Видове числови пропуски. Числов интервал
План на урока
Дата ________ Урок # ______
Тема Пропуски в числата.
Образователни задачи:
1. Да запознае учениците със записването на решението на неравенствата с помощта на пропуски.
2. Насърчаване на развитието на мисленето, речта на учениците, способността за анализиране, обобщение, подчертаване на основното, опростяване.
3. Да възпитава точност, последователност, самостоятелност, интерес към предмета.
Цел: Научете учениците как да решават неравенства, използвайки пропуски.
Нагледни помагала: книга, лаптоп.(презентация 91479 )
Тип урок: Урок за изучаване на нов материал.
методи: Вербално, визуално, практично.
По време на часовете:
Поздрави от учениците.
2. Проверка на домашното:
На черната дъска
3. Етап на усвояване на нови знания:
Пропуски на числова (координатна) линия.
Помислете за координатна линия, този път координатната линия е показана без уточняване на произхода и размера на единичния сегмент.
На координатната линия беше отбелязана точка а ... Всички точки, разположени вдясно, са маркирани със щриховане - това са числа големи числа а. Такъв набор от точки се нарича. отворена греда и обозначават - символично вписване. То гласи така: „От адо плюс безкрайност". За произволно число x от това множество, неравенството xa
Да се даде възможност на учениците сами да се досетят как стоят такива отворени лъчи и какво неравенство ще бъде вярно за всички числа, принадлежащи към него. 
Проверете: такъв отворен лъч означава , знакът гласи "минус безкрайност" / За произволно число x от това множество, неравенството xa е вярно.
Прегледайте чертежите и ги сравнете с предишните чертежи. Какви са приликите. Каква е разликата? Защо точка, съответстваща на точка абоядисана в черно?
Така че на фигурата те означават обичайното Рей.За да обозначите лъч, когато пишете, използвайте квадратната скоба [ а;), (;а].
Такива неравенства се наричат не строгза разлика от неравенствата от вида xa, xa които се наричат строг.
Определете кои снимки показват лъчи и кои отворени лъчи и направете подходящи бележки. (с помощта на скоби и използване на знаци за неравенство). пързалка
На тази фигура щриховката обозначава точките (числата), разположени между точки a и b. Такъв набор от точки се нарича интервали обозначават (а;б) Неравенството има формата axb
Тази фигура показва същия интервал, но този път неговите краища, точки a и b, са прикрепени към него. Такъв набор се нарича сегмент, което се означава с. Неравенството има формата axb
Определете кои фигури показват отсечките и кои - интервалите и направете съответните бележки (използвайки скоби и знаци за неравенство). Слайд 11
5. Закопчаване:
Слайд 9-11
4. Работа по учебника.
№ 990 устно,
№ 991-992 на таблото "по верига",
5. Самостоятелна работа
6. Резюме на урока:
Сега нека обобщим нашата работа. Какви нови понятия научихте в клас днес? Какво означава отворен (запълнен) кръг на числовата права? Кога се изписват скоби (квадратни скоби), за да се обозначи числов интервал?
Какво ви беше трудно в час днес? Има ли въпроси относно новия материал?
Отбелязване на урок.
7. Домашна работа:
Научете правилата№ 9 94-№995
За да използвате визуализацията на презентации, създайте си акаунт ( сметка) Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
7 клас Числови интервали Учител по математика: Бахвалова Г.С. Гимназия №52
Цели на урока: 1. Въведете понятието числов интервал; 2. Да се възпитават умения за изобразяване на числови интервали върху числовата права и умение за обозначаването им. 3. да се развиват логично мислене: анализирайте, сравнете. План на урока: 1. Актуализация на знанията: "Координатна ос". 2. Нова тема: "Интервали на числа". 3.Образователни самостоятелна работа... 4. Резюме на урока.
Изпълнете задачата: 1. Отбележете върху числовата права точки с координати: A (-2); AT 5); О (0); С (5); Г (-3).
Отговор: 1. A (-2); AT 5); О (0); С (3); Г (- 3). 0 A B C 1 0 D
Изпълнете задачата: 2. Сравнете числата: -2 и 5; 5 и 0; -2 и -3; 5 и 3; 0 и –2.
Отговор: -2 0; -2> -3; 5> 3; 0> –2. Тествай се
Изпълнете устно задачата: 3. Кое от дадените числа на числовата права е вляво: -2 или 5; 5 или 0; -2 или -3; 5 или 3; 0 или –2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ: от две числа на числовата права по-малкото число е разположено вляво, а по-голямото отдясно.
