ (11) \ ln x $.

Sprendimas.

Pirmiausia taikome funkcijų sandaugos išvestinės apskaičiavimo taisyklę, o tada naudojame išvestinių lentelę:

$ y "= (x ^ (11) \ ln x)" = (x ^ (11)) "\ ln x + x ^ (11) (\ lnтx)" = 11x ^ (10) \ ln x + x ^ (11) \ cdot \ frac (1) (x) = 11x ^ (10) \ ln x- \ frac (x ^ (11)) (x) = 11x ^ (10) \ ln xx ^ (10) = x ^ (10) (11 \ ln x-1) $.

Atsakymas: $ x ^ (10) (11 \ ln x-1) $.

4. Dalinės funkcijos išvestinės formulė:

$ (\ frac (u) (v)) "= \ frac (u" v-uv ") (v ^ 2) $.

4 pavyzdys

Atskirkite funkciją $ y = \ frac (3x-8) (x ^ 5-7) $.

Sprendimas.

$ y "= (\ frac (3x-8) (x ^ 5-7))" = $

pagal matematinių operacijų prioriteto taisykles pirmiausia atliksime padalijimą, o po to sudėjimą ir atimtį, todėl pirmiausia taikome koeficiento išvestinės apskaičiavimo taisyklę:

$ = \ frac ((3x-8) "(x ^ 5-7) - (3x-8) (x ^ 5-7)") ((x ^ 5-7) ^ 2) = $

pritaikykite sumos ir skirtumo išvestinėms taisyklėms, išplėskite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:

$ = \ Frac (3 (x ^ 5-7) -5x ^ 4 (3x-8)) ((x ^ 5-7) ^ 2) = \ Frac (3x ^ 5-21-15x ^ 5 + 40x ^ 4) ((x ^ 5-7) ^ 2) = \ frakas (-12x ^ 5 + 40x ^ 4-21) ((x ^ 5-7) ^ 2) $.

Atsakymas:$ \ frac (-12x ^ 5 + 40x ^ 4-21) ((x ^ 5-7) ^ 2) $.

5 pavyzdys

Atskirkite funkciją $ y = \ frac (x ^ 7-2x + 3) (x) $.

Sprendimas.

Funkcija y yra dviejų funkcijų koeficientas, todėl galima taikyti koeficiento išvestinės apskaičiavimo taisyklę, tačiau tokiu atveju gauname sudėtingą funkciją. Norėdami supaprastinti šią funkciją, galite padalyti skaitiklį iš vardiklio termino pagal terminą:

$ y = \ Frac (x ^ 7-13x + 9) (x) = x ^ 6-13 + \ Frac (9) (x) $.

Taikykime supaprastintai funkcijai funkcijų sumos ir skirtumo diferencijavimo taisyklę:

$ y "= (x ^ 6-13 + \ frac (9) (x))" = (x ^ 6) "+ (- 13)" + 9 (x ^ (- 1)) "= 6x ^ 5 + 0 + 9 \ cdot (-x ^ (- 2)) = $

$ = 6x ^ 5- \ frac (9) (x ^ 2) $.

Atsakymas: $ 6x ^ 5- \ frac (9) (x ^ 2) $.

Visose toliau pateiktose formulėse raidės u ir vžymimos nepriklausomo kintamojo diferencijuojamos funkcijos x: , , ir raides a, c, n- nuolatinis:

Likusios formulės parašytos tiek nepriklausomo kintamojo funkcijoms, tiek sudėtingoms funkcijoms:

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7a.

8a.

9a.

11a.

12a.

13a.

16a.

17a.

Išsamios pastabos buvo pateiktos sprendžiant toliau pateiktus pavyzdžius. Tačiau reikėtų išmokti skirtis be tarpinių įrašų.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę .

Sprendimas. Ši funkcija yra algebrinė funkcijų suma. Mes jį atskiriame naudodami 3, 5, 7 ir 8 formules:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Taikydami 6, 3, 7 ir 1 formules, gauname

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę ir apskaičiuokite jo vertę

Sprendimas. Tai sudėtinga funkcija su tarpiniu argumentu. Naudodami 7a ir 10 formules turime

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę .

Sprendimas. Tai sudėtinga funkcija su tarpiniu argumentu. Taikydami formules 3, 5, 7a, 11, 16a, gauname

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę .

Sprendimas. Šią funkciją išskiriame pagal 6, 12, 3 ir 1 formules:

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę ir apskaičiuokite jo vertę.

Sprendimas. Pirma, funkciją transformuojame naudodami logaritmų savybes:

Dabar mes skiriame pagal formules 3, 16a, 7 ir 1:

Apskaičiuokime išvestinės vertę ties.

7 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę ir apskaičiuokite jos reikšmę ties.

Sprendimas. Naudojame 6, 3, 14a, 9a, 5 ir 1 formules:

Apskaičiuokime išvestinės priemonės vertę:

Išvestinės geometrinė reikšmė.

Funkcijos išvestinė turi paprastą ir svarbią geometrinę interpretaciją.

Jei funkcija taške skiriasi NS, tada šios funkcijos grafikas turi liestinę atitinkamame taške, o liestinės nuolydis yra lygus išvestinės reikšmei nagrinėjamame taške.

Funkcijos grafiko liestinės nuolydis taške ( NS 0 , adresu 0), yra lygus funkcijos išvestinės reikšmei at x = x 0, t.y. .

Šios liestinės lygtis yra

8 pavyzdys... Tangentinę tiesę prilyginkite funkcijos grafikui taške A (3.6).

Sprendimas. Norėdami rasti liestinės nuolydį, randame šios funkcijos išvestinę:

NS= 3:

Tangento lygtis turi formą

, arba , t.y.

9 pavyzdys. Funkcijos grafike nubrėžtos liestinės linijos taške su abscise lygtis x = 2.

Sprendimas. Pirmiausia suraskite prisilietimo taško ordinatę. Kadangi taškas A yra kreivėje, tai jo koordinatės tenkina kreivės lygtį, t.y.

; .

Taške nubrėžtos kreivės liestinės linijos lygtis turi tokią formą ... Norėdami rasti liestinės nuolydį, randame išvestinę:

Liestinės linijos nuolydis lygus funkcijos išvestinės at reikšmei NS= 2:

Tangento lygtis yra tokia:

, , t.y.

Fizinė išvestinės reikšmė. Jeigu kūnas juda tiesia linija pagal dėsnį s = s (t), tada tam tikrą laiką (nuo momento t iki akimirkos ) kažkaip pavyks. Tada yra vidutinis judėjimo greitis per tam tikrą laikotarpį.

Greitis kūno judesiai tam tikru metu t vadinama kelio ir laiko prieaugio santykio riba, kai laiko prieaugis linkęs į nulį:

Todėl kelio s laiko išvestinė t yra lygus kūno tiesinio judėjimo greičiui tam tikru metu:

Fizinių, cheminių ir kitų procesų atsiradimo greitis taip pat išreiškiamas naudojant darinį.

Funkcijos išvestinė yra lygus šios funkcijos pasikeitimo greičiui tam tikrai argumento reikšmei NS:

10 pavyzdys. Taško judėjimo išilgai tiesės dėsnis pateikiamas formule (s – metrais, t – sekundėmis). Raskite taško greitį pirmosios sekundės pabaigoje.

Sprendimas. Taško judėjimo greitis tam tikru metu yra lygus kelio išvestinei s laiku t:

Taigi, taško greitis pirmosios sekundės pabaigoje yra 9 m / s.

11 pavyzdys. Kūnas, išmestas vertikaliai aukštyn, juda pagal dėsnį, kur v 0 - pradinis greitis, g- kūno laisvo kritimo pagreitis. Raskite šio judėjimo greitį bet kuriuo momentu t... Kiek laiko kils kūnas ir kaip aukštai pakils, jei v 0= 40 m/s?

Sprendimas. Taško judėjimo greitis tam tikru metu t yra lygus kelio išvestinei s laiku t:

Aukščiausiame pakilimo taške kūno greitis lygus nuliui:

, , , , su.

Virš 40 / g sekundžių kūnas pakyla į aukštį

, m.

Antrasis darinys.

Funkcijos išvestinė paprastai yra funkcija NS... Jei apskaičiuosime šios funkcijos išvestinę, tai gausime antros eilės išvestinę arba antrąją funkcijos išvestinę .

Antrasis darinys funkcijas vadinama jo pirmojo vedinio vediniu .