Нека отбележим върху координатната линия точки с координати - 3 и 2. Ако една точка се намира между тях, тогава тя съответства на число, което е по-голямо от –3 и по-малко от 2. Обратното също е вярно: ако числото x удовлетворява условието - 3 Слайд 9
Множеството от всички числа, отговарящи на условие 3 Слайд 10
Числото х, отговарящо на условието -3 ≤х≤ 2, се представя от точка, която или лежи между точките с координати –3 и 2, или съвпада с една от тях. Множеството от такива числа означава [-3; 2]. - 3 2 Пишете в тетрадка Пишете в тетрадка Пишете в тетрадка
Число x, отговарящо на условието x≤ 2, се представя от точка, която или лежи вляво от точката с координата 2, или съвпада с нея. Множеството от такива числа се обозначава с (-∞; 2]. 2 Пишете в тетрадка Пишете в тетрадка Пишете в тетрадка
Числото x, отговарящо на условието x> -3, се изобразява от точка, която или лежи вдясно от точката с координата -3. Множеството от такива числа o означава (-3; + ∞). - 3 Пишете в тетрадка Пишете в тетрадка Пишете в тетрадка
3 5 3 5 3 5 3 5 5 -7 3
Самостоятелна работа ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 4 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ 3 ИЗБЕРЕТЕ ВАРИАНТ Помогнете ми! И на мен, и на мен. Избери ме! Ще ми помогнеш ли?
ВАРИАНТ 1 1. Начертайте числови интервали върху координатната права: а). ; б). (-2; + ∞); v). [3; 5); г). (- ∞; 5]. 2. Запишете числовия интервал, показан на фигурата: 3. Кое от числата -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежи на интервал: а). [-1,5, 6,5]; б) (3; + ∞); v). (- ∞; 1]. 3 7 -5 6 -7 в). а). б). 4. Посочете най-голямото цяло число, принадлежащо на интервала: a). [-12; -9]; б). (-1; 17). БЛАГОДАРЯ!
ВАРИАНТ 2 1. Начертайте числови интервали върху координатната права: а). [- 3; 0); б). [- 3; + ∞); v). (- тридесет) ; г). (- ∞; 0). 2. Запишете числовия интервал, показан на фигурата: 3. Кое от числата - 2, 2; - 2, 1; -един; 0; 0,5; един; 8, 9 принадлежат на интервала: а). (- 2, 2; 8, 9]; б). (- ∞; 0]; в). (1; + ∞). -5 6 3 7 в). а). б). 4. Посочете най-голямото цяло число, принадлежащо на интервала: a). [-12; -9); б). [-1; 17]. 2 Помогнете ми!
ВАРИАНТ 3 1. Начертайте числови интервали върху координатната права: а). (-0,44; 5); б). (10; + ∞); v). [0; тринадесет); г). (- ∞; -0,44]. 2. Запишете числовия интервал, показан на фигурата: 3. Назовете всички цели числа, принадлежащи на интервала: а). [- 3; един ]; б) (- 3; 1); в 3 ; едно) ; G). (- 3; 1];. 7 20 -8 6 -7 в). а). б). 4. Посочете най-малкото цяло число, принадлежащо на интервала: а). [-12; -9]; б). (-1; 17] Благодаря, много се радвам!
ВАРИАНТ 4 1. Начертайте числови интервали върху координатната права: а). [-4 ; -0,29]; б). (- ∞; + ∞); v). [1,7; 5, 9); г) (0,01; + ∞). 2. Запишете числовия интервал, показан на фигурата: 3. Назовете всички цели числа, принадлежащи на интервала: а). [- 4 ; 3]; б) (- 4; 3); в 4 ; 3); G). (- 4; 3];. -4 -1 -5 25 в). а). б). 4. Посочете най-малкото цяло число, принадлежащо на интервала: а). [-12; -9); б). (-1; 17]. -8 Браво!
Извикване на тестовата програма Ако имате свободни минути, обадете се на тестовата програма, като щракнете върху думата "CALL FOR" Домашна работа Можете да решите друга ОПЦИЯ
Домашна работа 1). Начертайте върху една и съща координатна права два числови интервала, така че да имат общи точки (2 примера). 2). Начертайте на една и съща координатна права два числови интервала, така че да нямат общи точки (2 примера). Завършване на работата
БЛАГОДАРЯ ЗА РАБОТАТА!!!
В) Числова права
Помислете за числова права (фиг. 6):
Помислете за множеството от рационални числа
Всяко рационално число е представено от някаква точка от оста на числата. И така, числата са отбелязани на фигурата.
Нека докажем това.
Доказателство.Нека има дроб:. Имаме право да считаме тази дроб за неприводима. Тъй като тогава - числото е четно: - нечетно. Замествайки вместо неговия израз, намираме:, откъдето следва, че - четно число. Получихме противоречие, което доказва твърдението.
Така че не всички точки от числовата ос представляват рационални числа... Тези точки, които не представляват рационални числа, представляват числа, наречени ирационално.
Всяко число от формата,, е или цяло число, или ирационално.
Пропуски в числата
Числовите сегменти, интервали, полуинтервали и лъчи се наричат числови интервали.
| Числово неравенство на диапазона | Цифрово обозначение на обхвата | Име на обхвата на номера | чете се така: |
| a ≤ x ≤ b | [а; б] | Числовен сегмент | Сегмент от a до b |
| а< x < b | (а; б) | Интервал | Интервал от a до b |
| a ≤ x< b | [а; б) | Половин интервал | Половин интервал от апреди бвключително а. |
| а< x ≤ b | (а; б] | Половин интервал | Половин интервал от апреди бвключително б. |
| x ≥ a | [а; + ∞) | Номер лъч | Числов лъч от адо плюс безкрайност |
| x> а | (а; + ∞) | Отворен номерен лъч | Отворете числов лъч от адо плюс безкрайност |
| x ≤ a | (- ∞; а] | Номер лъч | Числов лъч от минус безкрайност до а |
| х< a | (- ∞; а) | Отворен номерен лъч | Отворен числов лъч от минус безкрайност до а |
Представяме на координатната права числата аи ба също и номера хмежду тях.
Множеството от всички числа, отговарящи на условието a ≤ x ≤ bе наречен числов сегментили само парче... Означава се така: [ а; б] -Прочетете така: сегмент от a до b.
Наборът от числа, които отговарят на условието а< x < b е наречен интервал... Означава се така: ( а; б)
Тя се чете така: интервал от a до b.
Набори от числа, отговарящи на условията a ≤ x< b или а<x ≤ bса наречени полуинтервали... легенда:
Задайте a ≤ x< b обозначается так:[а; б), - се чете така: полуинтервал от апреди бвключително а.
Няколко а<x ≤ bобозначена така :( а; б], - се чете така: половин интервал от апреди бвключително б.
Сега нека си представим Рейс точка а, вдясно и вляво от които е набор от числа.
аотговарящи на условието x ≥ aе наречен номерен лъч.
Означава се така: [ а; + ∞) -Прочетете така: числов лъч от адо плюс безкрайност.
Наборът от числа вдясно от точката асъответстващо на неравенството x> ае наречен отворен номерен лъч.
Означава се така: ( а; + ∞) -Прочетете така: отворете числов лъч от адо плюс безкрайност.
аотговарящи на условието x ≤ aе наречен числов лъч от минус безкрайност доа .
Означава се така :( - ∞; а] -Прочетете така: числов лъч от минус безкрайност до а.
Наборът от числа вляво от точката асъответстващо на неравенството х< a е наречен отворен числов лъч от минус безкрайност доа .
Означава се така: ( - ∞; а) -Прочетете така: отворен числов лъч от минус безкрайност до а.
Множеството от реални числа се изобразява с цялата координатна линия. Наричат го числова линия... Означава се, както следва: ( - ∞; + ∞ )
3) Линейни уравнения и неравенства с една променлива, техните решения:
Равенство, съдържащо променлива, се нарича уравнение с една променлива или уравнение с една неизвестна. Например, уравнение с една променлива е 3 (2x + 7) = 4x-1.
Коренът или решението на уравнение е стойността на променлива, при която уравнението се превръща в истинско числово равенство. Например числото 1 е решението на уравнението 2x + 5 = 8x-1. Уравнението x2 + 1 = 0 няма решение, тъй като лявата страна на уравнението винаги е по-голяма от нула. Уравнението (x + 3) (x-4) = 0 има два корена: x1 = -3, x2 = 4.
Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или доказване, че няма корени.