Antroji funkcijos išvestinė žymima vienu iš simbolių -,,. Taigi, .

Panašiai apibrėžiamos ir žymimos bet kokios eilės išvestinės priemonės. Pavyzdžiui, trečios eilės išvestinė:

arba ,

12 pavyzdys. .

Sprendimas. Pirmiausia suraskite pirmąjį išvestinį

13 pavyzdys. Raskite antrąją funkcijos išvestinę ir apskaičiuokite jo vertę x = 2.

Sprendimas. Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį:

Dar kartą diferencijuodami randame antrą išvestinę:

Apskaičiuokime antrosios išvestinės reikšmę at x = 2; mes turime

Fizinė antrojo vedinio reikšmė.

Jeigu kūnas juda tiesia linija pagal dėsnį s = s (t), tada antroji kelio išvestinė s laiku t yra lygus kūno judėjimo pagreitiui tam tikru metu t:

Taigi pirmoji išvestinė apibūdina tam tikro proceso greitį, o antroji – to paties proceso pagreitį.

14 pavyzdys. Taškas juda tiesia linija pagal dėsnį ... Raskite judėjimo greitį ir pagreitį .

Sprendimas. Kūno greitis tam tikru metu yra lygus kelio išvestinei s laiku t, o pagreitis yra antroji kelio išvestinė s laiku t... Mes randame:

; tada;

; tada

15 pavyzdys. Judėjimo tiesia linija greitis yra proporcingas nuvažiuoto atstumo kvadratinei šaknei (kaip, pavyzdžiui, laisvo kritimo metu). Įrodykite, kad šis judėjimas vyksta veikiant pastoviai jėgai.

Sprendimas. Pagal Niutono dėsnį jėga F, sukelianti judėjimą, yra proporcinga pagreičiui, t.y.

arba

Pagal būklę, ... Išskirdami šią lygybę, mes randame

Todėl veikianti jėga .

Išvestinės taikymai funkcijai tirti.

1) Sąlyga funkcijai padidinti: Diferencijuojama funkcija y = f (x) monotoniškai didėja intervale X tada ir tik tada, kai jos išvestinė didesnė už nulį, t.y. y = f (x) f ’(x)> 0... Ši sąlyga geometriškai reiškia, kad šios funkcijos grafiko liestinė sudaro smailųjį kampą su teigiama kryptimi į oX ašį.

2) Sumažėjusios funkcijos sąlyga: Diferencijuojama funkcija y = f (x) mažėja monotoniškai intervale X tada ir tik tada, kai jos išvestinė mažesnė už nulį, t.y.

y = f (x) ↓ f '(x) Ši sąlyga geometriškai reiškia, kad šios funkcijos grafiko liestinė sudaro bukąjį kampą su teigiama oX ašies kryptimi)

3) Funkcijos pastovumo sąlyga: Diferencijuojama funkcija y = f (x) yra pastovi intervale X tada ir tik tada, kai jos išvestinė lygi nuliui, t.y. y = f (x) – konstanta f'(x) = 0.Ši sąlyga geometriškai reiškia, kad šios funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti oX ašiai, t. y. α = 0)

Funkcijų ekstremumai.

1 apibrėžimas: Taškas x = x 0 vadinamas minimalus taškas funkcija y = f (x), jei šis taškas turi kaimynystę, kurios visų taškų (išskyrus patį tašką) nelygybė f (x)> f (x 0)

2 apibrėžimas: Taškas x = x 0 vadinamas maksimalus taškas funkcija y = f (x), jei šis taškas turi kaimynystę, kurios visų taškų (išskyrus patį tašką) nelygybė f (x)< f(x 0).

3 apibrėžimas: funkcijos minimumo arba maksimumo taškas vadinamas tašku ekstremumas... Funkcijos reikšmė šiame taške vadinama kraštutine.

Pastabos: 1. Maksimalus (minimalus) nebūtinai yra didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė;

2. Funkcija gali turėti keletą maksimumų arba minimumų;

3. Funkcija, apibrėžta atkarpoje, gali pasiekti ekstremumą tik vidiniuose šios atkarpos taškuose.

5) Būtina ekstremumo sąlyga: Jei funkcija y = f (x) turi ekstremumą taške x = x 0, tai šiame taške išvestinė yra lygi nuliui arba jos nėra. Šie taškai vadinami 1 tipo kritiniai taškai.