Уравненията се наричат еквивалентни, ако всички корени на първото уравнение са корени на второто уравнение и обратно, всички корени на второто уравнение са корени на първото уравнение или ако и двете уравнения нямат корени. Например, уравненията x-8 = 2 и x + 10 = 20 са еквивалентни, тъй като коренът на първото уравнение x = 10 е коренът на второто уравнение и двете уравнения имат един корен.
При решаване на уравнения се използват следните свойства:
Ако прехвърлите члена от една част в друга в уравнението, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на това.
Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, различно от нула, тогава ще получите уравнение, което е еквивалентно на това.
Уравнението ax = b, където x е променлива, а a и b са някои числа, се нарича линейно уравнение в една променлива.
Ако a¹0, тогава уравнението има уникално решение.
Ако a = 0, b = 0, тогава всяка стойност на x удовлетворява уравнението.
Ако a = 0, b¹0, тогава уравнението няма решения, тъй като 0x = b не се изпълнява за нито една стойност на променливата.
Пример 1. Решете уравнението: -8 (11-2x) + 40 = 3 (5x-4)
Нека отворим скобите в двете страни на уравнението, прехвърлим всички членове от x в лявата страна на уравнението и членове, които не съдържат x в дясната страна, получаваме:
16x-15x = 88-40-12
Пример 2. Решете уравненията:
x3-2x2-98x + 18 = 0;
Тези уравнения не са линейни, но ще покажем как можете да решите такива уравнения.
3x2-5x = 0; x (3x-5) = 0. Продуктът е равен на нула, ако един от факторите е равен на нула, получаваме x1 = 0; x2 =.
Отговор: 0; ...
Разложете лявата страна на уравнението:
x2 (x-2) -9 (x-2) = (x-2) (x2-9) = (x-2) (x-3) (x-3), т.е. (x-2) (x-3) (x + 3) = 0. Оттук е ясно, че решенията на това уравнение са числата x1 = 2, x2 = 3, x3 = -3.
в) Представяме 7x като 3x + 4x, тогава имаме: x2 + 3x + 4x + 12 = 0, x (x + 3) +4 (x + 3) = 0, (x + 3) (x + 4) = 0, следователно x1 = -3, x2 = - 4.
Отговор: -3; - 4.
Пример 3. Решете уравнението: ½x + 1ç + ½x-1ç = 3.
Припомнете си дефиницията на модула на число: 
Например: ½3½ = 3, ½0½ = 0, ½- 4½ = 4.
В това уравнение под знака на модула са числата x-1 и x + 1. Ако x е по-малко от -1, тогава числото x + 1 е отрицателно, тогава ½x + 1½ = -x-1. И ако x> -1, тогава ½x + 1½ = x + 1. Когато x = -1 ½x + 1½ = 0.
По този начин, 
По същия начин
а) Помислете дадено уравнение½x + 1½ + ½x-1½ = 3 за x £ -1, то е еквивалентно на уравнението -x-1-x + 1 = 3, -2x = 3, x =, това число принадлежи на множеството x £ -1 .
б) Нека -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
в) Разгледайте случая x> 1.
x + 1 + x-1 = 3, 2x = 3, x =. Това число принадлежи на множеството x> 1.
Отговор: x1 = -1,5; x2 = 1,5.
Пример 4. Решете уравнението: ½x + 2½ + 3½x½ = 2½x-1½.
Да покажем кратка бележкарешение на уравнението, разкриващо знака на модула "по интервали".
x £ -2, - (x + 2) -3x = -2 (x-1), - 4x = 4, x = -2Î (- ¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x> 1, x + 2 + 3x = 2 (x-1), 2x = - 4, x = -2Ï (1; + ¥)
Отговор: [-2; 0]
Пример 5. Решете уравнението: (a-1) (a + 1) x = (a-1) (a + 2), за всички стойности на параметъра a.
В това уравнение всъщност има две променливи, но x се счита за неизвестен, а a е параметър. Необходимо е да се реши уравнението за променливата x за всяка стойност на параметъра a.
Ако a = 1, тогава уравнението има формата 0 × x = 0, всяко число удовлетворява това уравнение.
Ако a = -1, тогава уравнението има формата 0 × x = -2, това уравнение не удовлетворява нито едно число.
Ако a¹1, a¹-1, тогава уравнението има уникално решение.
Отговор: ако a = 1, тогава x е произволно число;
ако a = -1, тогава няма решения;
ако a¹ ± 1, тогава.
Б) Линейни неравенства в една променлива.
Ако дадем на променливата x произволна числова стойност, тогава получаваме числово неравенство, което изразява или вярно, или невярно твърдение. Например нека е дадено неравенството 5x-1> 3x + 2. За x = 2 получаваме 5 · 2-1> 3 · 2 + 2 - вярно твърдение (вярно числово твърдение); при x = 0 получаваме 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - невярно твърдение. Всяка стойност на променлива, при която дадено неравенство с променлива се превръща в истинско числово неравенство, се нарича решение на неравенството. Решаването на неравенство с променлива означава намиране на множеството от всички негови решения.
Две неравенства с една променлива x се казва, че са еквивалентни, ако наборите от решения на тези неравенства съвпадат.
Основната идея за решаване на неравенството е следната: заменяме даденото неравенство с друго, по-просто, но еквивалентно на даденото; полученото неравенство отново се заменя с по-просто неравенство, еквивалентно на него и т.н.
Такива замествания се правят въз основа на следните твърдения.
Теорема 1. Ако някой член на неравенство с една променлива се прехвърли от една част на неравенството в друга с противоположен знак, оставяйки знака за неравенство непроменен, получаваме неравенство, еквивалентно на даденото.
Теорема 2. Ако двете страни на неравенство с една променлива се умножат или разделят на едно и също положително число, оставяйки знака на неравенството непроменен, тогава получаваме неравенство, еквивалентно на това.
Теорема 3. Ако двете страни на неравенство с една променлива се умножат или разделят на едно и също отрицателно число, като същевременно сменим знака на неравенството на противоположния, тогава получаваме неравенство, което е еквивалентно на това.
Неравенство от вида ax + b> 0 се нарича линейно (съответно ax + b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Пример 1. Решете неравенството: 2 (x-3) +5 (1-x) ³3 (2x-5).
Разширявайки скобите, получаваме 2x-6 + 5-5x³6x-15,
Числов интервал
Дупката, отворена празнина, интервал- набор от точки от числова права, затворени между две дадени числа аи б, тоест набор от числа худовлетворяване на условието: а < х < б ... Празнината не включва краища и се обозначава ( а,б) (понякога ] а,б[), за разлика от сегмента [ а,б] (затворено пространство), включително краищата, тоест състоящи се от точки.
В записа ( а,б), числа аи бнаречени краища на празнината. Интервалът включва всички реални числа, интервалът - всички числа по-малки от аи разликата - всички числа са големи а .
Срок празнинаизползва се в сложни термини:
- при интегриране - интервал на интегриране,
- при прецизиране на корените на уравнението - изолационна пропаст
- при определяне на сходимостта на степенните редове - интервал на сближаване на степенния ред.
Между другото, на английски думата интервалнаречен сегмент. И за обозначаване на понятието интервал се използва терминът отворен интервал.
литература
- Вигодски М. Я. Наръчник по висша математика. М .: "Астрел", "AST", 2002 г
Вижте също
Връзки
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво е "Числов интервал" в други речници:
От лат. интервал интервал, разстояние: В музика: Интервалът е съотношението на височината на два тона; съотношението на звуковите честоти на тези тонове. В математиката: Интервал (геометрия) е набор от точки от права линия, затворени между точки A и B, ... ... Wikipedia
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Празнина, отворена празнина, интервал е набор от точки от числова права, затворени между две дадени числа a и b, тоест набор от числа x, удовлетворяващи условието: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Интервалът, или по-точно интервалът на числовата права, е набор от реални числа, който има свойството, че заедно с произволни две числа съдържа всяко, което се намира между тях. Използвайки логически символи, това определение е ... ... Wikipedia
Нека си припомним определенията на някои основни подмножества на реални числа. Ако, тогава множеството се нарича сегмент от разширената числова права R и се обозначава с, тоест, в случая, отсечката ... Wikipedia
Последователност Числовата последователност е поредица от елементи в числово пространство. Цифрова позиция ... Уикипедия
МИКРОСКОП- (от гръцки mikros малък и скопео гледам), оптичен инструмент за изучаване на малки обекти, които са недостъпни за директно изследване с просто око. Правете разлика между обикновен М. или лупа и сложен М., или микроскоп в правилния смисъл. Лупа ... ... Страхотна медицинска енциклопедия
GOST R 53187-2008: Акустика. Мониторинг на шума в градските райони- Терминология GOST R 53187 2008: Акустика. Мониторинг на шума в градските райони оригинален документ: 1 Ежедневно прогнозно ниво на звука. 2 Вечерно изчислено максимално ниво на звука. 3 Нощно прогнозно ниво на звуково налягане... Речник-справочник на термините на нормативно-техническата документация
Сегментът може да се нарече едно от двете тясно свързани понятия в геометрията и математическия анализ. Сегментирайте набор от точки, за да ... Wikipedia
Коефициент на корелация- (Коефициент на корелация) Коефициентът на корелация е статистически показател за зависимостта на две случайни величини.Определяне на коефициента на корелация, видове корелационни коефициенти, свойства на коефициента на корелация, изчисление и приложение ... ... Инвеститорска енциклопедия
Пропуски в числата. Контекст. Определение
Равенството (уравнението) има една точка на числовата права (въпреки че тази точка зависи от извършените трансформации и избрания корен). Самото решение на уравнението ще бъде набор от числа (понякога състоящ се от едно число). Всичко това обаче на числовата права (визуализация на набор от реални числа) ще се показва само точково, но има и по-обобщени видове връзки между две числа - неравенства. При тях числовата права се отделя с определено число и от нея се отрязва определена част - стойността на израз или числов интервал.