6) Pakankamos sąlygos funkcijos ekstremumui egzistuoti: Tegul funkcija y = f (x) yra tolydi intervale X ir šiame intervale turi kritinį x = x 0 genties tašką 1, tada:

a) jei šis taškas turi kaimynystę, kurioje x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f '(x)> 0, tada x = x 0 yra taškas minimumas funkcijos y = f (x);

b) jei šis taškas turi kaimynystę, kurioje x< х 0 f’(x) >0, o jei x> x 0

f '(x)< 0, то х = х 0 является точкой maksimalus funkcijos y = f (x);

c) jei šis taškas turi tokią kaimynystę, kad jame ir į dešinę, ir į kairę nuo taško x 0 išvestinės ženklai yra vienodi, tai taške x 0 ekstremumo nėra.

Funkcijos mažėjimo arba didėjimo intervalai vadinami intervalais. monotonija.

1 apibrėžimas: Kreivė y = f (x) vadinama išgaubtas žemyn intervale a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется išgaubtas aukštyn intervale a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

2 apibrėžimas: Intervalai, kuriuose funkcijos grafikas pasukamas aukštyn arba žemyn išgaubtas, yra vadinami išsipūtimo intervalai funkcinė grafika.

Pakankama kreivės išgaubimo sąlyga. Diferencijuojamos funkcijos Y = f (x) grafikas yra išgaubtas aukštyn intervale a< х <в, если f”(x) < 0 и išgaubtas žemyn jei f ”(x)> 0.

1 apibrėžimas: Vadinami taškai, kuriuose antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja Antrosios rūšies kritiniai taškai.

2 apibrėžimas: Funkcijos Y = f (x) grafiko taškas, skiriantis šio grafiko priešingų krypčių išgaubimo intervalus, vadinamas tašku. linksniavimas.

Vingio taškas

Pavyzdys: Duota funkcija y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Išnagrinėkite monotoniškumo intervalų ir ekstremalių taškų funkciją. Nustatykite išsikišimo kryptį ir vingio tašką.

Sprendimas: 1. Raskite funkcijos sritį: D (y) =;

2. Raskite pirmąją išvestinę: y '= 3x 2 - 4x + 6;

3. Išspręskite lygtį: y ’= 0, 3x 2 - 4x + 6 = 0, D 0, tada ši lygtis neturi sprendinio, todėl nėra ir ekstremalių taškų. y ', tada funkcija didėja visame domene.

4. Raskite antrąją išvestinę: y ”= 6x - 4;

5. Išspręskime lygtį: y "= 0, 6x - 4 = 0, x =

Atsakymas: (; -) - vingio taškas, funkcija yra išgaubta aukštyn ties x ir išgaubta aukštyn ties x

Asimptotės.

1. Apibrėžimas: Kreivės asimptotė yra tiesė, prie kurios be apribojimų artėja tam tikros funkcijos grafikas.

2. Asimptotų rūšys:

1) Vertikalios asimptotės... Funkcijos y = f (x) grafikas turi vertikalią asimptotę, jei. Vertikalios asimptotės lygtis yra x = a

2) Horizontalios asimptotės... Funkcijos y = f (x) grafikas turi horizontalią asimptotę, jei ... Horizontaliosios asimptotės lygtis yra y = b.

1 pavyzdys: funkcijai y = raskite asimptotes.

3) Įstrižai asimptotai. Tiesė y = kx + b vadinama funkcijos y = f (x) grafiko įstrine asimptote, jei. K ir b reikšmės apskaičiuojamos pagal formules: k =; b =.

Sprendimas: , tada y = 0 yra horizontalioji asimptotė;

(kadangi x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), tada x = 3 yra vertikali asimptotė. ,T. tai yra, k = 0, tada kreivė neturi įstrižinės asimptotės.

2 pavyzdys: Raskite funkcijos y = asimptotes.

Sprendimas: x 2 - 25 ≠ 0, kai x ≠ ± 5, tada x = 5 ir x = - 5 yra horizontalios asimptotės;

y =, tada kreivė neturi vertikalios asimptotės;

k =; b =, ty y = 5x yra įstrižinė asimptotė.

Braižymo funkcijų pavyzdžiai.