Логично е темата за числовите интервали да се обсъжда заедно с неравенствата, но това не означава, че тя е свързана само с тях. Числовите интервали (интервали, сегменти, лъчи) са набор от стойности на променлива, които удовлетворяват някакво неравенство. Тоест всъщност това е множеството от всички точки на числовата права, ограничени от някаква рамка. Следователно темата за числовите интервали е най-тясно свързана с понятието променлива... Когато има променлива или произволна точка x на числовата права и тя се използва, използва, има и числови интервали, интервалите са x стойности. Често стойността може да бъде всякаква, но това също е числов диапазон, който покрива цялата числова права.
Нека представим концепцията числена обхват... Сред числовите множества, тоест множествата, чиито обекти са числа, се разграничават така наречените числови интервали. Тяхната стойност се крие във факта, че е много лесно да си представим набор, съответстващ на определен числов диапазон, и обратно. Следователно е удобно да ги използвате, за да запишете множеството от решения на неравенството. Докато наборът от решения на уравнението няма да бъде числов интервал, а просто няколко числа на числовата права, с неравенства, с други думи, всякакви ограничения върху стойността на променливата се появяват като числови интервали.
Числова обхват е набор от всички точки на числовата права, ограничени от дадено число или числа (точки на числовата линия).
Цифров интервал от всякакъв вид (набор от x стойности, затворени между някои числа) винаги може да бъде представен с три вида математически нотации: специална нотация на интервали, вериги от неравенства (едно неравенство или двойно неравенство) или геометрично върху числова линия. Всъщност всички тези обозначения имат едно и също значение. Те дават ограничението(ите) за стойностите на някакъв математически обект, променлива (някаква променлива, всеки израз с променлива, функция и т.н.).
От горното може да се разбере, че тъй като е възможно да се ограничи площта на числовата права по различни начини (има различни видове неравенства), тогава видовете числови интервали са различни.
Видове числови пропуски
Всеки тип числов интервал има свое собствено име, специално обозначение. Скоби и квадратни скоби се използват за обозначаване на числови интервали. Кръгла скоба означава, че крайната точка на числовата права (край) в тази скоба не принадлежи на множеството точки на този интервал. Квадратната скоба означава, че краят влиза в процепа. С безкрайност (от тази страна празнината не е ограничена) използвайте скоби. Понякога вместо скоби можете да напишете квадратни скоби, обърнати в обратна посока: (a; b) ⇔] a; b [
| Тип празнина (име) | Геометрично изображение (на числовата линия) | Обозначаване | Обозначение, използващо неравенства (винаги във вериги за краткост) |
|---|---|---|---|
| Интервал (отворен) | (а; б) | а< x < b | |
| сегмент (сегмент) | a ≤ x ≤ b | ||
| Половин интервал (половин сегмент) | а< x ≤ b | ||
| Рей | x ≤ b | ||
| Отворена греда | (а; + ∞) | x> а | |
| Отворена греда | (-∞; б) | х< b | |
| Набор от всички числа (на координатната линия) | (-∞;+∞) , въпреки че тук е необходимо да се посочи определен набор-носител на алгебра, с който се извършва работата; пример: | x ∈(обикновено те говорят за набор от реални числа; за да представят комплексни числа, те вече използват комплексната равнина, а не правата линия) | |
| Равенство | или х = а | х = а (специален случайнестрого неравенство: a ≤ x ≤ a- интервал с дължина 1, където двата края съвпадат - сегмент, състоящ се от една точка) | |
| Празен комплект | ∅ | Празният набор също е празнина - променливата x няма стойности (празен набор). Обозначаване: x∈∅⇔x∈ (). |
Може да възникне объркване с имената на интервалите: да страхотно количествонастроики. Затова е най-добре винаги да ги уточнявате точно. В англоезичната литература се използва само терминът интервал ("интервал") - отворен, затворен, полуотворен (полузатворен). Има много вариации.