1 pavyzdys.

Išnagrinėkite funkciją ir nubrėžkite funkciją y = x 3 - 6x 2 + 9x - 3

1. Raskite funkcijos sritį: D (y) = R

y (- x) = (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 = - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3) , t.y

(y = x 5 – x 3 – nelyginis, y = x 4 + x 2 – lyginis)

3. Jis nėra periodiškas.

4. Raskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis: jei x = 0, tai y = - 3 (0; - 3)

jei Y = 0, x sunku rasti.

5. Raskite funkcijos grafiko asimptotes: Vertikaliųjų asimptočių nėra, nes nėra x reikšmių, kurioms funkcija neapibrėžta; y =, tai yra, nėra horizontalių asimptočių;

k =, t.y., nėra įstrižinių asimptotų.

6. Panagrinėkime funkciją monotoniškumo intervalams ir jo kraštutinumams: y ’= 3x 2 - 12x + 9,

y' = 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 – 1 tipo kritiniai taškai.

Apibrėžkime išvestinės požymius: y '(0) = 9> 0; y’(2) = – 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y (1) = 1, (1; 1) - maksimalus taškas; y min = y (3) = - 3, (3; - 3) - mažiausias taškas, funkcija y ties x ir y .

7. Panagrinėkime išgaubtų intervalų ir vingio taškų funkciją:

y ”= (y’) '= (3x 2 - 12x + 9)' = 6x - 12, y ”= 0, 6x - 12 = 0 x = 2 yra 1 tipo kritinis taškas.

Nustatykime antrosios išvestinės požymius: y ”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y (2) = - 1 (2; - 1) - vingio taškas, funkcija yra išgaubta aukštyn ties x ir išgaubta žemyn ties x.

8. Papildomi punktai:

NS	- 1
adresu	- 19

9. Sukurkime funkcijos grafiką:

Išnagrinėkite funkciją ir nubrėžkite funkciją y =

1. Raskime funkcijos apibrėžimo sritį: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D (y) =.

2. Sužinokime, ar duota funkcija yra lyginė ar nelyginė: ,

y (- x) ≠ y (x) - nelyginis ir y (- x) ≠ - y (x) - nelyginis

3. Jis nėra periodiškas.

4. Raskite susikirtimo taškus su koordinačių ašimis: x = 0, tada y = - 2; y = 0, tada , ty (0; - 2); ().

5. Raskime funkcijos grafiko asimptotes: x ≠ 1, tada tiesė x = 1 yra vertikali asimptotė;

Diferencijavimas – tai išvestinės apskaičiavimas.

1. Diferencijavimo formulės.

Pagrindinės diferenciacijos formulės pateiktos lentelėje. Jų nereikia įsiminti. Supratę kai kuriuos modelius, galite savarankiškai išvesti kitus iš kai kurių formulių.

1) Pradėkime nuo formulės (k x+ m) ′ = k.
Jo ypatingi atvejai yra formulės x′ = 1 ir C ′ = 0.

Bet kurioje y = kx + m formos funkcijoje išvestinė lygi nuolydžiui k.

Pavyzdžiui, funkcija y = 2 NS+ 4. Jo išvestinė bet kuriame taške bus lygi 2:

(2 x + 4) ′ = 2 .

Funkcijos išvestinė adresu = 9 NS+ 5 bet kurioje vietoje yra 9 ... ir kt.

Raskime funkcijos y = 5 išvestinę NS... Tam atstovaujame 5 NS formoje (5 NS+ 0). Gavome išraišką, panašią į ankstesnę. Priemonės:

(5NS) ′ = (5 NS+ 0) ′ = 5.

Galiausiai išsiaiškinkime, kas yra lygi x′.
Taikykime ankstesnio pavyzdžio techniką: įsivaizduokite NS kaip 1 NS+ 0. Tada gauname:

x′ = (1 NS+ 0) ′ = 1.

Taigi, mes nepriklausomai išvedėme formulę iš lentelės:

(0 · x+ m) ′ = 0.

Bet tada paaiškėja, kad m ′ taip pat lygus 0. Tegul m = C, kur C yra savavališka konstanta. Tada prieiname prie kitos tiesos: konstantos išvestinė lygi nuliui. Tai yra, mes gauname kitą formulę iš lentelės.