С помощта на пропуски в математиката, много голям бройнеща: има интервали на изолация при решаване на уравнения, интервали на интегриране, интервали на сближаване на редове. При изследване на функция е обичайно винаги да се обозначава с пропуски нейният диапазон от стойности и диапазон на дефиниция. Пропуските са много важни, например има Болцано - Теорема на Коши(повече в Wikipedia).
Системи и множества от неравенства
Система от неравенства
И така, променливата x или стойността на някакъв израз може да се сравни с някаква константна стойност - това е неравенство, но можете да сравните този израз с няколко стойности - двойно неравенство, верига от неравенства и т.н. показано по-горе - като интервал и сегмент. И това, и това е система от неравенства.
Така че, ако задачата е да се намери множеството общи решениядве или повече неравенства, тогава можем да говорим за решаване на система от неравенства (точно както при уравненията - въпреки че можем да кажем, че уравненията са частен случай).
Тогава е очевидно, че стойността на променливата, използвана в неравенствата, при която всяко от тях става вярно, се нарича решение на системата от неравенства.
Всички неравенства, включени в системата, се комбинират с къдрави скоби - "(". Понякога те се записват във формата двойно неравенство(както е показано по-горе) или дори верига от неравенства... Пример за типична нотация: f x ≤ 30 g x 5.
Решение на системи от линейни неравенства с една променлива в общ случайсе свежда до тези 4 вида: x> a x> b (1) x> a x< b (2) x < a x >b (3) x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b> а.
Всяка система може да бъде решена графично с помощта на числова права. Където решенията на неравенствата, съставляващи системата, се пресичат и ще има решение на самата система.
Нека представим графично решение за всеки случай.
(1) x> b (2) aОсвен това системите от неравенства могат да бъдат класифицирани като еквивалентни, ако имат общ набор от решения. Оттук (както можете да видите по-горе) следва, че по-сложните системи могат да бъдат опростени (например с помощта на геометрично решение).
Къдравата скоба може грубо да се нарече еквивалент на съюза " И„за неравенства
Набор от неравенства
Има обаче и други случаи. Така че, в допълнение към пресечната точка на набори от решения, те могат да бъдат комбинирани: ако задачата е да се намери множеството от всички такива стойности на променлива, всяка от които е решение на поне едно от тези неравенства, тогава те казват, че е необходимо да се реши набор от неравенства.
И така, всички неравенства в съвкупността се комбинират със скоби на агрегата "[". Ако стойността на променлива удовлетворява поне едно неравенство от съвкупността, тогава тя принадлежи към множеството от решения на цялата съвкупност. Също и с уравнения (отново те могат да се нарекат специален случай).
Ако фигурната скоба е и, тогава скобите на съвкупността е, конвенционално, с прости думи, еквивалент на съюза " ИЛИ„за неравенства (въпреки че това, разбира се, ще бъде логично или, включително случай, който удовлетворява и двете условия).
И така, решението на набор от неравенства е стойността на променлива, при която поне едно неравенство става вярно.
Множество от решения, както множество, така и система от неравенства, може да се определи чрез две основни бинарни операции за работа с множества - пресичане и обединение. Множеството от решения на системата от неравенства е пресичаненабори от решения на неравенствата, които го съставят. Множеството от решения на множеството неравенства е асоциациянабори от решения на неравенствата, които го съставят. Това също може да се илюстрира. Да кажем, че имаме система и набор от две неравенства. Множеството от решения на първото се означава с А, а множеството от решения на второто се означава с Б... Диаграмата на Ойлер-Вен е отлична илюстрация.
A ∪ B - решение на системата от неравенства A ∩ B - решение на множеството неравенства
